1.2.2函数的表示方法(二)
【创新设计】2022数学湘教版必修1练习：第一章 集合与函数 1.2.2
1.2.2表示函数的方法[学习目标] 1.把握函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法.2.会依据不同的需要选择恰当方法表示函数．[学问链接]1．在平面上，两个点可以确定一条直线，因此作一次函数的图象时，只需找到两个点即可．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标为(－b2a，4ac－b24a)．3．函数y＝x2－2x－3＝(x＋1)(x－3)，所以函数与x轴的交点坐标为(－1,0)，(3,0)．[预习导引]1．表示函数的方法(1)把一个函数的对应法则和定义域交待清楚的方法，就是表示函数的方法；(2)表示函数的三种主要方法分别是：解析法、图象法和列表法．2．解析法(1)解析式：把常量和表示自变量的字母用一系列运算符号连接起来得到的式子，叫作解析式，也叫作解析表达式或函数关系式．(2)解析法就是用解析式来表示函数的方法．3．图象法函数图象的作图过程通常有列表、描点、连线三个步骤.要点一待定系数法求函数解析式例1(1)已知反比例函数f(x)满足f(3)＝－6，求f(x)的解析式；(2)一次函数y＝f(x)，f(1)＝1，f(－1)＝－3，求f(3)．解(1)设反比例函数f(x)＝kx(k≠0)，由f(3)＝k3＝－6，解得k＝－18，故f(x)＝－18x.(2)设一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)，∵f(1)＝1，f(－1)＝－3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a＋b＝1，－a＋b＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a＝2，b＝－1，∴f(x)＝2x－1.∴f(3)＝2×3－1＝5.规律方法待定系数法求函数解析式的步骤如下：(1)设出所求函数含有待定系数的解析式．如一次函数解析式设为f(x)＝ax＋b(a≠0)，反比例函数解析式设为f(x)＝kx(k≠0)，二次函数解析式设为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．(2)把已知条件代入解析式，列出含待定系数的方程或方程组．(3)解方程或方程组，得到待定系数的值．(4)将所求待定系数的值代回原式．跟踪演练1已知二次函数f(x)满足f(0)＝1，f(1)＝2，f(2)＝5，求该二次函数的解析式．解设二次函数的解析式为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c＝1，a＋b＋c＝2，4a＋2b＋c＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a＝1，b＝0，c＝1，故f(x)＝x2＋1.要点二换元法(或配凑法)求函数解析式例2求下列函数的解析式：(1)已知f⎝⎛⎭⎫1＋xx＝1＋x2x2＋1x，求f(x)；(2)已知f(x＋1)＝x＋2x，求f(x)．解(1)方法一(换元法)令t＝1＋xx＝1x＋1，有x＝1t－1.则t≠1.把x＝1t－1代入f⎝⎛⎭⎫1＋xx＝1＋x2x2＋1x，得f (t )＝1＋⎝⎛⎭⎫1t －12⎝⎛⎭⎫1t －12＋11t －1＝(t －1)2＋1＋(t －1)＝t 2－t ＋1. ∴所求函数的解析式为 f (x )＝x 2－x ＋1，(x ≠1)方法二 (配凑法)∵f ⎝⎛⎭⎫1＋x x ＝1＋x 2＋2x －2x x 2＋1x＝⎝⎛⎭⎫1＋x x 2－1＋x －x x ＝⎝⎛⎭⎫1＋x x 2－1＋xx ＋1， ∴f (x )＝x 2－x ＋1. 又∵1＋x x ＝1x＋1≠1，∴所求函数的解析式为f (x )＝x 2－x ＋1(x ≠1)． (2)方法一 (换元法)令x ＋1＝t (t ≥1)， 则x ＝(t －1)2，∴f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)2＝t 2－1. ∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)．方法二 (配凑法)∵x ＋2x ＝(x ＋1)2－1， ∴f (x ＋1)＝(x ＋1)2－1.又∵x ＋1≥1，∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)．规律方法 1.换元法的应用：当不知函数类型求函数解析式时，一般可接受换元法．所谓换元法，即将“x ＋1”换成另一个字母“t ”，然后从中解出x 与t 的关系，再代入原式中求出关于“t ”的函数关系式，即为所求函数解析式，但要留意换元前后自变量取值范围的变化状况．2．配凑法的应用：对于配凑法，通过观看与分析，将右端的式子“x ＋2x ”变成含有“x ＋1”的表达式．这种解法对变形力量、观看力量有较高的要求．跟踪演练2 已知函数f (x ＋1)＝x 2－2x ，则f (x )＝________. 答案 x 2－4x ＋3解析 方法一 (换元法)令x ＋1＝t ，则x ＝t －1， 可得f (t )＝(t －1)2－2(t －1)＝t 2－4t ＋3， 即f (x )＝x 2－4x ＋3.方法二 (配凑法)由于x 2－2x＝(x 2＋2x ＋1)－(4x ＋4)＋3 ＝(x ＋1)2－4(x ＋1)＋3，所以f (x ＋1)＝(x ＋1)2－4(x ＋1)＋3， 即f (x )＝x 2－4x ＋3. 要点三 作函数的图象例3 作出下列函数的图象： (1)y ＝x ＋1(x ∈Z )； (2)y ＝x 2－2x (x ∈[0,3))．解 (1)这个函数的图象由一些点组成，这些点都在直线y ＝x ＋1上，如图(1)所示．(2)由于0≤x ＜3，所以这个函数的图象是抛物线y ＝x 2－2x 介于0≤x ＜3之间的一部分，如图(2)所示． 规律方法 1.作函数图象主要有三步：列表、描点、连线．作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再列表画出图象．2．函数的图象可能是平滑的曲线，也可能是一群孤立的点，画图时要留意关键点，如图象与坐标轴的交点、区间端点，二次函数的顶点等等，特殊要分清区间端点是实心点还是空心点． 跟踪演练3 画出下列函数的图象： (1)y ＝x ＋1(x ≤0)；(2)y ＝x 2－2x (x ＞1或x ＜－1)．解 (1)y ＝x ＋1(x ≤0)表示一条射线，图象如图(1)．(2)y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1(x ＞1或x ＜－1)是抛物线y ＝x 2－2x 去掉－1≤x ≤1之间的部分后剩余的曲线． 图象如图(2)．1．已知函数f (x )由下表给出，则f (3)等于( )A.1C ．3D ．不存在答案 C解析 由表可知f (3)＝3.2．y 与x 成反比，且当x ＝2时，y ＝1，则y 关于x 的函数关系式为( ) A ．y ＝1xB ．y ＝－1xC ．y ＝2xD ．y ＝－2x答案 C解析 设y ＝k x ，由1＝k2得，k ＝2.因此，y 关于x 的函数关系式为y ＝2x .3．若f (x ＋2)＝2x ＋3，f (3)的值是( ) A ．9 B ．7 C ．5 D ．3 答案 C解析 令x ＋2＝3，则x ＝1，∴f (3)＝2×1＋3＝5.4．假如二次函数的图象开口向上且关于直线x ＝1对称，且过点(0,0)，则此二次函数的解析式可以是( ) A ．f (x )＝x 2－1B ．f (x )＝－(x －1)2＋1C ．f (x )＝(x －1)2＋1D ．f (x )＝(x －1)2－1答案 D解析 由二次函数的图象开口向上且关于直线x ＝1对称，可排解A 、B ；又图象过点(0,0)，可排解C ；D 项符合题意．5．如图，函数f (x )的图象是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，那么f ⎣⎡⎦⎤1f (3)的值等于________．答案 2解析 由函数f (x )图象，知f (1)＝2，f (3)＝1， ∴f ⎣⎡⎦⎤1f (3)＝f (1)＝2.1.函数三种表示法的优缺点2．描点法画函数图象的步骤：(1)求函数定义域；(2)化简解析式；(3)列表；(4)描点；(5)连线． 3．求函数解析式常用的方法有：(1)待定系数法；(2)换元法；(3)配凑法；(4)消元法等．一、基础达标1．已知f (x )是一次函数，2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1，则f (x )等于( ) A ．3x ＋2 B ．3x －2 C ．2x ＋3D ．