2017年北京四中自主招生数学试卷
2017年北京中考数学试卷及答案
①在点 ， ， 中， 的关联点是；
②点P在直线 上，若P为 的关联点，求点P的横坐标的取值范围;
（2) 的圆心在x轴上,半径为2，直线 与x轴、y轴分别交与点A,B.若线段AB上的所有点都是 的关联点，直接写出圆心C的横坐标的取值范围.
13。如图，在△ABC中，M，N分别是AC,BC的中点，若 ，则 。
14。如图，AB为 的直径,C，D为 上的点, 。若∠CAB=40°，则∠CAD=°.
15.如图，在平面直角坐标系xOy中,△AOB可以看成是△OCD经过若干次图形的变化(平移、轴对称、旋转)得到的，写出一种由△OCD得到△AOB的过程：.
（以上材料来源于《古证复原的原则》、《吴文俊与中国》和《古代世界数学泰斗刘徽》)
请根据上图完成这个推论的证明过程.
证明: （+）.
易知， =，=.
可得： 。
21.关于x的一元二次方程 。
(1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围.
22。如图在四边形ABCD中,BD为一条射线，AD∥BC，AD=2BC，∠ABD=90°，E为AD的中点，
D。2016年我国与东南亚地区的贸易额比我国与东欧地区的贸易额的3倍还多
9。小苏和小林在右图的跑道上进行4×50米折返跑。在整个过程中，
跑步者距起跑线的距离y(单位：m）与跑步时间t（单位：s）的
对应关系如下图所示。下列叙述正确的是
A。两个人起跑线同时出发，同时到达终点
B.小苏跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度
2017年北京市高级中等学校招生考试
数学试卷
学校：姓名：准考证号：
考
生
须
知
2017年北京市北京四中小升初分班测试卷(解析版)
一、基本运算技能.（每小题 4 分，共 40 分） 1． （4 分）9876543×9+1＝ ． ． ． ．
2． （4 分）46391÷23﹣（82+22）＝ 3． （4 分） （101010﹣10101）×66÷99＝
4． （4 分）[11﹣（0.2+6.86÷0.7）]×（969.696+1047.304）＝ 5． （4 分）1.23÷3+2.31÷3+3.12÷3＝ 6． （4 分） 7． （4 分） 8． （4 分） 9． （4 分） 10． （4 分） ＝ ＝ ＝ ＝ ． ＝ ． ． ． ． ．
和这五个数的平均数 （共六个数） ，从小 个位置．
到大重新排列，那么平均数 排在第
15． （4 分）一个真分数，如果分子减去 1，分数变为 ；如果分子减去 2，分数 变为 ，那么这个分数为 16． （4 分）如果 例中项，则 x＝ ．
（x＞0） ，那么 x 叫做 a、b 的比例中项．若 是 和 x 的比 ． ． cm2，
28． （3 分）在多边形中，连结不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线．这 样，三角形没有对角线，四边形有 2 条对角线，五边形有 5 条对角线，六边 形有 条对角线，十边形有 条对角线．
29． （3 分）如图是一个正方形的四分之三．请你想一想，能不能把它分割成面 积相等、并且与原图形的形状相同的四个图形？如果可以，请在该图中，画 出你分割的示意图．
四、数学活动体验（共 25 分） 26． （4 分） （1）用六根 2cm 长的铁丝拼图，最多能组成 出示意图； （2）用八根 2cm 长的铁丝拼图，最多能组成 个正方形．并画出示意图． 个正方形，并画
北京市四中2017-2018学年九年级下期开学考试数学试题
2017—2018学年北京四中初三下学期开学测试数学试卷一、选择题。
1.已知一粒米的质量是0.000021千克,这个数字用科学记数法表示为( ）A.4-1021⨯千克B.6-101.2⨯千克C.5-101.2⨯千克D.4-101.2⨯千克2.若代数式4-x x 有意义,则实数x 的取值范围是( ） A.x=0 B.x=4 C.x ≠0 D.x ≠43.在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，把它们分别标号为1,2,3,4,5，从中随机摸出一个小球,其标号大于2的概率为（ ） A.51 B.52 C.53 D.54 4.如图，直线a 、b 被直线c 所截，a ∥b,∠1=∠2,若∠3=40°,则∠4等于（ ）第4题 第6题A.40°B.50°C.70°D.80°5.下面的几体中,主(正)视图为三角形的是( ）A B C D6.图象中所反映的过程是:张强从家跑步去体育场,在那里锻炼了一阵后,又去早餐店吃早餐,然后散步走回家。
其中x 表示时间,y 表示张强离家的距离,根据图象提供的信息,以下四个说法错误的是( )A.体育场离强家2.5千米B.张强在体育场锻炼了15分钟C.体育场离早餐店1千米D.张强从早餐店回家的平均速度是3千米/小时7.如图,AB 与⊙O 相切于点B.AO 的延长线交⊙O 于点C,连接BC ，若∠ABC=120°,OC=3,则BC 的长为( ）A.πB.2πC.3πD.5π8.小王的手机使用的是每月300M 流量套餐，下图记录了小王在4月2日至4月10日这十 天的流量使用情况,下列叙述中正确的是（ ）A.1日-10日这10天的平均流量小于9.0M/日B.11日-30日这20天,如果每天的平均流量不超过11M,这个月总流量就不会超过套餐流量C.从1日-10这10天的流量中任选连续3天的流量,则3日,4日,5日这三天的流量的方差最大D.从1-10日这10天中的流量中任选连续3天的流量,则8日,9日,10日这三天的流量的方差最小第7题 第8题二、填空题。
2017年北大自主招生数学试题及答案
5
13
）
A. 锐角三角形
B. 钝角三角形
C. 无法确定
D. 前三个答案都不对
答案 A．
5
B.
20 5,
Å3 ã
3
C.
20 , 20
D. 前三个答案都不对
3
解析 C．
13. 正方形 ABCD 与点 P 在同一平面内，已知该正方形的边长为 1 ，且 |P A|2 + |P B|2 = |P C|2 ，则 |P D|
的最大值为（ ） √
A. 2 + 22 2 D. 前三个答案都不对
答案 A．
） B. −1.5 D. 前三个答案都不对
19. 动圆与两圆 x2 + y2 = 1 和 x2 + y2 − 6x + 7 = 0 都外切，则动圆的圆心轨迹是（ ）
A. 双曲线
B. 双曲线的一支
C. 抛物线
D. 前三个答案都不对
答案 B．
4
20.
在
△ABC
中， sin A = 4 ， cos B = 4 ，则该三角形是（
√ B. 2 6 D. 前三个答案都不对
答案 D．
6. 已知三角形三条中线长度分别为 9, 12, 15 ，则该三角形面积为（ ）
A. 64
B. 72
C. 90
D. 前三个答案都不对
答案 B．
7. 已知 x 为实数，使得 2, x, x2 互不相同，且其中有一个数恰为另一个数的 2 倍，则这样的实数 x 的个
3π
ã
的值为（
）
5
5
A.
1 1+ √
5
C.
