利用三角形全等测距
5.7 利用三角形全等测距离
5.7利用三角形全等测距离57利用三角形全等测距离在我们的日常生活和实际工作中，常常会遇到需要测量距离但又难以直接测量的情况。
这时候，巧妙地利用三角形全等的知识，就能够帮助我们解决这些难题。
想象一下，有一条河流横在我们面前，我们想要知道河对岸某一点到我们所在位置的距离。
直接测量显然是不可能的，但是我们可以通过三角形全等的方法来间接得出这个距离。
首先，我们在河的这一边选定一个点 A，然后在与 A 点相对的河岸上选取一个容易到达的点 B。
接着，从 A 点出发，沿着与河岸垂直的方向走一段距离，到达点 C，并且测量出 AC 的长度。
然后，保持方向不变，继续往前走相同的长度，到达点 D。
此时，连接点 B 和点 D，并测量出 BD 的长度。
在三角形 ABC 和三角形 DBC 中，因为 BC 是公共边，AC ＝ DC （我们刚刚走的两段相同长度的距离），且角 ACB ＝角 DCB ＝ 90 度（我们是沿着与河岸垂直的方向走的），所以根据直角三角形全等的判定定理“斜边、直角边”（HL），可以得出三角形 ABC 全等于三角形 DBC。
由于三角形全等，所以 AB ＝ BD。
我们测量出了 BD 的长度，也就知道了河对岸点 B 到我们最初位置 A 的距离。
再比如，在一个空旷的场地上，有一个旗杆，我们想要知道旗杆的高度，但是直接测量旗杆顶部到地面的距离是很困难的。
这时候，我们可以利用三角形全等的原理来解决。
找一根长度已知的直杆，比如一根 2 米长的杆子。
将这根杆子竖直立在地面上，在杆子影子的顶端标记一个点 E。
同时，测量出此时杆子影子的长度 CE。
然后，让旗杆的影子和杆子的影子在同一直线上，并且在旗杆影子的顶端标记一个点 F。
测量出旗杆影子的长度 CF。
因为太阳光线是平行的，所以角 AEF ＝角 ABC ＝ 90 度，角 AFE ＝角 ACB（光线照射形成的角度相同）。
在三角形 AEF 和三角形 ABC 中，因为角 AEF ＝角 ABC，角 AFE ＝角 ACB，所以三角形 AEF 相似于三角形 ABC。
利用三角形全等测距离 优秀教案
《利用三角形全等测距离》教学设计一教材分析：利用三角形全等进行测距离，为学生以后学习平面几何中的三角形相似的判定、四边形等内容打下坚实的基础.二、教学目标：（一）、知识与技能1．能利用三角形的全等解决“测量不可到达的两点间的距离”的实际问题.2．能在解决实际问题的过程中进行有条理的思考和说理表达.3．经历探索设计构造全等三角形测距离的过程中，培养学生思维的逻辑性和发散性. 4．掌握利用三角形全等“测距离”的延长全等法、垂直全等法.（二）、数学思考使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理的能力。
（三）、解决问题使学生学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果.（四）、情感态度和价值观1．通过案例，激发学生的积极性，感受数学与生活的密切联系.2．形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯..三、教学重难点重点：学会利用三角形全等的知识将“不可测量的距离”转化为“可测量的距离”.难点：如何构建两个全等的三角形，把实际问题转化为数学问题（即建模），并在解决问题的过程中进行有条理的思考和表达。
四、学情分析：学生在本章的前几节内容中已经学习了“三角形”，“全等三角形”以及“探索三角形全等的条件”。
尤其是通过探索三角形全等，得到了“边边边”，“角边角”，“角角边”，“边角边”定理，用这些定理能够判断两个三角形是否全等,掌握了这些知识，学生就具备了“利用三角形全等测距离”的理论基础。
学生在前几节内容中已经经历过解决实际问题的过程，具备了一定的分析问题和解决问题的活动经验。
五、教法及学法：教法：发现法、启发猜想；学法：小组合作交流六、教具及学具：教具：课件、多媒体；学具：三角尺、铅笔、练习本.七、课时安排：1课时八、教学过程：环节一、复习提问：1.全等三角形的 对应边 相等， 对应角 相等.2.三角形全等的条件： ① “边边边”或“SSS ”. ② “角边角”或“ASA ”. ③“角角边”或“AAS ”. ④ “边角边”或“SAS ”. 环节二、探究新知： 例题1：在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望.为了炸掉这个碉堡，需要知道碉堡与我军阵地的距离．在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，（只知道每步的步长约0.5m ）该八路军战士是怎么做到的呢？分析：①.不可到达的距离；②.每步的步长约0.5m,；③.军帽.办法：他面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己所在岸的某一点上；接着，他用步测的办法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡间的距离．.