第四章 级数(答案)

复变函数练习题 第四章 级数
系 专业 班 姓名 学号
§1 复数项级数 §2 幂级数
23521
24221
1(1)1(1)sin ()3!5!(21)!(1)cos 1()
2!4!2!1()
2!!
n n n n n
n z
z z z z z
z z z z z z n z z z z z n z z e z z n +=+++++<--=-+-++<+∞+-=-+-++<+∞=+++++<+∞L L L L L L L L 一些重要的级数
一、选择题：
1．下列级数中绝对收敛的是 [ ]
（Ａ）1
1(1)n i
n n ∞
=+∑ （Ｂ）1(1)[]2n n n i n ∞=-+∑ (Ｃ) 2ln n n i n ∞=∑ （Ｄ）1(1)2n n n n i ∞
=-∑ 2．若幂级数
n
n n c z
∞
=∑在12z i =+处收敛，那么该级数在2z =处的敛散性为 [ ]
（A ）绝对收敛 （B ）条件收敛 （C ）发散 （D ）不能确定
()
122i Abel +=
>，由定理易得
3．幂级数1
0(1)1
n n n z n ∞
+=-+∑在||1z <内的和函数为 [ ] （Ａ） ln(1)z + （B ）ln(1)z - （C ） 1ln
1z + （D ） 1ln 1z
- '
100
'
110000(1)1(1)11(1)(1)1=ln(1)111n n n n
n n n n z z n n n n z z n z z z dz dz z n n z
∞∞+==∞∞++==⎧⎫⎛⎫-=-=⎪⎪
⎪++⎪⎪⎝⎭⎨⎬⎛⎫⎪⎪
--==+ ⎪⎪⎪+++⎝⎭⎩⎭
∑∑∑∑⎰⎰ 二、填空题：
1．设(1)2
n
n i α-=+，则lim n n α→∞
= 0 。

2．设幂级数
n
n n c z ∞=∑的收敛半径为R ，那么幂级数0
(21)n n n n c z ∞
=-∑的收敛半径为
2
R 3．幂级数
!n
n n n z n ∞
=∑的收敛半径是 e 。

4．幂级数1n
p n z n
∞
=∑（p 为正整数）的收敛半径是 1 。

三、解答题：
1．判断下列数列是否收敛如果有极限，求出它们的极限。

（1）2
11
n i
n i e n n πα-=++
(1)2,
221
(1)1lim lim 0221lim 0
k n k k k n n i
n k k k k k αα→∞→∞→∞
-==++-==+=当时，由知， 11(1)1
2,
21
(1)1lim 021lim 0
k n k k n n n k i k k αα++→∞→∞
-+=+=+-+=+=当时，由知， （2）12321(1)12n n
n n i n
α-=
+++
123211
lim lim(1)12lim n n n n n n n n e i
e
α-→∞→∞→∞=+=+=由可得，
2．判断下列级数的敛散性。

若收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛。

判断绝对收敛的两种方法： （1）绝对级数是否收敛
（2）实部和虚部的绝对级数是否收敛
（1）2
3
1,n
i i i i ++++++L L
lim n n i →∞
由不存在可知，级数发散
（级数收敛的必要条件）
（2）35
(5)(5)53!5!
i i i -++L 3521
555(53!5!(21)!
n i n +=++++++L L
21
5(21)!n n n +∞
=+∑由级数收敛可知，原级数绝对收敛. （3）
1
sin 3n
n n in
∞
=∑ ()()
11
sin ()32323322332n n n
n
n n
n
n
n n n in n e e n n e e n n
e e -∞
∞==-==-
⋅⋅⎛⎫
⋅ ⎪⎝⎭
⋅
⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭
∑
∑由级数及级数
收敛，可得原级数绝对收敛
（4）2
ln n
n i n ∞
=∑
2111
(1)(1)[]ln ln 2ln(21)(1)(1)
ln 2ln(21)n k k
n k k k
k k i i n k k k k ∞
∞
==∞∞==--=++--+∑∑∑
∑由于和为交错级数，由莱布尼兹准则，
1111
ln 2ln(21)
k k k k ∞
∞
==+∑∑级数收敛，故原级数收敛。

