《向量的线性运算》教案(1)
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3.掌握有特殊位置关系的两个向量的和，比如共线向量、共起点向量、共终点向量等. 4.初步体会数形结合在向量解题中的应用. 二、过程与方法 教材利用同学们熟悉的物理知识引出向量的加法，一方面启发我们利用位移的合成去探 索两个向量的和，另一方面帮助我们利用物理背景去理解向量的加法。最后通过讲解例题， 指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力. 三、情感、态度与价值观 通过本节内容的学习，使同学们对向量加法的三角形法则和平行四边形法则有了一定的 认识，进一步让学生理解和领悟数形结合的思想；同时以较熟悉的物理背景去理解向量的加 法，感受数学与生活的联系，增强学习数学的兴趣和积极性。 【教学重点与难点】： 重点：如何作两个向量的和向量 难点：对向量加法定义的理解. 【学法与教学用具】： 1. 学法： (1)自主性学习+探究式学习法： (2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距. 2.学法指导 数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？数的加法启发我们，从运算的角度看，位移 的合成、力的合成可看作向量的加法；借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加 法，让学生顺理成章接受向量的加法定义；结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边 形法则；联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律。 3. 教学用具：多媒体、实物投影仪、尺规. 【授课类型】：新授课 【课时安排】：1 课时 【教学思路】：
a b
2.向量的加法法则
O
aA
bB
（1）共线向量的加法：
同向向量
反向向量
a
a
b
O
A
b
B
BO
A
OB a + b
OB a + b
（2）不共线向量的加法
几何中向量加法是用几何作图来定义的，一般有两种方法，即向量加法的三角形法则（“首
尾相接，首尾连”）和平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）。
三角形法则：根据向量加法定义得到的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。
三、质疑答辩，排难解惑，发展思维
例 1 （教材 P60 例 1）如图， O 为正六边形的中心，作出下列向量：
（1） OA + OC
Biblioteka Baidu
（2） BC + FE
（3） OA + FE
例 2．如图，一艘船从 A点出发以 2 3km / h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时水的
流速为 2km/ h ，求船实际航行的速度的大小与方向。
解：设 AD 表示船垂直于对岸的速度， AB 表示水流的速度，以 AD ,
AB为邻边作平行四边形 ABCD，则 AC 就是船实际航行的速度,在 RtABC
中，| AB | 2 ， | BC | 2 3 ，所以| AC | | AB |2 | BC |2 4。
因为 tan CAB 2 3 3 CBA 60 2
( a + b )+ c = AC + CD AD ， a + ( b + c )= AB BD AD ,∴( a + b )+ c = a +( b + c )
从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行
例如： (a b) (c d ) (b d ) (a c) ； a b c d e [d (a c)] (b e) ．
与 b 相同，且| a + b |=| b |-| a |.
（4）“向量平移”：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到 n 个向量连加 3.向量加法的运算律
（1）向量加法的交换律： a + b = b + a
（2）向量加法的结合律：( a + b ) + c = a +( b + c )
证明：如图：使 AB a , BC b , CD c 则
向量的线性运算
【三维目标】： 一、知识与技能 1.理解向量加法的含义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和。 2.通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结
合律，表述两个运算律的几何意义，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；培养 数形结合解决问题的能力；
（2）当向量 a 与 b 不共线时， a + b 的方向不同向，且| a + b | | a |+| b |;
（3）当 a 与 b 同向时，则 a + b 、 a 、 b 同向，且| a + b |=| a |+| b |,当 a 与 b 反向时，
若| a | | b |,则 a + b 的方向与 a 相同，且| a + b |=| a |-| b |；若| a | | b |,则 a + b 的方向
向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法。表示： AB BC = AC ．
规定：零向量与任一向量 a ，都有 a 0 0 a a ．
【注意】：两个向量的和仍旧是向量（简称和向量）
作法：在平面内任意取一点 O ，作 OA = a ， AB = a ，则 OB = OA + AB = a + b
一、创设情景，揭示课题
【复习】：1.向量的概念 2.平行向量、相等向量的概念。
【情景设置】：利用向量的表示，从景点 O 到景点 A的位移为 OA ，从景点 A 到景点 B 的位移
为 AB ，那么经过这两次位移后游艇的合位移是 OB
●这里，向量 OA , OB , OC 三者之间有什么关系？
