2017年第九届全国大学生数学竞赛非数学类预赛题和参考答案

2017年数学竞赛预赛(非数学类)试题评分标准及参考答案 .doc

2017年数学竞赛预赛（非数学类）试题评分标准及参考答案一 1. 已知可导函数满足, 则()f x解：在方程两边求导得'()c o s +()s i n f x x f x x =,'()+()tan sec f x f x x x =.从而tan tan ()sec xdx xdx f x e xe dx c -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰l n c o sl n c o s211==cos cos cos x x ee dx c x dx c x x --⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰ ()=c o s t a n =s i n c o sx x c x cx ++ 由于(0)1f =，故()sin cos f x x x =+。

2．求()n n n +∞→22sin lim π解由于 ()=+n n 22sin π()ππn n n -+22sin=2sin 1⎛⎫→。

3. 设(,)w f u v =具有二阶连续偏导数，且==+u x cy v x cy -，，其中c 为非零常数。

则21xx yy w w c-=_________。

解: 12+x w f f =，1112222xx w f f f =++，21()y w c f f =-，()()()22111122122111222=2yy w cf f c cf cf cf cf c f f f y∂=-=--+-+∂。

所以1221=4xx yy w w f c-。

4. 设()f x 有二阶导数连续，且(0)'(0)0,"(0)6f f f ===，则24(s i n )l i m x f xx →=______解：21()(0)'(0)"()2f x f f x f x ξ=++，所以241(sin )"()sin 2f x f x ξ=。

这样244400(sin )"()sin lim=lim 32x x f x f xx x ξ→→=。

第九届全国大学生数学竞赛(非数学)决赛试卷

y y
f (0, 0) = 0 ，则 f ( x, y ) = ＿＿＿＿＿＿＿. 1 du (t ) 4.满足 = u (t ) + ∫ u (t )dt 及 u (0) = 1 的可微函数 u (t ) = ＿＿＿＿＿＿＿. 0 dt
5. 设 a, b, c, d 是互不相同的正实数，x, y, z , w 是实数，满足 a = bcd ，b = cda ，
(x ) 在闭区间 [0,1] 上连续且 ∫0 f ( x)dx ≠ 0 ，证明：在区间 [ 0,1] 上存在三个不同的点 x1， x 2， x 3 ，使得
设函数 f
1
得分评阅人
四 (本题满分 12 分) 求极限： lim n +1 ( n + 1)! − n n ! .
n →∞

x1 1 π 1 = c (x )dx c (t ) d t + c (x1 ) arctan x1 x 3 2 ∫ ∫ 8 0 1 + x 1 0 x2 1 = ( ) d ( ) arctan + c t t c x x 2 2 (1 − x 3 ). 2 ∫ 1 + x 2 0
3 当题空白不够,可写在当页背面,并注明题号.
得分评阅人
一 (填空题，本题满分 30 分, 共 5 小题, 每小题 6 分) 1. 极限 lim
x →0
tan x − sin x = ＿＿＿＿＿＿＿. x ln(1 + sin 2 x)
2. 设一平面过原点和点 (6, −3, 2) ，且与平面 4 x − y + 2 z = 8 垂直，则此平面方程为＿＿＿＿＿＿＿. 3. 设 f ( x, y ) 具有一阶连续偏导数，满足 df ( x, y= ) ye dx + x(1 + y )e dy ，及

2017-2018学年度第九届高等数学竞赛(答案)

中山大学新华学院第九届高等数学竞赛姓名学号班级成绩一、填空题（每题3分，共18分） 1.函数()11y ln x =++()()1,00,-⋃+∞。

2. 2111.dx x+∞=⎰。

3.曲线236x x y +=的拐点横坐标为=x 2-;4. 11(1x x -+=⎰2π. 5.a =6.设A =“某人投注的号码中一等奖”，则P （A ）=861331615.64310C C -=⨯二、计算题（每题7分，共49分） 1. 设)1ln(2x x y ++=，求dy ． )1ln(2++=x x d dy )1(1122++++=x x d x x ............3分dx x xx x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++=111122 ----------5分.112dx x +=------------7分2、已知函数32()f x x ax bx =++在1x =处有极小值2-，(1) 求a 与b 的值； (2) 求()f x 的极大值点与极大值。

解：（1）由(1)2f =-且为极小值知，12320a b a b ++=-⎧⎨++=⎩，解得0;3a b =⎧⎨=-⎩------------------ 2分（2）322()3,()333(1)3(1)(1),f x x x f x x x x x '=-=-=-=+-由上表可得，极大值(1)2f -=。

------------------ 7分 3.设函数()f x 在0x =处有二阶导数,且 0()lim0,x f x x→=(0)4,f ''= 求(0),(0),f f '10()lim 1.xx f x x →⎛⎫+ ⎪⎝⎭解：4、设211()x x f x e-⎧⎪+=⎨⎪⎩00x x >≤，求31(2)d f x x -⎰. 解：令2=-t x，则d d =x t ，当1=x 时，1=-t ; 当3=x 时，1=t ------------------ 3分3101111(2)d ()d ()d ()d ---==+⎰⎰⎰⎰f x x ft t f t t f t t 0211d 1+x x -=⎰1-0e d x x +⎰114eπ=-+ ------------------ 7分5. 计算40⎰t =，则2,2x t dx tdt == ------------------ 2分4202t te dt =⎰⎰ ------------------- 4分222220002()2422(1)t t t te e dt e e e =-=-=+⎰ -----------------7分2000011()1()()lim ln 1lim lim 0000()1()(0)1limlim (0)222002()(0)lim ()lim 000,()(0)()(0)lim lim 0,()lim 1.x x x x f x f x f x xx x xx xx x x x f x f x f f xxx x f x f f x x xf x f f x f x xf x e eex eeee →→→→⎛⎫+•⎪⎝⎭→→→==→'''-''→→===⨯=-'===⎛⎫+= ⎪⎝⎭====6.解：)1ln(y xe e xzy x y x +++=∂∂++, ------------------ 2分yx xe y z y x +++=∂∂+11, ------------------ 4分于是 =)0,1(dz dy e edx )2(2++. ------------------ 7分7. 计算二次积分 23120y xx I dx e dy =⎰⎰．解：被积函数是22y e ，对于y 而言，它的原函数不能用初等函数表示，需改变积分次序才能进行．区域D ： 3,01,y x y y ⎧≤≤⎨≤≤⎩ 如图所示．--------- 2分2312y xxI dx e dy=⎰⎰2312y yye dy dx=⎰⎰=2122201(1)2y e y dy -⎰，令22y u =，由上式得----- 4分 1112220111222(12)212()|23uuu u u I e u du e du ue du e ue e e =-=-=---=-⎰⎰⎰------------------ 7分三、（10分）0()()()()2.().设有任意阶导数，且满足试求xf x x t f t dt f x x f x -=-⎰12()()()2()+()()()2()=()2()()()xxxxx x f t dt tf t dt f x xx f t dt x f x xf x f x f t dt f x x f x f x f x c e c e -=-'⋅-'-''==+⎰⎰⎰⎰000解：由题意：等式两端对变量求导：-=即：等式两端再次对变量求导: 上式微分方程对应通解为：12 0,(0)0,(0)21,()xx x x f f c c f x e e --'=====-令可得，从而=-1,故.四、应用题（每题9分，共18分）3x y =oxy x=-111 1y o1. 解：如图（略），曲线与x 轴的交点为)0,1(-和)0,1(，..........2分(1) ⎰112)1(--=dx x S 34=............5分(2) 12V dy π=⎰()12101122y dy y y πππ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰ .......9分 2. 解：设L 为获得的总利润,L R C =-= 1p 1q +2p 2q -C=1p ()1120.1p -+2p ()220.01p --(())123540q q ++=2211220.1160.01 2.4595p p p p -+-+- (2)分解方程组1112220.2160,0.02 2.40,p p L p p L p p =-+=⎧⎪⎨=-+=⎪⎩解得1p =80, 2p =120,唯一驻点是(80,120)．又 ..........6分A =L 11=－0.2<0,B =L 12=0,C =L 22=－0.02<0,因此 Δ=AC －B 2=0.004>0．故L 在驻点(80,120)处有极大值. .........8分于是可以断定,当两个市场售价分别为80和120个单位时,利润最大,最大利润为L (80,120)=189． ...............9分五、综合拓展题（5分）兄妹二人沿某街分别在离家3公里与2公里处同向散步回家，家中的狗一直在二人之间来回奔跑。

