第二章典型环节的数学模型(2-1)讲解

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第二章数学模型-simple讲述

d 2 d dM L JLa 2 （JRa fLa）（fRa C M C e） C M U a La Ra M L dt dt dt 若以为输出量，则根据关系 d 可得相应运动方程。 dt
§2-2 非线性运动方程的线性化
• 定义：将非线性微分方程在一定的条件下转化为线性微分方程的方法。 • 小偏差线性化：基本假设——变量偏离其预期工作点的偏差甚小，这种线性化通常称为小偏差线性化。
划分环节
恒温箱自动控制系统
由若干个元件相互配合起来就构成一个完整的控制系统。系统是否能正常地工作，取决各个物理量之间相互作用与相互制约的关系。
t

u2

u

t
ua
n
v

u
写出每个环节(元件) 运动方程式找出联系输出量与输入量的内部关系，并确定反映这种内在联系的物理规律。列写运动方程的关键要了解元件或系统所属学科领域的有关规律，而不是数学本身。例如：机械运动——牛顿定理、能量守恒定理电学——欧姆定理、基尔霍夫定律热学——传热定理、热平衡定律数学上的简化处理，（如非线性函数的线性化，考虑忽略一些次要因素；参数时变）。注：数学模型的准确性和简化的矛盾。
线性定常系统的微分方程一般表达式为
设描述系统的微分方程为: (p n a0 p m n 1 a1 p n2 a n 1 p a n ) x 2 ( t )
( b0 p
b1 p
m 1
bm 1 p bm ) x1 ( t )
其中，
x2(t )为输出量， x1(t )为输入量
ky
m
f
dy dt
0
y

第2章系统的数学模型02精选全文完整版

的传递函数。
图2-13 油缸－负载系统
解：液压缸的作用力F
F pA
式中p—进油压力
A—液压缸工作面积
该力用于克服阻尼负载和弹性负载，即
dx
F Bc
kx
dt
式中x —液压缸输出位移
Bc—阻尼系数
K —弹簧刚度
合并以上两式，得液压缸的运动方程式：
dx
Bc
kx Ap
dt
传递函数为
A
4
dt
dt
dt
dt
解：按（2-53）式，则传递函数为
Y ( s)
6s 7
（１） G ( s )
3
X ( s) 5s 2s 2 s 2
（２） G ( s )
Y (பைடு நூலகம்s)
4
4
X ( s) s 2s 3 6s 2 3s 2
二、典型环节的传递函数
bm s m bm 1 s m 1 ...... b1 s b0
dt
dx
b1
b0 x
dt
（2-51）
式中，n≥m; an、bm均为系统结构参数所决定的定
常数。（n，m=0、1、2、3…）
如果变量及其各阶导数初值为零，取等式两边拉
氏变换后得
an s nY ( s ) an1 s n1Y ( s ) a1 sY ( s ) a0Y ( s )
X(s)=0 系统的特征方程，→ 特征根。
特征方程决定着系统的动态特性。
X(s) 中s的最高阶次等于系统的阶次。
b0
当s=0时 G (0) K 系统的放大系数或增益
a0
！从微分方程的角度看，此时相当于所有的导

自动控制原理第二章数学模型精选全文完整版

第二章控制系统的数学模型
第二章控制系统的数学模型
基本要求
§ 2-1 引言 § 2-2 系统微分方程的建立 § 2-3 非线性微分方程的线性化 § 2-4 传递函数 (Transfer Function) § 2-6 典型环节及其传递函数 § 2-7 系统的动态结构图 § 2-8 信号流图和梅逊公式
Ea —
基尔霍夫
电枢反电势： Ea ke
— 楞次定律
电磁力矩： M D kmia
— 安培定律
力矩平衡：
d
J dt M D M L
— 牛顿定律
其中 ke (V/rad/s)为反电势系数， km (N •rad/s)为电磁转矩
系数。
消去中间变量 ia , Mm , Ea 可得：
La J
d 2 (t)
di(t ) ur (t) L dt Ri(t) uc (t)
i(t) C duc (t) dt
LC
d
2uc (t ) dt 2
RC
duc (t) dt
uc
(t)
LC
d
2uc (t) dt 2
RC
duc (t) dt
uc
(t)
ur
(t)
返回子目录
力-电压相似量
机械电气
阻尼 f 电阻 R
力 F 电压 U
dt 2 Ra J
d(t)
dt
k m ke (t )
kmua (t)
La
dM L (t) dt
RaM L (t)
在工程应用中，由于电枢电感La很小，通常忽略不计。则：
Tm
d(t)
dt
(t)
K1ua (t)
K2M L (t)

