参数估计-例题讲解
参数估计知识点
参数估计知识点一、知识概述《参数估计》①基本定义：简单说，参数估计就是通过样本数据去猜总体的一些参数。
比如说，想知道全校学生的平均身高，不可能一个一个去量，那就找一部分学生（样本）量出他们的身高，然后根据这部分学生的身高数据来推测全校学生（总体）的平均身高，这个推测的过程就是参数估计。
②重要程度：在统计学里那可相当重要。
就像要了解一个大群体的情况，直接研究整体往往很难，通过参数估计从样本推测整体的情况就变得可行而且高效。
无论是搞市场调查，还是科学研究，这个工具相当好使。
③前置知识：得有点基本的数学知识，像平均数、方差这些概念要能明白，还得对抽样有点概念，知道怎么从一个大群体里抽取样本出来。
④应用价值：在各种实际场景里都有用。
比如企业想了解消费者对产品的满意度，不可能访谈每个消费者，抽样一部分做参数估计就好了。
还有估算农作物亩产量之类的，都可以用到。
二、知识体系①知识图谱：在统计学里，参数估计是推断统计的一部分，是和假设检验等方法相互联系的。
推断统计主要就是根据样本信息推断总体特征，而参数估计是其中很核心的一部分。
②关联知识：和抽样分布密切相关啊。
抽样分布是参数估计的理论基础，如果不知道抽样分布，那参数估计就像无根之木。
还和概率相关，毕竟在样本中各种数值出现是有概率的。
③重难点分析：掌握难度嘛，开始会觉得有点抽象。
关键在于理解样本和总体之间的关系，以及怎么根据不同的条件选择合适的估计方法。
④考点分析：在统计学考试里常考。
考查方式有直接给样本数据让进行参数估计，或者结合其他知识点，像给出抽样分布然后问参数估计的结果之类的。
三、详细讲解【理论概念类】①概念辨析：参数估计就是根据样本统计量去估计总体参数。
总体参数就是描述总体特征的数值，像总体均值、方差之类的。
样本统计量就是从样本里计算出来的值，比如说样本均值、样本方差等。
②特征分析：不确定性算一个特点吧。
毕竟样本不是总体，根据样本做的估计不可能完全精准。
参数估计的置信区间例题和知识点总结
参数估计的置信区间例题和知识点总结在统计学中，参数估计的置信区间是一个非常重要的概念，它为我们提供了对总体参数的估计范围以及估计的可靠程度。
接下来，我们将通过一些具体的例题来深入理解置信区间，并对相关的知识点进行总结。
一、知识点回顾1、总体参数与样本统计量总体参数是描述总体特征的数值，如总体均值、总体方差等。
而样本统计量则是根据样本数据计算得到的数值，如样本均值、样本方差等。
我们通过样本统计量来对总体参数进行估计。
2、点估计点估计是用一个数值来估计总体参数，常见的点估计方法有矩估计法和最大似然估计法。
3、区间估计区间估计则是给出一个区间，认为总体参数有一定的概率落在这个区间内。
置信区间就是一种常见的区间估计方法。
4、置信水平置信水平表示置信区间包含总体参数的概率，通常用1 α 表示，常见的置信水平有 90%、95%和 99%。
5、置信区间的计算公式对于总体均值的置信区间，当总体方差已知时，置信区间为：＼（＼bar{X} ＼pm Z_{＼alpha/2} ＼frac{＼sigma}｛＼sqrt{n}｝＼）；当总体方差未知时，使用样本方差代替，置信区间为：＼（＼bar{X}＼pm t_{＼alpha/2}（n-1) ＼frac{S}｛＼sqrt{n}｝＼）。
二、例题解析例 1：某工厂生产一种零件，其长度服从正态分布。
现随机抽取 10 个零件，测量其长度（单位：cm）分别为 121, 119, 123, 120, 118, 122, 124, 117, 125, 120。
已知总体方差为 004，求总体均值的 95%置信区间。
首先，计算样本均值：＼（＼bar{X} ＝＼frac{1}｛10} （121 ＋ 119 ＋ 123 ＋ 120 ＋ 118＋ 122 ＋ 124 ＋ 117 ＋ 125 ＋ 120) ＝ 120\）因为置信水平为 95%，＼（＼alpha ＝ 005\），＼（Z_{＼alpha/2}＝ 196\），总体方差\（＼sigma^2 ＝ 004\），所以\（＼sigma ＝ 02\），样本容量\（n ＝ 10\）。
参数估计习题解答
参数估计习题与习题解答6.11．从一批电子元件中抽取8个进行寿命测试，得到如下数据(单位：h ）:1 050, 1 100， 1 130, 1 040， 1 250， 1 300， 1 200， 1 080试对这批元件的平均寿命以及分布的标准差给出矩估计。
解：样本均值 75.11438108011301101050=++++=x样本标准差 ∑=-=812)(71i i x x s []22)75.11431080()75.11431050(71-++-=0562.96= 因此,元件的平均寿命和寿命分布的标准差的矩估计分别为1143。
75和96.05622． 设总体),0(~θU X ，现从该总体中抽取容量为10的样本，样本值为0。
5,1.3,0。
6，1.7，2.2，1.2，0。
8,1。
