相似三角函数
专题04 三角函数与相似(解析版)
九年级数学下册解法技巧思维培优专题04 三角函数与相似【典例1】（2019•南岸区校级月考）如图，点A 是双曲线y =k x 上一点，过A 作AB ∥x 轴，交直线y ＝﹣x 于点B ，点D 是x 轴上一点，连接BD 交双曲线于点C ，连接AD ，若BC ：CD ＝3：2，△ABD 的面积为114，tan ∠ABD =95，则k 的值为（ ）A ．﹣2B ．﹣3C ．−34D ．34【点拨】如图作BH ⊥OD 于H ．延长BA 交y 轴于E ．由tan ∠ABD ＝tan ∠BDH =95，设DH ＝5m ，BH ＝9m ，则BH ＝BE ＝9m ，OD ＝4m ，推出C （﹣6m ，185m ），推出A （−125m ，9m ），由△ABD 的面积为114，推出12×335m ×9m =114，可得m 2=554，推出k ＝﹣6m ×185m ＝﹣2； 【解析】解：如图作BH ⊥OD 于H ．延长BA 交y 轴于E ．∵AB ∥DH ，∴∠ABD ＝∠BDH ，∴tan ∠ABD ＝tan ∠BDH =95，设DH ＝5m ，BH ＝9m ，则BH ＝BE ＝9m ，OD ＝4m ，∴C （﹣6m ，185m ），∴A （−125m ，9m ）， ∵△ABD 的面积为114， ∴12×335m ×9m =114， ∴m 2=554，∴k ＝﹣6m ×185m ＝﹣2， 故选：A ．【典例2】（2019•潍坊期末）如图，反比例函数y =2x 的图象上有一动点A ，连接AO 并延长交图象的另一支于点B ，在第二象限内有一点C ，满足AC ＝BC ，当点A 运动时，点C 始终在函数y =k x 的图象上运动，tan ∠CAB ＝2，则k ＝ ﹣8 ．【点拨】连接OC ，过点A 作AE ⊥x 轴于点E ，过点C 作CF ⊥y 轴于点F ，通过角的计算找出∠AOE ＝∠COF ，结合“∠AEO ＝90°，∠CFO ＝90°”可得出△AOE ∽△COF ，根据相似三角形的性质得出比例式，再由tan ∠CAB ＝2，可得出CF •OF 的值，进而得到k 的值．【解析】解：如图，连接OC ，过点A 作AE ⊥x 轴于点E ，过点C 作CF ⊥y 轴于点F ，∵由直线AB 与反比例函数y =2x 的对称性可知A 、B 点关于O 点对称，∴AO ＝BO ．又∵AC ＝BC ，∴CO ⊥AB ．∵∠AOE +∠AOF ＝90°，∠AOF +∠COF ＝90°，∴∠AOE ＝∠COF ，又∵∠AEO ＝90°，∠CFO ＝90°，∴△AOE ∽△COF ，∴AE CF =OE OF =AO CO ，∵tan ∠CAB =OC OA=2， ∴CF ＝2AE ，OF ＝2OE ．又∵AE •OE ＝2，CF •OF ＝|k |，∴k ＝±8．∵点C 在第二象限，∴k ＝﹣8，故答案为﹣8．【典例3】（2019•大兴区期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直角三角形的直角顶点与原点O 重合，顶点A ，B 恰好分别落在函数y =−1x （x ＜0），y =4x （x ＞0）的图象上，则tan ∠ABO 的值为 12 ．【点拨】点A ，B 落在函数y =−1x （x ＜0），y =4x （x ＞0）的图象上，根据反比例函数的几何意义，可得直角三角形的面积；根据题意又可知这两个直角三角形相似，而相似比恰好是直角三角形AOB 的两条直角边的比，从而得出答案．【解析】解：过点A 、B 分别作AD ⊥x 轴，BE ⊥x 轴，垂足为D 、E ，∵点A 在反比例函数y =−1x （x ＜0）上，点B 在y =4x （x ＞0）上，∴S △AOD =12，S △BOE ＝2，又∵∠AOB ＝90°∴∠AOD ＝∠OBE ，∴△AOD ∽△OBE ，∴（AO OB ）2=S △AOD S △OBE ， ∴AO OB =12，在RtAOB 中，tan ∠ABO =AO OB =12，故答案为12．【典例4】（2019•广州）如图，在平面直角坐标系xOy 中，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点P （﹣1，2），AB⊥x轴于点E，正比例函数y＝mx的图象与反比例函数y=n−3x的图象相交于A，P两点．（1）求m，n的值与点A的坐标；（2）求证：△CPD∽△AEO；（3）求sin∠CDB的值．【点拨】（1）根据点P的坐标，利用待定系数法可求出m，n的值，联立正、反比例函数解析式成方程组，通过解方程组可求出点A的坐标（利用正、反比例函数图象的对称性结合点P的坐标找出点A的坐标亦可）；（2）由菱形的性质可得出AC⊥BD，AB∥CD，利用平行线的性质可得出∠DCP＝∠OAE，结合AB⊥x 轴可得出∠AEO＝∠CPD＝90°，进而即可证出△CPD∽△AEO；（3）由点A的坐标可得出AE，OE，AO的长，由相似三角形的性质可得出∠CDP＝∠AOE，再利用正弦的定义即可求出sin∠CDB的值．【解析】（1）解：将点P（﹣1，2）代入y＝mx，得：2＝﹣m，解得：m＝﹣2，∴正比例函数解析式为y＝﹣2x；将点P（﹣1，2）代入y=n−3x，得：2＝﹣（n﹣3），解得：n ＝1，∴反比例函数解析式为y =−2x ．联立正、反比例函数解析式成方程组，得：{y =−2xy =−2x，解得：{x 1=−1y 1=2，{x 2=1y 2=−2， ∴点A 的坐标为（1，﹣2）．（2）证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AB ∥CD ，∴∠DCP ＝∠BAP ，即∠DCP ＝∠OAE ．∵AB ⊥x 轴，∴∠AEO ＝∠CPD ＝90°，∴△CPD ∽△AEO ．（3）解：∵点A 的坐标为（1，﹣2），∴AE ＝2，OE ＝1，AO =2+OE 2=√5．∵△CPD ∽△AEO ，∴∠CDP ＝∠AOE ，∴sin ∠CDB ＝sin ∠AOE =AE AO =5=2√55．【典例5】（2019•肥城市模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=mx(m≠0)的图象交于A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（n，6），点C的坐标为（﹣2，0），且tan∠ACO＝2．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）求点B的坐标；（3）在x轴上是否存在点E，使|AE﹣BE|有最大值？如果存在，请求出点E坐标；若不存在，请说明理由．【点拨】（1）过点A作AD⊥x轴于点D，由点A，C的坐标结合tan∠ACO＝2可求出n的值，进而可得出点A的坐标，根据点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出m的值，进而可得出反比例函数解析式，再根据点A，C的坐标，利用待定系数法可求出一次函数的解析式；（2）联立一次函数及反比例函数解析式成方程组，通过解方程组可求出点B的坐标；（3）作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于点E，利用两边之差小于第三边可得出此时|AE ﹣BE|取得最大值，由点B的坐标可得出点B′的坐标，根据点A，B′的坐标，利用待定系数法可求出直线AB ′的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出当|AE ﹣BE |取得最大值时点E 的坐标．【解析】解：（1）过点A 作AD ⊥x 轴于点D ，如图1所示．∵点A 的坐标为（n ，6），点C 的坐标为（﹣2，0），∴AD ＝6，CD ＝n +2．又∵tan ∠ACO ＝2，∴AD CD =6n+2=2，∴n ＝1，∴点A 的坐标为（1，6）．∵点A 在反比例函数y =m x (m ≠0)的图象上，∴m ＝1×6＝6，∴反比例函数的解析式为y =6x ．将A （1，6），C （﹣2，0）代入y ＝kx +b ，得：{k +b =6−2k +b =0，解得：{k =2b =4， ∴一次函数的解析式为y ＝2x +4．（2）联立一次函数及反比例函数解析式成方程组，得：{y =2x +4y =6x， 解得：{x 1=−3y 1=−2，{x 2=1y 2=6， ∴点B 的坐标为（﹣3，﹣2）．（3）作点B 关于x 轴的对称点B ′，连接AB ′交x 轴于点E ，此时|AE ﹣BE |取得最大值，如图2所示． ∵点B 的坐标为（﹣3，﹣2），∴点B ′的坐标为（﹣3，2）．设直线AB ′的解析式为y ＝ax +c （a ≠0），将A （1，6），B ′（﹣3，2）代入y ＝ax +c ，得：{a +c =6−3a +c =2，解得：{a =1c =5， ∴直线AB ′的解析式为y ＝x +5．当y ＝0时，x +5＝0，解得：x ＝﹣5，∴在x 轴上存在点E （﹣5，0），使|AE ﹣BE |取最大值．【典例6】（2019•南岸区校级期末）如图，已知一次函数y 1＝k 1x +6与反比例函数y 2=k 2x相交于A 、B ，与x 轴交于点C ，过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，已知sin ∠DBC =√55，OC ：CD ＝3：1．（1）求y 1和y 2的解析式；（2）连接OA ，OB ，求△AOB 的面积．【点拨】（1）根据平行线的性质得到BD OE =CD OC =13，求出BD ，根据正弦的概念求出CD 、BC ，利用待定系数法求出函数解析式；（2）求出A 、B 的纵坐标，根据三角形的面积公式计算即可．【解析】解：（1）y 1＝k 1x +6与y 轴的交点E 的坐标为（0，6）， ∴OE ＝6，∵BD ⊥x 轴，∴OE ∥BD ，∴BD OE =CD OC =13，∴BD ＝2，∵sin ∠DBC =√55，∴设CD =√5x ，则BC ＝5x ，由勾股定理得，（5x ）2＝（√5x ）2+4，解得，x =√55，则CD =√5x ＝1，则BC ＝5x =√5，∴点B 的坐标为（4，﹣2），﹣2＝k 1×4+6， 解得，k 1＝﹣2，则y 1＝﹣2x +6，y 2=−8x ； （2）{y =−8xy =−2x +6，解得，{x 1=−1y 1=8，{x 2=4y 2=−2，则△AOB 的面积=12×3×8+12×3×2＝15．【典例7】（2019•长寿区模拟）已知直线y ＝kx +b 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，与反比例函数y =ax 交于一象限内的P （12，n ），Q （4，m ）两点，且tan ∠BOP =18．（1）求双曲线和直线AB 的函数表达式； （2）求△OPQ 的面积；（3）当kx +b ＞a x时，请根据图象直接写出x 的取值范围．