最新三角形外角的性质及证明
三角形的外角性质定理
三角形的外角性质定理三角形是几何学中最基本的图形之一，它的性质及定理数不胜数。
本文将讨论三角形的外角性质定理，通过论述和推导，我们将揭示出这一性质的内涵和相关特点。
一、三角形的外角定义与性质我们首先来定义三角形的外角。
对于三角形ABC，若点D在边BC 的延长线上，且∠ADB为三角形ABC的外角，则称∠ADB为三角形ABC的外角，其性质如下：1. 外角定理三角形的外角等于其不相邻内角之和。
设∠ABC和∠ACB为三角形ABC的两个内角，∠ADB为该三角形的外角，根据外角定理，我们可以得到以下等式：∠ADB = ∠ABC + ∠ACB该等式表明，三角形的外角与其不相邻内角之和相等。
2. 外角大小三角形的外角是相邻内角的补角。
根据补角的概念，我们知道相邻的两个内角之和为180度。
因此，我们可以得到以下等式：∠ADB + ∠ABC = 180°∠ADB + ∠ACB = 180°这意味着三角形的外角与相邻的两个内角之和的和为180度。
3. 外角的性质三角形的外角可以大于、等于或小于360度。
当三角形的内角为锐角时，其外角为钝角；当内角为直角时，外角为直角；当内角为钝角时，外角为锐角。
这一性质与三角形的内角性质相对应，增加了我们对三角形的认识和理解。
二、外角性质定理的证明接下来，我们将证明外角性质定理。
我们可以通过以下步骤进行证明：1. 根据直角三角形的性质，证明直角三角形的外角等于90度。
2. 假设三角形ABC内角∠ABC + ∠ACB = α，三角形ABC外角∠ADB = β，通过对∠ADB进行角平分，我们得到角∠ADE = β/2。
3. 因为α + β/2 = α + (∠ADB/2) = 180度（直角三角形性质），所以有α + β/2 = 180度，从而推导出β = 2（180度 - α），即β = 360度 - 2α。
通过以上证明，我们可以得出结论：三角形的外角等于360度减去两个相邻内角的和的两倍。
三角形外角性质
引言概述：三角形是几何学中最基本的图形之一，它有许多有趣的性质和定理。
其中之一就是三角形的外角性质。
在本文中，我们将详细讨论三角形外角的定义、性质以及与内角之间的关系。
正文内容：一、三角形外角的定义1.外角是指一个三角形的某一个角和该角所对的边的外侧角。
2.外角的度数等于其相邻内角的度数之和。
二、三角形外角的性质1.三角形的外角之和等于360度（或2π弧度）。
这意味着一个三角形的三个外角的度数之和始终等于一个圆的度数。
例如，对于任意三角形ABC，外角A、外角B和外角C的度数之和等于360度。
2.外角大于对应的内角。
对于任意三角形ABC，对于任意一条边，其外角大于对应的内角。
例如，对于边AB，外角A大于内角ABC。
3.外角与其相邻的两个内角之间存在关系。
外角等于其相邻两个内角的和。
例如，对于三角形ABC，外角A等于内角B和内角C的和。
4.三角形的三个外角可以构成一条直线。
对于任意三角形ABC，通过连接外角A和外角B可以得到一条直线。
例如，连接外角A和外角B，即可得到直线AB。
5.外角与其不相邻的两个内角之间存在关系。
外角等于所对内角的补角。
例如，对于三角形ABC，外角A等于内角ABC的补角。
三、三角形外角的证明与推导1.证明外角之和等于360度。
可以通过利用平行线、内角和补角的性质来证明此定理。
2.证明外角大于对应的内角。
利用外角和内角的定义以及相关的几何定理，可以证明外角大于对应的内角。
3.证明外角等于相邻两个内角的和。
利用内角之和等于180度的性质以及平行线和内角的性质，可以推导出外角等于相邻两个内角的和。
4.证明三角形的三个外角可以构成一条直线。
可以通过利用外角和内角的定义、平行线和内角的性质，以及三角形内角和等于180度的性质来证明此定理。
5.证明外角与其不相邻的两个内角之间存在关系。
利用内角和补角的性质、平行线和内角的性质以及三角形内角和等于180度的性质，可以证明外角等于所对内角的补角。
三角形的外角与内角
三角形的外角与内角三角形是几何学中最基本的图形之一。
在三角形中，我们可以通过角度来描述其形状和特性。
其中，外角和内角是我们常常研究和讨论的两个角度。
本文将介绍三角形的外角和内角的概念、性质以及它们之间的关系。
一、三角形的外角1. 外角的定义在任意三角形ABC中，我们可以通过延长其中一条边（比如边AB）来得到一个外角。
外角定义为该外角和与之相邻的内角的和。
2. 外角的性质（1）任何一个三角形的外角都小于360度。
这是因为在三角形中，所有的内角的和已经等于180度，如果再加上外角，总和将超过360度，这是不可能的。
