高中数学导数的概念课件
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高中数学课件导数的概念课件导数的概念第一课时
在时间段( t0+Dt)－ t0 = Dt 内，物体的平均速度为:
2021/4/27
vs(t0 t0DDtt) ts0(t0)D Dst
3.1 导数的概念
要精确地描述非匀速直线运动，就要知道物体在每一时 刻运动的快慢程度．如果物体的运动规律是 s =s(t )，那么物 体在时刻t 的瞬时速度v，就是物体在t 到 t+Dt 这段时间内， 当 Dt0 时平均速度．
率为
k limf(x0 Dx) f(x0)
Dx0
Dx
lim(1Dx)2 1(11)
Dx0
Dx
lim2Dx(Dx)2
Dx0
Dx
Dy
P
M
Dx
1
x
-1 O 1
2021/4/27
2
3.1 导数的概念
切线方程为: y22 (x1 )，
即
y2x
练习： P113 课后练习：1，2
2021/4/27
2． 瞬时速度 平均速度的概念
v 的极限．即
vD Ds tD lt i0m s(tD D tt)s(t)
2021/4/27
3.1 导数的概念
例1 物体作自由落体运动， 运动方程为： s 1 gt 2 ，其中位移
2 单位是m ，时间单位是s ， g=9.8m/s2．
求：(1) 物体在时间区间 [2，2.1]上的平均速度；
(2) 物体在时间区间[2，2.01] 上的平均速度；
( 3) 当Dt0,2Dt 2
平均速度 v 的极限为:
D D 即v 物 体D lt 在i0 v 时m 刻D lt t0i0 =2m s t(s )的2 g 瞬 时1 速.6 度( 9 m 等/s 于)19.6(m/s).
2021/4/27
vs(t0 t0DDtt) ts0(t0)D Dst
3.1 导数的概念
要精确地描述非匀速直线运动，就要知道物体在每一时 刻运动的快慢程度．如果物体的运动规律是 s =s(t )，那么物 体在时刻t 的瞬时速度v，就是物体在t 到 t+Dt 这段时间内， 当 Dt0 时平均速度．
率为
k limf(x0 Dx) f(x0)
Dx0
Dx
lim(1Dx)2 1(11)
Dx0
Dx
lim2Dx(Dx)2
Dx0
Dx
Dy
P
M
Dx
1
x
-1 O 1
2021/4/27
2
3.1 导数的概念
切线方程为: y22 (x1 )，
即
y2x
练习： P113 课后练习：1，2
2021/4/27
2． 瞬时速度 平均速度的概念
v 的极限．即
vD Ds tD lt i0m s(tD D tt)s(t)
2021/4/27
3.1 导数的概念
例1 物体作自由落体运动， 运动方程为： s 1 gt 2 ，其中位移
2 单位是m ，时间单位是s ， g=9.8m/s2．
求：(1) 物体在时间区间 [2，2.1]上的平均速度；
(2) 物体在时间区间[2，2.01] 上的平均速度；
( 3) 当Dt0,2Dt 2
平均速度 v 的极限为:
D D 即v 物 体D lt 在i0 v 时m 刻D lt t0i0 =2m s t(s )的2 g 瞬 时1 速.6 度( 9 m 等/s 于)19.6(m/s).
高中数学新教材选择性必修第二册《5.1导数的概念及其意义》课件
又f′(x0)＝6，∴6x0＝6，即x0＝1.
1.设函数y＝f(x)＝x2－1，当自变量x由1变为1.1时，函数的平均变化率为
√A.2.1
B.1.1
C.2
D.0
解析 ΔΔyx＝f11.1.1－－1f1＝00..211＝2.1.
12345
2.物体运动方程为 s(t)＝3t2(位移单位：m，时间单位：s)，若 v＝
思考1 割线PPn的斜率kn是多少？ 答案 割线 PPn 的斜率 kn＝fxxnn－－fx0x0.
思考2 当点Pn无限趋近于点P时，割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k有 什么关系？
答案 kn无限趋近于切线PT的斜率k.
梳理 (1)切线的定义：设PPn是曲线y＝f(x)的割线，当点Pn趋近于点P
解析 由平均变化率的定义可知，函数y＝f(x)在区间[x1，x2]，[x2，x3]， [x3，x4]上平均变化率分别为 fxx22－－fx1x1，fxx33－－fx2x2，fxx44－－fx3x3，结合图 象可以发现函数y＝f(x)的平均变化率最大的一个区间是[x3，x4].
12345
5.一物体的运动方程为s(t)＝7t2－13t＋8，则t0＝_1_时该物体的瞬时速度为1.
(3)函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势.自变量的改变量Δx取值 越小，越能准确体现函数的变化情况.
利用导数定义求导数：
(1)取极限前，要注意化简ΔΔyx，保证使 Δx→0 时分母不为 0. (2)函数在x0处的导数f′(x0)只与x0有关，与Δx无关. (3)导数可以描述事物的瞬时变化率，应用非常广泛.
2.若例3中的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s. 解 设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s. 又ΔΔst＝st0＋ΔΔtt－st0＝(2t0＋1)＋Δt. Δlit→m0ΔΔst＝Δlit→m0(2t0＋1＋Δt)＝2t0＋1.
