第四讲——整式的乘除与因式分解讲义
讲整式的乘除与因式分解
讲整式的乘除与因式分解ppt xx年xx月xx日contents •整式乘除•因式分解•整式的混合运算•因式分解的应用•常见问题与解答•习题及解析目录01整式乘除总结词系数相乘，相同字母相加，其他字母连同它的指数作为积的一个因式。
详细描述单项式乘法是指将两个单项式的系数相乘，然后将相同字母相加，其他字母连同它的指数作为积的一个因式。
例如，$2x^2 \times 3x^3 = (2 \times 3)x^(2+3) = 6x^5$。
单项式乘法总结词系数相除，相同字母相减，作为商的一个因式。
详细描述单项式除法是指将两个单项式的系数相除，然后将相同字母相减，作为商的一个因式。
例如，$6x^4 \div 3x^2 = (6 \div 3)x^(4-2) = 2x^2$。
单项式除法按整式乘法法则进行运算。
详细描述多项式乘法是指将两个多项式分别按整式乘法法则进行运算，然后将所得的积合并同类项。
例如，$(2x+3)(x+4) = 2x^2 + 8x + 3x + 12 = 2x^2 + 11x + 12$。
总结词按整式除法法则进行运算。
详细描述多项式除法是指将除式按整式除法法则进行运算，然后将所得的商与被除式相乘，得到积后合并同类项。
例如，$(x+5)(x-4) = x^2 - x - 20$，$(x+5)(x-4) \div (x+5) = x-4$。
02因式分解把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。
定义因式分解是整式乘法的逆向变形，可以应用在数字计算、求值、整除性问题、判断三角形的形状、解方程。
意义定义及意义定义如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
方法确定公因式的方法，通常有三种：提取各项的公共因式；括号内各项的共同因式；各项系数的最大公约数和相同字母的最低次幂的积。
提公因式法定义运用公式法进行因式分解，是多项式因式分解的一种重要方法。
八年级上数学整式的乘除与因式分解基本知识点
整式是一个或多个代数式的和、差或积。
整式的乘除与因式分解是数学中非常重要的概念，是解决各种代数问题的基础。
本文将详细介绍八年级上数学中整式的乘除与因式分解的基本知识点。
一、整式的乘法1.1 单项式的乘法：单项式的乘法是指单项式与单项式之间的乘法。
例如：2x ×3y = 6xy，-4a^2 × 5b^3 = -20a^2b^31.2多项式的乘法：多项式的乘法是指多项式与多项式之间的乘法。
例如：(3x+2)(x-1)=3x^2+x-2二、整式的除法2.1 单项式的除法：单项式的除法是指单项式除以单项式。
例如：4x^2 ÷ x = 4x，10a^3b^2 ÷ 2ab = 5a^2b。
2.2多项式的除法：多项式的除法是指多项式除以多项式。
例如：(12x^3+9x^2+3x)÷3x=4x^2+3x+1三、整式的因式分解整式的因式分解是将一个整式写成几个整式的乘积的形式，其中每个整式都是原来整式的因式。
例如：12x^2+8xy，将其因式分解为4x(3x+2y)。
3.1 提取公因式：如果一个整式的每一项都能被同一个整式整除，那么这个公因式就是整式的一个因子。
例如：12x^2+8xy，公因式是4x。
3.2分解差的平方：差的平方是指形如"一个数的平方减另一个数的平方"的表达式。
例如：x^2-9，可因式分解为(x-3)(x+3)。
3.3 分解二次三项式：二次三项式是指形如"一个平方项加两个相同系数的次项"的表达式。
例如：x^2+2xy+y^2，可因式分解为(x+y)^2四、习题例析例1：将多项式4x^2+16x因式分解。
解：这个多项式2x的平方加4x的倍数，所以可以因式分解为4x(x+4)。
例2：将多项式a^2-9因式分解。
解：由差的平方公式可得，a^2-9=(a-3)(a+3)。
例3：将多项式4x^2y^2-8xy^2因式分解。
《乘法公式》整式的乘除与因式分解PPT课件4
计算下列各式，你能发现什么？ (1) (p+1)2 =p2+2p+1=p2+2×p×1+12 (2) (m+2)2= m2+4m+4=m2+2×m×2+22 (3) (p-1)2 = p2-2p+1=p2-2×p×1+12 (4) (m-2)2 = m2- 4m+4=m2-2×m×2+22
猜想 (a+b)2= a2+2ab+b2 (a -b)2= a2 - 2ab+b2
通过上面的研究，你能用语言叙述完全平方公式吗？
完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们 的平方和，加（或减）它们的积的2倍 用符号怎么表述呢？
(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2
其实我们还可以从几何角度去解释完全平方差公式．
你能根据图（1）和图（2）中的面积说明完全平方公 式吗？
动脑筋
完全平方公式 的证明
想一想 (a+b)2=a2+2ab+b2 ; (a−b)2= a2 −2ab+b2.
(1) 你能用多项式的乘法法则来说明它成立吗?
(2) 小颖写出了如下的算式: (a−b)2= [a+(−b)]2
她是怎么想的? 你能继续做下去吗?
推证 (a+b)2 =(a+b)(a+b)=a2+ab+ ab+b2
(1) (4m+n)2; (2) (y- 1 )2.