（2）三角形的相邻外角互补。
这是因为相邻两个外角加上与之相邻的内角，总和等于180度。
3. 外角与其他角度的关系（1）外角与内角的关系：一个外角等于与之相邻的两个内角的和。
即外角A等于内角B和内角C的和，外角B等于内角A和内角C的和，外角C等于内角A和内角B的和。
（2）外角与对应内角的关系：对于一个三角形的任意一对对应内角和外角来说，它们的度数之和等于180度。
即外角A等于内角C的度数，外角B等于内角A的度数，外角C等于内角B的度数。
二、三角形的内角1. 内角的定义在任意三角形ABC中，我们可以通过三个顶点来确定三个内角，分别为角A、角B、角C。
2. 内角的性质（1）三个内角的和等于180度。
这是因为三个内角加起来就是三角形所有内角的总和，而任何一个三角形的所有内角总和都等于180度。
（2）任意两个内角的和大于第三个内角。
这被称为三角形的内角和定理。
例如，在三角形ABC中，角A + 角B大于角C，角A + 角C 大于角B，角B + 角C大于角A。
三、三角形的外角与内角之间的关系根据前文提到的性质可知，一个三角形的外角与其对应的内角之间存在以下关系：（1）外角等于与之相邻的两个内角的和。
（2）外角与对应内角的度数之和等于180度。
（3）三个内角与三个外角的对应关系：外角等于相应内角的度数。
综上所述，三角形的外角与内角之间有着密切的关系。
三角形的外角关系及其推论
04 三角形外角关系推 论
推论一：三角形外角大于任何一个与它不相邻的内角
定理：三角形的外角大于任何一 个与它不相邻的内角
应用：在解决几何问题时，这个 推论可以帮助我们快速判断三角 形的外角大小关系
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证明：通过三角形内角和为180 度，以及三角形外角的定义，可 以得出这个结论
应用实例：在数学竞赛中，经常出现涉及三角形外角的题目，需要运用三 角形外角关系进行解答 技巧总结：掌握三角形外角关系，有助于在数学竞赛中快速解题，提高解 题效率
THANK YOU
汇报人：
05
三角形外角在实际 问题中的应用
在几何作图中的应用
确定三角形的形状：通过已知的外角，可以判断三角形的形状 计算角度：通过已知的外角，可以计算出其他角度的大小 判断三角形的相似性：通过已知的外角，可以判断两个三角形是否相似 计算面积：通过已知的外角，可以计算出三角形的面积
在解决实际问题中的应用
判断三角形的形状：根据外角和定理，可以判断三角形是锐角、直角还是钝角三角形。
计算角度：利用外角和定理，可以计算出三角形中某个角的大小。
证明三角形全等：在证明两个三角形全等时，外角和定理可以作为一个重要的依据。
解决实际问题：在解决一些实际问题时，如建筑、测量等领域，外角和定理可以帮助我们 更好地理解和解决问题。
外角定理的证明：通过三角形内角和为180度，以及三角形外角的定义，可 以证明外角定理。
外角定理的应用：在解决三角形问题时，外角定理可以帮助我们快速找到 答案。
外角定理的推广：外角定理可以推广到多边形，即多边形的外角和等于360 度。
外角定理的证明
外角定理的定义：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。
三角形外角定理
数学定理
目录
01 基本介绍
03 推论及证明
02 的证明
三角形外角定理(exterior angle theorem of a triangle)是平面几何的重要定理之一，指三角形的一个 外角等于与它不相邻的两个内角的和。由此可得：三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角。
基本介绍
反证法 图3 假设∠ACD ∠CAB，那么∠ACD=∠CAB，或∠ACD<∠CAB。 (1)若∠ACD=∠CAB(图3)， 在CD上截取CF= AB，连AF， 在△ABC和△FCA中， ∵AB=CF，AC=AC，∠CAB=∠ACD， ∴△ABC≌△FCA ∴∠BCA=∠FCA， 但是，∠BCA+∠FCA= 180°， ∴∠CAF+∠BAC= 180°.
的证明
证法一
证法二
利用三角形内角和定理证明有 ∠1=∠A，∠2=∠B，∴ ∠1+∠2=∠A+∠B(图2) . 图2
全等形证法 如图2,设E为AC的中点，连BE且延长到F，使EF= BE，连CF。 在△ABE和△CEF中， ∵∠AEB=∠CEF，BE= EF，AE= EC ∴ △ABE≌△CEF ∴∠1=∠A ∴CF// AB ∴∠2=∠ABC， ∴∠1 +∠2=∠A+∠ABC， 即 ∠ACD=∠A+∠B.