1+
1 √
北京市四中自主招生考试素质测数学试题(含答案)
数学素质测试题◆注意事项：本试题共三大题，满分120分，考试时间120分钟。
参考公式：()3223333b ab b a a b a +++=+ ()()2233b ab a b a b a +-+=+ ()3223333b ab b a a b a -+-=- ()()2233b ab a b a b a ++-=-一、选择题（每小题5分，共30分。
以下每小题均给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。
请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填均得0分）1、已知80sin cos <<A ，则锐角A 的取值范围是 （ ）A ． 8060<<AB ． 8030<<AC ． 6010<<AD ．3010<<A 2、实数b 满足3<b ，并且有实数a ，使b a <恒成立，则a 的取值范围是 A ．小于或等于3的实数 B ．小于3的实数 C ．小于或等于3-的实数 D ．小于3-的实数3、设1x 、2x 是方程02=++k x x 的两个实根，若恰有22221212k x x x x =++成立，则k 的值为（ ）A ．1-B ．21或 1- C ．21 D ．21-或 14、代数式9)12(422+-++x x 的最小值为A ．12B ．13C ．14D ．115、掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1至6六个数。
连续掷两次，掷得面向上的点数之和是3的倍数的概率为A ．365 B ．61 C ．31 D ．946、=⨯++⨯+⨯+⨯10099433221A ．223300B ．333300C ．443300D ．433300 二、填空题（每小题5分，共30分）1、多项式411623++-x x x 可分解为 。
2、已知点),(y x p 位于第二象限，并且62+≤x y ，x 、y 为整数，则点p 的个数是 。
2017年北京自主招生数学模拟题
某区高二年级的一次数学统考中，随机抽取 名同学的成绩，数据的分组统计表如下：（1）求出表中 的值；（2）若该区高二学生有5000人，试估计这次统考中该区高二学生的平均分数及分数在区间 内的人数。
分组频数频率频率/组距2答案（1） 。
。
， ， ， ；（2）4150人.解析本试题主要考查了统计的运用。
解：（Ⅰ）因为 ，所以 。
从而。
， ， ， 。
（ 6分）（II）平均分约为45×0.02+55×0.04+65×0.11+75×0.38+85×0.34+95×0.11=78.1。
该区高二同学分数在区间 内的人数为（人）。
（ 12分）数据 的方差为2，则数据 的方差为 .答案8.解析的平均数为 ,则 的平均数为 ,，因而 的方差为8数据5，7，7，8，10，11的标准差是（ ）A、2 B、1 C、8D、4答案A解析平均值所以标准差为2.应选A一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人。
为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本。
则从上述各层中依次抽取的人数分别是( )A、12 ,24,15,9B、9,12,12,7C、8,15,12,5D、8,16,10,6答案D解析解：因为40/ 800 ="1" 20 ，故各层中依次抽取的人数分别是160 /20 =8，320/ 20 =16，200/ 20 =10，120/ 20 =6，故选D、对总数为 的一批零件用简单随机抽样方法抽取一个容量为30 的样本，若每个零件被抽到的概率为0.25，则 的值为A、1 00B、120C、150D、200答案B解析解：∵每个零件被抽取的概率都相等，∴30 N =0.25，∴N=120。
故选B、从已编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射试验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是A、5,10,15,20,25B、3,13,23,33,43C、3,6,12,24,48D、8,16,24,32,40答案B解析解：解因为共有50枚导弹，分为5组，每组10枚，那么第一枚的数字应该在1-10之间，第二枚在11-20之间，依次类推，并且编号构成了等差数列，公差为10，因此满足题意的只有B。
历年真题北京市2017年高级中等学校招生考试真题下载
北京市2017年高级中等学校招生考试数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】B【解析】由题意，得点P 到直线l 的距离是线段PB 的长度，故选：B 。
【考点】点到直线的距离的概念 2.【答案】D【解析】由意义可知：40-≠x ，∴4≠x ，故选：D 。
【考点】分式有意义的条件 3.【答案】A【解析】观察图形可知，这个几何体是三棱柱，故选：A 。
【考点】几何体的展开与折叠 4.【答案】C【解析】由数轴上点的位置，得401a b c d -＜＜＜＜＜＜；A ．4-＜a ，故A 不符合题意；B ．0＜bd ，故B 不符合题意；C ．4=＞a d ，故C 符合题意；D ．0+＜b c ，故D 不符合题意；故选：C 。
【考点】数轴上点的特征 5.【答案】A【解析】A ．是轴对称图形但不是中心对称图形，故本选项正确；B ．是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；C ．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；D ．是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误，故选A 。
【考点】轴对称图形和中心对称图形的概念 6.【答案】B【解析】设多边形n 边形，由题意，得(2)180150-︒=n n ，解得12=n ，故选：B 。
【考点】正多边形的内角和定理 7.【答案】C【解析】2222244(2)(2)()(2)2222-+--===+=+--- a a a a a a a a a a a a a a a a a 。
∵2210+-=a a ，∴221+=a a ，∴原式1=，故选C 。
【考点】分式的化简求值8.【答案】B【解析】A．由折线统计图可得：与2015年相比，2016年我国与东欧地区的贸易额有所增长，正确，不合题意；B．由折线统计图可得：20112014年，我国与东南亚地区的贸易额逐年增长，故此选项错误，符合题意；C．20112016年，我国与东南亚地区的贸易额的平均值为：(3632.54003.04436.54803.64718.74554.4)64358+++++÷≈故超过4 200亿美元，正确，不合题意；D．∵4554.41368.2 3.33÷≈，∴2016年我国与东南亚地区的贸易额比我国与东欧地区的贸易额的3倍还多。
2017年北京四中自主招生数学试卷
2017年北京四中自主招生数学试卷一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分）1．（5.00分）已知＜cosA＜sin80°，则锐角A的取值范围是（）A．60°＜A＜80° B．30°＜A＜80° C．10°＜A＜60° D．10°＜A＜30°2．（5.00分）实数b满|b|＜3，并且有实数a，a＜b恒成立，a的取值范围是（）A．小于或等于3的实数B．小于3的实数C．小于或等于﹣3的实数D．小于﹣3的实数3．（5.00分）x1，x2是方程x2+x+k=0的两个实根，若恰x12+x1x2+x22=2k2成立，k 的值为（）A．﹣1 B．或﹣1 C．D．﹣或14．（5.00分）代数式的最小值为（）A．12 B．13 C．14 D．115．（5.00分）掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1至6六个数．连续掷两次，掷得面向上的点数之和是3的倍数的概率为（）A．B．C．D．6．（5.00分）1×2+2×3+3×4+…+99×100=（）A．223 300 B．333 300 C．443 300 D．433 300二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）7．（5.00分）多项式6x3﹣11x2+x+4可分解为．8．（5.00分）已知点P（x，y）位于第二象限，并且y≤2x+6，x、y为整数，则点P的个数是．9．（5.00分）已知⊙O的半径OA=1，弦AB、AC的长分别是、，则∠BAC 的度数是．10．（5.00分）方程（2007x）2﹣2006×2008x﹣1=0的较大根为a，方程x2+2006x ﹣2007=0的较小根为b，则a﹣b=．11．（5.00分）已知x=，则x3+12x的算术平方根是．12．（5.00分）如图，Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=6．△ABC以点B为中心逆时针旋转，使点C旋转至AB边延长线上的C′处，那么AC边转过的图形（图中阴影部分）的面积是．三、解答题（共5小题，满分60分）13．（10.00分）现将一个表面涂满红色的正方体的每条棱十等分，此正方体分割成若干个小正方体．在这些小正方体中，求：（1）两面涂有红色的小正方体的个数；（2）任取一个小正方体，各面均无色的小正方体的概率；（3）若将原正方体每条棱n等分，只有一面涂有红色的小正方体的个数．14．（10.00分）已知x，y均为实数，且满足xy+x+y=17，x2y+xy2=66，求代数式x4+x3y+x2y2+xy3+y4的值．15．（12.00分）在直角△ABC中，∠C=90°，直角边BC与直角坐标系中的x轴重合，其内切圆的圆心坐标为P（0，1），若抛物线y=kx2+2kx+1的顶点为A．（1）求抛物线的对称轴、顶点坐标和开口方向；（2）用k表示B点的坐标；（3）当k取何值时，∠ABC=60°？16．（14.00分）如图，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB．P是OA上的任意一点，BP的延长线交⊙O于点Q，点R在OA的延长线上，且RP=RQ．（1）求证：RQ是⊙O的切线；（2）求证：OB2=PB•PQ+OP2；（3）当RA≤OA时，试确定∠B的取值范围．17．（14.00分）平面上有n个点（n≥3，n为自然数），其中任何三点不在同一直线上．证明：一定存在三点，以这三点作为顶点的三角形中至少有一个内角不大于．2017年北京四中自主招生数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分）1．（5.00分）已知＜cosA＜sin80°，则锐角A的取值范围是（）A．