【点拨】（1）过P 作PC ⊥y 轴于C ，由P （12，n ），得到OC ＝n ，PC =12，根据三角函数的定义得到P（12，4），于是得到反比例函数的解析式为y =2x ，Q （4，12），解方程组即可得到直线的函数表达式为y＝﹣x +92；（2）过Q 作OD ⊥y 轴于D ，于是得到S △POQ ＝S 四边形PCDQ =638； （3）观察图象可得结果．【解析】解：（1）过P 作PC ⊥y 轴于C ，∵P （12，n ），∴OC ＝n ，PC =12，∵tan ∠BOP =18，∴n ＝4，∴P （12，4），设反比例函数的解析式为y =ax，∴a ＝4，∴反比例函数的解析式为y =2x ，∴Q （4，12），把P （12，4），Q （4，12）代入y ＝kx +b 中得，{4=12k +b12=4k +b， ∴{k =−1b =92， ∴直线的函数表达式为y ＝﹣x +92； （2）过Q 作QD ⊥y 轴于D ，则S △POQ ＝S 四边形PCDQ =12×（12+4）×（4−12）=638；（3）由图象知，当﹣x +92＞2x 时，12＜x ＜4或x ＜0巩固练习1．（2019•永春县校级自主招生）如图，点A 、B 是反比例函数y =k x（k ≠0）图象上的两点，延长线段AB 交y 轴于点C ，且点B 为线段AC 中点，过点A 作AD ⊥x 轴于点D ，点E 为线段OD 的三等分点，且OE ＜DE ．连接AE 、BE ，若S △ABE ＝7，则k 的值为（ ）A ．﹣12B ．﹣10C ．﹣9D ．﹣6【点拨】设A （m ，km），C （0，n ），则D （m ，0），E （13m ，0），由AB ＝BC ，推出B （m 2，k m+n 2），根据点B 在y =kx 上，推出m 2•km +n 2=k ，可得mn ＝3k ，连接EC ，OA ．因为AB ＝BC ，推出S △AEC ＝2•S △AEB＝14，根据S △AEC ＝S △AEO +S △ACO ﹣S △ECO ，构建方程即可解决问题； 【解析】解：设A （m ，km），C （0，n ），则D （m ，0），E （13m ，0），∵AB ＝BC ，∴B （m 2，km+n 2），∵点B 在y =kx 上，∴m 2•km +n2=k ， ∴k +mn ＝4k ， ∴mn ＝3k ， 连接EC ，OA ． ∵AB ＝BC ，∴S △AEC ＝2•S △AEB ＝14， ∵S △AEC ＝S △AEO +S △ACO ﹣S △ECO ，∴14=12•（−13m）•km+12•n•（﹣m）−12•（−13m）•n，∴14=−16k−3k2+k2，∴k＝﹣12．故选：A．2．（2019•渭滨区期末）如图，已知点A，B分别是反比例函数y=kx（x＜0），y=1x（x＞0）的图象上的点，且∠AOB＝90°，tan∠BAO=12，则k的值为﹣4．【点拨】首先过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，易得△OBD∽△AOC，又由点A，B分别在反比例函数y=kx（x＜0），y=1x（x＞0）的图象上，即可得S△OBD=12，S△AOC=12|k|，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求出k的值．【解析】解：过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，∴∠ACO＝∠ODB＝90°，∴∠OBD +∠BOD ＝90°， ∵∠AOB ＝90°， ∴∠BOD +∠AOC ＝90°， ∴∠OBD ＝∠AOC ， ∴△OBD ∽△AOC ，又∵∠AOB ＝90°，tan ∠BAO =12， ∴OB AO=12，∴S △BOD S △OAC=14，即12×112|k|=14，解得k ＝±4， 又∵k ＜0， ∴k ＝﹣4， 故答案为﹣4．3．（2019•东城区校级期中）如图，反比例函数y =3x 的图象上有一动点A ，连接AO 并延长交图象的另一支于点B ，在第二象限内有一点C ，满足AC ＝BC ，当点A 运动时，点C 始终在函数y =kx 的图象上运动，tan ∠CAB ＝2，则k ＝ ﹣12 ．【点拨】连接OC ，作CM ⊥x 轴于M ，AN ⊥x 轴于N ，如图，利用反比例函数的性质得OA ＝OB ，根据等腰三角形的性质得OC ⊥AB ，利用正切的定义得到COAO=2，再证明Rt △OCM ∽Rt △OAN ，利用相似的性质得S △COM S △OAN=4，然后根据k 的几何意义求k 的值．【解析】解：连接OC ，作CM ⊥x 轴于M ，AN ⊥x 轴于N ，如图， ∵A 、B 两点为反比例函数与正比例函数的两交点， ∴点A 、点B 关于原点对称， ∴OA ＝OB ， ∵CA ＝CB ， ∴OC ⊥AB ，在Rt △AOC 中，tan ∠CAO =COOA =2，∵∠COM +∠AON ＝90°，∠AON +∠OAN ＝90°， ∴∠COM ＝∠OAN ， ∴Rt △OCM ∽Rt △OAN ，∴S △COM S △OAN=（COAO）2＝4，而S △OAN =12×3=32，∴S △CMO ＝6，∵12|k |＝6， 而k ＜0， ∴k ＝﹣12． 故答案为﹣12．4．（2019•罗湖区期末）如图，在矩形OABC 中，OA ＝3，OC ＝4，分别以OA 、OC 所在直线为x 轴、y 轴，建立平面直角坐标系，D 是边CB 上的一个动点（不与C 、B 重合），反比例函数y =kx （k ＞0）的图象经过点D 且与边BA 交于点E ，作直线DE ．（1）当点D 运动到BC 中点时，求k 的值；（2）求BD BE的值；（3）连接DA ，当△DAE 的面积为43时，求k 值．【点拨】（1）由OA ，OC 的长度结合矩形的性质可得出BC 的长度及点B 的坐标，根据点D 为边BC 的中点可得出CD 的长度，进而可得出点D 的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k 值； （2）由OA ，OC 的长度利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出点D ，E 的坐标，进而可得出BD ，BE 的长度，二者相比后即可得出BD BE的值；（3）由（2）可得出AE ，BD 的长度，由三角形的面积公式结合S △DAE =43即可得出关于k 的一元二次方程，解之即可得出k 值．【解析】解：（1）∵OA ＝3，OC ＝4，四边形OABC 为矩形， ∴BC ＝OA ＝3，点B 的坐标为（3，4）． ∵点D 为边BC 的中点，∴CD =12BC =32， ∴点D 的坐标为（32，4）．又∵点D 在反比例函数y =kx （k ＞0）的图象上， ∴k =32×4＝6． （2）∵点D ，E 在反比例函数y =kx （k ＞0）的图象上， ∴点D 的坐标为（k4，4），点E 的坐标为（3，k3）．又∵点B 的坐标为（3，4），∴BD ＝3−k4，BE ＝4−k3，∴BD BE=3−k 44−k 3=34．（3）由（2）可知：AE =k 3，BD ＝3−k4， ∴S △DAE =12AE •BD =12×k3×（3−k4）=43， 整理，得：k 2﹣12k +32＝0， 解得：k 1＝4，k 2＝8，∴当△DAE 的面积为43时，k 的值为4或8．5．（2019•郫都区模拟）如图，直线AB ：y ＝kx +b 与x 轴、y 轴分别相交于点A （1，0）和点B （0，2），以线段AB 为边在第一象限作正方形ABCD ． （1）求直线AB 的解析式； （2）求点D 的坐标；（3）若双曲线y =kx （k ＞0）与正方形的边CD 始终有一个交点，求k 的取值范围．【点拨】（1）根据点A ，B 的坐标，利用待定系数法可求出直线AB 的解析式；（2）作DF ⊥x 轴于F ，易证△ADF ≌△BAO （AAS ），利用全等三角形的性质可求出点D 的坐标；（3）同（2）可求出点C 的坐标，利用极限值法可求出k 的最大、最小值，此题得解．【解析】解：（1）将A （1，0），B （0，2）代入y ＝kx +b ，得：{k +b =0b =2，解得：{k =−2b =2， ∴直线AB 的解析式为y ＝﹣2x +2．（2）作DF ⊥x 轴于F ，则∠AFD ＝90°，∵正方形ABCD ，∴BA ＝AD ，∠BAD ＝90°，∠BAO +∠DAF ＝90°，∵∠BAO +∠ABO ＝90°，∴∠ABO ＝∠DAF ．在△ADF 和△BAO 中，{∠AFD =∠BOA =90°∠DAF =∠ABO AD =BA，∴△ADF ≌△BAO （AAS ），∴AF ＝BO ＝2，DF ＝AO ＝1，∴点D 的坐标为（3，1）．（3）同（2）可得出点C 的坐标为（2，3）．当双曲线过点D 时，k ＝3×1＝3；当双曲线过点C 时，k ＝2×3＝6，∴当双曲线y =k x （k ＞0）与正方形的边CD 始终有一个交点时，k 的取值范围为3≤k ≤6．6．（2019•沙坪坝区校级二模）如图，一次函数y1＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y2=kx（k≠0）的图象交于A、B两点，与x轴、y轴分别交于C、D两点．已知：OA=√10，tan AOC=13，点B的坐标为（32，m）（1）求该反比例函数的解析式和点D的坐标；（2）点M在射线CA上，且MA＝2AC，求△MOB的面积．【点拨】（1）过A作AE⊥x轴于点E，在Rt△AOE中，可根据OA的长求得A点坐标，代入反比例函数解析式可求反比例函数解析式，进一步可求得B点坐标，利用待定系数法可求得直线AB的解析式，则可求得D点坐标；（2）过M作MF⊥x轴于点F，可证得△MFC∽△AEC，可求得MF的长，代入直线AB解析式可求得M点坐标，进一步可求得△MOB的面积．【解析】解：（1）如图1，过A作AE⊥x轴于E，在Rt △AOE 中，tan ∠AOC =AE OE =13，设AE ＝a ，则OE ＝3a ，∴OA =√AE 2+OE 2=√10a ，∵OA =√10，∴a ＝1，∴AE ＝1，OE ＝3，∴A 点坐标为（﹣3，1），∵反比例函数y 2=k x （k ≠0）的图象过A 点，∴k ＝﹣3，∴反比例函数解析式为y 2=−3x ，∵反比例函数y 2=−3x 的图象过B （32，m ）， ∴32m ＝﹣3，解得m ＝﹣2， ∴B 点坐标为（32，﹣2），设直线AB解析式为y＝nx+b，把A、B两点坐标代入可得{−3n+b=132n+b=−2，解得{n=−23b=−1，∴直线AB的解析式为y=−23x﹣1，令x＝1，可得y＝﹣1，∴D点坐标为（0，﹣1）；（2）由（1）可得AE＝1，∵MA＝2AC，∴CACM =1 3，如图2，过M作MF⊥x轴于点F，则△CAE∽△CMF，∴CACM =AEMF=13，∴MF＝3，即M点的纵坐标为3，代入直线AB解析式可得3=−23x﹣1，解得x＝﹣6，∴M点坐标为（﹣6，3），∴S△MOB=12OD•（x B﹣x M）=12×1×（32+6）=154，即△MOB 的面积为154．7．（2019•重庆）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝ax +b （a ≠0）的图象与反比例函数y =k x （k ≠0）的图象交于A 、B 两点，与x 轴交于点C ，过点A 作AH ⊥x 轴于点H ，点O 是线段CH 的中点，AC ＝4√5，cos ∠ACH =√55，点B 的坐标为（4，n ）．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△BCH 的面积．【点拨】（1）首先利用锐角三角函数关系得出HC 的长，再利用勾股定理得出AH 的长，即可得出A 点坐标，进而求出反比例函数解析式，再求出B 点坐标，即可得出一次函数解析式；（2）利用B 点坐标的纵坐标再利用HC 的长即可得出△BCH 的面积．【解析】解：（1）∵AH ⊥x 轴于点H ，AC ＝4√5，cos ∠ACH =√55， ∴HC AC =√55=4√5， 解得：HC ＝4，∵点O 是线段CH 的中点，∴HO ＝CO ＝2，∴AH =√AC 2−HC 2=8，∴A （﹣2，8），∴反比例函数解析式为：y =−16x ，∴B （4，﹣4），∴设一次函数解析式为：y ＝kx +b ， 则{−2k +b =84k +b =−4， 解得：{k =−2b =4， ∴一次函数解析式为：y ＝﹣2x +4；（2）由（1）得：△BCH 的面积为：12×4×4＝8．。
