第二章 典型环节的数学模型(2-1)讲解

即
d
d dt
id

ud Rd
id
+
d

Ld Rd
ud
D
传递函数:
1 G(s) Id (s) Rd
Ud (s) ds 1
式中 Ld ——电枢回路电感； Rd ——电枢回路电阻； τd ——电枢绕组的时间常数；
14
其他一些例子
L
r(t)
R c(t)
R(s)
1
C(s)
L s 1
R
f (t)
r1 r2
R(s)
R2
R1
Cs
Ib (s)
Ic (s)
5
2、微分环节
特 点：动态过程中，输出量正比于输入量的变化速度。
R(s)
S
C(s)
运动方程：
C(t) K dr(t) dt
传递函数： 频率特性：
G(s) C(s) KS R(s)
G(jω ) C(jω ) jKω R(jω )
第二章 物理系统的数学模型
第一节 控制工程的数学方法 （Laplace变换）
第二节 物理系统的数学模型 第三节 非线性数学模型的线性化
1
第四节 典型环节及其传递函数
1、比例环节（又叫放大环节）
R(s)
特 点：输出量按一定比例复现输入量， 无滞后、失真现象。
C(s)
K
运动方程 : c(t)=Kr(t) K——放大系数，通常都是有量纲的。
(s)
K——比例系数，量纲为伏/弧度。
频率特性： G（j）=K
3
例：输入：n1(t)——转速 输出：n2(t)——转速
Z1
n1 (t )
n2 (t) Z2
Z1——主动轮的齿数 Z2——从动轮的齿数
N1 s
z1
N2 s
z2
运动方程： 传递函数：
n 2 (t)

z1 z2
n1 (t)
频率特性： G(j ) C(j ) K
R(j ) jT
11
其它举例
n(t) D
x (t )
N (s)
D
X (s)
s
i (t ) u(t)
I (s)
1
U (s)
Cs
12
4、惯性环节(又叫非周期环节)
特点：此环节中含有一个独立的储能元件，以致对突变的输 入来说，输出不能立即复现，存在时间上的延迟。
G(s) N 2 (s) z1 K N1(s) z 2
频率特性：
G(jω ) N2 (jω ) z1 K N1(jω ) z2
4
其它一些比例环节
R2
R1 -
r (t )
r1
r2
r (t )
c (t )
+K
c (t ) R3
+ Ec
R
ic (t)
ib (t)
R(s)
r2
Cs
EL (s)
Ls
9
3、积分环节
特点：输出量的变化速度和输入量成正比。
R(s)
1
C(s)
s
运动方程： dc(t) Kr(t )
dt
传递函数：
G(s) K s
频率特性：
G(jω ) K jω
10
例：积分电路
输入为r(t)，输出为c(t)
ic (t) C
i1(t ) R1
-
+K
r (t )
c (t )
R3
ic (t)

i1 (t)

r(t) R1
R(s)
1
R1Cs
C(s)
运动方程：

传递函数：
c(t)


1 C
ic (t)dt


1 R1C

r(t)dt


1 T

r(t)dt
G(s) C(s) 1 K R(s) Ts s
（T=R1C）
6
例 RC电路
i (t )
C
ur (t)
R
uc (t)
设：输入——ur(t) 输出——uc(t)
u r
(t)

1 c
i(t)dt i(t)R
i(t) uc (t) R
消去i(t)，得到运动方程：
ur (t)
1 RC
uc (t)dt uc (t)
传递函数： G(s) Uc (s) Tcs
传递函数： G(s) C(s) K
R(s)
C(j )
频率特性：
G(j )
K
R(j )
2
例： 输入：(t)——角度 输出：u(t)——电压
E——恒定电压
+ E
-
u(t)
+
(t)
(s)
U (s)
K
运动方程： u(t)=K(t) 传递函数： G(s) U(s) K
频率特性：
G(j ω)
R(s)
1
C(s)
Ts 1
运动方程： T dc(t) c(t) Kr(t)
dt
传递函数： 频率特性：
G(s) K Ts 1
G(jω ) K jTω 1
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例：直流电机
输入量: ud ——电枢电压 输出量： id ——电枢电流 动态方程如下：
Ld
d dt
id
Rd id
ud
输 出： uf(t)——测速发电机的电枢电压 运动方程：
uf
(t)

K
d (t)
dt
传递函数： G（s）=Ks 频率特性： G（j）=jK
8
其他举例
i(t) C uc (t)
U c (s)
I (s)
Cs
i(t) C
u(t)
R
U (s)
Cs
+ I(s)
1
+
R
i (t )
L
eL (t)
I (s)
v (t )
M
B
1
F (s)
V (s)
B
J s 1 B
B
T (t)
(t)
J
T (s)
1
(s)
B
J s 1 B
15
5、振荡环节
特点：包含两个独立的储能元件，当输入量发生变化时，两个 储能元件的能量进行交换，使输出带有振荡的性质。
R(s)
1
C(s)
T 2s2 2 Ts 1
运动方程：
T2
R
L
+
r(t)
i(t)
C
+ c(t)
_
__
解：
r(t) L di(t) ri(t) 1 i(t)dt
dt
C
c(t)

1 C
i(t)dt
消去中间变量i(t)得到运动方程： LC d2c(t) RC dc(t) c(t) r(t)
dt 2
dt
传递函数：
G(s)
1
LCs2 RCs 1
U r (s) Tcs 1
（Tc=RC）
当Tc<<1时，传递函数又可表示成： G(s)

Uc (s) U r (s)

Tcs
频率特性：G（j）=jTc——此时可近似为纯微分环节。
7
例：测速发电机CF的数学描述
ud (t)
(t)
D
F
u f (t)
输 入： (t)——电动机D转子（与测速发电机同轴）的转角
d 2c(t) dt2

2ζT
dc(t) dt

c(t)

Kr(t)
传递函数：
R(s)
1
C(ห้องสมุดไป่ตู้)
T 2s2 2 Ts 1
式中：——阻尼比， T——振荡环节的时间常数。
频率特性：
G( j ) C( j )
1
R( j ) (1 T 2 2 ) j2 T
16
例：RLC电路