1.设函数y＝f(x)＝x2－1，当自变量x由1变为1.1时，函数的平均变化率为
√A.2.1
B.1.1
C.2
D.0
解析 ΔΔyx＝f11.1.1－－1f1＝00..211＝2.1.
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2.物体运动方程为 s(t)＝3t2(位移单位：m，时间单位：s)，若 v＝
思考1 割线PPn的斜率kn是多少？ 答案 割线 PPn 的斜率 kn＝fxxnn－－fx0x0.
思考2 当点Pn无限趋近于点P时，割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k有 什么关系？
答案 kn无限趋近于切线PT的斜率k.
梳理 (1)切线的定义：设PPn是曲线y＝f(x)的割线，当点Pn趋近于点P
解析 由平均变化率的定义可知，函数y＝f(x)在区间[x1，x2]，[x2，x3]， [x3，x4]上平均变化率分别为 fxx22－－fx1x1，fxx33－－fx2x2，fxx44－－fx3x3，结合图 象可以发现函数y＝f(x)的平均变化率最大的一个区间是[x3，x4].
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5.一物体的运动方程为s(t)＝7t2－13t＋8，则t0＝_1_时该物体的瞬时速度为1.
(3)函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势.自变量的改变量Δx取值 越小，越能准确体现函数的变化情况.
利用导数定义求导数：
(1)取极限前，要注意化简ΔΔyx，保证使 Δx→0 时分母不为 0. (2)函数在x0处的导数f′(x0)只与x0有关，与Δx无关. (3)导数可以描述事物的瞬时变化率，应用非常广泛.
2.若例3中的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s. 解 设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s. 又ΔΔst＝st0＋ΔΔtt－st0＝(2t0＋1)＋Δt. Δlit→m0ΔΔst＝Δlit→m0(2t0＋1＋Δt)＝2t0＋1.
高中数学选择性必修二(人教版)《5.1.2 导数的概念及其几何意义》课件
－2＋1 Δx＝－12，
故曲线在点(－2，－1)处的切线方程为 y＋1＝－12(x＋2)，整理得 x
＋2y＋4＝0.
[方法技巧] 1．过曲线上一点求切线方程的 3 个步骤
2．过曲线外一点 P 求切线方程的 6 个步骤 (1)设切点(x0，f(x0))； (2)利用所设切点求斜率 k＝f′(x0)＝Δlitm→0 fx0＋ΔΔxx－fx0； (3)用(x0，f(x0))，P(x1，y1)表示斜率； (4)根据斜率相等求得 x0，然后求得斜率 k； (5)根据点斜式写出切线方程； (6)将切线方程化为一般式．
[学透用活]
[典例 3] 求曲线 f(x)＝2x在点(－2，－1)处的切线方程． [解] 由导数的几何意义，曲线在点(－2，－1)处的切线的斜率就等
于函数 f(x)＝2x在点(－2，－1)处的导数．
而 f′(－2)＝lim Δt→0
f－2＋Δx－f－2 Δx
＝lim Δt→0
－2＋2ΔΔxx＋1＝Δlitm→0
知识点二 导数的几何意义
(一)教材梳理填空
导数的几何意义 函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数就是切线 PT 的斜率 k，即 k＝__Δlit_m→_0__—__ fx0＋Δx－fx0
————Δx———＝f′(x0)．
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)导函数 f′(x)的定义域与函数 f(x)的定义域相同．
解析：设直线 l 与曲线 C 的切点为(x0，y0)，
因为 y′＝lim Δt →0
x＋Δx3－x＋Δx2＋1－x3－x2＋1 Δx
＝3x2－2x，
则 y′| x＝x0＝3x20－2x0＝1，
解得 x0＝1 或 x0＝－13.
高中数学《导数的概念》公开课优秀课件
高中数学《导数的概念》公开课优秀课件标题：高中数学《导数的概念》公开课优秀课件尊敬的各位老师，大家好！今天我们将一起学习高中数学中一个非常重要的概念——导数的概念。
这个概念在微积分学中占据了重要的地位，对于我们理解函数的变化率，以及在科学、工程、经济和计算机科学等领域都有广泛的应用。
一、导数的定义首先，让我们来看看导数的定义。
假设有一个函数f(x)，在某一点x0的附近取一系列的点，这些点的横坐标是x0+Δx。
那么，函数f(x)在点x0的导数就是这一系列点的纵坐标f(x0+Δx)与横坐标之商的极限，记作f'(x0)。
二、导数的几何意义从几何意义上来看，导数表示函数在某一点处的切线的斜率。
当我们把函数在x0附近的点沿着横坐标逐渐移动时，该点的纵坐标会相应地变化，这个变化率就是导数。
三、导数的应用导数的应用非常广泛，它可以用来解决很多实际问题。
例如，在物理学中，导数被用来描述物体的运动学和动力学问题，如速度和加速度；在经济学中，导数被用来分析成本、收益和价格的变化；在计算机科学中，导数被用来研究图像处理和人工智能的问题。
四、导数的计算导数的计算有很多方法，其中最常见的方法是使用导数的定义。
我们可以根据定义来推导出一些基本的导数公式，如常数函数的导数为0，幂函数的导数与其指数有关，三角函数的导数与其角度有关等。
五、总结与复习今天我们学习了导数的概念和计算方法。
导数是微积分学的基础，它描述了函数在某一点处的变化率。
通过学习导数的定义和基本公式，我们可以解决很多实际问题。
六、作业与扩展阅读为了加深对导数概念的理解，请大家完成以下作业：1、复习并熟练掌握导数的基本定义和公式；2、自行寻找并解决一到两个与导数相关的问题（可以从物理、经济或计算机科学等领域寻找）。
同时，我推荐大家阅读《微积分的概念》这本书，作者是著名的数学家Richard Courant。
这本书对微积分的概念有深入且生动的解释，对于我们深入理解导数的概念非常有帮助。
高中数学导数的概念 PPT课件 图文
导数的定义:
从函数lyim=f(xf )(在x0x=x0x处) 的f瞬( x时0 )变化lim率是f: ,
x0
x
x0 x
我们称它为函数 y f ( x)在x x0
处的导数 , 记作 f ( x0 )或y xx0 ,即 :
f (x0 )
lim
x0
f
( x0
数值的改变量与自变的量改变量之比,即:
y f (x2) f (x1) .