又由和发散，
则原级数条件收敛。

3．求幂级数
1
(1)(3)
n n n z ∞
+=+-∑的收敛半径，收敛域及和函数，并计算
1
2∞
=∑n n n
之值。

解：由2
lim
1 1.1
n n R n →∞+==+知，收敛半径
10
=2(1)(1)31n n z n z ∞+=+--<∑当时，原级数成为，为发散级数，
因而原级数的收敛域为.
2'
2'
1201
2011
1(3)(3)(3)1(3)
112(3)3(3)(1)(3)1(3)13(1)(3)=(3)=1(3)(4)
7372(1)(3)===2
722(4)2n n
n n n n n n z z z z z z n z z z n z z z z n z n z ∞
+=∞∞
+===+-+-++-+--⎡⎤=+-+-+++-+⎢⎥--⎣⎦⎡⎤-+--⎢⎥
---⎣⎦-=+--∑∑∑L L
L L 故当时，
4．求幂级数21
n
n n z ∞
=∑的和函数，并计算2
12n n n ∞
=∑之值。

220
1
111'123(1)(1)1n n n n z z z z
z z n z n z z ∞
==+++++-⎛⎫=++++++=+ ⎪-⎝⎭∑L L L L 20
232311''23243(2)(1)(2)(1)11121(1)'''11(1)(1)(1)n n n n
n z z n n z n n z z z z n z z z z z z z z ∞=∞
=⎛⎫=+⋅+⋅+++++=++ ⎪-⎝⎭⎡⎤+⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥-----⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦
∑∑L L 故
2
1
1=622n
n n z ∞==∑当时，
复变函数练习题 第四章 级数
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§3 泰勒级数
一、选择题
1．设函数cos z e z 的泰勒展开式为0n n n c z ∞=∑，那么幂级数0
n
n n c z ∞
=∑的收敛半径R = [ C ]
(A) +∞ (B) 1 (C)
2
π
(D) π cos 0()2cos 2z
e z z k k z z πππ⎛⎫ ⎪ ⎪=⇒=+∈⇒< ⎪⎝⎭
Z 函数在某点展成的幂级数的收敛半径等于该点和该函数的奇点中最近的距离在内解析 2．函数
21
z
在1z =-处的泰勒展开式为 [ D ] (A)
1
1(1)
(1)
(|1|1)n
n n n z z ∞
-=-++<∑ (B) 111(1)(1)(|1|1)n n n n z z ∞
--=-++<∑
(C) 1
1
(1)
(|1|1)n n n z z ∞
-=-
++<∑ (D) 11
(1)(|1|1)n n n z z ∞
-=++<∑
'22'111111111(1)(1)(1)(11)111(1)112(1)(1)n n z z z z z z z z z z z z n z z -⎧⎫⎛⎫=--=-⎪⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎪-=-==+++++++++<⎪⎪+--+⎨⎬⎪⎪⎛⎫⎪⎪-=++++++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭
L L L L 由，下面先对在点进行展开.注写成求和形式中注意保持第一项是一致的
3.函数sin z 在2
z π=
处的泰勒展开式为 [ B ]
（A ）210(1)()(||)(21)!22n n n z z n ππ∞
+=---<+∞+∑
（B ）20(1)()(||)(2)!22n n n z z n ππ
∞
=---<+∞∑ （C ）1210(1)()(||)(21)!22n n n z z n ππ+∞
+=---<+∞+∑
（D ）120(1)()(||)(2)!
22n n n z z n ππ
+∞
=---<+∞∑ sin =sin()cos()222z z z πππ⎛
⎫-+=-
⎪⎝⎭
4．级数21
1!
n n z n +∞
==∑ [ A ] (A) 2
(1)z z e - (B) 2(1)z
z e
- (C) 2
1z ze - (D) 21z ze -
2121111)!!n n w
n n n z w w z e n n +∞∞∞===⎛⎫====- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
∑令，则 5． 1
1Re()!
n n i n -∞
==∑ [ B ] (A) cos1 (B) sin1 (C) cos1- (D) sin1-
111212311111
1.!111)1()(1)()!2!3!!2!3!!11(1)
!!1(1)(cos11sin1)(cos11)sin1
!n n n n n z
n n n z n n n i n z n z z z z z z z z e z n n z n z z z e n z n z i z i e i i i n i -∞
=--∞=-∞∞==-∞=⎧⎪⎪⎪=+++++=+++++=-<+∞⎪⎪⎪⎨⎪⎪==-⎪⎪⎪==-=--+=--+⎩∑∑∑∑∑L L L L 考虑或者2)取，则可得⎫⎪
⎪⎪⎪⎪
⎪⎬⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
二、填空题
1．函数2
1()(1)f z z =+在0z =处的泰勒展开式为0
()(1)(1)(1)n n
n f z n z z ∞
==--+<∑ '
2
'''1100011(1)11(1)(1)(1)(1)(1)(1)1n n n n n n n n n n n n z z z z nz n z z z =∞∞∞∞
-===⎛⎫⎛⎫
=- ⎪ ⎪++⎝⎭ ⎪
⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪⎡⎤-=--=--=--=-+< ⎪ ⎪⎣⎦ ⎪
+⎝⎭⎝⎭⎝⎭
∑∑∑∑
2．3
11z +的幂级数展开式为30
(1)n n
n z ∞
=-∑，收敛域为1z < 三、解答题
求收敛半径一般可以采用根值法、比值法。

