几何不等式测试题
高一数学不等式解题技巧精析及针对练习题(含答案)
1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”） 若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）4.若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 5.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注意：(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用例：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：(1)y ＝3x 2＋12x 2 ≥23x 2·12x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）(2)当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧技巧一：凑项例 已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
(压轴题)高中数学高中数学选修4-5第一章《不等关系与基本不等式》测试(含答案解析)(3)
一、选择题1．若0,0,0a b m n >>>>，则a b ，b a ，b m a m ++，a n b n++按由小到大的顺序排列为（ ） A ．b b m a n a a a m b n b ++<<<++ B ．b a n b m a a b n a m b ++<<<++ C ．b b m a a n a a m b b n++<<<++ D ．b a a n b m a b b n a m++<<<++ 2．已知函数22()x x af x x-+=，若[2,)x ∈+∞，()0f x >，则实数a 的取值范围是（ ）． A ．(,0)-∞ B ．(0,)+∞ C ．[0,)+∞ D ．(1,)+∞3．设0.3log 0.6m =，21log 0.62n =，则（ ） A ．m n m n mn ->+> B ．m n mn m n ->>+ C ．m n m n mn +>->D ．mn m n m n >->+4．已知x ，y ∈R ，且0x y >>，则（ ） A ．11x y> B ．11()()22xy<C ．1122x y <D ．sin sin x y >5．若a 、b 、c ，d ∈R ，则下面四个命题中，正确的命题是（ ） A ．若a >b ，c >b ，则a >c B ．若a >－b ，则c －a <c ＋b C ．若a >b ，则ac 2>bc 2 D ．若a >b ，c >d ，则ac >bd 6．下列命题中错误．．的是（ ） A ．若,a b b c >>，则a c > B ．若0a b >>，则ln ln b a < C ．若a b >，则22a b > D ．若a b >， 则22ac bc > 7．若a ＞b ，c 为实数，下列不等式成立是（）A ．ac ＞bcB ．ac ＜bcC ． 22ac bc >D ． 22ac bc8．已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则（ ） A ．11x y x y->- B ．cos cos 0x y -< C ．110x y->D ．ln x +ln y >09．不等式536x x -++≥的解集是 ( ) A ．[]5,7- B ．(),-∞+∞C ．()(),57,-∞-+∞ D ．[]4,6-10．已知a ，b R ∈，且a b >，则下列不等式恒成立的是（ ）A ．22a b >B ．lg()0a b ->C ．11()()22ab<D ．1a b> 11．若，则下列结论不正确的是A ．B ．C ．D ．12．实数,a b 满足0a b >>，则下列不等式成立的是（ ） A ．1a b< B ．1133a b<C a b a b <-．2a ab <二、填空题13．已知实数a ，b ，c 满足a ＞c ﹣2且1333abc++<，则333a bc-的取值范围是_______．14．已知不等式116a x y x y+≥+对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小值为_______. 15．已知R a ∈，若关于x 的方程2210x x a a -+++=有实根，则a 的取值范围是__________．16．已知,,a b c R +∈，设a b c S b c a c a b=+++++，则S 与1的大小关系是__________．(用不等号连接) 17．已知ln ln x y <，则21x y y x-++的最小值为___________________． 18．设5x >，45P x x --23Q x x --，则P 与Q 的大小关系是P ______Q .19．设()f x x a x =-+，且|()|2f x ≤在[1,1]x ∈-上恒成立，则实数a 的取值范围为_________.20．定义运算x ·y ,,1,,x x y m y x y ≤⎧=-⎨>⎩若·m=|m-1|,则m 的取值范围是_____. 三、解答题21．已知函数()|21||23|f x x x =++-. （1）求不等式()6f x ≤的解集；（2）若关于x 的不等式22()log (3)2f x a a -->恒成立，求实数a 的取值范围. 22．（1）解不等式：1|1||2|2x x --->； （2）设集合P 表示不等式121x x a -+->对任意x ∈R 恒成立的a 的集合，求集合P ； （3）设关于x 的不等式22||200ax x a +--<的解集为A ，试探究是否存在a ∈N ，使得不等式.220x x +-<与|212x x -<+的解都属于A ，若不存在，说明理由.若存在，请求出满足条件的a 的所有值.23．（1）已知a ＜b ＜c ，且a +b +c =0，证明：a a a cb c--＜． （224．已知数列{}n a 满足：12a =，1122n n n a a ++=+，*n N ∈.（1）求证2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列并求n a ； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ； （3）求证：2132431111112n n a a a a a a a a ++++⋅⋅⋅+<----. 25．比较log (1) n n +与()*(1)log (2),2n n n N n ++∈≥大小，并证明.26．（1）若0a >，0b >，求证：11()4a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭； （2【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】根据不等式的性质，利用怍差法求解. 【详解】()()()-++---==+++b a m b b m ba bm ab am a a m a a m a a m ， 因为0,0a b m >>>，所以()()0-<+b a m a a m ，所以b b m a a m+<+， ()()()()()()()()22b a b a b a n m b m a n b bn bm mn a am an nm a m b n a m b n a m b n +-+-++++++-----==++++++，因为0,0,0a b m n >>>>，所以()()()()()()0+-+-+<++b a b a b a n m a m b n ，所以++<++b m a na mb n， ()()()-++---==+++b a na n a ab bn ab an b n b b b n b b n ， 因为0,0>>>a b n ，所以()()0-<+b a n b b n ，所以a n ab n b+<+， 所以b b m a n a a a m b n b ++<<<++。
上海松江区第七中学高中数学选修4-5第二章《重要的不等式》测试(包含答案解析)
一、选择题1．已知a ，b R ∈，224a b +=，求32a b +的取值范围为（ ）A ．324a b +≤B ．21332213a b -≤+≤C ．324a b +≥D ．不确定2．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =，数列{}n b 满足()1log 01n n ana b a a +=<<，n T 是数列{}n b 的前n 项和，若11log 2n a n M a +=，则n T 与n M 的大小关系是（ ） A ．n n T M ≥B ．n n T M >C ．n n T M <D ．n n T M ≤3．设,,,,,a b c A B C R ∈，且满足,a b c A B C ≤≤≤≤，若1S Aa Bb Cc =++，2S Ac Bb Ca =++，3S Ab Bc Ca =++，则 （ ）A ．123S S S ≤≤B ．321S S S ≤≤C ．132S S S ≤≤D ．231S S S ≤≤4．已知,,a b c R +∈ ，则()()()222222a abc b b ac c c ab -+-+- 的正负情况是（ ）A ．大于零B ．大于等于零C ．小于零D ．小于等于零5．已知,,x y z ∈R ，2221x y z ++=，则22x y z ++的最大值为（ ） A ．9 B ．3 C ．1 D ．276．已知，则的最小值是( ) A ．B ．C ．D ．7．若222x 4y 9z 4++=，则x y+3z +的最大值（ ） A ．9B ．3C ．1D ．278．若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11A x ,y ，()22B x ,y ，其坐标满足条件：222212121122x x y y x y x y +++0，则称()f x 为“柯西函数”， 则下列函数：()1f x x (x 0)x①=+>； ()f x lnx(0x 3)=<<②； ()f x cosx =③； ()2f x x 1=-④．其中为“柯西函数”的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．49．若a ，b R +∈，且1a b +=2214a b ++ A ．22+B ．22C ．3D 1010．函数()212(0)f x x x x=+>的最小值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．611．设a b c d ,,,为正数，1a b c d +++=，则2222a b c d +++的最小值为（ ） A ．12B ．14C ．1D ．3412．已知函数1212)(+=x x －x f ，则不等式12log (1)(2)f x f x ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭＞0的解集为（ ） A ．（2，3） B ．（1，3） C ．（0，2） D ．（1，2）二、填空题13．设α，()0,πβ∈，则()()sin sin sin ααββ++的最大值为______. 14．若231x y z ++=，则222x y z ++的最小值为__________ 15．在等式19161()()()++=的分母上的三个括号中各填入一个正整数，使得该等式成立，则所填三个正整数的和的最小值是_________． 16．选修4-5：不等式选讲已知定义在R 上的函数()12f x x x =++-的最小值为a ． （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若p ， q ， r 为正实数，且p q r a ++=，求证： 2223p q r ++≥．17．设x ，y ，z ∈R ，且满足：，则x+y+z=___________．18．设,x y R ∈,则222211()(4)x y y x++的最小值为________． 19．已知,(0,)x y ∈+∞3x y x y <+恒成立，利用柯西不等式可求得实数k 的取值范围是________．20．设向量(,)a b α=，(,)m n β=，其中,,,a b m n R ∈，由不等式αβαβ⋅≤⋅恒成立，可以证明（柯西）不等式()()22222()am bn a bmn +≤++（当且仅当α∥β，即an bm =时等号成立），已知,x y R +∈3x y x y <+恒成立，利用柯西不等式可求得实数k 的取值范围是____三、解答题21．已知函数()223f x x x =++-. （1）求不等式()7f x ≥的解集；（2）若()f x 的最小值为m ，a 、b 、c 为正数且a b c m ++=，求证：222253a b c ++≥.22．若正数,,a b c 满足1a b c ++=，求111323232a b c +++++的最小值. 23．已知不等式15|2|22x x -++≤的解集为M . （1）求集合M ；（2）设集合M 中元素的最大值为t .若0a >，0b >，0c >，满足111223t a b c++=，求2993a b c ++的最小值. 24．设,,x y z 均为正数，且1x y z ++=，证明：（Ⅰ）13xy yz zx ++≤（Ⅱ）22212x y z y z x z x y ++≥+++25．已知函数()|24|f x x =-的最大值为t .（1）求t 的值；（2）是否存在正实数a ，b ，c 满足a b c t ++=且2224a b c ++=，若存在，求出满足条件的一组解；若不存在，请说明理由. 26．已知正实数a 、b 、c 满足3a b c ++≤，求证11131112a b c ++≥+++.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】首先分析题目已知224a b +=，求32a b +的取值范围．考虑到应用柯西不等式，首先构造出柯西不等式求出2(32)a b +的最大值，开平方根即可得到答案． 【详解】解：由柯西不等式得()()()22222323252a b a b++=≤+，当且仅当23a b =时取等号.则32a b -≤+≤故选：B. 【点睛】此题主要考查柯西不等式的应用问题，对于柯西不等式的二维形式22222()()()ac bd a b c d +++应用广泛需要同学们理解记忆，题目涵盖知识点少，计算量小，属于基础题．2．C解析：C 【分析】先求出2462log ()13521n a nT n =⨯⨯⨯-，log n a M =，再利用数学归纳法证明*1321)242n n N n-⨯⨯⋯⨯<∈即得解.【详解】因为2n S n =，所以11=1,21(2)n n n a a S S n n -=-=-≥适合n=1,所以=21n a n -.所以2log 21n a nb n =-， 所以24622462log log log log log ()1352113521n aa a a a n nT n n =+++=⨯⨯⨯--111log =log (21)log 22n a n a a M a n +=+=下面利用数学归纳法证明不等式*1321)242n n N n -⨯⨯⋯⨯<∈ （1）当1n =时，左边12=，右边=<右边，不等式成立，（2）22414n n -<，即2(21)(21)(2)n n n +-<．即212221n nn n -<+，∴，∴<， 假设当n k =时，原式成立，即1121232k k-⨯⨯⋯⨯<那么当1n k =+时，即112121212322(1)2(1)1k k k k k k -++⨯⨯⋯⨯⨯<=<++即1n k =+时结论成立．根据（1）和（2）可知不等式对任意正整数n 都成立．所以246213521nn ⨯⨯⨯>-因为0＜a ＜1，所以2462log ()log 13521a a nn ⨯⨯⨯<-所以n n T M <. 故选：C 【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查对数的运算和对数函数的性质，考查数学归纳法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3．D解析：D 【分析】由排序不等式可直接得解. 【详解】,a b c A B C ≤≤≤≤，1S Aa Bb Cc =++为顺序和，2S Ac Bb Ca =++为倒序和，3S Ab Bc Ca =++为乱序和，由排序不等式可知：倒序和≤乱序和≤顺序和， 所以231S S S ≤≤. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了利用排序不等式比较大小，属于基础题.4．B解析：B 【分析】设0a b c >，所以333a b c ，根据排序不等式即可得出答案. 【详解】设0a b c >，所以333a b c根据排序不等式得333333a a b b c c a b b c c a ⋅+⋅+⋅++又ab ac bc ，222a b c ，所以333222a b b c c a a bc b ca c ab ++++. 所以444222a b c a bc b ca c ab ++++ 即()()()2222220aabc b b ac c c ab-+-+-.故选：B 【点睛】本题主要考查了排序不等式的应用，属于中档题.5．B解析：B 【分析】由已知2221x y z ++=，可利用柯西不等式2222222()()()a b c e f g ae bf cg ++++≥++，构造柯西不等式，即可求解．由已知，可知,,x y z ∈R ，2221x y z ++=，利用柯西不等式2222222()()()a b c e f g ae bf cg ++++≥++， 可构造得2222222(122)()(22)x y x x y z ++++≥++， 即2(22)9x y z ++≤，所以22x y z ++的最大值为3，故选B ． 【点睛】本题主要考查了柯西不等式的应用，其中解答中熟记柯西不等式，合理构造柯西不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．6．D解析：D 【分析】由条件利用柯西不等式得，，由此求得的最小值．【详解】 解：因为，根据柯西不等式，可得， ，故，当且仅当时取等号，故的最小值为，所以选D ． 【点睛】本题主要考查柯西不等式的简单应用．7．B解析：B 【分析】利用柯西不等式22222221[()2)(3)][1()1](3)2x y z x y z ++++≥++（求解. 【详解】由题得22222221[()2)(3)][1()1](3)2x y z x y z ++++≥++（， 所以2943),4x y z ⋅≥++（ 所以-3≤x+y+3z≤3.所以+3x y z +的最大值为3. 故选B 【点睛】本题主要考查柯西不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.8．C【分析】问题转化为存在过原点的直线y kx =与()y f x =的图象有两个不同的交点，利用方程思想与数形结合思想，逐一判断即可. 【详解】由柯西不等式得：对任意实数2222112212121122,,,,0x y x y x x y y x y x y +-+⋅+≤恒成立(当且仅当1221x y x y =取等号），若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()()1122,,,A x y B x y ，其坐标满足条件：222212121122x x y y x y x y +-+⋅+的最大值为0，则函数()f x 在其图象上存在不同的两点()()1122,,,A x y B x y ，使得,OA OB 共线，即存在过原点的直线y kx =与()y f x =的图象有两个不同的交点： 对于① ,方程()10kx x x x=+>,即()211k x -=，不可能有两个正根，故不存在； 对于②，，过原点的直线与函数()ln 03y x x =<<的图象在点(),1e 处相切，由图可知这样的直线存在；对于③，由图可知存在；对于④，由图可知存在,所以“柯西函数”的个数为2，故选C. 【点睛】本题考查了新定义,以及转化思想与数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．9．D解析：D 【解析】因为a ，b R +∈，且1a b +=，所以2212a b ab +=-， 又()2225626222a b ab ab ab =+++-+-++10=≥12a b =时，等号成立，故．故选D ． 10．A解析：A【解析】 由题意得，因为0x >，则221123y x x x x x =+=++≥=， 当且仅当211x x x=⇒=时等号成立的，所以函数的最小值为3，故选A. 11．B解析：B 【解析】试题分析：由柯西不等式()()()2222222221111a b c da b c d ++++++≥+++，因为1a b c d +++=，于是由上式得()222241a b c d +++≥，于是222214a b c d +++≥，当且仅当14a b c d ====时取等号，故选B ． 考点：柯西不等式．【名师点睛】一般形式的柯西不等式：设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a ＋a ＋…＋a)·(b ＋b ＋…＋b)≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当bi ＝0(i ＝1,2，…，n)或存在一个数k ，使得ai ＝kb i (i ＝1,2，…，n)时，等号成立．当遇到求最值问题中变量较多时，一般可联想用柯西不等式，可以很快得出结论，当变量只有两个或三个时，有时应用基本不等式也能容易得出结论．12．D解析：D 【解析】试题分析：由已知2112()()2112x xxxf x f x -----===-++，所以()f x 是奇函数，又2()121xf x =-+，2x y =是增函数，因此()f x 也是增函数，不等式12log (1)(2)0f x f x ⎛⎫-+-> ⎪⎝⎭可变为12(log (1)(2)(2)f x f x f x ->--=-，而()f x 为增函数，所以12log (1)2x x ->-，在(1,)+∞上，函数12log (1)y x =-是减函数，函数2y x =-是增函数，且2x =时两者相等，因此不等式12log (1)2x x ->-的解为12x <<．故选D ．考点：函数的奇偶性、单调性，解函数不等式．【名师点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性．解函数不等式，即使有函数解析式已知的情况下，也不一定要把函数式代入（而且一般不能代入），而是要利用奇偶性化为()()f a f b <的形式，再由单调性化为()a b a b <>或形式，最终不等式12log (1)2x x ->-是不可用代数法来解的，必须借助函数图象，利用函数的性质解题．二、填空题13．【分析】利用柯西不等式及和差角公式即可得答案；【详解】由以上两式中等号成立分别当且仅当此时所以所求式子的最大值为故答案为：【点睛】本题考查柯西不等式及和差角公式的运用考查逻辑推理能力运算求解能力综合解析：9【分析】利用柯西不等式及和差角公式，即可得答案； 【详解】2[sin sin()]ααβ++2(sin sin cos cos sin )ααβαβ=+⋅+⋅=2[sin (1cos )cos sin ]αβαβ⋅++⋅22222(sin cos )[(1cos )sin ]22cos 4cos 2βααβββ≤+++=+=，由(0.)(0,)22ββππ∈⇒∈， ∴[sin sin()]sin ααββ++⋅≤22sin cos4sincos 222ββββ⋅⋅=⋅8=≤=， 以上两式中，等号成立分别当且仅当sin cos1cos sin ααββ=+，221sin cos 222ββ=，此时αβ==，，. 【点睛】本题考查柯西不等式及和差角公式的运用，考查逻辑推理能力、运算求解能力，综合性较强.14．【分析】本题可根据柯西不等式得出然后通过化简即可得出结果【详解】根据柯西不等式可得因为所以当且仅当时取等号故答案为:【点睛】本题考查柯西不等式柯西不等式公式考查计算能力是简单题解析：18【分析】本题可根据柯西不等式得出222222212323x y z x y z ，然后通过化简即可得出结果. 【详解】根据柯西不等式可得222222212323x y z x yz ，因为21x y +=，所以22218x y z ，当且仅当23y zx 时取等号， 故答案为:18. 【点睛】本题考查柯西不等式，柯西不等式公式()()()2222222123123112233a a a b b b a b a b a b ++++≥++，考查计算能力，是简单题.15．64【解析】试题分析：设依次填入的三个数分别为则根据柯西不等式所以时最小值为64考点：柯西不等式解析：64 【解析】试题分析：设依次填入的三个数分别为,,x y z ，则根据柯西不等式()()21916134x y z x y z ⎛⎫++++≥++ ⎪⎝⎭64=，所以8,24,32x y z ===时，最小值为64．考点：柯西不等式．16．(1)(2)见解析【解析】试题分析：（1）利用绝对值不等式的几何意义可得从而得的值；（2）利用柯西不等式即可证明试题解析：(1) 3a = (2)见解析【解析】试题分析：（1）利用绝对值不等式的几何意义可得()()12123x x x x ++-≥+--=，从而得a 的值；（2）利用柯西不等式()()()2222222111111p q r p q r ++++≥⨯+⨯+⨯，即可证明.试题（1）因为()()12123x x x x ++-≥+--=，当且仅当12x -≤≤时，等号成立，所以()f x 的最小值等于3，即3a =. （2）证明：由(1) 知3p q r ++=，又因为,,p q r 是正实数， 所以()()()()22222221111119pq r p q r p q r ++++≥⨯+⨯+⨯=+==，即2223p q r ++≥.考点：绝对值的几何意义；不等式的证明.17．【解析】根据柯西不等式得（x+2y+3z ）2≤（12+22+32）（x2+y2+z2）=14（x2+y2+z2）当且仅当时上式的等号成立∵x2+y2+z2=1∴（x+2y+3z ）2≤14结合可得x+ 解析：【解析】根据柯西不等式，得（x+2y+3z ）2≤（12+22+32）（x 2+y 2+z 2）=14（x 2+y 2+z 2） 当且仅当时，上式的等号成立∵x 2+y 2+z 2=1，∴（x+2y+3z ）2≤14， 结合，可得x+2y+3z 恰好取到最大值∴=，可得x=，y=，z=因此，x+y+z=++=故答案为18．9【详解】由柯西不等式可知解析：9 【详解】由柯西不等式可知2222211()(4)(12)9x y y x++≥+=． 19．【解析】试题分析：由柯西不等式得所以即考点：柯西不等式解析：k >【解析】试题分析：由柯西不等式得22(13)()x y ≤++，所以≤k >考点：柯西不等式20．【详解】试题分析：首先不等式变形为其次利用柯西不等式有即即的最大值为而不等式恒成立则有考点：柯西不等式与不等式恒成立问题解析：k >【详解】<变形为k >式有22222(13)10()x y ≤++=+≤k >k >考点：柯西不等式与不等式恒成立问题．三、解答题21．（1）(]11,1,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭；（2）证明见解析. 【分析】（1）分段讨论去绝对值即可求出不等式的解集； （2）先求出最小值m ，然后利用柯西不等式可证明. 【详解】（1）当2x -≤时，()()()22322334f x x x x x x =++-=----=-+，由()7f x ≥，得347x -+≥，解得1x ≤-，此时2x -≤；当23x -<<时，()()()2232238f x x x x x x =++-=+--=-+，由()7f x ≥，得87x -≥，解得1x ≤，此时21x -<≤；当3x ≥时，()()()22322334f x x x x x x =++-=++-=-，由()7f x ≥，解得113x ≥， 综上所述，不等式()7f x ≥的解集为(]11,1,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭； （2）由（1）可知()34,28,2334,3x x f x x x x x -+≤-⎧⎪=--<<⎨⎪-≥⎩.当2x -≤时，()3410f x x =-+≥；当23x -<<时，()()85,10f x x =-∈；当3x ≥时，()345f x x =-≥.所以，函数()y f x =的最小值为5m =，则5a b c ++=. 由柯西不等式可得()()()2222111a b ca b c ++++≥++，即()222235a b c ++≥，即222253a b c ++≥，当且仅当53a b c ===时，等号成立. 因此，222253a b c ++≥. 【点睛】本题考查含绝对值不等式的求解，考查柯西不等式证明不等式，属于中档题.22．1【解析】试题分析：由柯西不等式得[]111(32)(32)(32)323232a b c a b c ⎛⎫+++++++ ⎪+++⎝⎭9≥=，所以1111323232a b c ++≥+++ 试题因为,,a b c 均为正数，且1a b c ++=， 所以(32)(32)(32)9a b c +++++=．于是由均值不等式可知[]111(32)(32)(32)323232a b c a b c ⎛⎫+++++++⎪+++⎝⎭9≥=，当且仅当13a b c ===时，上式等号成立．从而1111323232a b c ++≥+++． 故111323232a b c +++++的最小值为1．此时13a b c ===． 考点：柯西不等式 23．（1）1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）14.【分析】（1）利用绝对值不等式和已知条件得出15|2|22x x -++=，解出x 的范围即可； （2）利用三个数的柯西不等式配凑整理即可得出结果. 【详解】 （1）115|2|(2)222x x x x ⎛⎫-++≥--+≥ ⎪⎝⎭， 又因为15|2|22x x -++≤， 所以15|2|22x x -++=， 当12x <-时，1351(2)2,2222x x x x ⎛⎫---+=-+==- ⎪⎝⎭舍去，当122x -≤≤时，15(2)22x x ⎛⎫--++= ⎪⎝⎭成立，当2x >时，135(2)2,2222x x x x ⎛⎫-++=-== ⎪⎝⎭舍去， 则122M x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭∣ （2）设集合M 中元素的最大值为2t =， 即111423a b c++=. 又因为22121111199349932344a b c a b c a b c ⎫⎛⎫⎛⎫++=++++≥= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝所以即2993a b c ++的最小值14， 当且仅当34a =，38b =，14c =时取等号.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式和柯西不等式.属于中档题. 24．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析． 【分析】（1）先由基本不等式可得222x y z xy yz xz ++≥++，再结合()2x y z ++的展开式即可证明原式成立； （2）利用柯西不等式[]2222()()()()1x y z x y y z x z x y z y z x z x y ⎛⎫+++++++≥++= ⎪+++⎝⎭证明. 【详解】证明：（Ⅰ）：因为()()()2222222222x y y z x z x y z xy yz xz +++++++=≥++所以22221()2223()x y z x y z xy yz xz xy yz zx =++=+++++≥++故13xy yz zx ++≤，当且仅当x y z ==时“=”成立. （Ⅱ）,,x y z 均为正数，由柯西不等式得：2222[()()()]()1x y z x y y z x z x y z y z x z x y ⎛⎫+++++++≥++= ⎪+++⎝⎭即22221x y z y z x z x y ⎛⎫++≥ ⎪+++⎝⎭， 故22212x y z y z x z x y ++≥+++，当且仅当x y z ==时“=”成立. 【点睛】本题考查利用基本不等式、柯西不等式等证明不等式，难度一般.证明时，利用整体思想，注意“1”的巧妙代换.25．（1）3；（2）不存在，理由见解析. 【分析】（1）化简函数()|1||2||2|f x x x x =+----，结合绝对值三角不等式，即可求解.（2）若存在正实数a ，b ，c 满足3a b c ++=且2224a b c ++=成立，结合柯西不等式22222222224144(2)11()929a b c a b c a b c ⎡⎤⎛⎫⎡⎤++=++⋅++≥++⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 【详解】（1）由()|24||1||2||2|f x x x x x -=+----|(1)(2)||2|3x x x ≤+----≤，当且仅当2x =时取“=”，又由函数()f x 的最大值为t ，故max ()3t f x ==.（2）若存在正实数a ，b ，c 满足3a b c ++=且2224a b c ++=成立，则22222222224144(2)11()4929a b c a b c a b c ⎡⎤⎛⎫⎡⎤++=++⋅++≥++=⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦，故2224a b c ++=不可能成立，因此不存在正实数a ，b ，c 满足a b c t ++=且2224a b c ++=. 【点睛】本题主要考查了绝对值三角不等式和柯西不等式的应用，其中解答中熟记绝对值的三角不等式和柯西不等式是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 26．见解析 【分析】由题意可得(1)(1)(1)6a b c +++++≤，再由柯西不等式可得111[(1)(1)(1)]9111a b c a b c ⎛⎫+++++++≥ ⎪+++⎝⎭，即可得证.【详解】 证明：3a b c ++≤，∴(1)(1)(1)6a b c +++++≤，由柯西不等式得111[(1)(1)(1)]111a b c a b c ⎛⎫+++++++≥⎪+++⎝⎭223=， ∴111993111(1)(1)(1)62a b c a b c ++≥≥=++++++++． 【点睛】本题考查了利用柯西不等式证明不等式，考查了推理能力，属于中档题.。