2
解: (1) (4m+n) 2= (4m)2 + 2•(4m)•n+n2
初中数学整式的乘除与因式分解知识点考点梳理
初中数学整式的乘除与因式分解知识点考点梳理一、整式的乘法整式的乘法是指对两个或多个整式进行乘法运算。
整式乘法主要包括常数与整式相乘、整式与整式相乘和整式与多项式相乘。
1.常数与整式相乘：用一个常数乘以一个整式，只要将该整式的每一项乘以该常数即可。
2.整式与整式相乘：对于两个整式相乘，可以使用分配律和合并同类项的方法来进行乘法。
3.整式与多项式相乘：整式与多项式相乘时，要将整式中的每一项分别与多项式相乘，然后将所得的乘积合并同类项。
二、整式的除法整式的除法是指对一个整式除以另一个整式的操作。
整式的除法主要涉及到多项式的除法和多项式的带余除法。
1.多项式的除法：多项式的除法要求被除式和除式都是多项式。
多项式的除法可以使用长除法的方法，将被除式从左到右每一项与除式进行相除，然后将所得商依次写下。
2.多项式的带余除法：多项式的带余除法是对多项式进行除法运算时同时求出商和余数。
在多项式的带余除法中，我们要先根据需要进行合并同类项或补零操作，然后按正常的多项式除法进行运算。
三、因式分解的基本概念因式分解是将一个整式写成多个整式的乘积的过程，这些被乘积的整式称为因式。
因式分解是整式运算中的重要部分，它在解决实际问题和简化计算中起到了重要的作用。
四、因式分解的常用方法1.提取公因式：提取公因式是指将多项式中多个项的公共因子提取出来。
提取公因式的方法是将多项式中每一项的各个因子进行相应的整理，找出它们的最大公因式。
2.公式法：公式法是指将一些特定的整式的乘积进行因式分解。
例如，平方差公式、差平方公式和完全平方公式等，都是常用的公式法。
3.组合因式法：组合因式法是根据多项式的特点，将多项式进行适当的组合，然后找出其因式。
组合因式法是一个灵活运用的方法，可以根据需要进行不同形式的组合。
五、因式分解的应用因式分解在数学中有广泛的应用。
它可以帮助我们解决实际问题、简化计算和求解方程等。
1.解决实际问题：通过因式分解，我们可以将实际问题转化为求解因式的问题，从而帮助我们更好地理解和解决实际问题。
整式的乘除与因式分解概述
整式的乘除与因式分解概述本章属于《全日制义务教育数学课程标准》中的“数与代数”领域，整式是代数式中最基本的式子，引进整式是实际的需要，也是学习分式、一元二次方程的后续内容的需要，整式的乘除是在学习了整式定义，整式加减的基础上对整式的进一步学习，本章的主要内容是幂的有关运算，整式的乘法，乘法公式和因式分解，这些知识是以后学习分式和根式运算，一元二次方程，函数等知识的基础，同时也是学习物理、化学等学科及其他科学技术不可或缺的数学工具，是整个初中数学学习中承上起下的重要基础知识。
一、课程学习目标：1、理解并掌握同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方等运算法则。
2、会进行简单的整式乘法运算，会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算。
3、了解同底数幂除法的运算性质，能运用性质计算或解决一些实际问题，理解单项式除以单项式的意义和法则，会进行单项式与单项式，多项式与单项式的除法运算，理解整式除法的算理，进一步体会运算中的转化，互逆和整体的思想。
4、掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算。
5、理解因式分解的意义并感受因式分解与整式乘法是相反方向的变形，因式分解不是一种运算，而是变形，掌握提公因式法和运用公式法，这两种分解因式的基本方法，了解因式分解的一般步骤，能熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解。
二、教学重难点及方法:1、注重本章内容的承前启后的作用：学习整式的乘除法，必须以已学过的数学知识为基础，与数的乘方、数的加减乘除运算法则为基础。
通过对数与式的运算的分析，使学生理解认识事物的过程:由特殊到一般，又由一般到特殊；在不断重复中得到提高。
因式分解是代数式的重要内容之一，它与前面的整式和后续的分式联系极为密切，因式分解的理论依据就是多项式乘法的逆变形，因式分解在解方程和函数变形等方面也经常使用。
2、渗透“转化”的思想方法以及数学知识间的内在联系。
整式的乘除及因式分解知识点归纳
整式的乘除及因式分解知识点归纳整式是指由字母和常数经过加、减、乘、除运算得到的代数式。
乘除整式的运算及因式分解是代数学中非常基础和重要的知识点，下面将对乘除整式及因式分解的相关知识进行归纳。
一、乘法运算乘法运算是整式运算中最基本的运算。
在乘法运算中，有以下几个重要的法则：1.乘法交换律：a*b=b*a2.乘法结合律：(a*b)*c=a*(b*c)3.分配律：a*(b+c)=a*b+a*c4.单项式相乘法则：单项式相乘时，将各个单项式的系数相乘，同类项的指数相加。
例子：(2x^2)(3x^3)=2*3*x^2*x^3=6x^(2+3)=6x^5二、除法运算除法运算是整式运算中的一种重要运算。
除法运算可分为两种情况：1.恒等除法：当被除式为0时，整式除以0是没有意义的。
即0除以0没有定义。
2.非恒等除法：非零整式除以非零整式时，被除式乘以除数的倒数。
例子：(4x^4)/(2x^2)=4/2*x^4/x^2=2x^(4-2)=2x^2三、因式分解因式分解是指将一个整式表示为几个其它整式相乘的结果，称这些整式为原式的因式。
1.提取公因式：将一个整式的公因式提取出来，得到一个公因式和一个把原式除以公因式的商。
例子：8x^3+12x^2=4x^2(2x+3)2.根据乘法结合律和分配律，将每一个单项式的因式分别提出来。
例子：3xy + 9x + 6y + 18 = 3(x + 3) + 6(y + 3) = 3(x + 3 +2(y + 3)) = 3(x + 2y + 9)3.因式分解中，根据不同的整式形式，可以采用不同的方法进行因式分解。
常见的因式分解方法有：(1)一元二次整式的因式分解：对形如ax^2 + bx + c的一元二次整式，可以使用因式分解公式 (ax + m)(cx + n)进行分解，其中m、n分别是满足m*n=ac的两个数。
例子：x^2-5x+6=(x-2)(x-3)(2)立方差公式：对形如a^3 - b^3的整式，可以使用立方差公式 (a - b)(a^2 + ab + b^2)进行分解。
初中数学整式的乘除与分解因式知识点
初中数学整式的乘除与分解因式知识点
整式的乘法与除法是初中数学中的重点内容之一。
下面是一些相关的知识点：