2x －3答案 B解析 设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，∵2f(2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k －b ＝5，k ＋b ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3b ＝－2，∴f (x )＝3x －2. 2．小明骑车上学，开头时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上大事吻合得最好的图象是( )答案 C解析 距学校的距离应渐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快，故应选C. 3．已知f (x －1)＝x 2，则f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝x 2＋2x ＋1B ．f (x )＝x 2－2x ＋1C ．f (x )＝x 2＋2x －1D ．f (x )＝x 2－2x －1答案 A解析 令x －1＝t ，则x ＝t ＋1，∴f (t )＝f (x －1) ＝(t ＋1)2＝t 2＋2t ＋1，∴f (x )＝x 2＋2x ＋1.4．等腰三角形的周长为20，底边长y 是一腰长x 的函数，则( ) A ．y ＝10－x (0<x ≤10)B ．y ＝10－x (0<x <10)C ．y ＝20－2x (5≤x ≤10)D ．y ＝20－2x (5<x <10)答案 D解析 ∵2x ＋y ＝20，∴y ＝20－2x ， 解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧20－2x >0，x ＋x >y ＝20－2x ，x >0，得5<x <10.5．已知函数f (x )，g (x )分别由下表给出(1)f [g (1)]＝________；(2)若g [f (x )]＝2答案 (1)1 (2)1解析 由表知g (1)＝3， ∴f [g (1)]＝f (3)＝1；由表知g (2)＝2，又g [f (x )]＝2，得f (x )＝2， 再由表知x ＝1.6．已知f (2x ＋1)＝3x －2且f (a )＝4，则a 的值为________． 答案 5解析 ∵f (2x ＋1)＝3x －2＝32(2x ＋1)－72，∴f (x )＝32x －72，∵f (a )＝4，即32a －72＝4，∴a ＝5. 7．画出二次函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的图象，并依据图象回答下列问题： (1)比较f (0)、f (1)、f (3)的大小；(2)若x 1＜x 2＜1，比较f (x 1)与f (x 2)的大小； (3)求函数f (x )的值域．解 f (x )＝－(x －1)2＋4的图象，如图所示：(1)f (0)＝3，f (1)＝4，f (3)＝0，∴f (1)＞f (0)＞f (3)．(2)由图象可以看出， 当x 1＜x 2＜1时，函数f (x )的函数值随着x 的增大而增大，∴f (x 1)＜f (x 2)．(3)由图象可知二次函数f (x )的最大值为f (1)＝4，则函数f (x )的值域为(－∞，4]． 二、力量提升8. 假如f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x1－x ，则当x ≠0,1时，f (x )等于( )A.1xB.1x －1C.11－xD.1x－1 答案 B解析 令1x ＝t ，则x ＝1t ，代入f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x1－x ， 则有f (t )＝1t1－1t ＝1t －1，故选B.9．函数y ＝x 2－4x ＋6，x ∈[1,5)的值域是________． 答案 [2,11)解析 画出函数的图象，如下图所示，观看图象可得图象上全部点的纵坐标的取值范围是 [f (2)，f (5))，即函数的值域是[2,11)．10．若2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2x ＋12(x ≠0)，则f (2)＝________. 答案 52解析 令x ＝2得2f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝92， 令x ＝12得2f ⎝⎛⎭⎫12＋f (2)＝32， 消去f ⎝⎛⎭⎫12得f (2)＝52. 11．已知二次函数f (x )满足f (0)＝0，且对任意x ∈R 总有f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )． 解 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，∵f (0)＝c ＝0， ∴f (x ＋1)＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1) ＝ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ，f (x )＋x ＋1＝ax 2＋bx ＋x ＋1 ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1.∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1， ∴⎩⎨⎧a ＝12，b ＝12.∴f (x )＝12x 2＋12x .三、探究与创新12．求下列函数的解析式：(1)已知f ⎝⎛⎭⎫x －1x ＝x 2＋1x2＋1，求f (x )； (2)已知f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x ，求f (x )的解析式． 解 (1)f ⎝⎛⎭⎫x －1x ＝⎝⎛⎭⎫x －1x 2＋2＋1＝⎝⎛⎭⎫x －1x 2＋3. ∴f (x )＝x 2＋3.(2)以－x 代x 得：f (－x )＋2f (x )＝x 2－2x .与f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x 联立得： f (x )＝13x 2－2x .13．设f (x )是R 上的函数，且满足f (0)＝1，并且对任意实数x ，y ，有f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)，求f (x )的解析式．解 由于对任意实数x ，y ，有f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)，所以令y ＝x ， 有f (0)＝f (x )－x (2x －x ＋1)， 即f (0)＝f (x )－x (x ＋1)．又f (0)＝1，∴f (x )＝x (x ＋1)＋1＝x 2＋x ＋1.。
人教A版必修一数学课件：1.2.2函数的表示法(第2课时分段函数及映射)
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x＋2，x≤－1 2 已知函数 f(x)＝x ，－1<x<2 ，求 f(f(f(－3))) 2x，x≥2 【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息： ①函数 f(x)是分段函数； ②本例是求值问题． 解答本题需确定 f(f(－3))的范围，为此又需 确定 f(－3)的范围，然后根据所在定义域代入相 应解析式逐步求解．
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对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值
的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作 出函数图象．由于分段函数在定义域的不同区间内解析式不一
样，因此画图时要特别注意区间端点处对应点的实虚之分．
2.写出下列函数的解析式并作出函数图象： (1)设函数y＝f(x)，当x＜0时，f(x)＝0；当x≥0时，f(x)＝2； (2)设函数y＝f(x)，当x≤－1时，f(x)＝x＋1；当－1＜x＜1时，f(x)
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1．分段函数是一个函数还是几个函数？其定义域、值域各
是什么？ 【提示】 分段函数是一个函数而非几个函数，其定义域是
各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
2．函数是映射吗？ 【提示】 对比函数定义与映射定义可知，函数是特殊的映
射，是从非空数集到非空数集的映射．
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【解析】 ∵－3≤－1，∴f(－3)＝－3＋2＝－1 ∴f(f(－3))＝f(－1)＝1，
∵－1<1<2，
∴f(f(f(－3)))＝f(1)＝1.