相似三角形在三角函数中的应用
相似三角形在三角函数中的应用相似三角形是指具有相同形状但尺寸不同的两个或多个三角形。
在数学中，相似三角形的性质被广泛应用于各种领域，尤其是在三角函数中。
本文将介绍相似三角形在三角函数中的应用，包括比值定义、角度关系、三角函数图像等方面。
一、比值定义相似三角形的比值定义是指在两个相似三角形中，对应角的正弦、余弦和正切的比值相等，即三角函数的比值定义。
以两个相似三角形ABC和DEF为例，设它们对应的角为A和D，对边分别为a、b和c、d。
根据相似三角形的比值定义可得以下关系：sin(A)/sin(D) = a/dcos(A)/cos(D) = b/dtan(A)/tan(D) = a/b通过比值定义，我们可以根据已知的角度和边长来求解未知的边长或角度，从而应用于实际问题的计算中。
二、角度关系相似三角形的角度关系指的是在两个相似三角形中，对应角的角度相等。
利用相似三角形的角度关系，可以解决一些三角函数的问题。
例如，当一个角的正弦等于另一个角的余弦时，可以通过相似三角形的角度关系推导出两个角的关系式。
这种应用在解三角方程时十分实用。
三、三角函数图像相似三角形的应用还可以扩展到三角函数的图像中。
正弦、余弦和正切函数的图像都是周期性的，可以通过相似三角形来观察和分析其周期性质。
例如，对于正弦函数的图像，当我们将函数图像放大或缩小时，其峰值和谷值的位置以及波长都会发生对应的变化。
这可以通过相似三角形的性质来解释。
当函数图像垂直方向的拉伸或压缩时，可以与相似三角形中对边长度的变化进行类比，从而更好地理解正弦函数图像的性质。
此外，利用三角函数图像的相似性，在解决实际问题时也是相当有效的。
例如，通过比较两个相似三角形在函数图像上的对应点，可以确定在不同的输入值下函数值的关系，从而得出更精确的计算结果。
综上所述，相似三角形在三角函数中有着广泛的应用。
通过比值定义、角度关系和三角函数图像，我们可以解决各种三角函数相关的问题，包括解方程、计算未知边长或角度以及分析函数图像的性质。
相似三角形的三角函数关系
相似三角形的三角函数关系相似三角形是指具有相同形状但大小不同的两个三角形。
在几何学中，相似三角形的三角函数关系起着重要的作用。
本文将详细介绍相似三角形的三角函数关系。
一、相似三角形的定义相似三角形的定义是指两个三角形的对应角相等，并且对应边成比例。
即若三角形ABC与三角形DEF相似，则有∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F，并且AB/DE = BC/EF = AC/DF。
二、正弦函数与相似三角形的关系对于一个直角三角形ABC，其中∠A为直角，BC为斜边，分别定义其两个尖角为∠B和∠C。
假设∠B = α，则∠C = 90° - α。
根据正弦函数的定义，我们可以得到：sin(∠B) = BC/AB，sin(90° - α) = AC/AB。
由于AB是一个恒定值，那么BC/AB与AC/AB之间的比值为常数。
所以，当两个三角形相似时，它们对应角的正弦函数值相等。
三、余弦函数与相似三角形的关系同样以直角三角形ABC为例，根据余弦函数的定义可得：cos(∠B) = AC/AB，cos(90° - α) = BC/AB。
与正弦函数类似，两个相似三角形的对应角的余弦函数值相等，即cos(∠B) = cos(90° - α)。
四、正切函数与相似三角形的关系正切函数是切线与斜边之比，所以对于直角三角形ABC，有tan(∠B) = BC/AB，tan(90° - α) = AC/AB。
同样地，当两个三角形相似时，它们对应角的正切函数值相等，即tan(∠B) = tan(90° - α)。
五、例题分析现在我们通过一个具体的例题来说明相似三角形的三角函数关系。
设有两个相似三角形ABC和DEF，已知AB = 5cm，BC = 8cm，AC = 10cm，且∠B = α。
求∠C和∠A。
根据三角形相似的定义，我们可以得到的比值公式是AB/DE=BC/EF=AC/DF=5/DE。
相似与三角函数(09)
2012—2013学年九年级数学（下）周末复习资料（09）理想文化教育培训中心 学生姓名： 得分:一、知识点梳理：1、等腰三角形：（1）性质：等边对等角；三线合一。
（2）判定：等角对等边。
2、相似三角形：（1）判定：①两角对应相等，两三角形相似；②两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似；③三边对应成比例，两三角形相似；④直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．（2）性质：①对应边成比例，对应角相等； ②对应中线的比，角平分线的比，高的比都等于相似比；③周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.3、直角三角形：（1）勾股定理及逆定理：a 2＋b 2＝c 2（2）锐角三角函数：sinA=c a cosA=c b tanA=b a 特殊角的三角函数值。
（3）解直角三角形：俯角（仰角） ；坡角（坡度、坡比）；方位角。
二、巩固练习：1、（2012江苏徐州）如果等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为【 】A ．9B ．7C ．12D ．9或122、（2012湖北荆门）如图1，△ABC 是等边三角形，P 是∠ABC 的平分线BD 上一点，PE ⊥AB 于点E ，线段BP 的垂直平分线交BC 于点F ，垂足为点Q ．若BF =2，则PE 的长为【 】A ． 2B ． 2C ．D ． 33、（2012浙江湖州）如图2，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AB =10，CD 是AB 边上的中线，则CD 的长是【 】A ．20B ．10C ．5D ．52图（1） 图（2） 图（3） 图（4）4、（2012四川绵阳）已知，如图3，△ABC 中，∠C =90°，tanA =12，D 是AC 上一点，∠CBD =∠A ，则sin ∠ABD =【 】。
A ．35 B ．105 C ．310D ．310105、（2012辽宁本溪）如图 4， 在直角△ABC 中，∠BAC =90°，AB =8，AC =6，DE 是AB 边的垂直平分线，垂足为D ，交边BC 于点E ，连接AE ，则△ACE 的周长为【 】A 、16B 、15C 、14D 、136、（2012浙江杭州）如图5，在Rt △ABO 中，斜边AB =1．若OC ∥BA ，∠AOC =36°，则【 】A ．点B 到AO 的距离为sin 54° B ．点B 到AO 的距离为tan 36°C ．点A 到OC 的距离为sin 36°sin 54°D ．点A 到OC 的距离为cos 36°sin 54°7、（2012四川内江）如图6所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sin A 的值为【 】A .12B .55C .1010D .255 8、（2012湖北咸宁）如图7，正方形OABC 与正方形ODEF 是位似图形，O 为位似中心，相似比为1∶2， 点A 的坐标为(1，0)，则E 点的坐标为【 】．A ．(2，0)B ．(23，23)C ．(2，2)D ．(2，2)9、（2012贵州安顺）某一时刻，身髙1.6m 的小明在阳光下的影长是0.4m ，同一时刻同一地点测得某旗杆的影长是5m ，则该旗杆的高度是【 】A ． 1.25mB ． 10mC ． 20mD ． 8m10、（2012福建福州）如图8，从热气球C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别为30°、45°，如果此时热 气球C 处的高度CD 为100米，点A 、D 、B 在同一直线上，则AB 两点煌距离是【 】A ．200米B ．2003米C ．2203米D ．100(3＋1)米图（5） 图（6） 图（7） 图（8）11、（2012辽宁铁岭）如图，在东西方向的海岸线上有A 、B 两个港口，甲货船从A 港沿北偏东60°的方向以4海里／小时的速度出发，同时乙货船从B 港沿西北方向出发，2小时后相遇在点P 处，问乙货船每小时航行 海里.12、（2012山东滨州）如图，在△ABC 中，AB =AD =DC ，∠BAD =20°，则∠C = °．13、（2012上海市）在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，∠AED=∠B，如果AE=2，△ADE 的面积为4，四边形BCDE 的面积为5，那么AB 的长为 ．14、（2012甘肃白银）如图，已知△ABC 是等边三角形，点D 、F 分别在线段BC 、AB 上，∠EFB =60°，DC =EF ．（1）求证：四边形EFCD 是平行四边形；（2）若BF =EF ，求证：AE =AD ．15、（2012江苏泰州）如图，一居民楼底部B 与山脚P 位于同一水平线上，小李在P 处测得居民楼顶A 的仰角为60°，然后他从P 处沿坡角为45°的山坡向上走到C 处，这时，PC =30 m ，点C 与点A 恰好在同一水平线上，点A 、B 、P 、C 在同一平面内．（1）求居民楼AB 的高度；（2）求C 、A 之间的距离．（精确到0.1m ，参考数据：41.12≈,73.13≈,45.26≈）16、（2012江苏徐州）如图，为测量学校围墙外直立电线杆AB 的高度，小亮在操场上点C 处直立高3m 的竹竿CD ，然后退到点E 处，此时恰好看到竹竿顶端D 与电线杆顶端B 重合；小亮又在点C 1处直立高3m 的竹竿C 1D 1，然后退到点E 1处，此时恰好看到竹竿顶端D 1与电线杆顶端B 重合。
