第二章近似计算方法
计算方法——第二章——课后习题答案刘师少
2.1 用二分法求方程013=--x x 在[1, 2]的近似根，要求误差不超过31021-⨯至少要二分多少？ 解：给定误差限ε＝0.5×10－3，使用二分法时，误差限为)(211*a b x x k k -≤-+ 只要取k 满足ε<-+)(211a b k 即可，亦即 96678.912lg 10lg 35.0lg 12lg lg )lg(=-+-=---≥εa b k 只要取n ＝10.2.3 证明方程1 -x –sin x ＝0 在区间[0, 1]内有一个根，使用二分法求误差不超过0.5×10-4的根要二分多少次？证明 令f (x )＝1－x －sin x ，∵ f (0)=1>0，f (1)=－sin1<0∴ f (x )=1－x －sin x =0在[0，1]有根.又f '(x )=-1－c os x<0 (x ∈[0.1]),故f (x ) 在[0，1]单调减少，所以f (x ) 在区间[0，1]内有唯一实根.给定误差限ε＝0.5×10－4，使用二分法时，误差限为)(211*a b x x k k -≤-+ 只要取k 满足ε<-+)(211a b k 即可，亦即 7287.1312lg 10lg 45.0lg 12lg lg )lg(=-+-=---≥εa b k 只要取n ＝14.2.4 方程0123=--x x 在x =1.5附近有根，把方程写成四种不同的等价形式，并建立相应的迭代公式：（1）211x x +=，迭代公式2111kk x x +=+ （2）231x x +=，迭代公式3211k k x x +=+ （3）112-=x x ，迭代公式111-=+k k x x （4）13-=x x ，迭代公式131-=+k k x x 试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种收敛迭代公式求出具有四位有效数字的近似根。
第二章--计算流体力学的基本知识
第二章计算流体力学的基本知识流体流动现象大量存在于自然界及多种工程领域中，所有这些工程都受质量守恒、动量守恒和能量守恒等基本物理定律的支配。
这章将首先介绍流体动力学的发展和流体力学中几个重要守恒定律及其数学表达式，最后介绍几种常用的商业软件。
2.1计算流体力学简介2.1.1计算流体力学的发展流体力学的基本方程组非常复杂，在考虑粘性作用时更是如此，如果不靠计算机，就只能对比较简单的情形或简化后的欧拉方程或N-S方程进行计算。
20世纪30～40年代，对于复杂而又特别重要的流体力学问题，曾组织过人力用几个月甚至几年的时间做数值计算，比如圆锥做超声速飞行时周围的无粘流场就从1943年一直算到1947年。
数学的发展，计算机的不断进步，以及流体力学各种计算方法的发明，使许多原来无法用理论分析求解的复杂流体力学问题有了求得数值解的可能性，这又促进了流体力学计算方法的发展，并形成了"计算流体力学"。
从20世纪60年代起，在飞行器和其他涉及流体运动的课题中，经常采用电子计算机做数值模拟，这可以和物理实验相辅相成。
数值模拟和实验模拟相互配合，使科学技术的研究和工程设计的速度加快，并节省开支。
数值计算方法最近发展很快，其重要性与日俱增。
自然界存在着大量复杂的流动现象，随着人类认识的深入，人们开始利用流动规律来改造自然界。
最典型的例子是人类利用空气对运动中的机翼产生升力的机理发明了飞机。
航空技术的发展强烈推动了流体力学的迅速发展。
流体运动的规律由一组控制方程描述。
计算机没有发明前，流体力学家们在对方程经过大量简化后能够得到一些线形问题解读解。
但实际的流动问题大都是复杂的强非线形问题，无法求得精确的解读解。
计算机的出现以及计算技术的迅速发展使人们直接求解控制方程组的梦想逐步得到实现，从而催生了计算流体力学这门交叉学科。
计算流体力学是一门用数值计算方法直接求解流动主控方程(Euler或Navier-Stokes方程)以发现各种流动现象规律的学科。
高中数学：2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法——二分法 _1
(1)确定区间[a，b]，验证_____f_(_a_)·_f_(b_)_<_0____________；
(2)求区间(a，b)的中点 x1； (3)计算 f(x1)；①若______f_(x_1_)_＝__0_____，则 x1 就是函数的 零点；②若_____f(_a_)_·f_(_x_1)_<_0______________，则令 b＝x1 (此 时零点 x0∈(a，x1))；③若_______f(_x_1_)·_f_(b_)_<_0____________， 则令 a＝x1(此时零点 x0∈(x1，b))． (4)判断是否达到精确度 ，即若|a－b|< ，则得到零点近似
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第二章 函 数
又 F(1)＝－1<0， F(2)＝29>0， 所以方程 x5－x－1＝0 的根在区间(1，2)内． (2)证明：令 F(x)＝x3－3x＋1， 它的图象一定是不间断的， 又 F(－2)＝－8＋6＋1＝－1<0， F(－1)＝－1＋3＋1＝3>0， 所以方程 x3－3x＋1＝0 的一根在区间(－2，－1)内．
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第二章 函 数
2．二分法 对于在区间[a，b]上连续不断，且 f(a)·f(b)<0 的函数 y＝f(x)， 通过不断地把函数 f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间 的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫 做二分法．
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第二章 函 数
3．用二分法求函数 f(x) 零点近似值的步骤
标
的函数值
x3＝1.5＋21.625＝ 1．562 5
f(x3)＝0．252 2>0
x4＝1.5＋12.562 5 ＝1．531 25
人教B版高中数学必修一第二章求函数零点近似解的一种计算方法——二分法课件
2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法 六、二分法的Excel实验
只 有 一 个 天 平 ， 请 你 设 计 一 个 实 验 方 案 我们把这种不断取中点来
六、二分法的Excel实验 我们把这种不断取中点来
， 要 求 用 尽 可 能 少 的 步 骤 找 出 这 枚 假 币 六、二分法的Excel实验