x
x2 x1
我们用它来刻画函数在值区间[x1, x2]上变化的快慢.
对于一般函y数 f (x),在自变量 x从x0变到x1的
过程中,若设x x1 x0,则函数的平均变化:率是
y f (x1) f (x0) f (x0 x) f (x0).
x) x
f
(x0 )
例题讲解
例 1一条水管中流 y(单 过位 :m 的 3)时 水间 x(量 单位 :s) 的函y数 f(x)3x.求函y数 f(x)在x2处的导数 f(2)并 , 解释它的. 实际意义
解:当x从2变到2x时,函数值3从2变
到3(2x),函数值 y关于x的平均变化率 : 为
例2一名食品加工厂的上工班人后开始连续, 工作 生产的食品数 y(单 量位:kg)是其工作时x(间 单位:h) 的函数 y f (x).假设函y数 f (x)在x1和x3处 的导数分别: f为(1) 4和f (3) 3.5,试解释它们 的实际意. 义
如 其 解 4kg:果 生 的 f (保 产 1食) 持 速 品.4(表 这 度 即示 一 工该 生 作工 产 效,人 速 )那 率 为上 4度 么kg班 他/h后 .每 也1工 h时 就的作 可 是时以 说 ,候, 生一 其 产 f(3生 生 )3产 产 .5表 速 速 ,那 示 3.度 度 5么 k该 g为 /他 h工 .也每 人 就时 上 是可 ,如 班 说 33h.以 5的 果 k后g的 生 时 保 工食 产 ,候 持 作 .品 这
高中数学 3.1.2导数的概念课件 新人教A版选修1-1
△t>0时, 在[2, 2 +△t ]这段时 间内
v 4.9t 13.1
当△t = – 0.01时, v 13.051
当△t = – 0.001时, v 13.0951
△t = – 0.00001, v
v 4.9t 13.1
当△t = 0.01时, v 13.149 当△t =0.001时, v 13.1049
x 0
x
一差、二化、三极限
例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热. 如果第 x h时, 原油的温度(单 位: C )为 f (x) = x2 – 7x+15 ( 0≤x≤8 ) . 计算第2h和第6h, 原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义. 解: 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率就是 f (2)和 f (6). 根据导数的定义,
1 2 s gt 其 例2 物体作自由落体运动,运动方程为： 2 2
中位移单位是m,时间单位是s,g=10m/s .求： (1) 物体在时间区间[2,]上的平均速度； (3) 物体在t=2(s)时的瞬时速度.
解:
__
s 1 v 2 g g ( t ) t 2
当△t = –0.0001时, v 13.09951 当△t =0.0001时, v 13.10049
13.099951
△t = 0.00001,
v 13.100049
△t = – 0.000001, v
……
13.0999951 △t =0.000001, v 13.1000049
点 x0 处不可导，或说无导数．
（2） x 是自变量x在
x0 处的改变量， x 0 ，而
高中数学第五章导数的概念及其几何意义第2课时导数的几何意义pptx课件新人教A版选择性必修第二册
()
【答案】(1)A (2)D 【解析】(1)由导数的几何意义知，导函数递增，则说明函数切线斜 率随x增大而变大． (2) 从 导 函 数 的 图 象 可 知 两 个 函 数 在 x0 处 斜 率 相 同 ， 可 以 排 除 B ， C．再者导函数的函数值反映的是原函数的斜率大小，可明显看出y＝f(x) 的导函数的值在减小，所以原函数的斜率慢慢变小，排除A．
【预习自测】
判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)曲线y＝f(x)上的每一点都有切线．
()
(2)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点． ( )
【答案】(1)× (2)×
导数的几何意义
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是切线P0T的斜率k0，即k0＝ __Δ_lxi_m→_0_f(_x_0＋__Δ_Δ_xx)_－__f_(x_0_)__＝f′(x0)．
易错警示 混淆曲线“在”或“过”某点的切线致误
求函数y＝x3－3x2＋x的图象上过原点的切线方程．
【错解】∵Δy＝f(Δx＋0)－f(0)＝(Δx)3－3(Δx)2＋Δx， ∴ΔΔyx＝1－3Δx＋(Δx)2， ∴f′(0)＝ lim [1－3Δx＋(Δx)2]＝1.