三角形外角定理三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。如图1，△ABC的一个外角 ∠CBE=∠A+∠C。
这个定理的证明，如图1所示，利用平行线的性质证明；也可以直接用三角形内角和定理证。
图1
由三角形外角定理不难推出：三角形任意一个外角，大于和它不相邻的任意一个内角。如图1，∠CBE>∠A， ∠CBE>∠C 。
三角形的外角与内角和计算技巧
三角形的外角与内角和计算技巧一、三角形的外角1.定义：三角形的一个外角是指与三角形的一个内角不在同一直线上的角。
a)三角形的外角等于它不相邻的两个内角之和。
b)三角形的外角大于任何一个不相邻的内角。
c)外角与它相邻的内角互补（即外角加相邻内角等于180°）。
2.计算方法：a)已知三角形的两个内角，求第三个内角的外角：用180°减去这两个内角的和。
b)已知三角形的一个内角和一个外角，求另一个内角：用180°减去这个外角。
二、三角形的内角和1.定理：三角形的三个内角和等于180°。
a)画出任意一个三角形，将其分为两个三角形。
b)每个小三角形的内角和都是180°，因此，整个三角形的内角和是360°。
c)由于两个小三角形的公共角被计算了两次，所以将其减去一次，得到三角形的内角和为180°。
2.计算方法：a)已知三角形的两个内角，求第三个内角：用180°减去这两个内角的和。
b)已知三角形的三个内角，验证内角和是否等于180°。
三、外角与内角和的联系1.每个三角形的三个外角和等于360°。
2.三角形的外角与它相邻的内角互补，即外角加相邻内角等于180°。
3.利用外角可以转换求解内角，利用内角和定理可以验证外角的计算结果。
四、应用拓展1.利用三角形外角性质解决几何问题，如证明线段平行、求解三角形面积等。
2.利用内角和定理求解三角形的问题，如求解三角形的角度、边长等。
3.外角与内角和的知识在实际生活中的应用，如测量土地面积、建筑物的设计等。
通过以上知识点的学习，学生可以掌握三角形外角与内角和的计算技巧，并能运用到实际问题中。
习题及方法：1.习题：已知三角形ABC的内角A、B分别为90°和45°，求三角形ABC的外角D的度数。
答案：外角D的度数为180° - 90° - 45° = 45°。
三角形外角定理
三角形外角定理三角形外角定理是指一个三角形的外角等于其两个不相邻内角的和。
该定理用于求解三角形内角或外角的关系，为解决三角形相关问题提供了重要的数学工具。
在本文中，我将详细介绍三角形外角定理的概念、证明方法以及应用实例。
一、概念三角形外角即指一个三角形的内角的补角。
为了方便讨论，我们分别用A、B、C表示一个任意三角形的三个内角，而用X、Y、Z表示其对应的外角。
根据三角形内角的性质，我们知道三个内角的和等于180度，即A+B+C=180度。
根据外角的定义，有X=180度-A、Y=180度-B和Z=180度-C。
二、证明方法要证明三角形外角定理，我们可以通过几何推理进行证明。
具体步骤如下：1. 假设存在一个任意三角形ABC，将其一个内角A的补角记作X。
2. 连接点A和点C，构成线段AC。
3. 在线段AC上选取一点D，使得线段BD与线段AC重合。
4. 连接点A和点D，构成线段AD。
5. 通过B点画一条平行于线段AC的直线，与线段AD相交于点E。
6. 观察三角形ABC和三角形ABE。
根据平行线性质，我们可以得出∠A和∠ECD为同位角，它们是对应线段AC的内角，因此它们相等，即∠A=∠ECD。
又根据三角形内角的性质，得出∠A+∠B+∠C=180度，即∠ECD+∠ECA+∠B=180度，整理得∠ECD=∠B。
由此可知∠A=∠B。
同理，我们可以利用同样的方法证明三角形内角A与其对应的外角X相等。
综上所述，我们证明了三角形外角定理的正确性。
三、应用实例三角形外角定理在解决实际问题时具有广泛的应用。
以下举例说明：例1：已知一个三角形的两个角分别是40度和70度，求其第三个角的度数以及对应的外角。
解：根据三角形内角和为180度的性质，我们可以得到第三个角的度数为180度-40度-70度=70度。
根据三角形外角定理，外角X的度数等于对应内角的补角，即X=180度-40度=140度。
例2：已知一个三角形的两个外角的度数分别为120度和150度，求其第三个外角的度数。
三角形的外角性质及证明
三角形的外角性质及证明三角形是几何学中最基本的图形之一。
它具有丰富的性质和关系，其中之一就是外角性质。
本文将介绍三角形的外角性质，并给出相应的证明。
一、外角的定义首先，我们来定义三角形的外角。
在任意三角形ABC中，我们可以选择一条边AB，并将其延长到D点。
则角ADC和角B是三角形ABC的外角。
如下图所示：[插入示意图]二、外角性质三角形的外角具有一些特殊的性质。
我们来逐一介绍。
1. 性质一：一个三角形的外角等于其余两个内角之和。
证明：设三角形ABC的外角ADC和角B，内角分别为角A和角C。
根据角度的定义，可以得出：角ADC + 角A = 180°（内角和为180°）角ADC + 角C = 180°（内角和为180°）将上述两个等式相加，即可得到：2角ADC + (角A + 角C) = 2角ADC + 180° = 360°而两个外角之和为360°。
因此，得证角ADC = 角A + 角C，即一个三角形的外角等于其余两个内角之和。
2. 性质二：三角形的所有外角之和等于360°。
证明：在三角形ABC中，有三个外角，分别为角ADC、角B和角C。
根据性质一可知，角ADC = 角A + 角C。
