二重积分ppt

D D D
2.对区域的有限可加性
f ( x, y )d f ( x, y )d f ( x, y )d
D D1 D2
若区域D 分为D1，D2两个部分区域 ,则：
3.若在区域D上总有
f ( x, y ) ( x, y )
D
，则有不等式

D
f ( x , y ) d
x
三.二重积分与极坐标
将 I
f ( x, y )dσ
D
变换到极坐标系
x rcos θ , y rsinθ , dσ ?
用坐标线:
=常数；r =常数 分割区域 D
i + i
θi
Δσi
1 1 2 2 ( ri Δ ri ) Δ θ i ri Δ θ i 2 2 r ( ri Δ ri ) i Δ riΔ θ i 2
y x 所围区域
2 先对 y 积分（从下到上）
y
xydxdy dx x xydy


x
1
D
xdx ydy
x

x
1 1 1 3 5 ( x x )dx 24 2 0
3 先对 x 积分（从左到右）
0
D
1 x
xydxdy dy y
1
0 x 1 因为 D ： x y 1
，所以
1 x
yx
o
1
x
dy
0
1
y 0
f ( x, y)dx dx f ( x, y)dy
0
1
例2 将
dx 解：由 dx
0 0 1 0
1
1 x
f ( x, y)dy 交换积分次序。
0 x 1 f ( x, y)dy 得积分区域 D ： 0 y 1 x
B
r2 ( )
F
E
r1 ( )
.
D
A

0

I
f ( x, y )dxdy
D


r2 (θ )
r
r1 (θ )
f (r cosθ , r sinθ )rdr
怎样利用极坐标计算二重积分(1)
1.极点不在区域 D 的内部
I
f ( x , y )dxdy
D
D: r1 ( ) r r2 ( )

x ( y )
I=

y ( x )
y ( x )
f ( x, y )dy
6. 二重积分计算的两种积分顺序
I
f ( x , y )dxdy
D
D: x1(y) x x2(y) cyd
y
D: y1(x) y y2(x) axb
y y2(x)
d
x1 (y) x2(y)
1 x 0
令 0 x ， x 1 ， 0 y ，y 1 x ， 画出 D 的示意图如图。
y
0 x 1 y 因为 D ： ，所以 0 y 1
1
dx
0
1
1 x 0
f ( x, y)dy dy
0
1
1 y 0
o
f ( x, y)dx
1 y 1 x
例5： 把 I
f ( x , y )d xdy
D
变为极坐标形式
D : ( x a) 2 y 2 a 2 与 y 0 所围区域
该曲顶柱体的体积为
V A( x )dx f ( x, y )dy dx a (x) a 1
b b 2(x)

二重积分计算的两种积分顺序
I
f ( x , y )dxdy
D
D: x1(y) x x2(y) cyd
y
d
x1 (y) x2(y)
I
f ( x , y )dxdy
D
D:
0 r r ( )
0 2
r ( )
0
.
r
D
I
f ( x, y )dxdy
D


r (θ )
0
f (r cosθ , r sinθ )rdr
怎样利用极坐标计算二重积分(2)
2.极点位于区域 D 的内部
I
f ( x , y )dxdy
二重积分计算的两种积分顺序
I
f ( x , y )dxdy
D
D: x1(y) x x2(y) cyd
y
D: y1(x) y y2(x) axb
y y2(x)
d
x1 (y) x2(y)
y
c 0
D
y1(x)
0 x
D
a
x
b
x
.
I=

d
c
dyx ( y ) f ( x , y )dx
y y2(x)
d
x1 (y) x2(y)
y
c
0
.
D
y1(x)
0 x
D
a
b
x
y ( x )

b
x
I=

wk.baidu.com
d
c
dy
x ( y )
x ( y )
f ( x , y )dx
I = a dxy ( x ) f ( x, y )dy
例3：用两种顺序计算
1 画出区域 D 图形
xydxdy ,
D
D: y x 与
1
b
2 ( x)
2
2
1
1
例1 将
0 x y f ( x, y)dx 得积分区域 D ： 0 y 1 0 0 令 0 x ，x y ， 0 y ， y 1 ，画出 D 的示意图如图。 y
dy 解：由 dy
0 1
1
y
0 y
f ( x, y)dx 交换积分次序 。
( x, y ) d
D
f ( x, y )d
D
f ( x, y ) d
4.若在区域D上有
f ( x, y ) 1
D
（
为区域D的面积）
1d d
D
5.估值不等式
设M与m分别是函数Z=f(x,y)在D上的最大值与最小值，
m
2.极点位于区域 D 的内部
I
f ( x , y )dxdy
D
D:
0 r r ( )
0 2
r ( )
r

0 r
D
I
f ( x, y )dxdy
D


r (θ )
0
f (r cosθ , r sinθ )rdr
怎样利用极坐标计算二重积分(2)
2.极点位于区域 D 的内部
f
max
13 f ( x, y) 25
25
，
f
min
9
于是有：36 9 4 I 25 4 100
2 例2：比较积分 I1 ln(x y)d ， I 2 ( x y) d , I 3 ( x y)d
D
的大小
D
D
其中D是由直线 x 0, y 0, x y
. . .
o
D
a

b

dy
y a ( ) b
f ( x , y )dx
x
I
二 先对 y 积分
f ( x , y )dxdy
D
y
b
o y
b
D
a
I
x

a

dx
b x a
f ( x , y )dy
D
a
I
x
o y
.


