离散型随机变量的数学期望(均值)

则平均成绩为： E 1 (1 1 2 4 3 7 4 6 5 2)
20 1 1 2 4 3 7 4 6 5 2 3.2
20 20 20 20 20
(2)均 值 xi P(xi )的 计 算 中 ，x1, x2 ,的顺序变化在无 穷时
i
可能影响求和，为保证 xi P(xi )的值不因求和次序改变而
解
X
的密度函数为：f
x
b
1
a
,
a x b;
0,
其 它.
b
E(X)
x
dx
ab.
a ba
2
E(X ) a b 2
例9-2-2 设随机变量服从指数分布 X ~ e 求数学期望 E( X )
解
X 的密度函数为：
f
x
e
x
,
0,
x 0; 其 它.
E( X ) x e x dx t x 1 tet dt 1 1 1 1
g( xi , y j ) p( xi , y j )
ki j
ij
4.已知连续变量（X ,Y）的f (x, y)和其函数Z g(X ,Y ) :
Eg( X ,Y ) g( xi , y j ) p( xi , y j ) g( x, y) p( x, y)
ij
xy
x
y
g(
x,
y)
P(D) D
E(X)
xi P(xi )
xi f ( xi )xi
xf ( x)dx
i 1
i 1
Y g( X )时，E(Y ) E[g( X )]
g( x)P( x) g( x) f ( x)dx
x
Z g( X ,Y )时，Eg( X ,Y ) g( xi , y j )P( xi , y j )
例9-1-2 设随机变量 X ~ Bn, p，求数学期望 E( X )
解
P
X m
C
m n
p
m
q
nm
,
m 0,1, 2,n, 0 p 1, p q 1,
n
n
E( X ) ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
mC
m n
p
m
q
nm
mC
m n
pm
q
nm
m0
m 1
n
m
m
n!
!n
m!
pmqnm
m 1
第九讲 均值与矩
n
np
ij
g( x, y) f ( x, y)dxdy
2.例题讲解：
第九讲 均值与矩
例9-4-1
设二维随机变量 ( X, Y ) 服从区域D={(x , y)| 0≤x≤1,0≤y≤x }
上的均匀分布,求:E(X), E(Y), E(XY).
解： SD
1
dx
0
x dy 1；由均匀分布定义：
第九讲 均值与矩
E( X ) m(1 p)m1 p p m(1 p)m1
m 1
m 1
由 级 数 结 论 ：1
xm .两边 求导：
1 x m1
（ xm） ＝ （
1
） ， 即 ： mxm1
1
m 1
1 x
m 1
(1 x)2
E(X )
p m(1
m1
p)m1
p
1
[1 (1
D
x
y
g(
x,
y)
f
(
x,
y
)D
Eg(X ,Y )
g( x, y) f ( x, y)dxdy
第九讲 均值与矩
概括：二维要用一维推，两次求和二重积
概括各类情况的均值公式
定义：E( X ) xi P( xi ) xP( x)
i 1
x
若X连续，则令P( xi X xi x) P( xi ) f ( xi )xi ,
zk g( xi , y j ), 其 中 ：i 1,2,, j 1,2,.
P(zk )
P( xi , y j ),由 函 数 的 均 值 定 义
ij
Eg( X ,Y ) E(Z ) zk P(zk ) zk p( xi , y j )
k
ki j
g( xi , y j ) p( xi , y j )
1
0 2
t 2et
1
dt
1
2
t 31etdt
0
1
1
2
2
2 (3) 2 (2 1) 2 (2) 2
x1exdx [( 1) ( ), (n) (n 1)!] 0
第九讲 均值与矩
四. 二维随机变量条件下的单变量数学期
1望.已知离散变量（X ,Y）的P( xi , y j ) :
i
改变，要求 xi P(xi )绝对收敛，E( X )才有意义，由于常见
i
的 随 机 变 量 都 满 足 这 一要 求 ， 因 此 一 般 不 去 验证 绝 对 收 敛 性
3.例题讲解
第九讲 均值与矩
例9-1-1 设随机变量 X 服从“0—1”分布，求数学期望
解
E( X ) 0q 1 p p.