将此等式代入外角之和的计算中，得：角ADC + 角B + 角C = (角A + 角C) + 角B + 角C= 角A + 2角C + 角B根据内角和为180°的性质，可知角A + 角B + 角C = 180°。
将此等式代入上述等式中，即可得到：角ADC + 角B + 角C = 180° + 2角C又根据角ADC + 角B + 角C = 360°的定义，可以得到：180° + 2角C = 360°解以上方程，得到2角C = 180°，即角C = 90°。
因此，角ADC + 角B + 角C = 180° + 2(90°) = 360°，三角形的所有外角之和为360°。
三角形的外角性质
三角形的外角性质三角形是几何学中最基本的图形之一，由三个不共线的点和它们之间的边构成。
在三角形中，有一些特殊的角称为外角。
本文将详细介绍三角形外角的性质。
一、外角的定义外角是指一个三角形的其中一个内角的补角，也就是与该内角相邻且不在同一条直线上的角。
在任何三角形中，每个内角都对应着一个唯一的外角。
二、三角形外角的性质1. 外角和内角关系在任何三角形中，一个外角等于另外两个不相邻的内角的和。
换句话说，三角形的一个外角等于其余两个内角的和。
例如，在三角形ABC中，∠A是一个外角，它等于∠B和∠C的和（∠A = ∠B + ∠C）；同样地，∠B是一个外角，它等于∠A和∠C的和（∠B = ∠A + ∠C）；∠C也是一个外角，它等于∠A和∠B的和（∠C = ∠A + ∠B）。
2. 外角和直角在三角形中，三个外角的和恒等于直角（90度）。
也就是说，三个外角的度数之和总是等于90度。
证明：设三角形ABC的三个外角分别为∠A、∠B、∠C，根据三角形的内角和定理可知∠A + ∠B + ∠C = 180度。
根据外角的定义可知∠A = ∠B + ∠C。
将∠A代入前一个等式中得到∠B + ∠C + ∠B +∠C = 180度，整理得到2∠B + 2∠C = 180度，化简得到∠B + ∠C =90度。
3. 外角与内角的关系在同一个三角形中，一个内角的外角与其他两个内角之和相等。
也就是说，一个内角的外角等于其他两个内角的和。
例如，在三角形ABC中，∠A对应的外角是∠D，∠B对应的外角是∠E，∠C对应的外角是∠F。
根据外角的定义可知∠D = ∠B + ∠C，∠E = ∠A + ∠C，∠F = ∠A + ∠B。
4. 外角的性质总结根据上述讨论，我们可以总结出三角形外角的性质：- 一个三角形的外角等于其余两个内角的和。
- 三个外角的和等于90度（直角）。
- 同一个三角形中，一个内角的外角等于其他两个内角的和。
结论：本文详细介绍了三角形外角的性质，包括外角的定义、外角和内角的关系、外角和直角的关系以及外角与内角的关系。
三角形的外角和推导与证明
三角形的外角和推导与证明三角形是几何学中最基本的图形之一，它由三条边和三个角组成。
在三角形中，每个角都有一个对应的外角。
本文将探讨三角形的外角特性，并推导和证明相关定理。
一、外角定义及性质三角形的外角指的是三角形内一角的补角。
例如，对于三角形ABC，若角A为内角，则角A的外角为角A'，满足角A+角A'=180度。
同理可得，角B的外角C'和角C的外角B'满足角B+角C'=180度，角C+角B'=180度。
由此可以得出三角形的一个基本定理：三角形的三个外角的度数之和等于180度。
这个定理可以通过角度之和的性质进行证明。
对于任意一个三角形ABC，我们可以将其扩展为一个平行四边形ABCD，其中BD是三角形的外角A'的延长线。
根据平行四边形的性质，AD与角B'相等，由此可得角A+角A'=180度。
同理可证角B+角C'=180度，角C+角B'=180度。
二、外角与内角的关系三角形的内角和外角具有一定的关系。
特别地，一个三角形的内角和其对应的外角相加等于180度。
例如，对于三角形ABC，角A的外角为角A'，则有角A+角A'=180度。
这一定理可以通过补角关系进行证明。
三、外角推导及证明1. 外角与内角的关系推导在三角形中，我们可以针对某个角的外角进行推导。
假设角A的外角为角A'，则角A和角A'的和等于180度。
由此可以推论出角A'=180度-角A。
同理可得，角B'=180度-角B，角C'=180度-角C。
2. 外角和的证明根据三角形外角和的定理，三角形的三个外角的度数之和等于180度。
我们可以通过如下的证明来验证这个定理。
假设三角形ABC的内角分别为角A、角B和角C，对应的外角分别为角A'、角B'和角C'。
我们需要证明：角A'+角B'+角C'=180度。
三角形外角的性质及应用
三角形外角的性质及应用
三角形外角性质及应用
一、三角形外角性质
1、三角形外角的数量
所有三角形的外角数量为三个，每个外角的大小均为180°。
2、和三角形内角性质的关系
三角形外角性质与三角形内角性质有关，三角形内角和周长之和一定为180°，而
三角形外角和边长之和一定也是180°。
3、三角形内部性质的运用
根据三角形内部性质的关系，可以求出三角形的内外角性质，当已知其中两个角的大小时，可以求出另外一个角的大小。
二、三角形外角应用
1、三角函数的定义
三角函数的定义就是朋友三角形的外角性质，在正弦、余弦及正切函数的定义中，与角的大小有关的重要参数就是外角，这样可以用三角形外角性质来定义三角函数。
2、求解三角形边长
利用三角形外角和边长之和等于180°的性质，可以求出三角形的边长，特别是利
用正弦、余弦函数，可以准确的求解三角形的边长。
3、计算平面图形的面积
采用外角性质求出三角形的面积，可以计算出平面图形的面积，尤其是多边形，可以将多边形划分成多个三角形，然后求出每个三角形的面积，最后将这些三角形面积之和就可以得出多边形的面积。
4、从几何图形中发现规律