第九届全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类)

I ydx zdy xdz .
得分
四 (本题满分 15 分) 设函数 f (x) 0 且在实轴上连续，
评阅人
若对任意实数 t ，有 e|tx| f (x)dx 1 ，证明 a,b ，
a b ，有 b f (x)dx b a 2 .
a
2
省市____________学校____________准考证号____________姓名____________
密封线
密封线
省市____________学校____________准考证号_____________姓名____________
全国大学生数学竞赛预赛（非数学类,2017）-1
第九届全国大学生数学竞赛预赛试卷 (非数学类, 2017 年)
6. 记曲面 z2 x2 y2 和 z 4 x2 y2 围成空间区域为 V ，则三重积分
得分评阅人
一 (本题满分 42 分, 共 6 小题, 每小题 7 分)
1. 已知可导函数满足
x
f (x)cos x 20 f (t)sin tdt x 1
则 f (x) =_______
2. 极限 lim sin 2 n2 n =__________. n
3. 设 w f (u,v) 具有二阶连续偏导数，且 u=x cy，v=x+cy ，其中 c 为非零
得分评阅人
二 (本题满分 14 分) 设二元函数 f (x, y) 在平面上有连续的二阶偏导数. 对任何角度，定义一元函数
g (t) f (t cos , t sin ) ，
若对任何
都有
dg (0) dt
0
且
d 2 g (0) dt 2
0
.

第九届全国大学生数学竞赛非数类参考答案(白兔兔)

学校
由 α 的任意性得
"
fx p0, 0q “ 0 fy p0, 0q “ 0
, 从而 p0, 0q 是 f px, yq 的驻点.
˘ d2 gα pt q d` fx cos α ` fy sin α “ 2 dt dt ` ˘ ˘ ` “ fxx cos α ` fxy sin α cos α ` fyx cos α ` fyy sin α sin α 省市 “ fxx cos2 α ` 2 fxy sin α cos α ` fyy sin2 α “ ‰ “ sin α cos α fxx cot2 α ` 2 fxy ` fyy tan2 α
所以 f p0, 0q 是 f px, yq 极小值. 三、 (本题满分 14 分) 设曲线 Γ 为曲线 x ě 0, y ě 0, z ě 0 ∫ 上从点 Ap1, 0, 0q 到点 Bp0, 0, 1q 的一段. 求曲线积分 I “ y dx ` z dy ` x dz
Γ
x2 ` y2 ` z2 “ 1 ,
Γ1 Σ
第 4 页, 共 6 页
曲线 Γ 在 xOy 面上投影的方程为
` ˘2 x´ 1 y2 2 ` 1 ˘2 ` ` 1 ˘2 “ 1 座位号
2 ? 2
又该投影（半个椭圆）的面积得知 1 π 这样就有 I “ ´ ? 2 2 2
Σ
π dx dy “ ? . 同理, 4 2
Σ
π dy dz “ ? 4 2
密封线答题时不要超过此线姓名
一、 (本题满分 42 分, 共 6 小题, 每小题 7 分) ∫ x 1. 已知可导函数 f pxq cos x ` 2 f pt q sin t dt “ x ` 1 满足则 f pxq “

全国大学生数学竞赛第九届(非数学)决赛试卷

xi2 − xi xi+1 ， n ≥ 2 .
=i 1=i 1
(1) 证明：对任一非零 x ∈ Rn ， H (x) > 0 ； (2) 求 H (x) 满足条件 xn = 1的最小值.
得分评阅人
六 (本题满分 12 分)
{ } 设函数 f (x, y) 在区= 域 D (x, y) x2 + y2 ≤ a2 上具
第九届全国大学生数学竞赛决赛试卷
得分
(非数学类, 2018 年 3 月)
评阅人
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二 (本题满分 11 分)
设函数 f (x) 在区间 (0,1) 内连续，且存在两两互异的点 x1, x2 , x3, x4 ∈ (0,1) ，使得
题号满分
−x 1 1 1
cz = dab ， d w = abc ，则行列式 1 − y 1
1 = ＿＿＿＿＿＿＿.
1 1 −z 1
1 1 1 −w
省市____________学校____________准考证号____________姓名____________考场号______座位号______ 密封线密封线密封线
有一阶连续偏导数，且满足 f (x, y) x2 + y2 = a2 = a2 ，以及
∫∫ max
( x, y )∈D