相似三角形及锐角三角函数
九年级数学科辅导讲义（第讲）学生姓名：授课教师：授课时间：一、相关概念：1. 相似图形：形状相同的图形。
2. 相似多边形的性质：对应角相等，对应边成比例。
3. 相似比：相似多边形对应边的比。
二、平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等三、相似三角形的判定✓通过定义（三边对应成比例，三角相等）✓平行于三角形一边的直线✓三边对应成比例（SSS）✓两边对应成比例且夹角相等（SAS）✓两角对应相等（AA）✓两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例（HL）四、相似三角形的性质✓对应角相等。
✓对应边成比例。
✓对应高的比等于相似比。
✓对应中线的比等于相似比。
✓对应角平分线的比等于相似比。
✓周长比等于相似比。
✓面积比等于相似比的平方。
五、位似：✓位似图形的概念：如果两个图形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于一点,像这样的两个图形叫做位似图形, 这个点叫做位似中心, 这时的相似比又称为位似比.✓在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为位似中心,相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.考点一一、选择题（每小题3分，共24分）1.下列命题：①所有的等腰三角形都相似，②所有的等边三角形都相似，③所有的等腰直角三角形都相似，④所有的直角三角形都相似.其中，正确的是 ( )A.②③B.②③④C.③④D.②④2.有两个顶角相等的等腰三角形框架，其中一个三角形框架的腰长为6，底边长为4，另一个三角形框架的底边长为2，则这个三角形框架的腰长为 ( ) A.6 B.4 C.3 D.23.如图，点P 是△ABC 的边AB 上的一点，过点P 作直线（不与直线AB 重合）截△ABC ，使截得的三角形与原三角形相似.满足这样条件的直线最多有 ( ) A.2条 B.3条 C.4条 D.5条4.如图，E 是□ABCD 的边BC 延长线上的一点，连结AE 交CD 于F ，则图中共有相似三角形 （ ）A.1对B.2对C.3对D.4对5.两个相似菱形边长的比是1:4，那么它们的面积比是 ( ) A ．1:2 B ．1:4 C ．1:8 D ．1:166.下列条件中，不能判定以A /、B /、C /为顶点的三角形与△ABC 相似的是（ ） A.∠C=∠C /=90°,∠B=∠A /=50° B.AB=AC ，A /B /=A /C /，∠B=∠B /C.∠B=∠B /，////C B BC B A AB =D. ∠A=∠A /，////C B BC B A AB =7.△ABC 的周长等于16，D 是AC 的中点，DE ∥AB ，交BC 于点E ，则△DEC 的周长等于( ) A.2 B.4 C.6 D.88.在□ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是BE 的中点，AE 与DF 相交于H ，则△EFH 的面积与△ADH 的面积的比值为 （ ） A ．21 B ． 81 C ．161 D ．41二、填空题（每小题3分，共18分）9．有一张比例尺为1∶4000的地图上，一块多边形地区的周长是60cm ，则这个地区的实际周长________。
同角三角函数的基本关系及诱导公式
同角三角函数的基本关系及诱导公式同角三角函数是指在同一个角度上的三角函数的关系。
基本的同角三角函数有正弦函数（sin），余弦函数（cos），正切函数（tan），割函数（sec），余割函数（csc）和余角函数（cot）。
这些函数之间存在一系列基本关系和诱导公式，用来计算各个函数的值。
下面是同角三角函数的基本关系及诱导公式。
1. 正弦函数（sin）：正弦函数表示任意角的对边与斜边的比值。
正弦函数在数学中常用于求解三角形的边长和角度。
基本关系：sinθ = y / r即正弦函数的值等于垂直边（对边）与斜边的比值。
诱导公式：sin(π/2 - θ) = cosθsin(π - θ) = sinθsin(3π/2- θ) = -cosθsin(2π - θ) = -sinθsin(θ + 2πn) = sinθ2. 余弦函数（cos）：余弦函数表示任意角的邻边与斜边的比值。
余弦函数在物理学、工程学和几何学中经常使用。
基本关系：cosθ = x / r即余弦函数的值等于邻边与斜边的比值。
诱导公式：cos(π/2 - θ) = sinθcos(π - θ) = -cosθcos(3π/2 - θ) = -sinθcos(2π - θ) = cosθcos(θ + 2πn) = cosθ3. 正切函数（tan）：正切函数表示任意角的对边与邻边的比值。
正切函数在三角学和物理学中经常用于计算角度的度量单位。
基本关系：tanθ = y / x即正切函数的值等于对边与邻边的比值。
诱导公式：tan(π/2 - θ) = 1 / tanθtan(π - θ) = -tanθtan(3π/2 - θ) = 1 / tanθtan(2π - θ) = tanθtan(θ + πn) = tanθ4. 割函数（sec）：割函数是余弦函数的倒数，表示任意角的斜边与邻边的比值的倒数。
基本关系：secθ = r / x即割函数的值等于斜边与邻边的比值的倒数。
相似三角形与三角函数
初三数学---相似三角形和解直角三角形一、相似三角形1．相似三角形判定定理：（1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似. （2）判定定理1如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．即“两角对应相等，两三角形相似”．（3）判定定理2如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．即“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”．（4）判定定理3如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．即“三边对应成比例，两三角形相似”．（5）若△1∽△2、△2∽△3、则△1∽△3．对于直角三角形相似，还有如下判定定理：（6）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．（7）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似．2．相似三角形的性质（1）相似三角形的对应角相等；（2）相似三角形的对应边成比例；（3）相似三角形的对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比；（4）相似三角形周长比等于相似比；（5）相似三角形面积的比等于相似比的平方．二、锐角三角函数1．掌握锐角三角函数的定义，准确地进行计算．2．互余角的三角函数间的关系（1）sin（90°－）＝cos；（2）cos（90°－）＝sin；（3）．3．同角三角函数间的关系（1）；（2）．三、解直角三角形1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，（1）三边之间的关系：a2＋b2＝c2；（2）两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；（3）边与角之间的关系：，，．2．如图，若直角三角形ABC中，CD⊥AB于点D，设CD＝h，AD＝q，DB＝p，则由△CBD∽△ABC，得a2＝pc；由△CAD∽△BAC，得b2＝qc；由△ACD∽△CBD，得h2＝pq；由△ACD∽△ABC或由△ABC的面积，得ab＝ch．从三角函数的角度考虑，有由，得a2＝pc；同理，得b2＝qc；由，得h2＝pq；由，得ab＝ch．在有关直角三角形的相似问题中，可以尝试运用三角函数的知识来解题，即“三角法”．3．如图1，若CD是直角三角形ABC中斜边上的中线，则（1）CD＝AD＝BD＝；（2）点D是Rt△ABC的外心，外接圆半径．4．如图2，若r是直角三角形ABC的内切圆半径，则．图1 图2 图3 5．直角三角形的面积：（1）如图2，S△ABC．（2）如图3，S△ABC．6B＝90°－A，，，由求角A，B＝90°－A，由求角A，B＝90°－A例题分析例1．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝7，∠B＝60°，P为下底BC上一点（不与B，C重合），连接AP，过P点作PE交DC于E，使得∠APE＝∠B．（1）你认为图中哪两个三角形相似，为什么?（2）当点P在底边BC上自点B向C移动的过程中，是否存在一点P，使得DE∶EC＝5∶3?如果存在，求BP的长；如果不存在，请说明理由．例2．如图，正方形ABCD的边长为4，M，N分别是BC，CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直．（1）求证：Rt△ABM∽Rt△MCN；（2）设BM＝x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN的面积最大，并求出最大面积；（3）当M点运动到什么位置时，Rt△ABM∽Rt△AMN，并求x的值．例3．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝10，AC＝5，求sin B·sin C的值．例4．如图，D是AB上一点，且CD⊥AC于C，S△ACD∶S△CDB＝2∶3，，AC＋CD＝18，求tan A的值和AB的长．5．如图，△OAB是边长为2的等边三角形，过点A的直线y＝与x轴交于点E．求点E的坐标．6．已知：如图（a），梯形ABCD中，AB∥CD，∠C＝90°，AB＝BC＝4，CD＝6．（1）E为BC边上一点，EF∥AD，交CD边于点F，FG∥EA，交AD边于点G，若四边形AEFG为矩形，求BE的长；（2）如图（b），将（1）中的∠AEF绕E点逆时针旋转为∠A′EF′，EF′交CD边于F′点，且F′点与D点不重合，射线EA′交AB边于点M，作F′N∥EA′交AD边于点N，设BM为x，△NF′D中，F′D边上的高为y，求y关于x的函数解析式及自变量x的取值范围．图（a）图（b）答案例1、解：（1）△ABP∽△PCE．