5，2.0,1.6试对参数θ给出矩估计.解：由于E(X ）=2θ,即θ=2E(X ),而样本均值106.13.15.0+++=x =1.34，故θ的矩估计为68.22ˆ==x θ3． 设总体分布列如下,n x x ,1是样本，试求未知参数的矩估计.10,,3,2,)1()1()()2(,1,,2,1,0,1)()1(22<<=--==-===-θθθ k k k X P N N k Nk X P k ；（正整数）是未知参数 解：（1) 总体均值E （X )=21110-=-+++N N N ，解之可得N =2E （X )+1故N 的矩估计量12ˆ+=x N，其中x 为样本均值，若x 2不是整数，可取大于x 2的最小整数代替.2x（2) 总体均值E （X )==---+∞=∑222)1()1(k k k k θθ∑+∞=---222)1)(1(k k k k θθ，由于3222)1)(1(θθ=--∑+∞=-k k k k ,故有E(X ）θθθ2232=⨯=,即θ)(2X E =,从而参数的 θ 矩估计为.2ˆx=θ 4．设总体密度函数如下，n x x ,,1 是样本,试求未知参数的矩估计.0,,1),;()4(;0,10,);()3(;0,10,)1();()2(;0,0),(2);()1(12>>=><<=><<+=><<-=---θμθμθθθθθθθθθθθθθμθθx ex p x x x p x x x p x x x p x解：（1) 总体均值E （X ）==-⎰dx x x )(22θθθθθθθ31)(222=-⎰dx x x ，即即)(3X E =θ,故参数θ的矩估计为.3ˆx =θ(2)总体均值E(X ）=dx x x ⎰+1)1(θθ=21++θθ,所以1E(X)E(X)21--=θ，从而参数θ的矩估计.121ˆ--=x xθ （3)由E （X )=dx x x 11-⎰θθ=1+θθ可得2)(1)(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X E X E θ，由此,参数θ的矩估计.1ˆ2⎪⎭⎫⎝⎛-=x x θ(4)先计算总体均值与方差E （X ）=dx ex x θμμθ--∞+⎰1=dt e t tθθ-∞+⎰01+dt e tθμθ-∞+⎰1=μθ+)(2X E =dx ex x θμμθ--∞+⎰12=dt e t tθθμ-∞+⎰+1)(02=dt e ttθθ-∞+⎰12+dt e t tθθμ-∞+⎰012+dt e tθθμ-∞+⎰12=.2222μμθθ++V a r(X )=22))(()(X E X E -=2θ由此可以推出)()(,)(X Var X E X Var -==μθ,从而参数μθ,的矩估计为.ˆ,ˆs x s -==μθ 5．设总体为)1,(μN ，先对该总体观测n 次,发现有k 次观测为正，使用频率替换方法求μ的矩估计。
参数估计习题及答案
参数估计习题及答案参数估计在统计学中是一个重要的概念，它涉及到根据样本数据来估计总体参数的过程。
下面，我将提供一些参数估计的习题以及相应的答案，以帮助学生更好地理解这一概念。
习题一：假设有一个班级的学生数学成绩，我们从这个班级中随机抽取了10名学生的成绩，得到样本均值 \(\bar{x} = 85\)，样本标准差 \(s = 10\)。
请估计总体均值 \(\mu\)。
答案：根据样本均值 \(\bar{x}\) 来估计总体均值 \(\mu\)，我们可以使用以下公式：\[ \hat{\mu} = \bar{x} \]因此，\(\hat{\mu} = 85\)。
习题二：在习题一中，如果我们想要估计总体方差 \(\sigma^2\)，我们应该如何操作？答案：总体方差 \(\sigma^2\) 通常使用样本方差 \(s^2\) 来估计，样本方差的计算公式为：\[ s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 \]其中 \(n\) 是样本大小，\(x_i\) 是第 \(i\) 个观测值。
在这个例子中，\(n = 10\)，\(\bar{x} = 85\)，\(s = 10\)。
因此，我们可以使用以下公式来估计总体方差：\[ \hat{\sigma}^2 = s^2 = \frac{1}{10-1} \times 10^2 = 100 \]习题三：一个工厂生产的产品长度服从正态分布，样本均值为 \(\bar{x} =50\) 厘米，样本标准差为 \(s = 2\) 厘米。
如果我们知道总体均值\(\mu\) 为 \(50\) 厘米，我们如何估计总体标准差 \(\sigma\)？答案：根据已知的样本均值 \(\bar{x}\) 和样本标准差 \(s\)，我们可以使用以下公式来估计总体标准差 \(\sigma\)：\[ \hat{\sigma} = s \]因此，\(\hat{\sigma} = 2\) 厘米。
概率论 第七章 参数估计
L( ) max L( )
称^为
的极大似然估计（MLE）.
求极大似然估计(MLE)的一般步骤是：
(1) 由总体分布导出样本的联合概率分布 (或联合密度);
(2) 把样本联合概率分布(或联合密度)中自变 量看成已知常数,而把参数 看作自变量, 得到似然函数L( );
(3) 求似然函数L( ) 的最大值点(常常转化 为求ln L( )的最大值点) ，即 的MLE;
1. 将待估参数表示为总体矩的连续函数 2. 用样本矩替代总体矩，从而得到待估参
数的估计量。
四. 最大似然估计（极大似然法）
在总体分布类型已知条件下使用的一种 参数估计方法 .
首先由德国数学家高斯在1821年提出。 英国统计学家费歇1922年重新发现此
方法，并首先研究了此方法的一些性质 .
例：某位同学与一位猎人一起外出打猎.一只 野兔从前方窜过 . 一声枪响，野兔应声倒下 .
p值 P(Y=0) P(Y=1) P( Y=2) P(Y=3) 0.7 0.027 0.189 0.441 0.343 0.3 0.343 0.441 0.189 0.027
应如何估计p?
若：只知0<p<1, 实测记录是 Y=k
(0 ≤ k≤ n), 如何估计p 呢?
注意到
P(Y k) Cnk pk (1 p)nk = f (p)
第七章 参数估计
参数估计是利用从总体抽样得到的信息 估计总体的某些参数或参数的某些函数.
仅估 计一 个或 几个 参数.
