2017年北京四中自主招生数学试卷
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点，BP 的延长线交⊙O 于点 Q，点 R 在 OA 的延长线上，且 RP=RQ． （1）求证：RQ 是⊙O 的切线； （2）求证：OB2=PB•PQ+OP2； （3）当 RA≤OA 时，试确定∠B 的取值范围．
第2页（共4页）
17．（14 分）平面上有 n 个点（n≥3，n 为自然数），其中任何三点不在同一直 线上．证明：一定存在三点，以这三点作为顶点的三角形中至少有一个内角
度数是
．
10．（5 分）方程（2007x）2﹣2006×2008x﹣1=0 的较大根为 a，方程 x2+2006x
﹣2007=0 的较小根为 b，则 a﹣b=
．
11．（5 分）已知 x=
，则 x3+12x 的算术平方根是
．
第1页（共4页）
12．（5 分）如图，Rt△ABC 中，∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=6．△ABC 以点 B
B．13
C．14
D．11
5．（5 分）掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有 1 至 6 六个
数．连续掷两次，掷得面向上的点数之和是 3 的倍数的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（5 分）1×2+2×3+3×4+…+99×100=（ ）
A．223 300
B．333 300
C．443 300
D．433 300
二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分）
7．（5 分）多项式 6x3﹣11x2+x+4 可分解为
．
8．（5 分）已知点 P（x，y）位于第二象限，并且 y≤2x+6，x、y 为整数，则点 P
的个数是
．
9．（5 分）已知⊙O 的半径 OA=1，弦 AB、AC 的长分别是 、 ，则∠BAC 的
为中心逆时针旋转，使点 C 旋转至 AB 边延长线上的 C′处，那么 AC 边转过的
图形（图中阴影部分）的面积是
．
三、解答题（共 5 小题，满分 60 分） 13．（10 分）现将一个表面涂满红色的正方体的每条棱十等分，此正方体分割成
若干个小正方体．在这些小正方体中，求： （1）两面涂有红色的小正方体的个数； （2）任取一个小正方体，各面均无色的小正方体的概率； （3）若将原正方体每条棱 n 等分，只有一面涂有红色的小正方体的个数． 14．（10 分）已知 x，y 均为实数，且满足 xy+x+y=17，x2y+xy2=66，求代数式
2017 年北京四中自主招生数学试卷
一、选择题（共 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分） 1．（5 分）已知 ＜cosA＜sin80°，则锐角 A 的取值范围是（ ）
A．60°＜A＜80° B．30°＜A＜80° C．10°＜A＜60° D．10°＜A＜30°
2．（5 分）实数 b 满|b|＜3，并且有实数 a，a＜b 恒成立，a 的取值范围是（ ）
x4+x3y+x2y2+xy3+y4 的值． 15．（12 分）在直角△ABC 中，∠C=90°，直角边 BC 与直角坐标系中的 x 轴重合，
其内切圆的圆心坐标为 P（0，1），若抛物线 y=kx2+2kx+1 的顶点为 A． （1）求抛物线的对称轴、顶点坐标和开口方向； （2）用 k 表示 B 点的坐标； （3）当 k 取何值时，∠ABC=60°？ 16．（14 分）如图，OA 和 OB 是⊙O 的半径，并且 OA⊥OB．P 是 OA 上的任意一
三、解答题（共 5 小题，满分 60 分）
13．；14．；15．；16．
；17．
；
第4页（共4页）
A．小于或等于 3 的实数
B．小于 3 的ห้องสมุดไป่ตู้数
C．小于或等于﹣3 的实数
D．小于﹣3 的实数
3．（5 分）x1，x2 是方程 x2+x+k=0 的两个实根，若恰 x12+x1x2+x22=2k2 成立，k 的
值为（ ）
A．﹣1
B． 或﹣1
C．
D．﹣ 或 1
4．（5 分）代数式
的最小值为（ ）
A．12
不大于
．
第3页（共4页）
2017 年北京四中自主招生数学试卷
参考答案
一、选择题（共 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分） 1．D；2．C；3．A；4．B；5．C；6．B；
二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分） 7．（x﹣1）（3x﹣4）（2x+1）；8．6；9．15°或 75°；10．2008；11．2 ；12．9π；
