第四讲 流体动力学基本方程 (1)理想流体

一、y 方向的质量力
dFmy = dx dy dz fy 二、y方向的表面力
p 左表面： p y p 右表面： p y
dy dxdz 2 dy dxdz 2
p y
—— 压强沿 y 方 向的变化率
4-3 理想流体的运动微分方程
三、y方向的运动方程（力平衡关系式）
4-3 理想流体的运动微分方程
由动量守恒原理，物质体中的流体质点总动量变化率 等于合外力，则
d ( v)dV F dt MV
代入雷诺输运方程，得 ( v ) v d A ( ( v )dV ) F t CV CS
高斯定理 CV为空间固定范围
4-1 雷诺输运方程
二、雷诺输运方程
物理量的输运(Transport)或传递(Transfer)是流体动力 学的主题，流体动力学基本方程讨论的都是运动流体各 物理量的输运与守恒

质量输运——连续性方程 动量输运——欧拉方程、N-S方程 能量输运——伯努力方程、传热方程

组分输运——传质方程
在雷诺输运方程中，如果物理量为动量mv，则G = ρv， 则雷诺输运方程则可写为：
d ( v)dV ( v)dV ( v) v dS dt MV t CV CS
(1) (2) (3)
(1)：物质体中动量的随体导数
(2)：控制体中动量的增加率 (3)：通过控制表面的净动量通量
该式是欧拉运动微分方程，是动量守恒定律在理想流体 运动中的表现：外力的冲量=动量的改变量。
由于研究的对象是理想流体，流体微团所受的表面力只 有正压力而无内摩擦力（切应力），外力的表现形式与平 衡流体具有同样形式。
4-3 理想流体的运动微分方程
方程组的封闭性问题
在一般情况下，作用在流体上的质量力fx、 fy 和 fz 是已知
微分形式连续方程
A
4-2 连续性方程
二、连续性方程的一般形式
特例1：定常流动
定常流动中，流体任何空间点处的密度不随时间变化， 0 t 定常流动的连续方程式为： v 0 直角坐标系下：
( vx ) ( vy ) ( vz ) 0 x y z
4-3 理想流体的运动微分方程
同理，可推得在 x、z 方向有：
1 p dvx fx x dt 1 p dvy fy y dt 1 p dvz fz z dt
理想流体的运动微分方程 （欧拉运动微分方程）
4-3 理想流体的运动微分方程
也可以从雷诺输运方程角度来得到欧拉方程：
方程式适用于不可压缩的定常流动和非定常流动。
4-2 连续性方程
[例3-2] 假设已知平面流动的速度分布为
u ax 2 y 2 x, v xy by
如果流体不可压缩，试求a, b之值。
解: u v 2ax 1 x b 0 x y
要使上式成立, 必有a 0.5, b 1.
d1 0.5 v2 v1 2 0.5 m/s 1 d2
2
v2 d1 4 v1 d 2
2
4-2 连续性方程
二、连续性方程的一般形式
在流场中选取任意形状的控制体，其体积为V，表面 积为A，则：
n
v
通过dA的单位时间的质量流出率为： v dA
4-2 连续性方程
二、连续性方程的一般形式
特例2：不可压缩流体流动
不可压缩流体的密度既不随时间变化，也不随空间变化
0 v v t 不可压缩流动的连续方程式为： v 0 v 0
vx v y vz 直角坐标系下： 0 x y z
v v v dV F t CV
d v dt 选取控制体为如图所示流体微团，则：
dvx 1 p fx dt x dvy 1 p fy dt y dvz 1 p fz dt z
由牛顿第二定律： Fy = may 即：
p dy dxdydz f y p dxdz y 2 p dy p dxdz ma y y 2
得：
1 p dvy fy y dt
—— 单位质量流体在 y 方向上运动规律的数学 表达式
二、雷诺输运方程
d GdV GdV Gv dS dt MV t CV CS
(1) (2) (3) 雷诺输运方程的物理意义： 某瞬间控制体对应的物质体，它所具有的物理量的变化 率，等于控制体中所含有同一物理量的变化率与该物理 量通过控制面的净流出率之和
4-1 雷诺输运方程
二、雷诺输运方程
d GdV GdV Gv dS dt MV t CV CS
(1) (2) (3) (1)：物质体中某物理量的随体导数 (2)：控制体中该物理量的变化率（增加率） (3)：物理量通过控制表面的净通量（流出率）
4-1 雷诺输运方程
4-2 连续性方程
在雷诺输运方程中，如果物理量为质量，即G = ρ， 则雷诺输运方程则表现为流体的连续性方程：
d dV dV v dS dt MV t CV CS
(1) (2) (3) (1)：物质体中质量的随体导数
(2)：控制体中质量的增加率
(3)：通过控制表面的净质量通量
CS
4-2 连续性方程
一、一元流动的连续性方程
代入得一元流体的连续性方程式： m 2 q2 1q1 0 t m 即： 1q1 2 q2 t m v A v A 或： 1 1 1 2 2 2 t 单位时间内流入、流出控制体的
流体质量之差等于该控制体内流
的，对理想不可压缩流体其密度ρ为一常数
在这种情况下，方程组中有四个未知数u、v、w和p，而方 程仅有三个 为此需加上不可压缩流体的连续性方程，这样方程组封闭， 从理论上提供了求解的可能性。
4-2 连续性方程
【例3-1】 有一输水管道，如图所示。水自截面1-1流向截 面2-2。测得截面1-1的水流平均流速v1 2 m/s，已知d1=0.5m， d2=1m，试求截面2-2处的平均流速 v2 为多少？ 【解】 由公式 v1 A1 v2 A2 得
v1