Δx→0
故所求切线方程为 y＝x.
(2)导数f′(x0)的几何意义是曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的 ___斜__率___，物理意义是运动物体在x0时刻的__瞬__时__速__度___．
【预习自测】
如果曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么 ()
A．f′(x0)>0
B．f′(x0)<0
【答案】3227 －31，2237 【解析】设直线 l 与曲线 C 的切点为(x0，y0)， 因为 y′＝Δlxi→m0(x＋Δx)3－(x＋ΔxΔ)2x＋1－(x3－x2＋1) ＝3x2－2x，则 y′|x＝x0＝3x20－2x0＝1，解得 x0＝1 或 x0＝－13，
【答案】(1)A (2)D 【解析】(1)由导数的几何意义知，导函数递增，则说明函数切线斜 率随x增大而变大． (2) 从 导 函 数 的 图 象 可 知 两 个 函 数 在 x0 处 斜 率 相 同 ， 可 以 排 除 B ， C．再者导函数的函数值反映的是原函数的斜率大小，可明显看出y＝f(x) 的导函数的值在减小，所以原函数的斜率慢慢变小，排除A．
【预习自测】
判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)曲线y＝f(x)上的每一点都有切线．
()
(2)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点． ( )
【答案】(1)× (2)×
导数的几何意义
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是切线P0T的斜率k0，即k0＝ __Δ_lxi_m→_0_f(_x_0＋__Δ_Δ_xx)_－__f_(x_0_)__＝f′(x0)．
易错警示 混淆曲线“在”或“过”某点的切线致误
求函数y＝x3－3x2＋x的图象上过原点的切线方程．
【错解】∵Δy＝f(Δx＋0)－f(0)＝(Δx)3－3(Δx)2＋Δx， ∴ΔΔyx＝1－3Δx＋(Δx)2， ∴f′(0)＝ lim [1－3Δx＋(Δx)2]＝1.
Δx→0
故所求切线方程为 y＝x.
(2)导数f′(x0)的几何意义是曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的 ___斜__率___，物理意义是运动物体在x0时刻的__瞬__时__速__度___．
【预习自测】
如果曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么 ()
A．f′(x0)>0
B．f′(x0)<0
【答案】3227 －31，2237 【解析】设直线 l 与曲线 C 的切点为(x0，y0)， 因为 y′＝Δlxi→m0(x＋Δx)3－(x＋ΔxΔ)2x＋1－(x3－x2＋1) ＝3x2－2x，则 y′|x＝x0＝3x20－2x0＝1，解得 x0＝1 或 x0＝－13，
高中数学一轮复习课件 第12章 导数导数的概念及运算法则
4.函数和、差、积、商的导数 导数的运算法则: [f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x); [f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x);
f ( x)
[ ]'= g ( x)
f '( x) g ( x) f ( x) g '( x) [ g ( x)]2 (g(x)≠0).
3 4
【答案】[ ,3]
3 4
高中数学一轮复习课件
题型1 导数的概念及几何意义
例1 (1)给出下列命题:
①若函数y=x,则当x=0时y'=0;
②若函数f'(x)=ax2+1,且f'(2)=13,则f(x)=x3+x;
③加速度是动点位移函数S(t)对时间t的导数.
其中正确的命题有 (
(A)0个. (B)1个.
高中数学一轮复习课件
1.导数的概念
lim f ( x0 x) f ( x0 ) lim 一般地,函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是 = x x0
x0
y ,我们称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记为f'(x0)或y' | ,即f'(x0)= x
x x0
导数的概念及其几何意义与导数的运算是每年高考的必考内 容,导数的运算是导数的基本内容,在高考中一般不单独命题,而在考 查导数的应用的同时进行考查; 导数的几何意义是高考重点考查的 内容,常与解析几何知识交汇命题,多以选择题和填空题的形式出现, 有时也出现在解答题中关键的一步,结合《考纲》预测2013年试题 在以上各个考查点仍以常规题型为主,试题难度中等.