其理由是除∠B＝∠C外，由于∠APE＝∠B＝60°，∠APC＝∠B＋∠BAP＝∠APE＋∠CPE，∴∠BAP＝∠CPE．由“两角对应相等，两三角形相似”可得△ABP∽△PCE．说明：此图形结构可以称为“一线三等角问题”．（2）作DF⊥BC于F，由已知可得CF＝，腰长AB＝CD＝2CF＝4，这样原问题转化为在底边BC上是否存在一点P，使得CE＝1.5．假设存在P点，使CE＝1.5，由△ABP∽△PCE，得，可得BP·PC＝AB·CE＝6．设BP＝x，∵BC＝BP＋PC＝7，∴PC＝7－x．∴x（7－x）＝6，即x2－7x＋6＝0．解得x1＝1，x2＝6．答：当BP＝1或BP＝6时，使得DE∶EC＝5∶3．例2、解：（1）在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝4，∠B＝∠C＝90°．∵AM⊥MN，∴∠AMN＝90°．∴∠CMN＋∠AMB＝90°．在Rt△ABM中，∠MAB＋∠AMB＝90°，∴∠MAB＝∠CMN．∴Rt△ABM∽Rt△MCN．（2）∵Rt△ABM∽Rt△MCN，，即．．．当x＝2时，y取最大值，最大值为10．（3）∵∠B＝∠AMN＝90°，∴要使△ABM ∽△AMN，只需．由（1）知．∴BM＝MC．∴当点M运动到BC的中点时，△ABM∽△AMN，此时x＝2．例3、分析:为求sin B，sin C，需将∠B，∠C分别置于直角三角形之中，另外已知∠A的邻补角是60°，若要使其充分发挥作用，也需要将其置于直角三角形中，所以应分别过点B，C，向CA，BA的延长线作垂线段，即可顺利求解．解：过点B作BD⊥CA的延长线于点D，过点C作CE⊥BA的延长线于点E．∵∠BAC＝120°，∴∠BAD＝60°．；．又∵CD＝CA＋AD＝10，，．同理，可求得．．说明：由于锐角的三角函数是在直角三角形中定义的，因此若要求某个角的三角函数值，一般可以通过作垂线段等方法将其置于直角三角形中．例4、解：作DE∥AC交CB于E，则∠EDC＝∠ACD＝90°．∵，设CD＝4k（k＞0），则CE＝5k，由勾股定理得DE＝3k．∵△ACD和△CDB在AB边上的高相同，∴AD∶DB＝S△ACD∶S△CDB＝2∶3．．即．．∵AC＋CD＝18，∴5k＋4k＝18．解得k＝2．．．说明：本章解题的基本思路是将问题转化为解直角三角形的问题，转化的目标主要有两个，一是构造可解的直角三角形；二是利用已知条件通过设参数列方程．在解直角三角形时，常用的等量关系是：勾股定理、三角函数关系式、相等的线段、面积关系等．例5、解：作AF⊥x轴于F．∴OF＝OA·cos60°＝1，AF＝OF·．∴点A坐标为（1，）．代入直线解析式，得．．．当y＝0即时，x＝4．∴点E坐标为（4，0）．例6、解：（1）作AH⊥CD于点H（如图（c））可得∠1＝∠2＝∠D．由AB＝BC＝CH＝4可得HD＝CD－CH＝2．．．∴BE＝2，即E为BC的中点．（2）图（d），作NP⊥CD于点P，则PN＝y．可得∠4＝∠5＝∠6，它们的正切值相等．，即．，．，，∵CD＝CF′＋PF′＋PD，，即．整理，得．若点F′与点D重合（见图（e）），则∠BEM＝∠EDC，．．．∴x的取值范围为。
初中数学知识点(圆,相似,三角函数)
2.全等 判定方法：SSS,SAS,ASA,HL,AAS
弦切角定理 弦切角的度数等于它所加的弧的圆心角度数的一半，等于它所加弧所对的圆
周角度数
圆幂定理： 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两
条线段长的比例中项。 割线定理：从圆外一点 P引两条割线与圆分别交于 A、B；C、D，则有 PA·PB=PC·PD
这两个集合有包含关系，称为集合 A为集合 B的子集。 用平面上闭合曲线的内部代表集合，这种图称为 Venn图 如果集合 A为集合 B的子集，且集合 B为集合 A的子集，此时集合 A与
集合 B中的元素是一样的，因此集合 A与集合 B相等，记作 A=B，如果集合 A 包含于集合 B如果集合 A的任何一个元素都是集合 B的元素,我们就说 A ⊆ B(读作 A包含于 B),或 B ⊇ A(读作 B包含 A),称集合 A是集合 B的子集.如果 A
A={x∈I|p}，其中 x叫做代表元素，I是代表元素 x的取值范围，p是个元 素的共同特征。 开区间：{x|1<x<2}等价于 x∈（1,2） 左闭右开区间：{x|1《x<2}等价于 x∈[1,2） 闭区间：{x|1《x《2}等价于 x∈[1,2] {x|x>1}等价于 x∈（1，+∞） {x|x《2}等价于 x∈（-∞，2）
三角函数相似的知识点总结
三角函数相似的知识点总结1. 三角函数的定义在了解三角函数的相似性之前，首先需要理解三角函数的基本定义。
三角函数是根据直角三角形的三个角的度量值和边的长度的比值定义的。
根据这个定义，我们可以得到正弦函数、余弦函数和正切函数。
其中：- 正弦函数：sinA = 对边/斜边- 余弦函数：cosA = 邻边/斜边- 正切函数：tanA = 对边/邻边在三角函数中，角度的度量单位可以是弧度或者角度，根据不同的度量单位，三角函数的表述也不尽相同。
但三角函数的基本性质是不受度量单位影响的，因此在后续的讨论中，我们可以根据具体的情况来选择合适的度量单位。
2. 三角函数的图像和性质三角函数是周期性函数，它们的图像呈现出一定的规律性。
其中，正弦函数和余弦函数的图像都是周期为2π的函数，而正切函数的图像周期为π。
除此之外，三角函数还有一些重要的性质，比如：- 正弦函数和余弦函数的图像是关于原点对称的- 正切函数在每个周期内有无数个奇点- 三角函数的周期性使得它们在数学建模和分析中具有重要的作用3. 三角函数的相似性在学习三角函数的过程中，我们常常会涉及到三角函数的相似性问题。
相似性是指两个或者多个三角函数在某些条件下具有相似的性质，比如函数值的变化规律、图像的变化规律等。
三角函数的相似性主要涉及到以下几个方面：- 函数值的相似性：给定一个角度，不同的三角函数在该角度处的函数值是否具有相似的特点- 图像的相似性：不同的三角函数在相似的条件下，它们的图像是否具有相似的特点- 公式的相似性：不同的三角函数是否存在一些公式上的相似性，比如和差化积公式等4. 函数值的相似性在三角函数的基本定义中，我们可以看到，不同的三角函数是根据直角三角形的不同边的比值定义的，因此它们的函数值在一些特定的条件下是具有相似性的。
例如：- 在同一个角度下，正弦函数和余弦函数的函数值永远在[-1, 1]之间- 在一些特定的角度下，正切函数的函数值会趋近于无穷大或者趋近于无穷小函数值的相似性是三角函数相似性的重要表现形式，它可以帮助我们理解三角函数的性质，进而应用到具体的问题中。
几何证明与推理——相似、三角函数
几何证明与推理——相似、三角函数1.如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，CO的延长线交AB于点D．（1）求证：AO平分∠BAC；（2）若BC=6，sin∠BAC=35，求AC和CD的长．备用图2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点O，D分别为AB，BC的中点，连接OD，作⊙O与AC相切于点E，在AC边上取一点F，使DF=DO，连接DF．（1）判断直线DF与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）当∠A=30°，CF=2时，求⊙O的半径．3.如图，AB是⊙O的一条弦，E是AB的中点，过点E作EC⊥OA于点C，过点B作⊙O的切线交CE的延长线于点D．（1）求证：DB=DE；（2）若AB=12，BD=5，求⊙O的半径．4.如图，点E 在以AB 为直径的⊙O 上，点C 是BE ︵的中点，过点C 作CD ⊥AE ，交AE 的延长线于点D ，连接BE 交AC 于点F ．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若cos ∠CAD =45，BF =15，求AC 的长．5.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，AD 平分∠CAB ，BD 是⊙O 的切线，AD 与BC 相交于点E ，与⊙O 相交于点F ，连接BF ．（1）求证：BD =BE ；（2）若DE =4，BD =25，求AE 的长．6.如图，DE是⊙O的直径，过点D作⊙O的切线AD，C是AD的中点，AE交⊙O于点B，且四边形BCOE是平行四边形．（1）BC是⊙O的切线吗？若是，给出证明；若不是，请说明理由．（2）若⊙O半径为1，求AD的长．7.如图，半圆O的直径为AB，D是半圆上的一个动点（不与点A，B重合），连接BD并延长至点C，使CD=BD，过点D作半圆O的切线交AC于点E．（1）请猜想DE与AC的位置关系，并说明理由；（2）当AB=6，BD=2时，求DE的长．8.如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于点F，且CE=CB．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）连接AF，BF，求∠ABF的度数．9.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，直线MN经过点C，过点A作直线MN的垂线，垂足为点D，且AC平分∠BAD．（1）求证：直线MN是⊙O的切线；（2）若AD=4，AC=5，求⊙O的直径．10.如图，点O是△ABC的边AB上一点，⊙O与边AC相切于点E，与边BC，AB分别相交于点D，F，且DE=EF．（1）求证：∠C=90°；（2）当BC=3，3sin5A 时，求AF的长．11.如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD是⊙O的切线，AD⊥CD于点D，E是AB延长线上一点，CE交⊙O于点F，连接OC，AC．（1）求证：AC平分∠DAO；（2）若∠DAO=105°，∠E=30°．①求∠OCE的度数；②若⊙O的半径为22，求线段EF的长．。
利用相似和三角函数测高问题
测高问题相似测高问题中，山或者房屋都是垂直于底面的，人或者仪器也是垂直于地面的，所以，这类题目中要利用平行关系构造“A”字型和”8”字型相似求解。
课堂练习某市为了打造森林城市，树立城市新地标，实现绿色、共享发展理念，在城南建起了“望月阁”及环阁公园。
小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力。
他们经过观察发现，观测点与“望月阁”底部间的距离不易测得，因此经过研究需要两次测量，于是他们首先用平面镜进行测量。
