二项分布经典例题+练习题之令狐文艳创作
高中数学二项分布及其应用知识点+练习
二项分布及其应用要求层次重难点条件概率 A 了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题．事件的独立性A n 次独立重复试验与二项分布B（一） 知识内容条件概率对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，用符号“(|)P B A ”来表示．把由事件A 与B 的交（或积），记做D A B =（或D AB =）．（二）典例分析：【例1】 在10个球中有6个红球，4个白球（各不相同），不放回的依次摸出2个球，在第1次摸出红球的条件下，第2次也摸出红球的概率是（ ）A ．35B ．23C ．59D ．13知识框架例题精讲高考要求条件概率事件的独立性独立重复实验二项分布二项分布及其应用板块一：条件概率【例2】某地区气象台统计，该地区下雨的概率是415，刮风的概率是215，既刮风又下雨的概率是110，设A=“刮风”，B=“下雨”，求()()P B A P A B，．【例3】设某种动物活到20岁以上的概率为0.7，活到25岁以上的概率为0.4，求现龄为20岁的这种动物能活到25岁以上的概率．【例4】把一枚硬币抛掷两次，事件A=“第一次出现正面”，事件B=“第二次出现反面”，则()_____P B A=．【例5】抛掷一颗骰子两次，在第一次掷得向上一面点数是偶数的条件下，则第二次掷得向上一面点数也是偶数的概率为．【例6】设某批产品有4%是废品，而合格品中的75%是一等品，任取一件产品是一等品的概率是_____．【例7】掷两枚均匀的骰子，记A=“点数不同”，B=“至少有一个是6点”，求(|)P A B与(|)P B A．【例8】甲、乙两班共有70名同学，其中女同学40名．设甲班有30名同学，而女生15名，问在碰到甲班同学时，正好碰到一名女同学的概率?【例9】从1~100个整数中，任取一数，已知取出的—数是不大于50的数，求它是2或3的倍数的概率．【例10】 袋中装有21n -个白球，2n 个黑球，一次取出n 个球，发现都是同一种颜色的，问这种颜色是黑色的概率是多少?【例11】 一袋中装有10个球，其中3个黑球，7个白球，先后两次从袋中各取一球（不放回）⑴已知第一次取出的是黑球，求第二次取出的仍是黑球的概率； ⑵已知第二次取出的是黑球，求第一次取出的也是黑球的概率； ⑶已知第一次取出的是黑球，求第二次取出的是白球的概率．【例12】 有两箱同类零件，第一箱内装50件，其中10件是一等品；第二箱内装30件，其中18件是一等品．现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件（取出的零件均不放回），试求：⑴先取出的零件是一等品的概率；⑵在先取出的零件是一等品的条件下后取出的仍然是一等品的概率．（保留三位有效数字）【例13】 设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、7份和5份．随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份，⑴求先抽到的一份是女生表的概率p ．⑵己知后抽到的一份是男生表，求先抽到的是女生的概率q ．（一） 知识内容事件的独立性如果事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响，即(|)()P B A P B =，这时，我们称两个事件A ，B 相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件．如果事件1A ，2A ，…，n A 相互独立，那么这n 个事件都发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即1212()()()()n n P A A A P A P A P A =⨯⨯⨯，并且上式中任意多个事件i A 换成其对立事件后等式仍成立．（二）典例分析：板块二：事件的独立性cba【例14】 判断下列各对事件是否是相互独立事件⑴容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”．⑵一筐内有6个苹果和3个梨，“从中任意取出1个，取出的是苹果”与“把取出的苹果放回筐子，再从筐子中任意取出1个，取出的是梨”．⑶甲组3名男生、2名女生；乙组2名男生、3名女生，今从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”．【例15】 从甲口袋摸出一个红球的概率是13，从乙口袋中摸出一个红球的概率是12，则23是（ ）A ．2个球不都是红球的概率B ．2个球都是红球的概率C ．至少有一个红球的概率D ．2个球中恰好有1个红球的概率【例16】 猎人在距离100m 处射击一只野兔，其命中率为12．如果第一次射击未命中，则猎人进行第二次射击，但距离为150m ；如果第二次又未命中，则猎人进行第三次射击，但在射击瞬间距离野兔为200m ．已知猎人命中率与距离的平方成反比，求猎人命中野兔的概率．【例17】 如图，开关电路中，某段时间内，开关a b c 、、开或关的概率均为12，且是相互独立的，求这段时间内灯亮的概率．【例18】 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为14，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为112，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为29．分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率．【例19】椐统计，某食品企业一个月内被消费者投诉的次数为012，，的概率分别为0.4，0.5，0.1⑴求该企业在一个月内被消费者投诉不超过1次的概率；⑵假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率．【例20】某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为45、35、2 5、15，且各轮问题能否正确回答互不影响．⑴求该选手进入第四轮才被淘汰的概率；⑵求该选手至多进入第三轮考核的概率．【例21】甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．⑴求再赛2局结束这次比赛的概率；⑵求甲获得这次比赛胜利的概率．【例22】纺织厂某车间内有三台机器，这三台机器在一天内不需工人维护的概率：第一台为0.9，第二台为0.8，第三台为0.85，问一天内：⑴3台机器都要维护的概率是多少？⑵其中恰有一台要维护的概率是多少？⑶至少一台需要维护的概率是多少？【例23】为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类．这三类工程所含项目的个数分别占总数的12，13，16．现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设．求：⑴他们选择的项目所属类别互不相同的概率；⑵至少有1人选择的项目属于民生工程的概率．【例24】甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为13和14，求：⑴两个人都译出密码的概率；⑵两个人都译不出密码的概率；⑶恰有1个人译出密码的概率；⑷至多1个人译出密码的概率；⑸至少1个人译出密码的概率．【例25】从10位同学（其中6女，4男）中，随机选出3位参加测验，每位女同学能通过测验的概率均为45，每位男同学能通过测验的概率均为35，试求：⑴选出的3位同学中至少有一位男同学的概率；⑵10位同学中的女同学甲和乙及男同学丙同时被抽到，且三人中恰有二人通过测验的概率．【例26】甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为12与p，且乙投球2次均未命中的概率为116．⑴求乙投球的命中率p；⑵求甲投球2次，至少命中1次的概率；⑶若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率．【例27】一汽车沿一街道行驶，需要通过三个设有红绿灯的路口，每个信号灯彼此独立工作，且红绿灯信号显示时间相等．以X表示该汽车首次遇到红灯时已通过的路口个数，求X的分布列以及该汽车首次遇到红灯时至少通过两个路口的概率．【例28】甲、乙二射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：⑴2人都射中的概率？⑵2人中有1人射中的概率？⑶2人至少有1人射中的概率？⑷2人至多有1人射中的概率？【例29】（07福建）甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别是0.7，0.6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求：⑴甲试跳三次，第三次才成功的概率；⑵甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率；⑶甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率．【例30】A、B两篮球队进行比赛，规定若一队胜4场则此队获胜且比赛结束（七局四胜制），A、B两队在每场比赛中获胜的概率均为12，X为比赛需要的场数，求X的分布列及比赛至少要进行6场的概率．【例31】已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方法：方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．求依方案甲、乙分别所需化验次数的分布列以及方案甲所需化验次数不少于方案乙所需化验次数的概率．【例32】为防止某突发事件发生，有甲、乙、丙、丁四种相互独立的预防措施可供采用，单独采用甲、乙、丙、丁预防措施后此突发事件不发生的概率（记为P）和所需费用如下表：预防措施甲乙丙丁P 0.90.80.70.6费用（万元）90 60 30 10预防方案可单独采用一种预防措施或联合采用几种预防措施，在总费用不超过120万元的前提下，请确定一个预防方案，使得此突发事件不发生的概率最大．【例33】某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案．方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过．假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是a b c，，，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．⑴分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率；⑵试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小．（说明理由）板块三：独立重复试验与二项分布（一）知识内容1．独立重复试验如果每次试验，只考虑有两个可能的结果A 及A ，并且事件A 发生的概率相同．在相同的条件下，重复地做n 次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n 次独立重复试验．n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为()C (1)k k n kn n P k p p -=-(0,1,2,,)k n =．2．二项分布若将事件A 发生的次数设为X ，事件A 不发生的概率为1q p =-，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率是()C k k n kn P X k p q -==，其中0,1,2,,k n =．由于表中的第二行恰好是二项展开式0()C C C C n n n n n n q p p q p q p q p q +=++++各对应项的值，所以称这样的离散型随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布，记作~(,)X B n p ．（二）典例分析：【例1】 某人参加一次考试，4道题中解对3道则为及格，已知他的解题正确率为0.4，则他能及格的概率为_________（保留到小数点后两位小数）【例2】 某篮球运动员在三分线投球的命中率是12，他投球10次，恰好投进3个球的概率 ．（用数值表示）【例3】 接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0.80，现有5人接种了该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为 ．（精确到0.01）【例4】 甲乙两人进行围棋比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为23，则甲以3∶1的比分获胜的概率为（ ）A ．827B ．6481C ．49D ．89【例5】 一台X 型号的自动机床在一小时内不需要人照看的概为0.8000，有四台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多有2台机床需要工人照看的概率是（ ） A ．0.1536 B ．0.1808 C ．0.5632 D ．0.9728【例6】 某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买．根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.6，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润200元；若顾客采用分期付款，商场获得利润250元． ⑴ 求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率；⑵ 求3位位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元的概率．