大学线性规划

1 0
…0 … …0 …
… amj … amk … amn
σj σk σn
第一章 线性规划及单纯形法
3-3、单纯形法的基本思路 : 先找到一个初始基可行解，如果不是最优 解，设法转换到另外一个基可行解，并使目标 函数值不断增大，一直到找到最优解为止。 * 确定初始基可行解 *从初始基本可行解转换为另一基本可行解 *最优性检验和解的判别
第一章 线性规划及单纯形法
5-１、人工变量法 用单纯形法求解LP问题： Max Z =-3X1 + X3 X1 + X2 + X3 ≤4 -2X1 + X2 - X3 ≥1 3X2 + X3 =9 X1 , X2 , X3 ≥ 0
第一章 线性规划及单纯形法
表5-1-1
C 0 X4
j
-பைடு நூலகம் b 4 1 X1 1 -2
0 X4 1 0
0 X5 -1/2 0
-M X6 1/2 0
-M X7 -1/2 1/3
CB XB
-3
X1
1
1
0
0
0
2/3
3
0
0
1/2
3/2
-1/2
-M-3/2
1/6
-M+1/2
Cj - z j
第一章 线性规划及单纯形法
表5-1-4
C CB XB 0 0 X4 X2
j
-3 b 0 5/2 X1 1 -1/2
第一章 线性规划及单纯形法
四、单纯形法的计算步骤 第一步：求出线性规划问题的初始基可行解， 列出初始单纯形表。 第二步：进行最优性检验。 第三步：从一个基可行解转换到另一个目标 函数值更大的基可行解，列出新的单纯形表。 (1)确定换入变量(2)确定换出变量(3)迭代运算 第四步：重复第二、三步一直到计算终止。
第一章 线性规划及单纯形法
定理二：线性规划问题的基可行解X 对应线性规划问题可行域（凸集）的顶 点。 定理三：若线性规划问题有最优解， 一定存在一个基可行解是最优解。
CJ CB 基 C1 C2 x1 x2 b
C 1 … Cl … Cm … Cj x1 … xl … xm … xj
… Ck
… xk
1-4、线性规划问题的解 ·可行解 ·最优解 ·基 ·基解 ·基可行解 ·可行基
第一章 线性规划及单纯形法
二、图解法 通过一个图解法的例子形象说明线性 规划问题的解可能出现多种情况： 1、无穷多最优解； 2、无界解； 3、无可行解； 4、有一个最优解
第一章 线性规划及单纯形法
三、单纯形法原理 3-1 、预备知识：凸集与顶点 3-2、几个基本定理的证明 定理一：若线性规划问题存在可行解，则 问题的可行域是凸集。 引理一：线性规划问题的可行解X= （x1,……,xn）T为基可行解的充分必要条件 是X的正分量所对应的系数列向量是线性独立 的。
第一章 线性规划及单纯形法
一、一般线性问题的数学模型 1-1、问题的提出 生产和经营管理中经常提出如何合 理安排，使人力、物力等各种资源得到 充分利用，获得最大的效益，这就是所 谓规划问题。
第一章 线性规划及单纯形法
例题讲解： 常山机器厂生产1、2两种产品。这两种 产品都要分别在A、B、C三种不同设备上加工。 按工艺资料规定，生产每件产品1需占用各设 备分别为2h、4h、0h，生产每件产品2需占 用各设备分别为2h、0h、5h.已知各设备计划 期内用于生产这两种产品的能力分别为 12h、16h、15h，又知道每生产一件产品1 企业能获得2元利润，每生产一件产品2企业能 获得3元利润，问该企业应该安排生产两种产 品各多少件，使总的利润收入为最大。
… Cn
… xn
b1 1 b2 0
…0 … …0 …
0 0
… a1j … a2j
… a1k … a1n … a2k … a2n
… … … … …
Cl xl bl 0
…
… … …
0
… … … alk
… …
…… … aln
……
…1 …
…
… alj
… … … … …
Cm xm bm 0 σj 0
… … …
0 X2 0 1
1 X3 0 0
0 X4 1 0
0 X5 -1/2 -1/4
-M X6 1/2 1/4
-M X7 -1/2 1/4
1
X3
3/2
3/2
-3/2
0
0
1
0
0
0
3/4
-3/4
-3/4
-M+3/4
1/4
-M-1/4
Cj - z j
第一章 线性规划及单纯形法
六、建模分析举例 混合配料问题、选料问题、投资项目 组合问题、生产、库存与设备维修综合 计划的安排问题
第一章 线性规划及单纯形法
表4-3
C
j
2
3
0
0
0
CB
2 0 3
XB
X1 X4 X2 Cj - z j
b
3 4 3
X1
1 0 0 0
X2
0 0 1 0
X3
1/2 -2 0 -1
X4
0 1 0 0
X5
-1/5 4/5 1/5 -1/5
第一章 线性规划及单纯形法
五、单纯形法的进一步讨论 5-１、人工变量法 5-２、两阶段法 5-３、关于解的判别 （１）无穷多最优解 （２）无界解 （３）无可行解 5-４、单纯形法计算的向量矩阵描述 5-５、单纯形法小结
第一章 线性规划及单纯形法
1-2、线性规划问题的数学模型 ·展开形式 ·简写形式 ·向量形式 ·矩阵形式
第一章 线性规划及单纯形法
1-3、线性规划问题的标准形式 非标准形式向标准形式转化方法： ·化求极小值为求极大值； ·化不等式为等式； ·化无约束变量为非负变量； ·化负变量为非负变量
第一章 线性规划及单纯形法
1 X3 2 -1
0 X4 1 0
0 X5 1 -1
-M X6 -1 1
-M X7 0 0
CB XB
-M X7
6
6
6M-3
0
0
4
4M+1
0
0
3
3M
-3
-4M
1
0
Cj - z j
第一章 线性规划及单纯形法
表5-1-3
C 0 0 X4 X2
j
-3 b 0 3 X1 0 0
0 X2 0 1
1 X3 0 1/3
X5
0 0 1 0
X3 12 2 X4 16 4 X5 15 0 Cj - z j 2
第一章 线性规划及单纯形法
表4-2
C
j
2
3
0
0
0
CB
0 0 3
XB
X3 X4 X2 Cj - z j
b
6 16 3
X1
[2] 4 0 2
X2
0 0 1 0
X3
1 0 0 0
X4
0 1 0 0
X5
-2/5 0 1/5 -3/5
0 X2 1 1
1 X3 1 -1
0 X4 1 0
0 X5 0 -1
-M X6 0 1
-M X7 0 0
CB XB -M X6
-M X7
9
0
-2M-3
3
4M
1
1
0
0
0
-M
0
0
1
0
Cj - z j
第一章 线性规划及单纯形法
表5-1-2
C 0 0 X4 X2
j
-3 b 3 1 X1 3 -2
0 X2 0 1
第一章 线性规划及单纯形法
例1: 用单纯形法求解LP问题： Max Z =2X1 + 3X2 2X1 + 2X2 ≤12 4X1 ≤16 5X2 ≤15 X1 , X2 ≥ 0
第一章 线性规划及单纯形法
表4-1
C
j
2
3
0
0
0
CB
0 0 0
XB b
X1
X2
2 0 [5] 3
X3
1 0 0 0
X4
0 1 0 0