中考数学专题测试5：不等式(组)(含答案)
中考数学分类汇编专题测试——不等式（组）一、选择题1.（08山东省日照市）在平面直角坐标系中，若点P (m －3，m ＋1)在第二象限，则m 的取值范围为( )A ．－1＜m ＜3B ．m ＞3C ．m ＜－１D ．m ＞－１2.(2008浙江义乌)不等式组312840x x ->⎧⎨-⎩，≤的解集在数轴上表示为( )3.(2008山东烟台) 关于不等式22x a -+≥的解集如图所示，a 的值是（ ）A 、0B 、2C 、－2D 、－44.（2008年山东省临沂市）若不等式组⎩⎨⎧->+<+1472,03x x a x 的解集为0<x ，则a 的取值范围为（ ）A ． a ＞0B ． a ＝0C ． a ＞4D ． a ＝45.(2008年辽宁省十二市)不等式组2133x x +⎧⎨>-⎩≤的解集在数轴上表示正确的是（ ）6.(2008年天津市)若440-=m ，则估计m 的值所在的范围是（ ） A ．21<<m B ．32<<mC ．43<<mD ．54<<m7.(2008年四川巴中市）点(213)P m -，在第二象限，则m 的取值范围是（ ） A ．12m > B ．12m ≥C ．12m <D ．12m ≤-31 0 A ．-31 0 B ．-31 0 C ．-31 0 D ．1 02 A ． 1 0 2 B ． 1 0 2 C ． 1 0 2 D ．8.(2008年成都市)在函数中，自变量x 的取值范围是( );（A ）x ≥ - 3（B ）x ≤ - 3（C ）x ≥ 3（D ）x ≤ 39.(2008年乐山市)函数12y x =-的自变量x 的取值范围为（ ） A 、x ≥－2 B 、x ＞－2且x ≠2 C 、x ≥0且≠2 D 、x ≥－2且≠210.(2008年大庆市)使分式21xx -有意义．．．的x 的取值范围是（ ） A ．12x ≥ B ．12x ≤C ．12x >D ．12x ≠11.(2008年大庆市)已知关于x 的一元二次方程220x x m --=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（ ） A ．0m < B ．2m <- C ．0m ≥D ．1m >-12.（2008广州市）四个小朋友玩跷跷板，他们的体重分别为P 、Q 、R 、S ，如图3所示，则他们的体重大小关系是（ ）A P R S Q >>>B Q S P R >>>C S P Q R >>>D S P R Q >>>13.（2008广东肇庆市）下列式子正确的是（ ）A ．2a >0 B ．2a ≥0 C ．a+1>1 D ．a ―1>114.(2008云南省)不等式组233x x +⎧⎨-⎩≤≤ 的解集是（ ）A ．3x -≥B ．3x ≥图3C ．1x ≤D ．31x -≤≤15．（08厦门市）在四川抗震救灾中，某抢险地段需实行爆破．操作人员点燃导火线后，要在炸药爆炸前跑到400米以外的安全区域．已知导火线的燃烧速度是1.2厘米/秒，操作人员跑步的速度是5米/秒．为了保证操作人员的安全，导火线的长度要超过（ ） A ．66厘米 B ．76厘米 C ．86厘米 D ．96厘米16．（08绵阳市）以下所给的数值中，为不等式－2x + 3＜0的解的是（ ）．A ．－2B ．－1C ．23D ．2 17．（2008年陕西省）把不等式组3156x x -<-⎧⎨-<⎩，的解集表示在数轴上正确的是（ ）18.（2008年江苏省无锡市）不等式112x ->的解集是（ ） Ａ．12x >- Ｂ．2x >- Ｃ．2x <-Ｄ．12x <-19．（2008年云南省双柏县）不等式组⎩⎨⎧>->-03042x x 的解集为（ ）A ．x ＞2B ．x ＜3C ．x ＞2或 x ＜－3D ．2＜x ＜320．（2008湖北黄石）若不等式组5300x x m -⎧⎨-⎩≥≥有实数解，则实数m 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．A ．53m ≤B ．53m <C ．53m >D ．53m ≥21．（2008湖北黄石）若23132a b a b +->+，则a b ，的大小关系为（ ） A ．a b < B ．a b > C ．a b = D ．不能确定22. (2008 河南)不等式—x —5≤0的解集在数轴上表示正确的是 （ ）23.（2008 四川 泸州）不等式组310x x >⎧⎨+>⎩的解集是（ ）A ．1x >-B ．3x >C ．1x <-D ．13x -<<24.(2008 湖南 怀化)不等式53-x ＜x +3的正整数解有( ) （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个25.(2008 重庆)不等式042≥-x 的解集在数轴上表示正确的是（ ）A B C D26.(2008 湖北 恩施)如果ａ＜ｂ＜0,下列不等式中错误．．的是（ ） A. ab ＞0 B. ａ＋ｂ＜0 C.ba＜1 D. ａ－ｂ＜027.(2008 河北)把某不等式组中两个不等式的解集表示在数轴上，如图所示， 则这个不等式组可能是（ ） A ．41x x >⎧⎨-⎩，≤B ．41x x <⎧⎨-⎩，≥C ．41x x >⎧⎨>-⎩，D ．41x x ⎧⎨>-⎩≤，28.（2008 江西南昌）不等式组2131x x -<⎧⎨>-⎩，的解集是（ ）A ．2x <B ．1x >-C ．12x -<<D ．无解0-202-220 429．不等式组23124x x -->-⎧⎨-+⎩≤的解集在数轴上可表示为（ ）A B C D30.（2008湖北武汉）不等式3x <的解集在数轴上表示为（ ）． Ａ. Ｂ．Ｃ． Ｄ．31.（2008江苏盐城）实数a 在数轴上对应的点如图所示，则a ，a -，1的大小 关系正确的是（ ） A ．1a a -<< B ．1a a <-< C ．1a a <-< D ．1a a <<-32.（2008永州市） 如图，a 、b 、c 分别表示苹果、梨、桃子的质量．同类水果质量相等，则下列关系正确的是（ ）A ．a ＞c ＞bB ．b ＞a ＞cC ．a ＞b ＞cD ．c ＞a ＞b33. （2008永州市）下列判断正确的是（ ）A ．23＜3＜2 B ． 2＜2＋3＜3 C ． 1＜5－3＜2D ． 4＜3·5＜534.(2008 台湾)解不等式32x ＋1≤92x ＋31，得其解的范围为何？( ) (A) x ≥ 23 (B) x ≥32 (C) x ≤ －23 (D) x ≤ －32.35.(2008 台湾)某段隧道全长9公里，有一辆汽车以每小时60公里到80公里之间的速率通过该隧道.下列何者可能是该车通过隧道所用的时间？( ) (A) 6分钟 (B) 8分钟 (C) 10分钟 (D) 12分钟二、填空题1.（2008年山东省潍坊市）已知3x+4≤6+2(x-2),则1x + 的最小值等于________.32 1 03 2 1 0 3 2 1 0 a 第2题图2(2008年浙江省绍兴市)如图，已知函数y x b =+和3y ax =+的图象交点为P ，则不等式3x b ax +>+的解集为 ．3.(2008年天津市)不等式组322(1)841x x x x +>-⎧⎨+>-⎩，的解集为 ．4.(2008年沈阳市)不等式26x x -<-的解集为 ．5.(2008年大庆市)不等式组253(2)123x x x x ++⎧⎪-⎨<⎪⎩≤的整数解的个数为 ．6.(2008山东聊城)已知关于x 的不等式组010x a x ->⎧⎨->⎩，的整数解共有3个，则a 的取值范围是 ．7.（2008湖北孝感）不等式组84113422x x x x +-⎧⎪⎨≥-⎪⎩的解集是 .8．（2008山东泰安）不等式组210353x x x x >-⎧⎨+⎩，≥的解集为9.（2008年江苏省连云港市）不等式组2494x xx x-<⎧⎨+>⎩的解集是 ．10．(2008湖北咸宁）直线b x k y l +=11:与直线x k y l 22:=在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式21k x k x b >+的解集为 ．Oxy 1 P y=x+by=ax+311．（08厦门市）不等式组2430x x >-⎧⎨-<⎩的解集是 ．12.（2008泰安）不等式组210353x x x x>-⎧⎨+⎩，≥的解集为 ．13.（2008年上海市）不等式30x -<的解集是 ．三、简答题1.（2008年四川省宜宾市）某学校准备添置一些“中国结”挂在教室.若到商店去批量购买，每个“中国结”需要10元；若组织一些同学自己制作，每个“中国结”的成本是4元，无论制作多少，另外还需共付场地租金200元.亲爱的同学，请你帮该学校出个主意，用哪种方式添置“中国结”的费用较节省？2.（2008年浙江省衢州市）1月底，某公司还有11000千克椪柑库存，这些椪柑的销售期最多还有60天，60天后库存的椪柑不能再销售，需要当垃圾处理，处理费为0.05元/吨.经测算，椪柑的销售价格定为2元/千克时，平均每天可售出100千克，销售价格降低，销售量可增加，每降低0.1元/千克，每天可多售出50千克.(1)如果按2元/千克的价格销售，能否在60天内售完这些椪柑？按此价格销售，获得的总毛利润是多少元(库存处理费销售总收入总毛利润-=)?(2)设椪柑销售价格定为x )2x 0(≤<元/千克时，平均每天能售出y 千克，求y 关于x 的函数解析式；如果要在2月份售完这些椪柑(2月份按28天计算)，那么销售价格最高可定为多少元/千克(精确到0.1元/千克)？3.（08浙江温州）一次奥运知识竞赛中，一共有25道题，答对一题得10分，答错（或不答）一题扣5分．设小明同学在这次竞赛中答对x 道题． （1）根据所给条件，完成下表：(第12题图）（2）若小明同学的竞赛成绩超过100分，则他至少答对几道题？4、（2008淅江金华）解不等式:5x- 3 < 1- 3x5、(2008浙江宁波) 解不等式组3(2)41 1.2x x x ++⎧⎪⎨-<⎪⎩≥，6．（2008湖南益阳）乘坐益阳市某种出租汽车.当行驶 路程小于2千米时，乘车费用都是4元(即起步价4元)；当行驶路程大于或等于2千米时，超过2千米部分每千米收费1.5元.(1)请你求出x ≥2时乘车费用y (元)与行驶路程x (千米)之间的函数关系式；(2)按常规，乘车付费时按计费器上显示的金额进行“四舍五入”后取整(如记费器上的数字显示范围大于或等于9.5而小于10.5时，应付车费10元)，小红一次乘车后付了车费8元，请你确定小红这次乘车路程x 的范围.7.（2008年山东省潍坊市）为了美化校园环境，建设绿色校园，某学校准备对校园中30亩空地进行绿化..绿化采用种植草皮与种植树木两种方式，要求种植草皮与种植树木的面积都不少于10亩，并且种植草皮面积不少于种植树木面积的32.已知种植草皮与种植树木每亩的费用分别为8000元与12000元.（1） 种植草皮的最小面积是多少？（2） 种植草皮的面积为多少时绿化总费用最低？最低费用为多少？8.(2008年成都市)解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+-≤>+,232,01x x x 并写出该不等式组的最大整数解. 9.(2008年乐山市)若不等式组 231x +<1(3)2x x >- 的整数解是关于x 的方程24x ax -=的根，求a 的值10. 解方程|1||2|5x x -++=.由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1和－2的距离之和为5的点对应的x 的值.在数轴上，1和－2的距离为3，满足方程的x 对应点在1的右边或－2的左边，若x 对应点在1的右边，由图（17）可以看出x ＝2；同理，若x 对应点在－2的左边，可得x ＝－3，故原方程的解是x=2或x=－3参考阅读材料，解答下列问题：（1）方程|3|4x +=的解为 （2）解不等式|3||4|x x -++≥9；（3）若|3||4|x x --+≤a 对任意的x 都成立，求a 的取值范围11.（2008浙江金华）)解不等式:5x- 3 < 1- 3x12.（2008湖北黄冈）解不等式组255432x x x x -<⎧⎨-+⎩≥，．13.(2008湖南株洲)22．2008年北京奥运会的比赛门票开始接受公众预定.下表为北京奥运会官方票务网站公布的几种球类比赛的门票价格，某球迷准备用12000元预定15张下表中球类比赛的门票：（1）若全部资金用来预定男篮门票和乒乓球门票，问这个球迷可以预订男篮门票和乒乓球门票各多少张？（3） 若在准备资金允许的范围内和总票数不变的前提下，这个球迷想预定上表中三种球类门票，其中足球门票与乒乓球门票数相同，且足球门票的费用不超过．．．男篮门票的费用，问可以预订这三种球类门票各多少张？比赛项目 票价（元/场）男 篮 1000 足 球 800 乒乓球50014. (2008黑龙江哈尔滨)荣昌公司要将本公司100吨货物运往某地销售，经与春晨运输公4 0 2 -2 1 1司协商，计划租用甲、乙两种型号的汽车共6辆，用这6辆汽车一次将货物全部运走，其中每辆甲型汽车最多能装该种货物16吨，每辆乙型汽车最多能装该种货物18吨．已知租用1辆甲型汽车和2辆乙型汽车共需费用2500元；租用2辆甲型汽车和1辆乙型汽车共需费用2450元，且同一种型号汽车每辆租车费用相同．（1）求租用一辆甲型汽车、一辆乙型汽车的费用分别是多少元？ （2）若荣昌公司计划此次租车费用不超过5000元．通过计算求出该公司有几种租车方案？请你设计出来,并求出最低的租车费用．15．（2008年山东省青岛市）2008年8月，北京奥运会帆船比赛将在青岛国际帆船中心举行．观看帆船比赛的船票分为两种：A 种船票600元/张，B 种船票120元/张．某旅行社要为一个旅行团代购部分船票，在购票费不超过5000元的情况下，购买A ，B 两种船票共15张，要求A 种船票的数量不少于B 种船票数量的一半．若设购买A 种船票x 张，请你解答下列问题：（1）共有几种符合题意的购票方案？写出解答过程； （2）根据计算判断：哪种购票方案更省钱？16．（2008年江苏省苏州市）解不等式组：302(1)33.x x x +>⎧⎨-+⎩，≥并判断32x =是否满足该不等式组．17．（2008年云南省双柏县）我县农业结构调整取得了巨大成功，今年水果又喜获丰收，某乡组织30辆汽车装运A 、B 、C 三种水果共64吨到外地销售，规定每辆汽车只装运一种水果，且必须装满；又装运每种水果的汽车不少于4辆；同时，装运的B 种水果的重量不超过装运的A 、C 两种水果重量之和．（1）设用x 辆汽车装运A 种水果，用y 辆汽车装运B 种水果，根据下表提供的信息，求y 与x 之间的函数关系式并写出自变量的取值范围．水果品种 A B C 每辆汽车运装量（吨） 2.2 2.1 2 每吨水果获利（百元）685（2）设此次外销活动的利润为Q （万元），求Q 与x 之间的函数关系式，请你提出一个获得最大利润时的车辆分配方案．18．（2008湖南郴州）解不等式组：718532x x x +<⎧⎨>-⎩①②19．（2008江苏南京）（6分）解不等式组. 并把解集在数轴上表示出来.0x -2>54-5-4-3-2-132120．（2008山东济南）解不等式组⎩⎨⎧<+>+6342xx，并把解集在数轴上表示出来.21．（2008湖北黄石）某公司有A型产品40件，B型产品60件，分配给下属甲、乙两个商店销售，其中70件给甲店，30件给乙店，且都能卖完．两商店销售这两种产品每件的利润（元）如下表：A型利润B型利润甲店200 170乙店160 150（1）设分配给甲店A型产品x件，这家公司卖出这100件产品的总利润为W（元），求W 关于x的函数关系式，并求出x的取值范围；（2）若公司要求总利润不低于17560元，说明有多少种不同分配方案，并将各种方案设计出来；（3）为了促销，公司决定仅对甲店A型产品让利销售，每件让利a元，但让利后A型产品的每件利润仍高于甲店B型产品的每件利润．甲店的B型产品以及乙店的A B，型产品的每件利润不变，问该公司又如何设计分配方案，使总利润达到最大？22.(2008 河南)某校八年级举行英语演讲比赛，派了两位老师去学校附近的超市购买笔记本作为奖品，经过了解得知，该超市的A，B两种笔记本的价格分别是12元和8元，他们准备购买这两种笔记本共30本.（1）如果他们计划用300元购买奖品，那么能买这两种笔记本各多少本？（2）两位老师根据演讲比赛的设奖情况，决定所购买的A种笔记本的数量要少于B种笔记本数量的32，但又不少于B种笔记本数量的31，如果设他们买A种笔记本n本，买这两种笔记本共花费w元.①请写出w（元）关于n（本）的函数关系式，并求出自变量n的取值范围；②请你帮他们计算，购买这两种笔记本各多少时，花费最少，此时的花费是多少元？23.(2008 湖南长沙)解不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧-<-≤-xxx1434121，并将其解集在数轴上表示出来.0 1 2 3-1-2-3-4-5-624.(2008 湖南怀化)5．12四川地震后，怀化市立即组织医护工作人员赶赴四川灾区参加伤员抢救工作．拟派30名医护人员，携带20件行李（药品、器械），租用甲、乙两种型号的汽车共8辆，日夜兼程赶赴灾区．经了解，甲种汽车每辆最多能载4人和3件行李，乙种汽车每辆最多能载2人和8件行李．（1）设租用甲种汽车x辆，请你设计所有可能的租车方案；（2）如果甲、乙两种汽车的租车费用每辆分别为8000元、6000元，请你选择最省钱的租车方案．25．(2008北京)解不等式5122(43)x x--≤，并把它的解集在数轴上表示出来．26．(2008安徽)解不等式组31422xx x->-⎧⎨<+⎩①②，并将解集在数轴上表示出来．27．（2008湖北鄂州）为了更好治理洋澜湖水质，保护环境，市治污公司决定购买10台污水处理设备．现有A B，两种型号的设备，其中每台的价格，月处理污水量如下表：经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元．（1）求a b，的值．（2）经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过105万元，你认为该公司有哪几种购买方案．（3）在（2）问的条件下，若每月要求处理洋澜湖的污水量不低于2040吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案．28.（2008湖北咸宁）“5·12”四川汶川大地震的灾情牵动全国人民的心，某市Ａ、B两个蔬菜基地得知四川C、D两个灾民安置点分别急需蔬菜240吨和260吨的消息后，决定调运蔬菜支援灾区．已知Ａ蔬菜基地有蔬菜200吨，B蔬菜基地有蔬菜300吨，现将这些蔬菜全部调往C、D两个灾民安置点．从A地运往C、D两处的费用分别为每吨20元和25元，从B地运往C、D两处的费用分别为每吨15元和18元．设从B地运往C处的蔬菜为x吨．请填写下表，并求两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时x的值；总计 240吨260吨 500吨设Ａ、B 两个蔬菜基地的总运费为元，写出与之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案；经过抢修，从B 地到C 处的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少m 元（m ＞０），其余线路的运费不变，试讨论总运费最小的调运方案．29. （2008永州市）某物流公司，要将300吨物资运往某地，现有A 、B 两种型号的车可供调用，已知A 型车每辆可装20吨，B 型车每辆可装15吨，在每辆车不超载的条件下，把300吨物资装运完，问：在已确定调用5辆A 型车的前提下至少还需调用B 型车多少辆？30.(2008 广东)解不等式x x <-64，并将不等式的解集表示在数轴上.31.(2008 河南实验区)解不等式组()⎪⎩⎪⎨⎧---+≤②①.323121134x x x x 并把解集在已画好的数轴上表示出来.32.（2008广东）解不等式x x <-64，并将不等式的解集表示在数轴上.33.（2008山西太原）解不等式组：()2532213x x x x +≤+⎧⎪⎨-⎪⎩34.（2008湖北襄樊）“六一”儿童节前夕,某消防队官兵了解到汶川地震灾区一帐篷小学的小朋友喜欢奥运福娃,就特意买了一些,送给这个小学的西欧啊朋友做为节日礼物.如果每班分10套,那么欲5套;如果前面的每个班级分13套,那么最后一个班级虽然分有福娃,但不足4套.问:该小学有多少个班级?奥运福娃共有多少套?35.（2008浙江湖州）解不等式组：⎩⎨⎧>++>-1013112x x x36．（2008湖南常德市）解不等式组 ()⎪⎩⎪⎨⎧->+≤-.214,121x x x① ②37.（2008湖北宜昌市）解不等式：2（x ＋21）－1≤－x ＋938.（2008桂林市）某单位要印刷一批北京奥运会宣传资料，在需要支付制版费600元和每份资料0.3元印刷费的前提下，甲、乙两个印刷厂分别提出了不同的优惠条件，甲印刷厂提出：凡印刷数量超过2000份的，超过部分的印刷费可按9折收费，乙印刷厂提出：凡印刷数量超过3000份的，超过部分印刷费可按8折收费.（１）如果该单位要印刷2400份，那么甲印刷厂的费用是 ，乙印刷厂费的用是 .（２）根据印刷数量大小，请讨论该单位到哪家印刷厂印刷资料可获得更大优惠？39.（2008广东肇庆市） 解不等式：)20(310x x --≥70.40.（2008江苏淮安）解不等式3x-2<7,将解集在数轴上表示出来,并写出它的正整数解．41. (2008浙江温州)一次奥运知识竞赛中，一共有25道题，答对一题得10分，答错（或不答）一题扣5分．设小明同学在这次竞赛中答对x 道题．（1（2）若小明同学的竞赛成绩超过100分，则他至少答对几道题？42. (2008新疆乌鲁木齐市)解不等式组2392593x x x x ++⎧⎨+>-⎩≥43.(2008黑龙江黑河)某工厂计划为震区生产A B ，两种型号的学生桌椅500套，以解决1250名学生的学习问题，一套A 型桌椅（一桌两椅）需木料30.5m ，一套B 型桌椅（一桌三椅）需木料30.7m ，工厂现有库存木料3302m ．（1）有多少种生产方案？（2）现要把生产的全部桌椅运往震区，已知每套A 型桌椅的生产成本为100元，运费2元；每套B 型桌椅的生产成本为120元，运费4元，求总费用y （元）与生产A 型桌椅x （套）之间的关系式，并确定总费用最少的方案和最少的总费用．（总费用=生产成本+运费）（3）按（2）的方案计算，有没有剩余木料？如果有，请直接写出用剩余木料再生产以上两种型号的桌椅，最多还可以为多少名学生提供桌椅；如果没有，请说明理由．不等式（组）答案一.选择题1. A2. A3.A4. B5.A6.B7. C8. C9. D 10.D 11.D 12. D 13. B 14. D 15.D 16.C 17.C 18.C19.D 20.A 21.A 22.B 23.B 24.C 25.C 26.C 27.B 28.C 29.D 30.B 31.D 32.C 33.A 34.C 35.B二.填空题1. 12. 1x >3. 34<<-x4. 4x >5. 46.32a -<-≤7. 3x8.52x 2≤9. 3x < 10. x <-1 11. 23x -<< 12. 2<x ≤52 13. 3x < 三.解答题1. 解：设需要中国结x 个，则直接购买需4x+200元，自制需10x 元分两种情况： （1）若10x<4x+200,得2333x <,即少于33个时，到商店购买更便宜 （2）若10x>4x+200,得2333x >即少于33个时,自已制作更便宜. 2. 解：(1))(600060100千克=⨯，所以不能在60天内售完这些椪柑，5000600011000=-(千克)即60天后还有库存5000千克，总毛利润为W=元1175005.0500026000=⨯-⨯；(2))2x 0(1100x 500501.0x 2100y ≤<+-=⨯-+= 要在2月份售完这些椪柑，售价x 必须满足不等式11000)1100x 500(28≥+-解得414.17099x ≈≤ 所以要在2月份售完这些椪柑，销售价最高可定为1.4元/千克.3. 解：（1）25x -；5(25)x --（2）根据题意，得105(25)100x x -->解得15x >x ∴的最小正整数解是16x =答：小明同学至少答对16道题4. 5x+3x<1+38x<4 x<21 5. 解：解不等式（1），得1x -≥． ···················· 2分 解不等式（2），得3x <． ························· 4分 ∴原不等式组的解是13x -<≤． ······················ 6分 6..解：(1) 根据题意可知：y =4+1.5(x -2) ，∴ y =1.5x +1(x ≥2) ················ 4分(2)依题意得：7.5≤1.5x +1＜8.5 ··················· 6分∴ 313≤x ＜5 ····················· 8分7. （1）解设种植草皮的面积为x 亩，则种植树木面积为（30-x ）亩，则：1030103(30)2x x x x ⎧⎪≥⎪-≥⎨⎪⎪≥-⎩解得1820x ≤≤答：种植草皮的最小面积是18亩.（2）由题意得：y=8000x+12000(30-x)=360000-4000x ，当x=20时y 有最小值280000元8. 解：解不等式x+1＞0,得x ＞-1 ……2分解不等式x ≤223x -+，得x ≤2 ……2分 ∴不等式得解集为-1＜x ≤2 ……1分∴该不等式组的最大整数解是2 ……1分9. 解不等式得31x --，则整数解x=-2代入方程得a=410. 解：（1）1或7-． ·························· 3分（2）3和4-的距离为7，因此，满足不等式的解对应的点3与4-的两侧．当x 在3的右边时，如图（2）， 易知4x ≥． ··············· 5分 当x 在4-的左边时，如图（2），易知5x -≤． ·············· 7分∴原不等式的解为4x ≥或5x -≤ ····················· 8分（3）原问题转化为： a 大于或等于|3||4|x x --+最大值． ·········· 9分 当1x -≥时，|3||4|0x x --+≤，当41x -<<-，|3||4|21x x x --+=--随x 的增大而减小，当4x -≤时，|3||4|7x x --+=，即|3||4|x x --+的最大值为7． ······················ 11分 故7a ≥． 12分11. 解：（2）5x+3x<1+38x<4 x<21 12. 解：25,543 2.x x x x -<⎧⎨-+⎩≥ 12（）（）由不等式（1）得：x <5由不等式（2）得：x ≥3所以：5＞x ≥313. 解:（1）设预定男篮门票x 张，则乒乓球门票（15x -）张.得：1000x +500(15-x )=12000，解得：x = 9 ∴151596x -=-=（2）设足球门票与乒乓球门票数都预定y 张，则男篮门票数为（15-2y ）张，得：8005001000(152)120008001000(152)y y y y y ++-≤⎧⎨≤-⎩， 解得：2545714y ≤≤.由y 为正整数可得y =5. 15-2y =5答：（1）略 （2）略14. 解：（1）设租用一辆甲型汽车的费用是x 元，租用一辆乙型汽车的费用是y 元．由题意得2250022450x y x y +=⎧⎨+=⎩·························· 2分 -4 图（2）7解得800850x y =⎧⎨=⎩ ······························· 1分答：租用一辆甲型汽车的费用是800元，租用一辆乙型汽车的费用是850元．（2）设租用甲型汽车z 辆，则租用乙型汽车(6)z -辆．由题意得1618(6)100800850(6)5000z z z z +-⎧⎨+-⎩≥≤ ····················· 2分 解得24z ≤≤ ······························ 1分 由题意知，z 为整数，2z ∴=或3z =或4z =∴共有3种方案，分别是：方案一：租用甲型汽车2辆，租用乙型汽车4辆；方案二：租用甲型汽车3辆，租用乙型汽车3辆；方案三：租用甲型汽车4辆，租用乙型汽车2辆． ··············· 1分 方案一的费用是800285045000⨯+⨯=（元）；方案二的费用是800385034950⨯+⨯=（元）；方案三的费用是800485024900⨯+⨯=（元）500049504900>>，所以最低运费是4900元． ··············· 1分 答：共有3种方案，分别是：方案一：租用甲型汽车2辆，租用乙型汽车4辆；方案二：租用甲型汽车3辆，租用乙型汽车3辆；方案三：租用甲型汽车4辆，租用乙型汽车2辆．最低运费是4900元．15. 解：（1）解：由题意： 600120(15)50001(15)2x x x x +-≤⎧⎪⎨≥-⎪⎩，………………2分 解得：5≤x ≤203………………3分 ∵x 为整数，∴x ＝5，6 ………………4分∴共两种购票方案：方案一：A 种船票5张，B 种船票10张方案二：A 种船票6张，B 种船票9张 ………………5分（2）因为B 种船票价格便宜，因此B 种船票越多，总购票费用少.∴第一种方案省钱，为5×600＋120×10＝4200（元）………………8分前两年第20题知识点分布：2006年考查内容不等式组设计方案，2007年考查内容不等式组设计方案16. 解：原不等式组的解集是：31x -<≤，x =满足该不等式组． 17. 解：（1）由题得到：2.2x +2.1y+2（30－x －y ）=64 所以 y = －2x +40又x ≥4，y ≥4，30－x －y ≥4，得到14≤x ≤18-120（2）Q=6x +8y+5（30－x －y ）= －5x +170Q 随着x 的减小而增大，又14≤x ≤18，所以当x =14时，Q 取得最大值，即Q= －5x +170=100（百元）=1万元.因此，当x =14时，y = －2x +40=12， 30－x －y=4所以，应这样安排：A 种水果用14辆车，B 种水果用12辆车，C 种水果用4辆车18. 解不等式① 得x < 1 ··············· 2分 解不等式② 得x > -1 ················ 4分 所以这个不等式组的解集为：-1<x <1 ··············· 6分19. 解：解不等式①，得x<2, …………………………………………………2分解不等式②，得x ≥-1. ………………………………………………4分所以，不等式组的解集是-1≤x<2. ……………………………………5分不等式组的解集在数轴上表示如下：………………………………………………………………………………6分20. 解：解①得x>－2……4分解②得x<3……5分所以，这个不等式组的解集是－2<x<3……6分解集在数轴上表示正确.……7分21. 解 依题意，甲店B 型产品有(70)x -件，乙店A 型有(40)x -件，B 型有(10)x -件，则（1）200170(70)160(40)150(10)W x x x x =+-+-+-2016800x =+．由0700400100x x x x ⎧⎪-⎪⎨-⎪⎪-⎩≥≥≥≥，，，．解得1040x ≤≤． ···················· （2分） （2）由201680017560W x =+≥，38x ∴≥．3840x ∴≤≤，38x =，39，40．∴有三种不同的分配方案．①38x =时，甲店A 型38件，B 型32件，乙店A 型2件，B 型28件．②39x =时，甲店A 型39件，B 型31件，乙店A 型1件，B 型29件．③40x =时，甲店A 型40件，B 型30件，乙店A 型0件，B 型30件．（3）依题意：(200)170(70)160(40)150(10)W a x x x x =-+-+-+-(20)16800a x =-+．①当020a <<时，40x =，即甲店A 型40件，B 型30件，乙店A 型0件，B 型30件，能使总利润达到最大．②当20a =时，1040x ≤≤，符合题意的各种方案，使总利润都一样．③当2030a <<时，10x =，即甲店A 型10件，B 型60件，乙店A 型30件，B 型0件，能使总利润达到最大． ························· （8分）22. 解：（1）设能买A 种笔记本x 本，则能买B 种笔记本（30－x ）本依题意得：12x+8(30-x)=300,解得x=15.