自动控制原理课件第二章线性系统的数学模型

c(t ) e
dt Leabharlann t

c( s )
g ( ) r ( ) d e s ( ) d 0 0 g ( )e s r ( )e s d d 0 0

0
g ( )e
5) 闭环系统传递函数G(s)的分母并令其为0，就是系统的特征方程。
• 涉及的是线性系统非线性系统必须进行线性化处理
§2-6 信号流程图
系统很复杂，为方便研究，也为了与实际对应，通常将复杂系统分解为若干典型环节的连接
数学模型的定义数学模型：描述系统变量间相互关系的动态性能的运动方程建立数学模型的方法：
解析法: 依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列写出相应的数学关系式，建立模型。自动控制系统的组成可以是电气的，机械的，液压的，气动的等等，然而描述这些系统的数学模型却可以是相同的。因此，通过数学模型来研究自动控制系统，就摆脱了各种类型系统的外部关系而抓住这些系统的共同运动规律，控制系统的数学模型是通过物理学，化学，生物学等定律来描述的，如机械系统的牛顿定律，电气系统的克希霍夫定律等都是用来描述系统模型的基本定律。实验法: 人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。数学模型的形式时间域：复数域：频率域：微分方程差分方程传递函数结构图频率特性状态方程
1 例1 : F ( s) ( s 1)(s 2)(s 3) c c c 1 2 3 s 1 s 2 s 3
1 1 c1 [ ( s 1)]s 1 ( s 1)(s 2)(s 3) 6 1 1 c2 [ ( s 2)]s 2 ( s 1)(s 2)(s 3) 15 1 1 c3 [ ( s 3)]s 3 ( s 1)(s 2)(s 3) 10 1 1 1 1 1 1 F ( s) 6 s 1 15 s 2 10 s 3 1 1 1 f (t ) e t e 2t e 3t 6 15 10

自动控制理论_哈尔滨工业大学_2 第2章线性系统的数学模型_(2.4.1) 典型环节的传递函数PPT

0
t
积分环节在单位阶跃输入下的响应
例：积分器
i2
C
ui R
_
i1
uo
+i1 i2Fra bibliotek1 Rui
(t)

C
d dt
u0
(t )
uo
(t)

1 RC
ui (t)dt
G(s) Uo (s) 1 1 Ui (s) RC s
二、几种典型环节的数学模型
4.微分环节
c(t) d r(t)
斜率1/T
0τ
t
例： • 汽车加速、火箭升空； ——作用力和输出速度
• 加热系统； ——加热量和温度变化
• 励磁回路； ——输入电压和励磁电流
惯性大小用τ来量度。 ——τ越大，接近目标值越慢，惯性越大；τ越小，接近目标值越快，惯性越小。
几乎任何物理系统都包含大大小小的惯性。
二、几种典型环节的数学模型
滞后环节
二、几种典型环节的数学模型
1.比例环节
y(t) Ku(t)
G(s) Y(s) K U (s)
K——称为比例系数或放大系数，也称为环节的增益，有量纲。
输出量无失真、无滞后、成比例地复现输入。
• 无弹性变形的杠杆；
——作用力和输出力
• 忽略非线性和时间迟后的运算放大器；
——比例放大器的输入电压和输出电压
τ＝RC—时间常数
当 r(t) 1(t) 时， R(s) 1
s
Y(s) s 1 1 s 1 s s 1
t
y(t) e
t=0时，输出幅值为1；
t→∞时，指数衰减至0。
二、几种典型环节的数学模型