(1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相
应的解析式求得． (2)像本题中含有多层“f”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层
2019-2020学年人教a版数学必修1课件：1.2.2 第2课时分段函数与映射
(n∈N*，n≥3).
求 f(3)，f(4)，f[f(4)]的值. 【解析】由题意可知 f(1)＝1，f(2)＝2，则
f(3)＝f(2)＋f(1)＝2＋1＝3，
f(4)＝f(3)＋f(2)＝3＋2＝5，
f[f(4)]＝f(5)＝f(4)＋f(3)＝5＋3＝8.
分段函数的图象及应用 【例 2】已知函数 f(x)＝1＋|x|－2 x(－2<x≤2). (1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图象； (3)写出该函数的值域. 【 解 题 探 究 】 讨论x的取值范围 → 化简fx的解析式
•1.2 函数及其表示
1.2.2 函数的表示法
第2课时 分段函数与映射
目标定位
1.掌握简单的分段函数， 并能简单应用. 2.了解映射概念及它与函 数的联系.
重点难点
重点：分段函数的应用及 映射的判断. 难点：分段函数的应用.
• 1.分段函数
• 在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间， 有 数着. 不对应同关的系_________，这样的函数通常叫做分段函
2a＝4a，所以a＝2.
• 5．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定： 每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米 m元收费；用水超过10立方米的，超过部分按每立 方米2m元收费．某职工某月缴水费16m元，求该职 工这个月实际用水量．
【解析】该单位职工每月应缴水费y与实际用水量x满足的
关系式为y＝m2mx，x－0≤ 10xm≤，1x0>，10.
映射的概念及应用
• 【例3】判断下列对应是不是从集合A到集合B的映 射.
• (1)A＝N*，B＝N*，对应关系f：x→|x－3|； • (2)A＝{平面内的圆}，B＝{平面内的矩形}，对应关
高中数学必修一 函数的表示方法(第二课时)教案
1.2.2 函数的表示方法（第二课时）教学目标：1.进一步理解函数的概念；2.使学生掌握分段函数及其简单应用。
教学重点：分段函数的理解教学难点：分段函数的图象及简单应用教学方法：自学法和尝试指导法教学过程：（Ⅰ）引入问题1．函数有几种常用的表示方法？它们分别是哪几种？2．如何作出函数y x =的图象？（II ）讲授新课例1．作出函数y x =的图象和1y x =-的图象，并分别求出函数的值域。
注：分段函数的定义域和值域分别是各段函数的定义域和值域的并集。
例2．国内投寄信函（外埠），假设每封信函不超过20g 时付邮资80分；超过20g 不超过40g 时付邮资160分；依次类推，每封xg(100x 0≤<)的信函付邮资为：()(](](](]⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈∈∈∈∈=)100,80x (400)80,60x (320)80,60x (240)40,20x (160)20,0x (80y , 画出这个函数的图象。
说明：表示函数的式子也可以不止一个（如例1与例2），对于这类分几个式子表示的函数称为分段函数。
注意它是一个函数，不要把它误认为是“几个函数”。
例3．（教材24P 例6）例4．作出下列各函数的图象：（1）1(01)()(1)x f x x x x ⎧<<⎪=⎨⎪≥⎩； （2）222(0)()2(0)x x x f x x x x ⎧+≥=⎨--<⎩ 对第（2）小题的函数，试根据a 的取值讨论方程()f x a =的根的个数问题。
练习：1．在函数22(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩中，若()3f x =，则x 的值为 。
2．已知1(0)()(0)0(0)x x f x x x π+>⎧⎪==⎨⎪<⎩，则{[(1)]}f f f -= 。
作业：课本P 28习题1.2第10、11、12、13题。
1.2.2 函数的表示方法（第三课时）教学目标：1.使学生了解映射的概念、表示方法；2.使学生了解象、原象的概念；3.使学生通过简单的对应图示了解一一映射的概念；4.使学生认识到事物间是有联系的，对应、映射是一种联系方式。
1.2.2函数的表示法(第2课时)
1 1.2.2函数的表示法（二）求函数解析式
1、（1）已知f (x )是一次函数，且f [f (x )] = 4x – 1，求f (x )及f (2)；
（2）已知2
1(1)1x f x x +=
-，求f (x )的解析式；
（3）已知12()f x +f (x ) = x (x ≠0)，求f (x )的解析式；
（4）已知3f (x 5) + f (–x 5) = 4x ，求f (x )的解析式.
2、 设f (x )是R 上的函数，且满足f (0) = 1，并且对任意实数x ，y ，有f (x – y ) = f (x ) – y (2x – y + 1)，求f (x )的表达式.
3、 已知f (x )为二次函数，且f (x +1)+f (x –1) = 2x 2–4x ，
求f (x )的表达式.