∂f ∂x
2
+

∂f ∂y
2

= a2 ，其中
a
>
0
.
证明：
D
f (x, y)dxdy
≤ 4πa4 . 3
全国大学生数学竞赛决赛（非数学类,2018）-4

第九届全国大学生数学竞赛决赛试题参考答案及评分标准

第九届全国大学生数学竞赛决赛试题参考答案及评分标准(非数学类, 2018 年 3 月)一、填空题(满分 30 分，每小题 6 分)：(1) 极限lim tan x - sin x =1.x →0 x ln(1+ s in 2 x )2(2) 设一平面过原点和点(6, -3, 2) ，且与平面4x - y + 2z = 8 垂直，则此平面方程为 2x + 2 y - 3z = 0 .(3) 设函数 f (x , y ) 具有一阶连续偏导数，满足d f (x , y ) = ye y d x + x (1+ y )e y d y ，及 f (0, 0) = 0 ，则 f (x , y ) =xye y .d u (t ) 1 2e t - e +1 (4) 满足 d t = u (t ) + ⎰0 u (t )d t 及u (0) = 1的可微函数u (t ) =3 - e.(5) 设a , b , c , d 是互不相同的正实数，x , y , z , w 是实数，满足a x = bcd ，b y = cda ， c z = dab ， d w = abc ，则行列式= 0.二、(本题满分 11 分) 设函数 f (x ) 在区间(0,1) 内连续，且存在两两互异的点 x 1, x 2 , x 3, x 4 ∈(0,1) ，使得α =f (x 1) - f (x 2 ) < x 1 - x 2 f (x 3 ) - f (x 4 ) =β ，x 3 - x 4证明：对任意λ ∈(α , β ) ，存在互异的点 x , x ∈(0,1) ，使得λ = f (x 5 ) - f (x 6 ) . 5 6 x - x56【证】不妨设 x 1 < x 2 , x 3 < x 4 ，考虑辅助函数F (t ) =f ((1- t )x 2 + tx 4 ) - f ((1- t )x 1 + tx 3 )，……… 4 分(1- t )(x 2 - x 1) + t (x 4 - x 3 )则 F (t ) 在闭区间[0, 1] 上连续，且 F (0) = α < λ < β = F (1) . 根据连续函数介值定理，存在t 0 ∈(0,1) ，使得 F (t 0 ) = λ .………………… 3 分-x 11 1 1 - y11 1 1 -z11 11 -wn n !1⎣ ⎦- ∑π令 x 5 = (1- t 0 )x 1 + t 0 x 3 ， x 6 = (1- t 0 )x 2 + t 0 x 4 ，则 x 5, x 6 ∈(0,1) ， x 5 < x 6 ，且λ = F (t ) = f (x 5 ) - f (x 6 ).………………… 4 分x - x5 6三、(本题满分 11 分)设函数 f (x ) 在区间[0,1] 上连续且⎰1f (x )d x ≠ 0 ，证明：在区间[0,1] 上存在三个不同的点x 1，x 2，x 3 ，使得π1f (x )d x =⎡ 1x 1f (t ) d t + f (x ) arctan⎤8 ⎰⎢1 + x 2 ⎰01x 1 ⎥ x 3⎣ 1 = ⎡ 1x 2 f (t ) d t + f (x ) a rctan x ⎦ ⎤ (1 - x ). ⎢1 + x 2 ⎰0 2 2 ⎥ 3 ⎣ 2 ⎦【证】令 F (x ) = 4 arctan x ⎰0 ，则F (0) = 0, F (1) = 1且函数F (x )在闭⎰f (t )d t区间[0,1] 上可导. 根据介值定理，存在点x 3 ∈(0,1) ，使F (x 3 ) = 1. 2………………… 5 分再分别在区间[0, x 3 ] 与[x 3，1]上利用拉格朗日中值定理，存在x 1 ∈(0,x 3) ，使得F (x 3) - F (0) = F '(x 1)(x 3 - 0) ，即π1⎡ 1 x 1⎤8 ⎰0 f (x )d x = ⎢1 + x 2 ⎰0 f (x ) d x + f (x 1) arctan x 1 ⎥ x 3 ； ……… 3 分⎣ 1 ⎦且存在x 2 ∈(x 3 ,1) ，使F (1) - F (x 3) = F '(x 2 )(1 - x 3) ，即π1f (x )d x =⎡ 1x 2f (x ) d x + f (x) arctan x ⎤(1 - x ) .8 ⎰⎢1 + x 2 ⎰022⎥ 3⎣2⎦………………… 3 分四、(本题满分 12 分) 求极限： lim ⎡n +1 (n +1)! - n n !⎤ .n →∞【解】注意到n +1(n +1)! - n⎡ n +1 (n +1)! n !=n ⎢ ⎤ 1⎥ ，而 ………… 3 分 ⎢ nn ! ⎦⎥ nlim1 nk lnln x d x1lim= en →∞ n k =1n = e ⎰0= ，…………… 3 分nn !xf (t )d t1n n en n ! nn ! ∑∑ 【证】 (1) 二次型 H (x ) = ∑ x -⎝ ⎭n -1 ⎭n n +1- 1 ⋅1 ∑n +1lnk=(n +1)n[(n +1)!] (n !)n +1 = (n +1)n (n +1)= e(n +1)!n n +1k =1 n +1， …… 3 分利用等价无穷小替换e x -1 x (x → 0) ，得lim ⎡ n +1 (n +1)! ⎤ n - 1 n +1 k 1n →∞ nn ! 1⎥ = - lim n +1∑ln n +1 = -⎰0 ln x d x = 1 ， ⎢⎣因此，所求极限为⎦⎥ n →∞⎤k =1⎡ n +1 (n +1)! ⎤ 1lim - = limlim n ⎢ -1⎥ = . …… 3 分n →∞⎦ n →∞ n n →∞ ⎢⎣n n ! ⎦⎥ enn -1五、(本题满分 12 分) 设 x = (x , x , , x )T ∈ R n ，定义 H (x ) =x 2 -xx，n ≥ 2 .1 2 ni =1ii i +1i =1(1)证明：对任一非零 x ∈ R n ， H (x ) > 0 ；(2)求 H (x ) 满足条件 x n = 1的最小值.nn -1 2ii i 1的矩阵为i =1⎛i =11 ⎫2 ⎪ ⎪ - 1 1 - 1 ⎪ 2 2 ⎪ 1 ⎪A = -2 ⎪ ， ……………3 分⎪ 1 ⎪ 1 - ⎪2 ⎪ - 11⎪⎪ ⎝ 2 ⎭因为 A 实对称，其任意k 阶顺序主子式∆k > 0 ，所以 A 正定，故结论成立. ………………… 3 分 (2) 对 A 作分块如下 A = ⎛ A n -1 α ⎫ ，其中α = (0, , 0, - 1)T ∈ R n -1 ，取可逆矩⎛ I - A -1 α ⎫α T 1 ⎪ ⎛ A n -1 2 0 ⎫ ⎛ A n -1 0 ⎫ 阵 P = n -1 n -1 ⎪ ，则 P T AP = ⎪ = ⎪ ，其中⎝ 01 ⎭ ⎝ 0 1- α T A -1α ⎝ 0 a ⎭ n +1(n +1)!nn !⎡n +1 (n +1)! ⎣⎢ 1 -n -1 ⎛ f ⎫ ∂x ∂y a = 1- α T A -1α .………………… 3 分记 x = P (x ,1)T ，其中 x = (x , x , , x )T ∈ R n -1 ，因为12n -1H (x ) = x T Ax = (x T ，1)P T (P T )-1 ⎛ An -10 ⎫ P -1P ⎛ x 0 ⎫ = x TA x + a ，0 0a ⎪ 1 ⎪ 0 n -1 0⎝⎭ ⎝ ⎭且 A 正定，所以 H (x ) = x T A x + a ≥ a ，当 x = P (x ,1)T = P (0,1)T 时， H (x ) = a .n -10 n -1 0因此， H (x ) 满足条件 x n = 1的最小值为a .………………… 3 分六、(本题满分 12 分) 设函数 f (x , y ) 在区域 D = {(x , y ) x 2 + y 2 ≤ a 2}上具有一阶连续偏导数，且满足 f (x , y )⎡ ∂ 2 = a 2，以及 max ⎢⎛ ∂f ⎫2⎤ +⎥ = a 2 ，其x 2 + y 2 =a 2中a > 0 . 证明： ⎰⎰ f (x , y )d x d y ≤ 4π a 4 .( x , y )∈D⎪ ⎢⎣⎝ ⎭ ⎪ ⎝ ⎭ ⎥⎦D3 【解】在格林公式P (x , y )d x + Q (x , y )d y = ⎛ ∂Q - ∂P ⎫d x d y ⎰ ⎰⎰ ∂x ∂y ⎪C D ⎝⎭中，依次取 P = yf (x , y ) ， Q = 0 和取 P = 0 ， Q = xf (x , y ) ，分别可得⎰⎰ f (x , y )d x d y = - ⎰ yf (x , y )d x - ⎰⎰ y ∂fd x d y ， D C D ∂y⎰⎰ f (x , y )d x d y = ⎰ xf (x , y )d y - ⎰⎰ x ∂fd x d y .两式相加，得D C D ∂x= a 2 -+- 1⎛ ∂f +∂f ⎫= + ⎰⎰ f (x , y )d x d y2⎰ y d x x d y 2 ⎰⎰ x∂x y ∂y ⎪d x d y I 1 I 2DCD ⎝ ⎭ ………………… 4 分a224对 I 1 再次利用格林公式，得 I 1 =2⎰ - y d x + x d y = a ⎰⎰ d x d y = π a ， …… 2 分CD对 I 2 的被积函数利用柯西不等式，得I 2 ≤ 1⎰⎰ x∂f+ yd x d y ≤1 ⎰⎰d x d y∂f ∂y2 D ∂x2 Dn n =1≤ax d y = 1π a 4 ，………………… 4 分2 D3因此，有⎰⎰f (x , y )d x d y ≤ π a 4 + 1 π a 4= 4 π a 4 . …………… 2 分D七、(本题满分 12 分) 设0 < a 3 3ln 1< 1 ,n = 1, 2, ，且lim a n= q (有限或+ ∞ ).nn →∞ln n∞∞(1)证明：当q > 1 时级数∑ a n 收敛，当q < 1 时级数∑ a n 发散；n =1n =1(2)讨论q = 1 时级数∑ a n 的收敛性并阐述理由.n =1证: (1)若 q > 1 ，则∃ p ∈ R ,s.t. q > p > 1 .根据极限性质， ∃N ∈ Z + ，s.t.ln 1a n1 ∞1∞∀n > N ，有ln n> p ，即a n <n p，而 p > 1时∑n p 收敛,所以∑ a n 收敛.n =1n =1若q < 1 ，则 ………………… 3 分∃ p ∈ R ，s.t. q < p < 1. 根据极限性质，∃N ∈ Z + ,s.t. ∀n > N ，ln 1a n1∞1∞有 ln n < p ，即a n > n p ，而 p < 1时∑ n p 发散,所以∑ a n 发散. n =1 n =1………………… 3 分(2) 当q = 1 时，级数∑ an可能收敛，也可能发散.n =11∞例如： a n = 满足条件，但级数∑ a n 发散； ………………… 3 分n =11 ∞又如： a n =n ln 2 n满足条件，但级数∑ a n 收敛. ………………… 3 分∞∞。