估计新生儿的体重
估计废品率
估计降雨量
估计湖中鱼数
…
…
参数估计问题的一般提法:
设总体的分布函数为 F(x, )，其中为未 知参数 (可以是向量).从该总体抽样，得样本
第7章参数估计(小结与典型例题选讲)精品PPT课件
求置信区间的一般步骤
(1) 寻求一个X样 1,X本 2,,Xn的函:数
ZZ(X1,X2,,Xn;) 其中仅包含待,估 并参 且 Z的 数分布已知 且不依赖于任何 数(包 未括 知 ).参
(2)对于给定1 的 ,定 置出 信两 水 a,b个 , 平常 使 P{aZ(X1,X2, ,Xn;)b}1.
(3)若能a从 Z(X1,X2,,Xn;)b得到等价 的不等 式 , 其中 (X1, X2,,Xn), (X1,X2,,Xn)都是统,计 那量 么 (,)就是 的一个置信1水 的 平置 为信.区间
.
(2) 2为未,知
的置信 1水 的平 置为 信 X 区 nSn1t1/2间 (n1).
2.方差 2的置信区间
(1)=0已 知 , 方差 2的置信 1水 的平 置为 信
n
(Xi 0)2
n
(
Xi
0)2
i1
2 1/2
(n)
,
i1
2 /2
(n)
.
标准 的 差一个置 1信 的水 置平 信为 区
12的一个置 1的 信置 水信 平区 为
XYt1/2(n1n22)Sw
n 11n12.
其 中 Sw2n1 n S 11 2 n2 n 2S2 22, SwSw2.
2.两个总体方 1222的 差置 比信区间
( 1 ) 总 体 均 值 1 ,2 为 已 知 的 情 况 .
1 22 2的一个置1 信 的 水置 平信 为区间
用方程组 ˆ1,ˆ2的 ,,解 ˆk分别作 1,2为 ,,k的
估计,这 量个估计量称 量. 为矩估计
最大似然估计量
得到x 1 样 ,x2, ,本 xn时 ,选 值取使 L ()似 取得最 ˆ作 大 为 值 未 的 的 知 估 ,参 计 数 值
参数估计方法与实例例题和知识点总结
参数估计方法与实例例题和知识点总结一、参数估计的概念参数估计是指根据从总体中抽取的样本估计总体分布中包含的未知参数。
参数通常是描述总体分布的特征值，比如均值、方差、比例等。
二、参数估计的方法（一）点估计点估计就是用样本统计量来估计总体参数，给出一个具体的数值。
常见的点估计方法有矩估计法和最大似然估计法。
1、矩估计法矩估计法的基本思想是用样本矩来估计总体矩。
比如，用样本均值估计总体均值，用样本方差估计总体方差。
2、最大似然估计法最大似然估计法是求使得样本出现的概率最大的参数值。
它基于这样的想法：如果在一次抽样中得到了某个样本，那么这个样本出现概率最大的参数值就是总体参数的估计值。
（二）区间估计区间估计则是给出一个区间，认为总体参数以一定的概率落在这个区间内。
区间估计通常包含置信水平和置信区间两个概念。
置信水平表示区间包含总体参数的可靠程度，常见的置信水平有90%、95%和 99%。
置信区间则是根据样本数据计算得到的一个区间范围。
三、实例例题假设我们要研究某地区成年人的身高情况。
随机抽取了 100 名成年人，他们的身高数据如下（单位：厘米）：165, 170, 172, 168, 175, 180, 160, 178, 176, 169,（一）点估计1、用样本均值估计总体均值：计算这 100 个数据的均值，得到样本均值为 172 厘米。
因此，我们估计该地区成年人的平均身高约为 172 厘米。
2、用样本方差估计总体方差：计算样本方差，得到约为 25 平方厘米。
（二）区间估计假设我们要以 95%的置信水平估计总体均值的置信区间。
首先，根据样本数据计算样本标准差，然后查找标准正态分布表或使用相应的统计软件，得到置信系数。
最终计算出置信区间为（168，176）厘米。
这意味着我们有 95%的把握认为该地区成年人的平均身高在 168 厘米到 176 厘米之间。
四、知识点总结（一）点估计的评价标准1、无偏性：估计量的期望值等于被估计的参数。
第7章 参数估计(小结与典型例题选讲)
估计量, 这个估计量称为矩估计 . 量
最大似然估计量
得到样本值 x1 , x2 ,, xn 时 , 选取使似然函数L( )
ˆ 取得最大值的 作为未知参数 的估计值, ˆ 即 L( x1 , x2 , , xn ; ) max L( x1 , x2 , , xn ; ).
( 其中 是 可能的取值范围)
P{ ( X 1 , X 2 ,, X n ) ( X 1 , X 2 ,, X n )} 1 ,
则称随机区间( , ) 是 的置信水平为1 的置信 区间, 和 分别称为置信水平为 的双侧置信 1 区间的置信下限和置信 上限, 1 为置信水平.
其中 Sw2
n1S12 n2 S2 2 , Sw Sw2 . n1 n2 2
1 2. 两个总体方差比 2 的置信区间 2 (1)总体均值 1 , 2 为已知的情况.
2
1 2 的一个置信水平为 1 的置信区间 2
2
m m 2 2 n ( X i 1 ) n ( X i 1 ) 1 1 i n1 . , i n1 F (m, n) F (m, n) m (Y j 2 ) 2 1 /2 m (Y j 2 ) 2 /2 j 1 j 1
ˆ Var[ p ] p(1 p) , 2 n ln f ( x; p) E p n
1 n ˆ 对于参数 p 的无偏估计量 p X X i , n i 1
1 n 1 n ˆ ] Var X i 2 Var[ X i ] Var[ p n i 1 n i 1
i 1
n
L( )称为样本似然函数 .