a

dx b f ( x , y )dy
a x
b
b
x y 1 a b .
D
D:
步骤：
0 r r ( )
0 2
r ( )
.
1 从D的图形找出 r, 上、下限；
2 化被积函数为极坐标形式； 3 面积元素dxdy化为rdrd
0
r
D
.
I
f ( x, y )dxdy
D


2
0
d

r (θ )
0
f (r cosθ , r sinθ ) rdr
二重积分
学习内容：
• • • • 一.二重积分的性质 二.二重积分的算法 三.二重积分与极坐标 四.二重积分的应用
一.二重积分的性质
1.线性性质（其中: 是常数）
[ f ( x, y ) g( x, y )]d f ( x, y )d g( x, y )]d
y
c 0
D
x
I=

x ( y )
x ( y )
f ( x , y )dx
二重积分计算的两种积分顺序
I
f ( x , y )dxdy
D
D: x1(y) x x2(y) cyd
y
d
x1 (y) x2(y)
y
c 0
D
x
.
I=

x ( y )
x ( y )
f ( x , y )dx
D
2 2 的值，D是圆域 x y 4
2 2 解: 求被积函数 f ( x, y) x 4 y 9 在区域 上可能的最值
f 2x 0 x f 8y 0 y
(0,0)是驻点，f(0,0)=9，在边界上：
f ( x, y) x2 4(4 x2 ) 9 25 3x2 ( 2 x 2)
D

y
1 xydx 24
.
.
. .
例4：将二重积分化成二次积分
一 先对x积分
I
f ( x , y )dxdy
D
y
b
I
D
a
o y
b


b

dy a f ( x , y )dx
b y
a
x
a y b
D
a
I
x
b
o y
b

dy
f ( x , y )dx
x y 1 a b .
I
i 1
. .
n
f (r cos θ , r sinθ )rdrdθ
D
ri
ri+1
r
dσ , 极坐标系下的面积元素
怎样利用极坐标计算二重积分
1.极点不在区域 D 的内部
I
f ( x , y )dxdy
D
D: r1 ( ) r r2 ( )
r2 ( )

B
F
o
D
a
.
I
. .
a
x

dx
x b ( ) a
f ( x , y )dy
举例说明如何交换二次积分的次序
• （1） 对于给定的二重积分 a dx ( x) f ( x, y)dy, 先根 据其积分限 a x b, 1 ( x) y 2 ( x), • 画出积分区域D • （2）根据积分区域的形状，按新的次序确定积分 区域D的积分限 c y d , 1 ( y) x 2 ( y), b ( x) d ( y) • （3） 写出结果 a dx ( x) f ( x, y)dy c dy ( y ) f ( x, y)dx.
在区间[a,b]上任意取一个点 x0 作平行于yoz面的平面x= x0 这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间
[1( x0 ), 2 ( x0 )]
为底，曲线 z f ( x0 , y )
为曲边的曲边梯形,其面积为

A( x0 )
2 ( x0 )
(x ) 1 0
f ( x0 , y )dy
(ri 是平均值)
(ξ i ,η i )
i
ri Δ riΔ θ i
i
ξ i ri cosθ i , η i ri sinθ i
I = lim f (ξ i ,η i )Δ σ i
i 1
.
n
i
D
ri
0
.
. .
lim f (ri cosθ i , ri sinθ i )riΔ riΔ θ i
r
E
r1 ( )

0
D
A


I
f ( x, y )dxdy
D


r2 (θ )
r
r1 (θ )
f (r cosθ , r sinθ )rdr
怎样利用极坐标计算二重积分(1)
1.极点不在区域 D 的内部
I
f ( x , y )dxdy
D
D: r1 ( ) r r2 ( )
y
c
0
D
y1(x)
0 x
D
a
x
b
x
.
I=

d
c
dy
x ( y )
x ( y )
f ( x , y )dx
I=

y ( x )
y ( x )
f ( x, y )dy
二重积分计算的两种积分顺序
I
f ( x , y )dxdy
D
D: x1(y) x x2(y) cyd
y
D: y1(x) y y2(x) axb
1 和 x y 1 2
所围成的
解：因为积分域D在直线想x+y=1的下方，所以对于任意点 ( x, y) D 均有
1 x y 1 2
2 从而有 x y ( x y) 0
而 ln(x y) 0
故由二重积分的性质得
I1 I 2 I 3
二.二重积分的算法
步骤： B
r2 ( )
F
.
1 从D的图形找出 r, 上、下限；
2 化被积函数为极坐标形式； 3 面积元素dxdy化为rdrd
.
E
r1 ( )
D
A

0

I
f ( x, y )dxdy
D


β
α
dθ

r2 (θ )
r
r1 (θ )
f (r cosθ , r sinθ )rdr
怎样利用极坐标计算二重积分(2)
D
f ( x , y ) d M
是D的面积
6.中值定理
若f(x,y）在闭区域

D
上连续， 是D的面积，则在D内至少存在一点( , ) 使得 f ( x , y ) d f ( , )
例1：估计二重积分
I ( x 2 4 y 2 9)d