60°＜A＜80° B．30°＜A＜80° C．10°＜A＜60° D．10°＜A＜30°【分析】首先明确cos30°=，sin80°=cos10°，再根据余弦函数随角增大而减小，进行分析．【解答】解：∵cos30°=，sin80°=cos10°，余弦函数随角增大而减小，∴10°＜A＜30°．故选：D．【点评】熟记特殊角的三角函数值，了解锐角三角函数的增减性是解题的关键；还要知道正余弦之间的转换方法：一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值．2．（5.00分）实数b满|b|＜3，并且有实数a，a＜b恒成立，a的取值范围是（）A．小于或等于3的实数B．小于3的实数C．小于或等于﹣3的实数D．小于﹣3的实数【分析】熟悉绝对值的意义，根据绝对值的意义求得b的取值范围，再根据a，b的关系求得a的取值范围．【解答】解：∵|b|＜3，∴﹣3＜b＜3，又∵a＜b，∴a的取值范围是小于或等于﹣3的实数．故选：C．【点评】此题考查了绝对值的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，更直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点．3．（5.00分）x1，x2是方程x2+x+k=0的两个实根，若恰x12+x1x2+x22=2k2成立，k的值为（）A．﹣1 B．或﹣1 C．D．﹣或1【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系得到，两根之和与两根之积，再根据x12+x1x2+x22=（x1+x2）2﹣x1x2代入已知条件中，求得k的值．【解答】解：根据根与系数的关系，得x1+x2=﹣1，x1x2=k．又x12+x1x2+x22=2k2，则（x1+x2）2﹣x1x2=2k2，即1﹣k=2k2，解得k=﹣1或．当k=时，△=1﹣2＜0，方程没有实数根，应舍去．∴取k=﹣1．故选：A．【点评】注意：利用根与系数的关系求得的字母的值一定要代入原方程，看方程是否有实数根．4．（5.00分）代数式的最小值为（）A．12 B．13 C．14 D．11【分析】先将原式可化为+，代数式的值即P（x，0）到A（0，﹣2）和B（12，3）的距离之和，显然当P为“x轴与线段AB交点”时，PA+PB=AB最短．【解答】解：如图所示：设P点坐标为P（x，0），原式可化为+，即=AP，=BP，AB==13．代数式的最小值为13．故选：B．【点评】解答此题，要弄清以下问题：1、定义：一般地，形如（a≥0）的代数式叫做二次根式．当a＞0时，表示a的算术平方根，当a=0时，=0，当a小于0时，二次根式无意义．2、性质：=|a|．5．（5.00分）掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1至6六个数．连续掷两次，掷得面向上的点数之和是3的倍数的概率为（）A．B．C．D．【分析】依据题意先分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．【解答】解：共有6×6=36种可能，掷得面向上的点数之和是3的倍数的有12种，所以概率是，故选C．【点评】用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．6．（5.00分）1×2+2×3+3×4+…+99×100=（）A．223 300 B．333 300 C．443 300 D．433 300【分析】根据题目中的数据可以求出该式子的结果，从而可以解答本题．【解答】解：1×2+2×3+3×4+…+99×100=++…+===333300，故选：B．【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，找出题目中数字的变化规律．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）7．（5.00分）多项式6x3﹣11x2+x+4可分解为（x﹣1）（3x﹣4）（2x+1）．【分析】将﹣11x2分为﹣6x2和﹣5x2两部分，原式可化为6x3﹣6x2﹣5x2+x+4，6x3﹣6x2可提公因式，分为一组，﹣5x2+x+4可用十字相乘法分解，分为一组．【解答】解：6x3﹣11x2+x+4，=6x3﹣6x2﹣5x2+x+4，=6x2（x﹣1）﹣（5x2﹣x﹣4），=6x2（x﹣1）﹣（x﹣1）（5x+4），=（x﹣1）（6x2﹣5x﹣4），=（x﹣1）（3x﹣4）（2x+1）．【点评】本题考查了用分组分解法进行因式分解，要考虑分组后还能进行下一步分解，把﹣11x2分成﹣6x2和﹣5x2两部分是解题的关键，也是难点．8．（5.00分）已知点P（x，y）位于第二象限，并且y≤2x+6，x、y为整数，则点P的个数是6．【分析】先根据第二象限点的坐标特征求出x，y的取值范围，再根据y的取值范围求出x的整数解，进而可求出符合条件的y的值．【解答】解：∵点P（x，y）位于第二象限，∴x＜0，y＞0，又∵y≤2x+6，∴2x+6＞0，即x＞﹣3，所以﹣3＜x＜0，x=﹣1或﹣2，当x=﹣1时0＜y≤4，y=1，2，3，4；当x=﹣2时，y≤2，即y=1或2；综上所述，点P为：（﹣1，1），（﹣1，2）（﹣1，3），（﹣1，4），（﹣2，1），（﹣2，2）共6个点．【点评】本题主要考查了不等式的解法及坐标系内点的坐标特点，并会根据未知数的范围确定它所满足的特殊条件的值．一般方法是先解不等式组，再根据解集求特殊值．9．（5.00分）已知⊙O的半径OA=1，弦AB、AC的长分别是、，则∠BAC 的度数是15°或75°．【分析】根据垂径定理和勾股定理可得．【解答】解：分别作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别是D、E．∵OE⊥AC，OD⊥AB，根据垂径定理得AE=AC=，AD=AB=，∴sin∠AOE===，sin∠AOD==，根据特殊角的三角函数值可得∠AOE=60°，∠AOD=45°，∴∠BAO=45°，∠CAO=90°﹣60°=30°，∴∠BAC=45°+30°=75°，或∠BAC′=45°﹣30°=15°．故答案为：15°或75°．【点评】此题主要考查了垂径定理和勾股定理．注意要考虑到两种情况．10．（5.00分）方程（2007x）2﹣2006×2008x﹣1=0的较大根为a，方程x2+2006x ﹣2007=0的较小根为b，则a﹣b=2008．【分析】根据系数的特点，应用十字相乘法来因式分解，从而求解．【解答】解：（2007x）2﹣2006×2008x﹣1=0，原方程可化为，20072x2+（﹣20072+1）x﹣1=0，（x﹣1）（20072x+1）=0，解得x1=1，x2=﹣．∵所求方程x2+2006x﹣2007=0，则原方程可化为，（x﹣1）（x+2007）=0，解得x3=1，x4=﹣2007．方程（2007x）2﹣2006×2008x﹣1=0的较大根为x1=1，方程x2+2006x﹣2007=0的较小根为x4=﹣2007；则a﹣b=1﹣（﹣2007）=2008．【点评】本题考查了解一元二次方程的方法，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．当化简后不能用分解因式的方法即可考虑求根公式法，此法适用于任何一元二次方程．十字相乘法：x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）．11．（5.00分）已知x=，则x3+12x的算术平方根是2．【分析】观察题目，可用借助于整体思想，设=a，=b，进行替换，加以解答．【解答】解：设=a，=b．则，．又4==a3b3，∴x=a2b﹣ab2，x2=a4b2﹣2a3b3+a2b4，故原式=x（x2+12），=（a2b﹣ab2）（a4b2﹣2a3b3+a2b4+12），=（a2b﹣ab2）（a4b2﹣8+a2b4+12），=（a2b﹣ab2）（a4b2+a2b4+4），=ab（a﹣b）a2b2（a2+b2+ab），=a3b3（a3﹣b3），=，=4×2=8．则其算术平方根是2．故答案为：2．【点评】此题主要考查了立方根、算术平方根的定义，解题时注意运用公式简便计算（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2；（a﹣b）（a2+ab+b2）=a3﹣b3．同时注意用一个字母可以表示一个较复杂的数的整体思想．12．（5.00分）如图，Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=6．△ABC以点B为中心逆时针旋转，使点C旋转至AB边延长线上的C′处，那么AC边转过的图形（图中阴影部分）的面积是9π．【分析】根据旋转变换的性质可得△ABC与△A′BC′全等，从而得到阴影部分的面积=扇形ABA′的面积﹣小扇形CBC′的面积．【解答】解：根据旋转变换的性质，△ABC≌△A′BC′，∵∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=6，∴BC=AB=3，∴阴影面积=﹣=9π．【点评】本题考查了扇形的面积计算，解题的关键是看出阴影部分的面积的表示等于两个扇形的面积的差，还考查了直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质．三、解答题（共5小题，满分60分）13．（10.00分）现将一个表面涂满红色的正方体的每条棱十等分，此正方体分割成若干个小正方体．在这些小正方体中，求：（1）两面涂有红色的小正方体的个数；（2）任取一个小正方体，各面均无色的小正方体的概率；（3）若将原正方体每条棱n等分，只有一面涂有红色的小正方体的个数．【分析】（1）根据题意画出图形，计算出各小正方形的个数即可；（2）无色的小正方体的个数为83=512；除以所有正方体的个数即可；（3）得到大正方体的一个面只有一面涂有红色的小正方体的个数，乘以6即可．【解答】解：（1）8×12=96块；（2）P===0.512；（3）每个面有（n﹣2）2个（n＞1），6个面有N=6（n﹣2）2．【点评】考查学生对简单几何概型的掌握情况，既避免了单纯依靠公式机械计算的做法，又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用，体现了数学学科的基础性．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14．（10.00分）已知x，y均为实数，且满足xy+x+y=17，x2y+xy2=66，求代数式x4+x3y+x2y2+xy3+y4的值．