如图：战士所讲述的方法中，条件和结论是什么？已 知：如图，在△ABC 中， ∠BAH= ∠CAH ， AH ⊥BC. 求 证：BH=CH.解：因为AH ⊥BC ，所以∠AHB=∠AHC=90°，又因为∠BAH=∠CAH ，AH=AH.所以△ABH ≌△ACH （ASA ） 所以BH=CH （全等三角形的对应边相等）归纳：利用三角形全等变不可测量的距离为可测距离.例题2. 如图，A ，B 两点分别位于一个池塘的两端，小明只带了三角尺和绳子，他想用绳子测量 A ，B 间的距离，但绳子不够长，请帮他想想办法，解决这个问题. 1.分析：①AB 不可测量；②绳子.2.方法：先在地上取一个可以直接到达 A 点和B 点的点C ，连接 AC 并延长到 D ，使CD = CA ；连接BC 并延长到E ，使CE = CB ，连接DE 并测量出它的长度，DE 的长度就是 A ，B 间的距离.解：在△ABC 和△DEC 中，因为AC = DC ，∠ACB = ∠DCE ，BC = EC ， 所以△ABC ≌ △DEC ，（SAS ）所以 AB = DE .（全等三角形的对应边相等） 3.4.归纳：运用了延长或垂直的方法构造了两个全等的三角形，将不可测距离为可测距离.EDE（设计意图：通过设计作品，学生巩固了三角形全等的条件与性质，累积了数学活动的经验 ） 环节三、巩固训练：1. 如图所示，已知AC=DB ，AO=DO ，CD=100 m ，则A ，B 两点间的距离( A ).A.等于100 mB.小于100 mC.大于100 mD.无法确定2．如图要测量河两岸相对的两点A 、B 的距离，先在AB 的垂线BF 上取两点C 、D ，使CD=BC ，再定出BF 的垂线DE ，可以证明△EDC ≌△ABC ，得ED=AB ，因此，测得ED 的长就是AB 的长.判定△EDC ≌△ABC 的理由是( B )A.SSSB.ASAC.AASD.SAS\BA●●D CEF（设计意图：使学生对本节课的知识，进一步的理解、巩固、提高）环节四、课堂小结：通过本节课的内容，你有哪些收获？1.知识目的：变不可测距离为可测距离.依据：全等三角形对应边相等的性质.关键：构造全等三角形.2.方法（1）延长法构造全等三角形；（2）垂直法构造全等三角形.环节五、布置作业：习题4.10第1题和第2题.环节六、板书设计：环节七、教学反思：本节课的教学重点是如何让学生学会能利用三角形全等的条件解释生活中的实际问题。
利用三角形全等测距离
利用三角形全等测距离2篇文章1一、什么是三角形全等测距离？三角形全等测距离是指通过观察和测量三角形的各个边长和角度，来确定两个或多个三角形之间的距离。
在实际应用中，我们常常需要测量一些无法直接测量的物体的距离，而三角形全等测距离提供了一种有效的方法。
通过观察和测量三角形的特征，我们可以推导出相似三角形之间的比例关系，从而计算出距离。
二、如何利用三角形全等测距离测量距离？要进行三角形全等测距离的测量，我们需要以下步骤：步骤一：选择一个可测量的标志物体。
在测量过程中，我们需要选择一个已知距离的标志物体作为参照。
这个标志物体可以是任何形状的物体，但是必须要有明确的测量标准。
例如，我们可以选择一根知道长度的杆子或测量单位已知的标尺作为参考。
步骤二：确定视角。
为了进行距离的测量，我们需要确定测量者与被测量物体之间的视角。
视角的选择将直接影响到后续的测量结果。
步骤三：观察和记录。
通过眼睛观察被测物体和标志物体之间的角度和边长关系，并将其记录下来。
这些记录将作为计算距离的依据。
步骤四：计算距离。
利用已知角度和边长的比例关系，我们可以通过简单的几何运算计算出待测物体与标志物体之间的距离。
具体的计算公式可以根据实际情况进行调整，但原理是相同的。
三、三角形全等测距离的应用领域三角形全等测距离在现实生活中有广泛的应用。
以下是其中一些应用场景：1.地图测量在绘制地图时，我们需要准确测量不同地理特征之间的距离，并将其绘制到比例尺上。
利用三角形全等测距离，我们可以通过测量一些关键标志物体之间的距离来计算出其他位置的距离。
2.建筑设计在建筑设计中，我们常常需要测量建筑物与周围地物的距离。
例如，在规划一片土地时，我们需要计算出建筑物与道路、河流等的距离。
通过利用三角形全等测距离，我们可以准确测算出各个位置之间的距离。
3.导航系统导航系统需要准确测量车辆或行人与目标地点之间的距离。
通过利用三角形全等测距离，我们可以在导航系统中引入三角测量的原理，从而提供准确的距离信息。
初中数学利用三角形全等测距离
初中数学利用三角形全等测距离一、证明三角形全等的条件:（1）“SSS”：三边对应相等的两个三角形全等。
（2）“ASA”：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
（3）“AAS”：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
（4）“SAS”：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