方法如下：如图，小芳在小亮和“望月阁”之间的直线BM上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BM上的对应位置为点C，镜子不动，小亮看着镜面上的标记，他来回走动，走到点D时，看到“望月阁”顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合，这时，测得小亮眼睛与地面的高度ED=1.5米，CD=2米，然后，在阳光下，他们用测影长的方法进行了第二次测量，方法如下：如图，小亮从D点沿DM方向走了16米，到达“望月阁”影子的末端F点处，此时，测得小亮身高FG的影长FH=2.5米，FG=1.65米。
如图，已知AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出“望月阁”的高AB的长度。
如图，M、N为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞。
工程人员为了计算工程量，必须计算M、N两点之间的直线距离，选择测量点A. B. C，点B. C分别在AM、AN上，现测得AM=1千米、AN=1.8千米，AB=54米、BC=45米、AC=30米，求M、N两点之间的直线距离。
如图,一束平行光线从教室窗户射入,光线与地面所成的∠AMC=30∘,在教室地面的影长MN=23米，若窗户的下檐到教室地面的距离BC=1米，求窗户上檐到教室地面的距离AC 的长。
为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如下图所示的测量方案：把一面很小的镜子水平放置在离B （树底）8.4米的点E 处，然后沿着直线BE 后退到点D ，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A ，再用皮尺量得DE=3.2米，观察者目高CD=1.6米，求树AB 的高度．小军想用镜子测量一棵古松树的高度，但因树旁有一条小河，不能测量镜子与树之间的距离.于是他利用镜子进行两次测量.如图，第一次他把镜子放在点C 处，人在点F 处正好在镜中看到树尖A ；第二次他把镜子放在点'C 处，人在点F 处正好在镜中看到树尖A ．已知小军的眼睛距地面1.7m ，量得'12CC =m ， 1.8CF = m ，'' 3.84C F = m.求这棵古松树的高度.如图，PQ 与AB 之间的区域是渭河河道，AB 与CD 之间的区域是河堤路，PQ ∥AB ∥CD ，点P 处是一电视塔，点E,F 是河堤路边上距离为150m 的两棵树，河堤路的宽度是60m ，当小明走到G 处时发现，点P,E,G 在同一直线上，又继续向前走了180m ，到达点H 处，发现此时点P 、F 、H 在同一直线上，试求点P 到CD 的距离。
相似三角形和三角函数
相似三角形考点1. 相似三角形的判定定理：类型斜三角形 直角三角形 相似三角形的判定两边对应成比例夹角相等 三边对应成比例 两角对应相等 一条直角边与斜边对应成比例推论——直角三角形相似：(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
2.性质定理：(1)对应角相等。
(2)对应边成比例。
(3)对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
(4)周长比等于相似比。
(5)面积比等于相似比的平方。
3.相似三角形的传递性 如果△ABC ∽△A 1B 1C 1，△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，那么△ABC ∽A 2B 2C 24、比例的性质（1）比例的基本性质：b a =d c ⇔ad=bc （bd≠0） （2）合比性质：b a =dc ⇒b b a +=d d c + （3）等比性质：===(0)a c m a c m a b d n b d n b d n b+++⇒=+++≠+++L L L L 5、位似如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。
对应边的比叫做位似比，位似比等于相似比。
锐角三角函数知识点总结1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
222c b a =+2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)： 定 义 表达式 正弦 斜边的对边A A ∠=sin c aA =sin 余弦 斜边的邻边A A ∠=cos c b A =cos 正切 的邻边的对边A tan ∠∠=A A b aA =tan3、特殊角的三角函数值(重要) 三角函数 30° 45° 60°αsin 21 22 23αcos 23 22 21αtan 331 3对边邻边 斜边 A CBba c。
相似三角形和三角函数
相似三角形考点
1. 相似三角形的判定定理：
推论——直角三角形相似：
(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
2.性质定理：
(1)对应角相等。
(2)对应边成比例。
(3)对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
(4)周长比等于相似比。
(5)面积比等于相似比的平方。
3.相似三角形的传递性 如果△ABC ∽△A 1B 1C 1，△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，那么△ABC ∽A 2B 2C 2
4、比例的性质
（1）比例的基本性质：b a =d c
⇔ad=bc （bd≠0） （2）合比性质：b a =d c ⇒b b a +=d d
c +
（3）等比性质：===(0)a c m a c m a
b d n b d n b d n b
+++⇒
=+++≠+++L L L L 5、位似
如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。
对应边的比叫做位似比，位似比等于相似比。
锐角三角函数知识点总结
1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
2、如下图，在Rt△ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)：
3、特殊角的三角函数值(重要)
对边
邻边
C。
三角函数、相似
三角函数复习考点一——定义、特殊角的三角函数值1、若把一个的两条直角边都扩大n 倍，（n 是大于1的自然数），则两个锐角的函数值（ ） A ．都变大为原来的n 倍 B . 都缩小为原来的1nC . 不变化D . 各个函数值变化不一致 2、在Rt △ABC 中，∠C =90°，若AC =2BC ，则sin A 的值是 ．3、在直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝53，AB ＝10，则∠A ＝ °4、在直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝8，则cos ∠B ＝ ．5、如果方程2430x x -+=的两个根分别是Rt △ABC 的两条边，∠A ≠90°，那么tanA 的值为 ． 7、在正方形网格中，△ABC 的位置如图所示，则cos ∠B 的值为 ．8、如图，在四边形ABCD 中，∠A =60°，∠B =∠D =90°，BC =2，CD =3，则AB = ．9、如图，将矩形纸片ABCD （AD >DC ）的一角沿着过点D 的直线折叠，使点A 落在BC 边上，落点为E ，折痕交AB 边交于点F ．若BE =1，EC =2，则sin ∠EDC =__________．ACBDCB AFADCEB第7题 第8题 第9题考点二——三角函数的应用1、如图，BC ⊥AC ，cosA =32，则坡度为_______. 2、△ABC 中，∠B =30°，∠A =15°，若BC 边上的高为2，则BC = .CABCBA第1题 第2 题3、如图1，所示，把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，另一端系一个小重物，制成简单的测角仪，若细线 正好和60°重合，则此时的仰角a 是 °，若细线所在位置刻度模糊，请在图2中添加一条直线，就能 求出此时的仰角a .180150120603090BCA1801501203090BCA图1 图24、已知，如图，在△ABC 中，∠C =90°,点E D 、分别在边、AB AC 上，BC DE //,3=DE ,9=BC .若 10=BD ，求sin B ∠的值.5、已知：四边形ABCD ，AD //BC ，∠A ＝90°。
相似三角形的正切定理推导
相似三角形的正切定理推导在三角学中，相似三角形是指具有相等夹角但各边比例不一定相等的三角形。
而正切是一种三角函数，表示一个角的对边与邻边的比值。
本文将推导相似三角形的正切定理，即若两个三角形相似，则它们对应角的正切相等。
设两个相似三角形为△ABC与△DEF，其中∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。
并且假设AB/DE = BC/EF = AC/DF = k，其中k为一个常数。
为了推导相似三角形的正切定理，我们首先回顾正切函数的定义。
在任意三角形△ABC中，正切函数的定义如下：tan(A) = BC/ABtan(B) = AC/BCtan(C) = AB/AC根据相似三角形的性质，我们可以得到以下关系：AB/DE = BC/EF = AC/DF = k (1)现在我们来推导相似三角形的正切定理。
首先，我们用tan(A)表示△ABC中∠A的正切值，用tan(D)表示△DEF中∠D的正切值。
根据正切函数的定义，我们有：tan(A) = BC/ABtan(D) = EF/DE由于△ABC与△DEF相似，根据公式（1），我们可以得到：AB/DE = BC/EF = k我们可以将AB/DE替换成k，得到：k = BC/EF将上式左右两边乘以DE，得到：k * DE = BC我们将BC替换成k * DE，得到：tan(A) = k * DE / AB (2)同样地，我们可以将EF替换成DE，并将∠D替换成∠A，得到：tan(D) = k * AB / DE (3)从公式（2）和（3）可以看出，tan(A)和tan(D)的表达式相等。
我们可以得出结论，相似三角形对应角的正切相等：tan(A) = tan(D)同样地，我们可以推导出tan(B) = tan(E)和tan(C) = tan(F)。
这就是相似三角形的正切定理推导。
通过推导，我们可以得到相似三角形正切定理：若两个三角形相似，则它们对应角的正切相等。
这个定理在三角学中具有重要的应用，可以帮助我们解决与相似三角形相关的问题。
初中数学中考专题4：相似与三角函数
（
3）2－（12）2＝
11 2.
∵△BFG∽△FEG，
∴∠BFG＝∠FEG＝∠G.
