人教课标版高中数学选修1-1同步练习：几个常用函数的导数1
新课标人教版高中数学选修1-1第三章3.2.1几个常用的函数的导数
人教版 新课标 高中数学选修1-1 第三章 3.2.1几个常用函数的导数3.2.1几个常用函数的导数习题（A ）【知识点总结】1、 函数()y f x =的导数00()()()lim lim x x y f x x f x f x x x∆→∆→∆+∆-'==∆∆； 2、 函数()y f x =在点0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线的斜率。
即00000()()=()limlim x x f x x f x y K f x x x∆→∆→+∆-∆'==∆∆切线； 3、 极限00000()()()lim lim x x f x x f x y f x x x∆→∆→+∆-∆'==∆∆叫作()f x 在点0x 处的导数（或变化率）。
y x ∆∆叫作平均变化率。
4、 函数()y f x =在某点0x 处的导数0()f x '与导函数()f x '的区别与联系： ①区别：()f x '是函数，而0()f x '是数值； ②联系：00()x x y f x =''=；③注意：[]00()()f x f x ''≠.5、今后求函数()y f x =在点0x 处的切线的斜率的常用方法：①先求函数()y f x =的导数()f x '（即求y '）；②再计算0=y |x x K ='切线即可6、几个常用函数的导数：①若()=C f x ，（C 常数），则()=0f x '；②若()n f x x =，则1()n f x nx-'=.（注意;1y x =即1y x -=） 【基础例题欣赏】例题1：求函数2y x =的导数。
解：（公式法）由2y x =，得2y x '= 变式练习1.1：求函数6y x =的导数。
变式练习1.2：求函数50y =-的导数。
人教新课标A版高二数学《选修1-1》3.2.1 几个常用函数的导数
)
[解析]
∵f
1 1 ′(x)＝x ′＝－x2，
1 1 ∴f ′(－2)＝－x2|x＝－2＝－4.
【答案】D
题目类型一、常用函数导数的应用 【典例训练】 已知函数f(x)= （A）4
1 （B）9 1 x
，则f′(-3)=( ) （C）1 1 4
（D）1 9
1 9
【解析】选D.∵f′(x)=- x 2 ，∴f′(-3)=-
1．抛物线 y＝x2 在点(2,1)处的切线方程是( A．4x－y－7＝0 C．x－4y＋7＝0
[解析]
)
B．4x＋y－7＝0 D．x＋4y－7＝0
y′＝2x，y′|x＝2＝2×2＝4，
1 2 ∴抛物线 y＝4x 在点(2,1)处的切线斜率为 4， 方程为 4x－y－7＝0.
【答案】A
1 2．已知函数 f(x)＝x，则 f ′(－2)＝( A．4 C．－4 1 B.4 1 D．－4
， 6） ,
∴其斜率应满足
解得x0=2或x0=3，
∴k1=4，k2-4，y=6x-9.
谢谢大家！
需要 (2)需要设切点吗？_____ (3)设切点有什么作用？注意到切点与点(
5 ,6)的连线 2
曲线在切点处的导数 这一隐含条件，可得 的斜率即___________________
切点的横坐标,问题迎刃而解.
【规范答题】设切点为(x0,x02)，
∵y′=2x，
5 又切线过点P（ 2
2 x0 6 2 x0 , 5 x0 2
第三章 导数及其应用
§3.2 导数的计算
3.2.1 几个常用函数的导数
1 1．能根据导数定义，求函数 y＝c，y＝x，y＝x ，y＝x的导数．
时 几个常用函数的导数与基本人教版高中数学选修1-1习题课件第三章 §3.2 初等函数的导数公式
延伸探究 若本例条件不变，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程.
解 因为y′＝(x2)′＝2x，设切点为M(x0，y0)，
则 y'|x=x0 ＝2x0， 又因为 PQ 的斜率为 k＝42－ ＋11＝1， 而切线平行于 PQ，所以 k＝2x0＝1，即 x0＝21. 所以切点为 M12，14. 所以所求切线方程为 y－14＝x－12，即 4x－4y－1＝0.
知识点一 几个常用函数的导数
原函数
f(x)＝c
f(x)＝x
f(x)＝x2
f(x)＝
1 x
f(x)＝ x
导函数 f′(x)＝__0_ f′(x)＝__1_ f′(x)＝__2_x_ f′(x)＝_－__x1_2 _
1 f′(x)＝__2__x__
知识点二 基本初等函数的导数公式
原函数 f(x)＝c(c为常数) f(x)＝xα(α∈Q*)
二、导数公式的应用
命题角度1 利用导数公式求直线方程 例2 已知点P(－1,1)，点Q(2,4)是曲线y＝x2上两点，是否存在与直线PQ垂直 的切线，若有，求出切线方程，若没有，请说明理由.
解 因为y′＝(x2)′＝2x，假设存在与直线PQ垂直的切线. 设切点为(x0，y0)，由 PQ 的斜率为 k＝42－＋11＝1， 而切线与 PQ 垂直，所以 2x0＝－1，即 x0＝－12. 所以切点为－12，14. 所以所求切线方程为 y－14＝(－1)x＋12，即 4x＋4y＋1＝0.
f(x)＝sin x f(x)＝cos x
f(x)＝ax f(x)＝ex
f(x)＝logax
f(x)＝ln x
导函数
f′(x)＝_0__
人教A版高中数学选修1-1(二十) 3.2.1 几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式
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课时提升作业(二十)几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.下列各式中正确的是( )A.(lnx)′=xB.(cosx)′=sinxC.(sinx)′=cosxD.(x-8)′=-x-9【解析】选C.因为(lnx)′=,(cosx)′=-sinx,(x-8)′=-8x-9=-,所以A,B,D均不正确,C 正确.2.若y=lnx,则其图象在x=2处的切线斜率是( )A.1B.0C.2D.【解析】选D.因为y′=,所以当x=2时,y′=,故图象在x=2处的切线斜率为.3.(2015·西安高二检测)运动物体的位移s=3t2-2t+1,则此物体在t=10时的瞬时速度为( )A.281B.58C.85D.10【解析】选B.因为s=3t2-2t+1,所以s′=6t-2.当t=10时,s′=6×10-2=58.即此物体在t=10时的瞬时速度为58.4.正弦曲线y=sinx上一点P,以点P为切点的切线为直线l,则直线l的倾斜角的范围是( )A.∪B..所以直线l的斜率的范围是,所以直线l倾斜角的范围是∪.5.(2015·沈阳高二检测)已知f(x)=,则f′(-1)= ( )A. B.- C. D.-【解题指南】先利用初等函数的求导公式求导,再求f′(-1)的值.【解析】选D.因为f(x)==,所以f′(x)=-,所以f′(-1)=-(-1=-.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知f(x)=x a,a∈Q,若f′(-1)=-4,则a=________.【解析】因为f′(x)=ax a-1,所以f′(-1)=a(-1)a-1=-4,所以a=4.答案:4【补偿训练】y=xα在x=1处的切线方程为y=-4x,则α的值为________.【解析】y′=(xα)′=αxα-1,由条件知,当x=1时,y′=-4,即α=-4.答案:-47.(2015·长春高二检测)在曲线y=上求一点P,使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°,则P点坐标为________.【解析】设P(x0,y0),因为y′=′=(4x-2)′=-8x-3,tan135°=-1,所以-8=-1.解得x0=2,y0==1.答案:(2,1)8.曲线y=cosx在点A处的切线方程为________.【解析】因为y′=(cosx)′=-sinx,所以当x=时,y′=-sin=-,所以在点A处的切线方程为y-=-,即x+2y--=0.答案:x+2y--=0三、解答题(每小题10分,共20分)9.求下列函数的导数:(1)y=x15.(2)y=.(3)y=.(4)y=10x.【解析】(1)y′=(x15)′=15x14.(2)y′=′=(x-9)′=-9x-10=-.(3)y′=()′=()′==.(4)y′=(10x)′=10x ln10.10.(2015·惠州高二检测)求过曲线y=e x上点P(1,e)且与曲线在该点处的切线垂直的直线方程.【解题指南】先求出切线的斜率,再求出其垂线的斜率,进而得出直线方程.【解析】因为y′=e x,所以曲线在点P(1,e)处的切线斜率是e,所以过点P且与切线垂直的直线的斜率k=-,所以所求直线方程为y-e=-(x-1),即x+ey-e2-1=0.【补偿训练】已知函数y=asinx+b的图象过点A(0,0),B,试求函数在原点处的切线方程.【解析】因为y=asinx+b的图象过点A(0,0),B,所以解得所以y=sinx.又因为y′=cosx,所以当x=0时,y′=1.所以函数在原点处的切线方程为y=x.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2015·惠州高二检测)下列函数求导正确的是( )A.(x2)′=xB.′=-C.′=D.(ln3)′=【解析】选B.因为(x2)′=2x,′=-,′=,(ln3)′=0.所以B选项正确.2.(2015·宝鸡高二检测)已知直线y=kx是曲线y=e x的切线,则实数k的值为( ) A. B.- C.