现在有16枚硬币，其中有一枚是假币，已知假币的质量比真币的质量轻，现在只有一个天平，请你设计一个实验方案，要求用尽可能 少的步骤找出这枚假币。
。 请 问至 少 需要 多 少次 称 量能 确 保找 出 2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法
2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法 我们把这种不断取中点来
思考： 我们把这种不断取中点来
我们把这种不断取中点来 问题1：CCTV2的一档娱乐节目，要求选手在有限的时间内猜出某一物品的售价。 六、二分法的Excel实验 解决问题的方法称为——二分法
现在有16枚硬币，其中有一枚是假币 ， 我们把这种不断取中点来
六、二分法的Excel实验 我们把这种不断取中点来
解决问题的方法称为——二分法 现在有16枚硬币，其中有一枚是假币，已知假币的质量比真币的质量轻，现在只有一个天平，请你设计一个实验方案，要求用尽可能
少的步骤找出这枚假币。 六、二分法的Excel实验 六、二分法的Excel实验 六、二分法的Excel实验 现在有16枚硬币，其中有一枚是假币，已知假币的质量比真币的质量轻，现在只有一个天平，请你设计一个实验方案，要求用尽可能 少的步骤找出这枚假币。 六、二分法的Excel实验 现在有16枚硬币，其中有一枚是假币，已知假币的质量比真币的质量轻，现在只有一个天平，请你设计一个实验方案，要求用尽可能 少的步骤找出这枚假币。 现在有这样一个信封，里面装着0元至100元，只给大家七次机会，猜这个信封里究竟有多少元？ 六、二分法的Excel实验
第2章方程的近似解法
第二章 方程求根在许多实际问题中，常常会遇到方程f(x)=0求解的问题。
当f(x)为一次多项式时，f(x)=0称为线性方程，否则称为非线性方程。
对于非线性方程，由于f(x)的多样性，求其根尚无一般的解析方法可以使用，因此研究非线性方程的数值解法是十分必要的。
法、迭代法、牛顿法及割线法。
这些方法均是知道根的初始近似值后，进一步把根精确化，直到达到所要求的 精度为止。
也即求非线性方程根的数值方法。
第一节 第一节 增值寻根法与二分法2.1.1 增值寻根法设非线性方程f(x)=0的根为*x ，增值寻根法的基本思想是，从初始值0x 开始，按规定 的一个初始步长h 来增值。
令 1n x +=n x +h(n=0,1,2，…)，同时计算f(1n x +)。
在增值的计算过程中可能遇到三种情形：(1) f(1n x +)=0，此时1n x +即为方 程的根*x 。
(2) f(n x )和f(1n x +)同符号。
这说明区间［n x , 1n x +］内无根。
(3) f(n x )和f(1n x +)异号，f(n x )·f(1n x +)＜0此时当f(x)在区间［n x , 1n x +］上连续时，方程f(x)=0在［n x , 1n x +］ 一定有根。
也即我们用增值寻根法找到了方程根的存在区间，n x 或1n x +均可以视为根的近似值。
下一步就是设法在该区间内寻找根 *x 更精确的近似值，为此再用增值寻根法 把n x 作为新的初始近似值，同时把步长缩小，例如选新步长1100h h =，这 样会得到区间长度更小的有根区间，从而也得到使f(x)n x ，作为*x 更 精确的近似值，若精度不够，可重复使用增值寻根法，直到有根区间的长度｜1n x +-n x ｜＜ε(ε为所要求的精度)为止。
此时f(n x )或f(1n x +)就可近似认为是零。
n x 或1n x +就是满足精度的方程的近似根（如图2-1）.2—1例1 用增值寻根法求方程f(x)=324x x +-10=0的有根区间。
《近似数》教案设计
《近似数》教案设计第一章：引言1.1 教学目标让学生了解近似数的概念和作用。
能够理解近似数与精确数的关系。
学会使用四舍五入法来进行近似计算。
1.2 教学内容近似数的概念和作用。
近似数与精确数的区别。
四舍五入法的原理和应用。
1.3 教学方法通过实例引入近似数的概念，激发学生的兴趣。
使用图片和实际例子来说明近似数的作用。
分组讨论，让学生探索近似数与精确数的关系。
1.4 教学评估观察学生在课堂上的参与程度和理解程度。
收集学生的讨论结果，进行评估。
第二章：四舍五入法2.1 教学目标让学生掌握四舍五入法的原理和步骤。
能够运用四舍五入法来进行近似计算。
理解四舍五入法在实际生活中的应用。
2.2 教学内容四舍五入法的原理。
四舍五入法的步骤。
四舍五入法在实际生活中的应用。
2.3 教学方法通过讲解和示例，让学生掌握四舍五入法的原理和步骤。
进行小组活动，让学生练习运用四舍五入法进行近似计算。
联系实际生活中的例子，让学生理解四舍五入法的应用。
2.4 教学评估观察学生在课堂上的参与程度和理解程度。
收集学生的练习结果，进行评估。
第三章：近似数的计算3.1 教学目标让学生能够运用四舍五入法来进行近似计算。
能够理解和运用科学记数法来进行近似计算。
能够解决实际问题，并进行近似计算。
3.2 教学内容四舍五入法进行近似计算。
科学记数法进行近似计算。
实际问题的解决和近似计算。
3.3 教学方法通过示例和练习，让学生掌握四舍五入法和科学记数法的运用。
引导学生运用所学的近似计算方法解决实际问题。
分组讨论，让学生交流解题方法和经验。
3.4 教学评估观察学生在课堂上的参与程度和理解程度。
收集学生的练习结果和解题方法，进行评估。
第四章：近似数在实际应用中的重要性4.1 教学目标让学生理解近似数在实际生活中的重要性。
能够运用近似数进行估算和决策。
能够分析近似数在实际应用中的优缺点。
4.2 教学内容近似数在实际生活中的应用。
近似数进行估算和决策。
近似数在实际应用中的优缺点。
人教A版数学必修一2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法——二分法
三、教与学的方法
（一）本节课贯彻的教育理念和教学思想
1、新课标强调要为学生提供开阔的探索空 间及合作体验的机会，并且倡导积极主动、 勇于探索的学习方式。 2、提倡利用信息技术来实现以往教学中难 以呈现的课程内容。 3、学生在利用函数的性质求解函数零点近 似解的过程中，认识函数与方程的联系，能 初步感悟数值逼近中所蕴含的极限思想。
五、教学反思
谢谢！
灿若寒星整理制作
高中数学课件
人教版高中必修一数学全册(新课标)
学校：北京市首都师大附中 教师：数学科组
人教B版必修一
第二章函数
说课
2.4.2求函数零点近似解的一种计算
方法——二分法
a
b
一、教学内容 二、学情分析 三、教与学的方法 四、教学过程设计 五、教学反思
（二）本节内容的知识结构体系
函数与方程
三、教与学的方法
（三）教学媒体的选择和学案的设计
动画课堂、几何画板、动画