参数估计考试试题及答案解析
模考吧网提供最优质的模拟试题，最全的历年真题，最精准的预测押题！参数估计考试试题及答案解析一、单选题（本大题6小题．每题1.0分，共6.0分。
请从以下每一道考题下面备选答案中选择一个最佳答案，并在答题卡上将相应题号的相应字母所属的方框涂黑。
）第1题从全部学生中抽样测定100名学生，戴眼镜者占50%，抽样平均误差为1%，用( )概率可确信全部学生中戴眼镜者在48%到52%之间。
A 68.27%B 95%C 95.45%D 99.73%【正确答案】：C 【本题分数】：1.0分【答案解析】[解析] 已知p=50%，μp =1%，则样本成数p 的区间估计是[p-t μp ，p+t μp ]，由48%=50%-t ×1%或者52%=50%+t ×1%，得t=2，即概率保证程度为95.45%。
第2题设总体X ～N(μ，σ2)，σ2已知，若样本容量和置信度均不变，则对于不同的样本观测值，总体均值μ的置信区间的长度( )。
A 变长B 变短C 不变D 不能确定【正确答案】：C【本题分数】：1.0分【答案解析】[解析] 对于σ2已知的总体正态分布，因为=1-α，所以模考吧网提供最优质的模拟试题，最全的历年真题，最精准的预测押题！总体均值μ的置信区间的长度为。
在样本容量和置信度均不变的条件下，与样本观测值无关。
所以对于不同的样本观测值，总体均值μ的置信区间的长度不变。
第3题一家调查公司进行一项调查，其目的是为了了解某市电信营业厅大客户对该电信服务的满意情况。
调查人员随机访问了30名去该电信营业厅办理业务的大客户，发现受访的大客户中有9名认为营业厅现在的服务质量较两年前好。
在95%的置信水平下，大客户中认为营业厅现在的服务质量较两年前好的比例的置信区间为( )。
A [13.60%，46.40%]B [13.40%，48.60%]C [14.62%，46.83%]D [14.75%，48.65%]【正确答案】：A【本题分数】：1.0分【答案解析】[解析] 已知α=1-95%=0.05，Z α/2=1.96，=30%，n=30，n =30×0.3=9＞5，n(1-)=30×0.7=21＞5，所以本题可以看作是大样本情形。
参数估计精讲及经典案例
第21讲 参数估计习题课教学目的：1. 通过练习使学生进一步掌握矩估计和最大似然估计的计算方法； 2. 通过练习使学生理解无偏性和有效性对于评价估计量标准的重要性； 3. 通过练习使学生进一步掌握正态总体参数的区间估计和单侧置信限。
教学重点：矩估计和最大似然估计，无偏性与有效性，正态总体参数的区间估计。
教学难点：矩估计，最大似然估计，正态总体参数的区间估计。
教学时数：2学时。
教学过程：一、知识要点回顾1. 矩估计用各阶样本原点矩n ki i 11x n k V ==∑ 作为各阶总体原点矩k EX 的估计,1,2,k = 。
若有参数2g(,(),,)k E X E X E X θ= （）（），则参数θ的矩估计为n n n 2i=1i=1i=1111ˆ(,,,)ki i i X X X n n n θ=∑∑∑ 。
2. 最大似然估计似然函数1()(;)ni i L f x θθ==∏，取对数ln[()]L θ，从ln()d d θθ=0中解得θ的最大似然估计θˆ。
3. 无偏性,有效性当θθ=ˆE 时，称θˆ为θ的无偏估计。
当21ˆD ˆD θθ<时，称估计量1ˆθ比2ˆθ有效。
5. 两个正态总体均差值的区间估计当21σ和22σ已知时,12μμ-的置信水平为1α-的置信区间为当21σ和22σ未知时,12μμ-的置信水平为1α-的置信区间为二 、典型例题解析1．设,0()0, 0x e x f x x θθ-⎧>=⎨≤⎩，求θ的矩估计。
解 ,0dx xe EX x ⎰+∞-=θθ设du dx u x x u θθθ1,1,===则000111()0()u uu EX ue du ue e du e θθθθ+∞+∞--+∞--+∞⎡⎤⎡⎤==-+=+-⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰⎰=θ1故1EXθ=，所以x 1ˆ=θ。
2. 设总体X 在[]b a ,上服从均匀分布，求a 和b 的矩估计。
解 由均匀分布的数学期望和方差知1()()2E X a b =+ （1）21()()12D X b a =- （2） 由（1）解得a EX b -=2，代入（2）得2)22(121a EX DX -=，整理得2)(31a EX DX -=，解得()()a E X b E X ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 故得b a ,的矩估计为ˆˆa x b x ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩其中∑=-=ni i x x n 122)(1ˆσ。
参数估计习题及答案
P51 第7章 参数估计 ----点估计二、计算题1、设总体X 具有分布密度(;)(1),01f x x x ααα=+<<，其中1->α是未知参数，n X X X ,,21为一个样本，试求参数α的矩估计和极大似然估计.解：（1）因⎰⎰++=+=111α1α1αdx x dx x x X E a)()()(2α1α2α1α102++=++=+|a x 令2α1α++==ˆˆ)(X X EXX --=∴112αˆ为α的矩估计 （2）因似然函数1212(,,;)(1)()n n n L x x x x x x ααα=+1ln ln(1)ln ni i L n x αα=∴=++∑，由1ln ln 01ni i L nx αα=∂=+=∂+∑得，α的极大似量估计量为)ln (ˆ∑=+-=ni iXn11α2、设总体X 服从指数分布 ,0()0,x e x f x λλ-⎧>=⎨⎩其他 ，n X X X ,,21是来自X 的样本，（1）求未知参数λ的矩估计；（2）求λ的极大似然估计.解：（1）由于1()E X λ=，令11X Xλλ=⇒=，故λ的矩估计为1ˆX λ= （2）似然函数112(,,,)n ii x nn L x x x eλλ=-∑=111ln ln ln 0nii ni ni ii L n x d L n n x d xλλλλλ====-=-=⇒=∑∑∑故λ的极大似然估计仍为1X。