微分环节微分方程传递函数变化曲线方框图

出量有关的各项放在方程的左边；
各导数项按降幂排列；将方程的系数通过元件或系统的参数化成具有
一定物理意义的系数。
例1 设有由电感L，电容C 和电阻R组成的电路，如图所示. 试求出以输出电压U2为输出变量和以输入电压U1为输入变量的运动方程。
R
L
U1 i
U2 C
解：根据基n 霍夫定律有
对数学模型进行近似而得到的。以后各章所讨论的系统，均指线性化的系统。
一、数学模型
数学模型是描述系统动态特性的数学表
达式；可有多种形式。在经典理论中，常用的数学模型是微（差）分方程，结构图，信号流图等；在现代控制理论中，采用的是状态空间表达式。结构图，信号流图，状态图是数学模型的图形表达形式。
式的次数N大于等于分子多项式的次数
M ，N M 。
传递函数写成
G(S)

k
(S - Z1)(S (S - P1)(S
Z2)......(S P2)......(S

Zm) Pn )
的形式，则 Z1, Z2 , Z3 Zm和
为G(S)的零点和极点。
P1,
P2
,
P3
Pn
不同物理结构的系统可以有相同的传递函数。
性微分方程的方法，称非线性微分方程的线性化。
小偏差线性化：非线性微分方程能进行线性化的一
个基本假设上是变量偏离其预期工作点的偏差甚小，这种线性化通常称为小偏差线性化。
§2-3 传递函数一、定义
初始条件为零时，线性定常系统或元件输出
信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变换的比，称为该系统或元件的传递函数。
三、传递函数的求法
工程上，通常采用拉普拉斯变换来求解

自动控制原理：第二章控制系统数学模型

TaTLma KJe K
dMdML m dtdt
L
Tm
Ra J K eKm
——机电时间常数(秒)；
Ta
La Ra
—电动机电枢回路时间常数 (秒)
若输出为电动机的转角q ，则有
TaTm
d 3q
dt 3
Tm
d 2q
dt 2
dq
dt
1 Ke
ua
Tm J
ML
TaTm J
dM L dt
—— 三阶线性定常微分方程 9
扰动输入为负载转矩ML。（1）列各元件方程式。电动机方程式为：
TaTm
d 2w
dt 2
测输T速Km出发td为d电wt电测压机速w 反 K馈1e系ua数
Tm J
M反L馈电TaJT压m
dM L dt
ua Kae ut Ktw e ur ut 12
（2）消去中间变量。从以上各式中消去中间变
量ua，e，ut，最后得到系统的微分方程式
y = Kx
式中， K f 'x0 是比例系数，它是函数f(x)在A点
的切线斜率。
18
对于有两个自变量x1,x2的非线性函数f(x1,x2)，同样可以工作在某工作点(x10,x20)附近进行线性化。
这种小偏差线性化对控制系统大多数工作状态是可行的。事实上，自动控制系统在正常情况下都处于一个稳定的工作状态，即平衡状态，这时被控量与期望值保持一直，控制系统也不进行控制动作。一旦被控量偏离期望值产生偏差时，控制系统便开始控制动作，以便减小这个偏差。因此控制系统中被控量的偏差一般不会很大，只是“小偏差”。
RC传网0 递络函的数阶G跃(响s)确应立曲了线t 电路输入

典型环节的数学模型

任何一个复杂的系统，总可以看成由一些典型环节组合而成的。

掌握这些典
型环节的特点，可以更方便地分析较复杂系统内部各单元的联系。

典型环节有比较环节、积分环节、惯性环节、微分环节、振荡环节等，分别介绍如下。

一、比例环节
二、积分环节
三、理想微分环节
四、惯性环节
五、振荡环节
特别注意：当0〈§〈1时称为振荡环节若§≥1认为是两个惯性环节
七、延迟环节（又称纯滞后环节）
τ0：纯延迟时间
在延迟时间很小的情况下，延迟环节可用一个小惯性环节来代替。