4、用长为l 的铁丝变成下部为矩形，上部为半圆形的框架如图所示，若矩形底边长为2x ，求此框架围成的面积y 与x 的函数关系式，并指出其定义域.
5、 经市场调查，某商品在近100天内，其销售量和价格均是时间t 的函数，且销售量近似地满足关系g (t ) =1
10933t -+ (t ∈N*，0＜t ≤100)，在前40天内价格为f (t ) =14
t + 22(t ∈N*，0≤t ≤40)，在后60天内价格为1
()522f t t =-+(t ∈N*，40＜t ≤100)，求这种商品的日销售额的最大值(近似到1元).
D
C。
1.2.2(2)分段函数知识点及例题解析
1.2.2(2)分段函数知识点及例题解析-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII2分段函数常见题型例析所谓“分段函数”是指在定义域的不同部分，有不同对应关系的函数，因此分段函数不是几个函数而是一个函数，它在解题中有着广泛的应用，不少同学对此认识不深，解题时常出现错误．现就分段函数的常见题型例析如下： １．求分段函数的定义域、值域例１．求函数)(x f ＝⎪⎩⎪⎨⎧->-≤+)2(,2)2(,42x x x x x 的值域．解：当x ≤－２时，4)2(422-+=+=x x x y ， ∴ y ≥－４． 当x ＞－２时，y ＝2x ， ∴y ＞22-＝－１． ∴ 函数)(x f 的值域是｛y ∣y ≥－４，或y ＞－１｝＝｛y ∣y ≥－４｝．评注：分段函数的定义域是各段函数解析式中自变量取值集合的并集；分段函数的值域是各段函数值集合的并集．２．作分段函数的图象例２ 已知函数2(2)()3[22)3[2)x f x x x x -∈-∞-⎧⎪=+∈-⎨⎪∈+∞⎩，，，，，，，画函数解：函数图象如图１所示．评注其图象．作图时，一要注意每段自变量的取值范围；二要注意间断函数的图象中每段的端点的虚实．３．求分段函数的函数值例３．已知)(x f ＝⎪⎩⎪⎨⎧<=>+)0.(0)0(,)0(,1x x x x π 求(((3)))f f f -的值．x 图3解：∵ －３＜０ ∴f （－３）＝０， ∴ f （f （－３））＝f （０）＝π又π＞０ ∴(((3)))f f f -＝f （π）＝π＋１．评注：求分段函数的函数值时，首先应确定自变量在定义域中所在的范围，然后按相应的对应关系求值．４．求分段函数的最值例４．已知函数)(x f ＝22(0)(0)x x x ⎧⎨<⎩，≥， 求出这个函数的最值． 解：由于本分段函数有两段，所以这个函数的图象没有最大值．５．表达式问题例５． 如图３，动点P 从边长为１的正方形ABCD 的顶点A 出发顺次经过B C D ，，再回到A ，设x 表示P 点的行程，y 表示PA 的长度，求y 关于x 的表达式．解：如图3所示，当P 点在AB 上运动时，PA x =；当P 点在BC上运动时，由PBA △Rt ，求得PA =；当P 点在CD 上运动时，由PDA Rt △求出PA =当P 点在DA 上运动时，4PA x =-， ABP图３所以y关于x的表达式是01122343 4.x xxyxx x⎧<=<-<⎩，≤≤，≤，≤，，≤在此基础上，强调“分段”的意义，指出分段函数的各段合并成一个整体，必须用符号“｛”来表示，以纠正同学们的错误认识．4。
3.1.2函数表示法(第二课时)教学设计
3.1.2函数的表示法（第2课时）(人教A版普通高中教科书数学必修第一册第三章)深圳市坪山高级中学钟南林一、教学目标1.明确函数的三种表示方法.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数.3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.二、教学重难点1.函数的三种表示方法，分段函数的概念.2.如何根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，什么才算“恰当”？分段函数的表示及其图象．三、教学过程1.复习导入1.1函数三种表示方法定义及优缺点1.2分段函数的定义及特点(1)分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．(2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．【设计意图】在上节课的基础上进一步掌握比较函数三种不同表示方法的优缺点，为本节课在具体情境中选取何种函数的表示方法作铺垫，同时对分段函数的特点进一步深化，为在具体实例中应用分段函数做好准备。
2.探究典例例1 下表是某校高一（1）班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表问题1：上表反映了几个函数关系？这些函数的自变量是什么？定义域是什么？【预设的答案】4个；测试序号；{1，2，3，4，5，6}【设计意图】让学生体会列表法不单单是表示一个函数，让学生体会列表法表示多个函数，进一步理解函数的定义.问题2：上述4个函数能用解析法表示吗？能用图象法表示吗？【预设的答案】用解析法并不能很好的表示出对应的解析式，可以类似例题4用图像法表示。
【设计意图】在问题1的基础上继续追问，让学生进一步深化函数三种表示方法的优缺点.问题3：若分析、比较每位同学的成绩变化情况，用哪种表示法为宜？【预设的答案】表格上并不能很好的看出每位同学的成绩变化情况，用图像法较好【设计意图】让学生体会用表格区分三位同学的成绩变化并不直观，引导学生用图像法分别表示出三个同学的成绩和班级平均分对应的函数图像，让学生体会在实际需要中选择恰当的方法表示函数是需要给予关注的.问题4：试根据图象对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析？【预设的答案】王伟同学的数学成绩始终高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且成绩优秀；张城同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均水平上下波动，而且波动幅度较大；赵磊同学的数学成绩低于班级平均水平，但他的成绩呈上升趋势，表明他的数学成绩在稳步提升.【活动预设】让学生动手将每个同学的成绩与测试序号之间的函数关系分别用图像（均为6个离散的点）表示出来，学生分组讨论，能从图像上得出哪些结论，每组派代表进行发言，.【设计意图】让学生动手做出每位同学成绩对应的散点图，让学生进一步理解函数定义域与值域的对应关系，并体会如何能更好的表示出每位同学成绩变化情况。
1.2.2函数的表示法
| x 1| 2, (| x | 1) f ( x) 1 求 f [ f (1 2 )] . , (| x | 1) 2 1 x
x 2( x 1) 2 2．在函数 f ( x) x ( 1 x 2) 中，若 f ( x) 3 2 x ( x 2)
练习1: 画出函数y=|x-1|的图象.