-e D.e【解析】选D.设切点为(x0,).y′=e x,当x=x0时,y′=,所以过切点的切线方程为y-=(x-x0),即y=x+(1-x0),又y=kx是切线,所以所以【延伸探究】若将本题中的曲线“y=e x”改为“y=lnx”,则实数k= ( )A. B.- C.-e D.e【解析】选 A.设切点为(x0,lnx0).y′=,当x=x0时,y′=,所以过切点的切线方程为y-lnx0=(x-x0),即y=x+lnx0-1,所以所以二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2015·西安高二检测)若函数y=f(x)满足f(x-1)=1-2x+x2,则y′=f′(x)=________.【解题指南】先求出函数y=f(x)的解析式,再进行求导.【解析】因为f(x-1)=1-2x+x2=(x-1)2,所以f(x)=x2,f′(x)=2x.答案:2x4.(2015·梅州高二检测)设曲线y=x n+1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为x n,令a n=lgx n,则a1+a2+…+a99的值为________.【解析】y′=(n+1)x n,曲线在点(1,1)处的切线方程为y-1=(n+1)(x-1),令y=0,得x=.a n=lgx n=lg=lgn-lg(n+1),则a1+a2+…+a99=lg1-lg2+lg2-lg3+…+lg99-lg100=-lg100=-2.答案:-2三、解答题(每小题10分,共20分)5.求过点(2,0)且与曲线y=x3相切的直线方程.【解题指南】先判断点是否在曲线上,然后根据具体情况求切线方程.【解析】点(2,0)不在曲线y=x3上,可令切点坐标为(x0,).y′=3x2由题意,所求直线方程的斜率k==3,即=3,解得x0=0或x0=3.当x0=0时,切点坐标是(0,0),斜率k=0,则所求直线方程是y=0;当x0=3时,切点坐标是(3,27),斜率k=27,则所求直线方程是y-27=27(x-3),即27x-y-54=0. 综上,所求的直线方程为y=0或27x-y-54=0.【补偿训练】已知曲线C:y=x3.(1)求曲线C上点(1,1)处的切线方程.(2)(1)中的切线与曲线C是否还有其他公共点?【解析】(1)因为y′=3x2,所以切线的斜率k=3,所以切线方程为y-1=3(x-1),即3x-y-2=0.(2)由消去y得,3x-x3-2=0,所以(x-1)2(x+2)=0,所以x1=1,x2=-2.所以(1)中的切线与曲线C还有其他公共点,为(-2,-8).6.若曲线y=在点(a,)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18,求实数a的值.【解题指南】表示出过点(a,)与曲线相切的直线方程,用a表示出三角形的面积,解方程求a.【解析】因为y′=-·,当x=a时,y′=-·,所以在点(a,)处的切线方程为(y-)=-··(x-a),令x=0,得y=,令y=0,得x=3a,所以×3a×=18,解得a=64.关闭Word文档返回原板块小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。
高中数学新人教A版选修1-1课堂测试几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式
课时跟踪检测(十五)几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式层级一学业水平达标1 若指数函数 f(x)= a x (a > 0, a 丰 1)满足 f ' (1) = In 27 ,贝U f ' (- 1)=(B .— 2••• f ' (— 1)= 2X (— 1) =— 2 适合条件.故应选 A.a 的值是( )B . 2C . 16解析：选A , 1-y = 2ky —谄=爲x — a).■：::ay = "2"，令 y = 0，得 x =— a , ln 3 解析: 由f ' 选 C f ' (x)= a x ln a ,(1) = aln a = ln 27，解得 a = 3,B .In 3 —In 3则f ' In 2(x)= 3x ln 3，故 f ' (— 1)=亍2.已知 f(x) = x 2 • x ，则 f ' (2)=(A . 4 2 C. 2B.5解析：选D 原函数化简得f(x)= x 2 ,3(x)= 2 x 2 ,所以f ' 所以f ' 3(2) = 2X 22 = 5 2.故选 D.3.已知 f(x) = x a ，若 f ' (— 1)=— 2, 则a 的值等于(解析：选A 若a=2,则f(x)= x 2,/• f ' (x)= 2x ,4.若曲线y = , x 在点P(a , a)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 2, 则实数 •切线方程为令x = 0,得由题意知1 a = 2,.・.a= 4.2 21答案：- x—ey= 01 .5.曲线y= 3X在x = 1处切线的倾斜角为()3B.5 n解析：选 C T y' = x1 2,.・.y' |x= i= 1,切线的倾斜角a满足tan a= 1,• ' O W a< n,二a=—.41 16•已知f(x) = x，g(x)= mx,且g (2)=厂2，则m =x f(2)1 1解析：•/ f' (x)=—-2,.・.f' (2) = —4.又••• g' (x)= m,「. g' (2) = m.1由g' (2)=厂2，得m=—4.答案：—47.曲线y= ln x在点M(e,1)处的切线的斜率是____________ ，切线方程为1 1解析：T y' = (ln x)' = _,••• y' |x= e= 一.x e1•切线方程为y— 1 = _(x —e), 即卩x —ey= 0.ee1.质点沿直线运动的路程 s 与时间t 的关系是s =5 t ，则质点在t = 4时的速度为()1 A.— 25 23 B.亠10洛C.2 521解析：选B •/ s' = 1 5.•当 t = 4 时,s ' = 5 F4 5 3V4 10寸22.直线y= ] + b 是曲线y = ln x(x >0)的一条切线，则实数 b 的值为( )B . ln 2 + 1C . ln 2— 1D . ln 2解析：选C T y = ln x 的导数y ' =1,1 1•••令 x =彳 得 x = 2,「.切点为(2, ln 2).1代入直线y = $x + b ,得b = ln 2 — 1.1⑶y =盹词’=而.(4) y ‘ = (cos x)' =— sin x.(5) y ‘ = (e 2)' = 0.10.已知P( — 1,1), Q(2,4)是曲线y = x 2上的两点，(1) 求过点P , Q 的曲线y = x 2的切线方程；(2) 求与直线PQ 平行的曲线y = x 2的切线方程.解：⑴因为y ' = 2x , P(— 1,1), Q(2,4)都是曲线y = x 2上的点.过P 点的切线的斜率 k 1= y ' |x =-1=— 2,过Q 点的切线的斜率 k 2= y ' |x = 2= 4,过P 点的切线方程：y — 1 = — 2(x + 1)，即2x + y + 1= 0.过Q 点的切线方程：y — 4= 4(x — 2)，即4x — y — 4= 0.4— 1⑵因为y '= 2x ,直线PQ 的斜率k =越=1,切线的斜率 k = y ' |x = x 0= 2x 0= 1,所以x 0= 2,所以切点M 2, 4 ,1 1与PQ 平行的切线方程为：y —”= x — ^,即4x — 4y — 1 = 0.层级二应试能力达标1 3 3.在曲线f(x) = -上切线的倾斜角为4 n 的点的坐标为( ) A . (1,1) B . (- 1,— 1) C . (— 1,1) D . (1,1)或(一1, — 1) 1 1 解析：选D 因为f(x) =1，所以f ' (x)= — 3 因为切线的倾斜角为3 n 所以切线斜率为一1, 4 1 即 f ' (x)=— -2=— 1，所以 x = ± , 则当 x = 1 时，f(1) = 1 ； 当 x =— 1 时，f(1) = — 1,则点坐标为(1,1)或(—1, — 1). 4.设曲线y = x (n € N )在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为 x n ,则X 1 x2 x n的值为( ) A.解析：选 B 对 y = x 1+1(n € N *)求导得 y ' = (n + 1)x n .令x = 1,得在点(1,1)处的切线的斜率 k = n + 1,•••在点(1,1)处的切线方程为 y — 1 = (n + 呱一1). B.C. nn + 1令y =0,得xn =冷‘•- X 1 x x n =苏 3X 4 X …X 2 3 42 5.已知 f(x) = a (a 为常数),g(x) = In x ，若 2X f ' (x ) + 1] — g' (x) = 1,则 x =1解析：因为 f ' (x) = 0, g ' (x)=1,1所以 2x [f ' (x ) + 1] — g ' (x) = 2x —1 = 1.1解得x = 1或x = — 2因为X >0,所以x = 1.答案：16.与直线2x — y — 4 = 0平行且与曲线y = ln x 相切的直线方程是___________ 解析：T 直线2x — y — 4= 0的斜率为k = 2,1 1 1又••• y ' = (ln x)' = 一，「. 1 = 2，解得 x =1. x x 2•切点的坐标为 1，一 In 2 .