【分析】由已知条件xy+（x+y）=17，x2y+xy2=xy（x+y）=66，可以看出xy和（x+y）是方程t2﹣17t+66=0的两个实数根，可得出xy=11，x+y=6时，x、y是方程v2﹣6v+11=0的两个根或xy=6，x+y=11时，x、y是方程u2﹣11u+6=0的两个根，根据根的判别式△=b2﹣4ac，判断两个方程有无实数根，有实数根时可以整理出x2+y2=（x+y）2﹣2xy，把原代数式化简为含x2+y2的形式，代入求值即可．【解答】解：由已知条件可知xy和（x+y）是方程t2﹣17t+66=0的两个实数根，由t1=6，t2=11得或，当xy=11，x+y=6时，x、y是方程v2﹣6v+11=0的两个根，∵△1=36﹣44＜0，∴此方程没有实数根；当xy=6，x+y=11时，x、y是方程u2﹣11u+6=0的两个根，∵△2=121﹣24＞0，∴此方程有实数根，这时x2+y2=（x+y）2﹣2xy=109，∴x4+x3y+x2y2+xy3+y4=x4+y4+x2y2+xy（x2+y2）=（x2+y2）2﹣x2y2+xy（x2+y2）=12499．【点评】本题主要考查因式分解的应用，解题的关键是掌握①一元二次方程根的判别式的有关内容．根的判别式△=b2﹣4ac＞0⇒方程有两个不相等的实数根；△=0⇒方程有两个相等的实数根；△＜0⇒方程没有实数根．②一元二次方程根与系数的关系：如果一个一元二次方程的两根是x1、x2，那么这个一元二次方程为x2﹣（x1+x2）x+x1x2=0．15．（12.00分）在直角△ABC中，∠C=90°，直角边BC与直角坐标系中的x轴重合，其内切圆的圆心坐标为P（0，1），若抛物线y=kx2+2kx+1的顶点为A．（1）求抛物线的对称轴、顶点坐标和开口方向；（2）用k表示B点的坐标；（3）当k取何值时，∠ABC=60°？【分析】（1）对二次函数式进行变形，可得y=k（x+1）2+（1﹣k），即得顶点坐标A（﹣1，1﹣k），对称轴就是x=﹣1，又x=0时，y=1，说明函数经过（0，1），也就是二次函数的开口必然向下，即k＜0；（2）用k的代数式分别表示AC、BC、AB，利用勾股定理可得相等关系，可求出OB，即得B点坐标；（3）在Rt△ABC中利用∠ABC的正切值，可求出k的值，注意k＜0．【解答】解：（1）∵y=kx2+2kx+1∴对称轴x=﹣1，易见抛物线是以Rt△ABC的直角边AC所在直线为对称轴，∴A（﹣1，1﹣k），当x=0时，y=1，即抛物线过p（0，1），故k＜0开口向下．（2）如图，由题意可知：AC=1﹣k，BC=CO+OB=1+OB，AB=AD+BD=AE+OB=AC﹣CE+OB=OB﹣k由勾股定理得（1﹣k）2+（1+OB）2=（OB﹣k）2，解得：OB=，∴B（，0）；（3）∵∠ABC=60°，∴tan∠ABC=，又tan∠ABC===，∴=，∴k2+2﹣1=0，解得k1=﹣+2，k2=﹣﹣2，又∵k＜0∴k=﹣﹣2．【点评】本题是二次函数的综合题，利用了二次函数的解析式可以变形，勾股定理，以及三角函数，解一元二次方程等知识．16．（14.00分）如图，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB．P是OA上的任意一点，BP的延长线交⊙O于点Q，点R在OA的延长线上，且RP=RQ．（1）求证：RQ是⊙O的切线；（2）求证：OB2=PB•PQ+OP2；（3）当RA≤OA时，试确定∠B的取值范围．【分析】（1）要证明RQ是⊙O的切线只要证明∠OQR=90°即可；（2）先证明△BCP∽△AQP，从而得到PB•PQ=PC•PA，整理即可得到OB2=PB•PQ+OP2；（3）分别考虑当RA=OA时或与A重合时，∠B的度数，从而确定其取值范围．【解答】证明：（1）连接OQ；∵OB=OC，PR=RQ；∴∠OBP=∠OQP，∠RPQ=∠RQP；∵∠OBP+∠BPO=90°，∠BPO=∠RPQ；∴∠OQP+∠RQP=90°；即∠OQR=90°，∴RQ是⊙O的切线．证明：（2）延长AO⊙O交于点C；∵∠BPC=∠QPA，∠BCP=∠AQP，∴△BCP∽△AQP，∴PB•PQ=PC•PA=（OC+OP）（OA﹣OP）=（OB+OP）（OB﹣OP）=OB2﹣OP2，∴OB2=PB•PQ+OP2．解：（3）当RA=OA时，∠R=30°，易得∠B=15°，当R与A重合时，∠B=45°；∵R是OA延长线上的点，∴R与A不重合，∴∠B≠45°；又∵RA≤OA，∴∠B＜45°，∴15°≤B＜45°．【点评】此题考查了学生对切线的判定及相似三角形的判定等知识点的综合运用．17．（14.00分）平面上有n个点（n≥3，n为自然数），其中任何三点不在同一直线上．证明：一定存在三点，以这三点作为顶点的三角形中至少有一个内角不大于．【分析】题目中的n个点中不妨设这两个点为A1、A2，则可以分当∠A2A1An≥180°﹣和当∠A2A1A n＜180°﹣两种情况进行讨论．根据三角形的内角和定理就可以证出．【解答】解：如图，在这n个点中，必存在这样的两点，使其它各点均在这两点所在直线同侧，设这两个点为A1、A2，其它各点按逆时针方向设为A3、A4、A n．（1）当∠A2A1A n≥180°﹣时，连接A2A n．在△A1A2A n中，∠A1A2A n+∠A1A n A2=180﹣∠A2A1A n≤则∠A2A1A n、∠A1A n A2中必有一个角不大于；（2）当∠A2A1A n＜180°﹣时，∠A2A1A3+∠A3A1A4+∠A4A1A5+…+∠A n﹣1A1A n＜180°﹣，则在这n﹣2个角中，必有一个角不大于设∠A i A1A i﹣1≤，则△A i A1A i﹣1即为所求三角形．【点评】本题的难度较大，分情况讨论是解题的关键．。
北京四中自主招生选拨考试数学
北京四中自主招生选拨考试数 学 试 卷本试卷分卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分；卷Ⅰ为选择题，卷Ⅱ为非选择题． 本试卷满分为120分，考试时间为120分钟．卷Ⅰ（选择题，共30分）注意事项：1．答卷Ⅰ前，考生务必将自己的姓名、准考证号、填写完整；考试结束，监考人员将试卷和草稿纸一并收回．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答在试卷上无效．一、选择题（共6小题，每题5分，共30分..以下每小题均给出了代号为A,B,C,D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号内.不填、多填或错填均不得分）1、如果关于x 的方程至少有一个正根，则实数a 的取值范围是（ ） A 、 B 、 C 、 D 、 2 、设满足下列等式：，则代数式的值是………………… （ ）A 、0B 、1C 、3D 、条件不足，无法计算2230x ax a -+-=22<<-a 23≤<a 23≤<-a 23≤≤-a z y x 、、66633633)()(z x x y x z x x y x ---=-+-xyz z y x 3333-++3、A 、B 、C 、D 四人参加某一期的体育彩票兑奖活动，现已知：如果A 中奖，那么B 也中奖： 如果B 中奖，那么C 中奖或A 不中奖：如果D 不中奖，那么A 中奖，C 不中奖： 如果D 中奖，那么A 也中奖则这四个人中，中奖的人数是( )A 、1B 、2C 、3D 、4 4、如图，正方形的边，和都是以为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是 （ ）A ．B ．C ．D ．5、如图，甲、乙两动点分别从正方形ABCD 的顶点，A 、C 同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的4倍，则它们第2014次相遇在边 （ ） A ．AB 上 B ．BC 上 C．CD 上 D ．DA 上6.用max{a ，b}表示a ，b 两数中的最大数，若函数y=｛x2-1,1-x 2｝，则y 的图象为ABCD 1=AB 112-π41π-13-π61π-ABC D卷Ⅱ（非选择题，共90分）注意事项：1．答卷Ⅱ前，将密封线左侧的项目填写清楚．2．答卷Ⅱ时，将答案用蓝色、黑色钢笔或圆珠笔直接写在试卷上．二、填空题：（共6小题，每题5分，共30分.把答案 写在题中横线上）7. 若匀速行驶的汽车速度提高40％，则行车时间可节省 ％(精确至1％)8. 二次函数y=2x 2+3x+5的图像关于直线y=-3对称的函数解析式为： 9. 在平面直角坐标系xOy 中，点P 在由直线，直线和直线所围成的区域内或其边界上，点Q 在x 轴上，若点R 的坐标为，则的最小值为：10. 如图，四边形内接于以为直径的⊙，已知：，则线段的长为 。
北京四中2016-2017学年初三上期中考试数学试卷含详细答案
yxO2017届北京四中九年级上学期期中考试数学试卷（时间：120分钟总分：120分）姓名：班级：一、选择题(本题共30分，每小题3分)1．剪纸是国家级非物质文化遗产，下列剪纸作品中是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，若BC ＝1，AC ＝2，则sin A 的值为（ ） A ．5 B ．25C ．12D ．23．将抛物线24x y =向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（ ）A ．()3142++=x y B ．()3142+-=x yC ．()3142-+=x y D ．()3142--=x y4．如图，长4m 的楼梯AB 的倾斜角∠ABD 为60°， 为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯， 使其倾斜角∠ACD 为45°，则调整后的楼梯 AC 的长为（ ） A ．2m B ．2m C ．（2﹣2）m D ．（2﹣2）m5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线221x y =经过平移得到抛物线x x y 2212-=，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积是( ) A ．2 B. 4 C. 8 D. 166．如图，在网格中，小正方形的边长均为1， 点A ，B ，C 都在格点上，则∠ABC 的正切值是（ ） A ．2B ．255C ．55D ．127．如图，将线段AB 绕点O 顺时针旋转90° 得到线段A′B′，则A （﹣2，5）的对应点 A′的坐标是（ ）A ．（2，5）B ．（5，2）C ．（2，﹣5）D ．（5，﹣2） 8．某抛物线的顶点为（2，﹣1），与x 轴相交于P 、Q 两点，若此抛物线通过（1，a ）、（3，b ）、（﹣1，c ）、（﹣3，d ）四点，则a 、 b 、c 、d 中最大值是（ ） A ．a B ．b C ．c D ．d9.二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，且a≠0）中的x 与y 的部分对应值如下表：x ﹣1 0 1 3 y﹣1353下列结论：（1）ac ＜0；（2）抛物线顶点坐标为（1，5）； （3）3是方程ax 2+（b ﹣1）x+c=0的一个根；（4）当﹣1＜x ＜3时，ax 2+（b ﹣1）x+c ＞0．