二、研探新知 1.向量的加法
b 的和，记作 a + b ，即 a + b AB BC AC
a b
C
b
a +b
B
Aa
三角形法则
C
D
B
a +b
b
a
平行四边形法则
A
【说明】：教材中采用了三角形法则来定义，这种定义，对两向量共线时同样适用，当向量不 共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是一致的 特殊情况： 探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；
表示： AB BC = AC ．
平行四边形法则：以同一点 A 为起点的两个已知向量 a ，b 为邻边作平行四边形 ABCD，
则以 A 为起点的对角线 AC 就是 a 与 b 的和，这种求向量和的方法称为向量加法的平行四边形
法则。
如图，已知向量 a 、b 在平面内任取一点 A ，作 AB = a ， BC b ，则向量 AC 叫做 a 与
a b
2.向量的加法法则
O
aA
bB
（1）共线向量的加法：
同向向量
反向向量
a
a
b
O
A
b
B
BO
A
OB a + b
OB a + b
（2）不共线向量的加法
几何中向量加法是用几何作图来定义的，一般有两种方法，即向量加法的三角形法则（“首
尾相接，首尾连”）和平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）。
三角形法则：根据向量加法定义得到的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。
三、质疑答辩，排难解惑，发展思维
例 1 （教材 P60 例 1）如图， O 为正六边形的中心，作出下列向量：
（1） OA + OC
Biblioteka Baidu
（2） BC + FE
（3） OA + FE
例 2．如图，一艘船从 A点出发以 2 3km / h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时水的
流速为 2km/ h ，求船实际航行的速度的大小与方向。
解：设 AD 表示船垂直于对岸的速度， AB 表示水流的速度，以 AD ,
AB为邻边作平行四边形 ABCD，则 AC 就是船实际航行的速度,在 RtABC
中，| AB | 2 ， | BC | 2 3 ，所以| AC | | AB |2 | BC |2 4。
因为 tan CAB 2 3 3 CBA 60 2
( a + b )+ c = AC + CD AD ， a + ( b + c )= AB BD AD ,∴( a + b )+ c = a +( b + c )
从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行
例如： (a b) (c d ) (b d ) (a c) ； a b c d e [d (a c)] (b e) ．
与 b 相同，且| a + b |=| b |-| a |.
（4）“向量平移”：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到 n 个向量连加 3.向量加法的运算律
（1）向量加法的交换律： a + b = b + a
（2）向量加法的结合律：( a + b ) + c = a +( b + c )
证明：如图：使 AB a , BC b , CD c 则
向量的线性运算
【三维目标】： 一、知识与技能 1.理解向量加法的含义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和。 2.通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结
合律，表述两个运算律的几何意义，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；培养 数形结合解决问题的能力；
（2）当向量 a 与 b 不共线时， a + b 的方向不同向，且| a + b | | a |+| b |;
（3）当 a 与 b 同向时，则 a + b 、 a 、 b 同向，且| a + b |=| a |+| b |,当 a 与 b 反向时，
若| a | | b |,则 a + b 的方向与 a 相同，且| a + b |=| a |-| b |；若| a | | b |,则 a + b 的方向
向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法。表示： AB BC = AC ．
规定：零向量与任一向量 a ，都有 a 0 0 a a ．
【注意】：两个向量的和仍旧是向量（简称和向量）
作法：在平面内任意取一点 O ，作 OA = a ， AB = a ，则 OB = OA + AB = a + b
一、创设情景，揭示课题
【复习】：1.向量的概念 2.平行向量、相等向量的概念。
【情景设置】：利用向量的表示，从景点 O 到景点 A的位移为 OA ，从景点 A 到景点 B 的位移
为 AB ，那么经过这两次位移后游艇的合位移是 OB
●这里，向量 OA , OB , OC 三者之间有什么关系？
二、研探新知 1.向量的加法
b 的和，记作 a + b ，即 a + b AB BC AC
a b
C
b
a +b
B
Aa
三角形法则
C
D
B
a +b
b
a
平行四边形法则
A
【说明】：教材中采用了三角形法则来定义，这种定义，对两向量共线时同样适用，当向量不 共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是一致的 特殊情况： 探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；
表示： AB BC = AC ．
平行四边形法则：以同一点 A 为起点的两个已知向量 a ，b 为邻边作平行四边形 ABCD，
则以 A 为起点的对角线 AC 就是 a 与 b 的和，这种求向量和的方法称为向量加法的平行四边形
法则。
如图，已知向量 a 、b 在平面内任取一点 A ，作 AB = a ， BC b ，则向量 AC 叫做 a 与