【例7】某万国家具城进行促销活动，促销方案是：顾客每消费1000元，便可获得奖券一张，每张奖券中奖的概率为15，若中奖，则家具城返还顾客现金200元．某顾客消费了3400元，得到3张奖券．⑴求家具城恰好返还该顾客现金200元的概率；⑵求家具城至少返还该顾客现金200元的概率．【例8】某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为56和45，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中：⑴至少有1株成活的概率；⑵两种大树各成活1株的概率．【例9】一个口袋中装有n个红球（5n≥且*n∈N）和5个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球颜色不同则为中奖．⑴试用n表示一次摸奖中奖的概率p；⑵若5n=，求三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率；⑶记三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为P．当n取多少时，P最大？【例10】已知随机变量ξ服从二项分布，1~(4)3Bξ，，则(2)Pξ=等于____【例11】已知随机变量ξ服从二项分布，1~(6)3Bξ，，则(2)Pξ=等于（）A．316B．4243C．13243D．80243【例12】从一批由9件正品、3件次品组成的产品中，有放回地抽取5次，每次抽一件，求恰好抽到两次次品的概率（结果保留2位有效数字）．【例13】袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是13，从B中摸出一个红球的概率为p．⑴从A中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止．①求恰好摸5次停止的概率；②记5次之内（含5次）摸到红球的次数为ξ，求随机变量ξ的分布．⑵若A B，两个袋子中的球数之比为1:2，将A B，中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是25，求p的值．【例14】设在4次独立重复试验中，事件A发生的概率相同，若已知事件A至少发生一次的概率等于6581，求事件A在一次试验中发生的概率．【例15】我舰用鱼雷打击来犯的敌舰，至少有2枚鱼雷击中敌舰时，敌舰才被击沉．如果每枚鱼雷的命中率都是0.6，当我舰上的8个鱼雷发射器同是向敌舰各发射l枚鱼雷后，求敌舰被击沉的概率（结果保留2位有效数字）．【例16】某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%，现从一批产品中的任意连续取出2件，求次品数ξ的概率分布列及至少有一件次品的概率．【例17】某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审．假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是12．若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；若只获得一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助．求：⑴该公司的资助总额为零的概率；⑵该公司的资助总额超过15万元的概率．【例18】射击运动员李强射击一次击中目标的概率是0.8，他射击3次，恰好2次击中目标的概率是多少？【例19】设飞机A有两个发动机，飞机B有四个发动机，如有半数或半数以上的发动机没有故障，就能够安全飞行，现设各个发动机发生故障的概率p是t的函数1tp eλ-=-，其中t为发动机启动后所经历的时间，λ为正的常数，试讨论飞机A与飞机B哪一个安全？（这里不考虑其它故障）．【例20】假设飞机的每一台发动机在飞行中的故障率都是1P-，且各发动机互不影响．如果至少50%的发动机能正常运行，飞机就可以顺利地飞行．问对于多大的P而言，四发动机飞机比二发动机飞机更安全？【例21】一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是13．⑴设ξ为这名学生在途中遇到红灯的次数，求ξ的分布列；⑵设η为这名学生在首次停车前经过的路口数，求η的分布列；⑶求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．【例22】一个质地不均匀的硬币抛掷5次，正面向上恰为1次的可能性不为0，而且与正面向上恰为2次的概率相同．令既约分数ij为硬币在5次抛掷中有3次正面向上的概率，求i j．【例23】某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留到小数点后面第2位）⑴5次预报中恰有2次准确的概率；⑵5次预报中至少有2次准确的概率；⑶5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率；【例24】某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第181920，，层可以停靠．若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为13，求至少有两位乘客在20层下的概率．【例25】10个球中有一个红球，有放回的抽取，每次取一球，求直到第n次才取得()k k n≤次红球的概率．【例26】某车间为保证设备正常工作，要配备适量的维修工．设各台设备发生的故障是相互独立的，且每台设备发生故障的概率都是0.01．试求：⑴若由一个人负责维修20台，求设备发生故障而不能及时维修的概率；⑵若由3个人共同负责维修80台设备，求设备发生故障而不能及时维修的概率，并进行比较说明哪种效率高．【例27】A B，是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验．每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用A有效的概率为23，服用B有效的概率为12．观察3个试验组，求至少有1个甲类组的概率．（结果保留四位有效数字）【例28】已知甲投篮的命中率是0.9，乙投篮的命中率是0.8，两人每次投篮都不受影响，求投篮3次甲胜乙的概率．（保留两位有效数字）【变式】若甲、乙投篮的命中率都是0.5p=，求投篮n次甲胜乙的概率．（1n n∈N，≥）【例29】省工商局于某年3月份，对全省流通领域的饮料进行了质量监督抽查，结果显示，某种刚进入市场的x饮料的合格率为80%，现有甲，乙，丙3人聚会，选用6瓶x饮料，并限定每人喝2瓶，求：⑴甲喝2瓶合格的x饮料的概率；⑵甲，乙，丙3人中只有1人喝2瓶不合格的x饮料的概率（精确到0.01）．【例30】在一次考试中出了六道是非题，正确的记“√”号，不正确的记“×”号．若某考生随手记上六个符号，试求：⑴全部是正确的概率；⑵正确解答不少于4道的概率；⑶至少答对2道题的概率．【例31】某大学的校乒乓球队与数学系乒乓球队举行对抗赛，校队的实力比系队强，当一个校现在校、系双方商量对抗赛的方式，提出了三种方案：⑴双方各出3人；⑵双方各出5人；⑶双方各出7人．三种方案中场次比赛中得胜人数多的一方为胜利． 问：对系队来说，哪一种方案最有利？（一） 知识内容二项分布的均值与方差：若离散型随机变量X 服从参数为n 和p 的二项分布，则()E X np =，()D x npq =(1)q p =-．（二）典例分析：【例32】 一盒子内装有10个乒乓球，其中3个旧的，7个新的，每次取一球，取后放回，取4次，则取到新球的个数的期望值是______．【例33】 同时抛掷4枚均匀硬币80次，设4枚硬币正好出现2枚正面向上，2枚反面向上的次数为ξ，则ξ的数学期望是（ ）A ．20B ．25C ．30D ．40【例34】 已知~()X B n p ，，()8E X =，() 1.6D X =，则n 与p 的值分别为（ ）A ．10和0.8B ．20和0.4C ．10和0.2D ．100和0.8【例35】 某服务部门有n 个服务对象，每个服务对象是否需要服务是独立的，若每个服务对象一天中需要服务的可能性是p ，则该部门一天中平均需要服务的对象个数是（ ）A ．(1)np p -B ．npC ．nD ．(1)p p -【例36】 已知随机变量X 服从参数为60.4，的二项分布，则它的期望()E X =_______，方差()D X =_____．【例37】 已知随机变量X 服从二项分布，且() 2.4E ξ=，() 1.44D ξ=，则二项分布的参数n ，p的值分别为__________、_________．【例38】 一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望是_________．（用数字作答）板块四：二项分布的期望与方差【例39】已知(100.8)X B，，求()E X与()D X．【例40】同时抛掷4枚均匀硬币80次，设4枚硬币正好出现2枚正面向上，2枚反面向上的次数为ξ，则ξ的数学期望是（）A．20B．25C．30D．40【例41】甲、乙、丙3人投篮，投进的概率分别是121 352，，．⑴现3人各投篮1次，求3人都没有投进的概率；⑵用ξ表示乙投篮3次的进球数，求随机变量ξ的概率分布及数学期望．【例42】抛掷两个骰子，当至少有一个2点或3点出现时，就说这次试验成功．⑴求一次试验中成功的概率；⑵求在4次试验中成功次数X的分布列及X的数学期望与方差．【例43】某寻呼台共有客户3000人，若寻呼台准备了100份小礼品，邀请客户在指定时间来领取．假设任一客户去领奖的概率为4%．问：寻呼台能否向每一位顾客都发出奖邀请？若能使每一位领奖人都得到礼品，寻呼台至少应准备多少礼品？【例44】某批数量较大的商品的次品率是5%，从中任意地连续取出10件，X为所含次品的个数，求()E X．【例45】某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有%60，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．⑴任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；⑵任选3名下岗人员，记ξ为3人中参加过培训的人数，求ξ的分布和期望．【例46】设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．记ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求ξ的分布及期望．【例47】某班级有n人，设一年365天中，恰有班上的m（m n≤）个人过生日的天数为X，求X的期望值以及至少有两人过生日的天数的期望值．【例48】购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10000元的赔偿金．假定在一年度内有10000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10000元的概率为410-．10.999⑴求一投保人在一年度内出险的概率p；⑵设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）．【例49】某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查（简称安检）．若安检不合格，则必须进行整改．若整改后复查仍不合格，则强行关闭．设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5，整改后安检合格的概率是0.8，计算（结果精确到0.01）．⑴恰好有两家煤矿必须整改的概率；⑵平均有多少家煤矿必须整改；⑶至少关闭一家煤矿的概率．个工作日里均无故障，可获利润10万元；发生一次故障可获利润5万元，只发生两次故障可获利润0万元，发生三次或三次以上故障就要亏损2万元．求一周内期望利润是多少？（精确到0.001）【例51】 在汶川大地震后对唐家山堰塞湖的抢险过程中，武警官兵准备用射击的方法引爆从湖坝上游漂流而下的一个巨大的汽油罐．已知只有5发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆．每次射击是相互独立的，且命中的概率都是23．⑴求油罐被引爆的概率；⑵如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为ξ，求ξ的分布列及E ξ．【例52】 某商场准备在国庆节期间举行促销活动，根据市场调查，该商场决定从2种服装商品，2种家电商品，3种日用商品中，选出3种商品进行促销活动．⑴试求选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率； ⑵商场对选出的某商品采用的促销方案是有奖销售，即在该商品现价的基础上将价格提高150元，同时，若顾客购买该商品，则允许有3次抽奖的机会，若中奖，则每次中奖都获得数额为m 的奖金．假设顾客每次抽奖时获奖与否的概率都是12，请问：商场应将每次中奖奖金数额m 最高定为多少元，才能使促销方案对商场有利?【例53】 将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是12．⑴ 求小球落入A 袋中的概率()P A ；⑵ 在容器入口处依次放入4个小球，记ξ为落入A 袋中的小球个数，试求3ξ=的概率和ξ的数学期望．。
二项分布高考试题
二项分布练习题目：1.某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击,此人恰有两次击中目标的概率为2.加工某种零件需经过三道工序。
设第一、二、三道工序的合格率分别为109、98、87，且各道工序互不影响。
(1) 求该种零件的合格率；(2) 从该种零件中任取3件，求恰好取到一件合格品的概率和至少取到一件合格品的概率。