曰X 亠= n n +1 故选B.故切线方程为y + In 2 = 2x —1 .即 2x — y — 1 — In 2 = 0.答案：2x — y — 1 — In 2 = 07•已知曲线方程为 y = f(x)= x 2，求过点B(3,5)且与曲线相切的直线方程.解：设切点P 的坐标为(x o , x 2)•••• y = x 2,.・.y ' = 2x ,「. k = f ' (x o )= 2x o ,•••切线方程为 y — x 0= 2x o (x — x o ) •将点 B(3,5)代入上式，得 5— x o = 2x o (3 — x o ),即 X o — 6x °+ 5= o ,•(X o — 1)(x o — 5) = o ,「. x o = 1 或 x o = 5,•切点坐标为(1,1)或(5,25),故所求切线方程为 y — 1= 2(x — 1)或y — 25= 1o(x — 5),即 2x — y — 1 = o 或 1ox — y — 25=o.令 x = 0,得 y = 2a ;令 y = 0,得 x = 2x °. x o即双曲线xy = a 2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为常数 2a 2.8•设坐标平面上的抛物线 C : y = x 2,过第一象限的点(a , a 2)作抛物线C 的切线|,则 直线l 与y 轴的交点Q 的坐标为 ___________ .解析：显然点(a , a 2)为抛物线C ： y = x 2上的点，■/y ' = 2x ,.直线 I 的方程为 y — a 2= 2a(x — a).令 x = 0,得 y =— a 2,•直线I 与y 轴的交点的坐标为(0,— a 2).答案：(0, — a 2)9•求下列函数的导数：8 x(1) y = x ; (2)y = 4 ； (3)y = log a x ；(4)y = sin x + 寸；(5)y = e 2.8.求证：双曲线证明：设P(X o , •• y' = x xy = a 2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于常数.xy = a 2上任一点.y o ）为双曲线2・•过点P 的切线方程为y — y o = — 22(x — x o )• 则切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S = 1• 2 2a x o |2x o |= 2a 2.解：(1)y' = (x8)' = 8x8—1= 8x7.(2) y' = (4 )' = 4 In 4.。
人教新课标版(A)高二选修1-1 3.2.1导数的计算(一)同步练习题
人教新课标版（A ）高二选修1-1 3.2.1 导数的计算（一）同步练习题【基础演练】题型一：几个常用函数的导数 根据导数的定义，容易得到几个常用函数的导数公式：①c y =，0y ='；②x y =，1y ='；③2x y =，x 2y ='；④x 1y =，2x1y -='，请根据以上知识解决以下1~5题。
1. 函数3x y =的导数是A. x 3B. x 31C. 32x 31--D. 32x 31-2. 函数()x x1x f -=的导数是A. x 1x 12-B. x21x 12+-C.x21x 12- D. x21x 12--3. 曲线()2x x x f 3-+=在0P 点处的切线平行于直线1x 4y -=，则0P 点的坐标为A. （1，0）或（-1，-4）B. （0，1）C. （-1，0）D. （1，4）4. 抛物线2x y = 的点到直线02y x =--的最短距离为__________。
5. 给出下列命题，其中正确的命题是__________（填序号）①任何常数的导数都是零；②直线x y =上任意一点处的切线方程是这条直线本身；③双曲线x1y =任意一点处的切线斜率都是负值；④直线x 2y =和抛物线2x y =在()∞+∈,0x 上函数值增长的速度一样快。
题型二：基本初等函数的导数公式的应用 正确熟练的运用导数公式，方便快捷的处理与导数有关的问题，关键是熟记导数公式，请根据以上知识解决以下6~9题。
6. 2x y =的斜率为2的切线方程为A. 01y x 2=+-B. 01y x 2=+-或01y x 2=--C. 01y x 2=+-D. 0y x 2=-7. 已知()x f α=x ，若()41f -=-'，则α的值等于A. 4B. –4C. 5D. –58. 在曲线2x y =上的点（ ）处的切线倾角为43π。
A. （0，0） B. ()4,2C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛16141，D. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-4121，9. 曲线x cos y =在点A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛π23,6处的切线方程__________。
人教A版高中数学选修1-1：3.2.1几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式 同步课时练习
§3.2 导数的计算第一课时 几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式填一填1.函数导数 f (x )＝c (c 为常数)f ′(x )＝0 f (x )＝x f ′(x )＝1 f (x )＝x 2f ′(x )＝2xf (x )＝1xf ′(x )＝－1x 2f (x )＝xf ′(x )＝12x(1)若f (x )＝c (c 为常数)，则f ′(x )＝0；(2)若f (x )＝x α (α∈Q *)，则f ′(x )＝αx α－1； (3)若f (x )＝sin x ，则f ′(x )＝cos_x ； (4)若f (x )＝cos x ，则f ′(x )＝－sin_x ； (5)若f (x )＝a x ，则f ′(x )＝a x ln_a (a >0)； (6)若f (x )＝e x ，则f ′(x )＝e x ；(7)若f (x )＝log a x ，则f ′(x )＝1x ln a (a >0，且a ≠1)；(8)若f (x )＝ln x ，则f ′(x )＝1x.判一判1.若y ＝2，则y ′＝12×2＝1.(×)解析：y ′＝0，故错误．2．(log a x )′＝1x.(×)解析：(log a x )′＝1x ln a，故错误．3．(3x )′＝3x .(×)解析：(3x )′＝3x ln 3，故错误．4．函数y ＝1x 的导数y ′＝12x .(×)解析：y ′＝－12x x，故错误.想一想1.提示：(1)函数y ＝f (x )＝c 的导数为y ′＝0，它表示函数y ＝c 图象上每一点处切线的斜率为0.若y ＝c 表示路程关于时间的函数，则y ′＝0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态．(2)函数y ＝f (x )＝x 的导数为y ′＝1，它表示函数y ＝x 图象上每一点处切线的斜率为1.若y ＝x 表示路程关于时间的函数，则y ′＝1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．(3)函数y ＝f (x )＝x 2的导数y ′＝2x ，几何意义表示函数y ＝x 2图象上每点(x ，y )处的切线的斜率为2x ，说明随着x 的变化，切线的斜率也在变化；当y ＝x 2表示路程关于时间的函数时，y ′＝2x 表示物体做变速运动，在时刻x 的瞬时速度为2x .2．几个基本初等函数的导数公式有什么特点？提示：(1)正余弦函数的导数可以记为“正余互换，(符号)正同余反”．(2)指数函数的导数等于指数函数本身乘以底数的自然对数，公式(6)是公式(5)的特例． (3)对数函数的导数等于x 与底数的自然对数乘积的倒数，公式(8)是公式(7)的特例． 思考感悟：练一练1．已知y ＝ 2 018，则y ′＝( )A.12 2 018 B ．－12 2 018 C.2 0182 018D ．0解析：常函数的导数为0，所以y ＝ 2 018时，y ′＝0.故选D. 答案：D2．下列函数求导正确的是( )A ．(sin x )′＝－cos xB ．(cos x )′＝sin xC ．(2x )′＝x ·2x －1 D.⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2解析：(sin x )′＝cos x ，(cos x )′＝－sin x ，(2x )′＝ln 2·2x ，⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2. 答案：D3．已知点P 在曲线f (x )＝x 4－x 上，曲线在点P 处的切线平行于直线3x －y ＝0，则点P 的坐标为________．解析：设点P 的坐标为(x 0，y 0)， 因为f ′(x )＝4x 3－1，所以4x 30－1＝3，所以x 0＝1. 所以y 0＝14－1＝0，即得P (1,0)． 答案：(1,0)4．若指数函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)满足f ′(1)＝ln 27，则f ′(－1)＝________. 解析：f ′(x )＝a x ln a ，则f ′(1)＝a ln a ＝ln 27， 解得a ＝3，所以f ′(x )＝3x ln 3.故f ′(－1)＝3－1ln 3＝ln 33.答案：ln 33知识点一求导公式的直接运用1.