遇到
1．把下列各函数展开成z 的幂级数，并指出它们的收敛半径： （1）
222
2
10011
1
1(1)(1)44
42412n
n n n n n n z z z z ∞∞
+==-⎛⎫=⋅=-= ⎪+⎝⎭⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
∑∑
12(1)
2221
(1)412(1)4
4n n n n
n n z z z z ++++-=<⇒<- 收敛半径R=2
（在计算仅有奇数项或偶数项类型的级数的收敛半径时，可利用根值法，或者利用上述方法.） （2）
2
40
(1)cos (2)!n n n z z n ∞
=-=∑
1(1)(2)!1
lim lim =0(22)!(1)(22)(2+1n n n n n n n n +→∞→∞-⋅=+-+由知，
）
收敛半径为∞
2．求下列各函数在指定点0z 处的泰勒展开式，并指出它们的收敛半径： （1）
0011
,11
1221111111=11112221
2
n n n n z z z z z z z z z z ∞∞
==-=+---⎛⎫⎛⎫=-=-=-=-- ⎪ ⎪-++-+⎝⎭⎝⎭+∑∑解： 收敛半径R=2
（2）
01
,143z i z
=+-
()
01
011
43133(1)
113(1)
1311313(1)13133(1)13n
n n
n
n n z i z i z i i i
z i i i z i i ∞=∞
+==
-----=⋅
-------⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦=---∑∑
由()
(
)1
1
2
1333lim
31313n n n n
n i i i +++→∞
-⋅
=
=--
收敛半径R =
（3）0arctan ,0z z =
2422
2420
3521
1
(arctan )'1(1),(1)1arctan 1(1)(1),(1)
3521
n n z
z
z
z
n n n n z z z z z z
z dz z dz z dz z dz z z z z z n +==-+-+-+<+=-+-+-+-=-+-++<+⎰⎰⎰⎰L L L L
L L 由于则
（4）
0,2(1)(2)
z
z z z =++
()211000
21211111
22
(1)(2)212423231143121211(1)2243323n n n n n n n n n z z z z z z z z z z z z ∞∞∞
++====-=-=⋅-⋅
--++++-+-+++--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---=--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑
由
2322111311
1
111849238493lim =lim lim 11113131232433243
3
n
n n n n n n n n n n n n R ++→∞→∞→∞++⎛⎫⋅--- ⎪⎝⎭⋅⋅==⎛⎫--⋅- ⎪⋅⋅⎝⎭=由知，收敛半径
复变函数练习题 第四章 级数
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§4 洛朗级数
1
1
11111n
n
n n
n n
n n n n n n
n n n n n c z c z c
z c z c z c z c z +∞+∞+∞
--=-∞
==++------=+⎧<⎪⎪
⎨⎪<⎪⎩
∑∑∑在计算洛朗级数收敛域时，要取正幂项的收敛域和负幂项的收敛域的公共部分.
正幂项：（或求幂级数收敛半径的常规作法）负幂项：
一、选择题：
1．若3(1),0,1,2,4,1,2,n n n n
n c n ⎧+-==⎨=--⎩L L
，则幂级数n
n n c z ∞
=-∞∑的收敛域为 [ A ]
（A ）
11||43z << （B ）3||4z << （C ）1
||4
z <<+∞ （D ）1||3z <<+∞
1112
1113(1)1lim lim 33(1)3411=1444n n n n n n n n n n n n n n c R c c z z c z z z +++→+∞→+∞---------⎛⎫
+-==⇒= ⎪+- ⎪ ⎪ ⎪=<⇒> ⎪⎝⎭
计算正幂项（常规作法）：计算负幂项：2．洛朗级数
n
n z
∞
=-∞
∑的收敛域是 [B]
（Ａ）0||1z << （Ｂ）∅ （Ｃ）
1||12z << （D ）11
||32
z << 3．洛朗级数
||
2
(3)n n n z ∞
-=-∞
-∑的收敛域是 [C]
（Ａ）|3|2z -< （Ｂ）2|3|z <-<+∞ （Ｃ）
1|3|22z <-< （Ｄ）1
|3|2
z <-<+∞ |1|1|||1|
11
||2(3)3
1322(3)22(3)21132(3)2(3)2n n n n
n n n n n n z z z z z z z z -++------------⎧--=<⇒-<⎪-⎪
⎨-⎪=<⇒->⎪--⎩
4．设1
()(1)(4)
f z z z z =
++在以原点为中心的圆环内的洛朗展开式有m 个，则m =[ C ]
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
1()0,1,4(1)(4)1;14;4f z z z z z z z z ⎛⎫
==-- ⎪++ ⎪ ⎪<<<>⎝⎭
的奇点有 二、填空题
1．幂级数11
1(1)(1)(1)(2)2n
n
n n
n n z z ∞
∞
==-+---∑∑的收敛域为122z <-<
2．函数1z
z
e e +在0||z <<+∞的洛朗展开式为112++!!
n n
n n z z n n ∞
-∞==-∑∑
3．函数
1
()
z z i -在1||z i <-<+∞的洛朗展式为
22
1
23
20
(1)()
(1)()
()()n
n n n n n n n n z i i z i i z i ∞
∞
∞
--+----===--+----∑∑∑（或）
22
2210
22122+12001
1.||
111111
(1)()()()1(1)
(1)111(1)(1)+i (1)(1)()n
n
n n
n
n
k
k
k k n k k k k k k k k
k k z i i i z z i z i z i i z i z i z i z i i i a a i a z i z i z i ∞
=∞∞
∞
+===+∞∞==>-⎛⎫=⋅=⋅=
- ⎪
---+---⎝⎭+-=-+-⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑此时
关于，形式上看：
，从而上式等于22
23
1
11(1)+i (1)
k k k
k k k z i z i ++∞
∞
+==⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
⎛⎫⎛⎫
=-- ⎪
⎪--⎝⎭⎝⎭
∑∑∑
三、解答题：
1．用洛朗级数展开式将2()z
e f z z =在0||z <<+∞处展开为洛朗级数。