21时域数学模型-PPT课件

实验法－: 基于系统辨识的建模方法
输入（已知）
输出（已知）
黑匣子
• 已知知识和辨识目的 • 实验设计--选择实验条件 • 模型阶次--适合于应用的适当阶次 • 参数估计--最小二乘法 • 模型验证—将实际输出与模型的计算输出进行比较，系统
模型需保证两个输出之间在选定意义上的接近
（2）严重非线性情况下，在工作点附近，可以局部的线性化。
局部线性化－切线法（小偏差法）
连续变化的非线性函数：
y f(x)
设在平衡状态工作点 A ( x o ， y o ) 处连续可微 , 则
在该点附近用泰勒级数展开
y f(x ) f(x o ) d d (x ) f x x o(x - x o ) 2 1 ! d 2 d f( 2 x ) x x o(x - x o 实现的系统来模拟相对复杂的系统，实现仿真研究。
二、线性系统的特性
在经典控制领域，主要研究的是线性定常控制系统。
如果描述系统的数学模型是线性常系数的微分方程，则称该系统为线性定常系统，其最重要的特性便是可以应用线性叠加原理，即系统的总输出可以由若干个输入引起的输出叠加得到。
略去增量符号，便得到函数 y = f (x) 在工作点A附近的线性化方程：
y = Kx
显然，上式是线性方程，是非线性方程的线性表示。为了保证近似的精度，只能在工作点附近展开。
16
对于具有两个自变量的非线性方程，也可以在静态工作点附近展开。设双变量非线性方程为：yf(x1,x2)，工作点为
y0f(x10,x20)。则可近似为： yK 1 x1K 2 x2
1、线性系统的性质

2-1 控制系统的数学模型(典型环节)

Tk k 为扭簧力矩，T为输入力矩， T f 为阻尼力矩。
设作用量为 T (t ) ，输出量为 (t )
d (t ) TK K (t ) dt ，T f f (t ) T J ，其中 J dt
fs J
T
Tf
由力矩平衡原理有：
J d (t ) K (t )dt f (t ) T (t ) dt
d 2 x(t ) dx(t ) m f Kx(t ) F (t ) dt dt 2
dv (t ) m K v(t )dt fv(t ) F (t ) dt
d (t ) J K (t )dt f (t ) T (t ) dt
d 2 (t ) d (t ) J f K (t ) T (t ) dt dt 2
ak [
B( s) ( s p k )]s pk A( s)
23
b.F(s) 含有共扼复数极点时，可展开为 a a a sa
F ( s)
1 2
Tf
由力矩平衡原理有：
d 2 (t ) d (t ) J f K (t ) T (t ) 2 dt dt
9
di (t ) 1 L i (t )dt Ri (t ) u r (t ) dt C
d 2 q(t ) dq(t ) q(t ) L R u r (t ) dt C dt 2
建立系统微分方程（数学模型）的目的就是用数学的方法定量研究控制系统的工作特性。分为：
• 经典法 • 拉氏变换法 • 计算机数值解法
21
数学工具ห้องสมุดไป่ตู้拉普拉斯变换与反变换
⑴ 拉氏变换定义设函数f(t)满足 ①t<0时 f(t)=0

第2章线性系统的数学模型new课件

R(s)
G(S)
C(s)
2.2.2 传递函数的特点
1.作为一种数学模型，传递函数只适用于线性定常系统，这是由于传递函数是经拉普拉斯变换导出的，而拉氏变换是一种线性积分运算。
2.传递函数是以系统本身的参数描述的线性定常系统输入量与输出量的关系式，它表达了系统内在的固有特性，只与系统的结构、参数有关，而与输入量或输入函数的形式无关。
(i1 (t) i2 (t))dt
R2i2
(t)
1 C2
i2 (t)dt
u0 (t) C2 i2 (t)dt
整理得：
R1 R2 C1C 2
d 2u0 (t) dt 2
(R1C1
R2C2
R1C2 )
du0 (t) dt
u0 (t)
ui (t)
令T1=R1C1，T2=R2C2，T3=R1C2 则得
3.传递函数可以是无量纲的，也可以是有量纲的，视系统的输入、输出量而定，它包含着联系输入量与输出量所必须的单位，它不能表明系统的物理特性和物理结构。许多物理性质不同的系统，有着相同的传递函数，正如一些不同的物理现象可以用相同的微分方程描述一样。
4.传递函数只表示单输入和单输出(SISO)之间的关
数学模型:描述控制系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式，称为系统的数学模型。
常用的数学模型有微分方程、差分方程、传递函数、脉冲传递函数和状态空间表达式等。建立合理的数学模型，对于系统的分析研究是至关重要的。
动态数学模型静态数学模型
线性系统非线性系统
时变系统时不变系统(定常系统)
零点；有确定的零
极点分布
6.传递函数是系统单位脉冲响应的Laplace变换