通过三角形外角性质中相关关系，几何图形之中也可以发现一些有趣的规律，这些规律也可以拓展到更大的空间几何图形，通过探索，也可以发现隐藏的数学定理，进而拓展数学知识面。
三角形的内角和外角
三角形的内角和外角三角形是几何学中最基本的形状之一，它由三条边组成。
在三角形内部，存在三个内角，而在三角形外部，也存在着三个外角。
本文将深入讨论三角形的内角和外角的性质和关系。
一、三角形内角的性质1. 内角定义：三角形内角是三角形的内部角度，具体可分为三个角度，分别记为∠A、∠B和∠C，对应于三角形的三个顶点A、B和C。
2. 内角和定理：在任意三角形ABC中，三个内角的和等于180度，即∠A + ∠B + ∠C = 180°。
3. 内角的大小：根据内角和定理可知，对于普通三角形，其中至少一个内角小于90度，至少一个内角大于90度。
4. 直角三角形内角：直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个内角为90度，另外两个内角之和必然为90度。
5. 三角形内角的分类：根据大小可将三角形的内角分为锐角、直角和钝角。
当三角形中的一个内角为锐角时，其余两个内角分别为钝角；当三角形中的一个内角为直角时，其余两个内角都为锐角；当三角形中的一个内角为钝角时，其余两个内角都为锐角。
二、三角形外角的性质1. 外角定义：三角形外角是指三角形的一个内角的补角，即等于360度减去该内角的度数。
2. 外角和定理：在任意三角形ABC中，三个外角的和等于360度，即∠D + ∠E + ∠F = 360°。
3. 外角与内角的关系：三角形内角与其对应的外角之和为180度，即∠A + ∠D = 180°，∠B + ∠E = 180°，∠C + ∠F = 180°。
4. 外角的分类：根据大小可将三角形的外角分为锐角和钝角。
当三角形中的一个内角为锐角时，其对应的外角也为锐角；当三角形中的一个内角为钝角时，其对应的外角也为钝角。
三、三角形内角和外角的关系1. 内角和外角的关系：在任意三角形ABC中，三角形内角和其对应的外角之和等于180度，即∠A + ∠D = 180°，∠B + ∠E = 180°，∠C + ∠F = 180°。
三角形的外角
三角形的外角关键信息项：1、三角形外角的定义2、三角形外角的性质3、三角形外角与内角的关系4、三角形外角定理的应用范围5、相关证明方法及示例6、涉及三角形外角的计算规则11 三角形外角的定义三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。
111 三角形外角的特征外角的顶点是三角形的顶点，一边是三角形的一边，另一边是三角形某一边的延长线。
112 外角的个数由于三角形的每一个顶点处都有两个外角（互为对顶角），所以三角形共有六个外角。
12 三角形外角的性质三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。
121 性质的证明假设在三角形 ABC 中，∠ACD 是∠A 的外角。
延长 BC 到 E。
因为∠ACD ＋∠ACB ＝ 180°（平角的定义），∠A ＋∠B ＋∠ACB ＝180°（三角形内角和定理），所以∠ACD ＝∠A ＋∠B，从而证明了三角形外角的性质。
122 性质的应用利用此性质可以在已知三角形的内角时，求出其外角的度数；或者在已知三角形的外角时，求出其不相邻的内角的度数。
13 三角形外角与内角的关系三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
131 关系的证明由三角形外角的性质可知，外角等于与之不相邻的两个内角之和，所以外角必然大于其中任何一个不相邻的内角。
132 关系的应用在判断角的大小关系、证明角的不等关系等问题中，常常会用到这一关系。
14 三角形外角定理的应用范围三角形外角定理适用于各种类型的三角形，包括锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。
141 在几何证明中的应用可以用于证明线段的平行、垂直关系，角的相等或不等关系等。
142 在求解三角形相关问题中的应用例如，已知部分内角和外角的度数，求其他角的度数；或者已知三角形的某些边和角的关系，通过外角定理来建立等式求解。
15 相关证明方法及示例151 利用外角定理证明角的相等关系例如，在三角形 ABC 中，若∠ACD 是外角，且∠ACD ＝∠A ＋∠B，已知∠ACD ＝∠E，可证明∠E ＝∠A ＋∠B。
7.5.2_三角形外角的性质及证明
7.5.2 三角形的外角
归纳总结]解题时 1、要注意外角与和它相邻的内角是 互补关系． 2、要注意观察各个角之间的关系， 充分利用外角的性质，找到解题突 破口。
[
例 3:已知：如图，P是△ABC内一 点，连结PB、PC 求证：∠BPC＞∠A
A P C
B
7.5.2 三角形的外角
[归纳总结] 证角的不等关系，通常 利用三角形的一个外角大于任何 一个和它不相邻的内角．当角不 具备这种关系时，可借助于辅助 线或中间量将它们转化为三角形 外角与不相邻内角的关系．
• • • • •
【归纳小结】 通过本节课的学习我的收获有： 知识： 。 思想方法： 。 体会：
达标检测答案(10分）
• 1、C • 2、120° • 3、证明：∵CD是∠ACE的角平分线 ∴ ∠1= ∠2 ∵ ∠BAC ＞∠1 ∴ ∠BAC ＞∠2 ∵ ∠2＞∠B ∴ ∠BAC ＞ ∠B
• 1、如图，若∠1=100°，∠C=70°， 则∠A = ( ) C
B 1
• 2、如图所示，∠1，∠2 ,∠3的大小关系是（ ） A、∠3＞∠1＞∠2 B、∠1＞∠2＞∠3 C、∠3＞∠2＞∠1 D、∠2＞∠3＞∠1
