数学建模结果分析

结果分析

综上所述，由模型求解可知，在满足模型条件的假设（4）的条件下，当所给阳性的先验概率0.3066p ≥时，在不分组的条件下每个人一次一次的检验可以使总次数最少；当所给0.29290.3066p ≤<时，进行一次检验比分两次组和不分组均可使总次数最少；当00.2929p <<时，分两次组总次数比分一次组总次数要少。

当p 固定时，为了是人群中总的检验次数最小，就需要确定每组中的人数k 。根据固定值p 的大小分类讨论：

当0.3066p ≥时，此时不需要分组，即1k =时可使检验次数最小；

当0.3066p <时，此时需要分组，要使人群总的检验次数最小，只需要使每个人的检验次数的期望值E ξ最小，通过引入与11k E q k

ξ=-+

变化趋势相同的连续性函数 )2(,11)(≥+-=x x

q x f x ，对于一个给定的p ，可以求出函数(x)f 的极值，又由分析知'(x)f 是增函数，所以求出(x)f 的极值就是(x)f 的最小值的取值m x ，故取与m x 最相近的两个值(上取整和下取整)，代入ξE ，然后比较两个函数值，找出较小的一个，以此类推，可以确定，每一个给定的p 要使人群中总的检验次数最小所对应的人数k 。

在0.3066p <中，当0.29290.3066p ≤<时，进行一次分组检验比进行两次分组检验和不分组检验可使检验次数最少；当00.2929p <<时，分两组比分一组总的检验次数少。

模型检验

当然这都是在假设（4）的前提下做出的，现举一例具体说明上述假设的合理性：设0.002p =时，经过上述计算可得，当23k =时可使在一次分组的情况下平均每人检验次数最小，为满足假设（4），可以取24k =（此时平均每人检验次数仅比23k =时多510-次，故在检验100000人时总次数才多一次，故可忽略），然后取112k =或更小（如16k =），此时一定可以做到分两次组比分一次组平均每人检验次数小。当然此时还可以继续求满足条件的第二次分组平均每人检验次数的最小值。

由于题给条件是人群数量很大，基本是健康人，先验概率p 很小，所以4

模型推广

本模型可以说在所给定的假设内解决了该问题。如果说对于假设的合理性做出判断的话，如上所述，假设（1）在实际当中可能不会被作为分组与不分组的判断标准；假设（2）与（3）是可以接受的，直观上可以认为以阳性的先验概率至于不同疾病有关，而不会与检验次数有关，同时在没有遗传病的情况下，做出假设（3）也是合理的；假设（4）在人群数目较小时是很容易实现的，但当人群数目很大时，很难严格的达到平均分组的条件。例如对某几个地区某病毒的感染情况进行调查统计时，往往利用分治法的思想把人群按单位或更小的行政区域进行分区调查，再将所有的数字汇总。这种分组的方法并不能保证平均分配人数。如果人群总数在几十到几千的范围内除了利用给出的两种方法外，还可以利用二分法的思想将人群重复的进行二分操作，这样也可以很快地得到理想的结果。

影响此模型的因素还有先验概率，先验概率是一定人群中的患病概率，如果人群的情况有所变化可能会对模型给出的结论有所影响。比如普通人群中艾滋病病毒抗体的感染率是很低的，如果用这个概率作为先验概率去进行对以男性同／双性恋者为对象的估计中，往往会出现较大的偏差。

同时本数学模型也可适用于某人民医院要对某地区的居民是否患有某种病（如乙肝）的检验,并对该地区的病情作一定的预测,从而达到预防和及早治疗的效果。乙肝的血样检验只有阴性、阳性两种情况,我们可用本数学模型切实地解决这个问题。

模型评价

在实际中利用本模型还是可以跟分组检验一定依据的。但在实际操作中，由于多次分组需要多次混合血样，在操作中会带来很大的麻烦；而且，在混合当中可能会造成很大的误差，特别是当多次混合血样比一次混合或不分组的平均每人检验次数不是少很多的时候，进行一次分组或不分组效果可能会更好。

但是由于血样的先检概率通常很小,为减少检验次数,我们通过先对检验的人群进行分组,引入阳性组的概率,通过阳性组数的平均值作为桥梁,由于阳性组的人需要全部重新检验,最后可得平均总检验次数,进而得到一个人的平均检验次数的一元函数。

然而我们通过对阳性组人群进行再次分组（即对检验人群进行二次分组）,从而得到一个关于两次分组人数二元函数,进而得到更为优化的数学模型。

最后,我们引入平均概率模型,再把血样检验中出现的可能性细化,得到当血样检验为阳性的人数等于分组后每一组的人数时,通过这样的分组模型可以使检验次数达到最优,但是我们未能给出确实的理论证明。

由此我们可以得出这样的结论，建立模型的过程中先验概率和合理假设具有非常重要的影响。比如，如果先验概率是一个特定的特定群体的概率，而在建立模型的时候把这个特定的群体的概率用到大众群体上来，就必然会导致模型预测的重大偏差。又如，如果在建立模型的时候假设不合理，如相互有影响的实践假设成独立事件，忽略了事物的内在影响，也会导致模型预测的失效，一个合理的模型，一定要建立在合理的假设之下。

在实际生活中利用本模型可以说在给定的假设内解决了该问题。如果期望对假设做出和理性的判断的话，综上所述，在实际当中可能会出现作为分组与不分组判断标准不一的情况；且在直观上可以认为阳性的先验概率与不同疾病有关，但不会与检验次数有关，并且在没有遗传病的情况下，做出某些假设也是合理的。有的假设在人群数目较少的时候比较容易实现，但当人群数目比较大时，就很难严格的达到平均分组条件。例如这样的情形之下：对某几个地区某病毒的感染情况进行调查统计时，往往利用分而治之的思想把人群按单位或更小的行政区域进行划分调查，最后将所有的数字情况汇总。这种分组的方法并不能保证平

均分配人数。如果人群总数在几十到几千的范围内除了已经给出的这种方法还可以利用二分法的思想将人群进行重复的二分操作，或者其他的操作形式，这样也可以很快的得到理想的结果。

影响此模型的因素还有先验概率，先验概率是一定人群中的患病概率，有时人群的情况的变化会对模型结论的得出造成影响。比如说普通人中艾滋病毒抗体出现的概率是极其低的，如果以这个概率做为先验概率去进行对以男性或者双性性恋的对象的估计中则会出现极大的偏差。

附：数学模型中常用的检验方法

1.单个总体2

Nμσ的均值μ的检验:

(,)

2

σ已知,关于均值的检验用ztest命令来实现.

[h,p,ci]=ztest(x,mu,sigma,alpha,tail)

2

σ已知,关于均值的检验用ttest命令来实现.

[h,p,ci]=ttest(x,mu,alpha,tail)

2.两个正态总体均值差的检验（t 检验）

还可以用t 检验法检验具有相同方差的2 个正态总体均值差的假设。在Matlab 中

由函数ttest2 实现，命令为：

[h,p,ci]=ttest2(x,y,alpha,tail)

3.分布拟合检验

在实际问题中，有时不能预知总体服从什么类型的分布，这时就需要根据样本来检

验关于分布的假设。下面介绍2χ检验法和专用于检验分布是否为正态的“偏峰、峰度

检验法”。

2

χ检验法

0 H ：总体x的分布函数为F(x) ,

1 H : 总体x的分布函数不是F(x).