（5）“HL”：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
二、全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应边相等；（2）全等三角形的对应角相等。
三、利用三角形全等测距离：例题1.如图，公园里有一条“Z”字型道路ABCD，其中AB∥CD，在AB，BC，CD三段道路旁各有一只小石凳E，M，F，M恰为BC 的中点，且E，M，F在同一直线上，在BE道路上停放着一排小汽车，从而无法直接测量B，E之间的距离，你能想出解决的方法吗？请说明其中的道理.例题1图（1）解：因为AB∥CD,所以∠B=∠C.在△BME和△CMF中，∠B=∠C，BM=CM，∠BME=∠CMF，所以△BME≌△CMF(ASA)，所以BE=CF.故只要测量CF即可得B，E之间的距离.例题2.如图山脚下有A、B两点，要测出A、B两点间的距离.在地上取一个可以直接到达A、B点的点O，连接AO并延长到C，使AO=CO；连接BO并延长到D，使BO=DO，连接CD.可以证△ABO≌△CDO，得CD=AB，因此，测得CD的长就是AB的长.判定△ABO≌△CDO 的理由是( D )A.SSSB.ASAC.AASD.SAS例题2图（2）例题3. 如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，你能帮小明设计一个方案，解决此问题吗？1、说出你的设计方案；2、你能用所学知识说明你设计方案的理由是什么吗？例题3图（3）解：构建全等三角形解决问题。
1、先在地上取一个可以直接到达点A和B的点C，连接AC并延长到D，使AC=CD，连接BC并延长到E，使CE=CB，连接DE并测量出它的长度，测得DE的长度就是A、B 间的距离。
4.5利用三角形全等测距离(教案)
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解全等三角形的定义及其判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS）。
-学会运用全等三角形的性质解决实际问题，特别是利用全等三角形测距离的方法。
-掌握在实际测量中，如何根据已知条件和全等三角形的性质，构建全等关系，从而求解未知距离。
4.5利用三角形全等测距离（教案）
一、教学内容
本节课选自八年级下册《几何》第四章“全等三角形”的4.5节“利用三角形全等测距离”。教学内容主要包括：了解全等三角形的性质和判定方法，掌握利用全等三角形测距离的方法。具体内容包括：
1.熟悉全等三角形的定义和性质，如SSS、SAS、ASA、AAS等全等判定方法。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调全等三角形的判定方法和在实际测量中的应用这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与全等三角形测距离相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示如何利用全等三角形的基本原理进行距离测量。
五、教学反思
在今天的教学中，我尝试了通过实际问题引入全等三角形的概念，让学生们感受到几何学的实际应用。我发现，当学生们能够将新知识与现实生活联系起来时，他们对学习内容更感兴趣，也更愿意主动参与课堂讨论。
课堂上，我注意到在讲解全等三角形的判定方法时，有些学生对于SSS、SAS等判定条件的理解还存在困难。于是，我及时调整了教学方法，通过举例和画图，让学生更直观地感受全等三角形的性质。在接下来的时间里，我会继续关注这部分学生的学习情况，适时给予个别辅导，帮助他们突破这个难点。
利用三角形全等测距离
B
D
A C
B
证明：在△CED与△CBA中，有
E
CE=CB，
∠ECD=∠BCA，
CD=CA。
所以△CED≌△CBA(SAS)。 D 所以DE=AB
(全等三角形的对应边相等)。
A
方案二：
解：在△ABC与 △EDC中，有
∠B=∠EDC，
D
BC=DC，
B
C
∠ACB=∠ECD，
在一次数学夏令营活动中， 老师把同学们带到一条河边。 在不能过河测量又没有任何 测量工具的情况下，老师要 求同学们测出河宽。如何估 测这个距离呢？
同学们经过讨论，想出了一个办法：他们先让一位同学站在河边的A 点处，面向河的对岸，然后调整这位同学的旅行帽，使视线通过帽檐正 好落在河对岸的B点处。接着，再让她保持姿态转过一个角度，这时她 的视线通过帽檐正好落在了自己所在岸边的一点C上。另一位同学马上 记下这个点。最后，同学们用步测的办法量出A，C两点间的距离，这 个距离就等于河宽AB。你能解释其中的道理吗？按这个方法，找出教 室或操场上与你距离相等的两个点，并通过测量加以验证。
D 12
B
A
C
同学的身高AD不变，同学与地面是垂直的(AD⊥BC)，
视角∠1=∠2，同学要测的AB与AC之间有什么关系？理由
是什么？
A 12
B
D
C
解：在△ADB与△ADC中，有