4
d12 v2
2

4
2 d2
4-3 理想流体的运动微分方程
在流场中取出一个正平行六面体 流体微团。dV = dxdydz. 在某瞬时 t： 形心A( x, y, z ) 处的压强为 pA( x, y, z, t )， 形心A( x, y, z ) 处的速度为 vx, vy, vz
4-3 理想流体的运动微分方程
作用在微元平行六面体上的力有质量力和表面力。 以 y 方向为例分析受力。
二、连续性方程的一般形式
也可以从质量守恒的角度来得到连续方程。对如图 所示任意选取的空间域，质量守恒定律的描述为： V内流体质量增加(减少)
n
v
= 单位时间内流进(流出)A的质量流量 ( dV ) v d A t V A
积分形式连续方程
dA
V
v 0 t
dA
通过A的单位时间的净质量流量为： v dA
A
V
控制体单位时间的质量变化率为： ( dV ) t V
A
4-2 连续性方程
二、连续性方程的一般形式
由质量守恒原理，物质体中的流体质点总质量始终保 持不变，则 d d dV (mass in MV)=0 dt MV dt
代入雷诺输运方程，得 v d A ( dV ) 0 t V A
高斯定理
积分形式连续方程
V为空间固定范围
v dV
V

V
dV 0 t
4-2 连续性方程
二、连续性方程的一般形式
由于V是任意选取的，可以去掉积分符号：
由dV=dxdydz
4-3 理想流体的运动微分方程
dvx 1 p fx dt x dvy 1 p fy dt y dvz 1 p fz dt z
欧 拉 运 动 微 分 方 程 欧 拉 平 衡 微 分 方 程
1 p fx 0 x 1 p fy 0 y 1 p fz 0 z
v 0 t
该式是流体的连续方程式，是质量守恒定律在流体运动 中的体现，是一切流体运动必须遵循的普遍原则。 直角坐标系下，连续方程式可写为：
vx v y vz 0 t x y z
4-2 连续性方程
随流体运动而运动或变形
物质表面(Material Surface):

物质体积的封闭表面

流体质点不能通过
4-1 雷诺输运方程
二、雷诺输运方程
d GdV GdV Gv dS dt MV t CV CS

G：物理量的集度 MV： Material Volume，即物质体 CV： Control Volume，即控制体 CS： Control Surface，即控制面
4-2 连续性方程
一、一元流动的连续性方程
(1)：物质体中质量的随体导数
由物质体的的定义，它总是包含相同质量的流体，因此
d dV 0 dt MV
(2)：控制体中质量的增加率 m m dV t CV t t (3)：通过控制表面的净质量通量 v dS 2 q2 1q1
流体动力学仿真
电子科技大学
机械电子工程学院
第四讲 流体动力学基本方程
Lecture 4
Basic Equations in Fluid Dynamics
流体动力学基本方程 (1)
4-1 雷诺输运方程
4-2 连续性方程 4-3 理想流体的运动微分方程 4-5 理想流体的伯努力方程
4-1 雷诺输运方程
v v v dV t dV F CV CV
4-3 理想流体的运动微分方程
v v v dV F t CV
d v dt 选取控制体为如图所示流体微团，则：
一、控制体与物质体
控制体 (Control Volume):

由一个固定空间构成的体积
在不同时刻由不同的流体质点
占据
控制面 (Control Surface):

控制体的封闭表面 流体质点可自由通过
4-1 雷诺输运方程
一、控制体与物质体
物质体(Material Volume):

由系统的流体团构成的体积
d vx p dV Fx f x dV dxdydz dt x d vy p dV Fy f y dV dydxdz dt y d vz p dV Fz f z dV dzdxdy dt z
4-3 理想流体的运动微分方程
体质量（密度）的变化率。
4-2 连续性方程
一、一元流动的连续性方程
1、定常流动
m 0 则： t
1v1 A1 2v2 A2 C
2、对于不可压缩流Байду номын сангаас流动
= Const
则： v1 A1 v2 A2 vA C
即：流过流束各断面的流量都相等，但流速与过流断 面/有效截面面积成反比，有效截面面积大的地方平均流 速小，有效截面面积小的地方平均流速大。