所谓“分段函数”，习惯上指在定义域的不同部分， 有不同的对应法则的函数，对它应有以下两点基本认识： （1）分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数； （2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各 段值域的并集。
例4(P21)．某市“招手即停”公共汽车的票价按 下列规则制定：（1） 5公里以内（含5公里），票 价2元； （2） 5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足 5公里按5公里计算）． 如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出 票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．
60o
3 2
90o
（2）
1
求平方Ｂ Ａ １ １ －１ ２ 4 －２ ３ ９ －３
（3 ）
Ａ １ ２ ３
乘以２ １ Ｂ ２ ３ ４ ５ ６
（4 ）
注意：一、映射f:A→B，可理解为以下几点：
1、集合A、B必须是非空的任何集合；
二、对应、映射与函数的关系 1、对应是映射的推广，映射是一种特殊的对应； 映射是函数的推广，函数是一种特殊的映射。 2、对应变映射，只是变唯一；
。
函数三种表示法的特点
⑴解析法: 优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以 通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值.中 学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数. ⑵列表法: 优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的 函数值. ⑶图象法： 优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值 变化的趋势，这样使得我们可以通过图象来研究函数的某 些性质.
1.2.2函数的表示法(二)映射
例如：
f:平方
1
2
1
3
4
2
5
6
3
7
8
9
是函数
也是映射
学生甲 学生乙 学生丙 学生丁
f
高一3班
高一4班
只是映射
以下是不是映射？
①开平方
3
9
-3
4
2 -2
1
1
-1
以下是不是映射？
①开平方
3
9
-3
方
-1
2
1
-2
4
3 -3
9
以下是不是映射？
①开平方
记作：f：x y, x A, y B 或者f：A B,其中x称为原象，y称为象
象与原象的定义：
给定一个集合A到B的映射，且a∈A， b∈B，若a与b对应，则把元素b叫做a在 B中的象，而a叫做b的原象.
③求正弦 1
2
30
2
45
2
60
3
90
2
1
④乘以2 1
1
2 3
2
4
3
5
6
函数与映射之间的异同： 1)函数是一个特殊的映射； 2)函数:数集A数集都是数集，
a
e
a
e
a
e
bf
bf
bf
c
g
c d
g
c
g d
“原象集”不 能有剩余元素
“象集”可 以有剩余元 素
例1. 判断下列对应是否映射？有没有对 应法则？
a
e
a
e
a
e
bf
bf
bf
c
函数的表示方法第1课时 (2)
（2） 函数图象既可以是连续的曲线，也可 以是直线、折线、离散的点等等。
练习: 国内跨省市之间邮寄信函,每封信 函的质量和对应的邮资如表.
信函质 0<m≤ 20<m≤ 40<m≤ 60<m≤ 80<m≤1 量 20 40 60 80 00 (m)/g
邮资 (M)/分 80 160 240 320 400
t∈[0,5)
30 0 5 10 15 20 25 30
v/(cm/s)
t/s
3t , t∈[5,10) 30 v(t ) t∈[10,20) 25 30, 3t 90, t∈[20,30]. 20
15
思考:某质点在30s内运动速度v是时间t的函数,它的图 像如图,用解析法表示出这个函数,并求出9s时质点的 v/(cm/s) 速度. t∈[0,5) 10 t ,
2, 3, y 4, 5,
0 < x 5, 5 < x 10,
y 5
10 < x 15, 3 15 < x 20, 2
1
0 5 10 15 20 X
4
我们把上述两例中的函数叫做分段函数: 即分区间定义的函数. 分段函数的图象要分段作出!
注意: （1）有时表示函数的式子可以不止一个， 对于分几个式子表示的函数，不是几个函数， 而是一个函数,我们把它称为分段函数.
例一、 下列对应是不是A到B的映射？ 1 A={1,2,3,4},B={3,4,5,6,7,8,9} ，f:乘 2加1 2 A=N+，B={0,1} ，f: x 除以2得的余数 3 A=R+，B=R，f:求平方根 ss 4 A={x|0≤ x<1}，B={y|y≥1} f:取倒数
函数的表示(二)(叶)
2， 提示：y＝ 3，
0＜x≤5， 5＜x≤10.
问题3：x与y之间有何特点？ 提示：x在不同区间内取值时，与y所对应的关系不同．
[导入新知]
如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在不同的取值 范围内，函数有着不同的对应关系，称这样的函数为分 段函数．
分段函数 [提出问题]
某市空调公共汽车的票价按下列规则判定： (1)5 千米以内，票价 2 元； (2)5 千米以上，每增加 5 千米，票价增加 1 元(不足 5 千米的按 5 千米计算)． 已知两个相邻的公共汽车站间相距 1 千米，沿途(包括 起点站和终点站)有 11 个汽车站．
问题1：从起点站出发，公共汽车的行程x(千米)与票价
1.2.2 函数的表示
[典例]
(1)已知函数 f(x)是一次函数，若 f[f(x)]＝4x＋8，求
f(x)的解析式． (2)已知 f(x)是二次函数， 且满足 f(0)＝1， f(x＋1)－f(x)＝2x， 求 f(x)的解析式．
例：求下列函数的解析式： 1＋x 1＋x2 1 ①已知 f( x )＝ 2 ＋x，求 f(x)； x ②已知 f( x＋1)＝x＋2 x，求 f(x)．
[类题通法] 判断一个对应是否为映射的两个关键点 (1)对于 A 中的任意一个元素，在 B 中是否有元素对应； (2)B 中的对应元素是否是唯一的． 注意：“一对一”或“多对一”的对应都是映射．
[活学活用] 已知 A＝{1,2,3，„，9}，B＝R，从集合 A 到集合 B 的映射 f： x x→ . 2x＋1 (1)与 A 中元素 1 相对应的 B 中的元素是什么？ 4 (2)与 B 中元素 相对应的 A 中的元素是什么？ 9
1.2.2(2)函数的解析式的5种解法
f ( x) x x 1
2
1 1 , 求f ( x ). 练习1 4. 已知f ( x 1 ) x 2
2
x
x
x
练习2 设f(2x–3)=4x+5, 求f(x).
练习3 已知f ( x)是一次函数，且满足 3f(x 1) - 2f(x-1) 2x 17，求 f(x).