（Ⅰ）解：9877109810P =⨯⨯=； （Ⅱ）解法一： 该种零件的合格品率为107，由独立重复试验的概率公式得：恰好取到一件合格品的概率为 12373()0.1891010C ⋅⋅=，至少取到一件合格品的概率为 .973.0)103(13=-解法二：恰好取到一件合格品的概率为12373()0.1891010C ⋅⋅=，至少取到一件合格品的概率为12223333373737()()()0.973.1010101010C C C ⋅⋅+⋅+=3. 9粒种子分种在甲、乙、丙3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为5.0，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种。
（Ⅰ）求甲坑不需要补种的概率；（Ⅱ）求3个坑中恰有1个坑不需要补种的概率； （Ⅲ）求有坑需要补种的概率。
（Ⅰ）解：因为甲坑内的3粒种子都不发芽的概率为81)5.01(3=-，所以甲坑不需要补种的概率为 .875.087811==-（Ⅱ）解：3个坑恰有一个坑不需要补种的概率为.041.0)81(87213=⨯⨯C（Ⅲ）解法一：因为3个坑都不需要补种的概率为3)87(，所以有坑需要补种的概率为 .330.0)87(13=-解法二：3个坑中恰有1个坑需要补种的概率为,287.0)87(81213=⨯⨯C恰有2个坑需要补种的概率为 ,041.087)81(223=⨯⨯C3个坑都需要补种的概率为 .002.0)87()81(0333=⨯⨯C4.某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，遇到红灯时停留的时间都是2min.（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；（Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间x 的分布列.（Ⅰ）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A ，因为事件A 等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A 的概率为()11141133327P A ⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （Ⅱ）由题意，可得ξ可能取的值为0，2，4，6，8（单位：min ）.事件“2k ξ=”等价于事件“该学生在路上遇到k 次红灯”（k =0，1，2，3，4），∴()()441220,1,2,3,433kkk P k C k ξ-⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴即ξ的分布列是5.某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为23和12，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中：（Ⅰ）两种大树各成活1株的概率；（Ⅱ）成活的株数 的分布列及期望值。
高中数学二项分布例题
高中数学二项分布例题二项分布适用于一系列独立重复试验，每次试验只有两种结果，通常称为“成功”和“失败”。
设每次试验成功的概率为p，失败的概率为1p，进行n次试验后，成功的次数X遵循二项分布，其概率质量函数为：P(X = k) = C(n, k) p^k (1 p)^(n k)其中，C(n, k)表示从n次试验中选取k次成功的组合数。
例题一：简单二项分布的应用在一项产品质量检验中，某种产品合格率为80%。
若随机抽取10件产品，求其中恰好8件合格的概率。
解：此问题可以看作进行10次独立试验，每次试验成功的概率p 为0.8，失败的概率为0.2，n为10，k为8。
根据二项分布的概率质量函数，可以计算如下：P(X = 8) = C(10, 8) (0.8)^8 (0.2)^2计算组合数C(10, 8) = 45，带入公式后得：P(X = 8) = 45 (0.8)^8 (0.2)^2 ≈ 0.1937。
恰好8件合格的概率约为19.37%。
例题二：计算不超过某个成功次数的概率在一场考试中，某学生在过去的测试中，答对题目的概率为0.7。
若该学生参加5次测试，求至少有3次答对的概率。
解：求至少有3次答对的概率，可以通过计算0到2次答对的概率并用1减去得到：P(X ≥ 3) = 1 P(X ≤ 2)计算P(X ≤ 2)：P(X = 0) = C(5, 0) (0.7)^0 (0.3)^5 = 1 1 0.00243 ≈ 0.0024。
P(X = 1) = C(5, 1) (0.7)^1 (0.3)^4 = 5 0.7 0.0081 ≈ 0.028.P(X = 2) = C(5, 2) (0.7)^2 (0.3)^3 = 10 (0.49) 0.027 ≈ 0.1323。
P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) ≈ 0.0024 + 0.028 + 0.1323 ≈ 0.1627。
统计学二项分布习题,DOC
(一)单项选择题1．某地人群中高血压的患病率为π，由该地区随机抽查n 人，则（）A ．样本患病率p =X /n 服从B （n ,π）[评析]本题考点：二项分布的正态近似特性。
从对二项分布特性的描述中可知：当n 较大，π不接近0也不接近1时，二项分布B （n ,π）近似正态分布N （n π,)1(ππ-n ）。
π不接近0也不接近1，等同于π接近0.5，因而此题目答案为D 。
3. 以下分布中，其均数和方差总是相等的是（）A．正态分布B.对称分布C．Poisson分布D.二项分布答案：C[评析]本题考点：Poisson分布的特性。
Poisson分布P（μ）的参数只有一个，即μ。
它的均数和方差均C从装有红、绿、蓝三种颜色的乒乓球各500、300、200只的暗箱中随机取出10个球，以X代表所取出球中的红色球数，则X服从二项分布B（10，0.5）。
（）答案：正确。
[评析]本题考点：二项分布的定义。
2二项分布成立的条件是：①每次试验只能是互斥的两个结果之一；②每次试验的条件不变；③各次试验独立。
此题目所述情况完全满足后两个条件，关键在于第一个条件的判断，从表面上看，每次试验的结果有三种，但本题目所关心的试验结果是“红色与否”，因而该试验结果仍为两种互斥的情况—“红色”和“非红色”。
所以，此题目3.Bernoulli试验（二）单项选择题：1.X1、X2分别服从二项分布B（n1，p1）、B（n2，p2），且X1、X相互独立，若要X=X1＋X2也服从二项分布，则需满足下列条件（）。
2A．X1=X2B.n1=n2C．p1=p2D.n1p1=n2p22.二项分布B（n，p）的概率分布图在下列哪种条件下为对称分布（）。
A．n=50B.p=0.5C．np=1D.p=1C．95～105D．74.2～125.8（三）简答题1．服从二项分布及Poisson分布的条件分别是什么？2．二项分布、Poisson分布分别在何种条件下近似正态分布？3．在何种情况下，可以用率的标准误S p描述率的抽样误差？4（四）计算题1.已知我国成人乙肝病毒表面抗原平均阳性率为10%，现随机抽查某地区10位成人的血清，其中3人为阳性。
二项分布经典例题
二项分布经典例题二项分布是概率统计中的经典概率分布之一，常用于描述二元试验中成功次数的概率分布。
下面我们来看一个经典的例题，通过解答这个例题，可以更深入地理解二项分布的应用。
例题：某制造公司生产一种产品，每天生产的产品中有5%是次品。
现在从该公司的生产线上随机抽取10个产品进行检验，问至少有2个次品的概率是多少？解析：根据题目要求，我们需要计算至少有2个次品的概率。
这就意味着我们需要计算出有2个、3个、4个...一直到全部10个产品都是次品的概率，然后将这些概率相加即可得到答案。
首先，我们来计算有2个次品的概率。
根据二项分布的公式，概率密度函数为P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中n表示试验次数，k表示成功次数，p表示单次试验的成功概率。
在这个例题中，n=10，k=2，p=0.05。
所以有2个次品的概率为P(X=2) = C(10,2) * (0.05)^2 * (1-0.05)^(10-2) = 0.387420489。
接下来，我们继续计算有3个次品的概率。
同样地，我们可以利用二项分布的公式计算出概率为P(X=3) = C(10,3) * (0.05)^3 *(1-0.05)^(10-3) = 0.282429536。
依此类推，我们可以计算出有4个次品的概率为P(X=4) =0.156920249，有5个次品的概率为P(X=5) = 0.058399961，有6个次品的概率为P(X=6) = 0.015365716，有7个次品的概率为P(X=7) = 0.002812757，有8个次品的概率为P(X=8) = 0.000355036，有9个次品的概率为P(X=9) = 0.000029531，有10个次品的概率为P(X=10) = 0.000001488。
最后，将以上各个概率相加，即可得到至少有2个次品的概率为0.903409091。
通过这个例题的计算，我们可以发现二项分布在描述二元试验中成功次数的概率分布时非常有用。
二项分布练习题
二项分布知识清单：1．独立重复试验：一般地，在相同条件下重复做的次试验称为________________2．二项分布：一般地，在次独立重复试验中，用 表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，则_______________ ，.此时称随机变量服从_____________，记作 ，并称为成功概率. 例题1．独立重复试验应满足的条件是（ ）①每次试验之间是相互独立的； ②每次实验只有发生与不发生两种结果；③每次试验中发生的机会是均等的；④每次试验发生的事件是互斥的（A ）①② （B ）②③ （C ）①②③ （D ）①②④2．某次试验中事件A 发生的概率为，则在次这样的试验中，发生次的概率为（ ） （A ） （B ） （C ） （D ）3．已知随机变量服从二项分布，则等于（ ） （A ） （B ） （C ） （D ） 4．某射手每次射击击中目标的概率是，求这名射手在10次射击中，（1）恰有8次击中目标的概率；（2）至少有8次击中目标的概率．5．甲乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为，求 （1）甲恰好击中目标2次的概率；（2）乙至少击中目标2次的概率；（3）乙恰好比甲多击中目标2次得概率；练习题1．在4次独立重复试验中，事件A 发生的概率相同，若事件A 至少发生1次的概率为，则事件A 在1次试验中发生的概率为（ ）（A ） （B ） （C ） （D ） 2．流星穿越大气层落在地面上的概率为0.002,，流星数量为10的流星群穿过大气层有4个落在地面上的概率为（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）3．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是（ ） （A ） （B ） （C ） （D ） 4．甲乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜，根据经验，每局比赛中甲获n n X A A p ()P X k ==0,1,2,,k n =X (,)X B n p p p n A k k p -1k n k p p --)1(k p )1(-k n k k n p p C --)1(ξ)31,6(~B ξ)2(=ξP 163243424313243800.8213281653152654351032.3-⨯91032.3-⨯51064.6-⨯91064.6-⨯546251662596625192625256胜的概率为0.6，则本次比赛甲获胜的概率是（ ）（A ）0.216 （B ）0.36 （C ）0.432 （D ）0.6485．接种某疫苗后，出现发热反映的概率为0.80，现有5人接种该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为________6．如果学生甲每次投篮中的概率为，那么他连续投三次，恰好两次投中的概率为_____________，至少有一次投中的概率为____________ 7．若血色素化验的准确率是，则在10次化验中，最多一次不准确的概率是_____________ 8．某篮球运动员在三分线投球的命中率为，他投球10次，恰好投进3个球的概率为_____________ 9．一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为_______________10．某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各个路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min. （1）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率？（2）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至少4min 的概率？11．某单位为绿化环境，移栽了甲乙两种大树各2株，设甲乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各株大树是否成活互不影响，求移栽的4株大树中：（1）至少有1株成活的概率；（2）两种大树各成活1株的概率．12．某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为，甲乙丙三位同学每人购买了一瓶该饮料 （1）求三位同学都没有中奖的概率；（2）求三位同学中至少有两位没有中奖的概率． 31p 2131655461。
数学乙习作_二项分布
二项分布重点一二项分布例题1袋中有白球3个，红球5个，球大小一致且被取出的机会均等，连续自袋中取球5次，每次取一球，放回后再取，以随机变量X表取得红球的次数，则随机变量X的(1)期望值为。