∴BF＝BG＝3BC＝3.
11
∴sin ∠F BG＝FBHF ＝
2 3
＝
611.
2．(2020·金华中考)如图，在△ABC 中，AB＝ 4 2，∠B＝45°，∠C＝60°.
(1)求 BC 边上的高线长； 解：(1)如图①，过点 A 作 AD⊥BC 于 D. 在 Rt△ABD 中，AD＝AB·sin45°＝4 2× 2
2 ＝4.
(2)点 E 为线段 AB 的中点，点 F 在边 AC 上，连 接 EF，沿 EF 将△AEF 折叠得到△PEF.
①如图②，当点 P 落在 BC 上时，求∠AEP 的度 数；
(2)①∵△AEF≌△PEF，∴AE＝EP. ∵AE＝EB，∴BE＝EP.∴∠EPB＝∠B＝45°. ∴∠PEB＝90°.∴∠AEP ＝180°－90°＝ 90°.
∴∠MAB＝∠NBC.∴△AMB∽△BNC. ∴ABMN ＝BACB＝tan∠BAC＝12. ∵点 B 是线段 MN 的中点，∴BM＝BN. ∴在 Rt△AMB 中， tan∠BAM＝ABMM＝12.
(2)如图②，P 是边 BC 延长线上一点，∠APB ＝∠BAC，求 tan∠PAC 的值．
解：如图②，过点 C 作 CD⊥AC 交 AP 于点 D， 过点 D 作 DE⊥BP 于点 E.
3 ∴CADC＝CAEB＝22xx＝34. ∴在 Rt△ACD 中，tan∠PAC＝CADC＝34.
2 3
.
3
∴AF＝2 3.
在 Rt△AFP，AF＝FP，
∴AP＝ 2AF＝2 6.
3．在∠ABC 中，∠ABC＝90°，tan∠BAC＝12. (1)如图①，分别过 A、C 两点作经过点 B 的直线 的垂线，垂足分别为 M、N.若点 B 恰好是线段 MN 的 中点，求 tan∠BAM 的值；
相似三角函数(学生)
1如图，在△ABC中，D是AB上一点，且∠ABC=∠ACD．（1）求证：△ACD∽△ABC；（2）若AD=3，AB=7，求AC的长.2楼底部C的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离AD为20m，求这栋楼的高度．（结果保留根号）3如图，在锐角△ABC中，AB=AC，BC=10，sin A=35．（1）求tan B的值；（2）求AB的长．4如图，在四边形ABCD中，∠A＝30°，∠C＝90°，∠ADB＝105°，sin BDC∠=，AD＝4．求DC的长．5如图，在ABC ∆中，90C ︒∠=，52sin =A ，D 为AC 上一点，45BDC ︒∠=，6=DC ，求AD 的长.6小红想要测量校园内一座教学楼CD 的高度. 她先在A 处测得楼顶C 的仰角=α30°，再向楼的方向直行10米到达B 处，又测得楼顶C 的仰角=β60°，若小红的目高（眼睛到地面的高度）AE 为1.60米，请你帮助她计算出这座教学楼CD 的高度（结果精确到0.1米）参考数据：41.12≈，73.13≈，24.25≈．如图，在△ABC 中，AB=AC=8,BC =6,点D 为BC 上一点，BD =2.过点D 作射线DE 交AC 于点E ，使∠ADE=∠B. 求线段EC 的长度。
国家海洋局将中国钓鱼岛最高峰命名为“高华峰”，并对钓鱼岛进行常态化立体巡航．如下图，在一次巡航过程中，巡航飞机飞行高度为2001米，在点A处测得高华峰顶F点的俯角为30°，保持方向不变又前进1200米到达点B处测得F点的俯角为45°．请据此计算高华峰的海拔高度．（结果保留整数，参考数值：≈1.732）如图，矩形ABCD中，AP平分∠DAB，且AP⊥DP于点P，联结CP，如果AB﹦8，AD﹦4，求sin∠DCP的值.．°．如图，一艘渔船正自西向东航行追赶鱼群，在A处望见岛C在船的北偏东60°方向，前进20海里到达B处，此时望见岛C在船的北偏东30°方向，以岛C为中心的12海里内为军事演习的危险区.请通过计算说明:如果这艘渔船继续向东追赶鱼群是否有进入危险区的可能.（参考数据:1.4 1.7≈≈）解：PD CB AEEA BCD．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AC 、AB 边上的点，∠AED =∠C ，AB =6，AD =4， AC =5, 求AE 的长． 解:已知：如图，在△ABC 中，2=BC ，3=∆ABC S ，︒=∠135ABC ，求AC 和AB 的长．在△已知：如图，△ABD 中，BD AC ⊥于C ，23=CD BC ，E 是AB 的中点，2tan =D ，1=CE ，求ECB ∠sin 和AD 的长．解：AC BD EBC A如图，点D 是△ABC 的边AC 上的一点，AB 2＝AC ·AD ． 求证：△ADB ∽△ABC ．在燕房线地铁施工期间，交管部门在施工路段设立了矩形路况警示牌（如图所示）．已知立杆AB 的高度是3米，从路侧点D 处测得路况警示牌顶端C 点和底端B 点的仰角分别是60°和45°，求路况警示牌宽BC 的值．（精确到0.1米） （参考数据：2≈1.41，3≈1.73）是BD 上一点，且∠BAC ＝∠BDC ＝∠DAE ． （1）求证：△ABE ∽△ACD ；（2）若BC ＝2，AD ＝6，DE ＝3，求AC 的长．如图，△ABC 中，点D 在AB 上，∠ACD =∠ABC ，若AD =2，AB =6，求AC 的长．.DCAAB DE F ADCBA如图，甲船在港口P 的南偏东60°方向，距港口30海里的A 处，沿AP 方向以每小时 5海里的速度驶向港口P ；乙船从港口P 出发，沿南偏西45°方向驶离港口P ．现两船 同时出发，2小时后甲船到达B 处，乙船到达C 处，此时乙船恰好在甲船的正西方向， 求乙船的航行距离1.411.73≈，结果保留整数)． 答：如图，在ABC ∆中，点D 在边AB 上，A C D AB C∠=∠, 1,3AD AB ==.求AC 的长.如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD 的高度，他们先在点A 处测得树顶C 的仰角为30︒，然后沿AD 方向前行10m ，到达B 点，在B 处测得树顶C 的仰角高度为60︒ （A 、B 、D 三点在同一直线上）。
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相似1、(2013重庆)已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为3︰4，则△ABC与△DEF的面积之比为()A．4︰3 B．3︰4 C．16︰9 D．9︰162、（2012荆州）下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（）A．B．C．D．3、如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，已知AE=6，，则EC 的长是()A．4.5 B．8 C．10.5 D．144、（2011，海南）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则图中相似三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对5、(2013北京)如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE＝20m，EC＝10m，CD＝20m，则河的宽度AB等于()A．60m B．40m C．30m D．20m6、如图，已知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB＝3∶5，那么CF∶CB等于()A．5∶8 B．3∶8 C．3∶5 D．2∶57、如图，D是△ABC的边BC上一点，已知AB＝4，AD＝2．∠DAC＝∠B，若△ABD的面积为a，则△ACD的面积为()A．a B．C．D．8、(2013柳州)小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA为15米(如图)，然后在A 处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，则楼高为()A．10米B．12米C．15米D．22.5米9、如图，点A，B，C，D的坐标分别是(1，7)，(1，1)，(4，1)，(6，1)，以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是()A．(6，0) B．(6，3) C．(6，5) D．(4，2)10、（2012重庆）已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，则△ABC与△DEF的面积之比为________．11、如图，在正方形ABCD中，点E是CD的中点，点F在BC上，且．图中相似的三角形共有()A．1对B．2对C．3对D．4对12、如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E 从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm／s，点E运动的速度为2cm／s．如果两点同时运动，那么当以点A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是()A．3s或4.8s B．3s C．4.5s D．4.5s或4.8s13、如图，在□ABCD中，AD＝10cm，CD＝6cm．E为AD上一点，且BE＝BC，CE＝CD，则DE＝________cm．14、如图，P为平行四边形ABCD边AD上一点，E、F分别为PB、PC的中点，ΔPEF、ΔPDC、ΔPAB 的面积分别为S、S1、S2．若S＝2，则S1＋S2＝________15、(2013齐齐哈尔)如图，要使△ABC与△DBA相似，则只需添加一个适当的条件是________(填一个即可)．16、在△ABC中，P是AB上的动点(P异于A，B)，过点P的一条直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线．如图，∠A＝36°，AB＝AC，当点P在AC的垂直平分线上时，过点P的△ABC的相似线最多有________条．17、如图，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，在线段AB上取一点D，作DF ⊥AB交AC于点F，现将△ADF沿DF折叠，使点A落在线段DB上，对应点记为A1；AD的中点E的对应点记为E1，若△E1FA1∽△E1BF，则AD＝________．18、如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点，(1)求证：AC2＝AB•AD；(2)求证：CE∥AD；(3)若AD＝4，AB＝6，求的值．19、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，翻折∠C，使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为EF(点E、F分别在边AC、BC上)(1)若△CEF与△ABC相似．①当AC=BC=2时，AD的长为________；②当AC=3，BC=4时，AD的长为________；(2)当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似吗？请说明理由．某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正面视图如图所示，其中BA＝CD，BC＝20cm，BC、EF 平行于地面AD且到地面AD的距离分别为40cm、8cm．为使板凳两腿底端A、D之间的距离为50cm，那么横梁EF应为多长？(材质及其厚度等暂忽略不计)．（2012山东泰安）如图，E是矩形ABCD的边BC上一点，EF⊥AE，EF分别交AC，CD于点M，F，BG⊥AC，垂足为G，BG交AE于点H．（1）求证：△ABE∽△ECF；（2）找出与△ABH相似的三角形，并证明；（3）若E是BC中点，BC＝2AB，AB＝2，求EM的长．（2012兰州）sin 60°的相反数是（）A．B．C．D．(2013宿迁)如图，将∠AOB放置在5×5的正方形网格中，则tan∠AOB的值是()A．B．C．D．(2013温州)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则sin A的值是()A．B．C．D．(2013乐山)如图，在直角坐标系中，P是第一象限内的点，其坐标是(3，m)，且OP与x轴正半轴的夹角α的正切值是，则sinα的值为()A．B．C．D．已知锐角A满足关系式2sin2A－7sin A＋3＝0，则sin A的值为（）(2013邵阳)在△ABC中，若，则∠C的度数是()A．30°B．45°C．60°D．90°已知△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，，则a等于()A．B．C．D．3如图，Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于点D，若BD∶CD=3∶2，则tan B=()A．B．C．D．（甘肃兰州）如图，A，B，C三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tan B′的值为（）A．B．C．D．如图所示，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，CA是∠BCD的平分线，且AB⊥AC，AB＝4，AD＝6，则tan B＝()A．B．C．D．