1. 整式的乘法：整式的乘法要注意项的乘法和系数的乘法。
将每一项的系数分别相乘，并将指数分别相加，得到乘积的系数和指数。
例如：(3x+2)(4x-1)
首先扩展，得到12x^2 + 5x - 2。
2. 整式的除法：整式的除法是通过“乘除消数”的方法来完成的。
将除数乘以一个适
当的式子，使得结果与被除式的某个部分相等或尽量接近。
然后将乘积减去被除式，
重复之前的步骤，直到无法再减少为止。
例如：(2x^2 + 5x + 3) ÷ (x + 1)
首先将被除式分解为(x + 1)(2x + 3)，然后进行乘法，得到2x^2 + 5x + 3。
然后将乘积减去被除式，得到0。
所以结果为2x + 3。
3. 因式的分解：整式的因式分解是将一个整式写成几个因式的乘积的形式。
例如：6x^2 + 11x + 3的因式分解为(2x + 1)(3x + 3)。
这些知识点在初中数学中是比较基础的内容，掌握了整式的乘除与分解因式的方法，
将有助于解决更复杂的数学问题。
初中数学整式的乘除与因式分解知识点归纳
初中数学整式的乘除与因式分解知识点归纳一、整式的乘法：1.普通整式相乘：将每一项的系数相乘，同时将每一项的指数相加。
2.平方整式相乘：先将每一项平方，再将每一项相乘得到结果。
3.完全平方的平方差公式：(a-b)(a+b)=a²-b²。
4. 公式展开：通过公式展开可求两个或多个整式的乘积，例如(a+b)²=a²+2ab+b²。
二、整式的除法：1.整式相除的概念：整式A除以整式B，若存在整式C，使得B×C=A，那么C称为A除以B的商式。
2.用辗转相除法进行整式的除法计算。
三、因式分解：1.抽象公因式法：将多项式中的每一项提取出公因式，然后将剩下的部分合并。
2.公式法：运用一些常用的公式，如平方差公式、完全平方公式等进行因式分解。
3.分组法：将多项式中的项进行分组，使每一组都有一个公因式，然后进行合并。
4. 二次三项式的因式分解：对于二次三项式a²+2ab+b²或a²-2ab+b²，可以因式分解为(a±b)²。
5.因式定理和余式定理：若(x-a)是多项式P(x)的因式，则P(a)=0。
根据这一定理可以找到多项式的因式。
四、常见整式的因式分解：1.平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)。
2. 完全平方公式：a²+2ab+b²=(a+b)²，a²-2ab+b²=(a-b)²。
3. 符号"相反"公式：a²-2ab+b²=(b-a)²。
4. 三项平方公式：a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)，a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)。
5. 公因式公式：a²+ab=a(a+b)。
整式的乘除与因式分解知识点归纳
整式的乘除与因式分解知识点归纳整式是由常数、变量及它们的积和和差经过有限次加、减、乘运算得到的式子。
整式有不同的运算法则，包括乘法、除法和因式分解。
以下是整式的乘除与因式分解的知识点归纳：1.整式的乘法：整式的乘法是指两个或多个整式相乘的运算。
在整式相乘时，需注意以下几点：-两个或多个常数相乘，结果仍是常数；-两个或多个同类项相乘，结果是它们的系数相乘，指数相加的同类项；-不同类项相乘时，按照乘法交换律和乘法结合律可以调整次序、合并同类项；-乘法运算中可以运用分配率，将一个整式乘以一个括号内的整式，再将结果分别与括号内的各项相乘，最后合并同类项得出结果。
2．整式的除法：整式的除法是指将一个整式除以另一个整式的运算。
在整式相除时，需要注意以下几点：-除法的定义：对于两个整式f(x)和g(x)，若存在整式q(x)和r(x)，使得f(x)=q(x)·g(x)+r(x)，且r(x)是0或次数低于g(x)的整式，则称g(x)是f(x)的除式，q(x)是商式，r(x)是余式；-除法的步骤：进行长除法运算，从被除式中选择一个最高次项与除式的最高次项相除，得到商式的最高次项；-对除式乘以商式后减去得到的结果，继续进行除法计算，重复以上步骤；-最后得到的商式即为整式的商，最后得到的余式即为整式的余式。
3.整式的因式分解：因式分解是指将一个整式拆分成多个整式的乘积。
在进行因式分解时，需要注意以下几点：-提取公因式：当一个整式的各个项都有相同的因子时，可以提取出该因子作为公因式；-分解差的平方：对于形如a^2-b^2的差的平方，可以分解成(a+b)(a-b)的乘积；-分解一些特殊形式的整式，如完全平方差、完全立方和差、完全立方和等；-假设原式可分解成两个较简单的整式，然后根据求解思路进行分解。
整式的乘除运算和因式分解是数学中重要的操作，有广泛的应用。
在代数方程求解、多项式计算、消元法等多个数学领域中，都需要运用到整式的乘除与因式分解的知识。
第04讲 整式的乘法与因式分解
3.(2012·苏州中考)若3×9m×27m=321，则m的值是(
)
(A)3
(B)4
(C)5
(D)6
【解析】选B.3×9m×27m=3×32m×33m=31+2m+3m=31+5m,
∴1+5m=21,m=4.
4.(2012·怀化中考)当x=1,y 1 时，3x(2x+y)-2x(x-y)=_____.
4.乘法公式 (1)平方差公式 两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，即 a2-b2 (a+b)(a-b)=_____. (2)完全平方公式 两个数和(或差)的平方，等于它们平方和加上(或减去)它们积 a2±2ab+b2 的2倍,即：(a±b)2=__________.
【即时应用】
1 a 3 b 5 c3 3 1.计算：2a 2 b3 1 ab 2c3 _________ . 6
________.
【解析】x2+ 答案：7
1 1 =3,则x2+ 2 的值为 x x
1 1 =(x+ )2-2x×1 =32-2=7. x2 x x
3.(2012·江西中考)已知(m-n)2=8,(m+n)2=2,
则m2+n2=________.
【解析】两式相加得：m2-2mn+n2+m2+2mn+n2=10， ∴2(m2+n2)=10，∴m2+n2=5. 答案：5
第四讲 整式的乘法与因式分解
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1.了解：因式分解的定义，提公因式法. 2.掌握：幂的运算性质，整式乘法法则，乘法公式，因式分解 的方法. 3.能：运用整式乘法法则和乘法公式进行整式的乘法运算以及 用两种方法分解因式.