因此，能购买A ，B 两种笔记本各15本 …………………………3分（2）①依题意得：w=12n+8(30-n),即w=4n+240,且n ＜32（30－n ）和n ≥)30(31n - 解得215≤n ＜12 所以,w （元）关于n （本）的函数关系式为：w=4n+240,自变量n 的取值范围是215≤n ＜12，n 为整数. ………………7分 ②对于一次函数w=4n+240，∵w 随n 的增大而增大，且215≤n ＜12，n 为整数， 故当n 为8 时，w 的值最小此时，30－n ＝30－8＝22，w ＝4×8＋240＝272（元）.因此，当买A 种笔记本8本、B 种笔记本22本时，所花费用最少，为272元23. 解：由11024314x x x ⎧-⎪⎨⎪-<-⎩≤得⎩⎨⎧->≤52x x ， 不等式组的解集为-5＜x≤2．解集在数轴上表示略．24. 解： (1)因为租用甲种汽车为x 辆，则租用乙种汽车()x -8辆．由题意，得()()42830,38820.x x x x +-⎧⎪⎨+-⎪⎩≥≥ 解之，得.5447≤≤x 即共有两种租车方案：第一种是租用甲种汽车7辆，乙种汽车1辆； 第二种是全部租用甲种汽车8辆（2）第一种租车方案的费用为780001600062000⨯+⨯=元 第二种租车方案的费用为8800064000⨯=元 所以第一种租车方案最省钱25. 解：去括号，得51286x x --≤．移项，得58612x x --+≤．合并，得36x -≤． 系数化为1，得2x -≥．不等式的解集在数轴上表示： 26. [解] 由①得1x >-， 由②得2x <，∴原不等式组的解集是12x -<<．在数轴上表示为：27. 解：（1）2326a b b a -=⎧⎨-=⎩，1210a b =⎧∴⎨=⎩.（2）设购买污水处理设备A 型设备X 台，B 型设备(10)X -台，则：1210(10)105X X +-≤2.5X ∴≤，X 取非负整数，012X ∴=，，，∴有三种购买方案：①A 型设备0台，B 型设备10台；②A 型设备1台，B 型设备9台；③A 型设备2台，B 型设备8台． （3）由题意：240200(10)2040X X +-≥，1X ∴≥，又2.5X ≤，X ∴为1，2．当1X =时，购买资金为：121109102⨯+⨯=（万元） 当2X =时，购买资金为：122108104⨯+⨯=（万元）∴为了节约资金，应选购A 型设备1台，B 型设备9台28. 解：(1)填表依题意得：. 解得：200x = . (2) w 与x 之间的函数关系为：29200w x =+.Ｃ ＤＡ 200吨 0吨 Ｂ40吨260吨依题意得：240040003000x x x x -≥⎧⎪-≥⎪⎨≥⎪⎪-≥⎩，，，．，∴40≤x ≤240在29200w x =+中，∵2>0， ∴w 随x 的增大而增大， 表一： 故当x ＝40时，总运费最小，此时调运方案为如右表一. (3)由题意知(2)9200w m x =-+Ｃ Ｄ Ａ0吨200吨Ｂ 240吨 60吨∴0<m <2时，（ 表二：m =2时，在40≤x ≤240的前提下调运方案的总运费不变； 2<m <15时，x ＝240总运费最小，其调运方案如右表二 . 29. 解：设还需要B 型车x 辆，根据题意，得：20515300x ⨯+≥ ···························· 3分解得：1133x ≥ ······························ 5分 由于x 是车的数量，应为整数，所以x 的最小值为14． ············· 7分 答：至少需要14台B 型车． ························· 8分 30. 解：移项，得 4x-x<6, 合并，得 3x<6,∴不等式的解集为 x<2，其解集在数轴上表示如下：31. 解：()⎪⎩⎪⎨⎧---+≤②①.323121134x x x x 解不等式1，得x ≤3 解不等式2，得x ＞1- 把解集在数轴上表示为：∴原不等式组的解集是—1＜x ≤3· 32. 解：移项，得 4x-x<6, 合并，得 3x<6,∴不等式的解集为 x<2，其解集在数轴上表示如下：33. 解：解()2532x x +≤+，得1x ≥-，解213x x -，得3x .所以，原不等式组的解集是13x -≤.34. 解；设该小学有x 个班，则奥运福娃共有（10x+5）套. 由题意，得 解之，得146.3x << ∵x 只能整数，∴x=5，此时10x+5=55 答：该小学有5个班，共有奥运福娃55套35.解：由（1）得x>2(2)得x>3所以不等式组的解集为x>336. 解：解不等式①，得 3≤x ．………………………………………2分 解不等式②，得 244->+x x ， 即 2->x ． …4分 ∴原不等式组的解集为32≤<-x . …………………………6分 37. 解：2x ＋1－1≤－x ＋92x ＋x ≤9 3x ≤9 x ≤338. 解：（１）1308，1320；（２）设该单位需要印刷资料x 份，当2000x ≤时，甲印刷厂的费用是600＋0.3x ，乙印刷厂的费用是600＋0.3x ，两厂的费用相同；当2000<3000x ≤时，甲印刷厂的费用是600＋0.3×2000＋0.3(2000)x -×90％＝0.27x ＋660，乙印刷厂的费用是600＋0.3x ，甲厂的费用较低；当>3000x 时，甲印刷厂的费用是600＋0.3×2000＋0.3(2000)x -×90％＝0.27x ＋660，。
高一数学必修一 第二章一元二次函数、方程和不等式单元测试试卷 (3)
高一数学必修一第二章一元二次函数、方程和不等式单元测试试卷 (3)数学第二章测试卷A卷本试卷满分100分，考试时间80分钟。
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题5分，共计25分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）1.若$a+b+c=0$，且$a<b<c$，则下列不等式一定成立的是A。
$ab<bc$B。
$ab<ac$XXX<bc$D。
$ab<bc$2.已知正数$a$、$b$满足$\frac{22}{1194}+\frac{a}{b}=1$，则$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$的最小值是A。
6B。
12C。
24D。
363.已知二次函数$f(x)=x^2+bx+c$的两个零点分别在区间$(-2,-1)$和$(-1,0)$内，则$f(3)$的取值范围是A。
$(12,20)$B。
$(12,18)$C。
$(18,20)$D。
$(8,18)$4.若$x>0$，$y>0$，且$\frac{2}{x+1}+\frac{1}{x+2y}=1$，则$2x+y$的最小值为A。
2B。
$\frac{2}{3}$C。
$2+\frac{2}{3}$D。
$3$5.关于$x$的不等式$(ax-1)<x$恰有2个整数解，则实数$a$的取值范围是A。
$-\frac{34}{43}<a\leq-\frac{3}{4}$或$\frac{4}{3}<a\leq\frac{43}{34}$B。
$-\frac{3}{4}<a\leq-\frac{2}{3}$或$\frac{2}{3}<a\leq\frac{3}{4}$C。
$-\frac{34}{43}\leq a<-\frac{3}{4}$或$\frac{4}{3}\leq a<\frac{43}{34}$D。
$-\frac{3}{4}\leq a<-\frac{2}{3}$或$\frac{2}{3}\leq a\leq\frac{3}{4}$二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共计10分。
新北师大版高中数学高中数学选修4-5第一章《不等关系与基本不等式》测试卷(有答案解析)
一、选择题1．下列命题中正确的是（ ） A ．若ac bc >22，则a b >B ．若a b >，则11a b< C ．若a b >，c d >，则a c b d ->-D ．若a b >，c d <，则a b c d> 2．若不等式()()2||20x a b x x ---≤对任意实数x 恒成立，则a b +=（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．23．2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施.如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用12c 和22c 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：①1122a c a c +=+；②1122a c a c -=-；③1212c c a a <；④1212c a a c >.其中正确式子的序号是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④4．如果sin 2a =，1212b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.51log 3c =，那么( ) A ．a b c >> B ．c b a >>C ．a c b >>D ．c a b >>5．不等式ax b ＞，()0b ≠的解集不可能是（ ） A ．∅B ．RC ．,b a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．,b a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭6．设0x >，则()2142f x x x=--的最大值为（ ） A ．242-B ．42C ．不存在D ．527．已知01a <<，01c b <<<，下列不等式成立的是（ ）A ．b cb ac a>++ B ．c c a b b a+>+ C ．log log b c a a < D ．b c a a >8．已知a b R ∈，，且a b >，则下列不等式中恒成立的是（ ） A ．22a b >B ．()lg a b 0->C ．a b 22--<D ．a 1b> 9．已知0a b >>，0c >，下列不等式中不．成立的是 A ．a c b c +>+B ．a c b c ->-C ．ac bc >D ．c ca b> 10．若a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则下列不等式一定成立的是( ) A ．a ＋c >b －cB ．(a －b )c 2>0C ．a 3>b 3D ．a 2>b 211．对于任意实数,,,,a b c d 以下四个命题正确的是（ ） A ．若,,a b c d >>则a c b d +>+ B ．22a b ac bc >>若，则 C ．若,a b >则11a b< D ．若,,a b c d >>则ac bd >12．对于任意实数,,,,a b c d 以下四个命题正确的是 A ．,a b c d a c b d >>+>+若，则 B ．22a b ac bc >>若，则 C ．11,a b a b><若则D ．,a b c d ac bd >>>若，则二、填空题13．已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______14．已知R a ∈，若关于x 的方程2210x x a a -+++=有实根，则a 的取值范围是__________．15．设函数|1||1|()2x x f x +--=，则使()f x ≥x 取值范围是______16．对任意实数x ，不等式|1|||1x x a a ++-≥-+恒成立，则实数a 的取值范围是___________.17．定义运算x ·y ,,1,,x x y m y x y ≤⎧=-⎨>⎩若·m=|m-1|,则m 的取值范围是_____.18．已知a R ∈，函数16()f x x a a x=+-+在区间[2,5]上的最大值为10，则a 的取值范围是______．19．已知|a ＋b|＜－c(a ，b ，c ∈R)，给出下列不等式： ①a ＜－b －c ；②a ＞－b ＋c ；③a ＜b －c ；④|a|＜|b|－c ； ⑤|a|＜－|b|－c.其中一定成立的不等式是________(填序号)． 20．若a ＞0，b ＞0，则lg 12a b +⎛⎫+⎪⎝⎭________12 [lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．(选填“≥”“≤”或“＝”)三、解答题21．已知函数()211f x x x =-++. （1）解不等式()4f x <；（2）若不等式()2f x log t >对任意x ∈R 恒成立，求实数t 的取值范围. 22．已知()|2||3|f x x x =-+-. （1）解关于x 的不等式()5f x ≤；（2）若2()1f x m m >+-恒成立，求实数m 的取值范围. 23．已知函数()()30f x x x a a =-++>. （1）若1a =，求不等式()6f x ≥的解集；（2）若()221f x a a ≥--恒成立，求实数a 的取值范围.24．已知函数()23,0f x x m x m m =--+>. （1）当1m =时，求不等式()1f x ≥的解集；（2）对于任意实数,x t ，不等式()21f x t t <++-恒成立，求实数m 的取值范围. 25．已知函数()|21|||2g x x x =-+++. （1）解不等式()0g x ≤；（2）若存在实数x ，使得()||g x x a ≥--，求实数a 的取值范围. 26．已知函数()2f x x =-，()()2g x f x x =-． （1）求()g x 的最大值m ； （2）若0a >，0b >，且22m a b+=，求证：()()314f a f b +++≥．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】对于选项A ，由不等式性质得该选项正确；对于选项B ，11b aa b ab--=符号不能确定，所以该选项错误；通过举反例说明选项C 和选项D 错误. 【详解】对于选项A ，若ac bc >22，所以20c >，则a b >，所以该选项正确；对于选项B ，11b a a b ab--=符号不能确定，所以该选项错误； 对于选项C ，设1,0,1,3,2,3a b c d a c b d ===-=--=-=，所以a c b d -<-，所以该选项错误；对于选项D ，设0,1,2,1,0,1,a b a ba b c d c d c d==-=-=-==∴<，所以该选项错误； 故选：A 【点睛】本题主要考查不等式的性质，考查实数大小的比较，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2．D解析：D 【分析】可采用分类讨论法，分别讨论22x x -与x a b --的正负，确定,a b 之间的关系即可求解. 【详解】当220x x -≥时，即[]02x ,∈时，||0x a b --≤恒成立，所以b a x b a -+≤≤+恒成立，所以2a b +≥且a b ≤； 当220x x -≤时，即(][),02,x ∈-∞+∞时，||0x a b --≥恒成立所以x a b ≥+或x a b ≤-恒成立，所以2a b +≤且a b ≥，综上，2a b += 故选：D 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，由含参数绝对值不等式求参数关系，分类讨论的数学思想，属于中档题3．C解析：C 【分析】根据题意,可知两个椭圆有公共点P .结合图象可知2121,a a c c >>,进而由椭圆的几何性质及不等式性质判断选项即可. 【详解】对于①,由图可知2121,a a c c >>,则2211a c a c +>+,所以①错误;对于②,由椭圆几何性质可知11PF a c =-,22PF a c =-,即1122a c a c -=-,所以②正确; 对于③,由②可知,1122a c a c -=-.所以1221a c a c +=+.两边同时平方可得()()221221a c a c +=+,展开得22221122221122a a c c a a c c ++=++移项变形可得22221112222122a c a c a c a c -+=-+根据椭圆的性质可知22222211122,a c b a c b -=-= 所以2211222122b a c b a c +=+ 因为12<b b所以1221a c a c >,两边同时除以12a a ,可得2121c c a a >,所以③正确. 对于④,由③可知1221a c a c >,所以④错误. 综上可知,正确的为②③ 故选:C 【点睛】本题考查了椭圆的几何性质及应用,不等式性质比较大小,分析、解决实际问题的能力,属于中档题.4．D解析：D 【分析】由题意可知，3sin 2sin4a π=>，121122b ⎛⎫==< ⎪⎝⎭，0.51log 13c =>，从而判断,,a b c 的大小关系即可.【详解】3224ππ<<∴3sinsin 2sin 42ππ<<，即12a << 110.523=> 0.50.511log log 132∴>=，即0.51log 13c =>12112b ⎛⎫==< ⎪⎝⎭∴b a c <<故选：D 【点睛】本题考查比较大小，是比较综合的一道题，属于中档题.5．D解析：D 【解析】 【分析】当0a =，0b ＞时，不等式ax b ＞，（0b ≠）的解集是∅；当0a =，0b ＜时，不等式ax b ＞，（0b ≠）的解集是R ；当0a ＞时，不等式ax b ＞，（0b ≠）的解集是（,b a +∞）；当0a ＜时，不等式ax b ＞，（0b ≠）的解集是,b a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.【详解】当0a =，0b ＞时，不等式ax b ＞，（0b ≠）的解集是∅； 当0a =，0b ＜时，不等式ax b ＞，（0b ≠）的解集是R ； 当0a ＞时，不等式ax b ＞，（0b ≠）的解集是（,ba+∞）； 当0a ＜时，不等式ax b ＞，（0b ≠）的解集是（,b a-∞）. ∴不等式ax b ＞，（0b ≠）的解集不可能是（,b a-∞-）. 故选：D 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的解法，属于中档题．解题时要认真审题，仔细解答．6．D解析：D 【分析】化简得到()214222x xf x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，再利用均值不等式计算得到答案.【详解】()2211544422222x x f x x x x ⎛⎫=--=-++≤-= ⎪⎝⎭当21222x x x==即1x =时等号成立 故选：D 【点睛】本题考查了利用均值不等式求函数最值，意在考查学生对于均值不等式的灵活运用.7．A解析：A 【分析】由作差法可判断出A 、B 选项中不等式的正误；由对数换底公式以及对数函数的单调性可判断出C 选项中不等式的正误；利用指数函数的单调性可判断出D 选项中不等式的正误. 【详解】对于A 选项中的不等式，()()()a b c b cb ac a a b a c --=++++，01a <<，01c b <<<，()0a b c ∴->，0a b +>，0a c +>，b cb ac a∴>++，A 选项正确； 对于B 选项中的不等式，()()a cbc c a b b a b b a -+-=++，01a <<，01c b <<<， ()0a c b ∴-<，0a b +>，c c ab b a+∴<+，B 选项错误； 对于C 选项中的不等式，01c b <<<，ln ln 0c b ∴<<，110ln ln b c∴<<， 01a <<，ln 0a ∴<，ln ln ln ln a ab c∴>，即log log b c a a >，C 选项错误； 对于D 选项中的不等式，01a <<，∴函数x y a =是递减函数，又c b <，所以c b a a >，D 选项错误.故选A. 【点睛】本题考查不等式正误的判断，常见的比较大小的方法有：（1）比较法；（2）中间值法；（3）函数单调性法；（4）不等式的性质.在比较大小时，可以结合不等式的结构选择合适的方法来比较，考查推理能力，属于中等题.8．C解析：C 【分析】主要利用排除法求出结果． 【详解】 对于选项A ：当0a b >>时，不成立；对于选项B ：当10a b >>>时，()lg 0a b -<，所以不成立； 对于选项D ：当0a b >>时，不成立； 故选C ． 【点睛】本题考查的知识要点：不等式的基本性质的应用，排除法的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．9．D解析：D 【分析】本道题结合不等式的基本性质,加上减去或者乘以大于0的数,不等式依然成立. 【详解】A,B 选项,不等式左右两边同时加上或减去相同的数,不等号不改变方向,故正确;C 选项,不等式左右两边同时乘以一个大于0的数,不等号不改变方向,故正确,而D 选项,关系应该为c ca b<,故不正确.本道题考查了不等式的基本性质,关键抓住不等号成立满足的条件,难度中等.10．C解析：C 【解析】 【分析】由不等式性质及举反例逐个分析各个选项可判断正误。
高一数学不等式测试题
高一数学不等式测试题1. 不等式的基本性质题目：请证明对于任意实数a、b、c，不等式\( a < b \) 时，\( a + c < b + c \) 成立。
2. 解一元一次不等式题目：解不等式 \( 5x - 3 > 2x + 7 \)。
3. 解绝对值不等式题目：解绝对值不等式 \( |x - 4| < 3 \)。
4. 解二次不等式题目：解不等式 \( x^2 - 4x + 3 > 0 \)。
5. 不等式与函数题目：已知函数 \( f(x) = x^2 - 2x + 1 \)，求函数值大于0的x的取值范围。
6. 不等式组的解集题目：解不等式组 \( \begin{cases} x + 2 > 0 \\ 3x - 7 < 0 \end{cases} \)。
7. 不等式的变换题目：将不等式 \( x^2 - 4x + 4 \geq 0 \) 转化为标准形式，并找出其解集。
8. 不等式的应用题目：一个矩形的长为 \( 2x + 3 \)，宽为 \( x - 1 \)，当x取何值时，矩形的面积最大？9. 不等式与数列题目：若数列 \( \{a_n\} \) 满足 \( a_1 = 1 \) 且 \( a_{n+1} \leq 2a_n \) 对所有正整数 n 成立，证明数列 \( \{a_n\} \) 是递增的。
10. 不等式的证明题目：证明对于所有正实数 \( x \) 和 \( y \)，不等式\( \sqrt{xy} \leq \frac{x + y}{2} \) 成立。
11. 不等式与几何题目：在三角形ABC中，如果 \( a + b > c \)，证明三角形ABC 是锐角三角形。
12. 不等式的综合应用题目：若 \( x, y \) 为正实数，且 \( x^2 + y^2 = 1 \)，求\( x^2y + xy^2 \) 的最大值。
13. 不等式的解法题目：解不等式 \( \frac{2x}{x^2 - 1} < 1 \)。
中考数学总复习 第二章 方程与不等式综合测试题(含答案)
方程与不等式一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列方程中，解为x ＝2的方程是(B )A. 3x －2＝3B. －x ＋6＝2xC. 4－2(x －1)＝1D. 3x ＋1＝02．下列各项中，是二元一次方程的是(B )A. y ＋12x B. x ＋y 3－2y ＝0 C. x ＝2y ＋1 D. x 2＋y ＝03．已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝5，x ＋3y ＝5，则x ＋y 的值为(D ) A. －1B. 0C. 2D. 3 4．分式方程 x x －2－1x＝0的根是(D ) A. x ＝1 B. x ＝－1C. x ＝2D. x ＝－2 5．分式方程x 2x －1＋x1－x ＝0的解为(C ) A. x ＝1 B. x ＝－1C. x ＝0D. x ＝0或x ＝16．李明同学早上骑自行车上学，中途因道路施工步行一段路，到学校共用时15 min.他骑自行车的平均速度是250 m/min ，步行的平均速度是80 m/min.他家离学校的距离是2900 m ．如果他骑车和步行的时间分别为x (min)，y (min)，列出的方程是(D )A. ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝14，250x ＋80y ＝2900B. ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝15，80x ＋250y ＝2900C. ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝14，80x ＋250y ＝2900D. ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝15，250x ＋80y ＝2900 7．若不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a －1>0，2x －a －1<0的解集为0＜x ＜1，则a 的值为(A ) A. 1B. 2C. 3D. 4 8．以方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋2，y ＝x －1的解为坐标的点(x ，y )在平面直角坐标系中的位置是(A ) A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三角限D. 第四象限解：解方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1.5，y ＝0.5.∴点(1.5，0.5)在第一象限． 9．关于x 的分式方程a x ＋3＝1，下列说法正确的是(B )A. 方程的解是x ＝a －3B. 当a ＞3时，方程的解是正数C. 当a ＜3时，方程的解为负数D. 以上答案都正确 10．小华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子x ＋1x(x ＞0)的最小值是2”．其推导方法如下：在面积是1的矩形中设矩形的一边长为x ，则另一边长是1x ，矩形的周长是2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ；当矩形成为正方形时，就有x ＝1x(0＞0)，解得x ＝1，这时矩形的周长2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝4最小，因此x ＋1x(x ＞0)的最小值是2.模仿小华的推导，你求得式子x 2＋9x(x ＞0)的最小值是(C )(第10题图)A. 2B. 1C. 6D. 10解：∵x ＞0，∴x 2＋9x ＝x ＋9x ≥2x ·9x ＝6， 则原式的最小值为6.二、填空题(每小题4分，共24分)11．已知关于x 的一元二次方程x 2－23x ＋k ＝0有两个相等的实数根，则k 的值为__3__．12．我国古代数学名著《孙子算经》中有这样一题，今有鸡兔同笼，上有35头，下有94足，问鸡兔各几何？此题的答案是：鸡有23只，兔有12只，现在小敏将此题改编为：今有鸡兔同笼，上有33头，下有88足，问鸡兔各几何？则此时的答案是：鸡有__22__只，兔有__11__只．13．如图，将一条长为60 cm 的卷尺铺平后折叠，使得卷尺自身的一部分重合，然后在重合部分(阴影处)沿与卷尺边垂直的方向剪一刀，此时卷尺分为了三段，若这三段长度由短到长的比为1∶2∶3，则折痕对应的刻度有__4__种可能．(第13题图)14．已知a ＝6，且(5tan 45°－b )2＋2b －5－c ＝0，以a ，b ，c 为边组成的三角形面积等于__12__．15．若分式3x ＋5x －1无意义，当53m －2x －12m －x ＝0时，m ＝__37__． 16．某服装厂专门安排210名工人进行手工衬衣的缝制，每件衬衣由2个衣袖、1个衣身、1个衣领组成，如果每人每天能够缝制衣袖10个，或衣身15个，或衣领12个，那么应该安排120名工人缝制衣袖，才能使每天缝制出的衣袖、衣身、衣领正好配套．三、解答题(本题有8小题，共66分)17．(本题8分)解下列方程(组)．(1)解方程：x x ＋1－4x 2－1＝1. 解：去分母，得x (x －1)－4＝x 2－1.去括号，得x 2－x －4＝x 2－1.解得x ＝－3.经检验，x ＝－3是分式方程的解．(2)解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧3x －5y ＝3，x 2－y 3＝1.解：方程组整理，得⎩⎪⎨⎪⎧3x －5y ＝3，①3x －2y ＝6.② ②－①，得3y ＝3，∴y ＝1.将y ＝1代入①，得x ＝83. ∴原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝83，y ＝1.18．(本题6分)解方程：16x －2＝12－21－3x . 设13x －1＝y ，则原方程化为12y ＝12＋2y ，解方程求得y 的值，再代入13x －1＝y 求值即可．结果需检验．请按此思路完成解答． 解：设13x －1＝y ，则原方程化为12y ＝12＋2y ， 解得y ＝－13.当y ＝－13时，有13x －1＝－13，解得x ＝－23. 经检验，x ＝－23是原方程的根． ∴原方程的根是x ＝－23. 19．(本题8分)设m 是满足1≤m ≤50的正整数，关于x 的二次方程(x －2)2＋(a －m )2＝2mx＋a 2－2am 的两根都是正整数，求m 的值．解：将方程整理，得x 2－(2m ＋4)x ＋m 2＋4＝0，∴x ＝2（m ＋2）±4m 2＝2＋m ±2m . ∵x ，m 均是正整数且1≤m ≤50，2＋m ±2m ＝(m ±1)2＋1＞0，∴m 为完全平方数即可，∴m ＝1，4，9，16，25，36，49.20．(本题8分)已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－5都是关于x ，y 的方程y ＝kx ＋b 的解． (1)求k ，b 的值．(2)若不等式3＋2x ＞m ＋3x 的最大整数解是k ，求m 的取值范围．解：(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－5代入y ＝kx ＋b ，得∴⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋b ＝3，－2k ＋b ＝－5 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝－1.∴k 的值是2，b 的值是－1.(2)∵3＋2x ＞m ＋3x ，∴x ＜3－m .∵不等式3＋2x ＞m ＋3x 的最大整数解是k ＝2，∴2<3－m ≤3，∴0≤m <1，即m 的取值范围是0≤m <1.21．(本题8分)解方程：|x －1|＋|x ＋2|＝5.由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1和－2的距离之和为5的点对应的x 的值．在数轴上，1和－2的距离为3，满足方程的x 对应点在1的右边或－2的左边，若x 对应点在1的右边，由图可以看出x ＝2；同理，若x 对应点在－2的左边，可得x ＝－3，故原方程的解是x ＝2或x ＝－3.(第21题图)参考阅读材料，解答下列问题：(1)方程|x ＋3|＝4的解为x ＝1或x ＝－7．(2)解不等式|x －3|＋|x ＋4|≥9.(3)若|x －3|－|x ＋4|≤a 对任意的x 都成立，求a 的取值范围．解：(1)x ＝1或x ＝－7.(2)∵3和－4的距离为7，因此，满足不等式的解对应的点在3与－4的两侧．当x 在3的右边时，如解图，易知x ≥4.当x 在－4的左边时，如解图，易知x ≤－5.∴原不等式的解为x ≥4或x ≤－5.(第21题图解)(3)原问题转化为： a 大于或等于|x －3|－|x ＋4|的最大值．当x ≥3时，|x －3|－|x ＋4|＝－7≤0；当－4<x <3时，|x －3|－|x ＋4|＝－2x －1随x 的增大而减小；当x ≤－4时，|x －3|－|x ＋4|＝7，即|x －3|－|x ＋4|的最大值为7.故a ≥7.22．(本题8分)如图，长青化工厂与A ，B 两地有公路、铁路相连．这家工厂从A 地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B 地．已知公路运价为1.5元/(t·km)，铁路运价为1.2元/(t·km)，且这两次运输共支出公路运输费15000元，铁路运输费97200元．求：(第22题图)(1)该工厂从A 地购买了多少吨原料？制成运往B 地的产品多少吨？(2)这批产品的销售额比原料费与运输费的和多多少元？解：(1)设工厂从A 地购买了x (t)原料，制成运往B 地的产品y (t)．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧1.5（10x ＋20y ）＝15000，1.2（120x ＋110y ）＝97200.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝400，y ＝300. 答：工厂从A 地购买了400 t 原料，制成运往B 地的产品为300 t.(2)300×8000－400×1000－15000－97200＝1887800(元)．答：这批产品的销售额比原料费与运输费的和多1887800元．23．(本题10分)兴发服装店老板用4500元购进一批某款T 恤衫，由于深受顾客喜爱，很快售完，老板又用4950元购进第二批该款式T 恤衫，所购数量与第一批相同，但每件进价比第一批多了9元．(1)第一批该款式T 恤衫每件进价是多少元？(2)老板以每件120元的价格销售该款式T 恤衫，当第二批T 恤衫售出 45时，出现了滞销，于是决定降价促销，若要使第二批的销售利润不低于650元，剩余的T 恤衫每件售价至少要多少元(利润＝售价－进价)?解：(1)设第一批T 恤衫每件进价是x 元，由题意，得4500x ＝4950x ＋9， 解得x ＝90.经检验，x ＝90是分式方程的解且符合题意．答：第一批T 恤衫每件的进价是90元．(2)设剩余的T 恤衫每件售价y 元．由(1)知，第二批购进495099＝50(件)． 由题意，得120×50×45＋y ×50×15－4950≥650， 解得y ≥80.答：剩余的T 恤衫每件售价至少要80元．24．(本题10分)2015年5月，某县突降暴雨，造成山体滑坡，桥梁垮塌，房屋大面积受损，该省民政厅急需将一批帐篷送往灾区．现有甲、乙两种货车，己知甲种货车比乙种货车每辆车多装20件帐篷，且甲种货车装运1000件帐篷所用车辆与乙种货车装运800件帐蓬所用车辆相等．(1)求甲、乙两种货车每辆车各可装多少件帐蓬．(2)如果这批帐篷有1490件，用甲、乙两种货车共16辆来装运，甲种车辆刚好装满，乙种车辆最后一辆只装了50件，其他装满，求甲、乙两种货车各有多少辆．解：(1)设甲种货车每辆车可装x 件帐蓬，则乙种货车每辆车可装(x －20)件帐蓬．由题意，得1000x ＝800x -20，解得x ＝100. 经检验，x ＝100是原方程组的解且符合题意．∴x －20＝100－20＝80.答：甲种货车每辆车可装100件帐蓬，乙种货车每辆车可装80件帐蓬．(2)设甲种货车有z 辆，乙种货车有(16－z )辆．由题意，得100z ＋80(16－z －1)＋50＝1490，解得z ＝12，∴16－z ＝16－12＝4.答：甲种货车有12辆，乙种货车有4辆．。