第二章典型环节的数学模型(2-1)

18
电机运动方程
1） T(t)=Ki(t) 2） e (t) K d (t)
b b
dt
T(t)——转矩 K——力矩系数 eb(t)——反电势 Kb——反电势常数 ea(t)——电枢两端的电压
i a (t )
R
3） L di(t) Ri(t) e (t) e (t) b a
dt
4）
2
传递函数：
R(s)
1 T 2 s 2 2 Ts 1
C ( s)
式中：——阻尼比， T——振荡环节的时间常数。频率特性： C ( j ) 1
G ( j ) R ( j ) (1 T 2 2 ) j 2 T
16
R
L
+
i (t )
+
例：RLC电路
r(t)
_
C
传递函数：
I(s) s 1 （R=1 U(s)
RC= ）
频率特性：
G jω 1 jω
一阶微分环节可看成一个微分环节与一个比例环节的并联，其传递函数和频率特性是惯性环节的倒数。
24
7、二阶微分环节
特点：输出量与输入量及输入量的一阶、二阶导数都有关运动方程： 2
d r(t ) dr(t ) c(t ) T 2ζ T r(t ) 2 dt dt
+ _
D
J
B
19
消去中间变量Eb(s)、T(s)和I(s)
θ (s) K E a (s) s[LJs2 (LB RJ)s (RB KK b )]
如果输入量Ea(s)，输出量转速(s)，则又可得到：
(s) K E a (s) LJs 2 (LB RJ)s (RB KK b )

自动控制理论 2-1 控制系统的数学模型

i (t ) =
uc (t ) R
运动方程：运动方程：传递函数：传递函数：
u r (t) =
G(s) =
1 RC
∫u
c
(t)dt + u c (t)
U c (s) Tc s = U r (s) Tc s + 1
（Tc=RC）
G(s) = U c (s) = Tc s U r (s)
当Tc<<1时，又可表示成：
传递函数
36
例：直流电机
输入量: ud ——电枢电压输出量： id ——电枢电流动态方程如下：
第二章控制系统的数学模型
第二次课 1
1.引言
系统的数学模型：描述系统输入、输出变量以及内部其他变量之间关系的数学表达式。控制系统中常见的二种数学模型形式： 1、外部描述：把系统的输出量与输入量之间的关系用数外部描述：把系统的输出量与输入量之间的关系用数学方式表达出来，称之为输入— 学方式表达出来，称之为输入—输出描述，或外部描述，例如微分方程、传递函数、框图和差分方程。适用于单输例如微分方程、传递函数、框图和差分方程。适用于单输入、单输出系统。
L C
u r(t)
2
uc(t)
d uc du c LC + RC + uc = ur 2 dt dt
二阶微分方程
9
例2-3 阻尼器系统 (P15)
d 2 y (t ) dy (t ) m + f + ky (t ) = F (t ) 二阶微分方程 2 dt dt
10
本节重点：
控制系统微分方程的建立的方法两种典型控制系统微分方程的建立。两种典型控制系统微分方程的建立

自动控制原理2控制系统的时域数学模型

第二章控制系统的数学模型
• 2-1 控制系统的时域数学模型(2) • 2-2 控制系统的复域数学模型(2) • 2-3 控制系统的结构图(4)
2-1 控制系统的时域数学模型
• 1.线性元件的微分方程 • 2.控制系统微分方程的建立 • 3.线性系统的特性 • 4.线性定常微分方程的求解 • 5.非线性元件微分方程的线性化 • －－切线法或小偏差法
uo (t )
ui (t )
uo (t)
1.线性元件的微分方程(2)
例：图示弹簧-质量-阻尼器机械位移系统。试列写质量m在外力F(t)作用下位移x(t)的运动方程。解：由牛顿运动定律有
d 2 x(t)
m dt 2
F (t) F1 (t) F2 (t)
F (t) f dx(t) Kx(t) dt
2.控制系统微分方程的建立(1)
步骤：
① 原理图
方块图；
② 分别列写各元件的微分方程；
③ 消去中间变量，得到描述系统输出量与输入量之间关系的微分方程。
注意：
1）信号传递的单向性。即前一个元件的输出量是后一个元件的输入，一级一级地单向传递。
2）前后连接的两个元件中，后级对前级的负载效应。如齿轮系统对电动机转动惯量的影响等。
当增量(
x )很x0小时，略去其d高f (次x)幂项，则有
令 y y0 f (x) f (x0 ) ( dx )x0 (x x0 )
则线性y 化方y 程y可0 简f记(x为) f (x0) x x x0 K (df (x) / dx)x0
略去增量符号，便得函数y=f(x)y在工K作点xA附近的线性化方程
式中F1（t）是阻尼器阻力，F2（t）是弹簧弹力
比较:
LC