（4分）(2)变异数为。
（3分）(3)标准偏差为。
（3分）解：此为n＝5，p＝58的二项分布(1)X的期望值E（X）＝5 ×58＝258(2)X的变异数Var（X）＝5 ×58×38＝7564(3)X例题2投掷一均匀硬币4次，以X表示出现的正面数，求X2的期望值为次。
（10分）解：此为n＝4，p＝12的二项分布∴μ＝4 ×12＝2Var（X）＝4 ×12×12＝1又Var（X）＝E（X2）－μ2＝1 E（X2）＝1＋22＝5（次）例题3小翔投篮的命中率为23，假设每次投篮的结果是互相独立的，则投篮5次恰命中4次的机率为。
（10分）解：投篮命中成功的机率为23，则失败的机率为13投篮5次恰命中4次，表示在此重复试验中恰有4次成功、1次失败因此方法数共5!4!＝54C种，而每一种所对应的机率都是423⎛⎫⎪⎝⎭113⎛⎫⎪⎝⎭所以投篮5次恰命中4次的机率为54C 423⎛⎫ ⎪⎝⎭113⎛⎫ ⎪⎝⎭＝5 × 1681 × 13＝80243 例题4袋中有6个号码球，1号球1个，2号球2个，3号球3个，今自袋中随机抽取1球，取后放回，共抽4次，令X 表抽到1号球的次数，则： (1) P （X ＝3）＝ 。
（3分） (2) P （X ≤ 2）＝ 。
（4分） (3) E （X ）＝ 次。
（3分）解：∵任抽1球，抽到1号球之机率为16∴p ＝16，q ＝56(1) P （X ＝3）＝43C 316⎛⎫ ⎪⎝⎭156⎛⎫ ⎪⎝⎭＝201296＝5324(2) P （X ≤ 2）＝P （X ＝0）＋P （X ＝1）＋P （X ＝2）＝40C 456⎛⎫⎪⎝⎭＋41C ×16×356⎛⎫ ⎪⎝⎭＋42C 216⎛⎫ ⎪⎝⎭256⎛⎫ ⎪⎝⎭＝6251296＋5001296＋1501296 ＝12751296＝425432(3) E （X ）＝np ＝4 × 16＝23（次）例题 5某人作棒球打击的练习，其对内角球的安打机率为14，且符合二项分布，试求： (1)投出5个内角球，恰打出2支安打的机率为 。
(完整版)二项分布专题练习
二项分布专题练习1．已知随机变量X 服从二项分布，X ～B 16,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，则P (X ＝2)＝( )． A ．316B ．4243C ．13243D ．802432．设某批电子手表正品率为34，次品率为14，现对该批电子手表进行测试，设第X 次首次测到正品，则P (X ＝3)等于( )．A ．22313C 44⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭B ．22331C 44⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭C ． 21344⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭D ．23144⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭3．甲、乙两名篮球队员轮流投篮直至某人投中为止，设甲每次投篮命中的概率为0.4，乙投中的概率为0.6，而且不受其他次投篮结果的影响，设投篮的轮数为X ，若甲先投，则P (X ＝k )等于( )．A ．0.6k －1×0.4B ．0.24k －1×0.76C ．0.4k －1×0.6D ．0.76k －1×0.244．10个球中有一个红球，有放回地抽取，每次取出一球，直到第n 次才取得k (k ≤n )次红球的概率为( )．A ．2191010n k-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ． 191010k n k-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．1119C 1010kn kk n ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．11119C 1010k n kk n ----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5．在4次独立重复试验中，事件A 发生的概率相同，若事件A 至少发生1次的概率为6581，则事件A 在1次试验中发生的概率为( )． A ．13B ．25C ．56D ．346．某一批花生种子，如果每一粒发芽的概率为45，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是__________．7．一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为__________．(用数字作答)8．假定人在365天中的任意一天出生的概率是一样的，某班级中有50名同学，其中有两个以上的同学生于元旦的概率是多少？(结果保留四位小数)9．某安全生产监督部门对6家小型煤矿进行安全检查(安检)．若安检不合格，则必须进行整改．若整改后经复查仍不合格，则强行关闭．设每家煤矿安检是否合格是相互独立的， 每家煤矿整改前安检合格的概率是0.6，整改后安检合格的概率是0.9，计算：(1)恰好有三家煤矿必须整改的概率； (2)至少关闭一家煤矿的概率．(精确到0.01)10.甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率， （I ）甲恰好击中目标的2次的概率； （II ）乙至少击中目标2次的概率；（III ）求乙恰好比甲多击中目标2次的概率．2132参考答案1. 答案：D解析：P (X ＝2)＝24201180C 133243⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 2. 答案：C解析：P (X ＝3)是前两次未抽到正品，第三次抽到正品的概率，则P (X ＝3)＝21344⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭.3. 答案：B解析：甲每次投篮命中的概率为0.4，不中的概率为0.6，乙每次投篮命中的概率为0.6，不中的概率为0.4，则在一轮中两人均未中的概率为0.6×0.4＝0.24，至少有一人中的概率为0.76. 所以P (X ＝k )的概率是前k －1轮两人均未中，第k 轮时至少有一人中，则P (X ＝k )＝0.24k－1×0.76. 4. 答案：C解析：10个球中有一个红球，每次取出一球是红球的概率为110，不是红球的概率为910，直到第n 次才取得k (k ≤n )次红球，说明前n －1次中已取得红球k －1次，其余均不为红球．则概率为11119C 1010k n kk n ----⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭×110＝1119C 1010k n kk n ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.5. 答案：A解析：事件A 在一次试验中发生的概率为p ， 由题意得1－04C p 0(1－p )4＝6581. 所以1－p ＝23，p ＝13.6. 答案：96625解析：每粒种子的发芽概率为45，并且4粒种子的发芽与不发芽互不影响，符合二项分布B 44,5⎛⎫ ⎪⎝⎭，则4粒种子恰有2粒发芽的概率为：22244196C 55625⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 7. 答案：0.947 7解析：治愈的病人数X ～B (4,0.9)，则4个病人中至少被治愈3人的概率为P (X ≥3)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝34C 0.93×0.1＋44C 0.94＝0.947 7.8. 解：由题意，设“一个人生日是元旦”为事件A ，要研究50人的生日，则相当于进行50次试验，显然各人的生日是随机的，互不影响的，所以属于50次独立重复试验，P (A )＝1365，设50人中生于元旦的人数为ξ， 则P (ξ＝0)＝0500501364C 365365⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，P (ξ＝1)＝1491501364C 365365⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， “两人以上生于元旦”的概率为：P (ξ≥2)＝1－P (ξ＜2)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝1)＝1－0500501364C 365365⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭－1491501364C 365365⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≈0. 008 4. 9. 解：(1)每家煤矿需整改的概率是1－0.6＝0.4，且每家煤矿是否整改是独立的．所以恰好有三家煤矿必须整改的概率是p 1＝36C ·0.43·0.63≈0.28.(2)每家煤矿被关闭的概率是0.4×0.1＝0.04，且每家煤矿是否被关闭是相互独立的，所以至少关闭一家煤矿的概率是p 2＝1－(1－0.04)6≈0.22.。
高考数学一轮复习专题01 二项分布(解析版)
概率与统计 专题一：二项分布一、知识储备一般地，在n 重伯努利试验中，设每次试验中事件A 发生的概率为p (01p <<)，用X 表示事件A 发生的次数，则X 的分布列为()(1)k k n kn P X k C p p -==-（0,1,2,k n =）如果随机变量X 的分布列具有上式的形式，则称随机变量X 服从二项分布（binomial distribution ），记作(,)XB n p 。
二、例题讲解1．（2022·全国高三其他模拟）羽毛球是一项隔着球网，使用长柄网状球拍击打用羽毛和软木刷制作而成的一种小型球类的室内运动项目．羽毛球比赛的计分规则：采用21分制，即双方分数先达21分者胜，3局2胜．每回合中，取胜的一方加1分．每局中一方先得21分且领先至少2分即算该局获胜，否则继续比赛；若双方打成29平后，一方领先1分，即算该局取胜．某次羽毛球比赛中，甲选手在每回合中得分的概率为34，乙选手在每回合中得分的概率为14．（1）在一局比赛中，若甲、乙两名选手的得分均为18，求在经过4回合比赛甲获胜的概率； （2）在一局比赛中，记前4回合比赛甲选手得分为X ，求X 的分布列及数学期望()E X ． 【答案】（1）81256；（2）分布列见解析；期望为3． 【分析】（1）可知甲在第4回合胜，前3回合胜2场，进而根据独立重复试验的概率公式即可求出结果； （2）求出X 的取值，进而求出对应的概率，列出分布列，利用二项分布的期望即可求出结果． 【详解】（1）记在经过4回合比赛，甲获胜为事件A ，可知甲在第4回合胜，前3回合胜2场，所以22333181()C 444256P A ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）易知X 的取值为0，1，2，3，4，且3~4,4X B ⎛⎫⎪⎝⎭，40411(0)C 4256P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，314133(1)C 4464P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭， 22241327(2)C 44128P X ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3341327(3)C 4464P X ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 444381(4)C 4256P X ⎛⎫===⎪⎝⎭， 所以X 的分布列为：数学期望3()434E X np ==⨯=． 2．（2022·青铜峡市高级中学高三开学考试（理））设甲､乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为23.假定甲､乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.（1）用X 表示甲同学上学期间的每周五天中7：30之前到校的天数，求随机变量X 的分布列和数学期望； （2）记“上学期间的某周的五天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多3天”为事件M ，求事件M 发生的概率. 【答案】（1）分布列答案见解析，数学期望：103；（2）802187.【分析】 （1）由题意可得2(5,)3XB ，然后利用二项分布的概率公式求对应的概率，从而可列出分布列，（2）设乙同学上学期间的五天中7：30之前到校的天数为Y ，由题意可知2(5,)3YB ，且{}{}{}3,04,15,2M X Y X Y X Y =======，再利用相互独立事件的概率公式求解即可【详解】解：（1）因为甲同学上学期间的五天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率为23，所以2(5,)3XB ，从而5521()()()33k k kP X k C -==，0,1,2,3k =，所以，随机变量X 的分布列为：所以210()533E X =⨯=； （2）设乙同学上学期间的五天中7：30之前到校的天数为Y ，则2(5,)3Y B ，且事件{}{}{}3,04,15,2M X Y X Y X Y =======，由题意知，事件{}{}{}3,0,4,1,5,2X Y X Y X Y ======之间互斥， 且X 与Y 相互独立， 由（1）可得8018010324080()2432432432432432432187P M =⨯+⨯+⨯=. (,)B n p 表示发生的概率为p ；3．