高考数学解析几何部分测试习题
高考数学解析几何部分测试习题10．已知F 1、F 2是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是A ．324+B ．13-C ．213+ D ．13+5．若焦点在x 轴上的椭圆1222=+m y x 的离心率为21，则m=（ ）A ．3B ．23C ．38 D ．32 6、抛物线24x y =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（ ）A ．1617B ．1615C ．87D ．011、点)1,3(-P 在椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左准线上，过点P 且方向为)5,2(-=a 的光线经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）A ．33 B ．31 C ．22 D ．21(12)设直线l:2x+y+2=0,关于原点对称的直线为l ’，若l ’与椭圆x 2+41y 2=1的交点为A 、B ，点P 为椭圆上的动点，则使△APB 面积为21的点P 的个数为（A ）1（B ）2（C ）3（D ）4(5)设双曲线以椭圆192522=+y x 长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为(A)2±(B)34±(C)21±(D)43±(6)从集合{1,2,3…，11}中任选两个元素作为椭圆方程12222=+ny m x 中的m 和n,则能组成落在矩形区域B={(x,y)| |x|<11且|y|<9}内的椭圆个数为(A)43 (B) 72 (C) 86 (D) 901．圆5)2(22=++y x 关于原点（0，0）对称的圆的方程为（ ）A ．5)2(22=+-y xB ．5)2(22=-+y xC ．5)2()2(22=+++y xD ．5)2(22=++y x2．点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是( )(A)21 (B) 32(C)（4）从原点向圆 x 2＋y 2－12y ＋27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为（A ）π （B ）2π （C ）4π （D ）6π13．过双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M 、N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于_________．5．双曲线)0(122≠=-mn ny m x 离心率为2，有一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则mn 的值为（ ）A ．163 B ．83 C ．316 D ．38 7．已知双曲线22a x －22b y ＝1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，右准线与一条渐近线交于点A ，△OAF 的面积为22a （O 为原点），则两条渐近线的夹角为（ ）A ．30ºB ．45ºC ．60ºD ．90º13．已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A 、B 两点，且|AB|＝3，则OB OA ⋅＝ .(6)已知双曲线 62x - 32y = 1的焦点为F 1、、F 2，点M 在双曲线上且MF 1 ⊥ x 轴，则F 1到直线F 2 M 的距离为 （A ）563 （B ）665 （C ）56 （D ）65（14）设双曲线21a x 2－21by 2＝1(a>0,b>0)的右交点为F ，右准线l 与两条渐近线交于P 、Q 两点，若△PQF 是直角三角形，则双曲线的离心率e=____________________。
(典型题)高中数学必修五第三章《不等式》测试卷(含答案解析)(1)
一、选择题1．已知正数x ，y 满足1431x y +=+，则x y +的最小值为（ ） A ．53B ．2C ．73D ．62．设实数x ，y 满足约束条件21,22,x y x y -≤⎧⎨-≥⎩则x y +的最小值是（ ）A ．2B ．-2C ．1D ．-13．已知a b >，不等式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，且0x R ∃∈，使得20020ax x b ++=成立，则22a b a b+-的最小值为（ ）A ．1BC ．2D．4．若x ､y 满足约束条件36022x y x y y +-≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则22x y +的最小值为（ ）A ．5B ．4C ．2D5．已知实数,x y 满足24240x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩，则32z x y =-的最小值是 （ ）A ．4B ．5C ．6D ．76．设,x y 满足约束条件321104150250x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则z x y =+的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．107．若函数()1xy a a =>的图象与不等式组40,20,1x y y x -≤⎧⎪-≥⎨⎪≤+⎩，表示的区域有公共点，则a 的取值范围为（ ） A ．[]2,4B．⎤⎦C ．(][)1,24,⋃+∞D．([)2,⋃+∞8．已知函数()32f x x ax bx c =+++，且()()()01233f f f <-=-=-≤，则( )A ．c 3≤B ．3c 6<≤C ．6c 9<≤D ．c 9>9．设x ，y 满足约束条件261322x y x y y -≤⎧⎪⎪+≥⎨⎪≤⎪⎩，则1z x y =-+的最小值是（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．210．在ABC 中，BAC ∠的平分线交BC 于D .若3BAC π∠=，4AB AC +=，则AD 长度的最大值为（ ） AB ．2C ．3D．11．设函数2()1f x mx mx =--，若对于任意的x ∈{x |1 ≤ x ≤ 3}，()4f x m <-+恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．m ≤0 B ．0≤m <57C ．m <0或0<m <57D ．m <5712．已知不等式230ax bx a --≥的解集是[]4,1-，则b a 的值为（ ） A ．-64B ．-36C ．36D ．64二、填空题13．若正实数x 、y 、z ，满足3z x y +=，4z y x +=，则x y x y z++-的最小值为_______.14．已知x ，y 满足不等式组220,10,30x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，则11x z y -=+，则z 的最大值为________.15．若关于x 的不等式250ax x b -+< 的解集为{|23}x x << ，则+a b 的值是__________．16．若不等式20++≥x mx m 在[1,2]x ∈上恒成立，则实数m 的最小值为________ 17．在下列函数中， ①1y x x=+②1123212y x x x ⎛⎫=++< ⎪-⎝⎭③()2114141x y x x x x ⎛⎫=++> ⎪+⎝⎭ ④22221πsin cos 0,sin cos 2y x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭其中最小值为2的函数是__________.18．若关于x 的不等式()0f x <和()0g x <的解集分别为(),a b 和11,b a ⎛⎫⎪⎝⎭,则称这两个不等式为“对偶不等式”.若不等式()2220x x θ-+<和不等式()224sin 210x x θ++<为“对偶不等式”,且,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则θ=______.19．若实数x ，y 满足约束条件103030x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则3z x y =-的最小值为__________．20．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足570a a ，1122S =，则7811572a a a a a 的最小值为_________.三、解答题21．2020年受疫情影响，全球经济均受到不同程度的冲击.为稳妥有序地推进复工复产，2月11日晚，郑州市相关政府部门印发了《郑州市关于应对新型冠状病毒肺炎疫情促进经济平稳健康发展的若干举措》的通知，并出台多条举措促进全市经济平稳健康发展.某工厂为拓宽市场，计划生产某种热销产品，经调查，该产品一旦投入市场就能全部售出.若不举行促销活动，该产品的年销售量为28万件，若举行促销活动，年销售量y (单位；万件)与年促销费用()0x x ≥(单位；万元)满足3010(ky k x =-+为常数).已知生产该产品的固定成本为80万元，每生产1万件该产品需要再投入生产成本160万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定成本和生产成本，不包括促销成本). （1）求k 的值，并写出该产品的利润L (单位:万元)与促销费用x (单位:万元)的函数关系﹔ （2）该工厂计划投入促销费用多少万元，才能获得最大利润?22．已知m R ∈，命题p ：对任意[]0,1x ∈，不等式2223x m m -≥-恒成立；命题q ：存在[]1,1x ∈-，使得m ax ≤成立．（1）若p 为真命题，求m 的取值范围；（2）当1a =时，若p q ∨为真，p q ∧为假，求m 的取值范围． 23．已知()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且2()()2f x g x x x +=+-. （1）求()f x 和()g x 的解析式；（2）设2()33h x mx mx =+-（其中m R ∈），解不等式()()h x g x <.24．已知函数2221,()?23,x ax x af x x ax x a ⎧-+<⎪⎪=⎨⎪+-≥⎪⎩，其中 0a >． （1）若()()01ff =，求a 的值．（2）若函数()f x 的图象在x 轴的上方，求a 的取值范围． 25．已知函数()()21,4f x ax bx a b R =++∈，且()10f -=，对任意实数x ，()0f x ≥成立.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若0c ≥，解关于x 的不等式()2131424f x c x x c ⎛⎫⎛⎫>+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 26．某单位计划建造一间背面靠墙的小屋，其地面面积为12m 2，墙面的高度为3m ，经测算，屋顶的造价为5800元，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，设房屋正面地面长方形的边长为x m ，房屋背面和地面的费用不计. （1）用含x 的表达式表示出房屋的总造价； （2）当x 为多少时，总造价最低？最低造价是多少？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】化简114[(1)]()131x y x y x y +=++⨯+-+，再利用基本不等式求解. 【详解】由题得1114(1)1[(1)]31[(1)]()1331x y x y x y x y x y +=++-=++⨯-=++⨯+-+ 1141(5)1(5)123131y x x y y +=++-≥+-=++ 当且仅当1x y ==时取等. 所以x y +的最小值为2. 故选：B 【点睛】方法点睛：利用基本不等式求最值时，常用到常量代换，即把所求代数式中的某一常量换成已知中的代数式，再利用基本不等式求解.2．C解析：C 【分析】先作出约束条件对应的可行域，然后分析目标函数的几何意义，结合图形即可求解. 【详解】作出约束条件2122x y x y -≤⎧⎨-≥⎩所表示的平面区域如图所示：移动直线x y z +=，可知当其过点A 时取得最小值， 解方程组2122x y x y -≤⎧⎨-≥⎩，求得10x y =⎧⎨=⎩，即(1,0)A ，代入求得101=+=z ，所以x y +的最小值是1， 故选：C. 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，解题方法如下： （1）根据题中所给的约束条件画出可行域； （2）根据目标函数的意义找到最优解； （3）解方程组求得最优解的坐标； （4）代入求得最小值，得到结果.3．D解析：D 【分析】根据条件对于一切实数x 不等式恒成立和0x R ∃∈使得方程成立结合二次不等式、二次方程、二次函数，可得1ab =，将22a b a b+-化成2a b a b -+-，再结合基本不等式求解即可.【详解】解：因为不等式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，所以0440a ab >⎧⎨-≤⎩，又因为0x R ∃∈，使得20020ax x b ++=成立，所以440ab -≥，所以440ab -=， 即0,0,1a b ab >>=，所以222()2222a b a b ab a b a b a b a b+-+==-+≥---，当且仅当2a b a b-=-时取得最小值. 故选：D. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.4．C解析：C 【分析】由不等式组作出可行域，如图,目标函数22xy +可视为可行域中的点与原点距离的平方，故其最小值应为原点到直线2x y +=的距离平方，根据点到直线的距离公式可得选项. 【详解】由不等式组做出可行域如图，目标函数22xy +可视为可行域内的点与原点距离的平方，故其最小值为原点到直线2x y +=的距离的平方，由点到直线的距离公式可知，原点到直线2x y +=的距离为22d ==，所以所求最小值为2. 故选:C.【点睛】本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，作图时，可将不等式0Ax By C ++≥转化为y kx b ≤+（或y kx b ≥+），明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.5．C解析：C【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组得到最优解的坐标，代入目标函数得到答案.【详解】由实数x，y满足2424x yx yy-≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩得到可行域如图：z＝3x﹣2y变形为y＝32x﹣2z，由24yx y=⎧⎨-=⎩，解得B（2，0）当此直线经过图中B时，在y轴的截距最大，z最小，所以z的最小值为3×2﹣2×0＝6；故选C．【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.6．B解析：B【分析】结合题意画出可行域，然后运用线性规划知识来求解【详解】如图由题意得到可行域，改写目标函数得y x z =-+，当取到点(3,1)A 时得到最小值，即314z =+=故选B 【点睛】本题考查了运用线性规划求解最值问题，一般步骤：画出可行域，改写目标函数，求出最值，需要掌握解题方法7．B解析：B 【分析】由约束条件作出可行域，再由指数函数的图象经过A ，B 两点求得a 值，则答案可求． 【详解】解：由约束条件40,20,1x y y x -⎧⎪-⎨⎪+⎩作出可行域如图：当1x =时，2y a =≤；当4x =时，42y a =≥，则42a ≥故a 的取值范围为42,2⎡⎤⎣⎦.故选：B ． 【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．8．C解析：C 【分析】由()()()123f f f -=-=-可求得a b ，的值，代回不等关系得出c 的取值范围 【详解】由()()()123f f f -=-=-可得184********a b c a b ca b c a b c -+-+=-+-+⎧⎨-+-+=-+-+⎩解得611a b =⎧⎨=⎩则()32611f x x x x c =+++ 所以()16f c -=-，()013f <-≤所以0c 63-≤＜，解得6c 9≤＜， 故选C . 【点睛】本题主要考查了函数的性质，运用待定系数法求出参量的值，然后结合题意求出取值范围，较为基础．9．C解析：C 【分析】作出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，代入求解，即可得到答案. 【详解】作出x ，y 满足约束条件261322x y x y y -≤⎧⎪⎪+≥⎨⎪≤⎪⎩，所对应的可行域，如图所示，目标函数1z x y =-+可化为1y x z =+-，当直线1y x z =+-过点A 时， 此时直线在y 轴上的截距最大值，此时目标函数取得最小值，又由2132y x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得(2,2)A ， 所以目标函数的最小值为min 2211z =-+=. 故选：C.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．10．A解析：A 【分析】根据题意，设,,,AD t AB c AC b ===由三角形面积公式1sin 2S a b θ=⋅⋅可表示出,,ACD ABD ABC ∆∆∆三者之间的关系，进而得边长关系为3,t bc =最后通过基本不等式求得AD 的最大值。
南京南外仙林学校必修第一册第二单元《一元一次函数,方程和不等式》测试题(包含答案解析)
一、选择题1．已知0x >，0y >，且1x y xy +=-，则（ ）A ．xy 的最大值为3+B ．xy 的最大值为6C ．2x y +的最小值为3+D ．2x y +的最小值为72．已知正数x ，y 满足2021x y xy +=，则2120x y+的最小值为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．53．小明从甲地到乙地前后半程的速度分别为a 和()b a b <，其全程的平均速度为v ，则下列不正确的是（ ）A ．a v <<B ．v <C 2a bv +<<D ．2abv a b=+ 4．在区间1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，不等式2410mx x -+<有解，则m 的取值范围为（ ）A ．4m ≤B ．74m <C ．4m <D ．3m <5．已知不等式222ax y xy +≥，若对于任意[1,2],[2,3]x y ∈∈，该不等式恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）.A ．3a ≥-B ．1a ≥-C ．18a ≥D ．118a -≤≤6．设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，则当xyz取得最大值时，212x y z +-的最大值为（ ） A ．0B ．3C ．94D ．17．若正实数,x y 满足x y 1+=，则41x 1y++的最小值为( ) A ．447B ．275 C ．143D ．928．当4x >时，不等式44x m x +≥-恒成立，则m 的取值范围是（ ） A ．8m ≤B ．8m <C ．8m ≥D ．8m >9．两个正实数a ，b 满足3a ，12，b 成等差数列，则不等式2134m m a b+≥+恒成立时实数m 的取值范围是（ ）A ．[]4,3-B ．[]2,6-C ．[]6,2-D ．[]3,4-10．若正数x ，y 满足x+3y=5xy ，则3x+4y 的最小值是（ ） A ．B ．5C ．D ．611．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，90ACB ∠=︒，D 为AB 边上的一点，30ACD ∠=︒，且2CD =，则3a b 的最小值为（ ） A ．4B ．423+C ．8D ．823+12．已知m ，0n >，4121m n+=+，则m n +的最小值为（ ） A ．72B ．7C ．8D ．4二、填空题13．已知正数,x y 满足10xy y -+=，则4y x+的最小值为___________． 14．已知0x >，0y >，22x y +=，则223524x y x yxy+++的最小值为______.15．已知正实数m ，n 满足119222m n m n +++=，则2m n +的最小值是_______． 16．已知关于x 的不等式230x ax ++，它的解集是[1，3]，则实数a =__．17．已知实数0a b >>，且2a b +=，则22323a ba ab b -+-的最小值为____18．已知,a b 为正实数，直线y x a =-与曲线ln()y x b =+相切，则23a b+的最小值为__________.19．若正数a ，b 满足2ab =，则11112M a b=+++的最小值为________. 20．已知正实数x ，y 满足x +y =1，则1412x y +++的最小值为________ ． 三、解答题21．设2()(1)2f x x a x a =--+-.（1）若不等式()2f x ≥-对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围； （2）解关于x 的不等式()0f x <(a R ∈). 22．已知集合{}2430A x x x =-+≤，B =______.若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，给出如下三个条件：①{}1x a x a -≤≤，②{}2x a x a ≤≤+，③{}3a x a ≤≤.请从中任选一个补充到横线上.若问题中的a 存在，求出a 的取值范围.23．已知0,0x y >>，且280x y xy +-=，求 （1）xy 的最小值； （2）x y +的最小值．24．设全集U =R ，集合2A={x|x -4x-12<0}，B={x|(x-a)(x-2a)<0}． （1）当a=1时，求集合UA B ⋂；（2）若B A ⊆，求实数a 的取值范围．25．已知函数1()42f x x x =+-. （1）当2x >时，求函数()f x 的最小值；（2）若存在(2,)x ∈+∞，使得()42a af x ≤-成立，求实数a 的取值范围26．若不等式2520ax x +->的解集是122x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，求不等式22510ax x a -+->的解集．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】利用公式x y +≥，将等式转化为不等式，求xy 的范围；由条件转化为11x y x +=-，代入2x y +后，利用基本不等式求最小值. 【详解】0,0x y >>，x y +≥1xy ∴-≥210-≥，10x y xy +=->1>1t =>，即2210t t --≥，解得：1t ≥或1t ≤1≥，(213xy ≥=+，所以xy 的最小值是3+AB 不正确；10,0,1011x x y x y xy y x x +>>+=-⇒=>⇒>- ()11222222121111x x x y x x x x x x +-++=+=+=-+++---()2213371x x =-++≥=-，当()2211x x -=-时，即2x =时等号成立，所以2x y +的最小值是7，故D 正确. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题考查根据条件等式，利用基本不等式求最值，条件等式除了基本变形，同时也需注意变量的范围，比如本题中的1,1xy x >>等条件.2．C解析：C 【分析】 由已知得20211y x +=，再202121202120x y x y y x ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，运用基本不等式可得选项． 【详解】由2021x y xy +=得20211y x+=，2021202122224212021202120x y x y x y y x y x ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当20212120x y y x=且20211y x +=，即42,40x y ==.时，等号成立. 故选：C. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.3．C解析：C 【分析】根据题意，求得v ，结合基本不等式即可比较大小. 【详解】设甲、乙两地之间的距离为2s ，则全程所需的时间为s sa b+，22s abv s s a b a b∴==++，故D 正确；0b a >>2a b+<，2ab v a b ∴=<=+C 错误；又22222a b ab a b v a b a b +⎛⎫⋅ ⎪+⎝⎭=<=<++B 正确； 22220ab ab a a a v a a a b a b a b---=-=>=+++，v a ∴>，则a v <<A 正确.故选：C 【点睛】关键点点睛：由基本不等式可得22ab a b a b +≤≤≤+等式比较大小，属中档题.4．C解析：C 【分析】令()241f x mx x =-+，对二次项系数m 分三种情况讨论，再对二次函数的对称轴分类讨论，分别求出参数的取值范围，最后取并集即可； 【详解】解：令()241f x mx x =-+当0m =时，原不等式为410x -+<，解得14x >，满足条件； 当0m <时，函数的对称轴为20x m =<，要使不等式2410mx x -+<在区间1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦有解，只需()20f <，即4700m m -<⎧⎨<⎩解得0m <当0m >时，函数的对称轴为20x m =>，要使不等式2410mx x -+<在区间1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦有解，当2103m <<，即6m >时，只需103f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即110936m m ⎧-<⎪⎨⎪>⎩无解；当22m >，即01m <<时，只需()20f <，即47001m m -<⎧⎨<<⎩解得01m <<；当1223m ≤≤，即16m ≤≤时，只需20f m ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即481016m m m ⎧-+<⎪⎨⎪≤≤⎩解得14m ≤<；综上可得4m < 故选：C 【点睛】本题考查一元二次不等式的解，一元二次方程根的分布问题，解答的关键是对对称轴即二次项系数分类讨论，分别求出各种情况的参数的取值范围，最后取并集；5．B解析：B 【分析】 将a 分离出来得22()y ya x x ≥-，然后根据[1x ∈，2]，[2y ∈，3]求出y x的范围，令yt x=，则22a t t ≥-在[1，3]上恒成立，利用二次函数的性质求出22t t -的最大值，即可求出a 的范围． 【详解】 解：由题意可知：不等式222ax y xy +≥对于[1,2],[2,3]x y ∈∈恒成立， 即：22()y ya x x≥-，对于[1,2],[2,3]x y ∈∈恒成立， 即：x 2ma 2()yy a xx ⎡⎤⎢⎥⎣⎦≥-，对于[1,2],[2,3]x y ∈∈恒成立，令y t x =，结合图形可知yx的取值范围是(1,3)，则13t ≤≤， 22a t t ∴≥-在[1，3]上恒成立，221122()48y t t t =-+=--+，13t ≤≤，∴当1t =时，1max y =-，1a ∴≥-.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查的是不等式与恒成立的综合类问题，利用分离参数法、换元法和将恒成立问题转化为二次函数最值问题是解题的关键，还需要注意换元时新元的范围，属于中档题.6．D解析：D 【分析】利用22340x xy y z -+-=可得143xy x y z y x =+-，根据基本不等式最值成立的条件可得22,2x y z y ==，代入212x y z++可得关于y 的二次函数，利用单调性求最值即可.【详解】由正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，2234z x xy y ∴=-+．∴2211434432?3xy xy x y zx xy y x y y xy x===-++--， 当且仅当20x y =>时取等号，此时22z y =．∴222122121(1)1122x y z y y y y+-=+-=--+，当且仅当1y =时取等号， 即212x y z+-的最大值是1． 故选：D 【点睛】本题主要考查了基本不等式的性质和二次函数的单调性，考查了最值取得时等号成立的条件，属于中档题.7．D解析：D 【分析】将1x y +=变成12x y ++=，可得41141121x y x y x y ⎛⎫+++=⋅+ ⎪++⎝⎭，展开后利用基本不等式求解即可． 【详解】0x ，0y >，1x y +=，12x y ∴++=，(41141141191451212122x y y x x y x y x y ⎛⎫⎛⎫++++=⋅+=+++≥+= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭ (当且仅当13x =，23y =取等号)，故选D ． 【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于中档题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.8．A解析：A 【分析】 由题可得444444x x x x +=-++--，且40x ->，利用基本不等式解答即可． 【详解】解：∵4x >，∴40x ->，∴44444844x x x x +=-++≥=-- 当且仅当444x x -=-，即6x =时取等号， ∵当4x >时，不等式44x m x +≥-恒成立， ∴只需min 484m x x ⎛⎫≤+= ⎪-⎝⎭．∴m 的取值范围为：(8],-∞． 故选A ． 【点睛】本题主要考查基本不等式，解题的关键是得出444444x x x x +=-++--，属于一般题．9．C解析：C【分析】由题意利用等差数列的定义和性质求得13a b =+，再利用基本不等式求得112ab，根据题意，2412m m +，由此求得m 的范围． 【详解】 解：两个正实数a ，b 满足3a ，12，b 成等差数列， 13a b ∴=+，123ab ∴，112ab∴，∴112ab． ∴不等式2134m m a b ++恒成立，即234a b m m ab++恒成立， 即214m m ab+恒成立． 2412m m ∴+，求得62m -，故选：C ． 【点睛】本题主要考查等差数列的定义和性质，不等式的恒成立问题，基本不等式的应用，属于基础题．10．B解析：B 【解析】试题分析：已知两边同时除以，得到，那么等号成立的条件是，即，所以的最小值是5，故选B ．考点：基本不等式11．