磁场力的冲量公式及其应用

磁场力的冲量公式及其应用
于正荣
( 盐城市伍佑中学 , 江苏 盐城 224041)
在高中电磁学习题中，有一些问题需要用到动量定理来求解。

这些问题又往往会涉及磁场力冲量的计算。

磁场力通常指洛伦兹力和安培力，许多时候，它们是变化的，为了计算它们的冲量，本文介绍一个实用的公式。

1．磁场力冲量的公式
1、洛伦兹力的冲量。

如图1所示，设带电粒子的电荷量
为q ，在磁感强度为B 的匀强磁场中做曲线运动，运动方向
与磁场方向垂直。

现研究该粒子从M 位置沿任意路径运动到
N 位置过程中洛伦兹力的冲量。

将粒子运动的路径无限分割，
则在各个分割所得的元过程中，洛伦兹力可以看成恒力，它
对粒子产生的微元冲量为s qB t qvB t f I ∆=∆⋅=∆⋅=∆冲，其中的s ∆为元过程的
位移。

由于洛伦兹力f 的方向与元位移s ∆的方向垂直，所以元冲量冲I ∆的方向也与s ∆的方向垂直。

因此整个过程洛伦兹力的总冲量就等于各个元冲量的矢量和。

即有
qBL s s s qB I n =∆+⋅⋅⋅+∆+∆=)21（冲，其中的L 为粒子运动的始、末端点MN 的位移。

也就是说粒子沿曲线从M 到N 过程洛伦兹力的冲量冲I ，与粒子沿直线从M 到N 过程洛伦兹力的冲量相等。

显然，该冲量冲I 的方向也一定与位移L 的方向垂直。

2、安培力的冲量。

如图2所示，长为L 的导体棒垂直置于磁
感强度为B 匀强磁场中，金属棒中通以电流（电流不一定恒定），
现研究t 时间内导体棒所受安培力的冲量。

把通电时间t 无限分割，
则在每一段很短的微元时间t ∆内，可以认为电流恒定，所以这很
短时间t ∆内安培力的冲量t i L B I ∆⋅⋅⋅=∆冲，而t i ∆⋅就等于这
段时间内通过导体棒的电量q ∆。

因此整段时间t 内，导体棒所受
安培力的冲量就等于各微元时间内安培力冲量的矢量和，即有：
BqL q q q BL I n =∆+⋅⋅⋅+∆+∆=)21（冲，其中q 为整个过程通过导体棒的总电量。

另外，
图1 △s I 冲 f M × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × B
不难证明即使导体棒弯曲，此公式仍然成立，不过要把L 看成棒两端点的位移，并且安培力冲量的方向与L 方向垂直。

综上所述，不论是伦兹力还是安培力，也不论它们是恒力还是变力，其冲量都可以写成BqL I =冲的形式，其中位移矢量L 的大小应为等效的直线电流的长度，冲量的方向与等效的安培力方向一致，即与L 方向垂直。

2．磁场力冲量公式的应用
例1 在磁感强度为B 的匀强磁场中，有一个电量为q 的粒子（重力不计）以速度v ，在垂直于磁场方向上做半径为R 的匀速圆周运动。

则粒子在转过1800的时间内，洛伦兹力的冲量大小为：（ ）
A ．qBR π；
B ．qBR 2；
C ．qBR 2；
D ．qBR 。

析与解：典型的错解：qBR qB
m B m qBR q T qvB Ft I ππ=⋅⋅⋅=⋅==2冲，答案选(A)。

常规解答：因洛伦兹力是变力，所以不能由冲量的定义式Ft I =冲直接计算，而应考虑运用动量定理。

由于粒子只受洛伦兹力作用，所以合力的冲量就是洛伦兹力的冲量，根据动量定理有mv v m p I -'=∆=冲，由于v v -='，所以qBR mv p 22-=-=∆，即qBR I 2-=冲，正确答案选B 。

巧解：本题中虽然洛伦兹力的方向时刻在变化，但我们仍可以直接运用公式BqL I =冲进行解答，不过要注意其中L 的大小应为粒子初末位置的位移大小，即L =2R ，因此我们可以直接得出结果为R Bq BLq I 2⋅==冲，答案B 正确。

例2 一个带电微粒质量为m 、电荷量为+q 。

空间存在水平方向
的匀强磁场B 。

现将带电微粒由静止释放，微粒在重力场和磁场作用
下开始运动，试求粒子在竖直方向运动的最大距离h 。

析与解：带电微粒在重力和洛伦兹力作用下做复杂的曲线运动，
当运动到最低点时，速度v 沿水平方向，如图3所示，微粒在运动过
程中受两个力的冲量：重力的冲量I G （方向竖直向下）、洛伦兹力的
冲量I B （方向与微粒运动的始、末点的连线L 垂直），由动量定理可
知，它们冲量的矢量和等于微粒动量的变化，即为合I =mv ；I G 、I B 、合I 的方向关系如图3所示，所以有：合I =θcos B I mv =；再直接利用前面的结论可以得到θ
cos qBh qBL I B ==；最后再根据动能定理有：mgh mv =221。

综合以上几式可解得：2222B
q g m h =。

例3 如图4所示，距地面高为h 、水平放置的光滑导轨的右
端放一导体棒，导轨与电源相连，垂直置于匀强磁场中，已知导轨
宽为L ，磁感应强度为B ，导体棒的质量为 m ，若开关K 闭合所后，
导体棒迅速飞出，其水平射程为s ，则通过导体棒的电荷量多大？
析与解：由前面的结论知导体棒所受安培力的冲量为BqL I =冲，另外根据平抛运动的规律有t v s 0=、221gt h =，可得导体棒平抛的初速h g s v 20=，再由动量定理020-⋅===h g s
m mv BqL I 冲，可解得通过开关的电荷量为：h g BL ms q 2=。

例4 如图所示，在光滑的水平面上，有一竖直向下的匀强磁场分布在宽度为a 的区域内，现有一个边长为L （a >L ）的正方形闭合线圈，以初速度v 1垂直磁场边界滑过磁场后，速度变为v 2，则下列说法正确的是：（ ）
A ．完全进入磁场中时，线圈的速度大于(v 1+v 2)/2
B ．完全进入磁场中时，线圈的速度等于(v 1+v 2)/2
C ．完全进入磁场中时，线圈的速度小于(v 1+v 2)/2
D ．以上A 、C 均有可能，而B 是不可能的
析与解：线圈运动较复杂，不能用牛顿定律直接求解。

设线圈进入、离开磁场过程，安培力冲量的大小分别为1I 、2I ，由动量定理得：)(11v v m I -=，)(22v v m I -=。

再根据前面的
结论可知：L Bq I 11=，L Bq I 22=，又因R
BL R q 2
11=∆=φ，所以有21q q =，即可得21I I =，故可解得2
21v v v +=，答案B 正确。

通过前面几例可以看出，磁场力冲量的公式，在研究物体（微粒、线圈、导体棒等）在磁场中做复杂的运动时是非常方便的，它使我们能够顺利地运用动量定理，快捷、方便地解决牛顿运动定律无法解决的问题。