lim f ( x0 x) f ( x0 ) .如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内的每一点处都有 x
《高中数学导数讲解》课件
积分
导数是积分的基础，通过 求导可以推导出原函数的 表达式。
微分方程
导数在解决微分方程问题 中起到关键作用，如物理 中的动力学问题。
THANKS
感谢观看
பைடு நூலகம்
高中数学导数讲解
目录
• 导数的基本概念 • 导数的计算 • 导数的应用 • 导数的实际应用 • 导数的扩展知识
01
导数的基本概念
导数的定义
总结词
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该点的切线斜率。
详细描述
导数是微积分中的一个基本概念，用于描述函数在某一点附近的变化率。对于可导函数$f(x)$，其在点$x_0$处 的导数定义为$f'(x_0) = lim_{Delta x to 0} frac{Delta y}{Delta x}$，其中$Delta y = f(x_0 + Delta x) - f(x_0)$ 。导数表示函数在点$x_0$处的切线斜率。
01
02
03
起源
导数最初由牛顿和莱布尼 茨在17世纪分别独立发现 ，为微积分学奠定了基础 。
早期发展
18世纪，欧拉、拉格朗日 等数学家进一步发展了导 数理论，将其应用于函数 研究。
现代应用
随着数学的发展，导数在 物理、工程、经济等领域 得到广泛应用，成为解决 实际问题的重要工具。
导数的其他性质
导数的几何意义
详细描述
在物理中，导数具有实际意义。例如，物体运动的瞬时速度 可以由速度函数的导数表示，物质扩散的瞬时速度可以由扩 散函数的导数表示。导数可以描述物体或物质在极短时间内 速度或加速度的变化。
02
导数的计算
切线斜率与导数
切线斜率
导数描述了函数在某一点的切线斜率 ，即函数在该点的变化率。
人教版高中数学选择性必修2《导数的概念及其意义》PPT课件
高中数学
选择性必修第二册 RJ
RJA
第五章
1
5.1导数的概念及其意义
5.1.2 导数的概念
及其几何意义
学习目标
1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程.
2.理解函数平均变化率、瞬时变化率的概念以及它们之间的关系.
3.掌握函数平均变化率、瞬时变化率的求法.
4.掌握导数的概念及其几何意义，会用导数的概念求简单函数在某点处的导数及曲
4x (x) 2 7 x
x 3，
x
了原油温度在时刻x0附近的变化情况.
y
lim (x 3) 3.
x 0 x
x 0
所以f '(2) lim
同理可得 ′（6）＝5.
在第2 h与第6 h时，原油温度的瞬时变化率分别为−3 ℃/h与5 ℃/h.说明在第2 h附近，
y
所以v '(2) lim
lim t 2 2. 同理可得 ′（6）＝ − 6.
t 0 t
t 0
在第2 s与第6 s时，汽车的瞬时加速度分别是2 m/s2与−6 m/s2.说明在第2 s附近，汽车的速度
每秒大约增加2 m/s；在第6 s附近，汽车的速度每秒大约减少6 m/s.
我们知道，导数 ′（0）表示函数＝（）在＝0处的瞬时变化率，反映了函数
＝（）在＝0附近的变化情况.那么导数 ′（0）的几何意义是什么？
思考：观察函数＝（）的图象（如下图），平均变化率
原油温度大约以3 ℃/h的速率下降；在第6 h附近，原油温度大约以5 ℃/h的速率上升.
例3
一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设 s时汽车的速度（单位：m/s）为
＝（）＝ − 2 + 6 + 60，求汽车在第2 s与第6 s时的瞬时加速度，并说明它们的意义.
选择性必修第二册 RJ
RJA
第五章
1
5.1导数的概念及其意义
5.1.2 导数的概念
及其几何意义
学习目标
1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程.
2.理解函数平均变化率、瞬时变化率的概念以及它们之间的关系.
3.掌握函数平均变化率、瞬时变化率的求法.
4.掌握导数的概念及其几何意义，会用导数的概念求简单函数在某点处的导数及曲
4x (x) 2 7 x
x 3，
x
了原油温度在时刻x0附近的变化情况.
y
lim (x 3) 3.
x 0 x
x 0
所以f '(2) lim
同理可得 ′（6）＝5.
在第2 h与第6 h时，原油温度的瞬时变化率分别为−3 ℃/h与5 ℃/h.说明在第2 h附近，
y
所以v '(2) lim
lim t 2 2. 同理可得 ′（6）＝ − 6.
t 0 t
t 0
在第2 s与第6 s时，汽车的瞬时加速度分别是2 m/s2与−6 m/s2.说明在第2 s附近，汽车的速度
每秒大约增加2 m/s；在第6 s附近，汽车的速度每秒大约减少6 m/s.
我们知道，导数 ′（0）表示函数＝（）在＝0处的瞬时变化率，反映了函数
＝（）在＝0附近的变化情况.那么导数 ′（0）的几何意义是什么？
思考：观察函数＝（）的图象（如下图），平均变化率
原油温度大约以3 ℃/h的速率下降；在第6 h附近，原油温度大约以5 ℃/h的速率上升.
例3
一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设 s时汽车的速度（单位：m/s）为
＝（）＝ − 2 + 6 + 60，求汽车在第2 s与第6 s时的瞬时加速度，并说明它们的意义.
高中数学导数的几何意义课件
(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.
小结:
1.导数的几何意义是什么?
2.求切线方程的步骤： （1）求出函数在点x0处的变化率 f ( x 0 ) ，得到曲线 在点(x0,f(x0))的切线的斜率。 （2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即
y f ( x 0 ) f ( x 0 )( x x 0 ).
2
y
Q
x 0
2
lim lim
x 0
x 2x (x ) x
2
y
x 0
2.
1 -1 O
P
x j
M
因此,切线方程为y-2=2(x-1), 即y=2x.
x
1
求曲线在某点处的切线方程 的基本步骤: ①求出P点的坐标; ②利用切线斜率的定义求 出切线的斜率; ③利用点斜式求切线方程.
o
A x0
x
变化过程演示
函数 y f ( x ) 在 x 0 处的导数 , 是曲线 y f ( x ) 在点 ( x 0 , f ( x 0 )) 处的切线的斜率 在 x 0 处切线的斜率反映了导 .函数 y f ( x ) .