四、教学过程设计
（一）引入阶段：
猜一猜刻有中国文化名村 爨底下的“爨”字的一块瓦 片的市场价格。
中国历史文化名村
—爨底下
（二）由具体到一般的探究认知过程：
1、复习发现新问题阶段：
通过一组求解函数零点的问题，发现有 些高次函数不能分解因式，求不出零点 ，从而产生认知冲突，激起学生了解、 探究、获取新知的欲望。同时给学生展 示三次方程的求根公式，介绍解方程的 历史。
2、过程与方法目标：
体验二分法的形成过程，感受函数与 方程的内在联系，体会近似思想和逼 近思想的应用；
（三）本节课的教学目标、重点与难点分析
3、情感、态度与价值观目标：
通过二分法的学习培养归纳概括的能 力，了解有关解方程的历史；在探究 解决问题的过程中，培养学生与他人 合作的态度、表达与交流的意识；培 养认真、耐心、严谨的数学品质。
中科大算法第二章近似算法--黄刘生(调整后适合打印版)
NP-完全性理论
Karp的贡献
理查德·卡普（Richard Karp ， 1935- ） 1972 年论文 ”Reducibility among Combinatorial Problems” 发 展和加强了由库克提出的“NP完全性”理论。 尤其是库 克仅证明了命题演算的可满足问题是NP完全的，而卡普则证明了从 组合优化中引出的大多数经典问题(背包问题、覆盖问题、匹配问 题、分区问题、路径问题、调度问题等)都是NP完全问题。只要证 明其中任一个问题是属于P类的，就可解决计算复杂性理论中最大 的一个难题，即P=?NP。
SAT∈P当且仅当P=NP
Cook 于1961 年获 Michigan 大学学士学位， 1962 和 1966年分获哈佛 大学硕士与博士学位。 1966-1970 ，他在 UC Berkeley 担任助教授； 1970年加盟多伦多大学，现为该校CS 和数学系教授，他的论文开启 了NP完备性的研究，令该领域于之后的十年成为计算机科学中最活 跃和重要的研究。因其在计算复杂性理论方面的贡献，尤其是在奠 定NP完全性理论基础上的突出贡献而荣获1982年度的图灵奖。
9
P、NP及NPC类问题
NP=？P
∵确定型图灵机是非确定型图灵机的特例，∴P⊆NP 是否有NP⊆P？即是否NP=P？
美国麻省的Clay数学研究所于2000年5月24日在巴黎法兰西学院宣 布：对七个“千年数学难题”中的每一个均悬赏 100 万美元，而 问题NP=？P位列其首:
1.P问题对NP问题 2.霍奇猜想 3. 庞加莱猜想 (2002.11-2003.7 ，俄罗斯数学家佩雷尔曼在 3 篇 论文预印本中证明了几何化猜想，2006被授予菲尔兹奖) 4.黎曼假设 5.杨－米尔斯存在性和质量缺口 6.纳维叶－斯托克斯方程的存在性与光滑性 7.贝赫和斯维讷通－戴尔猜想
《近似数》教案设计
《近似数》教案设计第一章：引言1.1 教学目标让学生了解近似数的概念及其在实际生活中的应用。
培养学生对近似数的兴趣和好奇心。
1.2 教学内容导入：通过生活中的例子，如天气预报、称重等，引出近似数的概念。
近似数的定义：介绍近似数的概念，即与实际数值接近的数。
近似数的表示：讲解常用的近似数表示方法，如“约等于”、“大于等于”、“小于等于”等。
1.3 教学方法采用问题驱动的教学方法，通过生活中的实例引发学生的思考。
利用图形、实物等辅助教学，帮助学生形象地理解近似数的概念。
1.4 教学评估学生参与度：观察学生在课堂上的积极参与程度和提问回答情况。
学生作业：布置相关的练习题，检查学生对近似数的理解和掌握程度。
第二章：近似数的求法2.1 教学目标让学生掌握几种常用的近似数求法。
培养学生运用近似数解决实际问题的能力。
2.2 教学内容近似数的求法：介绍几种常用的近似数求法，如四舍五入、向上取整、向下取整实例讲解：通过具体的例子，讲解近似数的求法及其应用。
2.3 教学方法采用案例教学法，通过具体的例子引导学生理解和掌握近似数的求法。
利用计算器等工具，让学生亲自动手实践，加深对近似数求法的理解。
2.4 教学评估学生参与度：观察学生在课堂上的积极参与程度和提问回答情况。
学生作业：布置相关的练习题，检查学生对近似数求法的理解和掌握程度。
第三章：近似数的误差3.1 教学目标让学生了解近似数的精确度及其误差。
培养学生对近似数误差的理解和分析能力。
3.2 教学内容近似数的精确度：介绍近似数的精确度及其表示方法，如有效数字、精确到某位等。
近似数的误差：讲解近似数的误差概念，以及误差的来源和影响。
3.3 教学方法采用问题驱动的教学方法，引导学生思考近似数的精确度和误差问题。
利用实际例子和计算器等工具，让学生亲自动手实践，观察和分析近似数的误差。
3.4 教学评估学生参与度：观察学生在课堂上的积极参与程度和提问回答情况。
学生作业：布置相关的练习题，检查学生对近似数精确度和误差的理解和掌握程第四章：近似数在实际应用中的举例4.1 教学目标让学生了解近似数在实际生活中的应用。
高中数学第二章函数2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法_二分法学案新人教B版必修1
2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法1．了解函数变号零点与不变号零点的概念，会判断函数变号零点的存在．(重点) 2．会用二分法求函数变号零点的近似值，并能对二分法的过程作出程式化的步骤．(难点)[基础·初探]教材整理1 变号零点与不变号零点阅读教材P72～P73“第一行”以上部分内容，完成下列问题．1．零点存在的判定条件：y＝f(x)在[a，b]上的图象不间断，f(a)·f(b)<0.结论：y＝f(x)在[a，b]上至少有一个零点，即x0∈(a，b)使f(x0)＝0.2．变号零点如果函数图象通过零点时穿过x轴，则称这样的零点为变号零点．3．不变号零点如果函数图象通过零点时没有穿过x轴，则称这样的零点为不变号零点．函数f(x)的图象如图241所示，则函数f(x)的变号零点的个数为( )图24 1A．0 B．1C．2 D．3【解析】函数f(x)的图象通过零点时穿过x轴，则必存在变号零点，根据图象得函数f(x)有3个变号零点．【答案】 D教材整理2 二分法阅读教材P73“第三行”以下～P73“例”以上的内容，完成下列问题．1．定义对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到函数零点的方法叫做二分法．2．求函数零点的一般步骤已知函数y＝f(x)定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它满足给定的精确度．用二分法求此函数零点的一般步骤为：①在D内取一个闭区间[a0，b0]⊆D，使f(a0)与f(b0)异号，即f(a0)·f(b0)＜0，零点位于区间[a0，b0]中．