中国石油大学华东线性代数(2013-2014-1)-A卷
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
A卷
2013—2014学年第一学期
《线性代数》期末试卷
（32学时）
专业班级_____________________
姓名_____________________
学号_____________________
开课系室应用数学系
考试日期2014 年1月9日
页号一二三四五六总分
本页
30 16 16 14 12 12
满分
本页
得分
阅卷人
注意事项：1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；
2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；
3．本试卷共六道大题，满分100分；
4．试卷本请勿撕开，否则作废；
5．本试卷正文共6页。
一．填空题（3分⨯5=15分）
1．在5阶行列式中，项4123125435a a a a a 前的符号为【 】.
2. 设3阶方阵100025013A ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
，则1A -=【 】.
3. 设向量组1(,0,)T a c α=，2(,,0)T b c α=，3(0,,)T a b α=线性无关，则,,a b c 必满 足关系式【 】.
4. 设n 阶可逆矩阵A 的每行元素之和为常数a ，则1A -的每行元素之和为【 】.
5．设二次型222
1231231213(,,)4222f x x x x x x tx x x x =++++，当t 满足【 】
时，123(,,)f x x x 为正定二次型.
二. 选择题（3分⨯5=15分）
1. 设3
0402
2
2
2
07004222
D =
---，则D 的第4行元素余子式之和为【 】.
(A) 0; (B) 28; (C) 28-; (D) 前面选项都不对.
2. 设A 是n 阶方阵，2A =，*A 为A 的伴随矩阵，则1*-=A A 【 】. (A) 2； (B) 2n ； (C) 12-n ； (D) 前面选项都不对.
3. 已知矩阵11221130B a -⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪-⎝⎭，且()2R B =，则a =【 】.
(A) 5; (B) 1; (C) 1-; (D) 5-.
4. 设n 元齐次线性方程组0=Ax 的系数矩阵A 的秩为r ，则方程组0=Ax 有非零 解的充分必要条件是【 】.
(A) r n =； (B) r n ≥； (C) r n >； (D) r n <.
5．设3阶方阵A 的特征值为1,2,3-，E 为单位矩阵，则2+A E 的迹(2)tr A E + 为【 】.
(A) 7； (B) 7-； (C) 2； (D) 前面选项都不对.
三. 解下列各题（8分⨯4=32分）
1.计算行列式
1111
1111
1111
1111
a
a
D
a
a
+-
+-
=
+-
-+
.
2.已知矩阵
201
020,
102
A
⎛⎫
⎪
= ⎪
⎪
-
⎝⎭
022
221
341
B
⎛⎫
⎪
= ⎪
⎪
⎝⎭
，且满足矩阵方程-=+
AX E B X
求矩阵X.
3. 设有向量组
123451113311311,,,,2134531557ααααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
(1) 求此向量组的秩，并求一个最大无关组；(2) 将其余向量用这个最大无关组线性表示.
4. 设3R 的两个基为1(1,0,1),T α=-2(1,0,1),T α=--3(0,1,0)T α=，及1(1,2,1),T β=
2(1,1,1),T β=- 3(1,1,1)T β=-. (1)求由基123,,ααα到基123,,βββ的过渡矩阵C ；(2)求1β关于基123,,ααα的坐标.
四. （7分⨯2=14分）
1. 设方阵A 满足方程220A A E --=，证明2A E +可逆，并求 ()
1
2A E -+.
2．设向量组1234,,,αααα线性无关，11234,βαααα=+++21234234,βαααα=+++
312344916,βαααα=+++4123482764βαααα=+++，证明向量组1234,,,ββββ也线性无关.
五．（12分）
λ取何值时，线性方程组
2123123123
1x x x x x x x x x λλλλλ⎧++=⎪
++=⎨⎪++=⎩ (1) 有唯一解；(2) 无解；(3) 有无穷多解，并求此时的通解.
六．（12分）
设实二次型123121323(,,)222f x x x x x x x x x =-+，用正交变换x P y =将此二次型化为标准形，写出正交矩阵P 及二次型的标准形.