已知f (x )＝12，则f ′(x )等于( ) A.12B ．1C ．0 D.122解析：因常数的导数等于0，故选C. 答案：C2．下列四组函数中导数相等的是( ) A ．f (x )＝1与f (x )＝xB ．f (x )＝sin x 与f (x )＝－cos xC ．f (x )＝1－cos x 与f (x )＝－sin xD ．f (x )＝1－2x 2与f (x )＝－2x 2＋3 解析：由求导公式及运算法易知，D 中f ′(x )＝(1－2x 2)′＝－4x ，与f ′(x )＝(－2x 2＋3)′＝－4x 相等．故选D.答案：D3．下列结论正确的个数为( )①y ＝ln 2，则y ′＝12；②y ＝1x 2，则y ′x ＝3＝－227；③y ＝2x ，则y ′＝2x ln 2；④y ＝log 2x ，则y ′＝1x ln 2.A ．0B ．1C ．2D ．3解析：①y ＝ln 2为常数，所以y ′＝0，①错；②③④均正确，直接利用公式即可验证． 答案：D知识点二 某一点处的导数4.已知f (x A ．2 B ．－2 C ．3 D ．－3解析：若α＝2，则f (x )＝x 2，∴f ′(x )＝2x ，∴f ′(－1)＝2×(－1)＝－2适合条件．故应选A 项．答案：A5．若f (x )＝cos x ，则f ′⎝⎛⎭⎫－3π2＝( ) A ．0 B ．1C ．－1 D.32解析：∵f (x )＝cos x ，∴f ′(x )＝－sin x .故f ′⎝⎛⎭⎫－3π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫－3π2＝－1.答案：C知识点三 函数的切线问题6.若曲线y ＝x 在点P (a ，a )处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a 的值是________解析：∵y ′＝12x ，∴切线方程为y －a ＝12a (x －a )，令x ＝0，得y ＝a2，令y ＝0，得x ＝－a ，由题意知12·a2·|－a |＝2，∴a ＝4.答案：47．已知P (－1,1)，Q (2,4)是曲线y ＝x 2上的两点， (1)求过点P ，Q 的曲线y ＝x 2的切线方程； (2)求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程．解析：(1)因为y ′＝2x ，P (－1,1)，Q (2,4)都是曲线y ＝x 2上的点．过P 点的切线的斜率k 1＝y ′x ＝－1＝－2， 过Q 点的切线的斜率k 2＝y ′x ＝2＝4，过P 点的切线方程：y －1＝－2(x ＋1)，即2x ＋y ＋1＝0. 过Q 点的切线方程：y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)因为y ′＝2x ，直线PQ 的斜率k ＝4－12＋1＝1，切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0＝1，所以x 0＝12，所以切点M ⎝⎛⎭⎫12，14， 与PQ 平行的切线方程为： y －14＝x －12，即4x －4y －1＝0.基础达标一、选择题1．下列结论不正确的是( ) A ．若y ＝3，则y ′＝0B ．若y ＝1x，则y ′＝－12xC ．若y ＝－x ，则y ′＝－12xD ．若y ＝3x ，则y ′＝3解析：对于B 选项y ′＝⎝⎛⎭⎫1x ′＝⎝⎛⎭⎫x －12′＝－12x －32＝－12x x.故选B. 答案：B2．下列结论：①(cos x )′＝sin x ；②⎝⎛⎭⎫sin π3′＝cos π3；③若y ＝1x2，则y ′x ＝3＝－227.其中正确的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：因为(cos x )′＝－sin x ，所以①错误；sin π3＝32，而⎝⎛⎭⎫32′＝0，所以②错误；⎝⎛⎭⎫1x 2′＝(x －2)′＝－2x －3，则y ′x ＝3＝－227，所以③正确．故选B.答案：B3．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为( ) A.1e B ．－1e C ．－e D ．e解析：设切点为(x 0，y 0)．由y ′＝e x ， 得y ′|x ＝x 0＝e x 0，∴过切点的切线为y －e x 0＝e x 0(x －x 0)， 即y ＝e x 0x ＋(1－x 0)e x 0，又y ＝kx 是切线， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝e x 0，(1－x 0)e x 0＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，k ＝e.故选D. 答案：D4．正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π B ．[0，π) C.⎣⎡⎦⎤π4，3π4 D.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎦⎤π2，3π4 解析：∵y ′＝cos x ，而cos x ∈[－1,1]． ∴直线l 的斜率的范围是[－1,1]，∴直线l 倾斜角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫34π，π.故选A. 答案：A5．已知曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为k ，则当k ＝3时的P 点坐标为( ) A ．(－2，－8) B ．(－1，－1)或(1,1)C ．(2,8) D.⎝⎛⎭⎫－12，－18 解析：y ′＝3x 2，∵k ＝3， ∴3x 2＝3，∴x ＝±1，则P 点坐标为(－1，－1)或(1,1)．故选B. 答案：B6．质点沿直线运动的路程s 与时间t 的关系是s ＝5t ，则质点在t ＝4时的速度为( )A.12523B.110523C.25523D.110523 解析：s ′＝15t －45，当t ＝4时，s ′＝15·1544＝110523.故选B.答案：B7．f (x )＝x 3，f ′(x 0)＝6，则x 0等于( ) A. 2 B ．－ 2 C ．±2 D ．±1解析：f ′(x )＝3x 2，由f ′(x 0)＝6，知3x 20＝6，所以x 0＝±2.故选C. 答案：C. 二、填空题8．已知f (x )＝x α，α∈Q ，若f ′(－1)＝－4，则α＝________.解析：∵f ′(x )＝αx α－1，∴f ′(－1)＝α(－1)α－1＝－4， ∴α＝4. 答案：49．若函数y ＝f (x )满足f (x －1)＝1－2x ＋x 2，则y ′＝f ′(x )＝________. 解析：∵f (x －1)＝1－2x ＋x 2＝(x －1)2，∴f (x )＝x 2，f ′(x )＝2x . 答案：2x10．曲线y ＝cos x 在点A ⎝⎛⎭⎫π6，32处的切线方程为____________．解析：∵y ′＝(cos x )′＝－sin x ，∴y ′x=6π＝－sin π6＝－12， ∴在点A 处的切线方程为y －32＝－12⎝⎛⎭⎫x －π6，即x ＋2y －3－π6＝0. 答案：x ＋2y －3－π6＝011．若f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N ，则f 2 013(x )＝________.解析：因为f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ，f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x ， f 3(x )＝(－sin x )′＝－cos x ，f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ， f 5(x )＝(sin x )′＝cos x ，所以循环周期为4， 因此f 2 013(x )＝f 1(x )＝cos x . 答案：cos x12．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为________．解析：因为y ＝e x ，所以y ′＝e x ，所以y ′x ＝2＝e 2＝k ，所以切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)，即y ＝e 2x －e 2.在切线方程中，令x ＝0，得y ＝－e 2，令y ＝0，得x ＝1，所以S 三角形＝12×|－e 2|×1＝e 22. 答案：e 22三、解答题13．求下列函数的导数：(1)y ＝x 12；(2)y ＝1x4；(3)y ＝5x 3；(4)y ＝10x .解析：(1)y ′＝(x 12)′＝12x 11.(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫1x 4′＝(x －4)′＝－4x －5＝－4x 5. (3)y ′＝(5x 3)′＝(x 35)′＝35x 25-＝355x 2.(4)y ′＝(10x )′＝10x ln 10.14．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n ＝lg x n ，求a 1＋a 2＋…＋a 99的值．解析：y ′＝(n ＋1)x n ，曲线在点(1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0，得x ＝nn ＋1.a n ＝lg x n ＝lg nn ＋1＝lg n －lg(n ＋1)，则a 1＋a 2＋…＋a 99＝lg 1＝－lg 100＝－2.能力提升15.求过曲线y ＝e x 上点P 解析：∵y ′＝e x ，∴曲线在点P (1，e)处的切线斜率是y ′x ＝1＝e ，∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率k ＝－1e，∴所求直线方程为y －e ＝－1e(x －1)，即x ＋e y －e 2－1＝0.16．求过点(2,0)且与曲线y ＝x 3相切的直线方程．解析：点(2,0)不在曲线y ＝x 3上，可令切点坐标为(x 0，x 30)．由题意，所求直线方程的斜率k ＝x 30－0x 0－2，又y ′|0x x ＝＝3x 20，即x 30x 0－2＝3x 20，解得x 0＝0或x 0＝3. 当x 0＝0时，得切点坐标是(0,0)，斜率k ＝0，则所求直线方程是y ＝0；当x 0＝3时，得切点坐标是(3,27)，斜率k ＝27，则所求直线方程是y －27＝27(x －3)， 即27x －y －54＝0.综上，所求的直线方程为y ＝0或27x －y －54＝0.。