②取区间[a0，b0]的中点，则此中点对应的坐标为x0＝a0＋b02.计算f(x0)和f(a0)，并判断：a．如果f(x0)＝0，则x0就是f(x)的零点，计算终止．b．如果f(a0)·f(x0)＜0，则零点位于区间[a0，x0]中，令a1＝a0，b1＝x0. c．如果f(a0)·f(x0)＞0，则零点位于区间[x0，b0]中，令a1＝x0，b1＝b0.③取区间[a1，b1]的中点，则此中点对应的坐标为x1＝a1＋b12.计算f(x1)和f(a1)，并判断：a．如果f(x1)＝0，则x1就是f(x)的零点，计算终止．b．如果f(a1)·f(x1)＜0，则零点位于区间[a1，x1]上，令a2＝a1，b2＝x1.c．如果f(a1)·f(x1)＞0，则零点位于区间[x1，b1]上，令a2＝x1，b2＝b1.……继续实施上述步骤，直到区间[a n，b n]，函数的零点总位于区间[a n，b n]上，当区间的长度b n－a n不大于给定的精确度时，这个区间[a n，b n]中的任何一个数都可以作为函数y＝f(x)的近似零点，计算终止．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)二分法所求出的方程的解都是近似解．( )(2)函数f(x)＝|x|可以用二分法求零点．( )(3)用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间内．( )【解析】(1)×.如函数x－2＝0用二分法求出的解就是精确解．(2)×.对于函数f(x)＝|x|，不存在区间(a，b)，使f(a)·f(b)<0，所以不能用二分法求其零点．(3)×.函数的零点也可能是区间的中点或在左侧区间内．【答案】(1)×(2)×(3)×[小组合作型]二分法的概念(1)图24 2已知函数f(x)的图象如图242所示，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为( )A．4,4 B．3,4C．5,4 D．4,3(2)用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[1,3]内的根，取区间的中点为x0＝2，那么下一个有根的区间是________.【导学号：60210063】【精彩点拨】(1)可以用二分法求出的零点左右函数值异号；(2)方程的实根就是对应函数f(x)的零点，判断f(2)的符号，在2的左右两边寻找函数值与f(2)异号的自变量．【自主解答】(1)图象与x轴有4个交点，所以解的个数为4；左、右函数值异号的有3个零点，所以可以用二分法求解的个数为3.(2)设f(x)＝x3－2x－5，f(1)＝1－2－5＝－6<0，f(2)＝23－4－5＝－1<0，f(3)＝33－6－5＝16>0，f(x)零点所在的区间为(2,3)，∴方程x3－2x－5＝0有根的区间是(2,3)．【答案】(1)D (2)(2,3)二分法求函数零点的依据：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点，因此，用二分法求函数零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用.[再练一题]1．下面关于二分法的叙述，正确的是( )A．用二分法可求所有函数零点的近似值B．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位C．二分法无规律可循D．只有在求函数零点时才用二分法【解析】只有函数的图象在零点附近是连续不断且在该零点左右函数值异号，才可以用二分法求函数的零点的近似值，故A错．二分法有规律可循，可以通过计算机来进行，故C错．求方程的近似解也可以用二分法，故D错．【答案】 B变号零点与不变号零点的判断(1)f(x)＝3x－6；(2)f(x)＝x2－x－12；(3)f(x)＝x2－2x＋1；(4)f(x)＝(x－2)2(x＋1)x.【精彩点拨】(1)是一次函数，(2)、(3)均是二次函数，(4)虽然是高次函数，但给出因式积的形式，所以容易分别求得．【解】(1)零点是2，是变号零点．(2)零点是－3和4，都是变号零点．(3)零点是1，是不变号零点．(4)零点是－1,0和2，其中变号零点是0和－1，不变号零点是2.图象连续不间断的函数f x在[a，b]上，若f a·f b<0，则函数f x在该区间上至少有一个变号零点，也就是可能有多个变号零点，还可能有不变号零点，但至少有一个变号零点是肯定的.这一结论可直接应用于函数变号零点判定之中.[再练一题]2．判断下列函数是否有变号零点．(1)y＝x2－5x－14；(2)y＝x2＋x＋1；(3)y＝x4－18x2＋81.【解】(1)零点是－2,7，是变号零点．(2)无零点．(3)零点是－3,3，都不是变号零点．[探究共研型]用二分法求方程的近似解探究1 函数y ＝f (x )的零点与方程f (x )＝0的解有何关系？ 【提示】 函数y ＝f (x )的零点就是方程f (x )＝0的解． 探究2 如何把求方程的近似解转化为求函数零点的近似解？【提示】 设方程为f (x )＝g (x )，构造函数F (x )＝f (x )－g (x )，求方程f (x )＝g (x )的近似解问题就可转化为求函数F (x )＝f (x )－g (x )零点的近似解问题．用二分法求方程2x 3＋3x －3＝0的一个正实数近似解(精确度为0.1)． 【精彩点拨】 构造函数f (x )＝2x 3＋3x －3→确定初始区间(a ，b )→二分法求方程的近似解→验证|a －b |<0.1是否成立→下结论．【自主解答】 令f (x )＝2x 3＋3x －3，经计算，f (0)＝－3<0，f (1)＝2>0，f (0)·f (1)<0， 所以函数f (x )在(0,1)内存在零点， 即方程2x 3＋3x ＝3在(0,1)内有解． 取(0,1)的中点0.5，经计算f (0.5)<0， 又f (1)>0，所以方程2x 3＋3x －3＝0在(0.5,1)内有解．如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：(a ，b ) 中点c f (a ) f (b ) f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2(0,1) 0.5 f (0)<0 f (1)>0 f (0.5)<0 (0.5,1) 0.75 f (0.5)<0 f (1)>0 f (0.75)>0 (0.5,0.75) 0.625 f (0.5)<0 f (0.75)>0 f (0.625)<0 (0.625,0.75)0.687 5f (0.625)<0f (0.75)>0f (0.687 5)<0所以方程2x 3＋3x －3＝0的一个精确度为0.1的正实数近似解可取为0.687 5.1．