B解析：B 【分析】设,0,2A παα⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，在ACD △中，利用正弦定理得()2sin 150sin b αα=︒-，化简得到13tan b α=ABC 中，有tan a b α=⋅，然后将3a b +转化为3433a b α=+利用基本不等式求解. 【详解】设,0,2A παα⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，在ACD △中，由正弦定理得：()2sin 150sin b αα=︒-，所以()2sin 1501sin tan b ααα︒-==+，在直角ABC 中，tan a b α=⋅，所以(1tan tan 4tan a b αααα⎛⋅==+⎝+=44≥+=+当且仅当an tan αα=，即4πα=时取等号， 故选：B【点睛】本题主要考查正弦定理和基本不等式的解三角形中的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.12．A解析：A 【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出. 【详解】 ∵m ，0n >，4121m n+=+， ∴()()4111411911554122122n m m n m n m n m n +⎛⎫⎛⎫++=+++⨯=++≥+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 当且仅当411n m m n +=+且4121m n+=+，即2m =，32n =时取等号， 故m n +的最小值72.故选：A. 【点睛】本题主要考查了均值不等式求最值，“1”的变形使用，属于中档题. 二、填空题13．9【分析】由已知条件得出将代数式与相乘展开后利用基本不等式可求得的最小值【详解】因为正数满足所以即所以当且仅当即时等号成立故答案为：9【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的三个条解析：9由已知条件得出11x y +=，将代数式1x y +与4y x+相乘，展开后利用基本不等式可求得4y x+的最小值. 【详解】因为正数,x y 满足10xy y -+=， 所以1xy y +=，即11x y+=，所以4144()()559y x y xy x y x xy +=++=++≥+=， 当且仅当2xy =，即3y =，23x =时，等号成立. 故答案为：9【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.14．16【分析】由条件可知则原式变形为展开后利用基本不等式求最小值【详解】原式；当且仅当即时取等所以的最小值为16故答案为：16【点睛】关键点点睛：本题的关键是结合1的妙用利用基本不等式求最值解析：16【分析】 由条件可知()1212x y +=，则原式变形为()1243522x y x y y x y x ⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭，展开后，利用基本不等式求最小值.【详解】 原式()124493524162x y x y x y y x y x y x⎛⎫=++++=++≥ ⎪⎝⎭； 当且仅当23x y =即67x =，47y =时取等. 所以223524x y x y xy+++的最小值为16. 故答案为：16关键点点睛：本题的关键是结合 “1”的妙用，利用基本不等式求最值.15．【分析】利用基本不等式可求得再结合可得从而可求出的取值范围即可得到的最小值【详解】由题意当且仅当时等号成立又所以令则解得所以即的最小值是故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查求代数式的最值解题关键是 解析：32【分析】()1112222n m m n m n m n ⎛⎫++=+++ ⎪⎝⎭，利用基本不等式，可求得()119222m n m n ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭，再结合()119222m n m n +=-+，可得()()992222m n m n ⎡⎤+-+≥⎢⎥⎣⎦，从而可求出2m n +的取值范围，即可得到2m n +的最小值.【详解】由题意，()11155922222222n m m n m n m n ⎛⎫++=+++≥+=+= ⎪⎝⎭，当且仅当n m m n=时，等号成立， 又()119222m n m n +=-+，所以()()()1199222222m n m n m n m n ⎛⎫⎡⎤++=+-+≥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 令2m n t +=，则9922t t ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，解得332t ≤≤， 所以32,32m n ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，即2m n +的最小值是32. 故答案为：32. 【点睛】关键点点睛：本题考查求代数式的最值，解题关键是利用基本不等式求出()119222m n m n ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭，再根据()119222m n m n ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，可得到只包含2m n +的关系式()()992222m n m n ⎡⎤+-+≥⎢⎥⎣⎦，从而可求出2m n +的范围.考查学生的逻辑推理能力，计算求解能力，属于中档题.16．【分析】由一元二次不等式与对应方程的关系利用根与系数的关系求出的值【详解】关于的不等式它的解集是所有关于的方程的两根为1和3由根与系数的关系知实数故答案为：【点睛】本题考查了一元二次不等式与对应方程 解析：4-【分析】由一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系求出a 的值．【详解】关于x 的不等式230x ax ++，它的解集是[1，3]，所有关于x 的方程2x ax 30++=的两根为1和3，由根与系数的关系知，实数(13)4a =-+=-．故答案为：4-．【点睛】本题考查了一元二次不等式与对应方程的关系应用问题，是基础题．17．【分析】由a+b ＝2得出b ＝2﹣a 代入代数式中化简后换元t ＝2a ﹣1得2a ＝t+1得出1＜t ＜3再代入代数式化简后得出然后在分式分子分母中同时除以t 利用基本不等式即可求出该代数式的最小值【详解】解：【分析】由a +b ＝2得出b ＝2﹣a ，代入代数式中，化简后换元t ＝2a ﹣1，得2a ＝t +1，得出1＜t ＜3，再代入代数式化简后得出()2265t t t -+，然后在分式分子分母中同时除以t ，利用基本不等式即可求出该代数式的最小值．【详解】解：由于a +b ＝2，且a ＞b ＞0，则0＜b ＜1＜a ＜2， 所以，()()()()][()()()()()()2232221334223322622262232a a a a b a b a a ab b a b a b a a a a a a a a ------====+--+----⎡⎤--⋅+-⎣⎦，令t ＝2a ﹣1∈（1，3），则2a ＝t +1， 所以，()()()()()()()()22222132222523226215161656a a b t t t a ab b a a t t t t t t t t --=====+-----⎡⎤⎛⎫--+-+⎣⎦-+ ⎪⎝⎭．当且仅当()513t t t=＜＜，即当t = 因此，22323a b a ab b -+-【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，解本题的关键就是对代数式进行化简变形，考查计算能力，属于中等题．18．【分析】函数求导由切线方程可得再利用基本不等式求得最值【详解】的导数为由切线的方程可得切线的斜率为1可得切点的横坐标为切点为代入得为正实数则当且仅当即时取得最小值故答案为：【点睛】本题考查导数的运算解析：5+【分析】函数求导，由切线方程y x a =-可得1a b +=，再利用基本不等式求得最值.【详解】ln()y x b =+的导数为1y x b'=+， 由切线的方程y x a =-可得切线的斜率为1，可得切点的横坐标为1b -，切点为(1,0)b -，代入y x a =-，得1a b +=，,a b 为正实数，则2323233()()2355b a a a b a b a b a b b+=++=+++≥+=+当且仅当a =，即2,3a b ==5+.故答案为：5+【点睛】 本题考查导数的运算、导数的几何意义及基本不等式求最值，属于基础题.19．【分析】求出设（当且仅当时成立）求出的最小值即可【详解】解：设（当且仅当时成立）的最小值为故答案为：【点睛】本题考查了基本不等式的性质考查转化思想属于中档题 解析：23【分析】 求出23154a M a a =-++，设254445259a a N a a a a a++==+++=（当且仅当2a =时“=”成立），求出M 的最小值即可．【详解】 解：2ab =，0a >，0b >，2b a ∴=， 21111114311411211414541a a M a b a a a a a a a a∴=+=+=+=+-=-++++++++++，设254445259a a N a a a a a ++==+++=（当且仅当2a =时“=”成立）， 1109N ∴<，1303N--<，23113N -<， 11112M a b ∴=+++的最小值为23， 故答案为：23． 【点睛】本题考查了基本不等式的性质，考查转化思想，属于中档题．20．【分析】由可得且则利用基本不等式可求出的最小值【详解】由可得且则（当且仅当即时取=）故的最小值为故答案为：【点睛】利本题考查基本不等式求最值注意用基本不等式求最值必须具备三个条件：①各项都是正数；②解析：94【分析】由1x y +=，可得(1)(2)4x y +++=且10,20x y +>+>，则()()()112411411412412214142y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=+=+++⎡⎤ ⎪+ +⎪⎣⎦++++++⎝+⎭⎝+⎭+，利用基本不等式可求出1412x y +++的最小值. 【详解】由1x y +=，可得()()124x y +++=且10,20x y +>+>，则()()114114124122x y x y y x ⎛⎫+=+⎡⎤ ⎪⎣⎦++++⎝+⎭++ ()11914541244412x y y x =+⎛⎛⎫ +++≥+= ⎪ ++⎝⎭⎝+，（当且仅当()24121x y x y =++++即12,33x y ==时取“=”）. 故1412x y +++的最小值为94. 故答案为：94. 【点睛】利本题考查基本不等式求最值，注意用基本不等式求最值必须具备三个条件：①各项都是正数；②和（或积）为定值；③等号取得的条件，属于中档题. 三、解答题21．（1）33a -≤≤+2）答案见解析.【分析】（1）一元二次不等式恒成立问题，由判别式可得参数范围．（2）不等式变形为[(2)](1)0x a x ---<，根据2a -和1的大小分类讨论得解集．【详解】解：（1）由题意，不等式()2f x ≥-对于一切实数x 恒成立，等价于2(1)0x a x a --+≥对于一切实数x 恒成立.所以20(1)40a a ∆≤⇔--≤⇔33a -≤≤+ （2）不等式()0f x <等价于2(1)20[(2)](1)0x a x a x a x --+-<⇔---<.当21a ->即3a >时，不等式可化为12x a <<-，不等式的解集为{}12x x a <<-； 当21a -=即3a =时，不等式可化为2(10)x -<，不等式的解集为∅；当21a -<即3a <时，不等式可化为21a x -<<，此时{}21x a x -<<. 综上所述：当3a <时，不等式的解集为{}21x a x -<<；当3a =时，不等式的解集为∅；当3a >时，不等式的解集为{}12x x a <<-.【点睛】本题考查解一元二次不等式．掌握三个二次伯关系是解题关键．对含参数的一元二次不等式求解时需分类讨论，分类讨论一般有三个层次：一是二次项系数是否为0，不为0时二次项系数的正负，二是一元二次方程的判别式，三是在判别式大于0时，方程两根的大小．注意灵活分类． 22．无23．无24．无25．无26．无。
平面几何经典测试题(含答案)
平面几何经典测试题(含答案)1. 题目：已知正方形ABCD，边长为a，点O是正方形中线的中点，连接AO、BO、CO、DO，求角AOB的大小。
解答：首先，我们知道正方形的中线与边的交点是该边的中点。
因此，点O是正方形ABCD的中心点，且AO、BO、CO、DO都是正方形的对角线。
由于正方形的对角线互相垂直且平分对方角，所以角AOB的大小是90度。
2. 题目：在平面直角坐标系中，点A(1, 3)和点B(4, -2)确定了一条直线L，求直线L的斜率和截距。
解答：直线的斜率可以用两点的坐标来计算。
斜率表示了直线的倾斜程度。
设两点的坐标分别为A(x1, y1)和B(x2, y2)，则直线的斜率k可以计算为：k = (y2 - y1) / (x2 - x1)在这个题目中，点A的坐标为A(1, 3)，点B的坐标为B(4, -2)。
将这些值代入斜率公式，可以计算出直线L的斜率。
斜率 k = (-2 - 3) / (4 - 1) = -5/3直线的截距表示了直线与y轴的交点的纵坐标。
设与y轴的交点坐标为(0, b)，则直线的截距b可以计算为：b = y - kx将点A或B的坐标代入，就可以计算出直线L的截距。
以点A(1, 3)为例，截距 b = 3 - (-5/3) * 1 = 8/3所以，直线L的斜率为-5/3，截距为8/3。
3. 题目：已知三角形ABC，边长分别为a、b、c，其中a=4，b=5，c=6，判断三角形ABC的类型（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形）。
解答：根据三角形的边长关系，如果三边满足任意两边之和大于第三边，那么这个三角形是一个合法的三角形。
在这个题目中，三角形的边长分别为a=4，b=5，c=6。
我们可以验证一下是否符合三角形的边长关系：4 +5 > 65 +6 > 46 + 4 > 5由于以上的不等式都成立，所以这个三角形是一个合法的三角形。
接下来，判断三角形的类型。
根据三角形的内角和，我们可以知道：如果三角形的所有内角都小于90度，则这个三角形是一个锐角三角形。
不等式的变形练习(含参考答案)
不等式的变形练习(含参考答案)本文档提供了一些关于不等式的变形练，以帮助读者加深对不等式的理解和解题能力。
以下是一些练题和参考答案。
1. 将下列不等式变形并求解：a. 3x - 4 > 7b. 2(x + 5) ≤ 3x - 1参考答案：a. 变形后的不等式为 x > 11/3，解集为 x ∈ (11/3, +∞)；b. 变形后的不等式为x ≥ 11/5，解集为 x ∈ [11/5, +∞)。
2. 解下列不等式组：{ 3x - y ≥ 2{ x + y < 5参考答案：将第一个不等式变形为y ≤ 3x - 2，将第二个不等式变形为 y > -x + 5，则不等式组的解集为 x ∈ (-∞, +∞)，y ∈ (-∞, 3x - 2]。
3. 将下列不等式变形并求解：a. |x + 3| ≤ 5b. |2x - 1| > 7参考答案：a. 变形后的不等式为 -8 ≤ x ≤ 2，解集为 x ∈ [-8, 2]；b. 变形后的不等式为 x > 4 或 x < -3，解集为 x ∈ (-∞, -3) ∪ (4, +∞)。
4. 解下列不等式组：{ x + y > 3{ x - 2y < 4参考答案：将第一个不等式变形为 y > 3 - x，将第二个不等式变形为 y > (x - 4)/2，则不等式组的解集为 x ∈ (-∞, +∞)，y ∈ (3 - x, +∞)。
5. 将下列不等式变形并求解：a. 2x + 3 > x - 5b. 4(x + 1) ≤ 2x + 5参考答案：a. 变形后的不等式为 x > -8，解集为 x ∈ (-8, +∞)；b. 变形后的不等式为x ≥ -3/2，解集为 x ∈ [-3/2, +∞)。
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(必考题)高中数学高中数学选修4-5第二章《重要的不等式》测试题(包含答案解析)
一、选择题1．实数m ，n ，x ，y 满足22m n a +=，22()x y b a b +=≠，那么mx ny +的最大值为（ ）．A ．2a b +B C D 2．若实数231x y z ++=，则222x y z ++的最小值为（ ） A ．14B ．114C ．29D ．1293．若0x y >>，{}0,1,2,,2020n ∈⋅⋅⋅，则使得1ny nx x y +>恒成立的n 有（ ）个. A ．1B ．2C ．3D ．20214．若正数,,m n p 满足4m n p ++=，且()()()222222mn mn p n pn m p mp mnp λ+++++≥，则实数λ的取值范围为（ ）A ．(],6-∞B ．(],4-∞C ．(],12-∞D ．(],8-∞5．实数x 、y 满足223412x y +=，则2z x =的最小值是（ ） A ．5-B ．6-C ．3D ．46．若正实数a b c 、、满足22ab bc ac a ++=-，则2a b c ++的最小值为（ ）A ．2B ．1C D ．7．若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()()1122,,,A x y B x y ，其坐标满足条件：1212x x y y +0，则称()f x 为“柯西函数”，则下列函数： ①1()(0)f x x x x=+>；②()ln (0)f x x x e =<<；③()cos f x x =；④2()1f x x =-．其中是“柯西函数”的为（ ） A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④8．用数学归纳法证明不等式11111312324n n n n n +++⋯+++++＞的过程中，由n k =推导1n k =+时，不等式的左边增加的式子是（ ） A ．()()12121k k -+ B ．()()12122k k ++C ．()()12223k k ++ D ．()()12324k k ++9．已知a ，b ，0c >，且1a b c ++=A ．3B ．C ．18D ．910．已知A ，B ，C 是ABC 的三个内角的弧度数，则111A B C ++与9π的大小关系为( ) A ．1119πA B C ++≥ B ．1119πA B C ++≤ C ．1119πA B C ++> D ．1119πA B C ++< 11．已知,,x y z ∈R ，且225x y z -+=，则222(5)(1)(3)x y z ++-++的最小值是 A ．20 B ．25 C ．36D ．4712．过定点P （1，2）的直线在轴与轴正半轴上的截距分别为，则的最小值为 （ ） A ．8B ．32C ．45D ．72二、填空题13．已知平面向量,,a b c 满足0a b ⋅=，1c =，5a c b c -=-=，则a b -的最大值为__________．14．已知22326x y +=，则2x y +的最大值为__________． 15．设x ，y ，z 2222x y z ++________．16．已知 O 为坐标原点，圆M ：()2211x y ++=， 圆N ：()2224x y -+=．,A B 分别为圆M 和圆N 上的动点，则OAB S 的最大值为_______． 17．已知,,a b c ∈R 且222234a b c ++=，则23a b c ++的最大值为________．18．已知实数,,,x y a b 满足：221a b +≤，2224x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则ax by +的最大值为__________ ．19．函数3141y x x =+-______________；20．已知x 、y 、z ∈R,且2331x y z ++=，则222x y z ++的最小值为______.三、解答题21．已知f (n )＝1＋312＋313＋314＋＋31n ，()g n =32－212n，n ∈N *. （1）当n ＝1，2，3时，试比较f (n )与g(n )的大小关系； （2）猜想f (n )与g(n )的大小关系，并给出证明． 22．已知函数()|2||21|f x x x =-++． （1）求不等式()3f x 的解集；（2）已知222(1)(1)6a b c +-++=，证明：824a b c --+．23．设x ，y ，z R ∈，且1x y z ++=. （1）求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值；（2）若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-成立，证明：3a -或1a -.24．已知关于x 的函数()|1|||f x x x a =++-．（1）若存在x 使得不等式()31f x a -成立，求实数a 的取值范围； （2）若()|3|f x x +的解集包含1[,2]2-，求a 的取值范围． （3）若（2）中a 的最大值为m ，2352,x y z m ++=求y .25．已知函数()|23||23|.f x x x =-++ （1）解不等式()8f x ≤；（2）设x ∈R 时，()f x 的最小值为M .若实数,,a b c 满足2a b c M ++=，求222a b c ++的最小值.26．已知,,a b c ∈R ，且3a b c ++=，22226a b c ++=，求实数a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据柯西不得式()()()22222mx ny m nxy +≤++，直接计算结果.【详解】由柯西不等式()()()22222mx ny m nx y ab +≤++=等号成立的条件是my nx = ，所以mx ny + 故选：B 【点睛】本题考查柯西不等式，考查计算能力，属于基础题型.2．B解析：B 【分析】直接利用柯西不等式得到答案. 【详解】根据柯西不等式：()()2221492231x y zy z ++++≥++=，即222114xy z ++≥， 当且仅当114x =，17y =，314z =时等号成立. 故选：B. 【点睛】本题考查了柯西不等式，意在考查学生对于柯西不等式的应用能力.3．B解析：B 【分析】根据题意，分情况讨论，1x y >≥和10x y >>>，0n =，1n =，2n ≥判断，得出结论. 【详解】如1x y >≥，1ny nx x y +>显然成立；当10x y >>>，0n =时，21ny nx x y +=>成立；当1n =时，由贝努力不等式(1)1r x rx +>+，1r >，1x >-， 取1r y =，y a x=， 则111(1)10y y x x x+=+>>，1y x y x x +>，得y x x x y >+， 同理xy y x y>+，故1ny nx x y +>成立；当2n ≥时，取12x =，14y =，代入检验1124211111()()()()122224n nynxnx y +=+<+=+<，不成立，故选：B ． 【点睛】本题考查恒成立问题，利用了贝努力不等式，考查运算求解能力，是中档题．4．D解析：D 【分析】不等式化为222222m n p n m p p m nλ+++++≥，左边()222222444m n p n m p m n p pm n ⎛⎫+++=++++ ⎪⎝⎭，利用柯西不等式求出最小值即可求解.【详解】不等式化为222222m n p n m p p m nλ+++++≥， 左边()222222444m n p n m p m n p pm n ⎛⎫+++=++++ ⎪⎝⎭()()()()222888m n p n m p m n p p m n ⎛⎫+++≥++++ ⎪ ⎪⎝⎭ ()218m n p n m p ≥+++++ 16488=⨯=， 所以8λ≤，实数λ的取值范围为(],8-∞. 故选：D5．A解析：A 【分析】由223412x y +=得22143x y +=，运用柯西不等式有()()222169243x y x ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭，进而得解. 【详解】 解：实数x 、y 满足223412x y +=，22143x y ∴+=， ()()222169243x y x ⎛⎫∴++≥ ⎪⎝⎭，525x -≤≤，当且仅当8y =时取等号，2z x ∴=的最小值是5-.故选：A. 【点睛】考查柯西不等式的应用，基础题.6．D【解析】分析：根据基本不等式的性质求出2a+b+c 的最小值即可． 详解：由题得：因为a 2+ac+ab+bc=2， ∴（a+b ）（a+c ）=2，又a ，b ，c 均为正实数， ∴2a+b+c=（a+b ）+（a+c ）≥2()()a b a c ++=22， 当且仅当a+b=a+c 时，即b=c 取等号． 故选D.点睛：本题考查了绝对值的意义，考查基本不等式的性质，是一道基础题．7．B解析：B 【分析】由柯西不等式，得到函数()f x 在其图象上存在不同的两点()()1122,,,A x y B x y ，使得,OA OB 共线，转化为存在过原点的直线y kx =与()y f x =的图象有两个不同的交点，进行逐项判定，即可求解． 【详解】由柯西不等式得，对任意实数2222112212121122,,,,0x y x y x x y y x y x y +-+⋅+≤恒成立，当且仅当1221x y x y =时取等号，若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()()1122,,,A x y B x y ， 其坐标满足条件：222212121122x x y y x y x y +-+⋅+的最大值为0， 则函数()f x 在其图象上存在不同的两点()()1122,,,A x y B x y ，使得,OA OB 共线， 即存在过原点的直线y kx =与()y f x =的图象有两个不同的交点． 对于①，方程1(0)kx x x x=+>，即2(1)1k x -=，最多有1个正根，所以不是柯西函数；对于②，由图①可知不存在；因为在点(),1e 处，1y x e=与ln y x =相切，所以ln kx x =最多有1个正解；对于③，由图②可知存在；对于④，由图③可知存在．所以①②不是柯西函数，③④是柯西函数．本题主要考查了函数新定义的应用，其中把函数的定义，转化为存在过原点的直线y kx =与()y f x =的图象有两个不同的交点是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.8．B解析：B 【分析】准确写出当n k =时，左边的代数式，当1n k =+时，左边的代数式，相减可得结果．注意分母及项数的变化． 【详解】解：当n k =时，左边的代数式为111122k k k++⋯+++， 当1n k =+时，左边的代数式为1112322k k k ++⋯++++， 故用1n k =+时左边的代数式减去n k =时左边的代数式的结果，即()()21121122122k k k k -=++++为不等式的左边增加的项， 故选：B ． 【点睛】数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N 相关的性质，其步骤为：设()P n 是关于自然数n 的命题，若①（奠基）()P n 在1n =时成立；②（归纳） 在()(P k k 为任意自然数）成立的假设下可以推出(1)P k +成立，则()P n 对一切自然数n 都成立，属于基础题．9．B解析：B 【分析】先利用柯西不等式求得2的最大值，由此求得.【详解】 由柯西不等式得：()2222222111⎡⎤≤++++⎢⎥⎣⎦()33318a b c =⨯+++=⎡⎤⎣⎦≤13a b c ===时，等号成立，故选B.【点睛】本小题主要考查利用柯西不等式求最大值，属于基础题.10．A【分析】直接利用柯西不等式即可得结果. 【详解】 由柯西不等式,()111A B C A B C ⎛⎫++++⎪⎝⎭得≥29,=A B C π++=,1119.πA B C ∴++≥当且仅当 πA B C 3=== ，时等号成立，故选A.【点睛】本题主要考查了一般形式的柯西不等式，属于中档题. 解决问题的关键是利用柯西不等式求最值时， 关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果.同时，要注意等号成立的条件, 配凑过程采取如下方法：一是考虑题设条件；二是对原目标函数进行配凑后利用柯西不等式解答.11．C解析：C 【解析】 由于()()()()()()()()()222222251312252123x y z x y z ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++-+++-+≥++--++=⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎣⎦324，所以()()()22251336x y z ++-++≥，当且仅当513122x y z +-+==-，即331x y z =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩时取等号．故选C ． 12．B解析：B 【详解】分析：由过定点P （1，2）的直线在x 轴与y 轴的正半轴上的截距分别为a 、b ，可得a ，b 的一个方程，再应用基本不等式求得4a 2+b 2的最小值． 解答：解：∵a ＞0，b ＞0，12ba +=1 ∴2a +b=（2a +b ）(12ba +)=2+2+b 4ba a +≥8 当且仅当b a =4ba ，即2a =b=4时成立 ∴2（4a 2+b 2）≥（2a +b ）2≥64，∴4a 2+b 2≥32当且仅当2b11a ==4时成立 ∴（4a 2+b 2）min=32 故选B二、填空题13．【分析】由建立坐标系设得到然后将条件和所求的目标都转化为坐标形式利用柯西不等式建立关于的不等式从而求出的最大值得到答案【详解】因为所以以为轴以为轴建立坐标系设可得因为所以两式相加得即由柯西不等式得即 解析：8【分析】由0a b ⋅=，建立坐标系，设(),c x y =，得到221x y +=，然后将条件和所求的目标都转a b -的最大值，得到答案. 【详解】因为0a b ⋅=，所以以a 为x 轴，以b 为y 轴建立坐标系， 设(),0a a =，()0,b b =，(),c x y =，1c =可得221x y +=，(),a c a x y -=--，(),b c x b y -=--因为5a c b c -=-=所以()()22222525x a y x y b ⎧-+=⎪⎨+-=⎪⎩， 两式相加得()222212502ax by a b x y ⎡⎤+=+++-⎣⎦即()221482ax by a b +=+- 由柯西不等式得()()()2222222ax by a bxy a b ≤+++=+，即ax by ≤+所以()221482a b ≤+-整理得2048≤-所以得280a ≤，(),a b a b -=-所以28a b a ≤-=+.故答案为：8. 【点睛】本题考查通过建立坐标系处理向量问题，利用柯西不等式求最值，属于中档题.14．【分析】由柯西不等式中的代入即可得出【详解】令代入柯西不等式∴的最大值为故答案为：【点睛】本题考查柯西不等式求最值考查函数与方程思想转化与化归思想考查逻辑推理能力运算求解能力【分析】由柯西不等式2222211221212()()()a b a b a a b b +++中的1a =，2a ，1b =22b =代入即可得出. 【详解】令1a =，2a ，1b =22b = 代入柯西不等式2222211221212()()()a b a b a a b b +++， ∴2224111(2)(32)()611326x y x y +++⨯=11211x y+2x y ∴+．． 【点睛】本题考查柯西不等式求最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．15．【分析】首先利用柯西不等式可以得到从而求得两边开放得到从而求得其最大值【详解】由柯西不等式知所以所以当且仅当时等号成立故答案为：【点睛】该题考查的是有关式子的最值问题涉及到的知识点有柯西不等式在解题解析：2【分析】首先利用柯西不等式可以得到2222222(2)[2(1)](2)x y z x y z ++++-≥+-，从而求得2222(2)1122x y z x y z +-≤++2≤，从而求得其最大值. 【详解】由柯西不等式知2222222(2)[2(1)](2)x y z x y z ++++-≥+-， 所以2222(2)1122x y z x y z +-≤++，2≤，当且仅当202xy z ==->时等号成立，故答案为：2. 【点睛】该题考查的是有关式子的最值问题，涉及到的知识点有柯西不等式，在解题的过程中，注意对柯西不等式形式的配凑，属于较难题目.16．【分析】如图所示以为直径作圆延长交新圆于点交新圆于点首先证得将题意转化为求圆内接三角形面积的最大值将基本不等式和琴生不等式相结合即可得结果【详解】如图所示以为直径作圆延长交新圆于点交新圆于点连接则与解析：2【分析】如图所示，以ON 为直径作圆，延长AO 交新圆于E 点，BO 交新圆于F 点，首先证得2OABOEBOEFSSS==，将题意转化为求圆内接三角形面积的最大值，将基本不等式和琴生不等式相结合即可得结果. 