∠1=∠2， AD=AD， ∠ADB=∠ADC=90°。
所以△ADB≌△ADC(ASA)。 所以DB=DC(全等三角形的对应边相等)。
AB=A′ B′ 。 所以△ABC≌△A B′ C′（′AAS）。 所以BC=B′ C′ (全等三角形的对应边相等)。
03八年级—利用三角形全等测距离
14.4利用三角形全等测距离知识点精析1、利用三角形全等测距离的数学思想实际上就是利用已有的全等三角形，或者运用三角形全等的识别方法构造出全等三角形，通过全等三角形对应边相等，从而把不能够或是不容易直接测量出的距离转化为已知的距离或容易求出的距离。
2、利用三角形全等测距离的依据（1）全等三角形性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。
（2）三角形全等的识别方法：边边边，边角边，角边角，角角边，其中主要运用SAS，ASA，AAS来得到三角形全等，从而确定要探讨的实际问题中的距离。
解题方法指导知识点运用三角形全等测量距离（或长度）解这类题的关键是构造出能够全等的三角形，通过全等三角形的性质将不容易测量的距离转化到可以测量的线段的长度，从而获得需测量的问题的答案。
【例1】在某市郊外的一空旷地上有一个较大的圆形土丘（如图2－4－4），经分析判断其可能是一座古代王室陵墓，有较高的研究价值，为了保持其现有外观不变，因而想直接测量A、B两点的距离是不可能的，请你利用所学过的知识设计一种方案，测出A、B之间的距离。
你能行吗？不妨试试。
图2－4－4【例2】如图2－4－7，在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望，为了炸掉这个碉堡，须知道我军阵地与敌军碉堡之间的距离。
这时一名战士面向敌军碉堡方向战好后，调整帽子，使视线通过帽檐正好落在敌军碉堡的底部，然后他转过身，保持刚才的姿势，这时视线正好落在自己所在阵地的某一点上，并测出这点与他所站地点之间的距离，以此估计出我军阵地与敌军碉堡之间的距离。
你认为合适吗？说说你的理由。
图2－4－7【例3】如图2－4－16为人民公园中的荷花池，现要测量此荷花池两旁A、B两棵树之间的距离（我们不能直接量得）。
请你运用所学知识，以卷尺和测角仪为测量工具设计一种测量方案。
要求：（1）画出你设计的测量平面图；（2）简述测量方法，并写出测量数据（长度用a、b、c……表示，角度用α，β，γ……表示）；（3）根据你测量的数据，说说A、B两棵树之间的距离。
【公开课教案】《利用三角形全等测距离》教案
利用三角形全等测距离教学目标：知识与技能：能利用三角形的全等解决实际问题。
过程与方法：通过让学生体会教科书中提供的情境,明白战士的具体做法,并尝试思考其中的道理,体会数学与实际生活的联系。
情感与态度： 通过生动、有趣、现实的例子激发学生的兴趣,引发他们去思考,并能在利用三角形全等解决实际问题的过程中进行有条理的思考和表达。
教学重点：能利用三角形的全等解决实际问题．教学难点：能在解决问题的过程中进行有条理的思考和表达．一、 目标导学① 复习全等三角形的性质及判定条件② 在下列各图中，以最快的速度画出一个三角形，使它与△ABC 全等，比比看谁快！二、自主探学引入一位经历过战争的老人讲述的一个故事，（图片显示）；在一次战役中，为了炸毁与我军阵地隔河相望的敌军碉堡，需要测出我军阵地到敌军碉堡的距离。
由于没有任何测量工具，我军战士为此绞尽脑汁，这时一位聪明的战士想出了一个办法，为成功炸毁碉堡立了一功。
提出问题：你知道聪明的战士用的是什么方法吗？能解释其中的原理吗？B ACB A CA C B三、合作研学、展示赏学小明在上周末游览风景区时，看到了一个美的池塘 ，他想知道最远两点A 、B 之间的距离， 但是他没有船，不能直接去测。
手里只有一根绳子和一把尺子，他怎样才能测出A 、B 之间的距离呢？1. 写出这位叔叔的思路。
2.把你的设计方案在图上画出来。
要求：① 画出此种测量方法的图形。
② 标出此方法中需要的数据。
③ 展示各组方案,小组成员代表讲述画法和原理。
四、检测评学如图要测量河两岸相对的两点A 、B 的距离，先在AB 的垂线BF 上取两点C 、D ，使CD=BC ，再定出BF 的垂线DE ，可以证明△EDC ≌△ABC ，得ED=AB ，因此，测得ED 的长就是AB 的长。
判定△EDC ≌△ABC 的理由是( )A 、SSSB 、ASAC 、AASD 、SAS五、小结师生互相交流利用全等三角形测量距离的合理性，在解决问题的过程中，采用了那些方案使不能直接测量的物体间的距离转化为可以测量的距离。
北师大版七下数学4.5利用三角形全等测距离说课稿
北师大版七下数学4.5利用三角形全等测距离说课稿一. 教材分析北师大版七下数学4.5利用三角形全等测距离是本册书的重要内容之一。
本节课主要让学生掌握三角形全等的性质，并能够运用三角形全等来解决实际问题，特别是测距离问题。
通过前面的学习，学生已经掌握了三角形的基本概念和性质，全等三角形的判定和性质，以及相似三角形的性质。
本节课将引导学生将理论知识应用到实际问题中，培养学生的动手操作能力和解决问题的能力。
