天津大学管理运筹学课件第二章_图论

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管理运筹学
[例]今有煤气站A，将给一居民区供应煤气，居民区各 用户所在位置如图所示，铺设各用户点的煤气管道所需 的费用（单位：万元）如图边上的数字所示。要求设计 一个最经济的煤气管道路线，并求所需的总费用。
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C
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例：
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v1
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7.5 4
5.5
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管理运筹学
§2 最小支撑树问题
本节主要内容：
树
支撑树
最小支撑树
[例]今有煤气站A，将给一居民区供应煤气，居民区各 用户所在位置如图所示，铺设各用户点的煤气管道所需 的费用（单位：万元）如图边上的数字所示。要求设计 一个最经济的煤气管道路线，并求所需的总费用。
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管理运筹学
[例]今有煤气站A，将给一居民区供应煤气，居民区各 用户所在位置如图所示，铺设各用户点的煤气管道所需 的费用（单位：万元）如图边上的数字所示。要求设计 一个最经济的煤气管道路线，并求所需的总费用。
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成如图所示。为使5处居民点都有
3.5 4
道路相连，问至少要铺几条路？
5.53v5Fra bibliotek2v3 7.5 v4
解： 该问题实为求图 的支撑树问题，
共需铺4条路。 v2
v1 v5
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管理运筹学
v1
三、最小支撑树问题
5
v2
3.5 4
问题：求网络的支撑树，使其权和最小。
5.5
3
v5
2
算法1（避圈法）：把边按权从小到大依次 添入图中，若出现圈，则删去其中最大边， 直至填满n-1条边为止（n为结点数） 。
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[例]今有煤气站A，将给一居民区供应煤气，居民区各 用户所在位置如图所示，铺设各用户点的煤气管道所需 的费用（单位：万元）如图边上的数字所示。要求设计 一个最经济的煤气管道路线，并求所需的总费用。
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管理运筹学
二、图的支撑树
若一个图 G =（V , E）的支撑子图 T=（V , E´） 构成树，则称 T 为
G的支撑树，又称生成树、部分树。
例
(G)
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(G1)
(G2)
管理运(筹G学3)
(G4)
图的支撑树的应用举例
v1
[例] 某地新建5处居民点，拟修
5
道路连接5处，经勘测其道路可铺 v2
在图中找圈，并删除其中最大边。如此进行下去，直
至图中不存在圈。
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5
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3.5 4
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管理运筹学
算法2（破圈法）：
在图中找圈，并删除其中最大边。如此进行下去，直
至图中不存在圈。
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管理运筹学
算法2（破圈法）：
在图中找圈，并删除其中最大边。如此进行下去，直
G1
G2
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管理运筹学
5、支撑子图
图G=(V，E)和G'=(V ' ，E ')，若V =V ' 且
E 'E ，则称G' 为G的支撑子图。
例 ：G2为G1的支撑子图
v5
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v1
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v1
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G1
管理运筹学
v2
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G2
6、赋权图（网络）
图的每条边都有一个表示一定实际含义的 权数，称为赋权图。记作D=(V，A，C)。
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[例]今有煤气站A，将给一居民区供应煤气，居民区各 用户所在位置如图所示，铺设各用户点的煤气管道所需 的费用（单位：万元）如图边上的数字所示。要求设计 一个最经济的煤气管道路线，并求所需的总费用。
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第二章 图论与网络分析
➢ 图的基本概念 ➢最小支撑树问题
➢ 最短路径问题
网络分析
➢网络最大流问题
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➢网络计划问题
管理运筹学
图论起源——哥尼斯堡七桥问题
A
A
C
D
C
D
B
B
问题：一个散步者能否从任一块陆地出发，走过七 座桥，且每座桥只走过一次，最后回到出发点？
结论：每个结点关联的边数均为偶数。
至图中不存在圈。
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[例]今有煤气站A，将给一居民区供应煤气，居民区各 用户所在位置如图所示，铺设各用户点的煤气管道所需 的费用（单位：万元）如图边上的数字所示。要求设计 一个最经济的煤气管道路线，并求所需的总费用。
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管理运筹学
[例]今有煤气站A，将给一居民区供应煤气，居民区各 用户所在位置如图所示，铺设各用户点的煤气管道所需 的费用（单位：万元）如图边上的数字所示。要求设计 一个最经济的煤气管道路线，并求所需的总费用。
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管理运筹学
一、树的概念与性质
树 无圈连通图
例 判断下面图形哪个是树：
(A)
(B)
(C)
树的性质：
1、树中任两点中有且仅有一条链；
2、树任删去一边则不连通，故树是使图保持连通且具有最少边 数的一种图形。
3、边数 = 顶点数 – 1。
管理运筹学
[例]今有煤气站A，将给一居民区供应煤气，居民区各 用户所在位置如图所示，铺设各用户点的煤气管道所需 的费用（单位：万元）如图边上的数字所示。要求设计 一个最经济的煤气管道路线，并求所需的总费用。
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管理运筹学
3、链与路、圈与回路
无向图：
链 点边交错的序列 圈
起点=终点的链
有向图：
路 点弧交错的序列 回路 起点=终点的路
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v5
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v4
v1
v4
v 2020/8/102
v3
管理运筹学
v2
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4、连通图
任何两点之间至少存在一条链的图称为连通图， 否则称为不连通图。
例 ： G1为不连通图， G2为连通图
v3 7.5 v4
[例] 求上例中的最小支撑树
解：
v1
5
3
v2 3.5 4 v5
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v 管理运4筹学
算法2（破圈法）：
在图中找圈，并删除其中最大边。如此进行下去，直
至图中不存在圈。
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管理运筹学
算法2（破圈法）：