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第三章 3.2 3.2.1A 级 基础巩固一、选择题1．设y ＝e 3，则y ′等于( C ) A ．3e 2 B ．e 2C ．0D ．以上都不是[解析] ∵y ＝e 3是一个常数，∴y ′＝0.2．(2020·广西南宁高二检测)若函数f (x )＝x 2，则f (x )在x ＝1处的导数为( B ) A ．2x B ．2 C ．3 D ．4 [解析] f ′(x )＝2x ，∴f (x )在x ＝1处的导数为f ′(1)＝2.3．已知函数f (x )＝x 3的切线的斜率等于3，则切线有( B ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．不确定 [解析] ∵f ′(x )＝3x 2＝3，解得x ＝±1.切点有两个，即可得切线有两条．4．给出下列结论：①若y ＝1x 3，则y ′＝－3x 4；②若y ＝3x ，则y ′＝133x ；③若y ＝1x 2，则y ′＝－2x 3；④若f (x )＝3x ，则f ′(1)＝3，其中正确的个数是( B )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] ②y ′＝133x 2；③y ′＝－2x －3，所以只有①④是正确的．5．下列结论正确的是( A ) A ．若y ＝sin x ，则y ′＝cos x B ．若y ＝cos x ，则y ′＝sin x C ．若y ＝1x ，则y ′＝1x 2D ．若y ＝x ，则y ′＝12x[解析] ∵B 项中，y ′＝－sin x ；C 项中，y ′＝－1x 2；D 项中，y ′＝12x，∴选A ．6．(2020·滁州民办高中检测)已知函数h (x )＝4x，则h ′(4)等于( C ) A ．－22B ．12C ．－14D ．18[解析] 因为h (x )＝4x＝4x －12，所以h ′(x )＝4×(－12)x －32，h ′(4)＝4×(－12)×4－32＝－14.故选C ． 二、填空题7．已知函数f (x )＝a ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数，若f ′(1)＝3则a 的值为__3__.[解析] f ′(x )＝ax，∵f ′(1)＝a ，又f ′(1)＝3，∴a ＝3. 8．函数y ＝sin π，则y ′＝__0__. [解析] y ＝sin π＝0，∴y ′＝0. 三、解答题9．求曲线y ＝cos x 在x ＝π6处的切线方程．[解析] ∵y ＝cos x ，∴y ′＝－sin x . ∴曲线y ＝cos x 在x ＝π6处的切线的斜率k ＝－sin π6＝－12.又当x ＝π6时，y ＝cos π6＝32，故曲线在x ＝π6处的切线方程为y －32＝－12(x －π6)， 即y ＝－12x ＋32＋π12.B 级 素养提升一、选择题1．曲线y ＝13x 3在x ＝1处切线的倾斜角为( C )A ．1B ．－π4C ．π4D ．5π4[解析] ∵y ＝13x 3，∴y ′|x ＝1＝1，∴切线的倾斜角α满足tan α＝1，∵0≤α<π，∴α＝π4.2．(2019·全国Ⅱ卷文，10)曲线y ＝2sin x ＋cos x 在点(π，－1)处的切线方程为( C ) A ．x －y －π－1＝0 B ．2x －y －2π－1＝0 C ．2x ＋y －2π＋1＝0D ．x ＋y －π＋1＝0[解析] 设y ＝f (x )＝2sin x ＋cos x ，则f ′(x )＝2cos x －sin x ，∴ f ′(π)＝－2，∴ 曲线在点(π，－1)处的切线方程为y －(－1)＝－2(x －π)，即2x ＋y －2π＋1＝0.故选C ．3．函数y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴围成三角形的面积为( D ) A ．94e 2B ．2e 2C ．e 2D ．e 22[解析] ∵y ′|x ＝2＝e 2， ∴切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)． 当x ＝0时，y ＝－e 2，当y ＝0时，x ＝1.故切线与坐标轴围成三角形面积为12×|－e 2|×1＝e 22，故选D ．4．(多选题)若f (x )＝x 5，f ′(x 0)＝20，则x 0的值可为( AB ) A ． 2 B ．－ 2 C ．－2D ．2[解析] 函数的导数f ′(x )＝5x 4， ∵f ′(x 0)＝20，∴5x 40＝20，得x 40＝4，则x 0＝±2， 故选AB ．5．(多选题)正弦曲线y ＝sin x 上切线的斜率等于12的点可以为( ABC )A ．(π3，32)B ．(－π3，－32)或(π3，32)C ．(5π3，－32)D ．(5π6，32)[解析] 设斜率等于12的切线与曲线的切点为P (x 0，y 0)，∵y ′|x ＝x 0＝cos x 0＝12，∴x 0＝2k π＋π3或2k π－π3，∴y 0＝32或－32，故选ABC ．二、填空题6．设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x (x >0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为__(1,1)__.[解析] 由于(e x )′＝e x ，(1x )′＝－1x 2，故曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线斜率k ＝e 0＝1，设P (x 0，1x 0)，曲线y ＝1x (x >0)上点P 处的切线斜率－1x 20，若两直线垂直则有1×(－1x 20)＝－1，解得x 0＝1，故P (1,1)．7．在曲线y ＝4x 2上求一点P ，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°，则曲线在点P处的切线方程为__x ＋y －3＝0__.[解析] 设P (x 0，y 0)，∵y ′＝⎝⎛⎭⎫4x 2′＝(4x －2)′＝－8x －3，tan 135°＝－1， ∴－8x －30＝－1. ∴x 0＝2，y 0＝1.∵切线的斜率k ＝－1，∴切线方程为y －1＝－(x －2)，即x ＋y －3＝0. 三、解答题8．已知曲线C ：y ＝x 3.(1)求曲线C 上点(1,1)处的切线方程；(2)在(1)中的切线与曲线C 是否还有其他公共点？ [解析] (1)∵y ′＝3x 2，∴切线斜率k ＝3， ∴切线方程y －1＝3(x －1)， 即3x －y －2＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －2＝0y ＝x3消去y 得，3x －x 3－2＝0， ∴(x －1)2(x ＋2)＝0， ∴x 1＝1，x 2＝－2.∴其他公共点为(－2，－8)．。
人教版高中数学高二 选修1-1练习3.2.1几个常用函数的导数与导数公式
知能巩固提升(二十)/课后巩固作业(二十)（时间：30分钟满分：50分）一、选择题（每小题4分，共16分）则f′(-1)=( )（A）52（B）52-（C）53（D）53-2.已知函数f(x)=x3的切线的斜率等于3，则切线有( )（A）1条（B）2条（C）3条（D）不确定3.（2012·望江高二检测)直线y=12x+b是曲线y=lnx(x＞0)的一条切线，则实数b的值为( )（A）2 （B）ln2+1 （C）ln2-1 （D）ln24.（2011·江西高考）曲线y=e x在点A（0,1）处的切线斜率为( )（A）1 （B）2 （C）e （D）1e二、填空题（每小题4分，共8分）5.抛物线y=x2上的点到直线x-y-2=0的最短距离为__________.6.曲线Q（16，8）处的切线斜率是__________.三、解答题（每小题8分，共16分）7.(2012·吉林高二检测)求证双曲线y=1x上任意一点P处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为定值.8.(易错题）已知直线y=kx与曲线y=lnx相切，求实数k的值.【挑战能力】（10分）设抛物线y=x 2与直线y=x+a （a 是常数）有两个不同的交点，记抛物线在两交点处切线分别为l 1，l 2，求a 值变化时l 1与l 2交点的轨迹.答案解析1.【解析】选D.∵f(x)=53x -,∴f ′(x)=835x 3--,∴f ′(-1)=-()83513-- =-53.2.