根据函数的零点与相应方程的解的关系，求函数的零点与求相应方程的解是等价的．求方程f (x )＝0的近似解，即按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解．2．对于求形如f (x )＝g (x )的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如F (x )＝f (x )－g (x )＝0的方程的近似解，然后按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解．[再练一题]3．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是( )A．[－2,1] B．[－1,0]C．[0,1] D．[1,2]【解析】由于f(－2)＝－3<0，f(1)＝6>0，故可以取区间[－2,1]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算．【答案】 A1．下列函数中能用二分法求零点的是( )【解析】在A和D中，函数虽有零点，但它们均是不变号零点，因此它们都不能用二分法求零点．在B中，函数无零点．在C中，函数图象是连续不断的，且图象与x轴有交点，并且其零点为变号零点，所以C中的函数能用二分法求其零点．【答案】 C2．用二分法求函数f(x)在(a，b)内的唯一零点时，精确度为0.001，则结束计算的条件是( )A．|a－b|<0.1 B．|a－b|<0.001C．|a－b|>0.001 D．|a－b|＝0.001【解析】据二分法的步骤知当区间长度|b－a|小于精确度ε时，便可结束计算．【答案】 B3．用“二分法”可求近似解，对于精确度ε说法正确的是( )A．ε越大，零点的精确度越高B．ε越大，零点的精确度越低C．重复计算次数就是εD．重复计算次数与ε无关【解析】由“二分法”的具体步骤可知，ε越大，零点的精确度越低．【答案】 B4．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，参考数据如下：【导学号：97512033】【解析】 根据题意知函数的零点在1.406 25至1.437 5之间，因为此时|1.437 5－1.406 25|＝0.031 25<0.1，故方程的一个近似根可以是1.4.【答案】 1.45．已知函数f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，a ＋b ＋c ＝0，f (0)>0，f (1)>0，证明a >0，并利用二分法证明方程f (x )＝0在[0,1]内有两个实根．【证明】 ∵f (1)>0， ∴3a ＋2b ＋c >0，即3(a ＋b ＋c )－b －2c >0， ∵a ＋b ＋c ＝0， ∴－b －2c >0， 则－b －c >c ，即a >c . ∵f (0)>0，∴c >0，则a >0. 在[0,1]内选取二等分点12，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝34a ＋b ＋c ＝34a ＋(－a )＝－14a <0.∵f (0)>0，f (1)>0，∴f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12和⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上至少各有一个零点，又f (x )最多有两个零点，从而f (x )＝0在[0,1]内有两个实根．。
计算方法 02第二章 方程的近似解法
∈ (0.5, 0.75)
-1
3
二、代数方程实根的上下界
若f
( )
x
为 n 次多项式，则
f ( x) = 0
称为 n 次代数方程。
对于代数方程有如下定理： [定理] 设有 且 则 证明
f ( x ) = a0 x n + a1 x n −1 + L + an (a0 ≠ 0)
f ( x) = 0
A = max { a1 、 2 、 、 n } a L a
若同号，则取 于是得到区间
an −1 + bn −1 an = an −1，bn = 2 an −1 + bn −1 an = , bn = bn −1 2
1 。区间长为 n ( b − a ) , α ∈ ( an , bn )。 2
[ an，bn ]
若取α 的近似值
则绝对误差限为
例.求解方程
an + bn α = 2 1 b − a) n +1 ( 2
xn +1 − xn ≤ m xn − xn −1
xn + p − xn + p −1 ≤ m p xn − xn −1
xn + p − xn ≤ xn + p − xn + p −1 + xn + p −1 − xn + p − 2 + L + xn +1 − xn
其中p为任意正整数
……
≤ (m p + m p −1 + L + m) xn − xn −1
1 区间长为 ( b − a ) , α ∈ (a1 ,b1 ). 2
7
人教新课标高中数学B版必修1《2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法——二分法》课件
由上表的计算可知，区间[1.376，1.4375] 的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是1.4， 因此1.4就是所取函数的一个正实数零点的近 似值。
函数f(x)=x3+x2－2x－2 的图象如图所示，实 际上还可以用二分法 继续计算下去，进而 得到这个零点精确度 更高的近似值。
二分法概念
y
x
1
2
3
4
5
6
6
5
-3
10
-5
-23
f (x)
A 1,2,2,3 B 2,3,3,4 C2,3,3,4,4,5 D 3,4,4,5,5,6
4. 用二分法求函数f(x)=x3-x-2在区间[1，2]内的 一个零点.（精确到0.1）
分析：由于 f(1 ) <0，f(2)>0 所以f(x) =x3-x-1区间[1，2]内存在零点 取区间[1，2]作为计算的初始区间
(2) f (x) x3 x 2, x1, 2
探究
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是
连续不断的一条曲线，且f(a)·f(b)<0，
则函数y=f(x)在区间[a,b]上零点是否 是唯一的？
零点存在性定理（教材P72） 如果函数 y f (x) 在区间[a，b]上的图像不间
断，并且在它的两个端点处的函数值异号， 即 f(a)·f(b)<0 ，则这个函数在这个区间上，
的步骤”吗?