【详解】如图所示，以ON 为直径作圆，延长AO 交新圆于E 点，BO 交新圆于F 点， 连接FE ，NF ，则NF 与OB 垂直， 又=NB NO ，所以F 为OB 中点， 由对称性可知OA OE =， ∵1=sin 2OABSOA OB AOB ⋅⋅∠，()11=sin sin 22OEBSOB OE AOB OB OE AOB π⋅⋅-∠=⋅⋅∠ 所以2OABOEBOEFS SS==，因此当OEFS最大值时，OAB S最大，故题意转化为在半径为1的圆内求其内接三角形A B C '''的面积最大值， 圆内接三角形的面积1sin 2S a b C '''=，由正弦定理得2sin a A ''=，2sin b B ''=， ∴3sin sin sin 2sin sin sin 23A B C S A B C '''++⎛⎫'''=≤ ⎪⎝⎭由于()sin f x x =，[]0,x π∈时为上凸函数，可得33sin sin sin 33sin 338A B C A B C ''''''++++⎛⎫⎛⎫≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即334A B C S'''≤，当且仅当3A B C π'''===时等号成立，进而可得OAB S的最大值为3333242⨯=，故答案为332【点睛】本题主要考查了圆内接三角形面积最大值的求法，考查了解析几何中的对称思想以及等价转化思想，用不等式求最值是难点，属于难题.17．【解析】分析：利用柯西不等式即可求解详解：由题意又由柯西不等式可得所以即的最大值为点睛：本题主要考查了利用柯西不等式求最值问题其中根据题意合理构造柯西不等式求解是解答的关键着重考查了分析问题和解答问 解析：26【解析】分析：利用柯西不等式即可求解． 详解：由题意222234a b c ++=， 又由柯西不等式可得22222222(23)(11213)(1(2)(3))(23)24a b c a b c a b c ++=⨯+⨯+⨯≤++++=，所以2326a b c ++≤23a b c ++的最大值为26点睛：本题主要考查了利用柯西不等式求最值问题，其中根据题意合理构造柯西不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．18．【解析】分析：根据线性规划先求出的范围再根据柯西不等式求解详解：画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示表示可行域内的点到原点的距离结合图形可得点A 到原点的距离最大由解得故∴由柯西不等式得当且仅当时 解析：5【解析】分析：根据线性规划先求出22x y +的范围，再根据柯西不等式求解． 详解：画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．22x y +A 到原点的距离最大，由224x x y =⎧⎨+=⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩，故()2,1A ，∴225x y +≤由柯西不等式得2222225ax by a b x y x y +≤+++≤x ya b=时等号成立．∴ax by +5点睛：在应用柯西不等式求最大值时，要注意等号成立的条件，柯西不等式在排列上规律明显，具有简洁、对称的美感，运用柯西不等式求解时，可按照“一看、二构造、三判断、四运用”的步骤求解．19．【解析】因为所以故函数的最大值为 解析：52【解析】因为(()()2223141341150x xx x +-≤+++-=，所以52y ≤3141y x x =+-5220．【解析】试题分析：由柯西不等式因为所以当且仅当即时取等号所以的最小值为考点：柯西不等式解析：122【解析】试题分析：由柯西不等式，2222222(233)()(233)x y z x y z ++++≥++，因为2331x y z ++=.所以222222122()122x y z x y z ++≥⇒++≥，当且仅当233x y z ==，即13,1122x y z ===时取等号.所以222x y z ++的最小值为122. 考点：柯西不等式三、解答题21．（1）答案见解析；（2）f (n )≤g(n )，证明见解析. 【分析】（1）利用解析式计算、比较可得答案；（2）由（1）的结果猜想可得f (n )≤g(n )，再利用数学归纳法进行证明可得答案. 【详解】（1）当n ＝1时，f (1)＝1，g(1)＝1，所以f (1)＝g(1)； 当n ＝2时，f (2)＝98，g(2)＝118，所以f (2)＜g(2)；当n ＝3时，f (3)＝251216，g(3)＝312216，所以f (3)＜g(3)． （2）由（1）猜想： f (n )≤g(n )，用数学归纳法证明． ①当n ＝1，不等式显然成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时不等式成立，即1＋312＋313＋314＋＋31k ≤32－212k ， 则当n ＝k ＋1时， f (k ＋1)＝f (k )＋31(1)k +≤32－212k ＋31(1)k +22233111122(1)2(1)2(1)k k k k =-+-++++，因为212(1)k +－23112(1)k k ++＝332(1)k k ++－212k ＝32312(1)k k k --+＜0，所以f (k ＋1)＜32－212(1)k +＝g(k ＋1)． 由①②可知，对一切n ∈N *，都有f (n )≤g(n )成立. 【点睛】关键点点睛：掌握数学归纳法原理是本题解题关键. 22．（1）(-∞，2][03-，)+∞；（2）证明见解析.【分析】（1）分三种情况讨论解不等式得解；（2）由柯西不等式得2(22)36a b c -++，化简即得证. 【详解】（1）()3f x 即为2213x x -++，等价为2{2213x x x -++或12{22213x x x -<<-++或1{22213x x x ----， 解得2x 或02x <或23x -， 综上可得，原不等式的解集为(-∞，2][03-，)+∞；（2）证明：由柯西不等式可得2222222[(1)(1)][2(1)1][2(1)1]a b c a b c +-++⨯+-+--++，当112ab c =-=+时，上式取得等号． 又222(1)(1)6a b c +-++=，则2(22)36a b c -++，即6226a b c --++， 即824a b c --+． 即得证. 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，考查柯西不等式的应用，考查不等式的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 23．（1）43；（2）证明见解析. 【分析】（1）运用柯西不等式可得2222222(111)[(1)(1)(1)](111)4x y z x y z ++-++++-++++=，可得所求最小值； （2）运用柯西不等式求得222(2)(1)()x y z a -+-+-的最小值，由题意可得13不大于最小值，解不等式可得所求范围. 【详解】解：（1）x ，y ，z R ∈，且1x y z ++=，由柯西不等式可得2222222(111)[(1)(1)(1)](111)4x y z x y z ++-++++-++++=，可得2224(1)(1)(1)3x y z -++++， 即有222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值为43；（2）证明：由1x y z ++=，柯西不等式可得22222222(111)[(2)(1)()](21)(2)x y z a x y z a a ++-+-+--+-+-=+， 可得2222(2)(2)(1)()3a x y z a +-+-+-，即有222(2)(1)()x y z a -+-+-的最小值为2(2)3a +， 由题意可得2(2)133a +，解得1a -或3a -.【点睛】本题考查柯西不等式的运用：求最值，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题.24．（1）[1，)+∞；（2）3[0,]2；（3 【分析】（1）根据绝对值三角不等式求()f x 最小值，再解含绝对值不等式得结果；（2）先根据范围化简不等式，再根据变量分离法解决不等式恒成立问题，即得结果； （3）根据柯西不等式直接可得最大值. 【详解】（1）对x ∈R ，()|1||||(1)()||1|f x x x a x x a a =++-+--=+，当且仅当(1)()0x x a +-时，等号成立，故原条件等价于|1|31a a +-，即3113 1.310a a a a -++--，解得1a ， 故实数a 的取值范围为[1，)+∞；（2）当1[,2]2x ∈-时，()|1|||1|||3|3f x x x a x x a x x =++-=++-+=+，||2x a ∴-，即22x a --，则22x a x -+，又()|3|f x x +的解集包含1[,2]2-，()|3|f x x ∴+在1[,2]2-恒成立， ∴当1[,2]2x ∈-时，(2)(2)max min x a x -+，又3(2)0,(2)2max min x x -=+=， ∴302a，即实数a 的取值范围为3[0,]2．（3）由（2）知3,2m =则2353,x y z ++=由柯西不等式得， ()()()()2213456111x y z +++++++≥⎡⎤⎣⎦,()23113≤+⨯==1124,,6915x y z ===-即时，等号成立.【点睛】本题考查绝对值三角不等式、不等式恒成立、利用柯西不等式求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.25．（1）{|22}x x -≤；（2）6 【分析】（1）利用零点分段讨论求解不等式；（2）利用绝对值三角不等式求得6M =，利用柯西不等式求解最值. 【详解】（1）322x x ⎧≤-⎪⎨⎪≥-⎩或332268x ⎧-<<⎪⎨⎪-≤⎩或322x x ⎧⎪⎨⎪≤⎩∴{|22}x x -≤，（2）∵()()()|2323|66x x x f M --+=∴=()()()2222222112236,ab c a b c ++++++=当且仅当22a b c ==时“=”成立，所以2226,a b c ++所以最小值为6. 【点睛】此题考查解绝对值不等式，利用零点分段讨论求解，利用绝对值三角不等式求解最值，结合柯西不等式求最值，需要注意考虑等号成立的条件. 26．120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【分析】利用柯西不等式可得关于a 的不等式，解不等式可得实数a 的取值范围． 【详解】因为()222222221226221()(3)3233a b c b c b c a ⎛⎫-=+=+++=- ⎪⎝⎭ 所以25120a a -，解得1205a ． 综上，实数a 的取值范围是120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【点睛】本题考查柯西不等式求参数的取值范围，考查逻辑推理能力、运算求解能力.。
(压轴题)高中数学必修五第三章《不等式》测试题(包含答案解析)(1)
一、选择题1．设正数m ，n ，2m n u +=，222v m n mn =++，则2u v ⎛⎫ ⎪⎝⎭的最大值是（ ） A ．14B ．13C ．12D ．12．已知x ，y 满足约束条件20030x y x y m x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，若34z x y =-的最大值为9，则m 的值为（ ） A ．32-B ．28-C ．2D ．33．已知正实数a ，b 满足231a b +=，则12a b+的最小值为（ ） A ．15B．8+C ．16D．8+4．已知实数,x y 满足24240x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩，则32z x y =-的最小值是 （ ）A ．4B ．5C ．6D ．75．当02x π<<时，函数21cos 28sin ()sin 2x xf x x++=的最小值为（ ）A ．2B．C ．4D．6．已知函数()()log 31a f x x =+-（0a >且1a ≠）的图象恒过定点A ，若点A 在直线40mx ny ++=上，其中0mn >，则12m n+的最小值为（ ） A ．23B ．43C ．2D ．47．已知实数x y 、满足不等式组21010x x y m x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩,若目标函数2z x y =-+的最大值不超过4,则实数m 的取值范围是 A．(B．⎡⎣ C．⎡⎤⎣⎦D ．[ 8．在ABC 中，BAC ∠的平分线交BC 于D .若3BAC π∠=，4AB AC +=，则AD 长度的最大值为（ ） AB ．2C ．3D．9．对于任意实数a ，b ，若a ＞b ，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．11a b< B ．a 2＞b 2 C ．a 3＞b 3 D ．a b b a> 10．设m 1>，在约束条件1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z=x+my 的最大值小于2，则m 的取值范围为（ ） A．(1,1 B．()1++∞ C ．（1，3）D ．（3，+∞）11．设变量,x y 、满足约束条件236y xx y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．912．若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式恒成立的是（ ） A ．1a <1bB ．a 2>b 2C ．21a c +>21b c + D ．a |c |>b |c |二、填空题13．123,,x x x 为实数，只要满足条件1230x x x >>>，就有不等式121233log 20202log 2020log 2020x x x x x x k +≥恒成立，则k 的最大值是__________．14．若x ，y ，z 满足约束条件4802400x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则z =__________．15．已知x ，y 满足041x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为________.16．已知实数x ，y 满足约束条件2020220x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪--≥⎩，则2z x y =+的最小值为________.17．已知实数,x y 满足不等式组201030y x y x y -≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则yx 的取值范围为__________．18．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足570a a ，1122S =，则7811572a a a a a 的最小值为_________.19．某港口的水深y （米）随着时间t （小时）呈现周期性变化，经研究可用sincos66y a t b t c ππ=++来描述，若潮差（最高水位与最低水位的差）为3米，则+a b的取值范围为_______．20．已知正实数x ，y 满足22462x y xy ++=，则2x y +的最小值是_________.三、解答题21．设矩形ABCD 的周长为20，其中AB AD >，如图所示，把它沿对角线AC 对折后，AB 交DC 于点P .设AD x =，DP y =.（1）将y 表示成x 的函数，并求定义域； （2）求ADP △面积的最大值. 22．选修4-5 不等式选讲已知函数f (x )＝|x －1|－2|x ＋1|的最大值为m . (1)求m ；(2)若a ，b ，c ∈(0，＋∞)，a 2＋2b 2＋c 2＝2m ，求ab ＋bc 的最大值． 23．已知函数()243f x ax ax =--(1)当a=-1时,求不等式f(x)>0的解集;(2)若对于任意的x ∈R,均有不等式f(x)≤0成立,求实数a 的取值范围.24．若不等式2122x x mx -+>的解集为{}|02x x <<. （1）求m 的值；（2）已知正实数a ，b 满足4a b mab +=，求+a b 的最小值. 25．已知函数2()2,,f x x ax x R a R =-∈∈． （1）当1a =时，求满足()0f x <的x 的取值范围；（2）解关于x 的不等式2()3f x a <．26．（1）已知()2f x kx =+，不等式()3f x <的解集为()1,5-，不等式()1xf x ≥的解集为A .求集合A ；（2）解关于x 的不等式()2220ax a x +--≥.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】 化简22211()44u mn vm n mn=+⨯++，再结合基本不等式，即可求解. 【详解】由题意，正数m ，n ，2m nu +=，222v m n mn =++， 则2222222222()12112()444m n u m n mn mn v m n mn m n mn m n mn+++===+⨯++++++ 2111111111444444213()11mnm m m n n n n m=+⨯=+⨯≤+⨯=+++++， 当且仅当m n n m =时，即m n =时，等号成立,所以2u v ⎛⎫ ⎪⎝⎭的最大值是为13.故选：B . 【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其满足的三个条件：“一正、二定、三相等”： （1）“一正”：就是各项必须为正数；（2）“二定”：就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”：利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.2．D解析：D 【分析】作出x ，y 满足约束条件20030x y x y m x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，表示的可行域如图中阴影部分所示，再利用数形结合分析得()max 33439z m =⨯--=，解得参数即可. 【详解】作出x ，y 满足约束条件20030x y x y m x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，表示的可行域如图中阴影部分所示，由z ＝3x -4y 得344z yx =-，它表示斜率为34纵截距为4z-的一系列直线， 当直线经过点A 时，直线的纵截距4z-最小，z 最大.由03x y m x +-=⎧⎨=⎩，解得A (3，m －3)，故()max 33439z m =⨯--=，解得3m =. 故选：D. 【点睛】方法点睛：线性规划问题一般用图解法，其步骤如下： （1）根据题意，设出变量,x y ； （2）列出线性约束条件；（3）确定线性目标函数(,)z f x y =；（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）； （5）利用线性目标函数作平行直线系()(y f x z =为参数).3．D解析：D 【分析】妙用“1”的代换，利用()121223a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭拼凑基本不等式，求和式的最小值即可. 【详解】正实数a ，b 满足231a b +=，则()12122388282343412843a b a b a b a b a b a b a b⎛⎫+=++=++≥+⋅=+=+ ⎪⎝⎭，当且仅当34b a b a =，即3133,46a b --==时等号成立，故12a b +的最小值为843+. 故选：D. 【点睛】 思路点睛：利用基本不等式求最值时，需注意取等号条件是否成立. （1）积定，利用2x y xy +≥，求和的最小值；（2）和定，利用()24x y xy +≤，求积的最大值；（3）已知和式（倒数和）或为定值时，妙用“1”拼凑基本不等式求最值.4．C解析：C 【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组得到最优解的坐标，代入目标函数得到答案. 【详解】由实数x ，y 满足24240x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩得到可行域如图：z ＝3x ﹣2y 变形为y ＝32x ﹣2z，由024y x y =⎧⎨-=⎩，解得B （2，0）当此直线经过图中B 时，在y 轴的截距最大，z 最小， 所以z 的最小值为3×2﹣2×0＝6； 故选C ．【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.5．C解析：C 【解析】0,tan 02xx π<∴，()21cos28sin sin2x x f x x++=2222cos 8sin 28tan 14tan 42sin cos 2tan tan x x x x x x x x ++===+≥=，当且仅当1tan 2x =时取等号，函数()21cos28sin sin2x x f x x ++=的最小值为4，选C.6．C解析：C 【分析】由对数函数的图象得出A 点坐标，代入直线方程得,m n 的关系，从而用凑出基本不等式形式后可求得最小值． 【详解】令31+=x ，2x =-，(2)1f -=-，∴(2,1)A --，点A 在直线40mx ny ++=上，则240m n --+=，即24m n +=， ∵0mn >，24m n +=，∴0,0m n >>，∴12112141(2)442444n m m n m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝， 当且仅当4n mm n=，即1,2m n ==时等号成立． 故选：C ． 【点睛】本题考查对数函数的性质，考查点在直线上，考查用基本不等式求最小值．是一道综合题，属于中档题．7．D解析：D 【分析】将2z x y =-+化为2y x z =+,作出可行域和目标函数基准直线2y x =(如图所示),当直线2y x z =+将左上方平移时,直线2y x z =+在y 轴上的截距z 增大,由图象,得当直线2y x z =+过点A 时,z 取得最大值,联立2010x y m x y ⎧-+=⎨+-=⎩,得2211,22m m A ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,则22112422m m -+-⨯+≤,解得33m -≤≤;故选D.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.8．A解析：A 【分析】根据题意，设,,,AD t AB c AC b ===由三角形面积公式1sin 2S a b θ=⋅⋅可表示出,,ACD ABD ABC ∆∆∆三者之间的关系，进而得边长关系为3,t bc =最后通过基本不等式求得AD 的最大值。
(必考题)高中数学高中数学选修4-5第一章《不等关系与基本不等式》测试卷(有答案解析)(3)
一、选择题1．若关于x 的不等式13x x m -++>的解集为R ，则实数m 的取值范围是 A ．(,4)(2,)-∞-⋃+∞ B ．(,4)(1,)-∞-+∞C ．(4,2)-D ．[4,1]- 2．若2a ≠-，(21)(2)m a a =-+，(2)(3)n a a =+-，则m 、n 的大小关系是（ ）A ．m n =B ．m n <C ．m n >D ．m 、n 关系不确定3．如果sin 2a =，1212b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.51log 3c =，那么( ) A ．a b c >> B ．c b a >>C ．a c b >>D ．c a b >>4．已知非零实数a ，b 满足||1a b >+，则下列不等关系不一定成立的是（ ） A ．221a b >+B ．122a b +>C ．24a b >D ．1ab b>+ 5．若实数a ＞b ，则下列结论成立的是（ ） A ．a 2＞b 2B ．11a b＜C ．ln 2a ＞ln 2bD ．ax 2＞bx 26．不等式21x x a <-+的解集是区间()3,3-的子集，则实数a 的取值范围是（ ） A ．5a ≤B ．554a -≤≤C ．574a -≤≤D ．7a ≤7．已知0a b >>，则下列不等式正确的是（ ）A b a <B ．33a bb a -<-C ．lg lg a b b a -<-D ．lg lg a b b a ->-8．已知01a <<，01c b <<<，下列不等式成立的是（ ） A ．b cb ac a>++ B ．c c a b b a+>+ C ．log log b c a a < D ．b c a a >9．设实数0,0a b c >>>，则下列不等式一定正确．．．．的是( ) A ．01ab<< B ．a b c c > C ．0ac bc -<D ．ln0ab> 10．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＝1，则“a 3＞5”是“S 3＋S 9＞93”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．若，则下列结论不正确的是A ．B ．C ．D ．12．如果a b >，那么下列不等式一定成立的是( ) A ．a b >B ．33a b >C ．11a b< D ．22a b <二、填空题13．若0x y >>，则()412x y x y +-的最小值是________.14．已知函数()21f x x x =--，若对任意的实数x 有()()()1f x t f x t R +-≤∈成立，则实数t 的取值范围是______.15．已知实数,,a b c 满足3a b c ++=,222226a b c ++=,则c 的取值范围是___________. 16．若()f x 是R 上的减函数，且()f x 的图像经过点()0,3A 和()3,1B -，则不等式()112f x +-<的解集是__________．17．若不等式|4||3|x x a +--≤对一切实数x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________18．设()f x x a x =-+，且|()|2f x ≤在[1,1]x ∈-上恒成立，则实数a 的取值范围为_________.19．定义运算x ·y ,,1,,x x y m y x y ≤⎧=-⎨>⎩若·m=|m-1|,则m 的取值范围是_____.20．设x ，y 为实数，满足238xy ≤≤，249x y≤≤，则3x y 的最小值是______.三、解答题21．已知函数2()|1|5f x mx a x =-++．（1）当0,1m a ==时，求不等式()|2|f x x -的解集；（2）当1m =时，存在0[0,2]x ∈，使()00|1|f x a x -成立，求实数a 的取值范围． 22．已知函数()211f x x x =--+. （1）解不等式()4f x ≤；（2）记函数()31y f x x =++的最小值为m ，正实数a ，b 满足a b m +=，试求1412a b +++的最小值. 23．（1）设1≥x ，1y ≥，证明：111x y xy xy x y++≤++；（2）设1a b c ≤≤≤，证明：log log log log log log a b c b c a b c a a b c ++≤++. 24．已知1m ，且关于x 的不等式21x m -≤-的解集为[]1,3. （1）求m 的值；（2）若a ，b 均为正实数，且满足a b m +=，求22a b +的最小值. 25．已知函数()|21|||2g x x x =-+++. （1）解不等式()0g x ≤；（2）若存在实数x ，使得()||g x x a ≥--，求实数a 的取值范围. 26．设x ，y 是两个正数． （1）证明：若12x y +=，则289y x+≥；（2）已知a b c >>，0a b c ++=<【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】由于13x x m -++>表示数轴上的x 对应点到1和m -的距离之和，它的最小值等于1m +，由题意可得13m +>，解得2m >，或4m <-，故实数m 的取值范围是为()(),42,-∞-⋃+∞，故选A.2．C解析：C 【分析】由条件可得22232,6m a a n a a =+-=--，两式作差即可得大小关系. 【详解】(21)(2)m a a =-+,(2)(3)n a a =+-,22232,6m a a n a a ∴=+-=--, 2244(2)m n a a a ∴-=++=+,由2a ≠-知，2(2)0m n a -=+>，m n ∴>，故选：C本题主要考查了利用作差法比较不等式的大小，属于基础题.3．D解析：D 【分析】由题意可知，3sin 2sin 4a π=>，12112b ⎛⎫==< ⎪⎝⎭，0.51log 13c =>，从而判断,,a b c 的大小关系即可.【详解】3224ππ<<∴3sinsin 2sin 42ππ<<1a << 110.523=> 0.50.511log log 132∴>=，即0.51log 13c => 121122b ⎛⎫==< ⎪⎝⎭∴b a c <<故选：D 【点睛】本题考查比较大小，是比较综合的一道题，属于中档题.4．D解析：D 【分析】||1a b >+两边平方，结合绝对值的性质，可判断选项A 成立；||11a b b >+>+，再由指数函数的单调性，可判断选项B 正确；由212||b b +≥，结合选项A ，判断选项C 正确； 令5,a =3b =，满足||1a b >+，1ab b>+不成立. 【详解】||1a b >+2222||11a b b b ⇔>++>+，A 一定成立； ||11a b b >+≥+122a b +⇒>，B 一定成立；又212||b b +≥，故24||4a b b >≥，C 一定成立； 令5,a =3b =，即可推得D 不一定成立. 故选:D.本题考查不等式与不等关系，注意绝对值性质的应用，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法，属于中档题.5．C解析：C 【解析】 【分析】特值法排除A,B,D,单调性判断C 【详解】 由题意，可知：对于A ：当a 、b 都是负数时，很明显a 2＜b 2，故选项A 不正确； 对于B ：当a 为正数，b 为负数时，则有11a b＞，故选项B 不正确； 对于C ：∵a ＞b ，∴2a ＞2b ＞0，∴ln 2a ＞ln 2b ，故选项C 正确； 对于D ：当x ＝0时，结果不成立，故选项D 不正确； 故选：C ． 【点评】本题主要考查不等式的性质应用，特殊值技巧的应用，指数函数、对数函数值大小的比较．本题属中档题．6．A解析：A 【分析】原不等式等价于210x x a ---<，设()21f x x x a =---，则由题意得()()350370f a f a ⎧-=-≥⎪⎨=-≥⎪⎩，解之即可求得实数a 的取值范围. 【详解】不等式等价于210x x a ---<，设()21f x x x a =---，因为不等式21x x a <-+的解集是区间()3,3-的子集，所以()()350370f a f a ⎧-=-≥⎪⎨=-≥⎪⎩，解之得5a ≤.故选：A. 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法、二次函数的性质，体现化归与等价转化思想，属中等难度题.7．C解析：C 【分析】考虑到,C D 中不等号方向，先研究C ，D 中是否有一个正确。
(北师大版)大连市高中数学选修4-5第二章《重要的不等式》测试题(包含答案解析)