i 1
i 1
i 1
xi
P( xi
X xi
xi
x) xi
i 1
xi
f ( xi )xi
第九讲 均值与矩
根 据 离 散 变 量 数 学 期 望定 义 ：
E( X )
由定积
xi P( xi )
i 1
分 定 义 ，lim x 0
lim
n i
xi f
i 1
xi f ( xi )x
1
( xi )x
0
2
y
y=x
2, 0 x 1, 0 y x
f ( x, y) 0.
其它.
+
E( X ) =
xf ( x, y)dxdy
1x
1
x
2xdxdy 2xdx dy
1 2x2dx 2
0
0
0
3
D
E(Y ) = + yf ( x, y)dxdy
2 ydxdy
1
2dx
m 1
m
n 1!
1!n 1
m
1!
pm1q nm
n
np
C
m 1 n1
p
m 1 q
nm
m 1
n1
np
C p q m1 m1 n1(m1) n1
m 1 0
np p q n1 np E( X ) np
第九讲 均值与矩
例9-1-3 设随机变量 X ~ P，求数学期望E(X ).
解 PX m m e , m 0,1, 2,. m!
第九讲 均值与矩
本次课讲授第三章第1，2，3，4，6节，数学期 望与中心距
下次课讲授第三章第4，5，6,7,8节，方差，矩， 相关系数
下次上课时交作业P35—P36 重点：数学期望的概念，性质与求法
难点：变量函数与二维变量均值的求法
第九讲 均值与矩
一、离散型随机变量的数学期望（均值）
1.定义： 设X 是一离散型随机变量，其分布列为 ：
PX ( xi ) P( xi , y j ),由 均 值 定 义 ：
j
E( X ) xi PX ( xi )
xi P( xi , y j )
i
ji
类似地，E(Y ) y j PY ( y j )
y j P( xi , y j ).
j
ji
2.已知连续变量（X ,Y）的f (x, y) :
概率近似定义点xi的概率，再求xi Pi的和即可
设X [a,b],密度为f ( x), f ( x) F ( x),划分[a,b],
a x0 x1 xn b
令P( xi X xi x) P( xi ),则：
E( X ) xi P( xi ) xi P( xi X xi x)
2.连续型一维变量函数的均值定义x
用 离 散 变 量 函 数 的 定 义形 式 ， 并 用 区 间 概 率 取代 点 概 率
概括：函数期望代变量 ，幂指出现伽马积。
第九讲 均值与矩
E(Y
)
E[ g( X
)]
x
g( x)P( x)
x
g( x)
P(x
X x
x
x)
x
g( x) f ( x)x g( x) f ( x)dx
E( X ) m m e e m1
m0 m!
m1 m 1 !
e
m1
e x xk x
m10 (m 1)!
k0 k!
e e
E(X )
例8-3-4:几何分布 G(P) 试求几何分布G(P)的数学期望
解：P( X m) p(1 p)m1, m 1,2,
第九讲 均值与矩
解
3
3
3
E(Y ) yi p( yi ) g( xi ) p( xi ) xi2 p( xi )
i 2
i 2
i 2
(2)2 0.10 (1)2 0.20 02 0.25 12 0.20 22 0.15 32 0.10
2.30
例9-3-2 已知X ~ P(),试求E( X 2 )
P( yi ) P[g( xij )].则 由 均 值 定 义 ：
j
E(Y ) E[g(X )] yi P( yi )
g( xij )P( xij ) g( x)P( x)
i
ij
x
即g( X )取 遍 所 有 的X的 值 的 概 率
则定义随机变量函数Y gX 的数学期望为：
E(Y ) E[g( X )] g( x)P( x)
x
X
的分布密度为 f x，则定义随机变量函数
Y
gX
的数学期望为：
E(Y
)
EgX
gx
f
xdx
[注]：假定积分
g
x
f
x
dx
绝对收敛。
例9-3-1 设随机变量 X 的概率分布为：
X
-2 -1 0 1 2 3
PX xi 0.10 0.20 0.25 0.20 0.15 0.10
求随机变量函 数 Y X 2的数学期望.