其中正确的个数为（ ） A ．4个B ． 3个C ． 2个D ． 1个10.二次函数228y x x m =-+满足以下条件：当21x -<<-时，它的图象位于x 轴的下方；当67x <<时，它的图象位于x 轴的上方，则m 的值为（ ） A ．8 B ．10- C ．42- D ．24- 二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．若︒<α<︒900,21tan =α,则=αsin . 12．已知抛物线的对称轴为直线x ＝2，与x 轴的一个交点为（—1，0），则它与x 轴的另一个交点为．13．长方体底面周长为50cm ，高为10cm ．则长方体体积y ）（3cm 关于底面的一条FEDCBA边长x ）（cm 的函数解析式是.其中x 的取值范围是. 14．将含有30°角的直角三角板OAB 如图放置在平面直角坐标系中，OB 在x 轴上，若OA=2，将三角板绕原点O 顺时针旋转75°，则点A 的对应点A′的坐标为______.第14题 第15题15．两个全等的三角尺重叠放在△ACB 的位置，将其中一个三角尺绕着点C 按逆时针方向旋转至△DCE 的位置，使点A 恰好落在边DE 上，AB 与CE 相交于点F ． 已知∠ACB=∠DCE=90°，∠B=30°，AB=8cm ，则CF=_______ cm ． 16．定义：直线y=ax+b(a≠0)称作抛物线y=ax 2+bx(a≠0)的关联直线. 根据定义回答以下问题：(1)已知抛物线y=ax 2+bx(a≠0)的关联直线为y=x+2, 则该抛物线的顶点坐标 为_________；(2)当a=1时, 请写出抛物线y=ax 2+bx 与其关联直线所共有的特征（写出一条即可）：___________________________________.三、解答题（本题共72分，第23题6分，第26题4分，第27题7分，第28题7分，第29题8分，其余每小题5分）17．计算: 20160+121-⎪⎭⎫⎝⎛−2sin 45°+tan 60°．18．如图，在△ABC 中，AB =12，BC =15，AD ⊥BC 于点D ，∠BAD =30°． 求tan C 的值．19．如图，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB和BC两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长AB=800米，BC=200米，坡角∠BAF=30°，∠CBE=45°．（1）求AB段山坡的高度EF；（2）求山峰的高度CF．（ 1.414，CF结果精确到米）20．已知：二次函数23y x bx=+-的图象经过点(25)A，．（1）求二次函数的解析式；（2）求二次函数的图象与x轴的交点坐标；（3）将（1）中求得的函数解析式用配方法化成2()y x h k=-+的形式．21．如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣4，0），C（0，0）（1）画出将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；（2）画出将△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°得到△A2B2 O；（3）在x轴上存在一点P，满足点P到A1与点A2距离之和最小，请直接写出P点的坐标．22．已知：如图，四边形ABCD 中，∠A ＝∠C ＝90°，∠D ＝60°，35=AD ， AB ＝3，求BC 的长．23. 某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元.调查发现：销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元. 设每件玩具的销售单价上涨了x 元时（x 为正整数），月销售利润为y 元.（1）求y 与x 的函数关系式并直接写出自变量x 的取值范围； （2）每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？（3）每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？24. 设二次函数2143y x x =-+的图象为C 1．二次函数22(0)y ax bx c a =++≠的图象与C 1关于y 轴对称．（1）求二次函数22y ax bx c =++的解析式； （2）当3x -<≤0时，直接写出2y 的取值范围； （3）设二次函数22(0)y ax bx c a =++≠图象的顶点为点A ，与y 轴的交点为点B ，一次函数3y kx m =+( k ，m 为常数，k ≠0)的图象经过A ，B 两点，当23y y <时，直接写出x 的取值范围．EDCBA25．如图，设△ABC 和△CDE 都是正三角形，且∠EBD ＝70o ， 求∠AEB 的度数。
2017年清华、北大自主招生数学模拟试卷(笔试试题附解析 )
2017年清华、北大自主招生数学模拟试卷（笔试试题附解析 ）一、填空题（共12小题，每题10分，计120分）． 1. 如图，在三棱锥中ABC D -中，已知AB =2，3-=⋅BD AC ．设AD =a ，BC =b ，CD =c ，则c 2ab +1的最小值为 ．2. 若四位数n abcd =的各位数码,,,a b c d 中，任三个数码皆可构成一个三角形的三条边长，则称n 为四位三角形数，则所有四位三角形数的个数为 ． 3. 已知函数b a 、满足21≤≤-a ，且1202≤-≤a b ，则ab b a w 8316322++= b a 34+-的取值范围是 ．4. 若存在满足下列三个条件的集合A 、B 、C ，则称偶数n 为“萌数”：⑴ 集合A 、B 、C为集合{}n M ，，，，⋅⋅⋅=321的3个非空子集，A 、B 、C 两两之间的交集为空集，且M C B A = ；⑵ 集合A 中所有数均为奇数，集合B 所有数均为偶数，所有的3的倍数都在集合C 中；⑶ 集合A 、B 、C 所有元素的和分别为321S S S 、、，且321S S S ==．对于以下4个说法：① 8是“萌数”；② 60是“萌数”；③ 68是“萌数”；④ 80是“萌数”；其中正确的是 ．（填所有正确的序号） 5. 若()n k m k =︒-∏=451212csc ，其中*∈N n m ,且2,≥n m ，则n m +的值是 ．13922=+y x 6. 如图，设斜率为()0 >k k 的直线l 与椭圆C ：交于A 、B 两点，OB OA ⊥．当A O B ∆面积取最大值时，直线l 的方程为 ．7. 若离散型随机变量Y X ,满足32≤≤X ，且1=XY ，则()()Y E X E 的取值范围为 ． 8. 已知0,≥b a ，1=+b a ，则229402213b a M +++=的最大值与最小值之和是 ．9. 已知z 是实部虚部均为正数的复数，则对于说法：① ()z z -2Re 被2整除；② ()z z -3Re 被3整除；③ ()z z -4Re 被4整除；④ ()z z -5Re 被5整除；正确的是 ．（填所有正确的序号）10. 在圆锥内部放有一个球，它与圆锥的侧面和底面都相切，则球的表面积与圆锥的表面积之比最大为 ．AB第1题DC第6题11. 六边形ABCDEF 内接于圆O ，且13+===CD BC AB ，1===FA EF DE ．则此六边形的面积为 ．12. 已知n x x x ，，，⋅⋅⋅21()4≥n 是满足121=+⋅⋅⋅++n x x x 的非负实数，则21432321x x x x x x x x x n +⋅⋅⋅++的最大值是 ． 二、解答题（共2小题，13题25分，14题35分，计60分）． 13. ⑴ 函数()()b x a x x x f +++--=1323()R b a ∈<，0．(Ⅰ) 令()()31++--=a b x f x h ，判断()x h 的奇偶性，并讨论()x h 的单调性． (Ⅱ) 若()()x f x g =，设()b a M ,为()x g 在[]02，-的最大值，求()b a M ,的最小值．⑵ 设Z ∈a ，已知定义在R 上的函数()a x x x x x f +--+=6332234在区间()21，内有一个零点0x ，()x g 为()x f 的导函数．(Ⅰ) 求()x g 的单调区间；(Ⅱ) 设[)(]2,,100x x m ∈，函数()()()()m f x m x g x h --=0，求证：()()00<x h m h ；(Ⅲ) 求证：存在大于0的常数A ，使得对任意的正整数p ，q ，且[)(]2,,100x x q p ∈，满足401Aqx q p ≥-．14. ⑴ 设数列{}n a 满足221=-+n n a a ，2≤n a ，⋅⋅⋅=，，，321n ． 证明：若1a 为有理数，则从某项后{}n a 为周期数列． ⑵ 数列{}n a 各项均为正数，且对任意*∈N n ，满足21n n n ca a a +=+（常数0>c ）．(Ⅰ) 求证：对任意正数M ，存在*∈N N ，当N n >时，有M a n >；(Ⅱ) 设，n S 为数列{}n b 的前n 项和，nn ca b +=11求证：对任意0>d ，存在*∈N n ，当N n >时，有d ca S n <-<110．参考答案一、填空题（共12小题，每题10分，计120分）． 1 考点：立体几何（三棱锥） {难度：★★☆☆☆}答案：22 考点：计数，排列 {难度：★★★☆☆}答案：16813 考点：代数式求值 {难度：★★☆☆☆}答案：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-574121， 4 考点：集合、数论、分类讨论 {难度：★★★☆☆}（ 2017年中学生学术能力测试 ）答案：①③④5 考点：三角函数（三倍角公式） {难度：★★★☆☆}答案：916 考点：解析几何（直线与椭圆） {难度：★★☆☆☆}答案：333+=x y 或333-=x y 7 考点：随机变量 {难度：★★★★☆}答案：⎥⎦⎤⎢⎣⎡24251，8 考点：导数，放缩 {难度：★★★☆☆}答案：11510433++9 考点：复数，费马小定理 {难度：★★★☆☆}（ 2017年中学生学术能力测试 ）答案：②④10 考点：立体几何（球与圆锥） {难度：★★☆☆☆}（ 2017年全国高中数学联赛 天津预赛 ）答案：2111 考点：平面几何（特征分析思想，转换法） {难度：★★★☆☆}答案：()3249+图1 → 图2（将小三角形重新组合）12 考点：基本不等式 {难度：★★★★☆}（ 2017年IMO ，中国国家队选拔考试 ）答案：161二、解答题（共2小题，13题25分，14题35分，计60分）．13考点：函数、导数讨论的应用{难度：★★★☆☆} (25分)①② 2017年天津高考数学（理）【解析】（Ⅰ）由432()2336f x x x x x a =+--+，可得32()()8966g x f x x x x '==+--， 进而可得2()24186g x x x '=+-.令()0g x '=，解得1x =-，或14x =. 当x 变化时，(),()g x g x '的变化情况如下表：所以，()g x 的单调递增区间是(,1)-∞-，(,)4+∞，单调递减区间是(1,)4-. （Ⅱ）证明：由0()()()()h x g x m x f m =--，得0()()()()h m g m m x f m =--，000()()()()h x g x m x f m =--.（III ）证明：对于任意的正整数 p ，q ，且00[1)(,],2px x q∈， 令pm q=，函数0()()()()h g m x x x m f =--. 由（II ）知，当0[1),m x ∈时，()h x 在区间0(,)m x 内有零点； 当0(,2]m x ∈时，()h x 在区间0(),x m 内有零点.所以041|2|()p x q g q -≥.所以，只要取()2A g =，就有041||p x q Aq-≥.13考点：数列，数学归纳法{难度：★★★★☆} (35分)（2017年全国高中数学联赛浙江预赛）（2013年清华大学自主招生）。