（2021·全国高三专题练习（理））一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是13. （1）设X 为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X 的分布列、期望、方差； （2）设Y 为这名学生在首次停车前经过的路口数，求Y 的分布列； （3）求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.【答案】（1）分布列见解析，5()3E X =，1(0)9D X =；（2）分布列见解析；（3）211243.【分析】（1）由题意这名学生在途中遇到红灯的次数服从二项分布，进而求得分布列，期望及方差； （2）Yk =（0,1,2,3,4k =），表示前k 个是绿灯，第1k +个是红灯，5Y =表示5个均为绿灯，则21()()33k P Y k ==⨯，0,1,2,3,4k =，由此可求这名学生在首次停车前经过的路口数的分布列；（3）利用对立事件概率计算公式可求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率. 【详解】（1）由题意可知，X 可取0、1、2、3、4、5，服从二项分布1~(5)3X B ，， 则0551232(0)()()33243P X C ==⋅⋅=，11451280(1)()()33243P X C ==⋅⋅=， 22351280(2)()()33243P X C ==⋅⋅=，33251240(3)()()33243P X C ==⋅⋅=，44151210(4)()()33243P X C ==⋅⋅=，5505121(5)()()33243P X C ==⋅⋅=，∴X 的分布列为：∴()533E X =⨯=，()5339D X =⨯⨯=； （2）由题意可知，Y 可取0、1、2、3、4，5 则0211(0)()333P Y ==⨯=，1212(1)()339P Y ==⨯=，2214(2)()3327P Y ==⨯=， 3218(3)()3381P Y ==⨯=，42116(4)()33243P Y ==⨯=，5232(5)()3243P Y ===，∴Y 的分布列为：（3）设这名学生在途中至少遇到一次红灯为事件A ， 所求概率32211()1(0)1243243P A P X =-==-=.(,)B n p (,)B n p 表示次实验都完成了，每次实验发生的概率为p ，至于这n 次实验成功了几次，后一次实验做完才知道；而此题首次成功，续的实验。
概率统计中的二项分布模拟试题
概率统计中的二项分布模拟试题在概率统计中，二项分布是一个重要的概率分布模型。
在实际应用中，我们经常会遇到需要通过模拟试题来理解和应用二项分布的情况。
本文将通过模拟试题的形式，详细介绍二项分布的基本概念、计算方法和实际应用。
1. 试题一某公司的产品有 3% 的瑕疵率，现从该公司生产的产品中随机抽取100 个进行质量检测，请问：a) 有多少产品是有瑕疵的？b) 至少有多少产品是有瑕疵的？解析：a) 根据二项分布的定义，设随机变量 X 表示有瑕疵的产品数量，X ~ B(100, 0.03)。
根据二项分布的概率计算公式，可以得到有瑕疵的产品数量的概率。
b) 至少有多少产品是有瑕疵的，可以通过计算不同数量有瑕疵的产品的概率之和得到。
2. 试题二某班级有 40 名学生，其中男生占 60%。
现在要从该班级中随机选择 10 名学生进行问卷调查，请问所选学生中有 5 名男生的概率是多少？解析：设随机变量 X 表示所选学生中男生的数量，X ~ B(10, 0.6)。
根据二项分布的概率计算公式，可以计算得到有 5 名男生的概率。
3. 试题三某车间质量检测员对生产的产品进行抽样检查。
已知该车间生产的产品瑕疵率为5%，现从500 个产品中随机抽取50 个进行检测，请问：a) 抽取的样本中有多少个瑕疵品？b) 样本中至多有多少个瑕疵品？解析：a) 设随机变量 X 表示抽取的样本中瑕疵品的数量，X ~ B(50, 0.05)。
根据二项分布的概率计算公式，可以计算得到样本中出现不同数量瑕疵品的概率。
b) 样本中至多有多少个瑕疵品，可以通过计算不同数量瑕疵品的概率之和得到。
通过以上三个模拟试题的解析，我们可以看到二项分布在概率统计中的重要性和应用价值。
在实际问题中，对于涉及到成功与失败、好与坏等二选一情况的随机事件，我们可以通过二项分布来进行概率计算和预测，从而更好地了解和应用概率统计的知识。
总结：本文通过模拟试题的形式，详细介绍了概率统计中的二项分布模型。
概率经典例题及解析、近年高考题50道带答案之令狐文艳创作
【经典例题】令狐文艳【例1】（2012湖北）如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 A ．1-2πB ．12-1πC ．2π D ．1π【答案】A【解析】令OA=1，扇形OAB 为对称图形，ACBD 围成面积为S 1，围成OC 为S 2，作对称轴OD ，则过C 点．S 2即为以OA 为直径的半圆面积减去三角形OAC 的面积，S 2=π2(12)2-12×12×12=π-28．在扇形OAD 中S12为扇形面积减去三角形OAC 面积和S22，S12=18π×12-18-S22=π-216，S 1+S 2=π-24，扇形OAB 面积S=π4，选A ．【例2】（2013湖北）如图所示，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值E(X)＝()A.126125B.65C.168125D.75【答案】B【解析】X 的取值为0，1，2，3且P(X ＝0)＝27125，P(X ＝1)＝54125，P(X ＝2)＝36125，P(X ＝3)＝8125，故E(X)＝0×27125＋1×54125＋2×36125＋3×8125＝65，选B.【例3】（2012四川）节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是()A. 14B. 12C. 34D. 78【答案】C【解析】设第一串彩灯在通电后第x 秒闪亮，第二串彩灯在通电后第y秒闪亮，由题意⎩⎪⎨⎪⎧0≤x≤4，0≤y≤4，满足条件的关系式为－2≤x－y≤2.根据几何概型可知，事件全体的测度(面积)为16平方单位，而满足条件的事件测度(阴影部分面积)为12平方单位，故概率为1216＝34.【例4】（2009江苏）现有5根竹竿，它们的长度（单位：m ）分别为 2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m 的概率为. 【答案】0.2【解析】从5根竹竿中一次随机抽取2根的可能的事件总数为10，它们的长度恰好相差0.3m 的事件数为2，分别是：2.5和2.8，2.6和2.9，所求概率为0.2 【例5】（2013江苏）现有某类病毒记作X m Y n ，其中正整数m ，n(m≤7，n≤9)可以任意选取，则m ，n 都取到奇数的概率为________． 【答案】2063【解析】基本事件共有7×9＝63种，m 可以取1，3，5，7，n 可以取1，3，5，7，9.所以m ，n 都取到奇数共有20种，故所求概率为2063.【例6】（2013山东）在区间[－3，3]上随机取一个数x ，使得|x ＋1|－|x －2|≥1成立的概率为________． 【答案】13【解析】当x<－1时，不等式化为－x －1＋x －2≥1，此时无解；当－1≤x≤2时，不等式化为x ＋1＋x －2≥1，解之得x≥1；当x>2时，不等式化为x ＋1－x ＋2≥1，此时恒成立，∴|x＋1|－|x －2|≥1的解集为[)1，＋∞.在[]－3，3上使不等式有解的区间为[]1，3，由几何概型的概率公式得P ＝3－13－（－3）＝13.【例7】（2013北京）下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．（1）求此人到达当日空气重度污染的概率；（2）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望；（3）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)【答案】213；1213；3月5日【解析】设Ai表示事件“此人于3月i日到达该市”(i＝1，2，…，13)．根据题意，P(Ai)＝113，且Ai∩Aj＝(i≠j)．（1）设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B ＝A5∪A8.所以P(B)＝P(A5∪A8)＝P(A5)＋P(A8)＝2 13 .（2）由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，且P(X＝1)＝P(A3∪A6∪A7∪A11)＝P(A3)＋P(A6)＋P(A7)＋P(A11)＝4 13，P(X＝2)＝P(A1∪A2∪A12∪A13)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A12)＋P(A13)＝413，P(X＝0)＝1－P(X＝1)－P(X＝2)＝513.所以X的分布列为X 0 1 2 P513413413故X 的期望E(X)＝0×513＋1×413＋2×413＝1213.（3）从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．【例8】（2013福建）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为25，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X ，求X≤3的概率；（2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？ 【答案】1115；方案甲．【解析】方法一：（1）由已知得，小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，且两人中奖与否互不影响．记“这2人的累计得分X≤3”的事件为A ， 则事件A 的对立事件为“X＝5”，因为P(X ＝5)＝23×25＝415，所以P(A)＝1－P(X ＝5)＝1115，即这两人的累计得分X≤3的概率为1115.（2）设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2)．由已知可得，X1～B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2，23，X2～B ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2，25， 所以E(X1)＝2×23＝43，E(X2)＝2×25＝45，从而E(2X1)＝2E(X1)＝83，E(3X2)＝3E(X2)＝125.因为E(2X1)>E(3X2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．方法二：（1）由已知得，小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，且两人中奖与否互不影响．记“这两人的累计得分X≤3”的事件为A ，则事件A 包含有“X＝0”“X＝2”“X＝3”三个两两互斥的事件，因为P(X ＝0)＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－25＝15，P(X ＝2)＝23×⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－25＝25，P(X ＝3)＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－23×25＝215，所以P(A)＝P(X ＝0)＋P(X ＝2)＋P(X ＝3)＝1115，即这两人的累计得分X≤3的概率为1115.（2）设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X1，都选择方案乙所获得的累计得分为X2，则X1，X2的分布列如下：所以E(X1)＝0×19＋2×49＋4×49＝83，E(X2)＝0×925＋3×1225＋6×425＝125.因为E(X1)>E(X2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．【例9】（2013浙江）设袋子中装有a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．（1）当a ＝3，b ＝2，c ＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；（2）从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若Eη＝53，Dη＝59，求a∶b∶c.【答案】3∶2∶1【解析】（1）由题意得，ξ＝2，3，4，5，6.P(ξ＝2)＝3×36×6＝14，P(ξ＝3)＝2×3×26×6＝13，P(ξ＝4)＝2×3×1＋2×26×6＝518.P(ξ＝5)＝2×2×16×6＝19，P(ξ＝6)＝1×16×6＝136，所以ξ的分布列为（2）由题意知η的分布列为所以Eη＝a a ＋b ＋c ＋2b a ＋b ＋c ＋3c a ＋b ＋c ＝53，Dη＝1－532·a a ＋b ＋c ＋2－532·b a ＋b ＋c ＋3－532·c a ＋b ＋c ＝59，化简得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b －4c ＝0，a ＋4b －11c ＝0，解得a ＝3c ，b ＝2c ，故a∶b∶c＝3∶2∶1.【例10】（2009北京理）某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，遇到红灯时停留的时间都是2min.（1）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；（2）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的分布列及期望.