数的几何意义
例题讲解
例 4已知函数 y f ( x ) x , x 0 2 .
f ( x1 ) f ( x 0 ) x1 x 0
x1 x 0
.
割线的斜率
如右图,直线AB称为曲 线y=f(x)在点A处的一条 割线.则割线AB的斜率 为:
k y x f ( x 2 ) f ( x1 ) x 2 x1
y=f(x) y f(x2) B f(x2)-f(x1)=△y f(x1) O A x2-x1=△x x1 x2 x
导数的概念(第1课时)(课件)高二数学(沪教版2020选择性必修第二册)
沪教版2020选修第一册
第 5章导数及其应用
5.1导数的概念（第1课时）
初等数学可以帮助我们对匀速运动进行描述分析 ， 也能够顺 利解决形状规则物体的测量问题 ． 然而 ， 人类在实际生活中 面临的问题往往更为复杂 ． 例如 ， 运动中速度在不断变化 ， 图形的边界不再是规则的 ， 等等 ． 要处理这一类问题 ， 本 质上要有处理变化和变化中的瞬时状态的数学工具 ． 这是初 等数学所缺乏的 ， 需要用到高等数学特别是微积分的知识 ．
在本节的学习中 ， 我们将利用运动中的平均速度趋近于瞬时 速度 ， 利用曲线的割线趋近于它的切线 ， 从而初步认识导数 这一刻画函数瞬时变化率的工具 ．
当我们乘坐高铁时 ， 常常会在车厢内看到如图 ５ -１- １ 所示的 列车信息显示屏 ． 如何理解图中 “ 速度 ３０７动过程 ． 一个自然的想法 是把整个运动时间分割成若干个时间段 ， 求每个时间段的平均 速度 ． 可以想象 ， 随着时间的分割越来越精细 ， 分段的平 均速度对整个运动的描述会越来越精确
但是 ， 系统学习高等数学的内容不是高中课程所能承担的任 务 ． 本章用比较直观和粗略的方式引入微积分中一个最基本 的概念 ——— 导数 ， 为我们研究函数性质提供了一个工具 ， 从而可以解决变速运动等现实问题
由于知识基础不足或者可能产生的理解困难 ， 本章某些公 式与定理没有给出证明 ． 我们仅仅要求同学们初步了解这 些公式 、 定理的用途 ，从而对导数的基本思想有所认识和 体会 ． 更深入的学习将在未来的大学课程中继续
宋老师数学精品工作室
“ THANKS ”
【答案】1；
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2、已知函数f(x)＝3x2＋5，求：f(x)： （1）从0.1到0.2的平均变化率； （2）在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率；
第 5章导数及其应用
5.1导数的概念（第1课时）
初等数学可以帮助我们对匀速运动进行描述分析 ， 也能够顺 利解决形状规则物体的测量问题 ． 然而 ， 人类在实际生活中 面临的问题往往更为复杂 ． 例如 ， 运动中速度在不断变化 ， 图形的边界不再是规则的 ， 等等 ． 要处理这一类问题 ， 本 质上要有处理变化和变化中的瞬时状态的数学工具 ． 这是初 等数学所缺乏的 ， 需要用到高等数学特别是微积分的知识 ．
在本节的学习中 ， 我们将利用运动中的平均速度趋近于瞬时 速度 ， 利用曲线的割线趋近于它的切线 ， 从而初步认识导数 这一刻画函数瞬时变化率的工具 ．
当我们乘坐高铁时 ， 常常会在车厢内看到如图 ５ -１- １ 所示的 列车信息显示屏 ． 如何理解图中 “ 速度 ３０７动过程 ． 一个自然的想法 是把整个运动时间分割成若干个时间段 ， 求每个时间段的平均 速度 ． 可以想象 ， 随着时间的分割越来越精细 ， 分段的平 均速度对整个运动的描述会越来越精确
但是 ， 系统学习高等数学的内容不是高中课程所能承担的任 务 ． 本章用比较直观和粗略的方式引入微积分中一个最基本 的概念 ——— 导数 ， 为我们研究函数性质提供了一个工具 ， 从而可以解决变速运动等现实问题
由于知识基础不足或者可能产生的理解困难 ， 本章某些公 式与定理没有给出证明 ． 我们仅仅要求同学们初步了解这 些公式 、 定理的用途 ，从而对导数的基本思想有所认识和 体会 ． 更深入的学习将在未来的大学课程中继续
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“ THANKS ”
【答案】1；
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2、已知函数f(x)＝3x2＋5，求：f(x)： （1）从0.1到0.2的平均变化率； （2）在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率；
数学分析--导数 ppt课件
数，如果要讨论改函数在端点处的变化率时，就要对导数概念加以补充，引出单 侧导数的概念。
定义 2 设函数 y f (x) 在点 x0 的某右邻域 (x0 ,x 0 δ)上有定义，若右
极限 或
l i m Δ y l i m f ( x0 Δ x ) f ( x0 ) (0＜ x ＜ )
Δ x Δx 0
理 5.1， f(x) x 在 x x 0 0 处不可导。
当 x0 0 时，由于 D(x) 为有界函数, 因此得到
f(0)
lim
f(x)
f(0)
li
mxD(x)
0.