整式的乘除与因式分解知识点全面
整式的乘除与因式分解知识点全面一、整式的乘法与除法知识点：1.整式的乘法：整式的乘法是指两个或多个整式相乘的运算。
乘法的结果称为“积”。
-乘法的交换律：a×b=b×a-乘法的结合律：(a×b)×c=a×(b×c)-乘法的分配律：a×(b+c)=a×b+a×c2.整式的除法：整式的除法是指一个整式被另一个整式除的运算。
除法的结果称为“商”和“余数”。
-除法的除数不能为0，即被除式不能为0。
-除法的商和余数满足等式：被除式=除数×商+余数3.次数与次项：整式中的变量的幂次称为整式的次数。
次数为0的项称为常数项，次数最高的项称为最高次项。
4.整式的乘除法规则：-乘法规则：乘法运算时，将整式中的每一项依次相乘，然后将结果相加即可。
-除法规则：除法运算时，可以通过因式分解的方法进行计算。
5.乘法口诀：乘法口诀是指两个整数相乘时的计算规则。
-两个正整数相乘，结果为正数。
-两个负整数相乘，结果为正数。
-一个正整数与一个负整数相乘，结果为负数。
二、因式分解知识点：1.因式分解：因式分解是将一个整式表示为几个乘积的形式的运算。
可以通过提取公因式、配方法等方式进行因式分解。
2.提取公因式：提取公因式是指将整式中公共的因子提取出来，分解成公因式和余因式的乘积的过程。
3.配方法：配方法是指将整式中的一些项配对相加或相乘，通过变换形式，使得整个式子能够因式分解的过程。
4.差的平方公式：差的平方公式是指一个完全平方的差能够分解成两个因子相加的形式。
例如：a^2-b^2=(a+b)(a-b)。
5. 完全平方公式：完全平方公式是指一个完全平方的和可以分解成一个因子的平方的和的形式。
例如：a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^26.公式法：根据特定的公式，将整式进行因式分解。
7.分组法：将整式中的项分为两组，分别提取公因式，然后进行配方法或其他操作，将整式进行因式分解。
整式的乘除因式分解定义公式总结
整式的乘除因式分解定义公式总结.doc整式的乘除与因式分解定义公式总结一、引言整式是代数学中的基础概念，它包括多项式和单项式。
整式的乘除和因式分解是代数学中的重要操作，对于解决代数问题具有重要意义。
本文档旨在总结整式乘除的基本规则和因式分解的常用方法。
二、整式的定义单项式：由系数和变量的乘积组成的代数表达式，例如 (3x^2)。
多项式：由若干个单项式的和组成的代数表达式，例如 (3x^2 + 2x -5)。
三、整式的乘法单项式乘单项式：系数相乘，变量的指数相加，例如 (2x \cdot 3y = 6xy)。
多项式乘多项式：使用分配律逐项相乘，然后合并同类项，例如 ((x + 2)(x - 3) = x^2 - 3x + 2x - 6 = x^2 - x - 6)。
四、整式的除法多项式除以单项式：将多项式的每一项分别除以单项式，然后合并结果，例如((3x^2 + 6x + 9) ÷ 3 = x^2 + 2x + 3)。
多项式除以多项式：使用多项式长除法或合成除法，例如 ((x^2 - 4) ÷ (x - 2) = x + 2)。
五、因式分解的定义因式分解是将一个多项式表达为几个多项式的乘积的过程。
六、因式分解的基本方法提取公因式：找出所有项共有的因子并提取出来，例如 (6x^2 + 9x = 3x(2x + 3))。
公式法：利用已知的代数公式进行因式分解，例如平方差公式 (a^2 - b^2 = (a + b)(a - b))。
配方法：通过添加和减去相同的数，将多项式转化为完全平方的形式，例如 (x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2)。
分组法：将多项式分成几组，每组内部可以提取公因式或应用其他因式分解方法，例如 (x^3 + x^2 + x + 1 = (x^2 + 1)(x + 1))。
七、特殊多项式的因式分解完全平方三项式：形如 (a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2) 的多项式。
整式的乘法与因式分解知识点
整式的乘法与因式分解知识点整式的乘法和因式分解是初中数学中的重要知识点，也是后续学习代数、方程和不等式的基础。
本文将详细介绍整式的乘法和因式分解的定义、性质和方法。
一、整式的乘法整式是由常数和单项式相加（减）得到的代数式，其中单项式是指只包含一个变量的项。
整式的乘法是指将两个或多个整式相乘的运算。
1.单项式的乘法：单项式的乘法遵循以下运算法则：-同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
例如，a^m*a^n=a^(m+n)。
-不同底数幂相乘，指数相乘。
例如，a^m*b^n=a^m*b^n。
- 系数相乘。
例如，k * t = kt。
2.多项式的乘法：多项式的乘法通过将每一项都与另一个多项式的每一项相乘，并将结果相加得到。
例如，(a+b+c)(x+y+z) = ax+ay+az+bx+by+bz+cx+cy+cz。
这个过程通常称为“分配律”。
二、整式的因式分解整式的因式分解是指将一个整式表示成几个单项式的乘积的运算。
因式分解的基本思路是找到整式的公因式，然后使用“提公因式法”将整式表示为公因式与其余部分的乘积。
1.提公因式法：假设整式ax+bx有一个公因式x，则可以将其改写为x(a+b)。
这个过程是因式分解中最基本的方法。
根据此原理，我们可以使用提公因式法因式分解更复杂的整式。
2.完全平方公式的因式分解：完全平方公式是指一个二次三项式（即一元二次多项式）的平方可以被因式分解成两个平方的和或差。
例如，a^2+2ab+b^2可以因式分解为(a+b)^2，而a^2-2ab+b^2可以因式分解为(a-b)^23.完全立方公式的因式分解：完全立方公式是指一个三次三项式（即一元三次多项式）的立方可以被因式分解成两个立方的和或差。
例如，a^3+3a^2b+3ab^2+b^3可以因式分解为(a+b)^3，而a^3-3a^2b+3ab^2-b^3可以因式分解为(a-b)^34.分组分解法：分组分解法是指根据整式中各项之间的关系将整式进行分组，以便使用提公因式法进行因式分解。
《整式的除法》整式的乘除与因式分解
《整式的除法》整式的乘除与因式分解日期:目录•整式的乘法和除法概述•整式的因式分解•整式的除法详细解析•练习题与答疑整式的乘法和除法概述整式是由常数、变量和运算符（加、减、乘）构成的代数表达式。
定义整式具有结合律、交换律和分配律等代数性质。
性质整式的定义和性质两个整式相乘时，可以将它们的各项相乘并相加，得到一个新的整式作为乘积。
在整式的除法中，我们通常通过因式分解的方式将被除数和除数进行化简，然后消除相同的因式，得到最简结果。
乘法法则和除法法则除法法则乘法法则解决实际问题：整式的乘除常常用于解决各种实际问题，如工程问题、物理问题等，通过建立整式模型，可以更好地理解和解决问题。
计算机科学：在计算机科学中，整式的乘除也有重要应用，如多项式求值、密码学等领域。
这些内容构成了《整式的除法》中整式的乘除与因式分解的基本框架和知识点。
通过对这些内容的深入学习和理解，可以更好地掌握整式的乘除运算以及其在各个领域中的应用。
数学推导：在数学推导过程中，整式的乘除是基本的代数运算，它们被广泛应用于证明定理、化简表达式等。
整式乘除的应用场景整式的因式分解因式分解的定义和意义因式分解，又称作因子分解，是将一个多项式表示为几个多项式的乘积的过程。
意义因式分解是代数的基本工具，它简化了多项式的运算，并在解决方程、不等式和其他数学问题中起到关键作用。
当多项式的各项有公共因式时，可将公共因式提取出来，从而简化多项式。
提公因式法公式法分组分解法利用代数公式，如平方差公式、完全平方公式等，进行因式分解。
将多项式的项分组，使每组都能进行因式分解，然后再将各组的结果结合起来。
030201常见因式分解的方法通过因式分解，可以将某些类型的方程（如一元二次方程）化为更简单的形式，从而更容易求解。
解方程因式分解在不等式的求解过程中也起到简化作用，通过分解可以更清晰地看出不等式的解集。
求解不等式在多项式运算中，通过因式分解可以简化计算过程，提高计算效率。
整式的乘法与因式分解讲义
整式乘除与因式分解一．知识点1．幂的运算性质：a m ·a n ＝a m ＋n（m 、n 为正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加．例：(－2a )2(－3a 2)3 2．()n m a ＝ a m n （m 、n 为正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘．例： (－a 5)53．()n n n b a ab = （n 为正整数） 积的乘方等于各因式乘方的积．例：(－a 2b )34．n m a a ÷＝ a m －n （a ≠0，m 、n 都是正整数，且m ＞n ）同底数幂相除，底数不变，指数相减．例：（1）x 8÷x 2 （2）（a b ）5÷（a b ）2 5．零指数幂的概念：a 0＝1 （a ≠0）任何一个不等于零的数的零指数幂都等于l ．例：若1)32(0=-b a 成立，则b a ,满足什么条件？6．负指数幂的概念： a －p ＝p a 1（a ≠0，p 是正整数）任何一个不等于零的数的－p （p 是正整数）指数幂，等于这个数的p 指数幂的倒数． 也可表示为：pp n m m n ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-（m ≠0，n ≠0，p 为正整数）7．单项式的乘法法则：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．例：（1）223123abc abc b a ⋅⋅ （2）4233)2()21(n m n m -⋅- 8．单项式与多项式的乘法法则： 单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加． 例：（1）)35(222b a ab ab + （2）ab ab ab 21)232(2⋅- （3）)32()5(-22n m n n m -+⋅ （4）xyz z xy z y x ⋅++)(23229．多项式与多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．例：（1）)6.0(1x x --）（ （2）))(2(y x y x -+ （3）2)2n m +-（练习：1．计算2x 3·(－2xy)(－12xy) 3的结果是 2．如果(a n b ·ab m ) 3＝a 9b 15，那么mn 的值是 3．若k(2k －5)＋2k(1－k)＝32，则k ＝ 4．(－3x 2)＋(2x －3y)(2x －5y)－3y(4x －5y)＝10．单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．例：（1）28x 4y 2÷7x 3y （2）-5a 5b 3c ÷15a 4b （3）（2x 2y ）3·（-7xy 2）÷14x 4y 311．多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把商相加．练习：（1）223247173y x z y x ÷-； （2）()⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷-2232232y x y x ；易错点：在幂的运算中，由于法则掌握不准出现错误；有关多项式的乘法计算出现错误；误用同底数幂的除法法则；用单项式除以单项式法则或多项式除以单项式法则出错；乘除混合运算顺序出错。