【答案】427；38【解析】本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率知识、考查离散型随机变量的分布列和期望等基础知识，考查运用概率与统计知识解决实际问题的能力.（1）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A ，因为事件A 等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A 的概率为()11141133327P A ⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）由题意，可得ξ可能取的值为0，2，4，6，8（单位：min ）.事件“2k ξ=”等价于事件“该学生在路上遇到k 次红灯”（k =0，1，2，3，4），∴()()441220,1,2,3,433kkk P k C k ξ-⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴即ξ的分布列是∴ξ的期望是163288180246881812781813E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 【课堂练习】1.（2013广东）已知离散型随机变量X 的分布列为则X 的数学期望E(X)＝()A. 32 B ．2 C. 52D ．32.（2013陕西）如图，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是()A ．1－π4B ．π2－1 B ．2－π2 D ．π43．在棱长分别为1，2，3的长方体上随机选取两个相异顶点，若每个顶点被选的概率相同，则选到两个顶点的距离大于3的概率为()A ．47B ．37C ．27D ．3144．（2009安徽理）考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于 A ．175B ．275 C ．375 D ．4755.（2009江西理）为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3种•A•••••BCDEF不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现购买该种食品5袋，能获奖的概率为（ ）A ．3181B ．3381C ．4881D ．5081 . 6.（2009辽宁文）ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为A ．4πB ．14π-C ．8πD ．18π- 7.（2009上海理）若事件E 与F 相互独立，且()()14P E P F ==，则()P E F 的值等于A ．0B ．116C ．14D ．128．（2013广州）在区间[1，5]和[2，4]上分别取一个数，记为a ，b ，则方程x2a2＋y2b2＝1表示焦点在x 轴上且离心率小于32的椭圆的概率为() A ．12 B ．1532C ．1732 D ．31329．已知数列{a n }满足a n ＝a n －1＋n －1(n≥2，n∈N )，一颗质地均匀的正方体骰子，其六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，将这颗骰子连续抛掷三次，得到的点数分别记为a ，b ，c ，则满足集合{a ，b ，c}＝{a 1，a 2，a 3}(1≤a i ≤6，i＝1，2，3)的概率是()A ．172B ．136C ．124D ．11210.（2009湖北文）甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8、0.6、0.5，则三人都达标的概率是，三人中至少有一人达标的概率是。
二项分布专题练习
二项分布专题练习1．已知随机变量X 服从二项分布，X ～B 16,3⎛⎫⎪⎝⎭，则P (X ＝2)＝( )．A ．316B ．4243C ．13243D ．802432．设某批电子手表正品率为34，次品率为14，现对该批电子手表进行测试，设第X 次首次测到正品，则P (X ＝3)等于( )．A ．22313C 44⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭B ．22331C 44⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭C ． 21344⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭D ．23144⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭3．甲、乙两名篮球队员轮流投篮直至某人投中为止，设甲每次投篮命中的概率为0.4，乙投中的概率为0.6，而且不受其他次投篮结果的影响，设投篮的轮数为X ，若甲先投，则P (X ＝k )等于( )．A ．0.6k －1×0.4B ．0.24k －1×0.76C ．0.4k －1×0.6D ．0.76k－1×0.244．10个球中有一个红球，有放回地抽取，每次取出一球，直到第n 次才取得k (k ≤n )次红球的概率为( )．A ．2191010n k-⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭B ． 191010k n k-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．1119C1010kn kk n ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．11119C1010k n kk n ----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5．在4次独立重复试验中，事件A 发生的概率相同，若事件A 至少发生1次的概率为6581，则事件A 在1次试验中发生的概率为( )． A ．13B ．25C ．56D ．346．某一批花生种子，如果每一粒发芽的概率为45，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是__________．7．一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为__________．(用数字作答)8．假定人在365天中的任意一天出生的概率是一样的，某班级中有50名同学，其中有两个以上的同学生于元旦的概率是多少？(结果保留四位小数)9．某安全生产监督部门对6家小型煤矿进行安全检查(安检)．若安检不合格，则必须进行整改．若整改后经复查仍不合格，则强行关闭．设每家煤矿安检是否合格是相互独立的， 每家煤矿整改前安检合格的概率是0.6，整改后安检合格的概率是0.9，计算：(1)恰好有三家煤矿必须整改的概率； (2)至少关闭一家煤矿的概率．(精确到0.01)10.甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为21，乙每次击中目标的概率32， （I ）甲恰好击中目标的2次的概率； （II ）乙至少击中目标2次的概率；（III ）求乙恰好比甲多击中目标2次的概率．参考答案1. 答案：D解析：P (X ＝2)＝24201180C 133243⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 2. 答案：C解析：P (X ＝3)是前两次未抽到正品，第三次抽到正品的概率，则P (X ＝3)＝21344⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭.3. 答案：B解析：甲每次投篮命中的概率为0.4，不中的概率为0.6，乙每次投篮命中的概率为0.6，不中的概率为0.4，则在一轮中两人均未中的概率为0.6×0.4＝0.24，至少有一人中的概率为0.76. 所以P (X ＝k )的概率是前k －1轮两人均未中，第k 轮时至少有一人中，则P (X ＝k )＝0.24k－1×0.76. 4. 答案：C解析：10个球中有一个红球，每次取出一球是红球的概率为110，不是红球的概率为910，直到第n 次才取得k (k ≤n )次红球，说明前n －1次中已取得红球k －1次，其余均不为红球．则概率为11119C1010k n kk n ----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭×110＝1119C 1010k n kk n ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.5. 答案：A解析：事件A 在一次试验中发生的概率为p ，由题意得1－04C p 0(1－p )4＝6581. 所以1－p ＝23，p ＝13. 6. 答案：96625解析：每粒种子的发芽概率为45，并且4粒种子的发芽与不发芽互不影响，符合二项分布B 44,5⎛⎫ ⎪⎝⎭，则4粒种子恰有2粒发芽的概率为：22244196C 55625⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 7. 答案：0.947 7解析：治愈的病人数X ～B (4,0.9)，则4个病人中至少被治愈3人的概率为P (X ≥3)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝34C 0.93×0.1＋44C 0.94＝0.947 7.8. 解：由题意，设“一个人生日是元旦”为事件A ，要研究50人的生日，则相当于进行50次试验，显然各人的生日是随机的，互不影响的，所以属于50次独立重复试验，P (A )＝1365，设50人中生于元旦的人数为ξ， 则P (ξ＝0)＝0500501364C 365365⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， P (ξ＝1)＝1491501364C 365365⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， “两人以上生于元旦”的概率为：P (ξ≥2)＝1－P (ξ＜2)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝1)＝1－0500501364C 365365⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭－1491501364C 365365⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≈0. 008 4. 9. 解：(1)每家煤矿需整改的概率是1－0.6＝0.4，且每家煤矿是否整改是独立的．所以恰好有三家煤矿必须整改的概率是p 1＝36C ·0.43·0.63≈0.28. (2)每家煤矿被关闭的概率是0.4×0.1＝0.04，且每家煤矿是否被关闭是相互独立的，所以至少关闭一家煤矿的概率是p 2＝1－(1－0.04)6≈0.22.。
二项分布 经典题1
1. 二项分布是什么？二项分布：进行一系列试验,如果1.在每次试验中只有两种可能的结果,而且是互相对立的;2.每次实验是独立的,与其它各次试验结果无关;3.结果事件发生的概率在整个系列试验中保持不变,则这一系列试验称为伯努力试验.在这试验中,事件发生的次数为一随机事件,它服从二次分布.二项分布可以用于可靠性试验.可靠性试验常常是投入n个相同的式样进行试验T小时,而只允许k个式样失败,应用二项分布可以得到通过试验的概率.二项分布：若某事件概率为p，现重复试验n次，该事件发生k次的概率为:P=C(k,n)×p^k×(1-p)^(n-k).C(k,n)表示组合数，即从n个事物中拿出k个的方法数.2.3.已知随机变量X~B(6,p)，已知P(X=1)=P(X=5),则p=?，P(x=2)=?已知随机变量X~B(6,p)，已知P(X=1)=P(X=5),则p=?，P(x=2)=?随机变量X满足二项分布，参考答案如下：4. 口袋中有5只白色乒乓球，5只黄色乒乓球，从中任取5次，每次取1只后又放回，则5次中恰有3次取到白球的概率是（）因为每次取了都放回，所以每次取到白球的概率都是0.5考查n次独立重复实验中恰有k次发生的概率5次恰有3次取到白球的概率是C(5,3)*0.5³ * 0.5² = C(5,3) *0.5^5 = 5/165. 在一个书包里放3只黄乒乓球和5只白乒乓球，你每次任意摸出一只球这样摸100次。
摸出黄乒乓球的次数大约占总次数的百分之几？2 摸出黄球大约会多少次？3/8100*3/8=37.54yellow 1white20*30/3=200包内一共有8只乒乓球，黄球占3/8白球占5/8那么重复取球100次每次取球取到黄球概率为3/8取到白球的概率为5/8那么取出黄球的次数占总数的3/8取出黄球的次数大约为100×3/8=37.5即是37次回答大约是38次好像也可以使黄球个数占总数的8/10即可：例如可以放4只黄球1只白球也可以放8只黄球2只白球。
二项分布高考试题
二项分布练习题目：1.某人射击一次击中目标的概率为 0.6，经过 3 次射击 ,这人恰有两次击中目标的概率为2.加工某种部件需经过三道工序。
设第一、二、三道工序的合格率分别为 9 、 8 、 7，且各道工序互不影响。
10 9 8(1) 求该种部件的合格率；(2) 从该种部件中任取 3 件，求恰巧取到一件合格品的概率和起码取到一件合格品的概率。
（Ⅰ）解： P9 8 7 7 ；109 810（Ⅱ）解法一：该种部件的合格品率为7，由独立重复试验的10概率公式得：恰巧取到一件合格品的概率为C 317(3 )2 0.189 ，10 10起码取到一件合格品的概率为1 (3)30.973.10解法二：恰巧取到一件合格品的概率为起码取到一件合格品的概率为C 317(3)20.189 ，1010C 17(3)2C 2(7)23 C 3 (7)3 0.973.31010310 10 3 103. 9 粒种子分种在甲、乙、丙 3 个坑内，每坑 3 粒，每粒种子抽芽的概率为 0.5 ，若一个坑内起码有 1 粒种子抽芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没抽芽，则这个坑需要补种。