二. 学情分析七年级的学生已经有了一定的数学基础，对三角形的基本概念和性质有所了解。
但是，他们在实际应用中可能还存在着一定的困难，特别是对于测量距离这个问题，可能还不太会运用所学的知识来解决。
因此，在教学过程中，我将会引导学生将理论知识与实际问题相结合，通过动手操作和思考，提高他们解决问题的能力。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握三角形全等的性质，并能够运用三角形全等来解决实际问题，特别是测距离问题。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的问题解决能力和团队合作能力。
3.情感态度与价值观目标：让学生体验到数学在生活中的应用，增强学生对数学的兴趣和信心。
四. 说教学重难点1.教学重点：三角形全等的性质，以及如何运用三角形全等来解决测距离问题。
2.教学难点：如何引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高他们解决问题的能力。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法和合作学习法。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型和测量工具辅助教学。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引发学生对测量距离的思考，激发学生的学习兴趣。
2.理论讲解：讲解三角形全等的性质，引导学生理解三角形全等与测量距离之间的关系。
3.案例分析：分析一个具体的测量距离问题，引导学生运用三角形全等来解决问题。
4.动手操作：让学生分组进行实际测量，亲身体验三角形全等在测量距离中的应用。
《第四章5利用三角形全等测距离》作业设计方案-初中数学北师大版12七年级下册
《利用三角形全等测距离》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本节课的作业设计旨在让学生通过实际操作，理解并掌握三角形全等的基本原理，并能够运用这一原理来测量实际距离。
通过作业的完成，达到巩固知识、提升技能的目标，为后续学习打下坚实基础。
二、作业内容1. 理论知识复习：学生需回顾并熟练掌握三角形全等的定义、性质和判定方法，了解不同全等条件下的三角形关系。
2. 动手实践操作：（1）绘制一系列全等的三角形图案，通过剪切和拼接的方式，直观感受三角形全等的基本概念。
（2）结合生活实际，选择合适的地点（如校园内、家中），利用三角形全等原理，测量已知角度的两点间的距离。
学生需绘制测量示意图，并记录详细的测量步骤和结果。
3. 作业题目练习：设计一系列与三角形全等相关的题目，包括选择题、填空题和解答题，重点考察学生对三角形全等知识的理解和应用能力。
三、作业要求1. 理论复习部分：学生需自行整理笔记，总结三角形全等的相关知识点，并能够流利地与同学进行交流。
2. 动手实践操作部分：（1）图案绘制要求准确、清晰，剪切和拼接过程需保持小心谨慎，确保三角形全等的准确性。
（2）实地测量时，学生需注意安全，遵循正确的测量步骤，准确记录测量数据和结果。
测量示意图应清晰明了，能够准确反映测量过程和结果。
3. 作业题目练习部分：学生需独立完成题目，并按照格式要求书写答案。
如有不懂之处，可查阅教材或请教老师。
四、作业评价1. 教师将根据学生提交的作业进行批改，对理论知识复习部分进行评价，看学生是否掌握了三角形全等的基本概念和原理。
2. 对动手实践操作部分进行评价，看学生是否能够正确运用三角形全等原理进行实地测量，并准确记录测量结果。
3. 对作业题目练习部分进行评价，看学生是否能够正确理解和应用三角形全等的知识点。
五、作业反馈1. 教师将针对学生的作业情况进行反馈，对表现优秀的学生给予表扬和鼓励，对存在问题的地方进行指导和纠正。
2. 学生需根据教师的反馈意见进行反思和总结，找出自己的不足之处，并加以改进。
利用三角形全等测距离利用三角形全等测距离事件报告的证明过程
利用三角形全等测距离利用三角形全等测距离事件报告的证明过程x一、实验目的和原理1.1 实验目的本实验旨在证明，通过利用三角形全等测距离，可以测量出两点之间的距离，求出每一个角的大小，并最终确定两点之间的距离。
1.2 实验原理本实验的原理为三角形全等测距原理。
通过三角形全等测距，将测量区域划分为三角形，将其中一点作为起始点，从该点开始测量两边的距离，即可确定该角度的两条边与其相对角度的距离。
二、实验器材、工具及材料2.1 实验器材本次实验主要使用的器材为仪器站（Instrument Station），由两部分组成，包括水准仪（Level）和量角器（Theodolite）。
2.2 实验工具实验所用的工具包括水准仪杆和测距绳，水准仪杆用于测量水平距离，而测距绳则是用于测量垂直距离的。
2.3 实验材料本实验需要铅笔、纸条和尺子。