最终版第9届全国大学生数学竞赛(非数学)决赛试卷答案

点 x1, x2 , x3, x4 ∈ (0,1) ，使得
α = f (x1) − f (x2 ) < f (x3) − f (x4 ) =β ，
x1 − x2
x3 − x4
证明：对任意 λ ∈ (α , β ) ，存在互异的点 x5, x6 ∈ (0,1) ，使得 λ
=
f (x5 ) − f (x6 ) . x5 − x6
x1 x3
；
……… 3 分
且存在 x2 ∈ (x3 ,1) ，使 F (1) − F (x3)= F ′(x2 )(1− x3) ，即
∫ ∫ π
8
1
c (x )dx =
0
1
1
+
x
2 2
x2 0
c
(x
)
d
x
+
c
(x 2
)
arctan
x2
(1
−
x3)
.
………………… 3 分
四、(本题满分 12 分)
存在 t0 ∈ (0,1) ，使得 F (t0 ) = λ .
1
………………… 3 分
令 x5 =(1− t0 )x1 + t0 x3 ， x6 =(1− t0 )x2 + t0 x4 ，则 x5, x6 ∈ (0,1) ， x5 < x6 ，且
=λ F= (t0 )
f (x5 ) − f (x6 ) . x5 − x6
1 .
2
………………… 5 分
再分别在区间[0, x3 ] 与[x3，1]上利用拉格朗日中值定理，存在x1 ∈ (0,x3) ，
使得 F (x3) − F (= 0) F ′(x1)(x3 − 0) ，即