4、设总体X 服从泊松分布()P λ, 12,,,n X X X 为取自X 的一组简单随机样本,（1）求未知参数λ的矩估计；（2）求λ的极大似然估计.解：（1）令ˆ()E X X X λλ==⇒=，此为λ的矩估计。
（2）{},0,1,2,!ixi i i P X x e x x λλ-===似然函数1121111(,,,){,,}{}!nii x n nn n n i i ni ii e L x x x P X x X x P X x x λλ=-==∑======∏∏11ln ln ln nni i i i L x n x λλ===--∑∑. 11ln 0nniii i x xd L n x d nλλλ===-=⇒==∑∑故λ的极大似然估计仍为X 。
参数估计的置信区间例题和知识点总结
参数估计的置信区间例题和知识点总结在统计学中，参数估计的置信区间是一个重要的概念，它为我们提供了对未知参数的估计范围，并以一定的置信水平保证了这个范围的可靠性。
接下来，让我们通过一些具体的例题来深入理解置信区间，并对相关的知识点进行总结。
首先，我们来明确一下什么是置信区间。
简单来说，置信区间是一个范围，在这个范围内，我们有一定的把握认为真实的参数值会存在。
例如，如果我们说一个参数的 95%置信区间是 a, b，那就意味着如果我们重复进行抽样和估计这个过程很多次，大约 95%的情况下，真实的参数值会落在这个区间内。
为了更好地理解置信区间，我们来看一个简单的例题。
假设我们想要估计某个城市居民的平均月收入。
我们随机抽取了 100 名居民，计算出他们的平均月收入为 5000 元，样本标准差为 1000 元。
如果我们要构建一个 95%的置信区间，该怎么做呢？我们知道，对于大样本（通常 n ＞ 30 ），我们可以使用正态分布来近似。
在 95%的置信水平下，对应的 Z 值约为 196。
置信区间的计算公式是：样本均值 ± Z （样本标准差／√n ）将数值代入公式：5000 ± 196 （1000 ／√100 ）＝ 5000 ± 196 ，即4804, 5196 元。
这意味着我们有 95%的把握认为该城市居民的平均月收入在 4804元到 5196 元之间。
接下来，再看一个关于比例的置信区间的例题。
假设我们想了解某个学校中喜欢数学的学生比例。
我们随机调查了 200 名学生，其中有120 名表示喜欢数学。
那么，喜欢数学的学生比例的 90%置信区间是多少呢？首先，计算样本比例p＝ 120 ／ 200 ＝ 06 。
在计算比例的置信区间时，使用的是 Z 分布，90%置信水平对应的Z 值约为 1645 。
置信区间的计算公式是：p± Z √p（1 p）／ n将数值代入公式：06 ± 1645 √06 （1 06) ／ 200 ，计算得到 053, 067 。
统计学 参数估计
总体服从正态分布,且方差(２) 已知
如果不是正态分布，可由正态分布来近似 (n 30)
2. 使用正态分布统计量 z
x
z
~ N (0,1)
n
3. 总体均值 在1- 置信水平下的置信区间为
s
x z 2
或 x z 2
( 未知)
n
n
总体均值的区间估计
的比例为0.323~0.517
【练习】某保险 解：已知 n=100，p＝25% , 1- =
95%，z/2=1.96
公司欲了解本地
区汽车保险的出
p(1 p)
p z 2
险情况。随机抽
n
查 了 100 辆 机 动
25%(1 25%)
车过去一年的保
25% 1.96
100
单，其中有25份
2. 使用正态分布统计量 z
p
z
~ N (0,1)
(1 )
3.
n
总体比例 在 1- 置信水平下的置信区间为
p (1 - p )
p z 2
n
【例】某所大学想要了解应届毕业生在大
四找到工作的学生中女生所占的比例，随
机抽取了100名找到工作的应届毕业生，其
中42人为女生。试以95%的置信水平估计该
保单பைடு நூலகம்出险记录
16.51%,33.49%
。 试 以 95% 的 置
该城市下岗职工中女性比例的置
信度估计该地区
信区间为16.51%~33.49%
汽车保险出险率
的置信区间。
三、总体方差的区间估计
总体方差的区间估计
1. 估计一个总体的方差或标准差
参数估计习题及答案
参数估计习题及答案参数估计习题及答案在统计学中，参数估计是一种重要的技术，用于根据样本数据估计总体的未知参数。
参数估计的目标是通过样本数据推断总体参数的取值范围，并得到一个接近真实值的估计。
本文将通过几个习题来探讨参数估计的方法和应用。
习题一：某研究人员想要估计某种新药对病人的治疗效果。
他从一家医院中随机选取了100名患者，并将他们随机分为两组，一组接受新药治疗，另一组接受传统药物治疗。
研究人员希望通过样本数据估计新药的治疗效果是否显著优于传统药物。
解答：在这个问题中，我们需要估计两个总体的治疗效果，即新药组和传统药物组的平均治疗效果。
为了估计这两个总体的差异，我们可以使用两个独立样本的 t检验。
假设新药组的平均治疗效果为μ1，传统药物组的平均治疗效果为μ2。
我们的零假设是H0: μ1 = μ2，备择假设是H1: μ1 > μ2。
通过计算样本均值和标准差，我们可以得到 t 统计量的值，并进行假设检验。
习题二：某公司的销售部门想要估计他们的销售额与广告投入之间的关系。
他们收集了过去一年的数据，包括每个月的广告投入和销售额。
现在他们希望通过样本数据来估计广告投入对销售额的影响程度。
解答：在这个问题中，我们需要估计两个变量之间的关系，即广告投入和销售额之间的线性关系。
为了估计这个关系，我们可以使用简单线性回归模型。
假设广告投入为 x，销售额为 y。
我们的回归模型可以表示为y = β0 + β1x + ε，其中β0 和β1 是回归系数，ε 是误差项。
通过最小二乘法，我们可以估计回归系数的值，并进行假设检验来判断广告投入对销售额的影响是否显著。