（2011江苏苏州）如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点．若EF＝2，BC＝5，CD＝3，则tan C等于（）A．B．C．D．如图，已知l1∥l2∥l3，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角△ABC的三个项点分别在这三条平行直线上，则sinα的值是()A．B．C．D．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AB于E，若BC=4，△在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，现给出下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论是________(只需填上正确结论的序号)(1)．(2)(2013菏泽)计算：．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＜∠B，沿△ABC的中线CM将△CMA折叠，使点A落在点D处，若CD恰好与MB垂直，则tan A的值为________．（2012巴中）一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝30°，∠A＝45°，，试求CD的长．如图，已知∠ABC和射线BD上一点P(点P与点B不重合)，且点P到BA，BC的距离分别为PE，PF．(1)若∠EBP＝40°，∠FBP＝20°，PB＝m，试比较PE，PF的大小；(2)若∠EBP＝α，∠FBP ＝β，α，β都是锐角，且α＞β，试判断PE，PF的大小，并给出证明．阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题：，则sin230°＋cos230°＝________；①，则sin245°＋cos245°＝________；②，则sin260°＋cos260°＝________．③…观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin2A＋cos2A＝________．④(1)如图，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理对∠A证明你的猜想；(2)已知：∠A为锐角(cos A＞0)且，求cos A．（2012上海）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，BE⊥CD，垂足为点E．已知AC＝15，．（1）求线段CD的长；（2）求sin ∠DBE的值．钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土(如图1)，A、B、C分别是钓鱼岛、南小岛、黄尾屿上的点(如图2)，点C在点A的北偏东47°方向，点B在点A的南偏东79°方向，且A、B两点的距离约为5.5km；同时，点B在点C的南偏西36°方向．若一艘中国渔船以30km/h的速度从点A驶向点C 捕鱼，需要多长时间到达(结果保留小数点后两位)？(参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan47°≈1.07，tan36°≈0.73，tan11°≈0.19)（2012广东广州）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到AB的距离是（）A．B．C．D．△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，如果a2＋b2＝c2，那么下列结论正确的是() A．c sin A＝a B．b cos B＝c C．a tan A＝b D．c tan B＝b(2013聊城)河堤横断面如图所示，堤高BC＝6米，迎水坡AB的坡比为，则AB的长为________米．()A．12 B．C．D．如图，若∠A＝60°，AC＝20m，则BC大约是(结果精确到0.1m)()A．34.64m B．34.6m C．28.3m D．17.3m（2012宜昌）在“测量旗杆的高度”的数学课题学习中，某学习小组测得太阳光线与水平面的夹角为27°，此时旗杆在水平地面上的影子的长度为24 m（如图），则旗杆的高度约为（）A．24 m B．20 m C．16 m D．12 m如图，小敏同学想测量一棵大树的高度．她站在B处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4m，测得仰角为60°，已知小敏同学身高(AB)为1.6m，则这棵树的高度为()(结果精确到0.1m，)．A．3.5m B．3.6m C．4.3m D．5.1m如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，CD⊥AB，垂足为D，CD＝1，则AB的长为()A．2 B．C．D．在一次数学活动中，李明利用一根拴有小锤的细线和一个半圆形量角器制作一个测角仪，去测量学校内一座假山的高度CD．如图，已知李明距假山的水平距离BD为12m，他的眼睛距地面的高度为1.6m，李明的视线经过量角器零刻度线OA和假山的最高点C，此时，铅垂线OE经过量角器的60°刻度线，则假山的高度为（）小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米，已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米，垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为()A．米B．12米C．米D．10米某时刻海上点P处有一客轮，测得灯塔A位于客轮P的北偏东30°方向，且相距20海里，客轮以60海里／小时的速度沿北偏西60°方向航行小时到达B处，那么tan∠ABP＝()A．B．2 米C．D．(2013成都)如图，某山坡的坡面AB＝200米，坡角∠BAC＝30°，则该山坡的高BC的长为________米．已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE＝CD＝1，连接DE，则DE＝________．（2012成宁）如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18cm，深为30cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡BC的坡度i＝1∶5，则AC的长度是________m．(2012年铁岭)如图，在东西方向的海岸线上有A、B两个港口，甲货船从A港沿北偏东60°的方向以4海里／小时的速度出发，同时乙货船从B港沿西北方向出发，2小时后相遇在点P处，问乙货船每小时航行________海里．如图，在小山的东侧A点有一个热气球，由于受西风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则小山东西两侧A、B两点间的距离为________米．(2013重庆)计算6tan45°－2cos60°的结果是()A．B．4 C．D．5(2013内江)如图，在□ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF∶S△ABF＝4∶25，则DE∶EC＝()A．2∶5 B．2∶3 C．3∶5 D．3∶2如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF∶FC＝()A．1∶4 B．1∶3 C．2∶3 D．1∶2(2013绵阳)如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC＝8cm，BD＝6cm，DH⊥AB于点H，且DH 与AC交于点G，则GH＝()A．cm B．cm C．cm D．cm在矩形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点，若∠AEF＝90°，则一定有（）A．△ADE∽△AEF B．△ECF∽△AEF C．△ADE∽△ECF D．△AEF∽△ABF在△ABC中，AB＝24，AC＝18，D为AC上一点且AD＝12，在AB上取一点E，使得以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则AE的长应为()A．16 B．14 C．16或14 D．16或9在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且，，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．钝角在角形C．锐角三角形D．不能确定某地下车库出口处“两段式栏杆”如图1所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的连接点．当车辆经过时，栏杆AEF升起后的位置如图2所示，其示意图如图3所示，其中AB⊥BC，EF∥BC，∠EAB＝143°，AB＝AE＝1.2米，求当车辆经过时，栏杆EF段距离地面的高度(即直线EF上任意一点到直线BC的距离)．(结果精确到0.1米，栏杆宽度忽略不计参考数据：sin37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan37°≈0.75．)(2013扬州)在△ABC中，AB＝AC＝5，sin∠ABC＝0.8，则BC＝________．如图，在△ABC中，AB＝AC＝a，BC＝b(a＞b)．在△ABC内依次作∠CBD＝∠A，∠DCE＝∠CBD，∠EDF＝∠DCE．则EF等于()A．B．C．D．(2013绵阳)如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点，且俯角α为60°，又从A点测得D点的俯角β为30°．若旗杆底点G为BC的中点，则矮建筑物的高CD为()A．20米B．米C．米D．米(2013德阳)如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为30°，看这栋高楼底部C的俯角为60°，热气球A与高楼的水平距离为120m，这栋高楼BC的高度为() A．m B．m C．m D．m如图，等边三角形ABC的边长为3，点P是BC边上一点，且BP＝1，点D为AC边上一点，若∠APD＝60°，则CD的长为()A．B．C．D．1(2013德阳)如图，在□ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，若，则△CEF的面积是()A．B．C．D．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E，BC＝6，，则DE＝________．(2013内江)在△ABC中，已知∠C＝90°，，则sin A－sin B＝________．在一次数学实践活动课上，九（1）班同学计划测量山脚下树AB的高度，李丽同学从A沿山坡向上走了30m，到达点C，用高为1.5m的测角仪CD测得树顶B的仰角为10°，已知山坡的坡角为12°，则D点到树AB的距离为________m，树AB的高为________m（精确到0.1m）．（参考数据：sin12°≈0.208，cos12°≈0.978，tan12°≈0.213，sin10°≈0.174，cos10°≈0.985，tan10°≈0.176）（2012自贡）如图，正方形ABCD的边长为1 cm，M，N分别是BC，CD上两个动点，且始终保持AM⊥MN，当BM＝________cm时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为________cm2．如图，为了测量山顶铁塔AE的高，小明在27m高的楼CD底部D测得塔顶A的仰角为45°，在楼顶C测得塔顶A的仰角36°52′．已知山高BE为56m，楼的底部D与山脚在同一水平线上，求该铁塔的高AE．(参考数据：sin36°52′≈0.60，tan36°52′≈0.75)（2010年四川泸州）如图所示，某防洪指挥部发现长江边一处长500米，高10米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横断面为梯形ABCD）急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：沿背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽3米，加固后背水坡EF的坡比．（1）求加固后坝底增加的宽度AF；（2）求完成这项工程需要土石多少立方米（结果保留根号）?(2013永州)如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD．(1)若AB＝9，CD＝4，BD＝10，请问在BD上是否存在P点，使以P，A，B三点为顶点的三角形与以P，C，D三点为顶点的三角形相似？若存在，求BP的长；若不存在，请说明理由；(2)若AB＝9，CD＝4，BD＝12，请问在BD上存在多少个P点，使以P，A，B三点为顶点的三角形与以P，C，D三点为顶点的三角形相似？并求BP的长；(3)若AB＝9，CD＝4，BD＝15，请问在BD上存在多少个P点，使以P，A，B三点为顶点的三角形与以P，C，D三点为顶点的三角形相似？并求BP的长；(4)若AB＝m，CD＝n，BD＝l，请问在m，n，l满足什么关系时，存在以P，A，B三点为顶点的三角形与以P，C，D三点为顶点的三角形相似的一个P点？两个P点？三个P点？。