（Ⅰ）求甲坑不需要补种的概率；（Ⅱ）求 3 个坑中恰有 1 个坑不需要补种的概率；（Ⅲ）求有坑需要补种的概率。
（Ⅰ）解：由于甲坑内的3 粒种子都不抽芽的概率为(1 0.5)31，所1 78以甲坑不需要补种的概率为0.875.188C 317(1)2（Ⅱ）解： 3 个坑恰有一个坑不需要补种的概率为0.041.88（Ⅲ）解法一：由于 3 个坑都不需要补种的概率为(7)3，1 (7)38因此有坑需要补种的概率为0.330.8解法二： 3 个坑中恰有1 个坑需要补种的概率为C 311( 7 ) 2 0.287,8817恰有 2 个坑需要补种的概率为C 32 ( ) 2 0.041,8 83 个坑都需要补种的概率为C 33(1)3(7)0.002.884.某学生在上学路上要经过 4 个路口，假定在各路口能否碰到红灯是互相独立的，碰到红灯的概率都是 1，碰到红灯时逗留的时3间都是 2min.（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时初次碰到红灯的概率；（Ⅱ）求这名学生在上学路上因碰到红灯逗留的总时间x 的分布列 .（Ⅰ）设这名学生在上学路上到第三个路口时初次碰到红灯为事件 A ，由于事件 A 等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有碰到红灯，在第三个路口碰到红灯”，因此事件A 的概率为PA11111 4 .3 3327（Ⅱ）由题意，可得可能取的值为 0，2， 4， 6， 8（单位：min ） .事件“2k ”等价于事件“该学生在路上碰到k 次红灯”（ k0， 1，2， 3， 4），k4k∴ P2k C k412k 0,1,2,3,4，33∴即的散布列是024685.某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各 2 株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为 2 和 1，且各株大树能否成活互不32影响．求移栽的 4 株大树中：（Ⅰ）两种大树各成活 1 株的概率；（Ⅱ）成活的株数的散布列及希望值。
统计学二项分布习题,DOC
(一)单项选择题1．某地人群中高血压的患病率为π，由该地区随机抽查n 人，则（）A ．样本患病率p =X /n 服从B （n ,π）[评析]本题考点：二项分布的正态近似特性。
从对二项分布特性的描述中可知：当n 较大，π不接近0也不接近1时，二项分布B （n ,π）近似正态分布N （n π,)1(ππ-n ）。
π不接近0也不接近1，等同于π接近0.5，因而此题目答案为D 。
3. 以下分布中，其均数和方差总是相等的是（）A．正态分布B.对称分布C．Poisson分布D.二项分布答案：C[评析]本题考点：Poisson分布的特性。
Poisson分布P（μ）的参数只有一个，即μ。
它的均数和方差均C从装有红、绿、蓝三种颜色的乒乓球各500、300、200只的暗箱中随机取出10个球，以X代表所取出球中的红色球数，则X服从二项分布B（10，0.5）。
（）答案：正确。
[评析]本题考点：二项分布的定义。
2二项分布成立的条件是：①每次试验只能是互斥的两个结果之一；②每次试验的条件不变；③各次试验独立。
此题目所述情况完全满足后两个条件，关键在于第一个条件的判断，从表面上看，每次试验的结果有三种，但本题目所关心的试验结果是“红色与否”，因而该试验结果仍为两种互斥的情况—“红色”和“非红色”。
所以，此题目3.Bernoulli试验（二）单项选择题：1.X1、X2分别服从二项分布B（n1，p1）、B（n2，p2），且X1、X相互独立，若要X=X1＋X2也服从二项分布，则需满足下列条件（）。
2A．X1=X2B.n1=n2C．p1=p2D.n1p1=n2p22.二项分布B（n，p）的概率分布图在下列哪种条件下为对称分布（）。
A．n=50B.p=0.5C．np=1D.p=1C．95～105D．74.2～125.8（三）简答题1．服从二项分布及Poisson分布的条件分别是什么？2．二项分布、Poisson分布分别在何种条件下近似正态分布？3．在何种情况下，可以用率的标准误S p描述率的抽样误差？4（四）计算题1.已知我国成人乙肝病毒表面抗原平均阳性率为10%，现随机抽查某地区10位成人的血清，其中3人为阳性。
数学归纳法证明例题之令狐文艳创作
数学归纳法例题令狐文艳例请读者分析下面的证法：证明：①n =1时，左边31311=⨯=，右边31121=+=，左边=右边，等式成立．②假设n =k 时，等式成立，即：()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯k k k k ． 那么当n =k +1时，有：这就是说，当n =k +1时，等式亦成立．由①、②可知，对一切自然数n 等式成立．评述：上面用数学归纳法进行证明的方法是错误的，这是一种假证，假就假在没有利用归纳假设n =k 这一步，当n =k +1时，而是用拆项法推出来的，这样归纳假设起到作用，不符合数学归纳法的要求．正确方法是：当n =k +1时．这就说明，当n =k +1时，等式亦成立，例2．是否存在一个等差数列{a n }，使得对任何自然数n ，等式：a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立，并证明你的结论．分析：采用由特殊到一般的思维方法，先令n =1，2，3时找出来{a n }，然后再证明一般性．解：将n =1，2，3分别代入等式得方程组．⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=60322426321211a a a a a a ， 解得a 1=6，a 2=9，a 3=12，则d =3．故存在一个等差数列a n =3n +3，当n =1，2，3时，已知等式成立．下面用数学归纳法证明存在一个等差数列a n =3n +3，对大于3的自然数，等式a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立．因为起始值已证，可证第二步骤．假设n =k 时，等式成立，即a 1+2a 2+3a 3+…+ka k =k (k +1)(k +2)那么当n =k +1时，a 1+2a 2+3a 3+…+ka k +(k +1)a k +1= k (k +1)(k +2)+ (k +1)[3(k +1)+3]=(k +1)(k 2+2k +3k +6)=(k +1)(k +2)(k +3)=(k +1)[(k +1)+1][(k +1)+2]这就是说，当n =k +1时，也存在一个等差数列a n =3n +3使a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)成立．综合上述，可知存在一个等差数列a n =3n +3，对任何自然数n ，等式a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立．例3．证明不等式n n 2131211<++++ (n ∈N )．证明：①当n =1时，左边=1，右边=2．左边<右边，不等式成立．②假设n =k 时，不等式成立，即k k 2131211<++++ ．那么当n =k +1时，这就是说，当n =k +1时，不等式成立．由①、②可知，原不等式对任意自然数n 都成立．说明：这里要注意，当n =k +1时，要证的目标是1211131211+<++++++k k k ，当代入归纳假设后，就是要证明：12112+<++k k k ．认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标．例4．已知数列{a n }满足a 1=0，a 2=1，当n ∈N 时，a n +2=a n +1+a n ．求证：数列{a n }的第4m +1项(m ∈N )能被3整除．分析：本题由a n +1=a n +1+a n 求出通项公式是比较困难的，因此可考虑用数学归纳法．①当m =1时，a4m+1=a5=a4+a3=(a3+a2)+(a2+a1)=a2+a1+a2+a2+a1=3，能被3整除．②当m=k时，a4k+1能被3整除，那么当n=k+1时，a4(k+1)+1=a4k+5=a4k+4+a4k+3=a4k+3+a4k+2+a4k+2+a4k+1=a4k+2+a4k+1+a4k+2+a4k+2+a4k+1=3a4k+2+2a4k+1由假设a4k+1能被3整除，又3a4k+2能被3整除，故3a4k+2+2a4k+1能被3整除．因此，当m=k+1时，a4(k+1)+1也能被3整除．由①、②可知，对一切自然数m∈N，数列{a n}中的第4m+1项都能被3整除．例5．n个半圆的圆心在同一条直线l上，这n个半圆每两个都相交，且都在直线l的同侧，问这些半圆被所有的交点最多分成多少段圆弧？分析：设这些半圆最多互相分成f (n)段圆弧，采用由特殊到一般的方法，进行猜想和论证．当n=2时，由图(1)．两个半圆交于一点，则分成4段圆弧，故f (2)=4=22．当n=3时，由图(2)．三个半径交于三点，则分成9段圆弧，故f (3)=9=32．由n=4时，由图(3)．三个半圆交于6点，则分成16段圆弧，故f (4)=16=42．由此猜想满足条件的n个半圆互相分成圆弧段有f(n)=n2．用数学归纳法证明如下：①当n=2时，上面已证．②设n=k时，f (k)=k2，那么当n=k+1时，第k+1个半圆与原k个半圆均相交，为获得最多圆弧，任意三个半圆不能交于一点，所以第k+1个半圆把原k个半圆中的每一个半圆中的一段弧分成两段弧，这样就多出k条圆弧；另外原k个半圆把第k+1个半圆分成k+1段，这样又多出了k+1段圆弧．∴f (k+1)=k2+k+(k+1)=k2+2k+1=(k+1)2∴满足条件的k+1个半圆被所有的交点最多分成(k+1)2段圆弧．由①、②可知，满足条件的n个半圆被所有的交点最多分成n2段圆弧．说明：这里要注意；增加一个半圆时，圆弧段增加了多少条？可以从f (2)=4，f (3)=f (2)+2+3，f (4)=f (3)+3+4中发现规律：f (k+1)=f (k)+k+(k+1)．N的4K+1次方-N为何是10的倍数？先证明n^5-n一定是10 的倍数再用数学归纳法证明n^(4k+1)-n也是10的倍数n^5-n=n(n-1)(n+1)(n^2+1)显然n,n-1中必有一个数是偶数所以n^5-1是2的倍数下面分情况讨论n=5t 5t+1 5t+2 5t+3 5t+4 都能得到n^5-n 是5的倍数而(2,5)互质所以n^5-n是10 的倍数所以当k=1时成立假设当k=r时成立即n^(4r+1)-n=10s则当k=r+1 时 n^(4r+4+1)-n=(n^4r+1-n)*n^4+(n^5-n)=n^4*10s+n^5-n由于n^5-n是10的倍数所以当k=r+1时也成立证明:2的n次方大于2n+1,n是大于3的整数n=3时，2^3=8>2*3+1,2的n次方大于2n+1成立设n≤k,k>3时成立则：2^(k+1)=2*2^k>2*(2k+1)=4k+2>2k+8>2(k+1)+1n=k+1时成立所以，2的n次方大于2n+1,n是大于2的整数证明：当且仅当指数n不能被4整除时，1n＋2n＋3n＋4n能被5整除证明设A=1^n＋2^n＋3^n＋4^n，当n=4k(k为整数)时，1^n、3^n的个位数均为1，2^n、4^n的个位均为6，1+1+6+6=14，A的个位为4，显然A不能被5整除当n≠4k时，⑴若n=4k+1，易知A的个位=（1+2+3+4）的个位=0，∴A能被5整除⑵当n=4k+2时，A的个位=（1+4+9+16）的个位=0，∴A能被5整除⑶当n=4k+3时，A的个位=（1+8+27+64）的个位=0，∴A能被5整除综上所述，当且仅当指数n不能被4整除时，A能被5整除，也即当且仅当指数n不能被4整除时，1^n＋2^n＋3^n＋4^n能被5整除。
二项分布例题
1、一个篮子里有5个红球和3个蓝球，随机摸取3次（每次摸取后放回），摸到红球的次数服从什么分布？A. 正态分布B. 二项分布C. 泊松分布D. 均匀分布（答案）B2、某品牌手机的故障率为0.05，若随机抽取100部该品牌手机，故障手机数服从什么分布？A. 指数分布B. 二项分布C. 正态分布D. 卡方分布（答案）B3、一枚硬币投掷5次，正面朝上的次数最可能服从什么分布？A. 二项分布B. 正态分布C. 均匀分布D. t分布（答案）A4、某药品的治愈率为70%，若对100名患者使用该药品，被治愈的患者数服从什么分布？A. F分布B. 二项分布C. 幂律分布D. 对数正态分布（答案）B5、一个骰子投掷3次，出现点数大于4的次数服从什么分布？A. 几何分布B. 二项分布C. 超几何分布D. 瑞利分布（答案）B6、某射击运动员的命中率为80%，若他射击10次，命中的次数服从什么分布？A. 韦布尔分布B. 二项分布C. 柯西分布D. 莱维分布（答案）B7、一箱苹果中有80%是好苹果，随机挑选10个苹果，好苹果的数量服从什么分布？A. 二项分布B. 伽马分布C. 贝塔分布D. 逻辑斯蒂分布（答案）A8、某网站的用户点击广告的概率为0.1，若随机抽取1000名用户，点击广告的用户数服从什么分布？A. 二项分布B. 古斯-贝叶斯分布C. 帕累托分布D. 威布尔分布（答案）A9、一个班级里有40%的学生是女生，随机抽取10名学生，女生的数量服从什么分布？A. 二项分布B. 三角分布C. 梯形分布D. 半正态分布（答案）A10、某产品的合格率为95%，若随机抽取50件产品，合格的产品数服从什么分布？A. 二项分布B. 伯努利分布C. 拉普拉斯分布D. 瑞利分布（答案）A。
勾股定理经典例题(含答案)之令狐文艳创作
经典例题透析令狐文艳类型一：勾股定理的直接用法1、在Rt△ABC中，∠C=90°(1)已知a=6， c=10，求b，(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求 a. 思路点拨:写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。
