2. 代数方程的性质

§2 代数方程的性质

一、多项式与代数方程的一般性质

[代数基本定理] 每个复数域上n 次代数方程

f (x )=a 0x n +a 1x n -1+ +a n －1x +a n =0 (n ≥1)

在复数域中至少有一个根.

代数基本定理的推论：每个n 次代数方程在复数域中有n 个根，而且只有n 个根. [多项式的导数] 多项式f (x )的导数为

f '(x )=na 0x n －1+(n －1)a 1x n －

2+ +a n －1

微分学中仅考虑实变数函数的导数，而代数学中必须考虑复系数的复变数多项式的导数，但是它们的定义与计算公式仍然一样.

[单根与重根] 1° 多项式的单根不是它的导数的根. 2° 多项式的m 重根（即有m 个根相同）是它的导数的m －1重根（m >1）.

3° 若x 1,x 2, ,x k 分别为f (x )的α1,α2, ,αk (α1+α2+ +αk =n )重根，则

f (x )=a 0(x －x 1)1α(x －x 2)2α (x －x k )k α [洛尔定理及其推论] 由微分学中的洛尔定理可知，在实系数方程f (x )=0的两个实根之间总有f '(x )=0的一个实根.

从这个定理可推出下列两个推论： 1° 若f (x )的一切根都是实的，则f '(x )的一切根也是实的.在f (x )的相邻两根之间有f '(x )的一个根并且是一个单根.

2° 若f (x )的一切根都是实的，且其中有p 个（计算重根）是正的，则f '(x )有p 个或 p －1个正根. [多项式的相关]

1° 若多项式f (x ),ϕ(x )的次数都不超过n ，而它们对n +1个不同的数α1, ,1+n α有相等的值，即f (αi )=ϕ(αi ) (i =1, ,n +1),则f (x )= ϕ(x ). 2° 多项式f (x )和ϕ(x )的根完全相同的充分必要条件是f (x )和ϕ(x )只差一个不等于零的常数因子.

[整根与有理根] 任意整系数方程f (x )=0，若有一个有理根q

p

（为既约分数），则p 是αn

的约数，q 是α0的约数. 由此可推出：任意整系数方程的整根必为常数项的约数，若整系数方程的首项系数为1，则它的有理根必为整数. [实根与复根，共轭实根与共轭复根] 1° 任意有理系数方程f (x )=0，若有一个根a +b (a,b 是有理数，b 是无理数)，则必有另一个根a －b .这时a +b 与a －b 称为一对共轭实根. 2° 任意实系数方程f (x )=0的复根只可能是成对的共轭复根，并且根的重数相同.从而，复根的个数是偶数. 3° 任意实系数奇数次方程f (x )=0至少有一个实根. 4° 任意实系数偶数次方程f (x )=0,a 0a n <0,则至少有两个实根（一个正根和一个负根）. [根与系数的关系] 设

f (x )=x n +a 1x n －1+ +a n

为复数域S 上的一元多项式，x 1,x 2, ,x n 为f (x )在S 中的n 个根，则根与系数的关系为

x 1+x 2+ +x n =∑=n

i i x 1

=－a 1

x 1x 2+x 1x 3+ +x n -1x n =∑<=n

j i j i j i x x )

(1,=a 2

x 1x 2x 3+x 1x 2x 4+ +x n -2x n -1x n =

∑<<=n

k j i k j i k

j

i

x

x x )

(1,,=－a 3

x 1x 2 x n =(－1)n a n

这就是说，f (x )的x n -k 的系数a k 等于从它的根x 1,x 2, ,x n 中每次取k 个（不同的）一切可能乘积之和,若k 是偶数,则取正号，若k 为奇数，则取负号. [根的范围] 设ξ为复系数代数方程

f (x )=a 0x n +a 1x n -1+ +a n -1x +a n =0 (1)

的根. 1° 若所有系数a i ≠0 (i =0,1, ,n ),则σξ≤,其中σ为实系数代数方程

F (x )=0a x n －1a x n －1- -n a =0

的一个正实根.

2° 设γ1,γ2, ,γn -1为任意正数，则≤ξτ,其中τ为下列n 个数中最大的一个:

1a a +

1

1

γ,

2a a 1γ+

2

1

γ, ,

1a a n -21γγ 2-n γ+

1

1

-n γ,

1210

-n n a a γγγ

特别,取γi =1(i =1,2, ,n －1)时,有

≤ξmax ⎭

⎬⎫⎩⎨

⎧++-n

n n a a a a a a 1

0101,,1, (2)

方程(1)中作变换x =

y

1

,可求出y 的上界，因而得到 ≥ξ1

1101,,1,max --⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛⎭⎬⎫⎩⎨⎧++n n n n a a a a a a (3) 更进一步，记(2)式右边为M ，记(3)式右边为m ，如果取ρ

-n a ρ0--11n a ρ--22n a ρ ρ1--n a 0>-n a 取ρ'>m ，使得 +'n a ρ0+'-11n a ρ ρ'+-1n a 0<-n a

那末有ρ'ρξ≤≤.

3° 设γ为任意正数，则1τξ≤，其中

τ1=max ⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧+++-100201,1n n a a a a a a γγγ 特别，取γ=1，有

⎭

⎬⎫⎩⎨⎧≤∑=n

i i a a 10

1,

1max ξ 4° 若所有系数都为正实数，则