《整式的乘法》整式的乘法与因式分解PPT优秀教学课件
归纳
多项式除以单项式
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除 以这个单项式，再把所得的商相加.
转化
多项式除以单项式
单项式除以单项式
示例： (28x3y14x2y27x)7x 28x3y7x14x2y27x7x7x 4x2y2xy21
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
典型例题
单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商 的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的 指数作为商的一个因式.
被除式的系数 除式的系数
底数不变， 保留作为商 指数相减. 的一个因式.
商式系数·同底的幂·被除式里单独有的幂 示例：6x4y6z8x2y2(68)·(x4x2)·(y6y2)·z3x2y4z
14.1.4 整式的乘法
学习目标
1.掌握单项式除以单项式、多项式除以单项式的法则，理解除法运算的
整
算理；
式
2.能熟练运用单项式除以单项式、多项式除以单项式的法则计算，并能
的
解决一些实际问题；
除
3.经历探索整式除法运算法则的过程，进一步体会类比方法的作用，发
法
展运算能力；
4.让学生主动参与到探索过程中，发展有条理的思考及表达能力.
(ambm)m
如何计算?
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
探究
除法是乘法的逆运算
(ambm)m( ab)
( ab)·mambm
ammbmmab
单项式除以单项式
(ambm)mammbmmab
讨论 尝试归纳多项式除以单项式的运算法则.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
整式的乘除与因式分解基础知识详解
整式的乘除与因式分解目录一、幂的运算二、整式的乘法三、整式的除法四、乘法公式五、提公因数法六、平方差公式七、完全平方式八、十字相乘法及分组分解法九、《整式的乘除与因式分解》全章复习与巩固一、幂的运算基础知识讲解【学习目标】1. 掌握正整数幂的乘法运算性质（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方）；2. 能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算.【要点梳理】要点一、同底数幂的乘法性质(其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即（都是正整数）.（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。
即（都是正整数）.要点二、幂的乘方法则(其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.要点诠释：（1）公式的推广： (，均为正整数) （2）逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.要点三、积的乘方法则(其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.+⋅=m n m n a a a ,m n m n p m n p a a a a ++⋅⋅=,,m n p m n m n a a a +=⋅,m n ()=m n mn a a ,m n (())=m n p mnp a a0≠a ,,m n p ()()n m mn m n a a a ==()=⋅n n n ab a b n要点诠释：（1）公式的推广： (为正整数). （2）逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如： 要点四、注意事项（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏.（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方.（5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.（6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯. 二、整式的乘法基础知识讲解【学习目标】1. 会进行单项式的乘法,单项式与多项式的乘法,多项式的乘法计算．2. 掌握整式的加、减、乘、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律简化运算.【要点梳理】要点一、单项式的乘法法则单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.要点诠释：（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.（2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式.（3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成.（4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则.要点二、单项式与多项式相乘的运算法则单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即.要点诠释：（1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题.（2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同.（3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号.（4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果.要点三、多项式与多项式相乘的运算法则()=⋅⋅n n n nabc a b c n ()nn n a b ab =1010101122 1.22⎛⎫⎛⎫⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()m a b c ma mb mc ++=++多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即.要点诠释：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：.三、整式的除法基础知识讲解【学习目标】1. 会用同底数幂的除法性质进行计算．2. 会进行单项式除以单项式的计算．3. 会进行多项式除以单项式的计算．【要点梳理】要点一、同底数幂的除法法则同底数幂相除，底数不变，指数相减，即（≠0，都是正整数，并且）要点诠释：（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算.（2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式.（3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质.（4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式.要点二、零指数幂任何不等于0的数的0次幂都等于1.即（≠0）要点诠释：底数不能为0，无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫0次单项式.要点三、单项式除以单项式法则单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只有被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.要点诠释：（1）法则包括三个方面：①系数相除；②同底数幂相除；③只在被除式里出现的字母，连同它的指数作为商的一个因式.（2）单项式除法的实质即有理数的除法（系数部分）和同底数幂的除法的组合，单项式除以单项式的结果仍为单项式.要点四、多项式除以单项式法则多项式除以单项式：先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.