2017.7北京四中新初一数学分班试题
北京四中新初一分班数学试题（2017.7.10）考号 ，毕业小学 ，姓名 ，性别 考试要求：请将解答写在答题纸上. 时间80分钟，试券满分为120分. 一、基本运算技能（每小题4分，共40分） 1. 9876543×9+1= ； 2. 46391÷23−(82+22)= ；3. (101010−10101)×66÷99= ；4. [11−(0.2+6.86÷0.7)]×(969.696+1047.304)= ；5. 1.23÷3+2.31÷3+3.12÷3= ；6. (25)3+235−2×35= ；7. 56−(79−1112)+332×827= ； 8. 1−1112÷(1112+34)= ； 9. (123×0.24+115÷13)÷15%= ； 10. 201520152016×201620162017= .二、基础知识理解（每小题4分，共40分）11. 0.2的倒数是 ，0.2的相反数是 .12. 12、18、24的最大公约数是 ，12、18、24的最小公倍数是 . 13. 规定a®b =(a +b)÷5，如果a®2018=807，那么a = . 14． 如果将1、12、16、15、13和这五个数的平均数x̅（共六个数），从小到大重新排列，那么平均数x̅排在第 个位置.15． 一个真分数，如果分子减去1，分数变为 23；如果分子减去2，分数变为12，那么这个分数为 .16. 如果 ax =xb (x >0)，那么x 叫做a 、b 的比例中项. 若15是12和x 的比例中项，则x = .17. 如果x =2方程 (3m −5)x +6=11+m 的解，那么m = . 18. 一个圆锥底面的周长为12πcm ，那么它的底面面积是 cm 2，如果它的高为10cm ，那么其体积为 cm 3.19. 如图，如果点E 在面积为20cm 2的平行四边形ABCD 的CD 边上，BE 长为5cm ，那么BE 边上的高AF 为 cm.D20. 如图，“杨辉聚六图”是由我国南宋杰出的数学家杨辉所研究出来的，它是由1，2，3，…，35，36无重复排列而成的图形，“杨辉聚六环”其每一环6个数之和均相等，则这个和为________，余下的第六个环中的六个数分别是.三、知识简单应用（选择题，每小题3分，共15分）21. 做一批零件，原计划每天生产40个，实际每天生产50个，结果提前5天完成，那么原计划生产的零件个数是（）A.1000B.1200C.1500D.200022. 3台同样的车床6小时可加工1440个零件，如果增加2台同样的车床，且每台车床每小时多加工12个零件，那么加工3680个零件需要（）A.7小时B.8小时C.9小时D.10小时23. 林琳家到公园300米，如果她以1米/秒的速度从家去公园，然后以3米/秒的速度从公园回家，那么林琳往返的平均速度是（）A.2米/秒B.2.4米/秒C.1.5米/秒D.1.8米/秒24. 某种食品如果按标价的八折出售可获利20%，那么按标价出售，可获利（）A.66.7%B.50%C.40%D.25%25. “六一”节，张楚乘公交车快到小莉家时，看见小莉正从车窗外向相反的方向步行，14秒后公交车到站，张楚立即下车去追小莉.如果张楚的速度是小莉的2.4倍，公交车的速度是张楚的5倍，那么张楚追上小莉需（）秒.A.60B.130C.132D.136四、数学活动体验（共25分）26 . （4分）（1）用六根2cm长的铁丝拼图，最多能组成个正方形，并画出示意图；（2）用八根2cm长的铁丝拼图，最多能组成个正方形. 并画出示意图.27. （3分）将20表示为若干个大于0的自然数的和，可以有许多种方法，在每一种方法中，如果把所有加数相乘可得到一个乘积，那么这些乘积的最大的值是.28. （3分）在多边形中，连结不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线. 这样，三角形没有对角线，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，六边形有条对角线，十边形有条对角线.右图是一个正方形的四分之三. 请你想一想，能不能把它分割成面积相等、并且与原图形的形状相同的四个图形？如果可以，请在该图中，画出你分割的示意图.30.（3分）一位数学家把大于0的分数和整数，按下列规律排列. 请按下面排列的数表，依次写出第六行中，左数第5个和第20个的数.11↙ ↘1 22 1↙ ↘ ↙ ↘1 3322331↙ ↘ ↙ ↘ ↙ ↘ ↙ ↘1 443355225533441↙↘ ↙↘ ↙↘ ↙↘ ↙↘ ↙↘ ↙↘ ↙↘………………………………………………31.（3分）放学后，王玲、李慧、艾丽和郝芸四位同学滴滴出行手机软件叫了一辆出租车一起回家.上车后，司机叔叔说：“你们谁都可以用微信扫一扫，滴滴出行就送打车优惠券. 抽到优惠券后，每人先支付10元，到达目的地后，按计价器上显示的金额多退少补. ”（注：优惠券由滴滴出行软件运营方负担，不由出租车司机承担）王玲扫了二维码，点击抽取优惠券，屏幕显示抽到一张1元优惠券. 她输入支付10元后，显示优惠1元. 王玲实际支付了9元.李慧抽到一张2元优惠券. 她输入支付10元后，显示优惠2元. 李惠实际支付了8元.艾丽抽到一张4元优惠券. 她输入支付10元后，显示优惠4元. 艾丽实际支付了6 元.郝芸当时在想别的事，还将司机叔叔说的“每人先支付10元”，听成了每人先支付4元. 这样郝芸用手机直接支付了4元.到达目的地后，司机账户共收到34元，计价器上显示的金额是16元. 请问：（1）四人下车时，司机应该找还王玲她们元；（2）若按计价器上显示的金额均分，王玲、李慧、艾丽和郝芸四位同学依次应找还元、元、元、元.有一列奇数1、3、5、7、9、11、…，按如下方式排列，第一行1个数，从第二行起，每一行都比前一行多两个数，那么2017排在第行，左起第个数.13 5 79 11 13 15 1719 21 23 25 27 29 3133 … ………… … … …┆33.（3分）把1、2、3、4、5、6、7、8、9分别填入小方格中，每个格中只填入一个数，使得每行或每列的三个数之和都是13. 如果在A方格中已经填入9，在I方格中已经填入5，那么，在E方格一个填入的数是；在C方格一个填入的数是.北京四中新初一分班数学试题答题纸（2017.7.10）考号，毕业小学，姓名，得分一、基本运算技能（每小题4分，共40分）1. ；2. ；3. ；4. ；5. ；6. ；7. ；8. ；9. ；10. ；二、基础知识理解（每小题4分，共40分）11. ，；12. ，；13. ；14. ；15. ；16. ；17. ；18. ，；19. ；20. , ；三、知识简单应用（选择题，每小题3分，共15分）21. ；22. ；23. ；24. ；25. .四、数学活动体验（共25分）26.（4分）（1）；示意图：（2）. 示意图：27.（3分）.28.（3分）, ；29.（3分）30.（3分）、.31.（3分）（1），（2）、、、.32.（3分）, .33.（3分)在E方格一个填入的数是；在C方格一个填入的数是..北京四中新初一分班数学试题答题纸答案（2017.7.10）考号，毕业小学，姓名，得分一、基本运算技能（每小题4分，共40分）1. 88888888 ；2. 1949 ；3. 60606 ；4. 2017 ；5. 2.22 ；6. 58125；7. 1 ；8. 920；9. 4 ；10. 4066270 ；二、基础知识理解（每小题4分，共40分）11. 5 ，-0.2 ；12. 6 ，72 ；13. 2017 ；14. 4 ；15. 56；16. 225即0.08 ；17. 3 ；18. 36π，120π；19. 4 ；20. 111 ，1，15，20，24，25，26 .三、知识简单应用（选择题，每小题3分，共15分）21. A ；22. B ；23. C ；24. B ；25. B .四、数学活动体验（.共25分）26.（4分）（1） 5 ；示意图：（2）14 . 示意图：27.（3分）1458 .28.（3分）9 ，35 ；29.（3分）30，（3分）411125, .31.（3分）（1）18 ，（2） 6 、 6 、 6 、0 .32.（3分）. 32 , 48 ；33.（3分）在E方格一个填入的数是 4 、在C方格一个填入的数是 1 .北京四中新初一分班数学试题参考答案提示（2017.7.10）一、基本运算技能（每小题4分，共40分） 1. 88888888.提示：9876543×9+1=9876543×10−9876543+1=88888888. 2. 1949.提示：46391÷23−(82+22)=2017−(64+4)=1949. 3. 60606.提示：(101010−10101)×66÷99=10101×(10−1)×6×11÷9÷11=60606. 4. 2017.提示：[11−(0.2+6.86÷0.7)]×(969.696+1047.304)=[11−(0.2+9.8)]×2017=(11−10)×2017=2017. 5. 2.22.提示：1.23÷3+2.31÷3+3.12÷3=(1.23+2.31+3.12)÷3=6.66÷3=2.22. 6. 58125 . 提示：(25)3+235−2×35=8125+85−65=8125+2×25125=58125 .7. 1.提示：56−(79−1112)+332×827=3036−2836+3336+136=3636=1. 8. 920 .提示：1−1112÷(1112+34)=1−1112÷2012=1−1120=920 . 9. 4；提示：(123×0.24+115÷13)÷15%=(53×625+15)÷320=35×203=4.10. 