A
• 已知：如右图，在△ABC中， • 求证： • 证明：
A 2 1
E D
B
C
7.5.2 三角形外角的性质及证明
西江中学 孙桂琴
活动一：答案
• 1、一边 延长线 △ABC 6 3
• （1）是 (2)不是
（3）不是
判断下列∠1是哪个三角形的外角：
A 1 C B
（ 1）
A
D
B
A E
1
1
C
D
（ 2）
三角形的外角和定理
三角形的外角和定理三角形是几何学中的基本形状之一，它由三条边和三个角组成。
在研究三角形性质时，我们经常会遇到外角和。
本文将介绍三角形的外角和定理，并探讨其性质和应用。
一、外角和定理的定义在三角形中，外角是指一个角的顶点在三角形外部，角的两条边之一是三角形的一条边延长线。
外角和是指三角形的三个外角之和。
二、外角和定理的性质1. 任意一个三角形的外角和等于360度。
证明：假设三角形ABC的三个外角分别为α、β和γ，根据角度的定义可知α+β+γ=360度。
2. 外角和定理的逆命题也成立，即如果一个凸多边形的外角和等于360度，那么该多边形是一个三角形。
证明：假设凸多边形的外角和等于360度，我们可以通过逆向推导将该多边形转化为三角形，具体推导过程就不在此详述。
三、外角和定理的应用外角和定理可以应用于解决与三角形外角和相关的各种问题。
1. 判断一个图形是否能构成三角形根据外角和定理，如果一个图形的外角和等于360度，那么该图形可以构成一个三角形。
若外角和小于360度，则无法构成三角形。
2. 计算已知三角形的外角和已知三角形的三个内角之一，利用补角的概念可以计算出该内角对应的外角，然后将三个外角相加即可得到外角和。
3. 解决外角和相关的几何问题在解决几何问题中，我们常常需要利用三角形的外角和性质来求解。
例如，已知一个凸四边形的三个外角分别为60度、100度和120度，我们可以利用外角和定理求解出第四个外角的度数。
四、总结三角形的外角和定理是几何学中的重要定理之一。
它指出任意一个三角形的外角和等于360度，并应用于解决与外角和相关的各种几何问题。
通过熟练掌握外角和定理及其应用，我们可以更好地理解三角形的性质，并在解决几何问题时提供有效的方法和思路。
通过本文的介绍，我们对三角形的外角和定理有了更深入的理解，希望对读者们能够有所启发。
在实际的学习和应用中，我们应该注重理论与实践的结合，不断提升自己的数学能力和解决问题的能力。
三角形的外角性质及其证明
三角形的外角性质及其证明三角形是几何学中最基本的形状之一，它具有丰富的性质和特点。
其中之一就是三角形的外角性质，它在解决几何问题和推导定理时起到了重要的作用。
一、三角形的外角性质在任意一个三角形中，三个外角的和等于360度。
证明：假设三角形ABC的三个内角分别为∠A、∠B和∠C。
我们将三角形的内角延长，分别得到外角∠D、∠E和∠F。
由于外角是与内角相互补充，所以有以下关系：∠D = 180度 - ∠A∠E = 180度 - ∠B∠F = 180度 - ∠C现在我们来证明∠D + ∠E + ∠F = 360度：∠D + ∠E + ∠F= (180度 - ∠A) + (180度 - ∠B) + (180度 - ∠C)= 540度 - (∠A + ∠B + ∠C)由于三角形的内角和为180度，即∠A + ∠B + ∠C = 180度，所以：∠D + ∠E + ∠F = 540度 - 180度= 360度因此，三角形ABC的外角∠D、∠E和∠F的和等于360度。
二、外角与内角的关系在三角形中，一个外角等于不相邻的两个内角的和。
证明：仍以三角形ABC为例，我们来证明∠D等于∠A和∠C的和：∠D = 180度 - ∠A （根据外角与内角的关系）∠D = 180度 - (∠A + ∠B + ∠C) （根据三角形内角和为180度）∠D = 180度 - (∠A + ∠C) （∠B + ∠C = 180度 - ∠A）∠D = ∠A + ∠C （整理推导过程）因此，外角∠D等于不相邻的两个内角∠A和∠C的和。
结语：三角形的外角性质是几何学中的重要定理，它的应用范围广泛。
通过对外角性质的研究，我们可以更深入地理解三角形的结构和性质，并应用它们解决实际问题。
三角形的外角定理(一)
三角形的外角定理（一）引言概述：在几何学中，三角形是最基本的图形之一。
而研究三角形的性质和定理有助于我们更好地理解和解决几何问题。
本文将重点介绍三角形的外角定理，并从不同的角度探讨其相关概念。
正文：一、外角的定义与性质：1. 外角的定义：三角形的外角是指不在三角形内部的角，位于两个相邻内角的补角。
2. 外角与内角的关系：外角与其相邻的内角之和等于180°。
3. 外角和其他角度的关系：外角与该三角形的其他内角和两个内角的补角之间有特定的数学关系。
4. 外角和三角形的边的关系：外角与其对边的关系可以用于推导和证明三角形的其他定理。
5. 外角的运用：外角定理在解决几何问题和证明中起着重要的作用，可以帮助我们解决各种与三角形相关的数学问题。
二、外角定理的证明与推导：1. 外角定理的几何证明：通过几何方法来证明外角定理的正确性和有效性。
2. 外角定理的代数推导：通过代数方法来推导外角定理，利用三角函数和三角比值的关系来解释外角定理。
3. 外角定理的应用：探讨外角定理在实际应用中的具体用途，如测量和计算三角形的角度，以及在建筑、工程和导航等领域的应用。
三、外角定理的相关定理和性质：1. 内角定理：内角和外角的关系，以及内角之和与180°的关系。
2. 外角的性质：外角的大小和性质随着三角形形状的变化而变化。
3. 内外角的比较：比较和分析内角和外角的特点和性质，探讨它们在三角形中的作用和关系。