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17．（14 分）平面上有 n 个点（n≥3，n 为自然数），其中任何三点不在同一直 线上．证明：一定存在三点，以这三点作为顶点的三角形中至少有一个内角
度数是
．
10．（5 分）方程（2007x）2﹣2006×2008x﹣1=0 的较大根为 a，方程 x2+2006x
﹣2007=0 的较小根为 b，则 a﹣b=
．
11．（5 分）已知 x=
，则 x3+12x 的算术平方根是
．
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12．（5 分）如图，Rt△ABC 中，∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=6．△ABC 以点 B
B．13
C．14
D．11
5．（5 分）掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有 1 至 6 六个
数．连续掷两次，掷得面向上的点数之和是 3 的倍数的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（5 分）1×2+2×3+3×4+…+99×100=（ ）
A．223 300
B．333 300
C．443 300
D．433 300
二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分）
7．（5 分）多项式 6x3﹣11x2+x+4 可分解为
．
8．（5 分）已知点 P（x，y）位于第二象限，并且 y≤2x+6，x、y 为整数，则点 P
的个数是
．
9．（5 分）已知⊙O 的半径 OA=1，弦 AB、AC 的长分别是 、 ，则∠BAC 的
为中心逆时针旋转，使点 C 旋转至 AB 边延长线上的 C′处，那么 AC 边转过的
图形（图中阴影部分）的面积是
．
三、解答题（共 5 小题，满分 60 分） 13．（10 分）现将一个表面涂满红色的正方体的每条棱十等分，此正方体分割成
若干个小正方体．在这些小正方体中，求： （1）两面涂有红色的小正方体的个数； （2）任取一个小正方体，各面均无色的小正方体的概率； （3）若将原正方体每条棱 n 等分，只有一面涂有红色的小正方体的个数． 14．（10 分）已知 x，y 均为实数，且满足 xy+x+y=17，x2y+xy2=66，求代数式
2017 年北京四中自主招生数学试卷
一、选择题（共 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分） 1．（5 分）已知 ＜cosA＜sin80°，则锐角 A 的取值范围是（ ）
A．60°＜A＜80° B．30°＜A＜80° C．10°＜A＜60° D．10°＜A＜30°
2．（5 分）实数 b 满|b|＜3，并且有实数 a，a＜b 恒成立，a 的取值范围是（ ）
x4+x3y+x2y2+xy3+y4 的值． 15．（12 分）在直角△ABC 中，∠C=90°，直角边 BC 与直角坐标系中的 x 轴重合，
其内切圆的圆心坐标为 P（0，1），若抛物线 y=kx2+2kx+1 的顶点为 A． （1）求抛物线的对称轴、顶点坐标和开口方向； （2）用 k 表示 B 点的坐标； （3）当 k 取何值时，∠ABC=60°？ 16．（14 分）如图，OA 和 OB 是⊙O 的半径，并且 OA⊥OB．P 是 OA 上的任意一
三、解答题（共 5 小题，满分 60 分）
13．；14．；15．；16．
；17．
；
第4页（共4页）
A．小于或等于 3 的实数
B．小于 3 的ห้องสมุดไป่ตู้数
C．小于或等于﹣3 的实数
D．小于﹣3 的实数
3．（5 分）x1，x2 是方程 x2+x+k=0 的两个实根，若恰 x12+x1x2+x22=2k2 成立，k 的
值为（ ）
A．﹣1
B． 或﹣1
C．
D．﹣ 或 1
4．（5 分）代数式
的最小值为（ ）
A．12
不大于
．
第3页（共4页）
2017 年北京四中自主招生数学试卷
参考答案
一、选择题（共 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分） 1．D；2．C；3．A；4．B；5．C；6．B；
二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分） 7．（x﹣1）（3x﹣4）（2x+1）；8．6；9．15°或 75°；10．2008；11．2 ；12．9π；