【解析】选B.∵f ′(x)=3x 2=3，解得x=±1.切点有两个，即可得切线有两条.3.【解析】选C.∵y=lnx 的导数y ′=1x， ∴令1x =12得x=2，∴切点为(2,ln2). 代入直线y=12x+b 得b=ln2-1.【变式训练】（2012·重庆模拟）若曲线y=12x -在点(a,12a -)处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为18,则a 为( ) (A)64(B)32(C)16(D)18【解析】选A.∵切线的斜率k=321a 2--,∴切线方程为y-12a-=321a 2--(x-a).令方程中x=0得y=123a 2-;令y=0得x=3a;故三角形面积为S=1122139a 3a a 224-==18,∴a=64.4.【解题指南】首先求函数的导数，再根据导数的几何意义即得. 【解析】选A.由条件得：y ′=e x ,根据导数的几何意义可得，k=y ′|x=0=e 0=1.5.【解析】∵y=x 2,∴y ′=2x,而抛物线y=x 2与直线x-y-2=0平行的切线只有一条,即2x=1,这个切点坐标为(11,24),该点到直线的距离为11|2|--==.6.【解析】∵y=34x ,∵y ′=3114433x x .44--=∴k=y ′|x=16=()11444333162.448--⨯=⨯=答案：387.【证明】设双曲线上任意一点P(x 0,y 0), ∵y ′=21x -， ∴点P 处的切线方程y-y 0=-201x (x-x 0). 令x=0,得y=y 0+0012x x =； 令y=0，得x=x 0+x 02y 0=2x 0. ∴S △=12|x|·|y|=2.∴三角形面积为定值2.8.【解析】设切点坐标为（x 0，lnx 0），则切线方程为y-lnx 0=01x （x-x 0）， ∵切线过原点，∴把原点代入得-lnx 0=-1， ∴x 0=e ，∴切线的斜率k=011x e=. 【误区警示】解题中容易忽视y=kx 过原点这一隐含条件. 【挑战能力】【解析】将y=x+a 代入y=x 2整理得x 2-x-a=0①为使直线与抛物线有两个不同的交点，必须Δ=（-1）2+4a>0，所以a>-14.设两交点为(α,α2)，(β,β2)，α<β，由y=x 2知y ′=2x ，则切线l 1,l 2的方程为y=2αx-α2，y=2βx-β2,设两切线交点为(x,y)，则x 2y α+β⎧=⎪⎨⎪=αβ⎩②因为α，β是①的解，由根与系数的关系可知 α+β=1，αβ=-a.由此及②可得x=12，y=-a<14. 从而，所求的轨迹为直线x=12上的y<14的部分. 【方法技巧】求切线方程的常见方法 （1）数形结合.（2）将直线方程代入曲线方程利用判别式.（3）利用导数的几何意义.。
人教课标版高中数学选修1-1《导数的计算》基础训练
《导数的计算》基础训练题组一 基本初等函数的导数公式1.曲线2y x =在点11,24⎛⎫⎪⎝⎭处切线的倾斜角θ为( )A.1B.4π-C.4π D.54π2.已知()f x =则()'4f =( )A.14-B.14C.-2D.23.函数sin 2y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的导函数为( )A.'cos 2y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B.'sin y x =-C.'sin y x =D.'cos y x =4.已知()2f x x =则()'2f =( )A. B.0D.5下列结论:①()'cos sin ;x x =②'sin cos ;33ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭③若21,y x =则'32|;27x y ==-④'⎛= ⎝其中正确的有( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个6.已知函数()f x 满足()()()'12110.2x f x f e f x x -=-+求()f x 的解析式.题组二 导数的运算法则7.若2,x y x e =⋅则'y =( ) A.22x x e x + B.2x xe C.()22x x x e + D.()2x x x e +⋅8.函数()sin cos 1y x x =+的导数是( ) A.cos2cos x x - B.cos2sin x x + C.cos2cos x x + D.2cos cos x x +9.已知()()3'110,32f x x xf =+则()'1f =___.10.若函数ln ,xy x=则'y =___. 题组三 导数运算的综合应用11.曲线2xy x =-在点()1,1-处的切线方程为( ) A.2y x =-B.32y x =-+C.23y x =-D.21y x =-+12.设函数()32sin tan ,3f x x x θθ=++其中50,,12πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则导数()'1f 的取值范围是( ) A.[]2,2-B.C.2⎤⎦D.2⎤⎦13.已知曲线1,1x y e =+则曲线的切线斜率取得最小值时的切线方程为( ) A.420x y +-= B.420x y -+=C.4210x y +-=D.4210x y --=14.设()321f x x ax bx =+++的导数()'f x 满足()()''12,2,f a f b ==-其中常数,.a b R ∈求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程.15.设函数(),bf x ax x=-曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程为74120x y --=. (1)求()f x 的解析式；(2)证明曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形面积为定值，并求此定值.参考答案1. 答案：C 解析：''122,|1,x y x y ===所以tan 1,k θ==所以.4πθ=故选C.2. 答案：B 解析：()()''14.4f x f =∴== 3. 答案：B解析：原函数化简得cos ,y x =故()''cos sin .y x x ==-故选B. 4. 答案：D解析：原函数化简得()52,f x x =所以()3'25,2f x x =所以()3'25222f =⨯=故选D. 5. 答案：C解析：因为()'cos sin ,x x =-所以①错误；因为sin 3π=所以'0,=⎝⎭所以② 错误；因为()'''23212,y x x x --⎛⎫===- ⎪⎝⎭所以'32|,27x y ==-所以③正确；因为''132212x x --⎛⎫⎛=-== ⎪ ⎝⎝⎭所以④正确.故选C. 6.答案：见解析解析：由题意得()()()''110,x f x f e f x -=-+所以()()()''1101,f f f =-+即()0 1.f =因为()()'101,f f e -=所以()'1,f e =所以()21.2x f x e x x =-+7. 答案：C解析：()()()'''222222.x x x x x y x e x e x e x e x x e =⋅+⋅=⋅+⋅=+⋅故选C.8. 答案：C解析：()()()()()'''sin cos 1sin cos 1cos cos 1sin sin y x x x x x x x x =+++=++-cos2cos .x x =+故选C.9. 答案：1解析：()()'2'10,2f x x f =+所以()()''1000.2f f =+所以()'00,f =所以()'2,f x x =所以()'11f =. 10. 答案：21ln xx- 解析：()'''22ln ln 1ln .x x x x x y x x --==11. 答案：D解析：由题意知，点()1,1-在曲线2x y x =-上，又()()'2222,22x x y x x ---==-- 所以曲线2x y x =-在点()1,1-处的切线的斜率()222,12k -==--故所求切线的方程为()121,y x +=--即2 1.y x =-+ 12. 答案：D解析：由题意，得()()'2'sin cos ,1sin f x x f θθθθ=∴=()'52sin ,0,,sin ,12,31232f πππθθθ⎤⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎤=+∈∴+∈∴∈⎥ ⎪⎪⎢⎥⎦⎝⎭⎣⎦⎝⎭⎣⎦故选D. 13. 答案：A 解析：()'21.112xx x x e y e e e--==+++因为0,x e >所以12x x e e +≥= (当且仅当1,x x e e =即0x =时等号成立)，则124,xxe e ++≥故'11142x x y e e-=≥-++ (当0x =时等号成立).当0x =时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为10,,2⎛⎫⎪⎝⎭切线的方程为()110,24y x -=--即420x y +-=.14.