铅笔用于标出实验所需标记点的位置；纸条用于记录所测角度和距离，以保证实验结果的准确性；尺子则用于确定垂直距离。
三、实验步骤1. 使用铅笔在实验区域画出三个标记点，标记点在到达测量点时进行标记。
2. 将水准仪调节至等高线，并测量第一个标记点到第二个标记点的水平距离。
3. 使用量角器测量从第一个标记点到第二个标记点之间的角度。
4. 使用测距绳测量从第二个标记点到第三个标记点之间的距离。
5.重复步骤2-4，测量第二个标记点到第三个标记点的水平距离和角度。
6. 计算第一个标记点到第三个标记点之间的距离，使用测距公式：D = c/2sinA三角形腰等腰定理，D表示第一个标记点到第三个标记点的距离，c为第一个标记点到第二个标记点的水平距离，A为第一个标记点到第二个标记点的角度。
7. 重复步骤6，计算第二个和第三个标记点之间的距离。
8. 将所得结果进行核对，确保结果的准确性。
四、实验结果和分析实验结果表1 三点实验结果标记点距离（米）角度1 -2 12.3 33.2°2 -3 16.2 45.8°1 - 3 11.4从表中可以看出，最终计算出的第一个标记点到第三个标记点的距离为11.4米，与实际测量的结果基本一致。
生活中的“利用三角形全等测距离”
生活中的“利用三角形全等测距离”利用三角形全等测距离实际就是构造两个全等的三角形，通过全等三角形对应边相等这一性质，把较难测得长度的线段，转化为已知的或是较易得到结果的线段．［例1］某铁路施工队在建设铁路的过程中，需要打通一座小山，设计时要测量隧道的长度．小山前面恰好是一块空地，利用这样的有利地形，测量人员是否可以利用三角形全等的知识测量出需要开挖的隧道的长度说明道理．点拨：A、B两点直接测量有难度，因此，可利用山前面的空地，构造全等的两个三角形，使含AB的一对对应边相等，则测量出对应边的长，即得出AB 的长．解：方法：可在空地上取一个能直接到达A点、B点的点O，连结AO延长到D，使OD＝OA；连接BO延长到E，使OE＝OB。
连结DE并测出它的长度，则DE的长就是A、B间的距离．如图所示：∴△AOB≌△DOE（SAS）∴AB＝DE（全等三角形，对应边相等）．［例2］如图，要测量河两岸两点A、B间的距离，可用什么方法并说明这样做的合理性．点拨：直接测量A、B间的距离有困难，而若用上题中的方法，则会出现这种情况：得到的O点在河中间，很难取到；即使O点取好，而寻找的全等三角形中AB的对应边CD的两点仍然在河的两岸，与A、B的位置相同，因此此法不可取．要寻求另一种使对应边在岸上的方法．利用下面图示的方法就行了．解：方法：在AB的垂线BE上取两点C、D，使CD＝BC。
过点D作BE的垂线D G，并在DG上取一点F，使A、C、F在一条直线上，这时测得的DF的长就是A、B间的距离．理由：∵AB⊥BE，DG⊥BE∴∠B＝∠BDF＝90°∴△ABC≌△FDC（ASA）∴AB＝DF（全等三角形对应边相等）．注意：要注意区分这两种情况，根据具体情况或题目的语言叙述来判断方法．最明显的区别是第一种没有垂直的情况，利用SAS证全等；而第二种有垂直的情况，会用ASA证明三角形全等．当然，若特殊情况，需具体分析．。
4.5利用三角形全等测距离.5 利用三角形全等测距离
C △ABC≌ △DBC (SAS) D
1、将实际问题转化成 数学问题。 2、构造全等并说明理由。
1. 如图要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB 的垂 线BF上取两点C、D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，
可以证明△EDC≌△ABC，得ED=AB，因此，测得ED的
长就是AB的长。判定△EDC≌△ABC的理由是( A、SSS B、ASA C、AAS D、SAS
1、知识：
利用三角形全等测距离的目的：变不可测距 离为可测距离。 依据：全等三角形的性质 关键：构造全等三角形 2、方法：（1）延长法构造全等三角形； （2）垂直法构造全等三角形。
3、数学思想：
树立用三角形全等构建数学模型解决实际问 题的思想。
课间，小明和小聪在操场上突然争论起来。他们都 说自己比对方长得高，这时数学老师走过来，笑着对他 们说：“你们不用争了，其实你们一样高，瞧瞧地上， 你俩的影子一样长！”如图，你知道数学老师为什么能 从他们的影长相等就断定它们的身高相同？你能运用全 等三角形的有关知识说明一下其中的道理吗？（假定太 阳光线是平行的） 太阳光线
4.5 利用三角 形全等测距离
在抗日战争期间， 为了炸毁与我军阵地隔河
相望的日本鬼子的碉堡，需要
测出我军阵地到鬼子碉堡的距离。
由于没有任何测量工具，我八路军战士
为此绞尽脑汁，这时一位聪明的八路军战士
想出了一个办法，为成功炸毁碉堡立了一功。
A
B
这位聪明的八路军战士的方法如下：
战士面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视
测量不能测或无法测的距离时， 可以 转化为 构建两个全等三角形， 利用“全等三角形对应边相等”来解 决。