2
三、【待定系数法】
若已知 f ( x) 的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件， f ( x) 列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得 的表达式。
k y kx(k 0) y x (k 0) 正比列函数 反比列函数
y kx b(k 0)
一次函数
y ax2 bx c(a 0)
2
x (t 1) 2
②等式变形(用 t 表示 x ） ④把 t 换成 x
解题步骤
① 令g( x ) t ③求出f(t)
二、【换元法】 已知 f ( g ( x)) 的表达式，欲求 f ( x) ，我们常设 t g ( x)
解题步骤： ① 令g( x ) t ③求出f(t)
2
②等式变形(用 t 表示 x ） ④把 t 换成 x
练习、已知 2 f ( x) f ( x) x, 求f ( x).
解： 2 f ( x) f ( x) x， 令x取 x，
得2 f ( x) f ( x) x
于是得到关于 f ( x)与f ( x)方程组如下：
2 f ( x) f ( x) x
练1.已知f(x)是一次函数,且f[f(x)]=4x－1, 求f(x)的解析式
高中数学第一章集合与函数概念1.2函数及其表示1.2.2函数的表示法第2课时分段函数与映射课件
A.0
B.π
C.π2 D.9
解析:f(f(-3))=f(0)=π.
答案:B
||
2.函数 f(x)=x+ 的图象是(
||
解析:f(x)=x+
答案:C
)
)
+ 1, > 0,
=
是分段函数.
-1, < 0
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
当堂检测
3.已知A=R,B={x|x≥1},映射f:A→B,且A中元素x与B中元素y=x2+1
解:(1)函数 y=
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
当堂检测
反思感悟 1.因为分段函数在定义域的不同区间内解析式不一样,
所以它的图象也由几部分构成,有的可以是光滑的曲线段,有的也
可以是一些孤立的点或几段线段,画图时要特别注意区间端点处对
应点的实虚之分.
2.对含有绝对值的函数,要作出其图象,第一根据绝对值的意义去
通过图象得出实数根的个数.但要注意这种方法一般只求根的个数,
不需知道实数根的具体数值.
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
当堂检测
变式训练 讨论关于x的方程|x2-4x+3|=a(a∈R)的实数解的个数.
解:作函数y=|x2-4x+3|及y=a的图象如图所示,
方程|x2-4x+3|=a的实数解就是两个函数图象的交点(纵坐标相等)
自己的身高;
③A={非负实数},B=R,f:x→y= 3 .
A.0个 B.1个 C.2个D.3个
1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)
yx yu ux
' '
'
即:y对x的导数等于y对u的导数与u对 x的导数的乘积。
（）y (2 x 3) 1
例1 求下列函数的导数
2
(2) y e
0.05 x1
(3) y sin( x )
（ ）y cos 1
练习：求下列函数的导数 x
3
(2) y
' '
(3)[f ( x ) / g( x )]
' '
注意!
g( x ) 0
2
[f ( x) g( x) f ( x) g ( x)]/[ g( x)]
特别地:
[cf ( x )] cf ( x )
'
'
思考：如何求函数 y ln(x 2) 的导数呢？ 一.复合函数的定义： 定义：对于两个函数y=f(u)和u=g(x), 如果通过变量u,y可以表示成x的函 数,那么称函数为函数y=f(u)和u=g(x) 复合函数,记y=f(g(x)).
练习:说出下列函数是由哪些函数复合而 成的?
（1）y ( 2 x 3) ( 2) y e
0.05 x 1
2
x （4）y cos 3 ( 5) y 3 x 1 1 （6）y 2 x 2x 1
( 3) y sin ( x )
二.复合函数的求导法则: 复合函数y=f(g(x))的导数和函数 y=f(u),u=g(x),的导数间的关系为:
3x 1
1 （ ）y 2 3 x 2x 1
（）y (3x 2x 10) 1
例2 求下列函数的导数 3
3
122函数的表示法(二)——映射的概念.doc
§1.2.2函数的表示法(二)——映射的概念一、内容与解析(―)内容：映射(二)的军析：⑴映射是两个集合4与B中，元素Z间存在的某种对应关系.说其是一种特殊的对应，就是因为它只允许存在“一对一”与“多对一”这两种对应，而不允许存在“一对多” 的对应.⑵映射中只允许“一对一”与“多对一"这两种对应的特点，从A到B的映射f.A^B实际是要求集合人中的任一元素都必须对应于集合〃中唯一的元素•但对集合〃中的元素并无任何要求，即允许集合〃中的元素在集合A中可能有一个元素与之对应，可能有两个或多个元素与Z对应，也口J能没冇元素与Z对应.⑶映射屮对应法则/是有方向的，一般来说从集合A到集合B的映射与从集合B到集合A的映射是不同的.(4)我们可以把对应关系看成一而镜子，集合A中的元素在这而镜子中存在一个像，一个相对应的元素，原像则是集合A中的元素.这样像和原像的概念就比较容易理解.并11映射中集合A的每一个元素在集合B中都有它的像，通过对应关系——即通过镜子总存在像，而且像是唯一的，不会“照”出许多的像來，这是映射区别于一般対应的本质特征.二、目标及其解析：(-)教学口标(1)了解映射的概念及表示方法；结合简单的对应图示，了解一一映射的概念.(2)解析：重点把握映射与函数的区别。
三、问题诊断分析函数与映射的区别与联系⑴函数包括三要素:定义域、值域、两者Z间的对应关系;映射包括三要索：集合A,集合B,以及A,BZ间的对应关系(2)函数定义中的两个集合为非空数集；映射中两个集合中的元素为任意元素,如人、物、命题等都可以.(3)在函数中，对定义域中的每一个兀，在值域中都冇唯一确定的函数值和它对应;在映射中, 对集合A中的任意元素a ,在集合B中都有唯一确定的像方和它对应.(4)在函数中，对值域中的每一个确定的函数值，在定义域中都有确定的口变量的值和它对应;在映射中，对于集合B中的任一元索方,在集合A中不一定冇原像.(5)函数实际上就是非空数集A到非空数集B的一个映射f:AfB⑹通过右图我们可以清晰的看到这三者的关系.四、教学支持条件分析在木节课一次递推的教学屮，准备使用PowerPoint 2003o因为使用PowerPoint 2003, 有利于提供准确、最核心的文字信息，有利于帮助学牛顺利抓住老师上课思路，节省老师板书时间，让学牛尽快地进入对问题的分析当中。
函数的表示方法(2)
（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值
域是各段值域的并集。
例2、 画出函数 y
= | x |的图象.