答案：见解析解析：因为()321,f x x ax bx =+++所以()'232.f x x ax b =++令1,x =得()'132,f a b =++又()'12,f a =所以322,a b a ++=解得 3.b =-令2,x =得()'2124,f a b =++又()'2,f b =-所以124,a b b ++=-解得3.2a =-所以()32331,2f x x x x =--+所以()51.2f =-又()'3123,2f ⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()531,2y x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭即6210x y +-=.15.答案：见解析解析：⑴74120x y --=可化为7 3.4y x =-当2x =时1,,2y =所以()122f =. 又()'2,b f x a x =+于是12,227,44b a b a ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得1,3.a b =⎧⎨=⎩故()3.f x x x =-⑵设点()00,P x y 为曲线上任一点，由()'231f x x=+可知曲线()y f x =在点()00,P x y 处的切线方程为()002031,y y x x x ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭即 ()00200331.y x x x x x ⎛⎫⎛⎫--=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令0,x =得06,y x =-从而得切线与直线0x =的交点坐标为060,.x ⎛⎫- ⎪⎝⎭令,y x =得02,y x x ==从而得切线与直线y x =的交点坐标为()002,2.x x 所以点()00,P x y 处的切线与直线0,x y x ==所围成的三角形面积为0016|||2| 6.2x x ⋅-⋅=故曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形面积为定值，此定值为6.。
2020-2021学年人教A版数学选修1-1配套学案：3.2.1 几个常用函数的导数
3．2导数的计算3.2.1几个常用函数的导数3．2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)内容标准学科素养1.能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝1x，y＝x的导数．2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.应用数学抽象提高数学运算授课提示：对应学生用书第56页[基础认识]知识点一几个常用函数的导数预习教材P81－83，思考并完成以下问题导数的几何意义是曲线在某一点处的切线的斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数y＝f(x)，如何求它的导数呢？下列函数的导数是什么？(1)f(x)＝c；(2)f(x)＝x；(3)f(x)＝x2；(4)f(x)＝1x；(5)f(x)＝x.提示：由导数的定义得(1)f′(x)＝limΔx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx＝limΔx→0c－cΔx＝limΔx→00＝0；(2)f′(x)＝limΔx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx＝limΔx→0(x＋Δx)－xΔx＝1；(3)f′(x)＝limΔx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx＝limΔx→0(x＋Δx)2－x2Δx＝limΔx→0(Δx＋2x)＝2x；(4)f′(x)＝limΔx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx＝limΔx→01x＋Δx－1xΔx＝limΔx→0⎝⎛⎭⎫－1x(x＋Δx)＝－1x2；(5)f′(x)＝limΔx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx＝limΔx→0x＋Δx－xΔx＝limΔx→0ΔxΔx(x＋Δx＋x)＝limΔx→01x＋Δx＋x＝12x.知识梳理几个常用函数的导数原函数导函数f(x)＝c f′(x)＝0f(x)＝x f′(x)＝1f (x )＝x 2 f ′(x )＝2x f (x )＝1xf ′(x )＝－1x 2f (x )＝xf ′(x )＝12x知识点二 基本初等函数的导数公式知识梳理 为了方便，今后我们可以直接使用下面的基本初等函数的导数公式表.原函数 导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x α(α∈Q *) f ′(x )＝αx α－1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝a x f ′(x )＝a x ln_a (a >0)f (x )＝e x f ′(x )＝e xf (x )＝log a x f ′(x )＝1x ln a(a >0，且a ≠1)f (x )＝ln xf ′(x )＝1x[自我检测]求下列函数的导数：(1)f (x )＝4x 5；(2)g (x )＝cos π4；(3)h (x )＝3x .答案：(2)g (x )＝cos π4＝22，∴g ′(x )＝0；(3)h ′(x )＝3x ln 3.授课提示：对应学生用书第57页探究一 利用导数公式求函数的导数[阅读教材P 83例1]假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p (单位：元)与时间t (单位：年)有如下函数关系p (t )＝p 0(1＋5%)t ，其中p 0为t ＝0时的物价．假定某种商品的p 0＝1，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01)?题型：基本初等函数的导数．方法步骤：①根据导数的几何意义，上涨速度就是导数． ②利用导数公式表求出p ′(t )．③再求出p ′(10)就是第10个年头的上涨速度． [例1] 求下列函数的导数： (1)y ＝10x ；(2)y ＝lg x ；(4)y ＝4x 3；(5)y ＝⎝⎛⎭⎫sin x 2＋cos x 22－1. [解析] (1)y ′＝(10x )′＝10x ln 10. (2)y ′＝(lg x )′＝1x ln 10..(5)∵y ＝⎝⎛⎭⎫sin x 2＋cos x22－1 ＝sin 2x 2＋2sin x 2cos x 2＋cos 2x2－1＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x .方法技巧 1.若给出的函数解析式符合基本初等函数的导数公式，则直接利用公式求导． 2．若给出的函数解析式不符合导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式要化成指数幂的形式求导．跟踪探究 1.(1)y ＝⎝⎛⎭⎫1e x；(2)y ＝⎝⎛⎭⎫110x ； (3)y ＝lg 5；(4)y ＝3lg 3x ；(5)y ＝2cos 2x 2－1.解析：(1)y ′＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1e x ′＝⎝⎛⎭⎫1e x ln 1e＝－1ex ＝－e －x .(2)y ′＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫110x ′＝⎝⎛⎭⎫110x ln 110＝－ln 1010x＝－10－x ln 10.(3)∵y ＝lg 5是常数函数，∴y ′＝(lg 5)′＝0. (4)∵y ＝3 lg 3x ＝lg x ， ∴y ′＝(lg x )′＝1x ln 10.(5)∵y ＝2cos 2x2－1＝cos x ，∴y ′＝(cos x )′＝－sin x .探究二 利用导数公式求曲线的切线方程[教材P 82探究改编]求曲线y ＝1x 在(1,1)处的切线方程．解析：∵y ＝1x ＝x －1，∴y ′＝－x －2＝－1x 2，∴y ′|x ＝1＝－1，∴曲线y ＝1x在(1,1)处的切线方程为y －1＝－(x －1)，即y ＝－x ＋2.[例2] (1)求过曲线y ＝sin x 上点P ⎝⎛⎭⎫π6，12且与在这点处的切线垂直的直线方程． [解析] ∵y ＝sin x ，∴y ′＝cos x ， 曲线在点P ⎝⎛⎭⎫π6，12处的切线斜率是： y ′|x ＝π6＝cos π6＝32.∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为－23，故所求的直线方程为y －12＝－23⎝⎛⎭⎫x －π6， 即2x ＋3y －32－π3＝0. (2)设P 是曲线y ＝e x 上任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离．解析：如图，设l 是与直线y ＝x 平行，且与曲线y ＝e x 相切的直线，则切点到直线y ＝x 的距离最小．设与直线y ＝x 平行的直线l 与曲线y ＝e x 相切于点P (x 0，y 0)． 因为y ′＝e x ，所以e x 0＝1，所以x 0＝0.代入y ＝e x ，得y 0＝1，所以P (0,1)．所以点P 到直线y ＝x 的最小距离为|0－1|2＝22.方法技巧 解决有关切线问题的关注点(1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素．