二.写一写 如图，A，B两点分别位于一个池塘的 两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不 够长，一个叔叔帮他出了这样一个主意：先在地上 取一个可以直接到达点A和点B的点C，连接AC并延长 到D，使CD=AC；连接BC并延长到E，使CE=CB，连接 DE并测量出它的长度，DE的长就是A，B间的距离。 你能说明其中的道理吗？请把你的思路写下来。
5.7 利用三角形全等测距离
5.7利用三角形全等测距离57利用三角形全等测距离在我们的日常生活和实际工作中，常常会遇到需要测量一些难以直接到达或难以直接测量的距离。
这时候，三角形全等的知识就能派上大用场啦！先来说说什么是三角形全等。
当两个三角形的三条边及三个角都对应相等时，这两个三角形就全等。
全等三角形的对应边相等，对应角也相等。
那怎么利用三角形全等测距离呢？让我给您举几个例子。
假设我们面前有一条河，想要知道河的宽度。
我们可以在河的一侧选定一个点 A，然后在河对岸找到一个能够直接到达的点 B。
接着，在河的这一侧沿着与河岸垂直的方向选一个点 C，并测量出 AC 的长度。
然后，保持方向不变，再往前走一段距离，到达点 D，使得 AD 和 AC 长度相等。
接下来，连接 CD，并延长 CD 与河岸相交于点 E。
此时，我们发现三角形 ABC 和三角形 ADE 是全等的。
因为角BAC 和角 DAE 是对顶角，所以它们相等；角 ACB 和角 ADE 都是直角，也相等；而我们刚刚特意让 AD 等于 AC 。
根据三角形全等的判定定理，这两个三角形全等。
既然全等，那么 AB 的长度就等于 DE 的长度。
我们只要测量出 DE 的长度，就知道河的宽度 AB 啦！再比如，有一个无法直接测量深度的池塘。
我们可以在池塘旁边找一个点 A，然后取一根足够长的杆子，将杆子的一端固定在点 A 处，让杆子与地面垂直。
接着，把杆子沿着水平方向移动一段距离到点B ，使得 AB 的长度是我们能够测量的。
再在点 B 处将杆子向池塘方向倾斜，让杆子的顶端恰好能够接触到池塘的底部 C 点。
这时，在地面上连接 AC 并测量出其长度。
我们会发现三角形 ABC 和三角形A'B'C' 全等（其中A'B' 是我们事先设定好的已知长度的线段，且三角形 A'B'C' 的角度和三角形 ABC 相同）。
因为全等，所以池塘的深度 BC 就等于 A'B' ，我们只要测量出 A'B' 的长度，就知道池塘的深度啦。
5.7 利用三角形全等测距离
5.7利用三角形全等测距离57 利用三角形全等测距离在我们的日常生活和实际工作中，常常会遇到需要测量一些难以直接到达的距离的情况。
这时候，三角形全等的知识就可以派上大用场啦！想象一下，你站在一片空旷的操场上，想要知道从你所在的位置到对面教学楼某个特定点的距离，但又不能直接走过去测量。
这该怎么办呢？其实，我们可以通过构建全等三角形来解决这个问题。
首先，让我们来了解一下什么是三角形全等。
三角形全等指的是两个三角形的形状和大小完全相同，对应的边和角都相等。
在数学中，我们有几种判定三角形全等的方法，比如“边边边”（SSS）、“边角边”（SAS）、“角边角”（ASA）、“角角边”（AAS）。
那么，如何利用三角形全等来测量距离呢？假设我们要测量一条河流的宽度。
我们可以在河流的一侧选择一个点 A，然后在对岸选择一个能够直接到达的点 C。
接着，从点 A 沿着与河岸垂直的方向走到另一点 B，使得 AB 的长度可以测量。
然后，连接点 C 和点 B，构成一个三角形 ABC。
接下来，在河流这一侧，另选一点 D，使得 BD ＝ AB，再沿着与刚才相同的方向，从点 D 走到点 E，使得 DE 的长度与 AC 的长度相等。
这样，三角形 DBE 就和三角形 ABC 全等了。
因为它们的三条边分别相等（AB ＝ BD，AC ＝ DE，BC 是两个三角形共有的边），根据“边边边”定理，这两个三角形全等。
所以，河流的宽度就等于AE 的长度，我们只需要测量出 AE 的长度，就知道了河流的宽度。
再比如，要测量一座山脚下到山顶的垂直距离。
我们可以在山脚下找一个合适的位置 A，然后沿着水平方向走一段距离到 B 点，使得 AB 的长度可以测量。
接着，在 B 点处竖起一根标杆，然后人后退，直到在 C 点处通过标杆顶端看到山顶 D 的顶点。
这时，人的眼睛所在的位置 C、标杆顶端 B 和山顶 D 构成一个三角形 BCD。
然后，在 A 点处同样竖起一根标杆，人再后退，直到在 E 点处通过A 点的标杆顶端看到B 点的标杆顶端，此时人的眼睛所在的位置 E、A 点的标杆顶端和 B 点的标杆顶端构成一个三角形 BAE。
4.5 利用三角形全等测距离
自主探学
探究活动2 测池塘两端的距离
三角形全等在实际生活中应用非常广泛, 下面我们来看下面的问题.
自主探学
探究活动2 测池塘两端的距离 小丽和朋友们在上周末游览风景区时,看到了一个美丽的池塘, 他们想知道最远两点A,B之间的距离,但是没有船,不能直接去测.
手里只有一根绳子和一把尺子,
他们怎样才能测出A,B之间的距离呢?
请你设计一个可行的方案,画出设计图形,写出设计方案, 并说明理由.