历届全国大学生数学竞赛预赛试卷

历届全国⼤学⽣数学竞赛预赛试卷全国⼤学⽣数学竞赛预赛试卷（⾮数学类）2009年第⼀届全国⼤学⽣数学竞赛预赛试卷（⾮数学类）⼀、填空题（每⼩题5分，共20分）1．计算()ln(1)d yx y x y ++=??____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三⾓形区域.2．设)(x f 是连续函数，且满⾜220()3()d 2f x x f x x =--?，则()f x =____________.3．曲⾯2222x z y =+-平⾏平⾯022=-+z y x 的切平⾯⽅程是__________.4．设函数)(x y y =由⽅程29ln )(y y f e xe=确定，其中f 具有⼆阶导数，且1≠'f ，则=22d d xy________________. ⼆、（5分）求极限xenx x x x ne e e )(lim 20+++→Λ，其中n 是给定的正整数. 三、（15分）设函数)(x f 连续，10()()g x f xt dt =?，且A x x f x =→)(lim 0，A 为常数，求()g x '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.四、（15分）已知平⾯区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：（1）-=---Lx y Lx yx ye y xe x ye y xed d d d sin sin sin sin ；（2）2sin sin 25d d π?≥--Ly yx ye y xe.五、（10分）已知xxexe y 21+=，xx exe y -+=2，x xx e exe y --+=23是某⼆阶常系数线性⾮齐次微分⽅程的三个解，试求此微分⽅程.六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时，0≥y ，⼜已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的⾯积为31.试确定c b a ,,，使此图形绕x 轴旋转⼀周⽽成的旋转体的体积V 最⼩.七、（15分）已知)(x u n 满⾜1()()1,2,n xnn u x u x x e n -'=+=L ，且n eu n =)1(，求函数项级数∑∞=1)(n n x u 之和.⼋、（10分）求-→1x 时，与∑∞=02n n x 等价的⽆穷⼤量.2010年第⼆届全国⼤学⽣数学竞赛预赛试卷（⾮数学类）⼀、（25分，每⼩题5分）（1）设22(1)(1)(1)nnx a a a =+++L ，其中||1,a <求lim .n n x →∞（2）求21lim 1x xx ex -→∞+ ?.（3）设0s >，求0(1,2,)sx nn I e x dx n ∞-==?L .（4）设函数()f t有⼆阶连续导数，1(,)r g x y f r ??==，求2222g g x y ??+??. （5）求直线10:0x y l z -=??=?与直线2213:421x y z l ---==--的距离. ⼆、（15分）设函数()f x 在(,)-∞+∞上具有⼆阶导数，并且()0f x ''>，lim ()0x f x α→+∞'=>，lim ()0x f x β→-∞'=<，且存在⼀点0x ，使得0()0f x <.证明：⽅程()0f x =在(,)-∞+∞恰有两个实根.三、（15分）设函数()y f x =由参数⽅程22(1)()x t t t y t ψ?=+>-?=?所确定，且22d 3d 4(1)y x t =+，其中()t ψ具有⼆阶导数，曲线()y t ψ=与22132t u y e du e-=+在1t =出相切，求函数()t ψ. 四、（15分）设10,nn n k=>=∑，证明：（1）当1α>时，级数1nn na S α+∞=∑收敛；（2）当1α≤且()n s n →∞→∞时，级数1nn na S α+∞=∑发散. 五、（15分）设l 是过原点、⽅向为(,,)αβγ，（其中2221)αβγ++=的直线，均匀椭球2222221x y z a b c++≤（其中0c b a <<<，密度为1）绕l 旋转. （1）求其转动惯量；（2）求其转动惯量关于⽅向(,,)αβγ的最⼤值和最⼩值.六、(15分)设函数()x ?具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C 上，曲线积分422d ()d 0L xy x x y x y ?+=+??的值为常数.（1）设L 为正向闭曲线22(2)1x y -+=，证明422d ()d 0L xy x x yx y ?+=+??；（2）求函数()x ?；（3）设C 是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求422d ()d C xy x x y x y ?++??.2011年第三届全国⼤学⽣数学竞赛预赛试卷（⾮数学类）⼀、计算下列各题（本题共3⼩题，每⼩题各5分，共15分）（1）求11cos 0x x x -→??；（2）.求111lim ...12n n n n n →∞??++++++；（3）已知()2ln 1arctan tt x e y t e=+=-，求22d d y x .⼆、（本题10分）求⽅程()()24d 1d 0x y x x y y +-++-=的通解.三、（本题15分）设函数()f x 在0x =的某邻域内具有⼆阶连续导数，且()()()0,0,0f f f '''均不为0，证明：存在唯⼀⼀组实数123,,k k k ，使得()()()()12320230lim0h k f h k f h k f h f h→++-=. 四、（本题17分）设2221222:1x y z a b c∑++=，其中0a b c >>>，2222:z x y ∑=+，Γ为1∑与2∑的交线，求椭球⾯1∑在Γ上各点的切平⾯到原点距离的最⼤值和最⼩值.五、（本题16分）已知S 是空间曲线22310x y z ?+=?=?绕y 轴旋转形成的椭球⾯的上半部分（0z ≥）（取上侧），∏是S 在(,,)P x y z 点处的切平⾯，(,,)x y z ρ是原点到切平⾯∏的距离，,,λµν表⽰S 的正法向的⽅向余弦.计算：（1）()d ,,SzS x y z ρ??；（2）()3d Sz x y z S λµν++??六、（本题12分）设()f x 是在(,)-∞+∞内的可微函数，且()()f x mf x '<，其中01m <<，任取实数0a ，定义1ln (),1,2,...n n a f a n -==，证明：11()n n n a a ∞-=-∑绝对收敛.七、（本题15分）是否存在区间[]0,2上的连续可微函数()f x ，满⾜(0)(2)1f f ==，()1f x '≤，2()d 1f x x ≤?请说明理由.2012年第四届全国⼤学⽣数学竞赛预赛试卷（⾮数学类）⼀、（本⼤题共5⼩题，每⼩题6分，共30分）解答下列各题（要求写出重要步骤）.（1）求极限21lim(!)n n n →∞.（2）求通过直线2320:55430x y z l x y z +-+=??+-+=?的两个互相垂直的平⾯1π和2π，使其中⼀个平⾯过点(4,3,1)-.（3）已知函数(,)ax byz u x y e+=，且20ux y=.确定常数a 和b ，使函数(,)z z x y =满⾜⽅程20z z zz x y x y--+=?. （4）设函数()u u x =连续可微，(2)1u =，且3(2)d ()d Lx y u x x u u y +++?在右半平⾯与路径⽆关，求(,)u x y .（5）求极限1limx xx t +.⼆、（本题10分）计算20sin d x e x x +∞-?.三、（本题10分）求⽅程21sin2501x x x=-的近似解，精确到0.001. 四、（本题12分）设函数()y f x =⼆阶可导，且()0f x ''>，(0)0f =，(0)0f '=，求330() lim ()sin x x f u f x u→，其中u 是曲线()y f x =上点(,())P x f x 处的切线在x 轴上的截距. 五、（本题12分）求最⼩实数C ，使得满⾜10 ()d 1f x x =?的连续函数()f x都有1f dx C ≤?.六、（本题12分）设()f x 为连续函数，0t >.区域Ω是由抛物⾯22z x y =+和球⾯2222x y z t ++=(0)z >所围起来的部分.定义三重积分222()()d F t f x y z v Ω=++，求()F t 的导数()F t ''.七、（本题14分）设1n n a ∞=∑与1n n b ∞=∑为正项级数，证明：（1）若()111lim 0n n n n n a a b b →∞++->，则级数1n n a ∞=∑收敛；（2）若()111lim 0n n n n n a a b b →∞++-<，且级数1n n b ∞=∑发散，则级数1n n a ∞=∑发散. 2013年第五届全国⼤学⽣数学竞赛预赛试卷（⾮数学类）⼀、解答下列各题（每⼩题6分，共24分，要求写出重要步骤） 1.求极限(lim 1sin nn →∞+.2.证明⼴义积分0sin d xx x+∞不是绝对收敛的.3.设函数()y y x =由323322x x y y +-=确定，求()y x 的极值.4.过曲线0)y x =≥上的点A 作切线，使该切线与曲线及x 轴所围成的平⾯图形的⾯积为34，求点A 的坐标.⼆、（满分12分）计算定积分2sin arctan d 1cos xx x e I x xππ-?=+?.三、（满分12分）设()f x 在0x =处存在⼆阶导数(0)f ''，且()0lim 0x f x x →=.证明：级数11n f n ∞=??∑收敛.四、（满分12分）设(),()0()f x f x m a x b π'≤≥>≤≤，证明2sin ()d baf x x m≤. 五、（满分14分）设∑是⼀个光滑封闭曲⾯，⽅向朝外.给定第⼆型的曲⾯积分()()()333d d 2d d 3d d I x x y z y y z x z z x y ∑=-+-+-??.试确定曲⾯∑，使积分I 的值最⼩，并求该最⼩值.六、（满分14分）设22d d ()()a aC y x x y I r x y -=+?，其中a 为常数，曲线C为椭圆222x xy y r ++=，取正向.求极限lim ()a r I r →+∞.七、（满分14分）判断级数()()1111212n n n n ∞=+++++∑L 的敛散性，若收敛，求其和. 2014年第六届全国⼤学⽣数学竞赛预赛试卷（⾮数学类）⼀、填空题（共有5⼩题，每题6分，共30分）1.已知1x y e =和1x y xe =是齐次⼆阶常系数线性微分⽅程的解，则该⽅程是.2.设有曲⾯22:2S z x y =+和平⾯022:=++z y x L .则与L 平⾏的S 的切平⾯⽅程是.3.设函数()y y x =由⽅程21sin d 4y xt x t π-??=所确定.求d d x y x ==.4.设1(1)!nn k kx k ==+∑，则=∞→n n x lim .5.已知130()lim 1x x f x x e x →??++= ??，则=→20)(lim x x f x . ⼆、（本题12分）设n 为正整数，计算21d 1cos ln d d ne I x x x π-??=. 三、（本题14分）设函数()f x 在]1,0[上有⼆阶导数，且有正常数,A B 使得()f x A ≤，|"()|f x B ≤.证明：对任意]1,0[∈x ，有2 2|)('|B A x f +≤.四、（本题14分）（1）设⼀球缺⾼为h ，所在球半径为R .证明该球缺体积为2)3(3h h R -π，球冠⾯积为Rh π2；（2）设球体12)1()1()1(222≤-+-+-z y x 被平⾯6:=++z y x P 所截的⼩球缺为Ω，记球缺上的球冠为∑，⽅向指向球外，求第⼆型曲⾯积分d d d d d d I x y z y z x z x y ∑=++??.五、（本题15分）设f 在],[b a 上⾮负连续，严格单增，且存在],[b a x n ∈，使得-=b ann n dx x f a b x f )]([1)]([.求n n x ∞→lim .六、（本题15分）设2222212n n n nA n n n n =++++++L ，求??-∞→n n A n 4lim π. 2015年第七届全国⼤学⽣数学竞赛预赛试卷（⾮数学类）⼀、填空题（每⼩题6分，共5⼩题，满分30分）（1）极限2222sin sin sin lim 12n n n n n n n n πππ→∞??+++= ?+++ ?L . （2）设函数(),z zx y =由⽅程,0z z F x y y x ?++= ??所决定，其中(),F u v 具有连续偏导数，且0u v xF yF +≠则z zxy x y+=. （3）曲⾯221z x y =++在点()1,1,3M-的切平⾯与曲⾯所围区域的体积是.（4）函数()[)[)3,5,00,0,5x f x x ?∈-?=?∈??在(]5,5-的傅⽴叶级数在0x =收敛的是.（5）设区间()0,+∞上的函数()u x 定义域为()2xt u x e dt +∞-=?，则()u x 的初等函数表达式是.⼆、（12分）设M 是以三个正半轴为母线的半圆锥⾯，求其⽅程. 三、（12分）设()f x 在(),a b 内⼆次可导，且存在常数,αβ，使得对于(),x a b ?∈，有()()()f x f x f x αβ'=+，则()f x 在(),a b 内⽆穷次可导.四、（14分）求幂级数()()30211!nn n x n ∞=+-+∑的收敛域及其和函数.五、（16分）设函数()f x 在[]0,1上连续，且()()110,1f x dx xf x dx ==??.试证：（1）[]00,1x ?∈使()04f x >；（2）[]10,1x ?∈使()14f x =.五、（16分）设(),f x y 在221x y +≤上有连续的⼆阶偏导数，且2222xx xy yy f f f M ++≤.若()()()0,00,0,00,00x y f f f ===，证明：()221,4x y f x y dxdy +≤≤.2016年第⼋届全国⼤学⽣数学竞赛预赛试卷（⾮数学类）⼀、填空题（每⼩题5分，满分30分）1、若()f x 在点x a =可导，且()0f a ≠，则()1lim nn f a n f a →∞?+=__________. 2、若()10f =，()1f '存在，求极限()()220sin cos tan3lim1sin x x f x x xI ex→+=-.3、设()f x 有连续导数，且()12f =，记()2x z f e y =，若zz x=，求()f x 在0x >的表达式. 4、设()sin 2x f x e x =，求02n a π<<，()()40f .5、求曲⾯22 2x z y =+平⾏于平⾯220x y z +-=的切平⾯⽅程.⼆、（14分）设()f x 在[]0,1上可导，()00f =，且当()0,1x ∈，()01f x '<<，试证当()0,1a ∈，()()()230d d aaf x xf x x >?.三、（14分）某物体所在的空间区域为222:22x y z x y z Ω++≤++，密度函数为222x y z ++，求质量()222d d d M x y z x y z Ω=++.四、（14分）设函数()f x 在闭区间[]0,1上具有连续导数，()00f =，()11f =，证明：()10111lim 2nn k k n f x dx fn n →∞=-=- ? ?∑?. 五、（14分）设函数()f x 在闭区间[]0,1上连续，且()1d 0I f x x =≠?，证明：在()0,1内存在不同的两点12,x x ，使得()()12112f x f x I+=. 六、（14分）设()f x 在(),-∞+∞可导，且()()(2f x f x f x =+=.⽤Fourier 级数理论证明()f x 为常数.2017年第九届全国⼤学⽣数学竞赛预赛试卷（⾮数学类）⼀、1.已知可导函数f (x )满⾜?+=+xx tdt t f x xf 01sin )(2)(cos ，则()f x =_________.2．求??+∞→n n n 22sin lim π.3.设(,)w f u v =具有⼆阶连续偏导数，且==+u x cy v x cy -，，其中c 为⾮零常数.则21xx yy w w c -=_________. 4.设()f x 有⼆阶导数连续，且(0)'(0)0,"(0)6f f f ===，则240(sin )lim x f x x →=____.5.不定积分sin 2sin 2(1sin )x e xI dx x -=-?=________. 6.记曲⾯222z x y =+和z =围成空间区域为V ，则三重积分Vzdxdydz =___________.⼆、（本题满分14分)设⼆元函数(,)f x y 在平⾯上有连续的⼆阶偏导数.对任何⾓度α，定义⼀元函数()(cos ,sin )g t f t t =ααα.若对任何α都有(0)0dg dtα=且22(0)0d g dt α>.证明)0,0(f 是(,)f x y 的极⼩值. 三、(本题满分14分)设曲线Γ为在2221x y z ++=，1x z +=，0,0,0x y z ≥≥≥上从(1,0,0)A 到(0,0,1)B 的⼀段.求曲线积分?Γ++=xdz zdy ydx I.四、(本题满分15分)设函数()0f x >且在实轴上连续，若对任意实数t ，有||()1t x ef x dx +∞---∞≤?，则,()a b a b ?<，2()2bab a f x dx -+≤. 五、(本题满分15分)设{}n a 为⼀个数列，p 为固定的正整数。