4. 外角的刻画：用数学方式刻画外角的特点和性质，如利用三角形的边长和角度来计算外角的值。
5. 外角定理的扩展：外角定理的推广和扩展，以及相关的数学推论和拓展。
总结：本文重点介绍了三角形的外角定理及其相关概念。
我们深入探讨了外角的定义与性质，证明和推导了外角定理，并介绍了它的应用和相关的定理和性质。
通过学习和理解三角形的外角定理，我们能够更好地解决几何问题，提升数学思维和应用能力。
三角形外角定理
三角形外角定理在学习几何学的过程中，我们经常会遇到各种各样的三角形问题。
其中，三角形外角定理是我们探究三角形性质时一个重要的定理。
本文将介绍三角形外角定理的概念、证明及应用。
一、三角形外角定理的概念三角形外角定理是关于三角形外角与三角形内角之间关系的一个重要定理。
它的表述是：“三角形的一个外角等于它对应的两个内角的和”。
具体来说，对于任意三角形ABC，若D是BC延长线上一点，那么∠ACD = ∠ABC + ∠ACB。
这里BC是三角形ABC的一条边，∠ACD 称为三角形ABC的外角，∠ABC和∠ACB称为三角形ABC的内角。
二、三角形外角定理的证明下面我们来证明三角形外角定理。
证明：三角形ABC中，延长边BC至一点D。
我们假设延长线BD相交于点E。
根据直线平行定理，可以得出∠BCD = ∠BEC。
根据内角和定理，可以得出∠ABC + ∠BAC + ∠ACB = 180°。
由此可以得出∠ACB = 180° - (∠ABC + ∠BAC)。
进一步，根据∠BCD = ∠BEC和∠BAC = ∠ACB，可以得出∠ACD = ∠ABC + ∠ACB。
因此，根据∠ACD = ∠ABC + ∠ACB和∠ACB = 180° - (∠ABC + ∠BAC)，我们可以得出∠ACD = 180° - ∠BAC。
三、三角形外角定理的应用三角形外角定理在解决三角形问题时有广泛应用。
1. 利用三角形外角定理推导其他定理通过三角形外角定理，我们可以推导出其他的三角形定理。
例如，利用三角形外角定理可以证明三角形内角和为180度的定理。
2. 计算三角形内角已知三角形的一个外角和另外两个内角，可以利用三角形外角定理求解第三个内角。
这对于解决相关的几何问题非常有用。
3. 解决三角形的旁心定理问题三角形的旁心是指三角形外接圆的圆心，与三角形的顶点分别相连的线段被称为角平分线。
利用三角形外角定理可以推导出三角形的旁心定理，即三角形的三条角平分线交于一点，这个点就是三角形的旁心。
三角形的外角特征三角形的外角性质三角形的外角和等于多少
一、三角形的外角性质①顶点是三角形的一个顶点，一边是三角形的一边，另一边是三角形的一边的延长线。
②三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和。
③三角形的一个外角大于与它不相邻的任一内角。
④三角形的外角和为360°。
三角形的外角：三角形的一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角，叫做三角形的外角。
性质：①顶点是三角形的一个顶点，一边是三角形的一边，另一边是三角形的一边的延长线；②三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；③三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
三角形的外角和定理：三角形的外角和是360°。
三角形的外角特征：①顶点在三角形的一个顶点上，如∠ACD的顶点C是△ABC的一个顶点；②一条边是三角形的一边，如∠ACD的一条边AC正好是△ABC的一条边；③另一条边是三角形某条边的延长线如∠ACD的边CD是△ABC的BC边的延长线。
三角形的外角性质：①. 三角形的外角与它相邻的内角互补。
②. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
③. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
④. 三角形的外角和等于360°。
设三角形ABC 则三个外角和=（A+B）+（A+C）+（B+C）=360度。
定理：三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和。
定理：三角形的三个内角和为180度。
三角形的外角和是多少度三角形的外角是三角形的一边与另边的反向延长线组成的角，三角形的外角之和为360°。
三角形的每个顶点处都有两个相等的外角，所以每个三角形都有六个外角。
三角形的一个外角大于与它不相邻的任一内角，且三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和。
三角形的一条边与另一条边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。
外角的个数等于多边形边数的两倍。
三角形外角和是360°。
三角形一个内角的一边与另一边的反向延长线所夹的角。
亦即“三角形内角的邻补角”。
三角形的每个顶点处都有两个相等的外角，所以每个三角形都有六个外角。
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25° A
95° B
D
E
1
A
D 145°
C
1 A
55° B
20° B
30° C
把图中∠1、 ∠2、 ∠3按由大到小的 顺序排列
∠1 ＞∠2 ＞∠3
例题1
已知: 如图，在△ABC中,
AD平分外角∠EAC,∠B=∠C.