即要点诠释：（1）由法则可知，多项式除以单项式转化为单项式除以单项式来解决，其实质是将它分解成多个单项式除以单项式.（2）利用法则计算时，多项式的各项要包括它前面的符号，要注意符号的变化.()()a b m n am an bm bn ++=+++()()()2x a x b x a b x ab ++=+++m n m n a a a -÷=a m n 、m n >01a =a a 00()am bm cm m am m bm m cm m a b c ++÷=÷+÷+÷=++四、乘法公式基础知识讲解【学习目标】1. 掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；2. 学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.【要点梳理】要点一、平方差公式平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.要点诠释：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：（1）位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型（2）系数变化：如（3）指数变化：如（4）符号变化：如（5）增项变化：如（6）增因式变化：如要点二、完全平方公式完全平方公式：两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：要点三、添括号法则添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.要点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查22()()a b a b a b +-=-b a ,()()a b b a +-+(35)(35)x y x y +-3232()()m n m n +-()()a b a b ---()()m n p m n p ++-+2244()()()()a b a b a b a b -+++()2222a b a ab b +=++2222)(b ab a b a +-=-()2222a b a b ab +=+-()22a b ab =-+()()224a b a b ab +=-+添括号是否正确.要点四、补充公式；；；.五、提公因式法基础知识讲解【学习目标】1. 了解因式分解的意义,以及它与整式乘法的关系；2． 能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法将多项式分解因式.【要点梳理】要点一、因式分解把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.要点诠释：（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式.（2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.（3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.要点二、公因式多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式.要点诠释：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式.（2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式.（3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的.要点三、提公因式法把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法．要点诠释：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，即 .（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号.（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误.六、平方差公式基础知识讲解【学习目标】1. 能运用平方差公式把简单的多项式进行因式分解.2()()()x p x q x p q x pq ++=+++2233()()a b a ab b a b ±+=±m 33223()33a b a a b ab b ±=±+±2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++m m2. 会综合运用提公因式法和平方差公式把多项式分解因式；3．发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯.【要点梳理】要点一、公式法——平方差公式两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式.（2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.（3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.要点二、因式分解步骤（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）． 要点三、因式分解注意事项（1）因式分解的对象是多项式；（2）最终把多项式化成乘积形式；（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．七、完全平方式基础知识讲解【学习目标】1. 能运用完全平方公式把简单的多项式进行因式分解.2. 会综合运用提公因式法和公式法把多项式分解因式；3．发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯.【要点梳理】要点一、公式法——完全平方公式两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． 即，. 形如，的式子叫做完全平方式.要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方.（3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件.（4）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.要点二、因式分解步骤（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）． 要点三、因式分解注意事项（1）因式分解的对象是多项式； ()()22a b a b a b -=+-a b a b ()2222a ab b a b ++=+()2222a ab b a b -+=-222a ab b ++222a ab b -+a b a b（2）最终把多项式化成乘积形式；（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．八、十字相乘法及分组分解法基础知识讲解【学习目标】1. 熟练掌握首项系数为1的形如型的二次三项式的因式分解.2. 基础较好的同学可进一步掌握首项系数非1的简单的整系数二次三项式的因式分解.3. 对于再学有余力的学生可进一步掌握分数系数；实数系数；字母系数的二次三项式的因式分解.(但应控制好难度)4. 掌握好简单的分组分解法.【要点梳理】要点一、十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式，若存在 ，则 要点诠释：（1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则同号(若，则异号)，然后依据一次项系数的正负再确定的符号（2）若中的为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止.要点二、首项系数不为1的十字相乘法在二次三项式(≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下：按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即. 要点诠释：（1）分解思路为“看两端，凑中间”（2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.pq x q p x +++)(22x bx c ++pq c p q b =⎧⎨+=⎩()()2x bx c x p x q ++=++2x bx c ++c 0c >p q 、0c <p q 、b p q 、2x bx c ++b c 、c b 2ax bx c ++a a 12a a a =c 12c c c =1212a a c c ，，，1221a c a c +2ax bx c ++b 1221a c a c b +=11a x c +22a x c +()()21122ax bx c a x c a x c ++=++a要点三、分组分解法对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.要点诠释：分组分解法分解因式常用的思路有：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形.添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法.九、《整式的乘除与因式分解》全章复习与巩固【学习目标】1. 掌握正整数幂的运算性质，并能运用它们熟练地进行运算；掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算；2. 会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3. 掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算；4. 