二分法求方程近似解的口诀:
定区间，找中点， 中值计算两边看; 同号去，异号算， 零点落在异号间; 周而复始怎么办? 精确度上来判断.
练习：
1、如图所示的函数图象与x轴均有交点，其中不能用二
分法求y图中交点横坐y标的是____（y__1_）_ （3） y
第二章补充例题：船体剖面模数总纵弯曲应力的近似计算和极限弯矩计算——船体强度与结构设计
6
静力矩 AiZi
cm2·m
-384.48 0.0
336.4 -18.4 -6.5 15.0 5.03 -16.95
B
7
8
9
10
惯性矩 AiZi2
构件自身 惯性矩i 0
距中和 轴的距 离Z i ′
总纵弯 曲应力
σi
cm2·m2 cm2·m2
m
N/mm2
615.94
0
0
21.85
538.94
0
27.20
2-6 在极限弯矩的作用下，经过折减后的船体舯剖面如图所示。已知其型深
H=13.2m，全剖面积为 A=11199mm2，中和轴距基线高为 5.6m，剖面对中和轴的惯
性矩为 567537cm2m2，材料的屈服极限为 σY = 235.2N / mm2 。 当船体处于中
拱状态，内底板的临界应力为 σ cr = 184N / mm2 。请求出此状态下甲板和内
武汉船舶职业技术学院 何志标
2-3 某船舯剖面设计如图所示，其几何特性如下：全剖面面积 A=5000cm2，中
和轴距基线高 e=6m，剖面惯性矩 I=30000cm2·m2，甲板剖面模数 Wd=6000cm2·m2。
因装配时发生差错，误将上、下甲板的纵桁相互调换，即上甲板装配了 4 根截面
积各为 f2=15cm2 的小纵桁，而下甲板装配了 4 根截面积各为 f1=25cm2 的大纵桁。
次近似计算值 σ1 j 与 σ1d 。
解 （1）列表计算如下：
所求惯性矩为：
I2
=
⎛ 2 ⎜ C1
⎝
−
B12 A1
⎞ ⎟ ⎠
=
⎛ 2⎜
⎝
242163.44
2.5.2求一元二次方程的近似根(教案)
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与一元二次方程近似根相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的计算器操作实验。这个操作将演示如何使用计算器求解一元二次方程的近似根。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解一元二次方程及其近似根的基本概念。一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，它的近似根是指在一定误差范围内接近真实解的数值解。这些近似根在工程、物理等领域有着广泛的应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过计算器求解方程x^2 - 3x + 2 = 0的近似根，展示近似方法在实际中的应用，以及如何帮助我们解决问题。
举例：
-重点1：求解一元二次方程近似根的公式，如ax^2 + bx + c = 0的求根公式；
-重点2：使用计算器进行近似计算的方法，如牛顿迭代法、二分法等；
-重点3：结合实际例题，如求解二次方程x^2 - 5x + 6 = 0的近似根。
2.教学难点
（1）理解求根公式中各个参数的含义，尤其是判别式的应用；
2.5.2求一元二次方程的近似根（教案）
一、教学内容
本节课选自教材第二章第五节第二部分“2.5.2求一元二次方程的近似根”。教学内容主要包括以下两个方面：
1.掌握用求根公式求一元二次方程的Байду номын сангаас似根的方法。
2.学会利用计算器计算一元二次方程的近似根，并比较不同近似方法的精确度。
船舶原理(第二章 船体近似计算)
绪
论
课程内容 《船舶原理》是研究船舶平衡和运动规律的一门科学， 主要包含船舶的6个航海性能，包括如下两部分：
船舶静力学（以流体静力学为基础）
浮性 稳性 抗沉性
船舶动力学（以流体动力学为基础）
快速性（阻力与推进） 适航性（耐波性、摇荡性） 操纵性
另外包含了船体强度这一章节。
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章目录
总目录
第二节 近似积分法
静水力曲线图
第二章 船体近似计算
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12
章目录
总目录
第一节 船体坐标系
船体坐标系
原点位于基线中点的艏向坐 标系统，我国使用。 原点位于基线中点的艉向坐 标系统，日本使用。 原点位于基线与艉柱交点的 艏向坐标系统，英美等国使 用。 X 坐标原点位于基线与艏柱交 点的艉向坐标系统，北欧一 些国家使用。
解答计算题三部曲
写公式 代数据 得答案 过程中可以辅以一定的文字说明和公式推导。
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节目录
章目录
总目录
第二节 近似积分法
第二章 船体近似计算
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节目录
章目录
总目录
第二节 近似积分法
第二章 船体近似计算
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节目录
章目录
总目录
节目录 章目录 总目录 6 2018/12/26
绪
论
课程的学习方法 根据课程特点，应该着重从以下几方面学好这门课程：
由于涉及到船舶的相关概念及术语非常多，课前预习， 课后复习，反复看书，理解相关概念和术语的含义，不 必死记硬背。 涉及到的相关数学和物理知识，一定要弄懂。 在理解船舶相关概念时，重视理论联系实际。 不管从哪个角度来说，公式都要掌握。 书本后的习题自己能独立解答，不会的请问老师。
数值计算方法第二章方程的近似解法
个根，则称该区间为方程隔根区间。