2
22
001()=!!z n n n n e z z f z z z
n n -∞
∞
====∑∑
2．把下列函数在指定的区域内展开成洛朗级数： （1）
2
1,0||1;0|1|1(1)
z z z z <<<-<-
2'
2
2120||1;
1
11111=(1)11
=(123)1
=23n n n z z z z z
z z z z z z nz z z nz z
--<<=+++++-⎛⎫ ⎪--⎝⎭
++++++++++L L L L L L 由于 0|1|1z <-<
222
2
111
=(1)(1)1(1)
1=
(1)(1)
(1)=(1)(1)n
n
n n n n z z z z z z z ∞
=∞-=⋅
--+------∑∑
（2）
01
01
,
(1)(2)0|1|1;
111
(1)(2)11(1)
1(1)1(1)n n n n z z z z z z z z z z ∞
=∞
-=--<-<-=⋅
-----=---=--∑∑
2
22
1
1|2|1|2|
111111
(1)(2)
(1)(2)1(1)(2)221(2)(2)12
n
n
n n n n z z z z z z z z z z z ∞
∞
---==<-<+∞⇒
<-=⋅=⋅=
--=------+--+-∑∑
3．若C 为正向圆周||3z =，求积分
()C
f z dz ⎰Ñ的值，设()f z 为
在洛朗级数的各个收敛圆环中，找出C 所在的那个圆环，在该圆环内再进行洛朗展开 （1）
1
(2)
z z +
22
2001
2(2)
1111
2(1)2=(1)2(2)1n n n n
n n n z z z z z z z
z z z
∞
∞+==>+-⎛⎫⋅=-= ⎪+⎝⎭+∑∑在区域内解析，并可展成洛朗级数
2C z >由含于区域内，因而
1
()=2=0C
f z dz ic
π-⎰Ñ
（2）
(1)(2)
z
z z ++
00110
121121
12
(1)(2)12111122(1)(1)(1)(21)n
n
n n n n n n n n z z z z z z z z z z z z z z ∞∞==+∞
+==-+=-⋅+⋅
++++++⎛⎫⎛⎫=--+- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭--=∑∑∑
1()=2=21=2C
f z dz ic i i πππ-⋅⎰Ñ故
复变函数练习题 第四章 级数
系 专业 班 姓名 学号
综 合 练 习 题
一、选择题 1．若
()
n
n n c z i ∞
=-∑在3z i =发散，则它必在 [ ]
（A ）1z =-收敛 （B ）2z =-发散 （C ）z i =-收敛 （D ）以上全不正确
（由Abel 定理） 2．设幂级数
1
,n
n n n n n c z nc z
∞∞
-==∑∑和
1
01
n n n c z n ∞
+=+∑的收敛半径分别为123,,R R R ，则123,,R R R 之间的关系是 [ ] （A ）123R R R << （B ）123R R R >> （C ）123R R R =< （D ）123R R R ==
3．级数
2
2111z z z z
+++++L 的收敛域是 [ ] （A ）||1z < （B ）0||1z << （C ）1||z <<+∞ （D ）不存在的
110z z ⎛⎫<≠ ⎪⎝⎭
负幂项为有限项，因此，不需要保证，只需保证其解析性，也就是即可二、填空题
1．2cos11||!n
n i n +∞
=-∞
=-∑ 01011++(1)||!!()!!!n n n n
i i
n
n n n n n i i i i e e n n n n n i +∞+∞-∞+∞+∞-=-∞==-==⎛⎫===+- ⎪-⎝⎭
∑∑∑∑∑ 2．洛朗级数10
2(1)(1)(3)3n n
n n
n n z z ∞
∞
==+---∑∑的收敛圆环域是233z <-< 1111
2(3)2132(3)23(1)(1)331333(1)(1)
3n n n n
n n n n
z z z z z z z z ++++⎧-⋅=<⇒->⎪--⎪⎪
⎨---⎪=<⇒-<⎪--⎪⎩
3．设
(2)
n
n n c z +∞
=-∑，在4z =收敛而在22z i =+发散，则其收敛半径R = 2 ，该幂级数
在22z -<内绝对收敛。