x0 x 0
x 0
ppt课件
下页 18
（二）函数在一点的单侧导数
类似于函数在一点有左、右极限, 对于定义在某个闭区间或半开区间上的函
dx
dx
运算，待到学过“微分”之后，将说明这个记号实际上是一个“商”，相应于上述各种
表示导数的形式，f |x x 0 或
dy dx
|xx0
。
ppt课件
下页 23
例 6 证明：
(i) ( xn ) nxn1, n 为正整数 ;
(ii) (sinx) cosx , (cosx) sinx
(iii)
y 1
－1/π
0
1/π
x
ppt课件
下页 22
（三）导函数 若函数在区间 I 上每一点都可导（对区间端点，仅考虑相应的单侧导数），则称 f
为 I 上的可导函数。此时对每一个χ∈I，都有 f 的一个导数 f '(x) （或单侧导数）与之
对应，这样就定义了一个在 I 上的函数，称为 f 在 I 上的导函数，也简称为导数，记作
5.1.2 导数的概念及其几何意义课件ppt
值
y
y
,即
x
x
=
f(x 0 +x)-f(x 0 )
x
叫做函数y=f(x)从x0到x0+Δx的平均变化率.
(x0+Δx)-x0
名师点析 (1)Δx是自变量的变化量,它可以为正,也可以为负,但不能等于零,
而Δy是相应函数值的变化量,它可以为正,可以为负,也可以等于零.
(2)函数平均变化率的物理意义:如果物体的运动规律是s=s(t),那么函数s(t)
Δ
所以 =-Δx-2x+3.故函数的导数
Δ
Δ
f'(x)= lim
Δ→0 Δ
= (-Δx-2x+3)=-2x+3.
Δ→0
反思感悟 (1)利用定义求函数 y=f(x)的导数的步骤
①求函数值的变化量 Δy=f(x+Δx)-f(x);
Δ
②求函数的平均变化率
Δ
③取极限,得
=
(+Δ)-()
(2)若函数y=f(x)在某区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为0,能不能说明函数值在区
间[x0,x0+Δx]上的函数值都相等?
提示 不能.因为函数在某区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为0只能说明
f(x0+Δx)=f(x0).
(3)函数y=f(x)在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率的几何意义是什么?
它是一个确定的值,与给定的函数及x(或x0)的位置有关,而与Δx无关;导函
数是对一个区间而言的,它是一个确定的函数,依赖于函数本身,也与Δx无
关.
微练习
求函数 y=f(x)= x的导数.
解 函数的导数为
y
y
,即
x
x
=
f(x 0 +x)-f(x 0 )
x
叫做函数y=f(x)从x0到x0+Δx的平均变化率.
(x0+Δx)-x0
名师点析 (1)Δx是自变量的变化量,它可以为正,也可以为负,但不能等于零,
而Δy是相应函数值的变化量,它可以为正,可以为负,也可以等于零.
(2)函数平均变化率的物理意义:如果物体的运动规律是s=s(t),那么函数s(t)
Δ
所以 =-Δx-2x+3.故函数的导数
Δ
Δ
f'(x)= lim
Δ→0 Δ
= (-Δx-2x+3)=-2x+3.
Δ→0
反思感悟 (1)利用定义求函数 y=f(x)的导数的步骤
①求函数值的变化量 Δy=f(x+Δx)-f(x);
Δ
②求函数的平均变化率
Δ
③取极限,得
=
(+Δ)-()
(2)若函数y=f(x)在某区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为0,能不能说明函数值在区
间[x0,x0+Δx]上的函数值都相等?
提示 不能.因为函数在某区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为0只能说明
f(x0+Δx)=f(x0).
(3)函数y=f(x)在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率的几何意义是什么?
它是一个确定的值,与给定的函数及x(或x0)的位置有关,而与Δx无关;导函
数是对一个区间而言的,它是一个确定的函数,依赖于函数本身,也与Δx无
关.
微练习
求函数 y=f(x)= x的导数.
解 函数的导数为
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而当 x 趋于 0时 , 平均变化率就趋于函数 化率 , 瞬时变化率刻画的是函
数在一点处变化的快慢
分析推导
设函数 y f ( x ), 当自变量 x 从 x 0 变到 x1时 , 函数值从 f ( x 0 ) 变到 f ( x1 ), 函数值 y 关于 :x 的平均变化率为 这个值称为 当 x 趋于 x 时 ,
lim
x1 x 0
.
导数的定义:
从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:
x 0
lim
f ( x0 x ) f ( x0 ) x
lim
f x
x 0
,
我们称它为函数
y f ( x )在 x x 0
x x0
处的导数 , 记作 f ( x 0 )或 y f ( x 0 ) lim
x 0
,即 :
f ( x0 x ) f ( x0 ) x
例题讲解
例1一条水管中流过的水量 f ( 2 ), 并解释它的实际意义 y (单位 : m )时间 x (单位 : s )
3
的函数 y f ( x ) 3 x .求函数 y f ( x ) 在 x 2 处的导数 .