4066270.提示：201520152016×201620162017 =2015×20172016×2016×20182017=2015×2018=4066270 .二、基础知识理解（每小题4分，共40分） 11. 5 , -0.2 .0.2的倒数是 10.2=5，0.2的相反数是−0.2 . 12. 6 ，72 . .提示：∵ 12=22×3 ，18=2×32 ，24=23×3,∴ 12、18、24的最大公约数是6；12、18、24的最小公倍数是72.13. 2017 .提示：(a +2018)÷5=a®2018=807，得a =807×5−2018=2017.14. 4 .提示：X̅=(16+15+13+12+1)÷5=5+6+10+15+3030÷5=6630×15=1125 .∴ 16<15<13<X̅<12<1. 15. 56 .提示：∵ {y−1x =23=46，y−2x=12=36.∴ y x =56 .16. 225即0.08 .提示：由 12:15=15:x ，得x=(15)2÷12=125×2=225=0.08.17. 3 .提示：∵ x =2方程 (3m −5)x +6=11+m 的解， ∴ (3m −5)×2+6=11+m . 解得m =3.18. 36π ， 120π .提示：由 2πr =12π，得r =6(cm ). S 底面积=πr 2=36π(cm 2). v =13πr 2ℎ=13×36π×10=120π(cm 3).19. 4.提示：∵ 12×5×AF =S ∆ABE =12S 平行四边形ABCD =12×20∴ AF =4(cm).20. 111 ； 1，15，20，24，25，26 . . 提示：(1+2+3+4+⋯+35+36)÷6=111.1+15+20+24+25+26=2+6+30+34+22+17 =4+33+3+29+23+19=8+32+14+10+16+31 =5+12+21+11+35+27=7+9+18+13+36+28=111ACDE F三、知识简单应用（选择题，每小题3分，共15分）21. A ；22. B ；23. C ；24. B ；25. B .21.提示：设原计划生产n个零件. 则n40−n50=5，解得 n=1000.22.提示：1台车床一小时可加工的零件数是1440÷6÷3=80. 现在需要的时间是3680÷(3+2)÷(80+12)=8. 23.提示：平均速度=总路程÷总时间=(300+300)÷(3001+3003)=600÷400=1.5(米/秒).24.提示：设商品的标价为y元，成本为x元. 则0.8y−xx =0.2 ，0.8y-x=0.2x, 得y=1.5x. y−xx= 0.5 = 50%.25.提示：设小莉的速度为V米/秒. 则张楚的速度为2.4V米/秒，公交车的速度为12V米/秒. 张楚用t秒追上小莉14(V+12V)=(2.4V−V)t解得t=130(秒).二、数学活动体验（共25分）26. 5, 14 .提示：如图1，用六根2cm长的铁丝拼图，最多能组成5个正方形；如图2，用八根2cm长的铁丝拼图，最多能组成14个正方形.图1：图2：27. 1458 .提示：20=2+2+2+2+2+2+2+2+2+2, 210=1024；20=2+3+3+3+3+3+3, 2×36=2×729=1458.28. 9 ，35 .提示：可归纳出，n边形的对角线的条数为n(n−3)2.∴六边形的对角线的条数为9；十边形的对角线的条数为35.29.30.411，125.提示：按如下规律依次写出第五行的各个数.nm↙ ↘n n+m n+m m1 5，54，47，73，38，85，57，72，27，75，58，83，37，74，45，51.所以，第六行左起第5个数是44+7=411，第20个数是7+55=125.31. （1）18 ；（2）6、6、6、0. 提示：（1）34-16=18（元）32. 32 , 48 .提示：13 5 79 11 13 15 1719 21 23 25 27 29 3133 … ………… … … …┆令2017=2k-1, 得k= 1009. 即2017是第1009个奇数.由1+3+5+7+9+……+(2n-1)=n2，可知，从每行排列的奇数的个数看，到第n行，一共用了n2个奇数.∵312=961, 322=1024, 961<2017<1024, 1009-961=48,∴2017排在第32行，左起第48个数.33. 4 、 1 .13×4−(1+2+3+4+5+6+7+8+9)=52−45=7，说明，重复计算的C、E、G三个格中的数字之和是7.通过试数操作，方格C中填1，方格E中填4、方格G中填2时，符合题意.这样，9+3+1=1+8+4=4+7+2=2+6+5.(A=9,B=3,C=1,D=8,E=4,F=7,G=2,H=6,I=5.)。
北京市第四中学16—17学年下学期八年级综合测试一数学试题(附答案)
北京市第四中学16—17学年下学期八年级综合测试一数学试题一、选择题（每小题3分，共30分）1．下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（ ）．A ．13，14，15B ．3，4，5C ．2，3，4D ．1，1【答案】B【解析】能组成直角三角形的三边长满足222a b c +=，因为222345+=，故选B ．2．下列图案中，是中心对称图形的是（ ）．A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】选项A 、B 、C 均为轴对称图形．选项D 为中心对称图形，故选D ．3．已知2x =是一元二次方程280x mx +-=的一个解，则m 的值是（ ）． A ．2B ．2-C ．4-D ．2或4-【答案】A【解析】∵2x =是280x mx +-=的解，∴22280m +-=，∴24m =2m =． 故选A ．4．某校要从甲、乙、丙、丁四名学生中选拔一名参加区组织的“我的中国梦”演讲比赛，经过校内多轮选拔赛每名学生的平均成绩x 与方差2S 如下表所示．如果要选择一个平均成绩高且发挥稳定的人参赛，则这个人应是（ ）．A ．甲B D ．丁【答案】B 【解析】乙、丙的平均成绩比甲、丁的高，在乙、丙中，乙的方差小，所以乙的成绩稳定，故选乙，因此选B ．5．①平行四边形的两组对边分别相等；②平行四边形的两组对角分别相等；③平行四边形的两组对边分别平行；④平行四边形的对角线互相平分．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】D【解析】①的逆命题为“两组对边相等的四边形是平行四边形”是正确的．②的逆命题为“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”是正确的．③的逆命题为“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”是正确的．④的逆命题为“对角线互相平分的四边形是平行四边形” 是正确的．故选D ．6．用配方法解一元二次方程2870x x ++=，方程可变形为（ ）．A ．2(8)57x +=B ．2(4)25x +=C ．2(4)9x -=D ．2(4)9x +=【答案】D【解析】2870x x ++=287x x +=-2816716x x ++=-+ 2(4)9x +=．故选D ．7．一次函数21y x =+的图象不．经过（ ）． A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】D【解析】21y x =+中20k =>，故经过一、三象限．又∵10b =>，∴向下平移，∴经过一、二、三象限，∴不经过第四象限，故选D ．8．如图，平行四边形ABCD 中，3AB =，5BC =，若BD 的垂直平分线交AD 于E ，则ABE △的周长是（ ）．D ABC E A ．6 B ．8 C ．9D ．10【答案】B【解析】∵EM 垂直平分BD ，∴BE DE =，∴ABE C AB AE BE =++△AB AE D E =++AB AD =+．又∵平行四边形ABCD ，∴5AD BC ==，∵3AB =，∴8ABE C =△．故选B ．E CBAD M 9．如图，将ABC △绕点A 逆时针旋转80︒，得到AB C ''△．若50BAC =︒∠，则ACB '∠的度数为（ ）．B'C'AB C A ．30︒B ．40︒C ．50︒D ．80︒【答案】A 【解析】由题意知80CAC '=︒∠，50B AC BAC ''==︒∠∠，∴805030CAB CAC B AC ''''=-=︒-︒=︒∠∠∠．故选A ．10．如图，在边长为4的等边三角形ABC 中，AD 是BC 边上的高，点E ，F 是AD 上的两点，则图中阴影部分的面积是（ ）．B A．B． C． D【答案】C【解析】∵AD 为等边三角形的高，∴BD CD =，∴BEF CEF S S =△△， ∴12ADC ABC S S S ==阴△△影，【注意有文字】 ∵12ABC S BC AD =⋅⋅△142=⋅⋅=．∴12ABC S S ==△阴影【注意有文字】 故选C ．二、填空题（每小题3分，共24分）11．若关于x 的一元二次方程230x x m -+=有实数根，则m 的取值范围是__________． 【答案】94m ≤ 【解析】∵230x x m -+=有实根，∴0∆≥，即94m -≥0， ∴94m ≤．12．如图，在ABC △中，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，如果8BC =，那么DE =__________． DAB CE 【答案】4DE =【解析】∵D 、E 分别为中点， ∴12DE BC =， ∵8BC =，∴4DE =．13．已知一次函数23y x =--的图象经过点2(1,)A y -，点2(2,)B y -，则1y ___________2y ．（填“>”“<”“=”）【答案】12y y <【解析】∵23y x =--中20y =-<，∴y 随x 增大而减小，∵12->-，∴12y y <．14．如图，把两块相同的含30︒角的三角尺如图放置，若AD =，则三角尺的最长边长为__________．【答案】12【解析】∵AD =ABD △是等腰直角三角形，∴AB BD ==在Rt BDE △中，BD =，30BDE =︒∠，∴6BE =，∴12D E =．15．如果直线y x =-向上平移3个单位后得到直线AB ，那么直线AB 的解析式是__________．【答案】3y x =-+【解析】根据“上切下减”，得y x =-向上平移3个单位后解析式为3y x =-+．16．正方形网格中，每个小正方形的边长为1，如果把图1中的阴影部分图形剪开，拼接成一个新正方形，那么这个新正方形的边长是__________，请你在图2中画出这个正方形．图2图1，的正方形即可．17．已知2310x x +-=，求代数式(2)(3)(21)(21)4x x x x x ---+--的值为__________．