Remark：若能把隔根区间不断缩小，则可以得出根的 近似值。
三、根的隔离
基于函数f(x)的连续性质，常用的根的隔离的方
法有：描图法与逐步搜索法。
1、描图法：画出y=f(x)的简图，从曲线与x轴交点
1．计算f (x)在有解区间[a, b]端点处的值，f (a)，f (b)。
2．计算f (x)在区间中点处的值f (x1)。
3．判断若f (x1) = 0，则x1即是根，否则检验： （1）若f (x1)与f (a)异号，则知解位于区间[a, x1]，
b1=x1, a1=a;
（2）若f (x1)与f (a)同号，则知解位于区间[x1, b]， a1=x1, b1=b。
公式(2)
1.5 2.375 12.3965 1904.01 6.90244 3.28857 3.55651 4.49856 inf
公式(3)
1.5 1.29099 1.33214 1.32313 1.32506 1.32464 1.32473 1.32471 1.32471
公式(4)
1.5 1.9375 4.10535 36.1482 23634.7 6.60124 1.43829 1.4877 inf
间。必要时可调整步长h，总可把隔根区间全部找出。
3、根据函数单调性判断
§2.1 二分法（对分法）
一、算法
设 f ( x ) 在[a,b]上连续，f(a)f(b)<0且在[a,b]内 f(x)=0仅有一个实根 x*。二分法的基本思想是：
逐步将有根区间分半，通过判别函数值的符号， 进一步搜索有根区间，将有根区间缩小到充分小， 从而求出满足给定精度的根 x* 的近似值。 执行步骤：
第二章 函数的微分
二、微分的定义
定义 设 数y = f ( x)在 区 内 定 , 函 某 间 有 义 x0及x0 + ∆x在 区 内 如 这 间 , 果
∆y = f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) = A⋅ ∆x + o(∆x) 成 (其 A是 ∆x无 的 数 则 函 立 中 与 关 常 ), 称 数 y = f ( x)在 x0可 , 并 称 ⋅ ∆x为 数 且 A 点 微 函 y = f ( x)在 x0相 于 变 增 ∆x的 分 点 应 自 量 量 微 , 作 dy 记 dy x=x0 或df ( x0 ), 即 x=x0 = A⋅ ∆x.
分 . 微 dy叫 函 增 ∆y的 性 部 微分的实质) 做 数 量 线 主 (微分的实质)
由定义知: 由定义知:
(1) dy是自变量的改变量 ∆x的线性函数;
( 2) ∆y − dy = o( ∆x )是比 ∆x高阶无穷小; ( 3) 当A ≠ 0时, dy与∆y是等价无穷小;
∆y o( ∆ x ) Q = 1+ → 1 ( x → 0). dy A ⋅ ∆x
∴ ∆y = A ⋅ ∆x + o( ∆x ),
o( ∆ x ) ∆y , ∴ = A+ ∆x ∆x
o( ∆x ) ∆y 则 lim = A + lim = A. ∆x → 0 ∆x ∆x → 0 ∆x
即函数 f ( x )在点 x0 可导, 且A = f ′( x0 ).
(2) 充分性 Q函数f ( x )在点x 0 可导,
⇒ ydx + xdy = ln adx + ln bdy
ln a − y ⇒ dy = ⋅ dx x − ln b dy ln a − y ⇒ = dx x − ln b
利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解
2.利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-10=3的 近似根.
点拨5分钟
一元二次方程的图象解法
用图象求一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一般步骤.
(1).用描点法作二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象；
(2).观察图象，估计二次函数y=ax2+bx+c(a≠o)的 图象与x轴的交点的横坐标； 由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐 标一个在-1与0之间,另一个在2与3之间,分 别约为-0.2和2.2(可将单位长再十等分,借 助计算器确定其近似值). (3).所确定的横坐标即为方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解 ;由此可知,方程ax2+bx+c=0(a≠0)的近似根为:x1≈-0.2,x2≈2.2.
当堂训练：20分钟
1
3
九年级数学(下)第二章 二次函数
5. 二次函数与一元二次方程(2) 一元二次方程的图象解法
学习目标：1分钟
能够利用二次函数的图象 求一元二次方程的近似根。
自学指导：1分钟
1.看课本51页，由图象如何估计一元二 次方程x +22x-10=0的根？
2+2x-10=3的近似根.
学生自学，老师巡视。（8分钟）
自学检测（10分钟）
1.利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-10=3的 近似根.
2024年-第课时利用二次函数求方程的近似根(精编)
(3) ①-x2+x-2=0; x无解 ②-x2+x-2>0; x无解
y
-1
2
0
x
y= -x2+x+2
y
y=x2-4x+4
02
x
y y=-x2+x-2
0
x
③-x2+x-2<0. x为全体实数
(-2,2)
2
-1 O
(4,2) 3x
15
问题2 如果不等式ax2+bx+c>0（a≠0）的解集是x≠2 的一切 实数，那么函数y=ax2+bx+c的图象与 x轴有__1__ 个 交点，坐标是_(_2_,_0_) _.方程ax2+bx+c=0的根是_x_=_2___.