习题三：某研究人员想要估计某个城市的人口数量。
他从该城市的不同地区随机选取了若干个样本点，并统计了每个样本点的人口数量。
现在他希望通过样本数据估计整个城市的人口数量。
解答：在这个问题中，我们需要估计一个总体的数量，即整个城市的人口数量。
为了估计这个数量，我们可以使用抽样调查的方法。
参数估计的置信区间例题和知识点总结
参数估计的置信区间例题和知识点总结在统计学中，参数估计的置信区间是一个非常重要的概念，它为我们提供了对未知参数的一个可能取值范围的估计，并带有一定的置信水平。
接下来，我们将通过一些例题来深入理解置信区间，并对相关知识点进行总结。
一、置信区间的基本概念置信区间是指由样本统计量所构造的总体参数的估计区间。
在统计学中，常用的置信水平有90%、95%和99%。
以95%的置信水平为例，这意味着如果我们重复抽样多次，每次都计算一个置信区间，那么大约 95%的置信区间会包含真实的总体参数。
置信区间的计算公式通常为：样本统计量 ±（临界值 ×标准误差）其中，临界值是根据置信水平和样本分布确定的，标准误差则反映了样本统计量的离散程度。
二、例题解析假设我们对某一班级学生的数学考试成绩进行抽样调查，抽取了 50 名学生的成绩，样本均值为 80 分，样本标准差为 10 分。
我们要估计总体均值的 95%置信区间。
首先，计算标准误差：标准误差＝样本标准差／√样本数量＝ 10 ／√50 ≈ 141对于 95%的置信水平，对应的临界值（Z 值）约为 196。
则置信区间为：80 ±（196 × 141）即 80 ± 276所以，总体均值的 95%置信区间为（7724，8276）这意味着我们有 95%的把握认为总体均值在 7724 分到 8276 分之间。
再来看一个关于比例的例子。
假设在一项关于某种产品满意度的调查中，随机抽取了 200 个消费者，其中有 120 人表示满意。
我们要估计总体满意比例的 90%置信区间。
样本比例 p ＝ 120 ／ 200 ＝ 06标准误差＝√p(1 p) ／ n ＝√06 × （1 06) ／200 ≈ 0035对于 90%的置信水平，对应的临界值（Z 值）约为 1645。
置信区间为：06 ±（1645 × 0035）即 06 ± 0057所以，总体满意比例的 90%置信区间为（0543，0657）这表示我们有 90%的信心认为总体中对该产品满意的比例在 543%到 657%之间。
统计学参数估计
用样本的
k
阶中心矩
Bk
1 n
n
X
i 1
X
k
去估计总体
的k阶中心矩 E[ X E( X )]k;
并由此得到未知参数的估计量 .
5-25
设总体 X 的分布函数为F x；1，2， ，m ,
1，2， ，m 是 m 个待估计的未知参数 . 设
m E( X m ) 存在，对任意 k , k 1，2， ，m
i 1
在ˆ ˆ1,ˆ2, ,ˆm 处达到最大，则称ˆ1,ˆ2, ,ˆm
分别为1,2, ,m的极大似然估计量.
5-33
n
由于 ln L ln p xi；
i 1
ln L 与 L 有相同的极大值点 .因此，ˆ 为
极大似然估计的必要条件为
ln L
i
ˆ 0
i 1，2， ，m
称它为似然方程, 其中 1,2,...,m .
5-3
在上例中，假如随机抽取了一个容量为30的样本：
平均年薪
是否参加培训
49094.3
是
53263.9
是
49643.5
否
…
…
根据该样本求得的年薪样本平均数、标准差及参加过 培训计划人数的比例分别为：
x xi / n 1554420/ 30 51814.00
s (xi x)2 /(n 1) 325009260 / 29 3347.72
知参n数， X1，X2， ，Xn 的分布律(或分布密度)
为 p xi； ,当给定样本值 x1，x2， ，xn 后，
i 1
它只是参数 的函数，记为 L ，即 n L p xi； i 1
则称 L 为似然函数，似然函数实质上是样本的
参数估计-例题讲解
参数估计——借助假设检验操作结果一、单样本总体均值的区间估计1二、两独立样本总体均值差的区间估计2三、两匹配样本总体均值差的区间估计4四、单样本总体比率区间估计5五、两个独立样本总体比率差区间估计6一、单样本总体均值的区间估计例题：学校网管中心为合理制定校园网络管理条例，需要掌握每天全校学生的平均上网时间。
但由于时间与人力限制，无法就全校10000名学生展开全面调查，因而也无从计算每天全校学生平均上网时间的具体数值。
为此，网管中心从全校10000名学生中随机抽取了36名学生，调查他们每天的上网时间，获得样本数据。
由于SPSS软件直接面对的是样本数据，默认为总体方差总是未知的，所以总体均值的区间估计在SPSS中都是通过构造统计量来完成。
SPSS软件中，实现单样本总体均值区间估计的过程是单样本检验（One-Sample T Test）。
针对表中36名学生每天上网时间的样本数据（见所附数据集“data5_01 36名学生每天上网时间样本数据”），以95%的保证程度进行总体均值的区间估计。
/2x t nασ±⋅SPSS 操作：单样本检验检验值 = 0t 自由度显著性 （双尾）平均差 差值的 95% 置信区间下限 上限 上网时间12.36535.0003.31666672.7721423.861192差值的95%的置信区间就是：/2x t nασ±⋅差值xi →(xi-0)，则差值(xi-0)的95%置信区间就是xi 的置信区间 方法二：描述性分析—探索二、两独立样本总体均值差的区间估计例题：SPSS 中，实现均值差区间估计的过程也是独立样本t 检验（Independent-Samples T Test ）。
将表5-2 的数据输入到SPSS 数据窗口中，并分别设置变量“score ”和“school ”的各种属性，其中school 是分类变量，1 代表经济学院，2 代表统计学院，以95%的置信度进行总体均值差的区间估计（见所附数据集“data5_02 经济学院与统计学院各10名学生的数学成绩”）221212/212()s s x x t n n α-±+SPSS 操作：（ 1 ） 打开数据文件， 点击Analyze （ 分析） →Compare Means （ 比较均值）→Independent-Samples T Test （ 独立样本t 检验）， 系统弹出如图5-15 所示的“Independent-Samples T Test ” （独立样本t 检验）对话框。