第二章(典型环节和方框图的等效变换)

方框图的组成要素
1信号线带有箭头的直线，箭头表示信号的
传递方向，直线旁标记信号的时间函数或象函数。
2信号引出点（线）/测量点表示信号引出或测量的位置和传递方向。同一信号线上引出的信号，
其性质、大小完全一样。
二、方框图的组成和建立
1. 由四种基本图形符号组成。
（1）函数方块 (2) 信号线
R(s) r(t) G(s)
R(s)
r(t)
C(s) c(t)
R(s) R(s)
(3) 分支点(引出点)
r(t) r(t) R(s)
r(t)
（4)综合点(比较点或相加点)
R(s)
R(s)±B(s)
r(t) ± r(t)±b(t)
B(s) b(t)
(1)函数块（传递方框）：方框内为具体环节的传递函数。
(2)信号线：表示输入、输出通道，箭头代表信号的传递方向。
(3)信号相加点（综合点、比较点）：表示几个信号相加减。
(4)信号分支点（引出点）：表示同一信号输出到几个地方。
2 系统方框图的绘制系统方框图的绘制步骤如下： (1)根据信号传递过程，将系统划分为若干
个环节或部件。 (2)确定各环节的输入量与输出量，求出各
环节的传递函数。 (3)绘出各环节的方框图。 (4)将各环节相同的量依次连接，得到系统
G2(s)
E(s) G1(s)
N(s)=0时系统的等效图
c(t) d 1(t) (t)
dt
几个实际微分的例子
C
i
u(t)
R
y(t)
RC串联电路
Y (s) R RCs U (s) 1 sC R RCs 1
G(s) Y(s) s U (s) s 1

简要控制系统的数学模型 2-1 典型环节

， e pt
e δt sin ω t，
e δt cos ω t
其中，和其中，p和 δ + jω 是系统传递函数的极点，也就是系统微分方程是系统传递函数的极点，也就是系统微分方程的特征根。的特征根。
δ 假定所有的极点是负数或具有负实部的复数，假定所有的极点是负数或具有负实部的复数，即 p < 0 ， < 0 上述分量将趋近于零，瞬态响应是收敛的敛的。当 t → ∞ 时，上述分量将趋近于零，瞬态响应是收敛的。在这种情况下，称系统是稳定的，也就是说系统是否稳定由系统的种情况下，称系统是稳定的，也就是说系统是否稳定由系统的极点性质所决定。极点性质所决定。
c(t) = [C(s)]-1 = L-1[R(s)G(s)]
3
推广到一般情况，系统时域数学模型微分方程：推广到一般情况，系统时域数学模型——微分方程：微分方程
d n c(t) d n -1c(t) dc(t) + a n -1 + LL + a 1 + a 0 c(t) an n n -1 dt dt dt d m r(t) d m-1 r(t) dr(t) = bm + bm-1 + LL + b1 + b 0 r(t) m m -1 dt dt dt
；
c. 表示成零点、极点式：表示成零点极点式：零点、
K ( s − z1 )( s − z 2 ) L ( s − z m ) G (s) = ( s − p1 )( s − p 2 ) L ( s − p n )
5
B. 传递函数的零点、极点和放大系数传递函数的零点、
是以复变量s作为自变量的函数作为自变量的函数。系统的传递函数G(s)是以复变量作为自变量的函数。通过因式分解后，可以写成如下的一般形式：分解后，传递函数G(s)可以写成如下的一般形式：