一、选择题1．已知a ，b R ∈，224a b +=，求32a b +的取值范围为（ ）A ．324a b +≤B ．21332213a b -≤+≤C ．324a b +≥D ．不确定2．若a ，b ，c 均为正数，且6a b c ++=，则ab bc ac c a b++的最小值为（ ） A ．12B ．6C ．5D ．33．已知,,x y z ∈R ，若234x y z -+=，则222(5)(1)(3)x y z ++-++的最小值为( ) A ．37200B ．2007C ．36D ．404．m 个互不相同的正偶数与n 个互不相同的正奇数的和为117,对所有这样的m 与n,3m+2n 的最大值是( ) A ．35 B ．37 C ．38D ．415．已知x+3y+5z=6,则x 2+y 2+z 2的最小值为( ) A ．65B ．6 35C ．36 35D ．66．下列不等式成立的有①a b a b -≤-，②33a b c abc ++≥，③22222()()()a b c d ac bd ++≤+ A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个7．已知22111a b b a -+-=，则以下式子成立的是 A ．221a b +> B ．221a b += C ．221a b +<D ．221a b =8．若a ，b R +∈，且1a b +=，则2214a b +++的最小值为 A ．22+B ．22C ．3D ．109．设a 、b 、c 、x 、y 、z 是正数，且22210a b c ＋＋＝，22240x y z ＋＋＝，20ax by cz ＋＋＝，则＝( )A ．B ．C ．D ．10．用数学归纳法证明：11112321nn ++++<-，(*,1)n n ∈>N 时，在第二步证明从n k =到1n k =+成立时，左边增加的项数是（ ）． A ．2kB ．21k -C ．12k -D ．21k +11．已知,,(0,1)a b c ∈，且1ab bc ac ++=，则111111a b c++---的最小值为（ ） ABCD12．已知函数1212)(+=x x －x f ，则不等式12log (1)(2)f x f x ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭＞0的解集为（ ） A ．（2，3） B ．（1，3） C ．（0，2） D ．（1，2）二、填空题13．已知实数,x y 满足()22241,x y y -+=则2x y +的最大值为________. 14．若21x y +=，则222x y z ++的最小值为__________15．已知,,a b c ∈R 且222234a b c ++=，则23a b c ++的最大值为________．16．已知实数,,,x y a b 满足：221a b +≤，2224x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则ax by +的最大值为__________ ．17．设实数x ，y ，m ，n 满足221x y +=，223m n +=，那么mx ny +的最大值是__________．18．已知向量,a b 的夹角为锐角，且满足815a =、415b =，若对任意的{}(,)(,)|1,0x y x y xa yb xy ∈+=，都有||1x y +≤成立，则a b⋅的最小值为_______.19．函数y =__________． 20．设,x y R ∈,则222211()(4)x y y x++的最小值为________． 三、解答题21．已知0,2x y >>=，证明：（1）222x y+≥； （21+． 22．已知a ，b ，c 为正数，且1a b c ++=，求222111a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的最小值. 23．若实数a ，b ，c 满足7a b c ++=，求证：2224936a b c ++ 24．已知是a ，b ，c 正实数，且21a b c ++=.()1求111a b c ++的最小值；()2求证：22216a b c ++≥. 25．已知函数()|23||23|.f x x x =-++ （1）解不等式()8f x ≤；（2）设x ∈R 时，()f x 的最小值为M .若实数,,a b c 满足2a b c M ++=，求222a b c ++的最小值.26．已知实数a 、b 、c 满足0a >，0b >，0c >，2223a b cb c a++=，求证：3a b c ++≤．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】首先分析题目已知224a b +=，求32a b +的取值范围．考虑到应用柯西不等式，首先构造出柯西不等式求出2(32)a b +的最大值，开平方根即可得到答案． 【详解】解：由柯西不等式得()()()22222323252a b a b++=≤+，当且仅当23a b =时取等号.则32a b -≤+≤故选：B. 【点睛】此题主要考查柯西不等式的应用问题，对于柯西不等式的二维形式22222()()()ac bd a b c d +++应用广泛需要同学们理解记忆，题目涵盖知识点少，计算量小，属于基础题．2．B解析：B 【分析】不妨设a b c <<，可得ab ac bc <<，111c b a<<，利用排序不等式即可得解. 【详解】不妨设0a b c <<<，则ab ac bc <<，111c b a<<， 由排序不等式得6ab ac bc ab ac bc a c b c b a b a c++≥++=++=． 故选：B 【点睛】本题考查不等式的性质、排序不等式，属于基础题.3．B解析：B 【分析】根据柯西不等式得到不等式关系，进而求解. 【详解】根据柯西不等式得到()()()()()()2222221(2)352135313x y z x y z ⎡⎤+-+≥++-+++--++⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()2222511423164030x y z x y z ⎡⎤++-++≥-++=⎣⎦进而得到最小值是：2007故答案为B. 【点睛】这个题目考查了柯西不等式的应用，比较基础.4．B解析：B 【解析】 【分析】由题意结合数列求和的问题将原问题转化为柯西不等式的问题，然后利用柯西不等式求解最值即可，注意等号成立的条件. 【详解】由题意可得：()()135212462117n m ⎡⎤++++-+++++≤⎣⎦，结合等差数列前n 项和公式有：22117n m m ++≤，配方可得：22146924n m ⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭，结合柯西不等式有：()2222213232322n m n m ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++≥++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，即：23469231324n m ⎛⎫++≤⨯ ⎪⎝⎭，据此可得：32337.541642n m +≤≈， 由于23n m +为整数，故2337n m +≤，事实上，1+2+3+4+5+6+7+8+10+11+12+14+16+18=117 此时5个奇数,9个偶数,得到5×2+9×3=37,故3m +2n 的最大值是37. 本题选择B 选项. 【点睛】柯西不等式有代数形式和向量形式两种不同的形式.从解决问题的角度看，受思维特点和知识熟悉程度影响，不同的人会喜欢不同的处理方式.从柯西不等式的地位与作用看，由于柯西不等式是经典不等式，向量形式只是其中一种，利用代数形式研究一些相对复杂的问题更让人们所习惯.同时需要注意综合各个部分知识的应用和等号成立的条件.5．C解析：C 【解析】 【分析】由题意结合柯西不等式的结论求解x 2+y 2+z 2的最小值即可. 【详解】 由柯西不等式,得： x 2+y 2+z 2=(12+32+52)(x 2+y 2+z 22221)135++≥(1×x+3×y+5×z )2135⨯=26136.3535⨯= 当且仅当x 6186,,35357y z ===时等号成立. 即x 2+y 2+z 2的最小值为3635. 本题选择C 选项. 【点睛】根据题目特征，想到利用向量方法或利用柯西不等式想法比较自然.利用柯西不等式代数形式及其向量形式解题的方法是一致的.选择哪种方法进行解题，可能会因解题者的知识解构、思维特征及对问题与方法的熟悉程度做出选择.6．B解析：B 【分析】对不等式逐一分析即可. 【详解】对①，两边同时平方可得222222a a b b a ab b -+≤-+，化简可得a b ab ≥，显然成立，所以①正确；对②，三个正数的算术-几何平均不等式：如果,,a b c R +∈，那么a b c ++≥且仅当a b c ==时，等号成立，前提必须是三个正数，故②错误； 对③，由柯西不等式的最简形式可知：()()()22222a b cd ac bd ++≥+，故③错误.故选：B. 【点睛】本题考查不等式的相关知识，考查了绝对值三角不等式、三个正数的算术-几何平均不等式、柯西不等式，属于基础题.7．B解析：B 【解析】由柯西不等式可得(()()222221111a a b b ⎡⎤⎡⎤=≤+--+=⎣⎦⎣⎦，=时，上式取等号，所以ab =()()222211a b a b =--，故221a b +=．故选B ．8．D解析：D 【解析】因为a ，b R +∈，且1a b +=，所以2212a b ab +=-，又()2225626222a b ab ab ab =+++-+-++10=≥12a b =时，等号成立，故．故选D ． 9．C解析：C 【解析】由柯西不等式得()2222222111111444222a b c x y z ax by cz ⎛⎫⎛⎫++≥++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＋＋, 当且仅当111222a b cx y z ==时等号成立∵22210a b c ＋＋＝，22240x y z ＋＋＝，20ax by cz ＋＋＝∴()2222222111111444222a b c x y z ax by cz ⎛⎫⎛⎫++≥++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＋＋中等号成立，∴一定有：111222a b cx y z ==，∴12a b c x y z === 则12a b c x y z ++=++故选C10．A解析：A 【解析】从n k =到1n k =+成立时，左边增加的项为1111,,,22121k k k ++- ，因此增加的项数是21012k k --+= ，选A.11．D解析：D 【解析】21110,,1,()3()33,()111a b c a b c ab bc ca a b c a b c<<∴++≥++=∴++≥++---(1a -+11)b c -+-2111111[(1)(1)(1)]9,111111a b c a b c a b c-+-+-=∴++≥------9(111)a b c -+-+-92+≥=D.，故选 【点睛】本题考查柯西不等式，涉及转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于中档题.本题想用基本不等式公式求得a b c ++≥利用柯西不等式公式求得111()(111)111a b c a b c++-+-+----9,≥从而求得1119111(111)a b c a b c ++≥≥=----+-+- 12．D解析：D 【解析】试题分析：由已知2112()()2112x xxxf x f x -----===-++，所以()f x 是奇函数，又2()121xf x =-+，2x y =是增函数，因此()f x 也是增函数，不等式12log (1)(2)0f x f x ⎛⎫-+-> ⎪⎝⎭可变为12(log (1)(2)(2)f x f x f x ->--=-，而()f x 为增函数，所以12log (1)2x x ->-，在(1,)+∞上，函数12log (1)y x =-是减函数，函数2y x =-是增函数，且2x =时两者相等，因此不等式12log (1)2x x ->-的解为12x <<．故选D ．考点：函数的奇偶性、单调性，解函数不等式．【名师点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性．解函数不等式，即使有函数解析式已知的情况下，也不一定要把函数式代入（而且一般不能代入），而是要利用奇偶性化为()()f a f b <的形式，再由单调性化为()a b a b <>或形式，最终不等式12log (1)2x x ->-是不可用代数法来解的，必须借助函数图象，利用函数的性质解题．二、填空题13．【分析】直接利用柯西不等式得到答案【详解】根据柯西不等式：故当即时等号成立故答案为：【点睛】本题考查了柯西不等式求最值也可以利用均值不等式三角换元求得答案【分析】直接利用柯西不等式得到答案. 【详解】根据柯西不等式：()()222222412x y y x y y -+-+=≥，故2x y +≤当22x y y -=，即x =y =时等号成立.【点睛】本题考查了柯西不等式求最值，也可以利用均值不等式，三角换元求得答案.14．【分析】本题可根据柯西不等式得出然后通过化简即可得出结果【详解】根据柯西不等式可得因为所以当且仅当时取等号故答案为:【点睛】本题考查柯西不等式柯西不等式公式考查计算能力是简单题解析：18【分析】本题可根据柯西不等式得出222222212323x y z x y z ，然后通过化简即可得出结果. 【详解】根据柯西不等式可得222222212323xyzx yz ，因为21x y +=，所以22218x y z ，当且仅当23y zx 时取等号， 故答案为:18. 【点睛】本题考查柯西不等式，柯西不等式公式()()()2222222123123112233aa ab b b a b a b a b ++++≥++，考查计算能力，是简单题.15．【解析】分析：利用柯西不等式即可求解详解：由题意又由柯西不等式可得所以即的最大值为点睛：本题主要考查了利用柯西不等式求最值问题其中根据题意合理构造柯西不等式求解是解答的关键着重考查了分析问题和解答问 解析：【解析】分析：利用柯西不等式即可求解． 详解：由题意222234a b c ++=， 又由柯西不等式可得22222222(23)(11213)(1)(23)24a b c a b c a b c ++=⨯+⨯+⨯≤++++=，所以23a b c ++≤23a b c ++的最大值为点睛：本题主要考查了利用柯西不等式求最值问题，其中根据题意合理构造柯西不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．16．【解析】分析：根据线性规划先求出的范围再根据柯西不等式求解详解：画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示表示可行域内的点到原点的距离结合图形可得点A 到原点的距离最大由解得故∴由柯西不等式得当且仅当时【解析】的范围，再根据柯西不等式求解． 详解：画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．22x y +A 到原点的距离最大，由224x x y =⎧⎨+=⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩，故()2,1A ，∴225x y +≤由柯西不等式得2222225ax by a b x y x y +≤+++≤x ya b=时等号成立．∴ax by +5点睛：在应用柯西不等式求最大值时，要注意等号成立的条件，柯西不等式在排列上规律明显，具有简洁、对称的美感，运用柯西不等式求解时，可按照“一看、二构造、三判断、四运用”的步骤求解．17．【解析】分析：直接利用柯西不等式求解即可详解：的最大值是故答案为点睛：本题主要考查了柯西不等式的应用属于中档题利用柯西不等式求最值时关键是对原目标函数进行配凑以保证出现常数结果同时要注意等号成立的条3 【解析】分析：直接利用柯西不等式求解即可. 详解：()()()222223mx xy x y m n +≤++=,3mx ny ∴+mx ny ∴+33点睛：本题主要考查了柯西不等式的应用，属于中档题.利用柯西不等式求最值时， 关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果.同时，要注意等号成立的条件, 配凑过程采取如下方法：一是考虑题设条件；二是对原目标函数进行配凑后利用柯西不等式解答18．【解析】分析：设单位向量的夹角为锐角由得由得出令得出求不等式的解集可得结果详解：设向量的夹角为锐角由得∴即；又由柯西不等式得；令则化简得解得所以即的最小值为故答案为点睛：本题考查了平面向量数量积与不 解析：815分析：设单位向量,b a 的夹角为锐角θ，由|1,0xa yb xy +=，得()()22152cos sin 16x y y θθ++=，由1x y +≤得出()()()222212cos [2cos sin ][]142sin x y y x y θθθθ-⎛⎫+++≥+= ⎪⎝⎭，令t cos θ=，得出()()222116+41541t t -≥-，求不等式的解集可得结果. 详解：设向量,a b 的夹角为锐角θ，由1xa yb +=，0xy >，得22641664cos 1151515x y xy θ++=，∴()222221644cos cos sin 115x xy y y θθθ+++=， 即()()22152cos sin 16x y y θθ++=；又1x y +≤，由柯西不等式得()()()222212cos [2cos sin ][]142sin x y y x y θθθθ-⎛⎫+++≥+= ⎪⎝⎭ ； 令cos t θ=，则()()222116+41541t t -≥-，化简得26460110t t -+≤， 解得111 416t ≤≤，所以328 cos 1515a b θ⋅=≥，即a b ⋅的最小值为815，故答案为815． 点睛：本题考查了平面向量数量积与不等式的解法与应用问题，此题最大的难点在于构造柯西不等式，具有一定难度.19．10【解析】由柯西不等式可得当且仅当时等号成立解析：10【解析】 由柯西不等式可得=()()21525102x x -+-≤⨯=，当且仅当321522x x x -=-⇒=时，等号成立. 20．9【详解】由柯西不等式可知解析：9【详解】由柯西不等式可知2222211()(4)(12)9x y y x++≥+=． 三、解答题21．（1）证明见解析；（2）证明见解析.（1）利用不等式(2x x y ++ （2）利用柯西不等式证明.【详解】（1）222()2x y x y ++， 而(22x x y ++=， 故222x y +，当且仅当1xy ==不等式取等号；（2）由柯西不等式可得211)(4xy ⎛⎫+++=，114=1+，当且仅当1x y ==不等式取等号． 【点睛】 方法点睛：证明不等式常用的方法有：（1）比较法；（2）综合法；（3）分析法；（4）放缩法；（5）数学归纳法；（6）反证法 . 要根据已知条件选择合适的方法证明. 22．1003【分析】根据柯西不等式，先得到()22222221111111111a b c a b c a b c ⎡⎤⎛⎫++≥+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++ ⎪ ⎪ ⎭⎝⎭⎝⎭⎦⎪⎝，再由柯西不等式，得到()1119a b c a b c ⎛⎫++++≥ ⎪⎝⎭，进而可求出最值. 【详解】 因为a ，b ，c 为正数，且1a b c ++=，由柯西不等式可得，()222222111111a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++⎡⎤++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 221111111a b c a b c a b c ⎛⎫⎛⎫≥+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝++++⎭++， 当且仅当111b b a ca c +=+=+，即abc ==时，等号成立； 再由柯西不等式可得，()21119a b c a b c ⎛⎫++++≥= ⎪⎝⎭，==，即a b c ==时，等号成立； 综上，()()222222************a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎡⎤++≥+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 即2221110031a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥⎝⎭， 当且仅当13a b c ===时，取得最小值1003. 【点睛】本题主要考查根据柯西不等式求最值，熟记柯西不等式即可，属于常考题型. 23．证明见解析【分析】 运用柯西不等式可得222222211[1()()](49)()23a b c a b c ++++++，结合条件即可得证． 【详解】 由柯西不等式可得222222221111[1()()](49)(23)()2323a b c a b c a b c ++++++=++， 所以2222()4911149a b c a b c ++++++， 由7a b c ++=，可得2224936a b c ++（当且仅当36497a b c ===时，取得等号）． 【点睛】本题考查不等式的证明，考查柯西不等式的运用，考查运算能力和推理能力，属于中档题． 24．()16+()2证明见解析.【分析】()1根据a ，b ，c 是正实数，且21a b c ++=，可得()1111112a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭，然后利用基本不等式求出111a b c ++的最小值即可；()2由柯西不等式可得()()()22222221122a b c a b c ++++≥++，再结合21a b c ++=，即可证明22216a b c ++≥成立.解：()121a b c ++=，∴()11111122b a c a b c a b c a b c a b a ⎛⎫++=++++=+++ ⎪⎝⎭246a c b c b c+++≥+当且仅当a b ==时，等号成立.又由21a b c ++=，∴22a b ==，12c =时，等号成立， 即111a b c++的最小值为6+ ()2由柯西不等式可得()()()222222211221a b c a b c ++++≥++= 即2221 6a b c ++≥当且仅当112a b c==时，等号成立. 又由21a b c ++=， ∴13c =，16a b ==时，等号成立. ∴22216a b c ++≥成立. 【点睛】 本题考查利用综合法证明不等式，基本不等式和柯西不等式的运用，考查转化思想，属于中档题.25．（1）{|22}x x -≤；（2）6【分析】（1）利用零点分段讨论求解不等式；（2）利用绝对值三角不等式求得6M =，利用柯西不等式求解最值.【详解】（1）322x x ⎧≤-⎪⎨⎪≥-⎩或332268x ⎧-<<⎪⎨⎪-≤⎩或322x x ⎧⎪⎨⎪≤⎩∴{|22}x x -≤，（2）∵()()()|2323|66x x x f M --+=∴=()()()2222222112236,a b c a b c ++++++=当且仅当22a b c ==时“=”成立，所以2226,a b c ++所以最小值为6.此题考查解绝对值不等式，利用零点分段讨论求解，利用绝对值三角不等式求解最值，结合柯西不等式求最值，需要注意考虑等号成立的条件.26．见解析【分析】利用柯西不等式证明出()()2222a b c b c a a b c b c a ⎛⎫++++≥++ ⎪⎝⎭，由此可证明出3a b c ++≤.【详解】由柯西不等式，得()()2223a b c a b c b c a b c a ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭222222⎡⎤⎡⎤=++⋅++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦()22a b c ≥=++， 所以3a b c ++≤．【点睛】本题考查利用柯西不等式证明不等式，解答的关键在于对代数式进行合理配凑，考查推理能力，属于中等题.。
中考数学专题复习《方程与不等式》测试卷-附带答案
中考数学专题复习《方程与不等式》测试卷-附带答案学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________一 单选题1．下列等式变形错误的是（ ）A ．若 33x y -=- 则 0x y -=B ．若112x x -= 则 12x x -= C ．若 13x -= 则 4x =D ．若 342x x += 则 324x x -=-2．用配方法解一元二次方程2870x x +-= 则方程可化为（ ）A ．2(4)23x +=B ．2(8)23x +=C ．2(4)9x +=D ．2(8)9x +=3．在解方程3157246x x -+-= 时 第一步去分母 去分母后结果正确的是（ ） A ．12(31)12212(57)x x --⨯=+ B ．3(31)1222(57)x x --⨯=+ C ．3(31)322(57)x x --⨯=+D ．3(31)22(57)x x --⨯=+4．下列方程为一元一次方程的是（ ）A ．+2=3 x yB ．5y =C ．22x x =D ．12y y+= 5．《九章算术》中记载：“今有善田一亩 价三百 恶田七亩 价五百．今并买一顷 价钱一万．问善恶田各几何？”其大意是：今有好田1亩 价值300钱 坏田7亩 价值500钱．今共买好 坏田1顷（1顷=100亩） 价钱10000钱．问好 坏田各买了多少亩？设好田买了x 亩 坏田买了y 亩 则下面所列方程组正确的是（ ） A ．{x +y =100300x +7500y =10000 B ．{x +y =100300x +5007y =10000 C ．{x +y =1007500x +300y =10000D ．{x +y =1005007x +300y =100006．已知方程组35ax by ax by +=-⎧⎨-=⎩的解是12x y =-⎧⎨=⎩则2a b -的值是（ ） A ．3B ．－3C ．5D ．－57．如图 由矩形和三角形组合而成的广告牌紧贴在墙面上 重叠部分（阴影）的面积是4m 2 广告牌所占的面积是 30m 2（厚度忽略不计） 除重叠部分外 矩形剩余部分的面积比三角形剩余部分的面积多2m 2 设矩形面积是xm 2 三角形面积是ym 2 则根据题意 可列出二元一次方程组为（ ）A ．{x +y −4=30(x −4)−(y −4)=2B ．{x +y =26(x −4)−(y −4)=2C ．{x +y −4=30(y −4)−(x −4)=2D ．{x −y +4=30x −y =28．为了奖励学习认真的同学 班主任老师给班长拿了40元钱 让其购买奖品 现有单价为4元的A 种学习用品和单价为6元的B 种学习用品可供选择 若40元钱恰好花完 则班长的购买方案有（ ） A ．1种B ．2种C ．3种D ．4种9．若x y < 则下列不等式中不成立的是（ ）A ．22x y -<-B ．22x y -<-C ．22x y ->- D ．22x y ->-10．已知公式12111R R R =+ （ 12R R ≠ ） 则表示 1R 的公式是（ ） A ．212R RR RR -=B ．212RR R R R =-C ．1212()R R R R R +=D ．212RR R R R=-二 填空题11．已知2x =是方程230x x m -+=的解 则m 的值为 ． 12． 已知a ＝120222023+ b ＝120232023+ c ＝120242023+ 则代数式 2（a 2＋b 2＋c 2-ab-bc-ac ）的值是 ．13．若一元二次方程 22(1)310k x x k -++-= 有一个根为 0x = 则k= ．14．今年春节某超市组装了甲 乙两种礼品盆 他们都是由 ,,a b c 三种零食组成 其中甲礼品盒装有3千克 a 零食 1千克 b 零食 1千克 c 零食 乙礼品盒装有2千克 a 零食 2千克 b 零食 2千克 c 零食 甲 乙两种礼品盒的成本均为盆中 ,,a b c 三种零食的成本之和.已知每千克 a 的成本为10元 乙种礼品盒的售价为60元 每盒利润率为25%甲种每盒的利润率为50%当甲 乙两种礼盒的销售利润率为13时 该商场销售甲 乙两种礼盒的数量之比是 . 三 解答题15．计算：（1）解方程组：{y =2x −5 ①7x −3y =20 ② （2）解不等式：32523x x --> （3）解不等式组：523923x x ->⎧⎨-<⎩（4）解不等式组：{5x −12≤2(4x −3)x+42<3−6x−1616．解方程：241x - + 21x + ＝ 1xx - 17．小红和小凤两人在解关于x y 的方程组 {ax +3y =5 ，bx +2y =8 .时 小红只因看错了系数a 得到方程组的解为 {x =−1 ，y =2 . 小凤只因看错了系数b 得到方程组的解为 {x =1 ，y =4 .求a b 的值和原方程组的解.18．阅读理解下列材料然后回答问题：解方程:x²-3|x|+2=0解：（1）当x≥0时 原方程化为x²-3x+2=0 解得： 1x =2 2x =1 （ 2 ）当x ＜0时 原方程化为x²+3x+2=0 解得： 1x =1 2x =-2. ∴原方程的根是 1x =2 2x =1 3x =1 4x =-2. 请观察上述方程的求解过程 试解方程x²-2|x-1|-1=0.19．如图 在矩形ABCD 中剪去正方形ABFE 后 剩下的矩形EFCD 与原矩形ABCD 相似．求矩形ABCD 的宽和长的比．20．为了丰富市民的文化生活 我市某景点开放夜游项目．为吸引游客组团来此夜游 特推出了如下门票收费标准：标准一：如果人数不超过20人 门票价格为60元/人标准二：如果人数超过20人 每超过1人 门票价格降低2元 但门票价格不低于50元/人．（1）当夜游人数为15人时 人均门票价格为 元 当夜游人数为25人时 人均门票价格为 元（2）若某单位支付门票费用共1232元 则该单位这次共有多少名员工去此景点夜游？21．已知 422(2)50a a b y y+--+= 是关于y 的一元一次方程.（1）求 ,a b 的值. （2）若 2a x =-是 2211632x x x m--+-+= 的解 求 b m a m +-- 的值.22．新冠疫情以来 口罩成为了生活和工作的必需品.某口罩生产企业主要生产过滤式和供气式两种口罩.有过滤式口罩机和供气式口罩机各 10 台 统计发现 去年每台过滤式口罩机的产量比每台供气式口罩机多 60 万个 过滤式口罩的出厂价为 0.2 元/个 供气式口罩的出厂价为 4 元/个 两种口罩全部售出 总销售额为 10200 万元.（1）去年每台供气式口罩机的产量为多少万个？（2）今年 为了加大口罩供应量 该企业优化了生产方法 在保持口罩机数量不变的情况下 预计每台过滤式口罩机和供气式口罩机的产量将在去年基础上分别增加 2%a 和 %a .由于过滤式口罩更受市场欢迎 出厂价将在去年的基础上上涨 %a 而供气式口罩的出厂价保持不变 两种口罩全部售出后总销售额将增加20%17a 求 a 的值. 23．定义一种新运算“a ⊗ b”：当a≥b 时 a ⊗ b=a+2b 当a ＜b 时 a ⊗ b=a-2b.例如：3 ⊗ (-4)=3(8)(5)+-=- ()61262430-⊗=--=- .（1）填空：（-3） ⊗ （-2）=（2）若 (34)(5)(34)2(5)x x x x -⊗+=-++ 则x 的取值范围为 （3）已知 (57)(2)1x x -⊗-> 求x 的取值范围（4）利用以上新运算化简： ()()2235102m m m m ++⊗- .答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】A.若 33x y -=- 则 0x y -= 正确B.若112x x -= 两边同乘以2 则 22x x -= 故错误 C.若 13x -= 则 4x = 正确 D.若 342x x += 则 324x x -=- 正确 故答案为：B.【分析】等式的基本性质：（1）等式两边同加（或减）同一个数（或式子） 结果仍相等 （2）在不等式两边同乘一个数 或除以一个不为0的数 结果仍相等。
(常考题)北师大版高中数学必修五第三章《不等式》测试(含答案解析)(3)