λe -λt f (t)
0
t0 t0
( 0)
求:系统工作寿命 T 的数学期望.
第九讲 均值与矩
解: 因为X, Y 相互独立,所以
λ2e-λ( x+ y) f ( x, y)
0
x 0, y 0 其它
( 0),
由T
g(X,Y )
max(X ,Y )
解：实际上Y X 2求E(Y )
E( X ) k k e e k1 ee
k0 k!
k0 (k 1)!
E(X 2 ) g(k)P(k) k2 k e
k0
k0 k!
(k 2
k
k
k)
e
k(k 1) k e
k k e
k0
k!
k0
k!
k0 k!
第九讲 均值与矩
2
0
x1exdx
0
[( 1) ( ), (n) (n 1)!]
概括：0 连续概率换密度，求和变成样本积；
均匀一半a加 b，指数系数分之一。
第九讲 均值与矩
三、随机变量函数的数学期望
1.离散型一维变量函数的均值定义
设 离 散 随 机 变 量X的 函 数Y gX ， 则yi { xij / yi g( xij )}
x ydy 1
D
0
0
3
第九讲 均值与矩
+
E(XY ) =
xyf ( x, y)dxdy
1
x
1
2xydxdy
D
0 2xdx0
ydy
4
例9-4-2 一个系统由两个子系统并联而成,若只有一个子系统发生故障,
系统还能正常工作,设两个子系统的工作寿命分别为:X,Y,
且相互独立,并服从相同的指数分布:
f X ( x)
f ( x, y)dy,由均值定义：
E(X )
xf X ( x)dx
x( f ( x, y)dy)dx
xf ( x, y)dxdy
同理：E(Y )
yfY ( y)dy
yf ( x, y)dxdy
第九讲 均值与矩
3.已知离散变量（X ,Y）的P( xi , y j )和函数Z g( X ,Y ) :
p)]2
1 p
X ~ B(n. p), E( X ) np;
X ~ P(), E(X ) ;
X ~ G( p),E(X ) 1 p
概括：离散变量乘概率，必然求和是均值；
泊松二np , 几何级数导概率。
第九讲 均值与矩
二. 连续型随机变量的数学期望 1.定义背景
因 为 连 续 型 随 机 变 量 是定 义 在 区 间 上 的 ， 所 以须 要 利 用 区 间
k2 e E( X ) 2ee 2
k2 (k 2)!
例9-3-3 设X ~ e(),试求E( X 2 )
解
：
由
已
知
：f
x
e
x
,
0,
x 0;，Y g( X ) X 2 其 它.
E(Y )
yf ( y)dy
g( x) f ( x)dx
＋ x2exdx
0
令t x, dx 1 dt,则E( X 2 )
xf
(
x
)dx
即：E( X
)
xf
( x)dx
2.定义：
设X为连续型随机变量, 其概率密度为 f x, 则X的数学期望为:
E( X )
xf
x
dx
[注] 假定广义积分绝对收敛, 即 x f xdx存在.
3.例题讲解：
第九讲 均值与矩
例9-2-1 设随机变量 X ~ U[a, b] , 求数学期望 E(X ).
X
x1 x2 xi
p( X xi ) p1 p2 pi
当级数 E( X ) xi pi 绝对收敛时。 称 E( X ) xi pi
i
i
为随机变量 X 的数学期望，又称均 值
2.均值背景与说明
（1）期望源自平均值之意：例如，某班20名学生，英语成 绩按照5分计，该班学生成绩分布为
第九讲 均值与矩