参数点估计的例题
参数点估计的例题参数点估计是统计学中的一个重要概念，它是指利用样本数据来估计总体参数的值。
在实际应用中，我们经常需要对某些未知参数进行估计，例如对某种产品的平均寿命、某种药物的有效成分含量等进行估计。
本文将通过一个例题来介绍参数点估计的基本概念和方法。
假设某种药物的有效成分含量服从正态分布，现在我们有一批来自同一批次的药物样本，样本容量为n，样本均值为x̄，样本标准差为s。
我们的目标是估计该药物的总体平均含量μ。
根据中心极限定理，当样本容量n足够大时，样本均值x̄的分布近似于正态分布，且其均值为总体平均含量μ，标准差为总体标准差σ除以样本容量n的平方根，即σ/√n。
因此，我们可以使用样本均值x̄作为总体平均含量μ的点估计，即：μ̄ = x̄此外，根据样本标准差s的定义，我们可以得到样本方差s²的表达式：s²= Σ(xi - x̄)² / (n - 1)其中，xi表示第i个样本的含量值。
根据样本方差的定义，我们可以得到样本标准差s的表达式：s = √(Σ(xi - x̄)² / (n - 1))由于样本标准差s的分布未知，因此我们需要使用样本标准差s作为总体标准差σ的点估计。
然而，由于样本标准差s的计算中包含样本均值x̄，因此使用s作为σ的点估计会导致估计值的偏小。
为了解决这个问题，我们可以使用样本标准差的无偏估计s'，即：s' = √(Σ(xi - x̄)² / n)使用s'作为σ的点估计，即：σ̄ = s'综上所述，对于某种药物的有效成分含量，我们可以使用样本均值x̄和样本标准差的无偏估计s'分别作为总体平均含量μ和总体标准差σ的点估计。
当样本容量n足够大时，这些点估计具有较高的精度和可靠性，可以用于对总体参数进行估计和推断。
参数点估计例题
参数点估计例题
以下是一个参数点估计的例题:
假设你正在研究一种药物的疗效，并且你想估计该药物的平均疗效。
你已经收集了一定数量的样本数据，并且这些数据可以按照随机顺序进行研究。
现在你打算使用样本数据来进行参数点估计。
假设你收集了 n 个样本数据，每个样本数据包括 i 个治疗组和j 个对照组。
在这种情况下，你可以使用样本数据来计算药物的平均疗效。
设药物的平均疗效为α，标准差为σ，并且你希望估计α的标准差。
在这种情况下，你可以使用样本数据来计算α的估计值。
具体来说，你可以使用以下公式来计算α的估计值:
αest = (α + σ/√n) / 2
其中，α是你想要估计的参数，σ是你想要估计的标准差，n 是你收集的样本数据的数量。
例如，如果你收集了 10 个样本数据，每个样本数据包括 3 个治疗组和 2 个对照组，那么你可以使用以下公式来计算α的估计值: αest = (α + σ/√10) / 2
其中，α是你想要估计的参数，σ是你想要估计的标准差，10 是收集的样本数据的数量。
注意，在计算估计值时，你需要使用样本数据来计算参数的估计值，而不是使用估计量。
这是因为参数的估计值是基于样本数据计算
出来的，而不是基于估计量计算出来的。
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参数估计-例题讲解
参数估计——借助假设检验操作结果
一、单样本总体均值的区间估计 (2)
二、两独立样本总体均值差的区间估计 (3)
三、两匹配样本总体均值差的区间估计 (5)
四、单样本总体比率区间估计 (6)
五、两个独立样本总体比率差区间估计 (7)
一、单样本总体均值的区间估计
例题：
学校网管中心为合理制定校园网络管理条例，需要掌握每天全校学生的平均上网时间。
但由于时间及人力限制，无法就全校10000名学生展开全面调查，因而也无从计算每天全校学生平均上网时间的具体数值。
为此，网管中心从全校10000名学生中随机抽取了36名学生，调查他们每天的上网时间，获得样本数据。
由于SPSS软件直接面对的是样本数据，默认为总体方差总是未知的，所以总体均值的区间估计在SPSS中都是通过构造统计量来完成。
SPSS软件中，实现单样本总体均值区间估计的过程是单样本检验（One-Sample T Test）。
针对表中36名学生每天上网时间的样本数据（见所附数据集“data5_01 36名学生每天上网时间样本数据”），以95%的保证程度进行总体均值的区间估计。
/2 x t
n
ασ
±⋅
SPSS操作：
单样本检验
检验值= 0
t 自由度显著性（双尾）平均差差值的95% 置信区间下限上限
上网时间12.365 35 .000 3.3166667 2.772142 3.861192
差值的95%的置信区间就是：
/2
x t
n
α
σ±⋅
差值xi→(xi-0)，则差值(xi-0)的95%置信区间就是xi的置信区间方法二：
描述性分析—探索
二、两独立样本总体均值差的区间估计
例题：
SPSS 中，实现均值差区间估计的过程也是独立样本t 检验（Independent-Samples T Test ）。
将表5-2 的数据输入到SPSS 数据窗口中，并分别设置变量“score ”和“school ”的各种属性，其中school 是分类变量，1 代表经济学院，2 代表统计学院，以95%的置信度进行总体均值差的区间估计（见所附数据集“data5_02 经济学院与统计学院各10名学生的数学成绩”）
22
12
12/212
()s s x x t n n α-±⋅+
SPSS 操作：
（ 1 ） 打开数据文件， 点击Analyze （ 分析） →Compare Means （ 比较均值）→Independent-Samples T Test （ 独立样本t 检验）， 系统弹出如图5-15 所示的“Independent-Samples T Test ” （独立样本t 检验）对话框。