变一： 画出函数 y
= | x＋１| 的图象. 变二： 画出函数 y = |x－１| 的图象. 变三： 画出函数 y = |x|＋１的图象. 变四： 画出函数 y = |x|－１的图象.
变五： 画出函数 y = | x-1 |+ |x + 4|的图象，并求函
问题2、在函数的定义中，若将“A,B是两个 非空的数集”改为“A,B是两个非空的集合”， 会得到什么概念呢？
设A、B是两个非空的集合，如果按某个确定的对应 关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都 有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称f：A→B为集 合A到集合B的一个 映 射 。
例4. 下面哪些对应是从A到B的映射？哪些是函数？
数的值域。
x 5，x 1 2 例3、 已知函数f(x) x ， 求f (3),f[f ( 3)];
(2)画出y f (x)的图像；
1 (3)若f(a)= ，求a的值 . 2
函数的定义：
设A、B是两个非空的数集，如果按某个确定的对应 关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都 有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称f：A→B为集 合A到集合B的一个函数。
A 9 4 1 Ａ １ －１ ２ －２ ３ －３
（3 ） （1 ）
开平方
B 3 -3 2 -2 1 -1
A 求正弦 B
30o
45
o
1 2
2 2
60o
3 2
90o
（2）
1
求平方 Ｂ １ 4
Ａ
1.2.2函数的表示法2学案
1.2.2《函数的表示方法》导学案【使用说明】1、认真阅读课本，提前预习，明确基本概念，完成课前导学与自测部分， 要求：人人参与并独立完成；2、课堂积极讨论，大胆展示，发挥高效学习小组作用，完成合作探究部分；3、针对学生在预习环节可能解决不了的问题，课堂上教师进行点拨指导。
【学习目标】1.进一步理解函数的概念，了解函数表示的多样性，能熟练掌握函数的三种不同的表示方法；2.在理解掌握函数的三种表示方法基础上，了解函数不同表示法的优缺点，针对具体问题能合理地选择表示方法；【课前导学与自测】预习教材第20-22页，找出疑惑之处，完成新知学习分段函数：在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有着 ，这样的函数通常叫做 。
我市出租汽车收费标准如下：在3km 以内(含3km)路程按起步价8元收费，超过3km 以外的路程按1.6元/km 收费．试写出收费额关于路程的函数解析式，并画出函数图象．【精讲点拨】例1．作出下列各函数的图象，并指出函数的定义域和值域：（提示：分段函数的定义域和值域分别是各段函数的定义域和值域的并集。
）（1）1(01)()(1)x f x x x x ⎧<<⎪=⎨⎪≥⎩； （2）222(0)()2(0)x x x f x x x x ⎧+≥=⎨--<⎩例2．将函数1y x =-表示成分段函数的形式，并画出图象，并根据图象指出函数的定义域和值域。
变式1：函数y=|x-2|(x ＋1)。
变式2：f (x )＝ | x ＋1|＋| x －2|。
【巩固练习】1．设函数22(2)()2(2)x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩，则(4)f -= ，若0()8f x =，则0x = 。
2．已知1(0)()(0)0(0)x x f x x x π+>⎧⎪==⎨⎪<⎩，则{[(1)]}f f f -= 。
3.国内投寄信函（外埠），假设每封信函不超过20g 时付邮资80分；超过20g 不超过40g 时付邮资160分；依次类推，写出每封xg(100x 0≤<)的信与所付邮资y 之间的函数解析式，并画出这个函数的图象。
高中数学 1.2.2函数表示法(二)课件 新人教A版必修1
1
30
2
2
45
2
60
3
90
2 1
h
2
A 求 平 方 B39－3来自24－2
1
1
－1
h
3
A 开 平 方 B
3
9
－3
4
2 －2
1
1 －1
h
4
A 乘 以 2 B
1
1
2
3
2
4
5
3
6
h
5
A乘 以 4B
0
1
4
2
3
12
4
5
20
h
6
映射f:A→B，可理解为以下4点：
函映数射
设A,B是两个非空的数集集合，如果按某一个 确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一 个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与 之对应，那么就称对应f:A→B为从集合A到集 合B的一个函映数射。
由此可知，映射是函数的推广，函 数是一种特殊的映射。
h
1
判断下列对应是不是映射？如果是，那这个映射 是函数吗？
若函数f(x)的定义域为[a,b]，则f(g(x))的定义 域应由不等式a≤g(x)≤b解出即得。
练习 若函数f(x)的定义域为[1，4]，则函数f(x+2)
的定义域为_[_-1_,_2_]_.
h
10
例 已知f(2x-1)的定义域是[0，3]，求f(x)定义域。
已知f(g(x))的定义域，求f(x)定义域的方法： 已知f(g(x))的定义域为D，则f(x)的定义域为
h
17
1、A中每个元素在B中必有唯一的象 2、对A中不同的元素，在B中可以有相同的象 3、允许B中元素没有原象 4、A中元素与B中元素的对应关系，可以 是：一对一，多对一，但不能一对多
《函数的概念及其表示》教案完美版
《函数的概念及其表示》教案第一课时： 1.2.1 函数的概念（一）教学要求：通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素；能够正确使用“区间”的符号表示某些集合。
教学重点、难点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数。
教学过程：一、复习准备：1. 讨论：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？2 .回顾初中函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x 和y ，对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一的值与之对应，此时y 是x 的函数，x 是自变量，y 是因变量. 表示方法有：解析法、列表法、图象法.二、讲授新课：1.教学函数模型思想及函数概念：①给出三个实例：A .一枚炮弹发射，经26秒后落地击中目标，射高为845米，且炮弹距地面高度h （米）与时间t （秒）的变化规律是21305h t t =-.B .近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空臭氧层空洞面积的变化情况.（见书P16页图）C .国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映一个国家人民生活质量的高低。
“八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表. （见书P17页表）②讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着这样的对应关系？ 三个实例有什么共同点？归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为，对于数集A 中的每一个x ，按照某种对应关系f ，在数集B 中都与唯一确定的y 和它对应，记作：:f A B →③定义：设A 、B 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作：(),y f x x A =∈.其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域（domain ），与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域（range ）.④讨论：值域与B 的关系？构成函数的三要素？一次函数(0)y ax b a =+≠、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的定义域与值域？ ⑤练习：2()23f x x x =-+，求f(0)、f(1)、f(2)、f(－1)的值。
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§1.2.1函数的概念
(1)学习了函数的三种表示方法； (2)函数的图象不仅可以是一段光滑的曲线还可 以是一些孤立的点还可以是若干条线段；
(3)学习了用函数知识解决实际问题. (4)学习了分段函数. (5)数学思想方法的小结
数形结合的思想 分类讨论的思想 转化等思想.