大学生数学竞赛非数试题及答案

大学生数学竞赛（非数学类）试卷及标准答案一、填空（每小题5分，共20分）.(1)计算)cos1(cos1lim0xxxx--+→= .(2)设()f x在2x=连续，且2()3lim2xf xx→--存在，则(2)f= .(3)若txx xttf2)11(lim)(+=∞→，则=')(tf.(4)已知()f x的一个原函数为2ln x，则()xf x dx'⎰= .（1）21. (2) 3 . (3)tet2)12(+. (4)Cxx+-2lnln2.二、（5分）计算dxdyxyD⎰⎰-2，其中110≤≤≤≤yxD，：.解：dxdyxyD⎰⎰-2=dxdyyxxyD)(21:2-⎰⎰<+⎰⎰≥-22:2)(xyDdxdyxy-------- 2分=dyyxdx x)(221-⎰⎰+dyxydxx)(12102⎰⎰--------------4分分.三、（10分）设)](sin[2xfy=，其中f具有二阶导数，求22dxyd.解：)],(cos[)(222xfxf xdxdy'=---------------3分)](sin[)]([4)](cos[)(4)](cos[)(222222222222xfxfxxfxfxxfxfdxyd'-''+'=-----7分姓名：身份证号：所在院校：年级：专业：线封密密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记.=)]}(sin[)]([)](cos[)({4)](cos[)(222222222x f x f x f x f x x f x f '-''+'---------10分.15分）已知3123ln 0=-⋅⎰dx e e a x x ，求a 的值. )23(23ln 0xa x e d e -----------3分令t e x =-23，所以dt t dx e e aaxx⎰⎰--=-⋅231ln 02123---------6分=a t 231233221-⋅-------------7分=]1)23([313--⋅-a ，-----------9分由3123ln 0=-⋅⎰dx e e a x x ，故]1)23([313--⋅-a =31，-----------12分即3)23(a -=0-----------13分亦即023=-a -------------14分所以3=a -------------15分.10分）求微分方程0=-+'x e y y x 满足条件e yx ==1的特解.解：原方程可化为xe y x y x=+'1-----------2分这是一阶线性非齐次方程，代入公式得⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⋅⎰=⎰-C dx ex e e y dxx xdx x 11----------4分 =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⎰-C dx e x e ex x xln ln ----------5分 =[]⎰+C dx e x x 1-----------6分 =)(1C e xx+.---------------7分所以原方程的通解是)(1C e xy x+=.----------8分所在院校：年级：专业：线封密再由条件e yx ==1，有C e e +=，即0=C ，-----------9分因此，所求的特解是xe y x=.----------10分.六（10分）、若函数()f x 在(,)a b 内具有二阶导数，且12()()()f x f x f x ==，其中123a x x x b <<<<，证明：在13(,)x x 内至少有一点ξ，使()0f ξ'=。

全国大学生数学竞赛第九届(非数学)决赛试卷答案

80
1 1 + x12
x1 0
c
(x
)dx
+
c
(x1) arctan
x1 x3

；
……… 3 分
且存在 x2 ∈ (x3 ,1) ，使 F (1) − F (x3)= F ′(x2 )(1− x3) ，即
∫ ∫ π
8
1
c (x )dx =
0
1
1
+
x
2 2
x2 0
c
(x
)
d
x
+
c
(x 2
an
=
1 n ln2
n
满足条件，但级数
∞ n=1
an
收敛.
………………… 3 分
5
= a2 ，其
中a > 0.
证明：
∫∫
D
f (x, y)dxdy
≤
4πa4 . 3
【解】在格林公式
∫ C
P(
x,
y)dx
+
Q(
x,
y)dy
=∫∫ D

∂Q ∂x
−
∂P ∂y

dxdy
中，依次取 P = yf (x, y) ， Q = 0 和取 P = 0 ， Q = xf (x, y) ，分别可得
lim
n→∞
n
n n
!
n+1 (n +1)! = lni→m∞ n n n! −1
1. e
…… 3 分
n
n−1
∑ ∑ 五、(本题满分= 12 分) 设 x
(
x1
,
x2

2017年第九届全国大学生数学竞赛(非数学类)预赛题和参考答案

第九届全国大学生数学竞赛（非数学类）预赛题和参考答案2017年10月28日一、填空题（满分42分，共六小题，每小题7分） 1、已知可导函数满足,则()f x == 。

2、求极限()n n n +∞→22sin lim π == 。

3、设(,)w f u v =具有二阶连续偏导数，且==+u x cy v x cy -，，其中c 为非零常数。

则21xx yy w w c - = _ ___。

4、设()f x 有二阶导数连续，且(0)'(0)0,"(0)6f f f ===，则240(sin )lim x f x x → = ______ 。

5、不定积分 sin 2sin 2(1sin )x e xI dx x -=-⎰= ________。

6. 记曲面222z x y =+和224z x y =--围成空间区域为V ，则三重积分Vzdxdydz ⎰⎰⎰ = ____ ______。

二、（本题满分14分)设二元函数(,)f x y 在平面上有连续的二阶偏导数。

对任何角度α，定义一元函数()(cos ,sin )g t f t t ααα=。

若对任何α都有(0)0dg dt α=且22(0)0d g dt α>。

证明)0,0(f 是(,)f x y 的极小值。

三、(本题满分14分)设曲线Γ为在2221x y z ++=，1x z +=，0,0,0x y z ≥≥≥上从(1,0,0)A 到(0,0,1)B 的一段。

求曲线积分⎰Γ++=xdz zdy ydx I 。

四、(本题满分15分)设函数()0f x >且在实轴上连续，若对任意实数t ，有||()1t x e f x dx +∞---∞≤⎰，则,()a b a b ∀<，2()2bab a f x dx -+≤⎰。