3 x x
当 x 趋于 2时 , 即 x 趋于 0 , 平均变化率趋于
3, 所以
导数 f ( 2 ) 表示当 x 2 s 时水量的瞬时变化率 的瞬时速度 .也就是如果水管中的水 时速度流动的话
, 即水流
以 x 2 s 时的瞬 3m .
3
, 每经过 1s , 水管中流过的水量为
例 2 一名食品加工厂的工人 生产的食品数量
1 0
y
f ( x1 ) 平均变化率的极限 . ) f ( x 0 ) f ( x0 ) f ( x0 x . x x1 x 0 x 个固 y f ( x ) 在 x 0点的瞬时变
当 x1趋于 x 0时 , x 趋于 0时 , 如果平均变化率趋于一 定的值 , 那么这个值就是函数 化率 .
我们用它来刻画函数值
对于一般函数 y f ( x ), 在自变量 x 从 x 0 变到 x1的 过程中 , 若设 x x1 x 0 , 则函数的平均变化率是 y x f ( x1 ) f ( x 0 ) x1 x 0 f ( x0 x ) f ( x0 ) x . 在 x 0点的瞬时变 . :
1h 的时候 ,
其生产速度 (即工作效率 )为 4 kg / h.也就是说 , 如果保持这一生产速度 4 kg 的食品 . , 那么他每时可以生产
f ( 3 ) 3 . 5 表示该工人上班后工作
3 h 的时候 ,
其生产速度为 3 . 5 kg / h .也就是说 , 如果保持这 一生产速度 , 那么他每时可以生产 3 . 5 kg 的食品 .
上班后开始连续工作
,
y (单位 : kg )是其工作时间 x (单位 : h )
的函数 y f ( x ).假设函数 y f ( x ) 在 x 1和 x 3处 的导数分别为 : f (1) 4 和 f ( 3 ) 3 . 5, 试解释它们 的实际意义 .
解 : f (1) 4 表示该工人上班后工作
解 : 当 x 从 2 变到 2 x 时 , 函数值从 3 2 变 到 3 ( 2 x ), 函数值 y 关于 x 的平均变化率为 f (2 x ) f (2) x f ( 2 ) 3 m / s .
3
: 3 ( m / s ).
3
ห้องสมุดไป่ตู้
3( 2 x ) 3 2 x
化 x 2 x1称作自变量的改变量 以表示为函
,
记作 x , 函数值的变化 f ( x 2 ) f ( x1 ), 称作函数值的改 变量 , 记作 y .这样 , 函数的平均变化率就可 数值的改变量与自变量 y x f ( x 2 ) f ( x1 ) x 2 x1 . 在区间 [ x1 , x 2 ]上变化的快慢 . 的改变量之比 , 即 :
解 : f (10 ) 1 . 5 表示服药后 10 min 时 , 血液中药物 浓度上升的速度为 1 .5 g /( mL min), 也就是说 , 如
果保持这一速度 , 每经过 1分钟时间 , 血液中的药 物浓度将上升 1 . 5 g / mL .
f (100 ) 0 . 6 表示服药后 100 min 时 , 血液中药物浓 度下降的速度为 0 . 6 g /( mL min), 也就是说 , 如果保 持这一速度 , 每经过 1分钟时间 , 血液中的药物浓度 将下降 0 . 6 g / mL .
在数学中 , 称瞬时变化率为函数 f ( x1 ) f ( x 0 ) x1 x 0
y f ( x ) 在点 x 0点 f ( x0 x ) f ( x0 ) x
的导数 , 通常用符号 f ( x 0 ) 表示 , 记作 : f ( x 0 ) lim
x1 x 0
例 3服药后 , 人体血液中的药物浓度
y (单位 :
g / mL )是时间 t (单位 : min) 的函数 y f ( t ),
假设函数 y f ( t ) 在 t 10 和 t 100 处的导 数分别为 f (10 ) 1 . 5 和 f (100 ) 0 . 6 , 试解 释它们的实际意义 .
新课程 新思想 新理念
什么是平均变化率?什么是瞬时变化率?
对一般的函数 y f ( x ) 来说 , 当自变 量 x 从 x1变为 x 2时 , 函数值从 f ( x1 ) 变为 f ( x 2 ), 它的平均变化率为 f ( x 2 ) f ( x1 ) x 2 x1 . :
通常我们把自变量的变
课堂练习
如何求t=3这时刻的瞬时速度呢？ 解：取一小段时间：［3,3+△t] 1 9 2－ △Ｓ= g(3+△t) g
△Ｓ V = △t
2
物体自由落体的运动方程是: 1 S(t)= 2 gt2,
g 2
2
(6+△t)
解：取一小段时间：［3,3+△t] △Ｓ=
1 2
g(3+△t)2－
9 2
g
△Ｓ V = △t
g 2
(6+△t)
当△t
0时，v
3g =29.4
１．平均速度 ２．平均变化率 ３．导数
瞬时速度； 瞬时变化率；
f(x0+△x)－f(x0) lim f’(x0)= △x 0 △x