§1.2.1函数的概念
作业讲评及举例
• 1、上节课作业中存在问题； • 2、例题选讲。
§1.2.1函数的概念
【1】求函数 f ( x )
x2 5 x 6 x2
的定义域.
x 2 5 x 6 ≥ 0, 解: 依题意,有 x 2 0.
x ≥ 3, 或x ≤ 2, 解之,得 x 2.
解析:函数的定义域满足
x 1 0, | x | x 0.
解之,得
x 1, x 0.
即 x 0, 且 x 1.
§1.2.1函数的概念
【3】求函数 y x 1 x 的值域. y 解：设 t 1 x ,
则 x = 1- t 2 且 t ≥ 0. ∴ y = 1-t 2+ t 1 )2 5 . (t 2 4 由图知： y ≤ 5 .
4
o
t
故函数的值域为 ( , 5 ].
4
换元法:利用换元化单一函数
§1.2.1函数的概念
求函数y 2 x 3 4 x 13 的值域.
解 : 设t 4 x 13,
2
y
1 t2 t 7 3.5 2 2 1 ( t 1)2 3. o 2 由图知: y ≥ 7 . 2 7 故函数的值域为： [ 函数的值域为[－2, 2 ].
-2
§1.2.1函数的概念
若 f(x)=3, 则x的值是……………( D ). A. 1 1, 或 3 B. 2
x 2, x ≤ 1, 2 【1】已知函数 f ( x ) x , 1 x 2, 2 x , x ≥ 2.
3 3 C. 1, 3, D. 2 (1)分段函数的定义域是各段定义域的并 集,值域是各段值域的并集. (2)分段函数在定义域的不同部分有不同 的对应关系，但它是一个函数.
4. 根据实际问题中的条件列出函数解析式,然后解 决实际问题.
§1.2.1函数的概念
1、教材P25作业：B组T2，T3，
T4 .
2、作函数y = | x － 2 | （ x+1）的图象。
富顺一中 邓真才 2012年9月14日
(2) 将长为a的铁丝折成矩形,求矩形面积y关于 矩形一边长x的解析式,并写出此函数的定义域. 解：矩形的另一边长为 a 2 x , 2 a 2 x x 2 1 ax y x x 2 2 所以函数的定义域为 { x | 0 x 1 a}. 2
§1.2.1函数的概念
x 5 2 x 4 5 x 1 y 6 2x 4 x 1
y
6
－5
o
1
x
§1.2.1函数的概念
例1.求下列函数的定义域： (1) y=2x–1(3<y< 5) ;
解:此函数有人为限制,已知值域反过来求定义域. 2 x 1 3, { x | 2 x 3}. 2 x 1 5,
例2. RtΔABC,AC=3,BC=4,动点P从直角顶点C 出 发沿CB、BA、AC运动回到C,设点P运动的路程 为x,写出线段AP的长度与x的函数式 f(x). 解：当 0 ≤ x ＜ 4 时,
y x 2 32
x2 9
A
P
C x
当 4 ≤ x ＜ 9 时, y = 9 －x. 当 9 ≤ x ≤ 12 时, y = x －9.
即
x ≥3或x 2.
所以函数的定义域是 { x | x ≥ 3, 或x 2}.
§1.2.1函数的概念
( x 1)0 [ 2] 函数f ( x ) 的定义域为( C ). | x | x A. x | x 0} { C. x | x 0, 且x 1} { B. x | x 1} { D. x | x 0} {
P P B
x 2 9, 0 ≤ x 4, y 9 x , 4 ≤ x 9, x 9, 9 ≤ x ≤ 12.
§1.2.1函数的概念
【1】如图,半圆的直径为2R,ABCD是圆内 接等腰梯形,其腰长为x,写出等腰梯形ABCD 的周长y与x的函数式.
D x A
y t 13 3 t 2
t 2 13 ,且t ≥ 0. 则x 4
x
§1.2.1函数的概念
【4】 求函数 y=|x+1|－|1－x| 的值域. 解:由 y = | x + 1 |－|1－x |,知 当x<－1时, y ( x 1) (1 x)=－2; 当-1≤x≤1时, y ( x 1) (1 x) =2x; 当x＞1时, y ( x 1) [(1 x)] =2. 2, x 1, y 2 y 2 x , 1 ≤ x ≤ 1, 2, x 1. -1 由图知:－2≤y≤2. o
E
C x
O
AD AE AB
2
BD BE AB
2
B
DE AE BE
2
§1.2.1函数的概念
解:设腰长AD = BC = x， 作 DE⊥AB，垂足为E， 连结BD，则∠ADB是直角. D C 在Rt △ABD中, ∴AD 2
AE x . = AE· AB， 2R A x2 ∴CD = AB－2AE = 2R－ R
§1.2.1函数的概念
y | x 5 | x 2 2 x 1 【2】 化简函数
解：由题 y = | x + 5 | + | x －1 |
当 x ≤－5 时， y = －( x + 5 ) －( x －1 ) =－2x－4 当 －5 ＜ x ≤ 1 时， y = ( x + 5 ) －( x －1 ) = 6 当 x ＞1 时， y = ( x + 5 ) + ( x －1 ) = 2x + 4
2
x
E
x
O
B
∴周长 y 满足的关系式
x 2 0, 2R AE 0, x 0, 由题 AD 0, CD 0, x 2 0, 2R R 2
x2 ) y = 2R + 2x + ( 2R－ R
0 x 2 R.
所求函数式为 y x 2 x 4 R. 定义域为 (0, 2 R ). R
§1.2.1函数的概念
函数解析式的求法
1.2.2导学案：函数概念（2）
• 函数解析式的一些求解方法：Ｐ３ 练习１，练习２；Ｐ４课后作业２．
§1.2.1函数的概念
1. 复习了函数的三种表示方法：解析法、列表法 和图象法的定义以及它们各自的优点； 2.复习了函数三要素中：定义域、值域的求法； 3.函数解析式的一些求解方法；