五、(本题满分15分)设{}n a 为一个数列，p 为固定的正整数。

若()lim n p n n a a λ+→∞-=，其中λ为常数，证明 limnn a npλ→∞=。

第九届全国大学生数学竞赛决赛试题参考答案及评分标准

第九届全国大学生数学竞赛决赛试题参考答案及评分标准(非数学类, 2018 年 3 月)一、填空题(满分 30 分，每小题 6 分)：(1) 极限lim tan x - sin x =1.x →0 x ln(1+ s in 2 x )2(2) 设一平面过原点和点(6, -3, 2) ，且与平面4x - y + 2z = 8 垂直，则此平面方程为 2x + 2 y - 3z = 0 .(3) 设函数 f (x , y ) 具有一阶连续偏导数，满足d f (x , y ) = ye y d x + x (1+ y )e y d y ，及 f (0, 0) = 0 ，则 f (x , y ) =xye y .d u (t ) 1 2e t - e +1 (4) 满足 d t = u (t ) + ⎰0 u (t )d t 及u (0) = 1的可微函数u (t ) =3 - e.(5) 设a , b , c , d 是互不相同的正实数，x , y , z , w 是实数，满足a x = bcd ，b y = cda ， c z = dab ， d w = abc ，则行列式= 0.二、(本题满分 11 分) 设函数 f (x ) 在区间(0,1) 内连续，且存在两两互异的点 x 1, x 2 , x 3, x 4 ∈(0,1) ，使得α =f (x 1) - f (x 2 ) < x 1 - x 2 f (x 3 ) - f (x 4 ) =β ，x 3 - x 4证明：对任意λ ∈(α , β ) ，存在互异的点 x , x ∈(0,1) ，使得λ = f (x 5 ) - f (x 6 ) . 5 6 x - x56【证】不妨设 x 1 < x 2 , x 3 < x 4 ，考虑辅助函数F (t ) =f ((1- t )x 2 + tx 4 ) - f ((1- t )x 1 + tx 3 )，……… 4 分(1- t )(x 2 - x 1) + t (x 4 - x 3 )则 F (t ) 在闭区间[0, 1] 上连续，且 F (0) = α < λ < β = F (1) . 根据连续函数介值定理，存在t 0 ∈(0,1) ，使得 F (t 0 ) = λ .………………… 3 分-x 11 1 1 - y11 1 1 -z11 11 -wn n !1⎣ ⎦- ∑π令 x 5 = (1- t 0 )x 1 + t 0 x 3 ， x 6 = (1- t 0 )x 2 + t 0 x 4 ，则 x 5, x 6 ∈(0,1) ， x 5 < x 6 ，且λ = F (t ) = f (x 5 ) - f (x 6 ).………………… 4 分x - x5 6三、(本题满分 11 分)设函数 f (x ) 在区间[0,1] 上连续且⎰1f (x )d x ≠ 0 ，证明：在区间[0,1] 上存在三个不同的点x 1，x 2，x 3 ，使得π1f (x )d x =⎡ 1x 1f (t ) d t + f (x ) arctan⎤8 ⎰⎢1 + x 2 ⎰01x 1 ⎥ x 3⎣ 1 = ⎡ 1x 2 f (t ) d t + f (x ) a rctan x ⎦ ⎤ (1 - x ). ⎢1 + x 2 ⎰0 2 2 ⎥ 3 ⎣ 2 ⎦【证】令 F (x ) = 4 arctan x ⎰0 ，则F (0) = 0, F (1) = 1且函数F (x )在闭⎰f (t )d t区间[0,1] 上可导. 根据介值定理，存在点x 3 ∈(0,1) ，使F (x 3 ) = 1. 2………………… 5 分再分别在区间[0, x 3 ] 与[x 3，1]上利用拉格朗日中值定理，存在x 1 ∈(0,x 3) ，使得F (x 3) - F (0) = F '(x 1)(x 3 - 0) ，即π1⎡ 1 x 1⎤8 ⎰0 f (x )d x = ⎢1 + x 2 ⎰0 f (x ) d x + f (x 1) arctan x 1 ⎥ x 3 ； ……… 3 分⎣ 1 ⎦且存在x 2 ∈(x 3 ,1) ，使F (1) - F (x 3) = F '(x 2 )(1 - x 3) ，即π1f (x )d x =⎡ 1x 2f (x ) d x + f (x) arctan x ⎤(1 - x ) .8 ⎰⎢1 + x 2 ⎰022⎥ 3⎣2⎦………………… 3 分四、(本题满分 12 分) 求极限： lim ⎡n +1 (n +1)! - n n !⎤ .n →∞【解】注意到n +1(n +1)! - n⎡ n +1 (n +1)! n !=n ⎢ ⎤ 1⎥ ，而 ………… 3 分 ⎢ nn ! ⎦⎥ nlim1 nk lnln x d x1lim= en →∞ n k =1n = e ⎰0= ，…………… 3 分nn !xf (t )d t1n n en n ! nn ! ∑∑ 【证】 (1) 二次型 H (x ) = ∑ x -⎝ ⎭n -1 ⎭n n +1- 1 ⋅1 ∑n +1lnk=(n +1)n[(n +1)!] (n !)n +1 = (n +1)n (n +1)= e(n +1)!n n +1k =1 n +1， …… 3 分利用等价无穷小替换e x -1 x (x → 0) ，得lim ⎡ n +1 (n +1)! ⎤ n - 1 n +1 k 1n →∞ nn ! 1⎥ = - lim n +1∑ln n +1 = -⎰0 ln x d x = 1 ， ⎢⎣因此，所求极限为⎦⎥ n →∞⎤k =1⎡ n +1 (n +1)! ⎤ 1lim - = limlim n ⎢ -1⎥ = . …… 3 分n →∞⎦ n →∞ n n →∞ ⎢⎣n n ! ⎦⎥ enn -1五、(本题满分 12 分) 设 x = (x , x , , x )T ∈ R n ，定义 H (x ) =x 2 -xx，n ≥ 2 .1 2 ni =1ii i +1i =1(1)证明：对任一非零 x ∈ R n ， H (x ) > 0 ；(2)求 H (x ) 满足条件 x n = 1的最小值.nn -1 2ii i 1的矩阵为i =1⎛i =11 ⎫2 ⎪ ⎪ - 1 1 - 1 ⎪ 2 2 ⎪ 1 ⎪A = -2 ⎪ ， ……………3 分⎪ 1 ⎪ 1 - ⎪2 ⎪ - 11⎪⎪ ⎝ 2 ⎭因为 A 实对称，其任意k 阶顺序主子式∆k > 0 ，所以 A 正定，故结论成立. ………………… 3 分 (2) 对 A 作分块如下 A = ⎛ A n -1 α ⎫ ，其中α = (0, , 0, - 1)T ∈ R n -1 ，取可逆矩⎛ I - A -1 α ⎫α T 1 ⎪ ⎛ A n -1 2 0 ⎫ ⎛ A n -1 0 ⎫ 阵 P = n -1 n -1 ⎪ ，则 P T AP = ⎪ = ⎪ ，其中⎝ 01 ⎭ ⎝ 0 1- α T A -1α ⎝ 0 a ⎭ n +1(n +1)!nn !⎡n +1 (n +1)! ⎣⎢ 1 -n -1 ⎛ f ⎫ ∂x ∂y a = 1- α T A -1α .………………… 3 分记 x = P (x ,1)T ，其中 x = (x , x , , x )T ∈ R n -1 ，因为12n -1H (x ) = x T Ax = (x T ，1)P T (P T )-1 ⎛ An -10 ⎫ P -1P ⎛ x 0 ⎫ = x TA x + a ，0 0a ⎪ 1 ⎪ 0 n -1 0⎝⎭ ⎝ ⎭且 A 正定，所以 H (x ) = x T A x + a ≥ a ，当 x = P (x ,1)T = P (0,1)T 时， H (x ) = a .n -10 n -1 0因此， H (x ) 满足条件 x n = 1的最小值为a .………………… 3 分六、(本题满分 12 分) 设函数 f (x , y ) 在区域 D = {(x , y ) x 2 + y 2 ≤ a 2}上具有一阶连续偏导数，且满足 f (x , y )⎡ ∂ 2 = a 2，以及 max ⎢⎛ ∂f ⎫2⎤ +⎥ = a 2 ，其x 2 + y 2 =a 2中a > 0 . 证明： ⎰⎰ f (x , y )d x d y ≤ 4π a 4 .( x , y )∈D⎪ ⎢⎣⎝ ⎭ ⎪ ⎝ ⎭ ⎥⎦D3 【解】在格林公式P (x , y )d x + Q (x , y )d y = ⎛ ∂Q - ∂P ⎫d x d y ⎰ ⎰⎰ ∂x ∂y ⎪C D ⎝⎭中，依次取 P = yf (x , y ) ， Q = 0 和取 P = 0 ， Q = xf (x , y ) ，分别可得⎰⎰ f (x , y )d x d y = - ⎰ yf (x , y )d x - ⎰⎰ y ∂fd x d y ， D C D ∂y⎰⎰ f (x , y )d x d y = ⎰ xf (x , y )d y - ⎰⎰ x ∂fd x d y .两式相加，得D C D ∂x= a 2 -+- 1⎛ ∂f +∂f ⎫= + ⎰⎰ f (x , y )d x d y2⎰ y d x x d y 2 ⎰⎰ x∂x y ∂y ⎪d x d y I 1 I 2DCD ⎝ ⎭ ………………… 4 分a224对 I 1 再次利用格林公式，得 I 1 =2⎰ - y d x + x d y = a ⎰⎰ d x d y = π a ， …… 2 分CD对 I 2 的被积函数利用柯西不等式，得I 2 ≤ 1⎰⎰ x∂f+ yd x d y ≤1 ⎰⎰d x d y∂f ∂y2 D ∂x2 Dn n =1≤ax d y = 1π a 4 ，………………… 4 分2 D3因此，有⎰⎰f (x , y )d x d y ≤ π a 4 + 1 π a 4= 4 π a 4 . …………… 2 分D七、(本题满分 12 分) 设0 < a 3 3ln 1< 1 ,n = 1, 2, ，且lim a n= q (有限或+ ∞ ).nn →∞ln n∞∞(1)证明：当q > 1 时级数∑ a n 收敛，当q < 1 时级数∑ a n 发散；n =1n =1(2)讨论q = 1 时级数∑ a n 的收敛性并阐述理由.n =1证: (1)若 q > 1 ，则∃ p ∈ R ,s.t. q > p > 1 .根据极限性质， ∃N ∈ Z + ，s.t.ln 1a n1 ∞1∞∀n > N ，有ln n> p ，即a n <n p，而 p > 1时∑n p 收敛,所以∑ a n 收敛.n =1n =1若q < 1 ，则 ………………… 3 分∃ p ∈ R ，s.t. q < p < 1. 根据极限性质，∃N ∈ Z + ,s.t. ∀n > N ，ln 1a n1∞1∞有 ln n < p ，即a n > n p ，而 p < 1时∑ n p 发散,所以∑ a n 发散. n =1 n =1………………… 3 分(2) 当q = 1 时，级数∑ an可能收敛，也可能发散.n =11∞例如： a n = 满足条件，但级数∑ a n 发散； ………………… 3 分n =11 ∞又如： a n =n ln 2 n满足条件，但级数∑ a n 收敛. ………………… 3 分∞∞。

