2017年第九届全国大学生数学竞赛非数学类预赛题和参考答案

第九届全国大学生数学竞赛（非数学类）预赛题和参考答案

2017

年10月28日

一、填空题（满分42分，共六小题，每小题7分） 1、已知可导函数

满足

,

则()f x == 。

2、求极限()

n n n +∞

→22sin lim π == 。

3、设(,)w f u v =具有二阶连续偏导数，且==+u x cy v x cy -，，其中c 为非零常数。

则2

1

xx yy w w c - = _ ___。

4、设()f x 有二阶导数连续，且(0)'(0)0,"(0)6f f f ===，

则24

0(sin )lim x f x x → = ______ 。

5、不定积分 sin 2sin 2(1sin )x e x

I dx x -=-⎰= ________。

6. 记曲面222z x y =+和224z x y =--围成空间区域为V ，

则三重积分V

zdxdydz ⎰⎰⎰ = ____ ______。

二、（本题满分14分)

设二元函数(,)f x y 在平面上有连续的二阶偏导数。 对任何角度α，定义一元函数

()(cos ,sin )g t f t t ααα=。若对任何α都有(0)0dg dt α=且22(0)

0d g dt α>。 证明)0,0(f 是(,)f x y 的极小值。

三、(本题满分14分)

设曲线Γ为在2221x y z ++=，1x z +=，0,0,0x y z ≥≥≥上从(1,0,0)A 到(0,0,1)B 的一段。 求曲线积分⎰Γ

++=xdz zdy ydx I 。

四、(本题满分15分)

设函数()0f x >且在实轴上连续，若对任意实数t ，有||()1t x e f x dx +∞

---∞≤⎰，则,()a b a b ∀<，

2

()2

b

a

b a f x dx -+≤

⎰

。

五、(本题满分15分)

设{}n a 为一个数列，p 为固定的正整数。若()

lim n p n n a a λ+→∞

-=，其中λ为常数，

证明 lim

n

n a n

p

λ→∞=。