理解因式分解的意义，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算，掌握提公因式法和公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法，了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解.【知识网络】【要点梳理】要点一、幂的运算1.同底数幂的乘法：(为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加.2.幂的乘方：(为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘. 3.积的乘方：(为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积. 4.同底数幂的除法：(≠0, 为正整数，并且). 同底数幂相除，底数不变，指数相减.5.零指数幂：即任何不等于零的数的零次方等于1. 要点诠释：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.要点二、整式的乘法和除法1.单项式乘以单项式单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.2.单项式乘以多项式单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即(都是单项式).3.多项式乘以多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即.m n ，m n ，n a m n ，m n >()010.a a =≠mc mb ma c b a m ++=++)(c b a m ,,,()()a b m n am an bm bn ++=+++要点诠释：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：. 4.单项式相除把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.5.多项式除以单项式先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.即：要点三、乘法公式1.平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.要点诠释：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.2. 完全平方公式：；两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.要点四、因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等.要点诠释：落实好方法的综合运用：首先提取公因式，然后考虑用公式；两项平方或立方，三项完全或十字；四项以上想分组，分组分得要合适；几种方法反复试，最后须是连乘式；因式分解要彻底，一次一次又一次. ()()()2x a x b x a b x ab ++=+++()am bm cm m am m bm m cm m a b c ++÷=÷+÷+÷=++22()()a b a b a b +-=-a b ，()2222a b a ab b +=++2222)(b ab a b a +-=-。
整式的乘除与因式分解复习课件
1、利用因式分解计算：
（1）200312 00210012
（2）(1－
1 22
)(1－312
)(1－412
)…(1－
1 102
)
（3）20042-4008×2005+20052
（4）9.92－9.9×0.2＋0.01
2、若a、b、c为△ABC的三边，且满足 a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，试判断△ABC 的形状。
（一）整式的乘法
1、同底数幂的乘法 3、积的乘方 5、单项式乘以单项式 7、多项式乘以多项式 9、完全平方公式
2、幂的乘方 4、同底数的幂相除 6、单项式乘以多项式 8、平方差公式
（二）整式的除法
1、单项式除以单项式 2、多项式除以单项式
知你 识回
忆 起 了 吗 ？ 就 这 些
（一）整式的乘法
1、同底数幂的乘法 法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
8.整式的除法：
（1）、同底数幂的除法
一般地，我们有
a a a m n
mn （其中a≠0，m、n为
正整数,并且m＞n ）
即：同底数幂相除，底数不变，指数相减。
a0 1(a 0)
即任何不等于0的数的0次幂都等于1
（2）、单项式除以单项式
法则：单项式除以单项式，把它们的系数、同 底数幂分别相除作为商的一个因式，对于只在被 除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一 个因式。 （3）、多项式除以单项式
（1）.公因式：一个多项式的各项都含有的公共
的因式，叫做这个多项式各项的公因式
（2）找公因式：找各项系数的最大公约
数与各项都含有的字母的最低次幂的积。
. （3） 提公因式法：一般地，如果多项式的各
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整式的乘除与因式分解、基础知识1、单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。
单独的一个数或一个字母也是单项式。
单项式的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数。
如：2a2bc 的系数为2，次数为4，单独的一个非零数的次数是0。
2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。
多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。
如：a2 2ab x 1,项有a2、2ab、x、1,二次项为a2、2ab，一次项为x , 常数项为1，各项次数分别为2，2，1，0，系数分别为1，-2，1，1，叫二次四项式。
3、整式：单项式和多项式统称整式。
注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。
也不是单项式和多项式。
4、同底数幕的乘法法则：a m a n a mn（m,n都是正整数）同底数幂相乘,底数不变,指数相加。
注意底数可以是多项式或单项式。
5、幕的乘方法则：（a m）n a mn（m,n都是正整数）幂的乘方,底数不变,指数相乘。
幂的乘方法则可以逆用：即a mn（a m）n（a n）m6、积的乘方法则：（ab）n a n b n（n是正整数）积的乘方,等于各因数乘方的积。
7、同底数幂的除法法则：a m a n a m n（ a 0,m, n 都是正整数, 且m n）同底数幂相除,底数不变,指数相减8 零指数和负指数;a0 1，即任何不等于零的数的零次方等于10,p是正整数），即一个不等于零的数的p次方等于这个数的p次方的倒数9、单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
①积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。
②相同字母相乘，运用同底数幕的乘法法则。
③只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。
⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。
10、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即m（a b c） ma mb mc（m,a,b,c都是单项式）①积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。
②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。
③在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项11、多项式与多项式相乘的法则；多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。
12、平方差公式：(a b)(a b) a 2 b2公式特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。
右边是相同项的平方减去相反项的平方。
13、完全平方公式：(a b) 2 a 2 2ab b2 公式特征：左边是一个二项式的完全平方，右边有三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的2 倍。
、，、-、、八注意：2 2 2 2a 2b 2 ( a b ) 2 2ab ( a b) 2 2ab(a b)2 (a b) 2 4ab( a b)2 [ (a b)] 2 (a b)22 2 2( a b)2 [ (a b)] 2 (a b)214、单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
注意：首先确定结果的系数(即系数相除) ，然后同底数幂相除，如果只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式15、多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加。
即：( am bm cm) m am m bm m cm m a b c16 因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解。