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应学友们的要求，小编专门整理了全国大学生数学竞赛初赛非数学专业和数学专业的第一届到第十届全部真题及参考解答，并且题目与参考解答独立分开，全部合成为PDF文件方便学友们下载！
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对于试题，建议自己在草稿纸上动手做完以后再参考给出的参考答案！参考解答一般仅提供一种思路上的参考，过程不一定是最简单的，或者最好的，并且有时候可能还有些许小错误！希望在对照完以后，不管是题目有问题，还是参考解答过程有问题，希望学友们能不吝指出！如果有更好的解题思路与过程，也欢迎通过后台或邮件以图片或Word文档形式发送给管理员，管理员将尽可能在第一时间推送和大家分享，谢谢！。

2017年全国数学竞赛非数学类

男
测控技术与仪器
彭望
男
测控技术与仪器
罗流洋
男
测控技术与仪器
刘奋强
男
测控技术与仪器
肖宁
男
测控技术与仪器
贾智慧
男
测控技术与仪器
罗林
男
测控技术与仪器
卢杉杉
女
测控技术与仪器
张睿
男
电子科学与技术
李鑫韬
男
电子科学与技术
赵汉青
男
电子科学与技术
杨欢
女
光电信息科学与工程
雷云松
男
光电信息科学与工程
邓清辉
女
光电信息科学与工程
考试时间：2017年10月28日上午9:00—11:30
地点：B二404(第四考场) 50人
序号
考生姓名
性别
学号
所学专业
签名
杨亚丽
汪子民
男
土木工程（建工方向）
廖海成
男
土木工程（建工方向）
徐菁
女
土木工程（岩土方向）
王子一
男
土木工程（岩土方向）
凌渝阳
男
土木工程（岩土方向）
王辉
男
土木工程（岩土方向）
高宇
男
土木工程（道桥方向）
韦曼
女
勘查技术与工程
赖慧慧
女
自动化
雷延钰
女
自动化
杜晓叶
女
自动化
夏海沿
男
自动化
周旭
男
自动化
陈欢
女
自动化
古枫凡
男
自动化
张腾飞
男
机械设计制造及其自动化
姚群旺
男

全国大学生数学竞赛初赛2017年第九届《非数学专业》竞赛题目及答案解析高清无水印版

【参考解答】【解法一】在有泰勒公式应用于解题的竞赛题解析中，特别强调了泰勒公式的两种类型适
用的问题类型。这里是求极限，并且是求自变量趋于0 的极限；毫无疑问，就是用带皮亚诺余项的泰勒公
式，并且由于函数由二阶连续导数，所以可以在0 点可以展开为二阶带皮亚诺余项的泰勒公式，即有
f x f 0 f 0x f 0x2 o x2 2!
2
1 t
dt
1t
dt
2
1 t
dt
et
dt
1t
1 det et
1t
1t
et
d 1
1 t
et
et
1 t (1 t)2 dt
tet
et
代入上式可得
dt
+C ，由于 sin x t ，所以
2
1 t
1t
esin x sin 2x
2esin x
I
2
1 sin x
dx
+C
1 sin x
6．记曲面z 2 x 2 y2 和z 4 x2 y2 围成的空间区域为V ，则三重积分
z d x d y d z ______________。
V
【参考解答一】由两个方程，可得边界线方程为x 2 y2 2 ，这个题目由被积函数的结构，只包含一个
变量 z ，而且用平行于 xOy 的平面取截取立体区域，截面都为圆，所以考虑先二后一的截面法计算要简
f xcosx f xsin x 2f xsin x 1
f xcosx f x sin x 1
f x f xtan x secx
这是一个非齐次的一阶线性微分方程，由计算公式可得
f (x) e tan x d x sec xe tan x d x d x C

【全国大学生数学竞赛真题试卷】2017年02-参考解答-第九届全国初赛-数学类试卷

lim
n
n k 1
f
nk
An
lim
n
n
1 1
2n f (x) d x lim n
1
n
1
2n f (x)d x
0
f (1) f (0) .
2 28
六、【参考解答】：容易知道 f x 连续，注意到 f (x) 1 x 2(1 x)，于是有
0 f (x) 1 f (0) f (1), x (0, 1)
n
d
x
m n
n n
4
1
1
1
4
n
1
n
1
1
1
1 n
n
1
(1
)
M
mn
n
1
f n (x)d x
从而 lim
0.
n
f n (x) d x
0
对于
0,
ln
5 4
，取
2
e 1
，则
0,
12,
ln
2
2
.
1
f n (x)d x
另一方面，由前述结论，存在 N 1 使得当n N 时，有
n
1 n
n k 1
f
nk
1
f (x)d x
0
1
1x
ln 2
x arctan x
dx
0 0 1x2
42
对于 x
k
n
1
,
k n
,
(1
k
n
)
，由中值定理，存在
n,k
k
n
1
,
k n

第九届全国大学生数学竞赛(非数学)决赛试卷答案

D C D
∂f
( x, y )dxdy ∫∫ f= ∫ xf ( x, y)dy − ∫∫ x ∂x dxdy .
D C D
∂f
两式相加，得
∫∫
D
a2 f ( x, y )dxdy = 2
x + y dxdy = I ∫ − ydx + xdy − 2 ∫∫ ∂y ∂x
C D
1
n
…… 3 分
n −1
五、(本题满分 12 分) 设 x ( x1 , x2 , , xn )T ∈ R n ，定义 H = = ( x)
n≥ 2.
= i 1= i 1
∑ xi2 − ∑ xi xi +1 ，
(1) 证明：对任一非零 x ∈ R n ， H ( x) > 0 ； (2) 求 H ( x) 满足条件 xn = 1 的最小值. 【证】 (1) 二次型 H ( x) =
第九届全国大学生数学竞赛决赛试题参考答案及评分标准 (非数学类, 2018 年 3 月)
一、填空题(满分 30 分，每小题 6 分)： (1) 极限 lim
x →0
tan x − sin x = x ln(1 + sin 2 x)
1 2
.
(2) 设一平面过原点和点 (6, −3, 2) ，且与平面 4 x − y + 2 z = 则此平面方 8 垂直，程为
n →∞
【解】注意到
n +1
n +1 (n + 1)! n n ! (n + 1)! − n n !=n n − 1 ，而 ………… 3 分 n n !
n 1
n
lim ∑ ln n! n→∞ n n ∫0 ln xdx 1 ， k =1 e= lim = e = n →∞ n e