三、解答题 1.求函数1
()2
f z z =
-在1z =-的邻域内的泰勒展开式，并指出其收敛域。

()1
00
111111(1)()111213333313
n
n
n n n z z f z z z z z ∞∞
+==++⎛⎫===-⋅=-=-+< ⎪+-+-⎝⎭-∑∑
2.求洛朗级数
(2)
n
n
n c z ∞
=-∞
-∑的收敛圆环，其中
0!111,,1,1,2,2n n n n c c c n n n
-==
=+++=L L
解：由于
1(1)!11
lim lim lim 1(1)!(1)(1)
n n n n n n n n n n n n n n e
n
+→∞→∞→∞+⋅===+++
级数
(2)02n
n n c z z e ∞
=-<-<∑的收敛圆环为;
另一方面，由于
(1)11121lim
lim
111
12n n n n
c n c n
-+→+∞
→+∞-++++==+++L L 级数
1
(2)21n n
n c
z z ∞
--=-->∑的收敛圆环为，
从而洛朗级数(2)
n
n
n c z ∞
=-∞
-∑的收敛圆环为12.z e <-<
3．把下列各函数在圆环域0||z R <<内展开成洛朗级数，并指出使展开式成立的R ：
（1）3,z
e z
-
3
3300
1()(1)!!z n n n n n e z z z z n n --∞∞
==--==∑∑ R =∞
（2）
22
1
,(1)
z z - 22222222
1111
(1)1n
n n n z
z z z z z z ∞
∞
-===⋅=
=--∑∑
R =1
4．把函数
2
1
1
z +在下面圆环域内展开成洛朗级数： （1）0||2,z i <+< （2）2||,z i <+<+∞ （3）1||.z <<+∞ （1）
()
21
1
00111111
1()()22()1211()2()22n n n n n z i
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