【答案】4【解析】(2)(3)(21)(21)4x x x x x ---+--2256414x x x x =-+-+-2397x x =--+23(3)7x x =-++．∵2310x x +-=，∴231x x +=，∴原式317=-⨯+37=-+4=．18．如图，Rt ABC △中，90ACB =︒∠，30BAC =︒∠，4AB =，分别以AB 、BC 、AC 为边作正方形ABED 、BCFK 、ACGH ，再作Rt PQR △，使90R =︒∠，点H 在边QR 上，点D 、E 在边PR 上，点G 、F 在边PQ 上，则PQ 的长为__________．D R QK F E C B AP HG【答案】14【解析】过A 作AM QR ⊥于M ，∵CF CB =，CG CA =，90FCG ACB ==︒∠∠，∴CFG △≌CBA △，∴30CGF CAB ==︒∠∠，∵90CGH =︒∠，∴60QGH =︒∠，∵90CAH BAD ==︒∠∠，30CAB =︒∠，∴60HAM =︒∠，∴30AHM =︒∠，∴60QHG =︒∠，∴60Q =︒∠，∵90R =︒∠，∴30P =︒∠，∵4AB =，∴2BC =，AC =∴GH QH AH ==，∴3MH =，∵4M R AD AB ===，∴347QR QH MH MR =++=+=，∴214PQ QR ==．DGHP AB C EF K QR M三、解答题（共46分）19．解方程（1）2450x x --=；（2）(2)3(2)0x x x +-+=． 解： 解： 【答案】（1）15x =，21x =-（2）22x =-，23x =【解析】（1）2450x x --=(5)(1)0x x -+=15x =，21x =-．（2）(2)3(2)0x x x +-+=(2)(3)0x x +-=12x =-，23x =．20．某市对在当地召开的一个大型国际展览会开幕后连续八天的每日参观人数做了一项调查，并将相关数据绘制成了如下的统计图．请根据所给信息解决下列问题：（1）这八天中，每日参观人数的众数是___________，中位数是___________，平均数是___________．（2）请你估计这个为期60天的大型国际展览会共接待多少参观者？国际展览会参观人数统计图8天7天6天5天4天3天2天1天【答案】（1）24，30，30（2）1800万【解析】（1）∵24出现两次，∴24为众数，中位数为2931302+=， 平均数为2424272931333438308+++++++=． （2）30601800⨯=（万人）答：估计60天共接待1800万人．21．已知：如图，平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、AD 边上的点，BE DF =．（1）求证：ABE △≌CDF △．（2）若2BCD B =∠∠，求B ∠的度数． （3）若（2）的条件下，过A 作AG BC ⊥于点G ，若2AB =，5AD =，求平分四边形ABCD 的面积．F DA B CE证明：（1）【答案】（1）证明见解析（2）60B =︒∠（3）ABCD S =平行四边形【解析】证明：（1）∵平行四边形ABCD ， ∴AB CD =，B D =∠∠，又∵BE DF =，∴ABE △≌CDF △．（2）解：∵平行四边形ABCD ，∴AB CD ∥，∴180B BCD +=︒∠∠，∵2BCD B =∠∠，∴3180B =︒∠，∴60B =︒∠．（3）在Rt ABG △中，60B =︒∠，90AGB =︒∠， ∴30BAG =︒∠，又∵2AB =，∴1BG =，在Rt ABG △中，由勾股定理得AG ===．∴ABCD S AD AG =⋅平行四边形【注意有文字】5==．22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y kx b =+的图象经过点(2,4)A -，且与正比例函数23y x =-的图象交于点(,2)B a ． （1）求a 的值及一次函数y kx b =+的解析式．（2）直接写出关于x 的不等式23x kx b ->+的解集．解：（1）（2）不等式23x kx b ->+的解集___________． 【答案】（1）3a =-，一次函数解析式为28y x =+（2）3x <-【解析】（1）解：∵(,2)B a 在23y x =-上， ∴223a =-， ∴3a =-，∴(3,2)B -，将(2,4)A -，(3,2)B -代入y kx b =+4223k b k b=-+⎧⎨=-+⎩， ∴2k =，8b =，∴一次函数解析式为28y x =+．（2）∵23y x =-与y kx b =+的交点(3,2)B -， ∴从图象可以看出3x <-时，23y x =-的图象在 y kx b =+图象的上方，代表23x kx b ->+，∴解集为3x <-．23．（1）如图，ABC △是等边三角形，D 是BC 上一点，请画出ABD △绕点A 逆时针旋转60︒后的三角形．D AB C（2）如图，DEF △是由ABC △绕某一中心旋转一定的角度得到，请你找出旋转中心．D E F C【答案】见解析【解析】（1）ECB ADACE △即为所求，（2）F EC B A O D点O 为所求．24．已知关于x 的方程23(1)230mx m x m -+++=． （1）求证：无论m 取任何实数，该方程总有实数根． （2）若0m ≠，关于x 的方程23(1)230mx m x m -+++=的解是整数解，求m 的整数值．【答案】见解析【解析】（1）证明：当0m =时，原方程为330x -+=， 1x =．∴方程有实根，当0m ≠时，29(1)4(23)m m m ∆=+-⋅+229189812m m m m =++--269m m =++2(3)m =+．∵2(3)0m +≥，∴0∆≥，∴方程总有实根，综上，无论m 取任何实数，该方程总有实根． （2）解：23(1)230mx m x m -+++= [](23)(1)0mx m x -+-=123m x m +=，21x =， 12332m x m m+==+， 当1m =±，3±时，1x 为整数，∴当1m =±，3±，方程的解为整数解．。
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三、解答题（共 5 小题，满分 60 分）
13．；14．；15．；16．
；17．
；
第4页（共4页）
度数是
．
10．（5 分）方程（2007x）2﹣2006×2008x﹣1=0 的较大根为 a，方程 x2+2006x
﹣2007=0 的较小根为 b，则 a﹣b=
．
11．（5 分）已知 x=
，则 x3+12x 的算术平方根是
．
第1页（共4页）
12．（5 分）如图，Rt△ABC 中，∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=6．△ABC 以点 B
点，BP 的延长线交⊙O 于点 Q，点 R 在 OA 的延长线上，且 RP=RQ． （1）求证：RQ 是⊙O 的切线； （2）求证：OB2=PB•PQ+OP2； （3）当 RA≤OA 时，试确定∠B 的取值范围．
第2页（共4页）
17．（14 分）平面上有 n 个点（n≥3，n 为自然数），其中任何三点不在同一直 线上．证明：一定存在三点，以这三点作为顶点的三角形中至少有一个内角
D．433 300
二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分）
7．（5 分）多项式 6x3﹣11x2+x+4 可分解为
．
8．（5 分）已知点 P（x，y）位于第二象限，并且 y≤2x+6，x、y 为整数，则点 P
的个数是
．
9．（5 分）已知⊙O 的半径 OA=1，弦 AB、AC 的长分别是 、 ，则∠BAC 的
2017 年北京四中自主招生数学试卷
一、选择题（共 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分） 1．（5 分）已知 ＜cosA＜sin80°，则锐角 A 的取值范围是（ ）
A．60°＜A＜80° B．30°＜A＜80° C．10°＜A＜60° D．10°＜A＜30°
2．（5 分）实数 b 满|b|＜3，并且有实数 a，a＜b 恒成立，a 的取值范围是（ ）
B．13
C．14
D．11
5．（5 分）掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有 1 至 6 六个
数．连续掷两次，掷得面向上的点数之和是 3 的倍数的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（5 分）1×2+2×3+3×4+…+99×100=（ ）
A．22343 300
A．小于或等于 3 的实数
B．小于 3 的实数
C．小于或等于﹣3 的实数
D．小于﹣3 的实数
3．（5 分）x1，x2 是方程 x2+x+k=0 的两个实根，若恰 x12+x1x2+x22=2k2 成立，k 的
值为（ ）
A．﹣1
B． 或﹣1
C．
D．﹣ 或 1
4．（5 分）代数式
的最小值为（ ）
A．12
不大于
．
第3页（共4页）
2017 年北京四中自主招生数学试卷
参考答案
一、选择题（共 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分） 1．D；2．C；3．A；4．B；5．C；6．B；
二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分） 7．（x﹣1）（3x﹣4）（2x+1）；8．6；9．15°或 75°；10．2008；11．2 ；12．9π；
x4+x3y+x2y2+xy3+y4 的值． 15．（12 分）在直角△ABC 中，∠C=90°，直角边 BC 与直角坐标系中的 x 轴重合，
其内切圆的圆心坐标为 P（0，1），若抛物线 y=kx2+2kx+1 的顶点为 A． （1）求抛物线的对称轴、顶点坐标和开口方向； （2）用 k 表示 B 点的坐标； （3）当 k 取何值时，∠ABC=60°？ 16．（14 分）如图，OA 和 OB 是⊙O 的半径，并且 OA⊥OB．P 是 OA 上的任意一
为中心逆时针旋转，使点 C 旋转至 AB 边延长线上的 C′处，那么 AC 边转过的
图形（图中阴影部分）的面积是
．
三、解答题（共 5 小题，满分 60 分） 13．（10 分）现将一个表面涂满红色的正方体的每条棱十等分，此正方体分割成
若干个小正方体．在这些小正方体中，求： （1）两面涂有红色的小正方体的个数； （2）任取一个小正方体，各面均无色的小正方体的概率； （3）若将原正方体每条棱 n 等分，只有一面涂有红色的小正方体的个数． 14．（10 分）已知 x，y 均为实数，且满足 xy+x+y=17，x2y+xy2=66，求代数式