解析：(1) 在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b=(2) 在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c=(3) 在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a=举一反三【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12,BC=3,则AB的长是多少?【答案】∵∠ACD=90°AD=13, CD=12∴AC2 =AD2－CD2=132－122=25∴AC=5 又∵∠ABC=90°且BC=3 ∴由勾股定理可得AB2=AC2－BC2=52－32=16 ∴AB= 4 ∴AB的长是 4. 类型二：勾股定理的构造应用2、如图，已知：在中，，，. 求：BC的长.思路点拨：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于D，则有，，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的长.解析：作于D，则因，∴（的两个锐角互余）∴（在中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半）. 根据勾股定理，在中，. 根据勾股定理，在中，. ∴. 举一反三【变式1】如图，已知：，，于P. 求证：.解析：连结BM，根据勾股定理，在中，. 而在中，则根据勾股定理有. ∴又∵（已知），∴. 在中，根据勾股定理有，∴.【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。
求：四边形ABCD的面积。
分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
二项分布令狐文艳1．n 次独立重复试验一般地，由n 次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即A 与A ，每次试验中()0P A p =>。
我们将这样的试验称为n 次独立重复试验，也称为伯努利试验。
（1）独立重复试验满足的条件第一：每次试验是在同样条件下进行的；第二：各次试验中的事件是互相独立的；第三：每次试验都只有两种结果。
（2）n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()P X k ==(1)k k n k n C p p --。
2．二项分布若随机变量X 的分布列为()P X k ==k k n k n C p q -，其中0 1.1,0,1,2,,,p p q k n <<+==则称X服从参数为,n p 的二项分布，记作(,)X B n p 。
1．一盒零件中有9个正品和3个次品，每次取一个零件，如果取出的次品不再放回，求在取得正品前已取出的次品数X 的概率分布。
3.甲乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为21，乙每次击中目标的概率为32.（1）记甲击中目标的此时为ξ，求ξ的分布列及数学期望；（2）求乙至多击中目标2次的概率；（3）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率.【巩固练习】1.（2012年高考（浙江理））已知箱中装有4个白球和5个黑球,且规定:取出一个白球的2分,取出一个黑球的1分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3个球,记随机变量X为取出3球所得分数之和.(Ⅰ)求X的分布列;(Ⅱ)求X的数学期望E(X).2．（2012年高考（重庆理））(本小题满分13分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问8分.)甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球,.约定甲先投且先投中者获胜,一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为13,乙每次投篮投中的概率为12,且各次投篮互不影响.(Ⅰ) 求甲获胜的概率;(Ⅱ) 求投篮结束时甲的投篮次数ξ的分布列与期望3．设篮球队A与B进行比赛，每场比赛均有一队胜，若有一队胜4场则比赛宣告结束，假定,A B在每场比赛中获胜的概率都是12，试求需要比赛场数的期望．3．（2012年高考（辽宁理））电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图;将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.(Ⅰ)根据已知条件完成下面的22⨯列联表,并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关?(Ⅱ)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中,采用随机抽样方法每次抽取1名观众,抽取3次,记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X .若每次抽取的结果是相互独立的,求X 的分布列,期望()E X 和方差()D X .5.（2007陕西理）某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为54、53、52，且各轮问题能否正确回答互不影响. （Ⅰ）求该选手被淘汰的概率；（Ⅱ）该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数数期望.（注：本小题结果可用分数表示6. 一批产品共10件，其中7件正品，3件次品，每次从这批产品中任取一件，在下述三种情况下，分别求直至取得正品时所需次数ξ的概率分别布.(1)每次取出的产品不再放回去；（2）每次取出的产品仍放回去；（3）每次取出一件次品后，总是另取一件正品放回到这批产品中.7. （2007•山东）设b 和c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程x 2+bx+c=0实根的个数（重根按ABC60︒湖北理工学院湖北师范学院99 650 151617891258934 6一个计）．（I）求方程x2+bx+c=0有实根的概率；（II）求ξ的分布列和数学期望；8.（本题满分12分）某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动.活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置. 若指针停在A区域返券60元；停在B区域返券30元；停在C区域不返券. 例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和.（I）若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率；（II）若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为X（元），求随机变量X的分布列和数学期望.9. (本题满分12分)中国•黄石第三届国际矿冶文化旅游节将于2012年8月20日在黄石铁山举行，为了搞好接待工作，组委会准备在湖北理工学院和湖北师范学院分别招募8名和12名志愿者，将这20名志愿者的身高编成如下茎叶图（单位：cm）若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个子”，且只有湖北师范学院的“高个子”才能担任“兼职导游”。
（1）根据志愿者的身高编茎叶图指出湖北师范学院志愿者身高的中位数；（2）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？（3）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任“兼职导游”的人数，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望。
10.某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2，……，8，其中X≥5为标准A，X≥3为标准B，已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准（I）已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示：x 5 6 7 81P 0．4 a b 0．1且X1的数字期望EX1=6，求a，b的值；（II）为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：3 5 3 3 8 5 5 6 3 46 3 47 5 3 48 5 38 3 4 3 4 4 7 5 6 7用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望.11. 受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆，统计书数据如下：将频率视为概率，解答下列问题：（I ）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率；（II ）若该厂生产的轿车均能售出，记住生产一辆甲品牌轿车的利润为1X ，生产一辆乙品牌轿车的利润为2X ，分别求1X ，2X 的分布列；（III ）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该产生哪种品牌的轿车？说明理由。
巩固练习答案1.【解析】本题主要考察分布列,数学期望等知识点.(Ⅰ) X 的可能取值有:3,4,5,6.35395(3)42C P X C ===; 21543920(4)42C C P X C ===;12543915(5)42C C P X C ===; 34392(6)42C P X C ===. 故,所求X 的分布列为X3 4 5 6 P 542 20104221= 1554214= 214221=(Ⅱ) 所求X 的数学期望E (X )为:E (X )=6413()3i i P X i =⋅==∑.【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ) 133.2.【考点定位】本题考查离散随机变量的分布列和期望与相互独立事件的概率,考查运用概率知识解决实际问题的能力,相互独立事件是指两事件发生的概率互不影响,注意应用相互独立事件同时发生的概率公式.解:设,k k A B 分别表示甲、乙在第k 次投篮投中,则()13k P A =,()12k P B =, ()1,2,3k ∈(1)记“甲获胜”为事件C,由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知,()()()()111211223P C P A P A B A P A B A B A =++(2)ξ的所有可能为:1,2,3由独立性知:()()()111121213323P P A P A B ξ==+=+⨯= 综上知,ξ有分布列从而,221131233999E ξ=⨯+⨯+⨯=(次) 3. 解：（1）事件“4X =”表示，A 胜4场或B 胜4场（即B 负4场或A 负4场），且两两互斥．4400044411112(4)()()()()222216P X C C ==⨯⨯+⨯⨯=；（2）事件“5X =”表示，A 在第5场中取胜且前4场中胜3场，或B 在第5场中取胜且前4场中胜3场（即第5场A 负且4场中A 负了3场），且这两者又是互斥的，所以（3）类似地，事件“6X =”、“7X =”的概率分别为33532252551111115(6)()()()()22222216P X C C --==+=，比赛场数的分布列为故比赛的期望为2455()4567 5.812516161616E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（场） 这就是说，在比赛双方实力相当的情况下，平均地说，进行6场才能分出胜负．4.【答案及解析】(I)由频率颁布直方图可知,在抽取的100人中,“体育迷”有25人,从而2×2列联表如下:由2×2列联表中数据代入公式计算,得:因为 3.030<3.841,所以,没有理由认为“体育迷”与性别有关.(II)由频率颁布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25,将频率视为概率,即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为14,由题意,,从而X 的分布列为:【点评】本题主要考查统计中的频率分布直方图、独立性检验、离散型随机变量的分布列,期望()E X 和方差()D X ,考查分析解决问题的能力、运算求解能力,难度适中.准确读取频率分布直方图中的数据是解题的关键.5.（Ⅰ）解法一：记“该选手能正确回答第i 轮的问题”的事件为(123)i A i =，，， 则14()5P A =，23()5P A =，32()5P A =，∴该选手被淘汰的概率 142433101555555125=+⨯+⨯⨯=．（Ⅰ）解法二：记“该选手能正确回答第i 轮的问题”的事件为(123)i A i =，，， 则14()5P A =，23()5P A =，32()5P A =．∴该选手被淘汰的概率 4321011555125=-⨯⨯=．（Ⅱ）ξ的可能值为123，，，11(1)()5P P A ξ===，1212428(2)()()()5525P P A A P A P A ξ====⨯=，12124312(3)()()()5525P P A A P A P A ξ====⨯=．ξ∴ξ 1 2 3 P 15 825 12251235252525E ξ∴=⨯+⨯+⨯=． 6.（1）X 的所有可能值为1，2，3，4。