第四章 级数(答案)

复变函数练习题 第四章 级数

系 专业 班 姓名 学号

§1 复数项级数 §2 幂级数

23521

24221

1(1)1(1)sin ()3!5!(21)!(1)cos 1()

2!4!2!1()

2!!

n n n n n

n z

z z z z z

z z z z z z n z z z z z n z z e z z n +=+++++<--=-+-++<+∞+-=-+-++<+∞=+++++<+∞L L L L L L L L 一些重要的级数

一、选择题：

1．下列级数中绝对收敛的是 [ ]

（Ａ）1

1(1)n i

n n ∞

=+∑ （Ｂ）1(1)[]2n n n i n ∞=-+∑ (Ｃ) 2ln n n i n ∞=∑ （Ｄ）1(1)2n n n n i ∞

=-∑ 2．若幂级数

n

n n c z

∞

=∑在12z i =+处收敛，那么该级数在2z =处的敛散性为 [ ]

（A ）绝对收敛 （B ）条件收敛 （C ）发散 （D ）不能确定

()

122i Abel +=

>，由定理易得

3．幂级数1

0(1)1

n n n z n ∞

+=-+∑在||1z <内的和函数为 [ ] （Ａ） ln(1)z + （B ）ln(1)z - （C ） 1ln

1z + （D ） 1ln 1z

- '

100

'

110000(1)1(1)11(1)(1)1=ln(1)111n n n n

n n n n z z n n n n z z n z z z dz dz z n n z

∞∞+==∞∞++==⎧⎫⎛⎫-=-=⎪⎪

⎪++⎪⎪⎝⎭⎨⎬⎛⎫⎪⎪

--==+ ⎪⎪⎪+++⎝⎭⎩⎭

∑∑∑∑⎰⎰ 二、填空题：

1．设(1)2

n

n i α-=+，则lim n n α→∞

= 0 。

2．设幂级数

n

n n c z ∞=∑的收敛半径为R ，那么幂级数0

(21)n n n n c z ∞

=-∑的收敛半径为

2

R 3．幂级数

!n

n n n z n ∞

=∑的收敛半径是 e 。 4．幂级数1n

p n z n

∞

=∑（p 为正整数）的收敛半径是 1 。

三、解答题：

1．判断下列数列是否收敛如果有极限，求出它们的极限。

（1）2

11

n i

n i e n n πα-=++

(1)2,

221

(1)1lim lim 0221lim 0

k n k k k n n i

n k k k k k αα→∞→∞→∞

-==++-==+=当时，由知， 11(1)1

2,

21

(1)1lim 021lim 0

k n k k n n n k i k k αα++→∞→∞

-+=+=+-+=+=当时，由知， （2）12321(1)12n n

n n i n

α-=

+++

123211

lim lim(1)12lim n n n n n n n n e i

e

α-→∞→∞→∞=+=+=由可得，

2．判断下列级数的敛散性。若收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛。

判断绝对收敛的两种方法： （1）绝对级数是否收敛

（2）实部和虚部的绝对级数是否收敛

（1）2

3

1,n

i i i i ++++++L L

lim n n i →∞

由不存在可知，级数发散

（级数收敛的必要条件）

（2）35

(5)(5)53!5!

i i i -++L 3521

555(53!5!(21)!

n i n +=++++++L L

21

5(21)!n n n +∞

=+∑由级数收敛可知，原级数绝对收敛. （3）

1

sin 3n

n n in

∞

=∑ ()()

11

sin ()32323322332n n n

n

n n

n

n

n n n in n e e n n e e n n

e e -∞

∞==-==-

⋅⋅⎛⎫

⋅ ⎪⎝⎭

⋅

⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭

∑

∑由级数及级数

收敛，可得原级数绝对收敛

（4）2

ln n

n i n ∞

=∑

2111

(1)(1)[]ln ln 2ln(21)(1)(1)

ln 2ln(21)n k k

n k k k

k k i i n k k k k ∞

∞

==∞∞==--=++--+∑∑∑

∑由于和为交错级数，由莱布尼兹准则，

1111

ln 2ln(21)

k k k k ∞

∞

==+∑∑级数收敛，故原级数收敛。又由和发散，

则原级数条件收敛。

3．求幂级数

1

(1)(3)

n n n z ∞

+=+-∑的收敛半径，收敛域及和函数，并计算

1

2∞

=∑n n n

之值。。 解：由2

lim

1 1.1

n n R n →∞+==+知，收敛半径

10

=2(1)(1)31n n z n z ∞+=+--<∑当时，原级数成为，为发散级数，

因而原级数的收敛域为.

2'

2'

1201

2011

1(3)(3)(3)1(3)

112(3)3(3)(1)(3)1(3)13(1)(3)=(3)=1(3)(4)

7372(1)(3)===2

722(4)2n n

n n n n n n z z z z z z n z z z n z z z z n z n z ∞

+=∞∞

+===+-+-++-+--⎡⎤=+-+-+++-+⎢⎥--⎣⎦⎡⎤-+--⎢⎥

---⎣⎦-=+--∑∑∑L L

L L 故当时，

4．求幂级数21

n

n n z ∞

=∑的和函数，并计算2

12n n n ∞

=∑之值。

220

1

111'123(1)(1)1n n n n z z z z

z z n z n z z ∞

==+++++-⎛⎫=++++++=+ ⎪-⎝⎭∑L L L L 20

232311''23243(2)(1)(2)(1)11121(1)'''11(1)(1)(1)n n n n

n z z n n z n n z z z z n z z z z z z z z ∞=∞

=⎛⎫=+⋅+⋅+++++=++ ⎪-⎝⎭⎡⎤+⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥-----⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦

∑∑L L 故

2

1

1=622n

n n z ∞==∑当时，