自主探学
探究活动2 测池塘两端的距离
自主探学
探究活动2 测池塘两端的距离
自主探学
探究活动2 测池塘两端的距离
自主探学
探究活动2 测池塘两端的距离
[知识拓展]
利用三角形全等测距离的一般步骤:
(1)先明确实际问题可以由哪些知识来解决. (2)根据实际问题抽象出图形. (3)结合图形和题意分析已知条件,由已知想未知. (4)找到已知与未知的关系,寻求恰当的解决途径,
并表述清楚.
检测评学(备用)
D
检测评学(备用)
D
检测评学(备用)
检测评学(备用)
本课小结
交流这节课的学习收获,包括知识和方法方面的.
(1)测量不能直接到达的两点间的距离. (2)测量观察点所处位置之外的两点间的距离.
布置作业
P109习题4.10第1、2、3题.
学习目标
1.能构造全等三角形,将实际问题转化为数学问题; 2.能用所学的知识设计可行的测量方案.
自主探学
探究活动1 探究引例
同学们,想一想,这个故事中的测量方法 能够测量出我军与碉堡的距离吗?
自主探学
探究活动1 探究引例 自主学习教材第108页,想一想之前战士测碉堡距离的方法,
4.5利用三角形全等测距离
B之间的距离呢？
把你的设计方案在图上画出来，并与你的同伴
交流你的方案，看看谁是方案更便捷。
在能够到达A、B的空地上取一适
●
当点C，连接AC，并延长AC到D，使 A
●
B
CD=AC，连接BC，并延长BC到E，
C●
方 使CE=BC，连接ED。则只要测出 案 ED的长就可以知道AB的长了。 一理由如下: 在△ACB与△DCE中，
B
C
证明: 在△ACB与△ECD中，
BC＝DC ∠ABC＝ ∠EDC ∠ACB＝ ∠ECD
△ABC≌△ECD ( ASA)
AB＝ED
E G
方法总结：垂直法
想一想 如图所示，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小
明想用绳子测量A，B间的距离但绳子不够长，一个叔叔 帮他出了这样一个主意：先在地上取 一个可以直接到达A点和B点的点C， 连接AC并延长到D，使CD＝CA； 连接BC并延长到E，使CE＝CB， 连接DE并测量出它的长度，DE的长 度就是AB间的距离. 你能说明其中的道理吗?
融合应用
1.某大学计划为新生配备如图①所示的折叠凳．图②是折叠凳撑
开后的侧面示意图(木条等材料宽度忽略不计)，其中凳腿AB和
CD的长相等，O是它们的中点．为了使折叠凳坐着舒适，厂家
将撑开后的折叠凳宽度AD设计为30 cm，则由以上信息可推得
CB的长度也为30 cm，依据是( )
A．SAS
B．ASA
在一次战役中，我军阵地 与敌军碉堡隔河相望.为了炸掉 这个碉堡，需要知道碉堡与我 军阵地的距离.在不能过河测量 又没有任何测量工具的情况下，一个战士想出来这样
一个办法：他面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使 视线通过帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他转过一个 角度，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己所在岸的 某一点上；接着，他用步测的办法量出自己与那个点的 距离，这个距离就是他与碉堡间的距离.
5 利用三角形全等测距离
谢谢观赏！
(1)河的宽度是多少米? (2)请你说明他们做法的正ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ性. 解:(1)河的宽度是5 m.
(2)由题意,知BC=DC,∠ABC=∠EDC=90°. 在△ABC和△EDC中, ∠ABC=∠EDC,BC=DC,∠ACB=∠ECD, 所以△ABC≌△EDC(ASA),所以AB=ED, 即他们的做法是正确的.
[变式2]如图所示,为方便游客观赏,需要在人工湖两侧A,B两点之间修 建一条观光步道,但无法直接量出A,B两点之间的距离.现在有一足够长 的米尺,请你利用所学数学知识,设计一种方案,得出A,B两点之间的距 离,并说明理由.
解:(答案不唯一)如图所示,在点A,B一侧的池塘边的平地上取一点P,连 接AP并延长到点C,使PC=PA,连接BP并延长到点D,使PD=PB,连接 CD. 理由: 所在以△P△APBA和B≌△△PPCCDD中(S,因AS为),P所A以=PACB,=∠ACDPB. =∠CPD,PB=PD, 故量取CD的长度,即可得A,B两点之间的距离.
5 利用三角形全等测距离
知识梳理
利用三角形全等测距离 利用三角形全等测距离实际上就是利用已有的全等三角形,或构造出全 等三角形,通过全等三角形的对应边相等这一性质,把较难测的距离转 化为已知线段的长度或者较容易测的距离,从而得出要测的距离.
考点梳理
利用三角形全等测距离
[典例](2024广饶期中)如图所示(示意图),某段河流的两岸是平行的,数 学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得了河的宽度,他们是这样 做的: ①在河流的一条岸边选B点和与其正对的一棵树A; ②沿河岸直走20 m有一树C,继续前行20 m到达D处; ③从D处沿与河岸垂直的方向行走,当到达A树正好被C树遮挡住的E处 停止行走; ④测得DE的长为5 m.