（2）选择变量“score ”进入Test Variable(s)（检验变量）框内，选择变量“school ”进入Grouping Variable （分组变量）框内。
点击“Define Groups... （定义组）”按钮，系统弹出如图5-16 所示的Define Groups （定义组）对话框。
在“Groups1:”（组1）框中填入数字1，在“Groups2:”（组2）框中填入数字2，用以指定分组。
然后，点击Continue （继续）。
（3）点击Options （选项）按钮，在系统弹出的Independent-Samples T Test （独立样本t 检验）: Options （选项）对话框中的“Confidence interval: （置信区间百分比）”内给定95%的置信度。
（4）点击Continue （继续）→OK （确定）。
系统输出结果图所示。
列文方差相等
性检验
平均值相等性的 t 检验
F 显著
性 t 自由度 显著性
（双尾）
平均差
标准误差差值
差值的 95%
置信区间 下限
上限
数学成绩
已假设方
差齐性 .029
.868
-.544
18
.593 -3.400 6.249 -16.528 9.728
未假设方差齐性
-.544 17.996 .593 -3.400 6.249 -16.529 9.729
三、两匹配样本总体均值差的区间估计
例题：
SPSS 中，实现两个匹配样本总体均值差的区间估计过程是匹配样本t 检验（Paired-Samples T Test ）。
针对表5-3 中由6 名工人分别使用两种不同方法完成任务的时间，所构造的匹配样本数据如图5-18 所示，共包括“method1”和“method2”两个数值型变量。
以95%的置信度，进行匹配样本总体均值差的区间估计的过程如下。
“data5_03 匹配方案的任务完成时间”
/2d
d t n
ασ±⋅
SPSS 操作：
（1）打开数据文件，选择Analyze （分析）→Compare Means （比较均值）→Paired-Samples T Test （配对样本t 检验）；
（2）在如图所示的“Paired-Samples T Test （配对样本t 检验）”对话框中，依次选择变量“method1”和“method2”进入“Paired Variables: （成对变量）”框内；
（3）点击“Options （选项）”按钮，在系统弹出的“Paired-Samples T Test: Options （配对样本t 检验：选项）”对话框中，给定95%的置信度；
（4）点击Continue （继续）→OK （确定）。
系统输出结果如图。
配对差值
t
自由度 显著性
（双尾）
平均值(E)
标准偏
差
标准误差平均值
差值的 95%
置信区间 下限
上限
配对 1
方法1的完成时间 - 方法2的完成时间
.3000 .3347 .1366 -.0512 .6512 2.196 5 .080
四、单样本总体比率区间估计
例题：
为了解在校学生英语六级的考试通过率情况，某大学从该校某次参加六级考试的全部学生中随机抽取100 名学生进行调查，其中有36 名通过了英语六级考试。
试以95%的置信度估计该校学生通过英语六级考试人数的比率。
在SPSS 中，可以利用独立样本t 检验（Independent-Samples T Test ）过程来实现单个样本总体比率的区间估计问题。
data5_04 通过英语六级考试
/2(1)
p p p Z n
α-±⋅
SPSS 操作：
（1）打开数据文件，选择Analyze （分析）→Compare Means （比较均值）→One-Sample T Test （单样本t 检验）；
（2）在如图5-24所示的“One-Sample T Test （单样本t 检验）”对话框中，选择变量“exam ”进入“Test Variable(s):（检验变量）”框内；
（3）点击“Options （选项）”按钮，在系统弹出的“One-Sample T Test: Options （单样本t 检验：选项）”对话框中，给定95%的置信度；
（4）点击Continue （继续）→OK （确定）。
系统输出结果如图。
检验值 = 0
t 自由度
显著性 （双尾）
平均差
差值的 95% 置信区间
下限
上限
通过六级考试
7.462
99
.000
.360
.26
.46
五、两个独立样本总体比率差区间估计
例题：
从两批产品中各随机抽取100 件进行检查，结果第一批产品样本的合格率为95%，第二批产品样本的合格率为90%。
试以95%的置信度估计两批产品合格率之差。
112212/212
(1)(1)
()p p p p p p Z n n α---±+
data5_05 两批产品的合格率
SPSS 操作：
在SPSS 中，实现两个独立样本总体比率差的区间估计也是利用独立样本t 检验（Independent-Samples T Test ）过程。
（ 1 ） 打开数据文件， 选择Analyze （ 分析） →Compare Means （ 比较均值）→Independent-Samples T Test （独立样本t 检验）；
（2）在如图5-27所示的“Independent-Samples T Test （独立样本t 检验）”对话框中，选择变量“qualified ”进入“Test Variable(s):（检验变量）”框内；
（3）点击“Options （选项）”按钮，在系统弹出的“Independent-Samples T Test: Options （独立样本t 检验：选项）”对话框中，设定95%的置信度；
（4）点击Continue （继续）→OK （确定）。
系统输出结果如图
列文方差相等
性检验平均值相等性的t 检验
F 显著
性t 自由度
显著性
（双尾）
平均
差
标准误差
差值
差值的95%
置信区间
下限上限
是否合格已假设方
差齐性
7.445 .007 1.342 198 .181 .050 .037 -.023 .123 未假设方
差齐性
1.342 180.733 .181 .050 .037 -.024 .124。