求证：AD∥BC.
E
方法一
A
D
方法二 方法三
B
C
我们知道三角形的内角和是180°， 那么三角形的外角和是多少？
(3)求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度数
A
B
G
E
F
解：∵∠A+ ∠C= ∠EFA
∠B+ ∠D= ∠EGD
D
C
∠EGD + ∠EFA + ∠E = 180°
∴ ∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E= 180°
（4）如图，试计算∠BOC的度数．
A
90º D
110°
20º O B
30º
C
（5）如图，在直角△ABC中，CD是
A
B
C
D
∵∠ACD + ∠ACB=180 °， ∠A+ ∠B+ ∠ACB=180 ° ∴∠ACD= ∠A+ ∠B。
（２）如图：
过点C作C E∥A B 。 ∴∠1=∠ B，∠2=∠A。 ∴∠A CD=∠1+∠2=∠B+∠A。
A
E
E
21
B
C
D
三、归纳： 三角形外角的性质：
（１）三角形的一个外角等于 和它不相邻的两个内角的和；
∠C=80°，∠A=45°，
求∠B的度数。
B
AF
E
C
D
已知D是△ＡＢＣ的BC边上一 点，∠B=∠BAD， ∠ADC=80° ， ∠BAC=70 ° ，求∠Ｂ， ∠Ｃ的 度数。
A
B
D
C
练一练（1）
B
A
1 N3
P
F
C
2M
D
E
∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝ 360°.
（2）.已知图中∠A、∠B、∠C分别为80°， 20°，30°，求∠1的度数
（２）三角形的一个外角大于任 何一个和它不相邻的内角。
如图：D是△ABC边BC上一点， ∴∠ADC= ∠DAB+ ∠B 。
∴∠ADC> ∠DAB, ∠ADC> ∠B。 问： ∠ ADB= ∠_D__A_C_+ __∠_C__。
A
B
D
C
练习1：求下列各图中∠1的度数。
A
l
1
30° B
75° C
D C
注意：我们讲三角形的外角和时， 在三角形的每一个顶点处只取一个 外角。
例3.如图，已知∠1，∠2，∠3是△ABC 的外角，求证： ∠1+∠2+∠3=360°
A 1
3 B
C 2
（3）三角形三个外角和是 360°
练习：在△ ABC中， ∠A+ ∠B=100°， ∠C=4∠A， 求∠A，∠B及与∠C相邻的外角。
三角形外角的性质及证明
1、画一个△ABC。 2、指出它所有的内角。 3、延长线段BC至D，给∠ACD取名。
A
B
C
D
1、外角的概念：三角形的一边与另
一边的延长线所组成的角叫做三角形
的外角。
A
思考：
B
C
D
1、
△ABC有多少个外角？
2、作出△ABC的所有外角，并说出来。
判断下列∠1是哪个三角形的外角：
斜边AB上的高，∠BCD＝35°，
求∠A与∠EBC的度数.
E
B
D
35°
A
C
此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！ 感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢
A
A
1
C B
（1）
A
1
C B
（3）
D
1
C
B D
D
（2）
A
E
F
1G
B
C
（4）
二、新知探索
做一做： 如图，在△ABC中，∠A=80°、 ∠B=45°你能的得到∠ACD的度数吗？ ∠ACD与∠ A，∠B有什么关系？若任意 三角形，看看会出现什么结果？
A
B
C
D
探索： （1）你能从理论上证明刚才的猜想吗？
练习、△ABC中，点D在BC上，点F 在BA的延长线上，DF交AC于点E， ∠B=42° ，∠C=55° ，∠DEC=45， 求∠F
1、三角形外角的两条性质
① 三角形的一个外角等于与它不相邻 的两个内角的和。 ②三角形的一个外角大于任何一个与它 不相邻的内角。 2、三角形的外角和是360°。
已知，如图，AE∥CD，