1、提公因式法.：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式的积的形式、ma+mb+mc=m(a+b+c) (m 可以表示单项式，也可以表示多项式)2、运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式 分解中常用的公式，例如：(1) ---------------------------------- (a+b)(a-b)=孑-b 2 a 2-b 2=(a+b)(a-b)； (2) (a ± b)2 = a 2± 2ab+b 2 ----------- a 2± 2ab+b 2=(a ± b)2；3、分组分解法⑴分组后能直接提公因式am an bm bn=m ( a+b )+n(a+b)=(a+b)(m+n) (2)分组后能直接运用公式2 2x y ax ay =(x+y)(x-y)+a(x+y)=(x+y)(x-y+a)4、十字相乘法.(一)二次项系数为1的二次三项式直接利用公式 ---- x 2 (p q)x pq (x p)(x q)进行分解 特点：(1)二次项系数是1；(2) 常数项是两个数的乘积；(3) 一次项系数是常数项的两因数的和。
凡是能十字相乘的二次三项式a^+bx+c ，都要求 b 2 4ac >0而且是 一个完全平方数(二)二次项系数不为1的二次三项式——ax 2 bx c分解结果：ax 2 bx c=Gx G )(a 2X C 2)条件：(1)a a£2(2) c GC 2 (3)b a 1c 2 a 2c 1a 1 a 2 C1C 2b a 1c 2a 2c1一、基础知识梳理(课前完成)(一)整式的乘除1幕的运算性质(1) .m n• a・a(m , n都是正整数) 。
例：a2,a3 (2) • ab n n为正整数)。
例：ab 3(3) m n• a(m , n都是正整数) 。
例：a2 3(4 ) •m n)• a a(a 0, m, n都是正整数32a a 。
(5) • a (a0) (6) • a n2.整式的乘法：(1) 单项式乘以单项式：6x2.3xy。
(2) 单项式乘以多项式：x22y xy2。
(3) 多项式乘以多项式：2x3y x 4y。
3•整式的除法：(1) 单项式除法：6x32x。
(2) 多项式除以单项式：8x24xy 4x。
(二) 因式分解O，并且m(a 0,n )。
例：n是正整数)1分解因式的概念(1)•分解因式：把一个多项式化成几个(2)•分解因式与整式乘法的关系：2 •分解因式的基本方法：的形式。
(1).提公因式法：ma mb me(2)•运用公式法：(1 )平方差公式：a2 b2(2 ) 完全平方公式2 2a 2ab b ________________、基础诊断题101.计算a43的结果是（)712C. 1664A. aB. a a D . a2.计算：3ab2.5a2b9x33x2。
3.计算：2a . ^a3 1 .,2a b a b44.计算：x1x1,a 3 2。
5•计算：3x3 9x2 6x3x。
6.下列从左到右的变形是因式分解的是（)A.2a 3b2a3 b2B . x4x210x2 6C. a 3 a 3 a292D. x6x9 x 3 27.多项式x2x6提取公因式 2 x后的另- 「个因式是（）八4 3 _ 4131A . x B. x C. x D. x8.分解因式:x216_ ; 2x6x 99. 单项式8a2b2, 12ab3, 6a2b2的公因式是________________ .210. 分解因式：x 3 x 3 ______________________ 。
三、典型例题1 例1.先化简，再求值：2b a b a b a b ，其中a 3, b —。
2 例2.分解因式：a3 a _________________ ；2x2 4x 2 __________________ 。
例3. （1）已知a b 2 , ab 1，则a2b ab2的值为 ____________________ 。
(2)若m 2n 1，则m2 4mn 4n2四、达标检测题 （—）基础检测91.下列各式计算正确的是()729A . a aB.7a .a 214aC. 2a 2 3a 3L 5I 33 35aD. aba b2.下列运算正确的是（)八 2 4 8A . a .a aB. x 2 x32x62 2C. x 2x 4D.2a 3a 5a3.若 3 9 273 , 则m 的值是 ()A . 3B.4C. 5D. 64.分解因式：x 2 9y 22x2x 3.3a 2 122mn 6mn 9m.25•若 a 2, a b 3，则 a ab6.在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形（a b ）（如图甲），把余下的部2 22A. (a b) a 2ab bB. (a b)2 a 2 2ab b 2C.a 2b 2 (a b)(a b)2 2D. (a 2b)(a b) a ab 2b7.先化简，再求值：x 1 x 1 xx 3，其中x 3.（二）能力提升111.（ 2014?威海）将下列多项式分解因式，结果中不含因式X - 1的是（） A . x 2- 1 B . x （x — 2） + （2 — x ） C . x 2 - 2x+1 D . x 2+2x+1 2. （（2014?孝感）若a — b=1，则代数式a 2 — b 2— 2b 的值为 ______ . 3. （ 2014?遵义）若 a+b=2 . ab=2，则 a 2+b 2 的值为（）A. f 6B . 4C . 3工D . 2.:分拼成一个矩形（如图乙） ，根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ )5. （2014?枣庄）如2a的正方形中央剪去一边长为（a+2）的小正方形（a> 2）,将剩余部分剪开密铺成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为（）B . 2a2+4a |c. 3a2—4a- 4 |D. 4a2- a- 26. 先化简，再求值:x y x y 4x3y 8xy3 2xy,其中x2.下列计算正确的是( )B3|47 3 4 7 3、47 6 3 2A.a + a =aB. a • a =aC. (a ) =aD. a 十a =a213.当x=3, y=1时，代数式(x+ y) (x —y) + y的值是.314.分解因式：2x + 2x —3=.(x+ 3) (x —1)13.分解因式：2x 9 =.18. (1)计算: 2(x 1) 2(1x)6•下列各选项的运算结果正确的是s 2、 3 小6 A . (2x ) 8x B . 2 25a b 2a b 36 2 3“ ・、2 2 .2C. x x x D . (a b) a b213.分解因式：x 2x 1 =5•下列运算正确的是A. a2• a3=a6 2 3 6B. (a) =a 6 2 3C. a * a =aD. 2—3=—6 17.分解因式：a2—6a+9=222.⑴计算：(a b)(a b) 2b .A . a2+45 •下列各式计算正确的是( D ) A • 3x-2x=1 B • a 2+a 2=a 4 7 .化简 5 (2x-3) +4 ( 3-2x )结果为( A . 2x-3 B . 2x+9 16.分解因式：a 2-仁 (a+1) ( a-1) 5 •下列各式计算正确的是 2、2 4A. (a ) a 2 2^2C. 3a a 2a C . a 5+ a 5=aA )C . 8x-3D . a 3?a 2=a 5 D . 18x-3B . a a 2aD. 428a ga a11.已知x 22x 8 0，则 3x 2 6x 18的值为A. 54 B . 6 C. -10D. -1816 .计算: 3(2x 1) 6x =17 .分解因式：a 24 =A . a 3 a 2 10 2B . a a 2、3C. (a )D . ( a)517.分解因式： x 22x 1 .3.下列运算中，结果是 a 5的是 22. (1)化简: (a 3)(a 3) a(4 a). 【例 1】 2n右a3，则 a 6n= •计算c 3 nx 2y2 m2y x【例 2】 3 n mpm n n P 4m【例 3】计算x 3 n2y 2y x 2 m【例 4】下列运算 .正确的是 ()A 、 8x 9 4x 3 2x 3B 、4a 2b 3 4a 2b 3 0C 、a 2m m a a 2D 、2ab 2c (1ab 2)4c2【例 5】 利用平方 '差公式计算： 2009X2007-20082【例6】已知a, b, c 是ABC 的三边，且a 2 b 2 c 2ab bc ca ,贝U ABC 的形状是A.直角三角形B等腰三角形C等边三角形D等腰直角三角形【例7】分解因式：2ax 10ay 5by bx【例8】分解因式：a2 2ab b2 c2【例9】已知0v a < 5,且a为整数，若2x2 3x a能用十字相乘法分解因式，求符合条件的a.【例10】分解因式：x2 5x 6【例11】分解因式：2xy—8xy + 8y【例12】分解因式x2 4xy 1 4y21、（2012,陕西）计算（5a3）2的结果是（）A. 10a5B. 10a6C. 25a5D. 25a62、（2012,陕西）分解因式：x3y-2x2y2+xy3二_______________ .3、（2013,张家界）下列各式能用完全平方公式进行因式分解的是（）A x2 x 1B x2 2x 1C x2 1D x2 6x 94、（2013杭州）若a+b=3, a- b=7,则ab=（）A . - 10B . - 40C . 10D . 4025、（2013,沈阳）如果x=1时，代数式2ax 3bx 4的值是5,那么x= -1时,代数式2ax2 3bx 4的值______________2 3 & （2013,丽水）先化简，再求值：（a 2）2（1 a）（1 a），其中a -44. ( 2014?襄阳)下列计算正确的是( )A. a2+a2=2a4 *B. 4x —9x+6x=1C. (—2x2y) 3= —8x6y3D. a6%3=a2。