一、选择题1．设0,0a b >>，若4a b +=.则49a b+的最小值为（ ） A ．254B ．252 C ．85D ．1252．若实数x ，y 满足约束条件220103x y x y x y +-≥⎧⎪--≥⎨⎪+≤⎩，则()222x y +-的最小值为（ ）A ．12B ．45C ．92D ．4193．已知正数x ，y 满足1431x y +=+，则x y +的最小值为（ ） A ．53B ．2C ．73D ．64．已知()()22log 1log 24a b -++=，则+a b 的最小值为（ ） A ．8B ．7C ．6D ．35．设实数x ，y 满足约束条件21,22,x y x y -≤⎧⎨-≥⎩则x y +的最小值是（ ）A ．2B ．-2C ．1D ．-16．已知0x >，0y >，21x y +=，若不等式2212m m x y+>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．4m ≥或2m ≤- B ．2m ≥或4m ≤- C ．24m -<< D ．42m -<<7．若正数a ，b 满足111a b +=，则41611a b +--的最小值为（ ） A ．16 B ．25C ．36D ．498．不等式112x x ->+的解集是（ ）． A ．{}|2x x <-B ．{}|21x x -<<C ．{}|1x x <D ．{}|x x ∈R9．已知点（x ，y ）在直线x +2y =4上移动，则24x y +的最小值是（ ） A．B．C ．6D ．810．已知,20a b c a b c >>++=，则ca的取值范围是（ ） A ．31ca-<<- B ．113c a -<<- C ．21ca-<<- D ．112c a -<<-11．已知函数()3x f x -=，对任意的1x ，2x ，且12x x <，则下列四个结论中，不一定正确的是（ ）A ．()()()1212f x x f x f x +=⋅B ．()()()1212f x x f x f x ⋅=+C ．()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦D ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭12．已知4213332,3,25a b c ===，则 A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a <<D ．c a b <<二、填空题13．已知2xy x =+，则42x y+的最小值为_________14．已知实数x y ，，正实数a b ，满足2x y a b ==，且213x y+=-，则2a b +的最小值为__________．15．已知变量x ，y 满足430401x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则点(),x y 对应的区域的222x y xy +的最大值为______．16．已知实数x ，y 满足x y 10x y 20x 0-+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则z x 2y =-的最大值为______．17．若不等式20++≥x mx m 在[1,2]x ∈上恒成立，则实数m 的最小值为________ 18．某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3000元、2000元．甲、乙产品都需要在A ，B 两种设备上加工，在每台A ，B 设备上加工1件甲产品所需工时分别为1h 、2h ，加工1件乙产品所需工时分别为2h 、1h ，A ，B 两种设备每月有效使用时数分别为400h 和500h ．若合理安排生产可使收入最大为______元．19．已知0m >，0n >，且111223m n +=++，则2m n +的最小值为________. 20．已知函数()21f x x x =-+，若在区间[]1,1-上，不等式()2f x x m >+恒成立，则实数m 的取值范围是___________.三、解答题21．若不等式2122x x mx -+>的解集为{}|02x x <<. （1）求m 的值；（2）已知正实数a ，b 满足4a b mab +=，求+a b 的最小值. 22．二次函数f(x)满足f(x ＋1)－f(x)＝2x ，且f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式； (2)解不等式f(x)＞2x ＋5.23．已知函数f （x ）＝ax 2﹣（4a +1）x +4（a ∈R ）.（1）若关于x 的不等式f （x ）≥b 的解集为{x |1≤x ≤2}，求实数a ，b 的值； （2）解关于x 的不等式f （x ）＞0.24．某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可近似地表示为21200800002y x x =-+，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？25．若实数0x >，0y >，且满足8x y xy +=-. （1）求xy 的最大值； （2）求x y +的最小值26．如果x ，y R ∈，比较()222+x y 与()2xy x y +的大小．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】用“1”的代换凑配出定值后用基本不等式可得最小值． 【详解】0,0,4a b a b >>+=()(4914914912513134444b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫∴+=++=++≥⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当且仅当49b aa b =，即812,55a b ==时取等号. 故选：A ． 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方2．C解析：C 【分析】作出可行域，利用()222x y +-的几何意义：表示可行域内点(,)x y 与定点(0,2)的距离的平方．可求得最小值． 【详解】作出可行域，如图ABC 内部（含边界），()222x y +-表示可行域内点(,)P x y 与定点(0,2)M 的距离的平方，由图可知min0213222PM--==，（点M 到直线BC 的距离） ∴()222x y +-的最小值是232922⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭． 故选：C ．【点睛】思路点睛：本题考查求简单的线性规划的非线性目标函数的最值．作出可行域是解题的基础．对非线性目标函数，常常利用其几何意义求解，主要有两种类型：（1）22()()x a y b -+-，两点间的距离公式；（2）y bx a--：两点连线斜率， 3．B解析：B 【分析】化简114[(1)]()131x y x y x y +=++⨯+-+，再利用基本不等式求解. 【详解】由题得1114(1)1[(1)]31[(1)]()1331x y x y x y x y x y +=++-=++⨯-=++⨯+-+ 1141(5)1(5)123131y x x y y +=++-≥+-=++ 当且仅当1x y ==时取等. 所以x y +的最小值为2. 故选：B 【点睛】方法点睛：利用基本不等式求最值时，常用到常量代换，即把所求代数式中的某一常量换成已知中的代数式，再利用基本不等式求解.4．B解析：B 【分析】由对数运算可得出()()1216a b -+=，利用基本不等式可求得+a b 的最小值. 【详解】因为()()22log 1log 24a b -++=，即()()2log 124a b -+=⎡⎤⎣⎦， 所以，()()1216a b -+=且有10a ->，20b +>，由基本不等式可得()()128a b -++≥=，所以，7a b +≥，所以(1)(2)16a b -+=，且10a ->，20b +>， 当且仅当124a b -=+=时等号成立. 因此，+a b 的最小值为7. 故选：B. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.5．C解析：C 【分析】先作出约束条件对应的可行域，然后分析目标函数的几何意义，结合图形即可求解. 【详解】 作出约束条件2122x y x y -≤⎧⎨-≥⎩所表示的平面区域如图所示：移动直线x y z +=，可知当其过点A 时取得最小值，解方程组2122x y x y -≤⎧⎨-≥⎩，求得1x y =⎧⎨=⎩，即(1,0)A ，代入求得101=+=z ，所以x y +的最小值是1， 故选：C. 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，解题方法如下： （1）根据题中所给的约束条件画出可行域； （2）根据目标函数的意义找到最优解； （3）解方程组求得最优解的坐标； （4）代入求得最小值，得到结果.6．D解析：D 【分析】先根据已知结合基本不等式得218x y+≥，再解不等式228m m +<即可得答案.【详解】解：由于0x >，0y >，21x y +=， 所以()21214424428y x y x x y x y x y x y x y⎛⎫+=++=++≥+⋅= ⎪⎝⎭， 当且仅当4y x x y =，即122x y ==时等号成立， 由于不等式2212m m x y+>+成立， 故228m m +<，解得：42m -<<. 故实数m 的取值范围是：42m -<<. 故选：D. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，一元二次不等式的解法，考查运算能力，是中档题.7．A解析：A 【分析】由111a b +=得：(1,1)1a b a b a =>>-，代入41611a b +--化简，利用基本不等式可求函数最小值. 【详解】由111a b +=得：(1,1)1a b a b a =>>-，代入41611a b +--得到：416416416(1)16111111a a ab a a a +=+=+-≥=------ 当且仅当：4=16(1)1a a --即32a =时取等号.故选：A 【点睛】本题考查了均值不等式在求最值问题中的应用，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.8．A解析：A 【解析】分析：首先对原式进行移项、通分得到302x ->+，之后根据不等式的性质可得20x +<，从而求得不等式的解集.详解：将原不等式化为1202x x x --->+，即302x ->+， 即302x <+，则有20x +<，解得2x <-， 所以不等式102x x ->+的解集为{}|2x x <-，故选A. 点睛：该题是一道关于求不等式解集的题目，解答该题的关键是熟练掌握分式不等式的解法，属于简单题目.9．D解析：D 【分析】运用基本不等式2422x y +≥=【详解】因为20,40x y >>，所以224228x y x y ++≥===，（当且仅当24x y =时取“=”）． 故答案为D. 【点睛】利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件： ①各项都是正数； ②和（或积）为定值； ③等号取得的条件．10．A解析：A 【分析】先将20a b c ++=变形为2b a c =--，再代入不等式a b >，b c >，解这两个不等式，即可得a 与c 的比值关系，联立可求ca的取值范围 【详解】解：因为,20a b c a b c >>++=， 所以0,0a c ><，2b a c =--， 因为a b c >>，所以2a c a --<，即3a c >-，解得3ca>-， 将2b a c =--代入b c >中，得2a c c -->， 即a c <-，得1ca<-， 所以31ca-<<-， 故选：A 【点睛】此题考查一元一次不等式的应用，考查不等式性质的应用，考查转化思想，属于中档题11．B解析：B 【分析】将函数()3xf x -=代入选项，由指数幂的运算性质可判断A 、B ；由函数的单调性可判断C ；由基本不等式可判断D ；即可得解. 【详解】对于A ，1212)(1212()333()()x x x x f x x f x f x -+--=⋅=⋅+=，故A 一定正确；对于B ，()12123x x f x x -=⋅，1212()()33x x f x f x --++=，()()()1212f x x f x f x ⋅=+不一定成立，故B 不一定正确；对于C ，因为()3xf x -=为减函数，故满足1212()[()()]0x x f x f x --<，故C 一定正确；对于D ，因为12x x <，所以1212()()2233x x f x f x --++=>=1212232x x x x f +-+⎛⎫= ⎪⎝⎭=，故D 一定正确. 故选：B. 【点睛】本题考查了指数函数性质及基本不等式的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.12．A解析：A 【详解】因为422233332=4,3,5a b c ===，且幂函数23y x =在(0,)+∞ 上单调递增，所以b <a <c . 故选A.点睛：本题主要考查幂函数的单调性及比较大小问题，解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用；三是借助于中间变量比较大小.二、填空题13．【分析】依题意可得再利用基本不等式计算可得；【详解】解：因为所以所以所以所以所以所以所以当且仅当即时取等号；故答案为：【点睛】在应用基本不等式求最值时要把握不等式成立的三个条件就是一正——各项均为正解析：【分析】依题意可得21x y +=，再利用基本不等式计算可得； 【详解】解：因为2xy x =+，2x xy =+-，所以()()()()2222221(1)42222x y x xy x x xy x y ⎡⎤+-+=+-=+-++⎣⎦， 所以2242144x y y x xy +-+=-， 所以()()222210x y x y +-++=， 所以()2210x y +-=，所以21x y +=，所以42x y +≥=42x y =，即14x =，12y =时取等号；故答案为：【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．14．【分析】由条件化简可得利用均值不等式求最小值即可【详解】正实数满足取对数可得所以所以由均值不等式知当且仅当即时等号成立故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的三个条件：（解析：2【分析】由条件化简可得218a b =，利用均值不等式求最小值即可.【详解】正实数a b ，满足2x y a b ==, 取对数可得log 2,log 2a b x y ==， 所以2222212log log log 3a b a b x y+=+==-， 所以218a b =，由均值不等式知，22a b +≥=，当且仅当2a b =，即a =，4b =时等号成立.故答案为：2【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.15．【分析】作出可行域令所以利用函数的单调性即可求最值【详解】由解得：所以由解得：所以表示可行域内的点与原点连线的斜率所以令所以在单调递减在单调递增当时当时所以的最大值为故答案为：【点睛】思路点睛：非线解析：53【分析】 作出可行域，令yt x =，OA OB y k k x ≤≤，所以7,313t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，22111222x y xy t xy y x t ⎛⎫+⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用函数的单调性即可求最值. 【详解】由43040x y x y -+=⎧⎨+-=⎩解得：13575x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以137,55A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由140x x y =⎧⎨+-=⎩解得：13x y =⎧⎨=⎩，所以()1,3B ，y x 表示可行域内的点与原点连线的斜率，所以OA OB yk k x ≤≤, 775131305OAk -==-，30310OB k -==-，令7,313y t x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦， 所以22111222x y xy t xy y x t ⎛⎫+⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 1y t t =+在7,113⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，在[]1,3单调递增，当3t =时，1713109213791y ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，当75t=时，1153233y ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， 所以222x y xy +的最大值为53，故答案为：53. 【点睛】 思路点睛：非线性目标函数的常见类型及解题思路：1.斜率型：()0by ay b a a z ac d cx d c x c++==⋅≠++表示的是可行域内的点(),x y 与点,d b c a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭连线所在直线的斜率的ac倍；2.距离型：（1）()()22z x a y b =-+-表示的是可行域内的点(),x y 与(),a b 之间距离的平方；（2）z Ax By C =++=(),x y 到直线0Ax By C ++=倍.16．-2【详解】根据题意得到如图可行域是封闭的三角形顶点是(01)()（02）目标函数可得到当目标函数过点A(01)有最大值-2故得到答案为：-2点睛：利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内解析：-2 【详解】根据题意得到如图可行域 是封闭的三角形，顶点是(0,1) (13,22)（0，2）目标函数2z x y =-，1,22zy x =-可得到当目标函数过点A(0，1)，有最大值-2， 故得到答案为：-2.点睛：利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（ax by +型）、斜率型（y bx a++型）和距离型（()()22x a y b +++型）．(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．17．【分析】根据题意令分析可以将不等式在x ∈12上恒成立转化为二次函数的性质列出不等式组解可得m 的取值范围即可得答案【详解】根据题意令若不等式在x ∈12上恒成立则有△＝m2﹣4m≤0或或解可得实数m 的最解析：12-【分析】根据题意，令()2f x x mx m ++＝，分析可以将不等式20x mx m ++≥在x ∈[1，2]上恒成立转化为二次函数的性质列出不等式组，解可得m 的取值范围，即可得答案． 【详解】根据题意，令()2f x x mx m ++＝，若不等式20x mx m ++≥在x ∈[1，2]上恒成立，则有△＝m 2﹣4m ≤0或()121120m f m ⎧-≤⎪⎨⎪=+≥⎩或()222430m f m ⎧-≥⎪⎨⎪=+≥⎩，解可得1,2m ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭，实数m的最小值为：1 2-，故答案为12-．【点睛】本题考查二次函数的性质，关键是将x2+mx+m≥0在x∈[1，2]上恒成立转化为二次函数y＝x2+mx+m在x∈[1，2]上的最值问题．18．800000【分析】设每月生产甲产品件生产乙产品件每月收入为元列出实际问题中xy所需满足的条件作出可行域数形结合求出目标函数的最大值【详解】设每月生产甲产品件生产乙产品件每月收入为元目标函数为需要满解析：800000【分析】设每月生产甲产品x件，生产乙产品y件，每月收入为z元，列出实际问题中x、y所需满足的条件，作出可行域，数形结合求出目标函数30002000z x y=+的最大值.【详解】设每月生产甲产品x件，生产乙产品y件，每月收入为z元，目标函数为30002000z x y=+，需要满足的条件是24002500x yx yxy+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，作出可行域如图所示，目标函数30002000z x y=+可转化直线3122000y x z=-+，数形结合知当直线经过点A时z取得最大值．解方程组24002500x yx y+=⎧⎨+=⎩，可得点()200,100A，则z 的最大值为30002002000100z =⨯+⨯=800000元． 故答案为：800000 【点睛】本题考查线性规划解决实际问题，属于基础题.19．【分析】先换元令则；再采用乘1法求出的最小值即可得解【详解】解：令则且而当且仅当即时等号成立的最小值为故答案为：【点睛】本题考查利用基本不等式求最值采用换元法和乘1法是解题的关键考查学生的转化思想分解析：3+【分析】先换元，令2s m =+，2t n =+，则1113s t +=，226m n s t +=+-；再采用“乘1法”，求出2s t +的最小值即可得解．【详解】解：令2s m =+，2t n =+，则2s >，2t >，且1113s t +=，2(2)2(2)26m n s t s t ∴+=-+-=+-，而112223(2)()3(12)3(32)3(322)s t s ts t s t s t t s t s+=++=+++⨯+=+，当且仅当2s tt s=，即s =时，等号成立．2s t ∴+的最小值为3(3+，2263(322)63m n s t ∴+=+-+-=+故答案为：3+ 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，采用换元法和“乘1法”是解题的关键，考查学生的转化思想、分析能力和运算能力，属于中档题．20．【分析】由参变量分离法得出对任意的恒成立利用二次函数的基本性质可求得函数在区间上的最小值进而可求得实数的取值范围【详解】要使在区间上不等式恒成立只需恒成立设只需小于在区间上的最小值因为所以当时所以所 解析：(),1-∞-【分析】由参变量分离法得出231m x x <-+对任意的[]1,1x ∈-恒成立，利用二次函数的基本性质可求得函数()231g x x x =-+在区间[]1,1-上的最小值，进而可求得实数m 的取值范围.【详解】要使在区间[]1,1-上，不等式()2f x x m >+恒成立， 只需()2231m f x x x x <-=-+恒成立，设()231g x x x =-+，只需m 小于()y g x =在区间[]1,1-上的最小值，因为()22353124g x x x x ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭，所以当1x =时，()()min 11g x g ==-， 所以1m <-，所以实数m 的取值范围是(),1-∞-. 故答案为：(),1-∞-. 【点睛】本题考查利用二次不等式在区间上恒成立求参数，考查了参变量分离法的应用，考查计算能力，属于中等题.三、解答题21．（1）1；（2）9. 【分析】（1）根据不等式与对应方程的关系，列方程求出m 的值； （2）先求得141b a+=，可得14()()a b a b b a +=++，展开后利用基本不等式求出+a b 的最小值． 【详解】 （1）不等式2122x x mx -+>可化为21(2)02x m x +-<，即[2(2)]0x x m +-<，所以不等式对应方程的两根为0和2(2)m --， 又不等式的解集为{|02}x x <<， 所以2(2)2m --=，解得1m =； （2）由正实数a ，b 满足4a b mab +=， 所以4a b ab +=，所以141b a+=， 所以1444()()5529b a b a b a b b a a b a +=++=+++， 当且仅当26a b ==时取等号， 所以+a b 的最小值为9． 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，也考查了利用基本不等式求最值，是基础题． 22．(1)2()1f x x x =-+;(2)()(),14,-∞-+∞【分析】(1) 设二次函数f （x ）＝ax 2+bx+c ，利用待定系数法即可求出f （x ）； (2) 利用一元二次不等式的解法即可得出． 【详解】(1).设二次函数f （x ）＝ax 2+bx+c ， ∵函数f （x ）满足f （x+1）﹣f （x ）＝2x ，∴ f(x ＋1)－f(x)=()()211a x b x c ++++-()2ax bx c ++=2ax+a+b=2x ∴ 220a a b =⎧⎨+=⎩ ，解得11a b =⎧⎨=-⎩．且f （0）＝1．∴ c=1∴f （x ）＝x 2﹣x+1．(2) 不等式f （x ）＞2x+5，即x 2﹣x+1＞2x+5，化为x 2﹣3x ﹣4＞0． 化为（x ﹣4）（x+1）＞0，解得x ＞4或x ＜﹣1． ∴原不等式的解集为()(),14,-∞-⋃+∞ 【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式和一元二次不等式的解法，熟练掌握其方法是解题的关键，属于中档题. 23．（1）-1,6；（2）答案见详解 【分析】（1）由f （x ）≥b 的解集为{x |1≤x ≤2}结合韦达定理即可求解参数a ，b 的值；（2）原式可因式分解为()()()14f x ax x =--，再分类讨论即可0,0,0a a a =<>，对0a >再细分为111,0,,,444a a a ⎛⎫⎛⎫=∈∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即可求解.【详解】（1）由f （x ）≥b 得()24140ax a x b -++-≥，因为f （x ）≥b 的解集为{x |1≤x ≤2}，故满足4112a a ++=，412b a-⨯=，解得1,6a b =-=； （2）原式因式分解可得()()14f x a x x a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 当0a =时，()40f x x =-+>，解得(),4x ∈-∞；当0a <时，()()140f x a x x a ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭的解集为1,4x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭； 当0a >时，()()140f x a x x a ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭， ①若14a =，即14a =，则()()140f x a x x a ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭的解集为4x ≠；②若14a <，即14a >时，解得()1,4,x a ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭；③若14a >，即104a <<时，解得()1,4,x a ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查由一元二次不等式的解求解参数，分类讨论求解一元二次不等式，属于中档题. 24．（1）400吨；（2）不获利，补40000元. 【分析】（1）求得每吨二氧化碳的平均处理成本为1800002002y x x x=+-，利用基本不等式求得yx的最小值，利用等号成立的条件求得x 的值，由此可得出结论； （2）令()2211100200800003008000022f x x x x x x ⎛⎫=--+=-+-⎪⎝⎭，求得该函数在区间[]400,600的最大值，进而可得出结论. 【详解】（1）由题意可知，月处理成本y （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可近似地表示为()21200800004006002y x x x =-+≤≤， 所以，每吨二氧化碳的平均处理成本为1800002002y x x x=+-，由基本不等式可得200200y x ≥=（元）， 当且仅当1800002x x=时，即当400x =时，等号成立， 因此，该单位每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低；（2）令()()222111100200800003008000030035000222f x x x x x x x ⎛⎫=--+=-+-=--- ⎪⎝⎭，400600x ≤≤，函数()f x 在区间[]400,600上单调递减，当400x =时，函数()f x 取得最大值，即()()max 40040000f x f ==-. 所以，该单位每月不能获利，国家至少需要补贴40000元才能使该单位不亏损. 【点睛】本题考查基本不等式和二次函数的实际应用，考查计算能力，属于中等题. 25．（1）4；（2）4. 【分析】（1）由于0x >，0y >，根据基本不等式得出8xy x y -=+≥不等式的解法，即可求出xy 的最大值；（2）根据题意，由0x >，0y >，根据基本不等式得出28()()2x y x y xy +-+=≤，通过解一元二次不等式，即可求出x y +的最小值.【详解】解：（1）∵0x >，0y >，∴8xy x y -=+≥80xy +≤，即2)0≤，解得：02<，04xy ∴<≤（当且仅当2x y ==时取等号）， ∴xy 的最大值为4.（2）∵0x >，0y >，28()()2x y x y xy +∴-+=≤， 即2()()802x y x y +-++≥， 整理得：2()()3204x y x y +++-≥， ∴()()840x y x y +++-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎦≥⎣，∴4x y +≥（当且仅当2x y ==时取等号）， 所以x y +的最小值为4. 【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查利用基本不等式求和的最小值和积的最大值，以及一元二次不等式的解法，考查转化思想和运算能力. 26．()()2222x y xy x y ≥++，当且仅当x y =时等号成立【分析】运用作差比较法，结合配方法进行比较大小即可. 【详解】()()()2222442224433222x y xy x y x y x y xy x xy y x y x y xy +-++--++=+--=()()()()()()()2223333222324y x x y yy x x y xyx y xxy yx y x y ⎡⎤⎛⎫=-+-=--=-++=-++⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦()20x y -≥，223024y x y ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭，()2223024y x y x y ⎡⎤⎛⎫∴-++≥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦． ()()2222x y xy x y ∴≥++，当且仅当x y =时等号成立.【点睛】本题考查了用作差比较法进行比较两个多项式的大小，考查了配方法的应用，属于中档题.。
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几何不等式测试题
1．在△ABC中，M为BC边的中点，∠B=2∠C，∠C的平分线交AM于D。
证明：∠MDC≤45°。
2．设NS是圆O的直径，弦AB⊥NS于M，P为弧上异与N的任一点，PS交AB于R，PM的延长线交圆O于Q，求证：RS＞MQ。
3．在△ABC中，设∠A，∠B，∠C的平分线交外接圆于P、Q、R。
证明：AP+BQ+CR＞BC+CA+AB。
4．过△ABC内一点O引三边的平行线，DE∥BC,FG∥CA,HI∥AB,点D、E、F、G、I都在△ABC的边上，表示六边形DGHEFI的面积，表示△ABC的面积。
求证：。
5．求证：△ABC的内心I到各顶点的距离之和不小于重心G到各边距离之和的2倍。
6．凸四边形ABCD具有性质：（1）AB=AD+BC，（2）在其内部有点P，P点到CD的距离
为h，并使AP=h+AD,BP=h+BC，求证：。
7．设H为锐角△ABC的垂心，A1，B1，C1，分别为AH，BH，CH与△ABC外接圆的交点。
求证：。
其中等号当且仅当△ABC为正三角形时成立。
8．一凸四边形内接于半径为1的圆。
证明：四边形周长与其对角线之和的差值u,满足0<u<2。
9.已知过锐角△ABC顶点A、B、C的垂线分别交对边于D、E、F，AB>AC，直线EF交BC 于P，过点D且平行于EF的直线分别交AC、AB于Q、R。
N是BC上的一点，且∠NQP+∠NRP ＜180°，求证：BN>CN。
参考答案
【同步达纲练习】
1．设∠B的平分线交AC于E，易证EM⊥BC作EF⊥AB于F，则有EF=EM，
∴AE≥EF=EM，从而∠EMA≥∠EAM,即90°-∠AMB≥∠EAM。
又
2∠MDC=2（∠MAC+∠ACD）=2∠MAC+∠ACM=∠MAC+∠AMB，
∴90°≥∠AMD+∠MAC=2∠MDC，∴∠MDC≤45°。
2．连结NQ交AB于C，连结SC、SQ。
易知C、Q、S、M四点共圆，且CS是该圆的直径，于是CS>MQ。
再证Rt△SMC≌Rt△SMR，从而CS=RS，故有RS>MQ.
3．设的内心为I，由IA+IB>AB,IB+IC>BC,
即2（AP-IP+BQ-IQ+CR-IR）＞AB+BC+CA
（1）
连AR，∵∠AIR=∠IAR，∴IR=AR，又AR=BR，
同理
（2）
由（1）、（2）即得AP+BQ+CR>AB+BC+CA。
4．如图8。
设三边长分别为a、b、c，IF=x，EH=y，DG=z，则依题意有
∽，，（易知OE=CF）
同理，所以，
由柯西不等式，从而
于是
5．设G到各边距离为由
（r为内切圆半径），得又
（艾尔多斯——莫德尔不等式）。
故
即AI+BI+CI≥2(r1+r2+r3)
6．分别以A、B、P为圆心，AD、BC、h为半径作圆，三圆两两外切，EF为⊙A、⊙B外公切线，⊙P与EF相切时h最大，此时设AD=r,BC=R,⊙P半径为m，则
化简得
，即
由知命题成立。
7．由外接圆心O向BC作垂线OD于D，
则AH=2·OD，∠DOC=∠A，故
HA=2OD=2RcosA。
同理HB=2RcosB,HC=2RcosC,由BC是的垂直平分线，
，得
同理。
于是原不等式等价于
而
∴2(cosBcosC+cosCcosA+cosAcosB)
故
8．如图，
引进有关边长、对角线、角的记号，则a+d>e,d+c>f,c+b>e,b+a>f,四式相加得
a+b+c+d>e+f,即u=(a+b+c+d)-(e+f)>0.又四边形至少有一角，不妨设，则
且，同样可设，由圆的半径为1及正弦定理得
.于是u<2等价于证明：
下面证明更强的结论：
由于
故结论成立。
9．取BC中点M，只需证∠MRP+∠MQP=180°，即R、M、Q、P四点共圆。
如图，连结ED，易知∠PEC=∠DEC，∠DEB=∠FEB，有连结ME。
∠EMC=180°-2∠ACB，∠EDP=180°-∠ACB-∠CED。
∴∠MED=∠ACB-∠CED=∠EPC
∴△MDE∽△MEP，从而ME2=MD·MP=MC2又∵RQ∥FP，
∴∠BRD=∠BFE=∠DCQ ∴B、R、C、Q四点共圆。
RD·DQ=BD·CD=（BM+MD）（CM-MD）=MC2-MD2=MD·MP-MD2=MD·PD
∴R、M、Q、P四点共圆。
即∠MRP+∠MQP=180°，当N∈BC，且∠NQP+∠NRP＜180°时，N必在M右侧，故BN>CN。