其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系．(2)准确利用求导公式求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确．(3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点． 跟踪探究 2.已知曲线方程为y ＝f (x )＝x 2，求过点B (3,5)且与曲线相切的直线方程． 解析：设切点P 的坐标为(x 0，x 20)． ∵y ＝x 2，∴y ′＝2x ，∴k ＝f ′(x 0)＝2x 0， ∴切线方程为y －x 20＝2x 0(x －x 0)．将点B (3,5)代入上式得5－x 20＝2x 0(3－x 0)， 即x 20－6x 0＋5＝0，∴(x 0－1)(x 0－5)＝0， ∴x 0＝1或x 0＝5.∴切点坐标为(1,1)或(5,25)．∴所求切线方程为y －1＝2(x －1)或y －25＝10(x －5)， 即2x －y －1＝0或10x －y －25＝0.授课提示：对应学生用书第58页[课后小结](1)利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归．(2)有些函数可先化简再应用公式求导．如求y ＝1－2sin 2x 2的导数．因为y ＝1－2sin 2x2＝cos x ，所以y ′＝(cos x )′＝－sin x .(3)对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化．[素养培优]1．未能区分好变量与常量而致错 求f (x )＝cos a 的导数．易错分析 很容易忽视a 是常数． 自我纠正 f ′(x )＝(cos a )′＝0.2．没有意识到切点也在曲线上致误过原点作曲线y ＝e x 的切线，则切点坐标为________． 易错分析 设切点P (x 0，y 0)， 则y ′|x ＝x 0＝e x 0， 从而e x 0＝y 0－0x 0－0，∴y 0＝x 0e x 0，所以切点坐标为(x 0，x 0e x 0)．该解法没有意识到切点也在曲线上致误． 考查逻辑推理及数学运算的学科素养．自我纠正 y ′＝e x ，设切点为(x 0，y 0)，则y 0＝e x 0， 则切线方程为y －e x 0＝e x 0(x －x 0)， 由于原点在切线上，则－e x 0＝e x 0(－x 0)⇒x 0＝1，y 0＝e x 0＝e ， 即切点为(1，e)． 答案 (1，e)。
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鑫达捷 第三章 导数及其应用
3.2.1 几个常用的导数（练案）
1. 熟记四个基本函数导数公式；
2. 利用四个基本函数导数公式解决有关问题
. 一、选择题：
1.函数6)(-=x f 的导数是 （ ）
A ．0
B ．1
C ．不存在
D ．不确定
2.已知2()f x x =,则求值)4()4(-'-'f f （ ）
A ．0
B ．8x
C ．8
D ．16 3．在曲线x
x f 1)(=上的切线的倾斜角为43π的点为 （ ） A ．)1,1( B ．)21
,2( C ．)1,1(--和 )1,1( D ．)21,2(--和)2
1,2(
4．下列结论不正确的是 ( )
A ．若y ＝0，则y '＝0
B ．若y ＝x ，则y '＝1
C ．若y ＝x －1，则y '＝－x －2 D. 若y =2
1x ，则y '=21
21x 二、填空题：
5．若y ＝x 表示路程关于时间的函数，则y ′＝1可以解释为 ．
6．若曲线y ＝x 2的某一切线与直线y ＝4x ＋6平行，则切点坐标是 ．
7. 过点)1,2(与曲线1-=x y 在点)21,2(--处的切线平行的直线方程是 ．
8. 某物体的运动方程为3s t =，则该物体在1t =时的速度为 ，它在4t =时的速度为 .
三、解答题
1. 已知圆面积2S r π=，根据导数定义求()S r '.
2. 若直线y x b =-+是函数1y x
=
图象的切线，求b 及切点坐标
.。
人教新课标版数学高二-数学选修1-1能力拓展 几个常用函数的导数
能力拓展提升一、选择题11．已知函数f (x )＝x 12，则[f (12)]′＝( ) A ．0 B.22 C ．1 D ．－22[答案] A[解析] ∵f (12)是常数，∴[f (12)]′＝0. 12．给出下列结论： ①若y ＝1x 3，则y ′＝－3x 4； ②y ＝3x ，则y ′＝133x ； ③y ＝log 2x ，则y ′＝1x ； ④y ＝cos x ，则y ′＝sin x . 其中正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[答案] A[解析] y ＝1x 3＝x －3，y ′＝－3x －4＝－3x 4，故①正确；y ＝3x ＝x 13，y ′＝13x－ 23＝133x 2，故②不正确；y ＝log 2x ，y ′＝1x ln2；故③不正确；y＝cos x ，y ′＝－sin x ，故④不正确．13．已知直线y ＝kx 是y ＝ln x 的切线，则k 的值为( ) A.12 B ．－12 C.1e D ．－1e[答案] C[解析] y ′＝1x ＝k ，∴x ＝1k ，切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ，1，又切点在曲线y ＝ln x 上，∴ln 1k ＝1，∴1k ＝e ，k ＝1e . 14．正弦曲线y ＝sin x 上切线的斜率等于12的点为( ) A ．(π3，32)B ．(－π3，－32)或(π3，32)C ．(2k π＋π3，32)D ．(2k π＋π3，32)或(2k π－π3，－32) [答案] D[解析] 设斜率等于12的切线与曲线的切点为P (x 0，y 0)，∵y ′|x ＝x 0＝cos x 0＝12，∴x 0＝2k π＋π3或2k π－π3，∴y 0＝32或－32. 二、填空题15．y ＝10x 在(1,10)处切线的斜率为________． [答案] 10ln10[解析] y ′＝10x ln10， ∴y ′|x ＝1＝10ln10.16．抛物线y ＝x 2上的点到直线x －y －2＝0的最短距离为________．[答案] 728[解析] ∵y ＝x 2，∴y ′＝2x ，而抛物线y ＝x 2与直线x －y －2＝0平行的切线只有一条，即2x ＝1，这个切点坐标为(12，14)，该点到直线的距离为d ＝|12－14－2|2＝742＝728.三、解答题17．已知曲线C ：y ＝x 3.(1)求曲线C 上点(1,1)处的切线方程；(2)在(1)中的切线与曲线C 是否还有其他公共点？ [解析] (1)∵y ′＝3x 2， ∴切线斜率k ＝3，∴切线方程y －1＝3(x －1)， 即3x －y －2＝0.(2)由⎩⎨⎧3x －y －2＝0y ＝x 3消去y 得，3x －x 3－2＝0，∴(x －1)2(x ＋2)＝0，∴x 1＝1，x 2＝－2.∴公共点为(1,1)及(－2，－8)．18．已知函数y ＝a sin x ＋b 的图象过点A (0,0)，B (3π2，－1)，试求函数在原点处的切线方程．[解析] ∵y ＝a sin x ＋b 的图象过点A (0,0)，B (3π2，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝a sin0＋b －1＝a sin 3π2＋b，解得⎩⎨⎧a ＝1b ＝0.∴y ＝sin x .又∵y ′＝cos x ，∴y ′|x ＝0＝1. ∴切线方程为y ＝x .。
人教新课标版数学高二-数学选修1-1备选高考题库 几个常用函数的导数
1．若y ＝sin x ，则y ′|x ＝π3 ＝( ) A.12B ．－12C.32D ．－32 [答案] A[解析] y ′＝cos x ，y ′|x ＝π3 ＝cos π3＝12. 2．两曲线y ＝1x 与y ＝x 在交点处的两切线的斜率之积为________． [答案] －12[解析] 两曲线y ＝1x 与y ＝x 的交点坐标为(1,1)， ∴k 1＝(1x )′|x ＝1＝－1x 2|x ＝1＝－1，k 2＝(x )′|x ＝1＝12x |x ＝1＝12. ∴k 1·k 2＝－12.3．曲线y ＝x 3在点(a ，a 3)(a ≠0)处的切线与x 轴，直线x ＝a 所围成的三角形的面积为16，则a ＝________.[答案] ±1[解析]因为y ′＝3x 2，所以曲线在(a ，a 3)处切线斜率为3a 2， 切线方程为：y －a 3＝3a 2(x －a )所围成三角形如右图所示的阴影部分．切线与x 轴交于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，0；x ＝a 与x 轴交于点B (a,0)；切线与直线x ＝a 交于点M (a ，a 3)， ∵S △ABM ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a －2a 3·a 3＝16，， ∴a ＝±1.4．求过曲线y ＝sin x 上的点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，22且与在这点处的切线垂直的直线方程．[解析] ∵y ＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x .∴y ′|x ＝π4＝cos π4＝22.∴经过这点的切线的斜率为22，从而可知适合题意的直线的斜率为－ 2.∴由点斜式得适合题意的直线方程为y －22＝－2(x －π4)，即2x ＋y －22－24π＝0.。