16
问题3 如果方程ax2+bx+c=0 （a≠0）没有实数根，那么 函数y=ax2+bx+c的图象与 x轴有___0___个交点； 不等式ax2+bx+c<0的解集是多少？
y＞0,x0之外的所有 实数；y＜0，无解
y＜0,x0之外的所有 实数；y＞0，无解
没有交点
y＞0，所有实数；y y＜0，所有实数；y
＜0，无解
＞0，无解 19
当堂练习
1.根据下列表格的对应值:
x
3.23 3.24 3.25 3.26
y=ax2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.09
2
解：由图象可知方程的一根在3到 4之间，另一根在-1到-2之间. (1)先求3到4之间的根.利用计算器进行探索：
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2.2.2 水平荷载下的近似计算—D值法
计算假定：忽略杆件轴向变形，各柱侧移相同。
1）抗侧移刚度 A. 不考虑柱端转角影响
12i V 2 h
d
V
抗侧刚度定义
12ic d 2 hc
D值法
B. 柱端有转角（大小与 i
当α ＝1时：D=d
b
ic
有关）；
12i V 2 h
M i N i
2.4 剪力墙结构的近似计算方法
剪力墙结构
抗侧力结构和承重单体均由剪力墙（R.C墙） 组成的空间结构体系均为剪力墙结构。
2.4.1 剪力墙结构的受力特点及计算方法
竖向：纵、横墙 竖向：恒、活
空间盒式结构 荷载
水平：楼盖
水平：地震、风
一、竖向荷载作用下的内力
剪力墙结构
楼板约束：各片墙的竖向荷载可按其受荷面积计算
D H LA A D D E E H
A
D E D E E H
H
L
H I H I I L L M M P
L
M
(a) 原结构
P 原结构 原结构
M
P E
H
I 分层计算简图 分层计算简图
P
(b) 分层计算简图
框架结构计算假定
① 计算各层梁上竖向荷载及其产生 的梁固端弯矩；
分层法
② 将框架分层，柱端假定为固端；
2.1 计算基本假定
近似计算方法
平面结构假定：一片框架或剪力墙可以抵抗 在本身平面内的侧向力，平面外刚度忽略不计 －可以计算平面结构的内力和位移；
楼板刚性假定：楼板在自身平面内刚度无限 大，平面外刚度忽略不计。－解决在水平荷载 作用下各片平面结构之间的荷载分配问题；
水平荷载作用方向假定：在矩形平面中，对正
B'
VBA
12ic D 2 hc V
MAB
A'
VAB
hAB
MBA
上层柱
i1 i2 i3 i4 K ic
K 2＋K
D值法
底层柱
0.5 K 2＋K
i1 i2 K ic
D值法
柱刚度修正系数的计算
楼 层 简 图 K
一般层
i1 i2 i3 i4 K K 2 K 2ic
平面内大 水平荷载作用下各墙受力 单向抗侧力结构
③ 计算ib，ic 梁： ┓ I=1.5Ir , T I=2.0Ir 柱： 除底层外，上层各 柱ic×0.9修正；
框架结构计算假定（续）
④ 计算梁柱弯矩分配系数和传递系数
分层法
分配系数：按各节点周围杆件的刚度i计算
传递系数：梁1/2，柱 底层1/2
其它层1/3
⑤ 按力矩分配法计算单层梁、柱M；
⑥ 柱端M叠加，柱轴力：上层传来＋本层
交的两个主轴x、y方向分别进行内力分析 ，有 斜交抗侧力构件的结构，当相交角度大于15° 时，应分别计算各抗侧力构件方向上的内力。
2.2 框架结构的近似计算方法
框架结构计算假定
1）三个基本假定
① 一片框架或一片剪力墙在自身平面内抵抗水平 力，平面外刚度为零； ② 楼板平面内刚度无限大，各框架柱侧移相同。 ③ 水平荷载作用方向：主轴，斜交。
注：连梁处有M、V对墙M、V有影响
其它主要为轴力
楼面大梁传来 大梁下：局部承压
（集中力）
下部45°向下传→均布kN/m
（考虑侧墙）
二、基本假定
剪力墙结构
① 楼面结构假定：自身平面内刚度很 大，可视为刚度无限大的刚性楼板，平面 外刚度较小，可忽略不计。 楼板平面内没有相对变形，各墙在楼 面连接下水平受荷时作刚体运动。 ② 平面结构假定： 各墙在自身平面 内刚度很大，平面外刚度小。
n
⑦ 柱轴力
Ni V j
j i
2.2.3 水平荷载作用下侧移的近似计算
框架侧移
一、框架侧移组成
梁柱弯曲产生的剪切型变形 （较大，主要）
柱轴向力变形产生的弯曲型变形（较小，次
要，多层可忽略，高层不可忽略）
二、剪切型
① 层间侧移
M i
V pi
D
j 1
s
ij
框架侧移
② j层总侧移
底
层
i1 i2 K ic
0.5 K 2 K
D值法
2）框架柱剪力分配
Vij Dij V pi
D
j 1
s
ij
3）柱反弯点位置
当 ib ∞时，反弯点在端中点（底层2h/3处） 当ib/ ic≤3~5时，反弯点位置发生变化
D值法
影响因素 影响规律
结构总层数 该层所在位置 ib/ ic 荷载形式 ib上/ ib下 上下层层高变化
Nz : 水平荷载引起的边柱的轴力
M z Nz B
3 V H 0 N Fn j 2 EB A底
框架侧移
V0:基底剪力 Fn
n H : 系数与 有关 H j 荷载形式
框架侧移
层间变形
N i N i
N i 1
i M N 四、框架总侧移 i i i M N n n n
边梁端
Mbi M M
t ij
t ij l bi
b ij
l b
D值法
i 中跨梁端 M (M M ) l r ib ib r ib r t b M bi (M ij M ij ) l r ib ib
b ij
⑥ 梁杆件平衡，求梁端Vi
M M Vi l
r bi
l bi
2）忽略梁柱轴向变形与剪切变形； 3）杆件为等截面杆件，杆件轴线为计算轴线； 4）忽略竖向荷载下的侧移影响。
2.2.1 竖向荷载下的近似计算—分层法
除轴力外，各层的内力影响小。
按下图所示，先将（a）所示框架按（b）所示分 层计算，再将分层计算结果还原至原结构中。
A E I
A E I
D H L A
M j i 1
பைடு நூலகம்
j
M i
③ 顶点总侧移
M n iM i 1 n
框架侧移
三、柱轴向变形产生的侧移(弯曲型）
忽略中柱，各层侧移看成连续函数，利用 图 乘原理计算。 第j层侧移 2
N j Hj
0
N N
z
z
EA dz
Nz : 单位水平集中力作用在j层时边柱的轴力
Nz dz 侧移 EA
反弯点向约束作用小的一端移动。
方 法
标准反弯点＋修正
4）计算步骤
① 计算第i层结构总剪力Vpi
D值法
② 计算各柱剪力 ③ 计算各柱反弯点高度yhi
④ 计算各柱端M 上端 下端 ⑤ 节点平衡计算梁端弯矩
Vij
Dij
D
j 1
s
V pi
ij
t Mij Vij h(1 y) b Mij Vij hy