高一数学课件 数形结合
高一数学必修1-子集、全集、补集-课件
高一数学集合子集、全集、补集要点一子集、真子集[重点]在上一节中，我们用约定的字母标记了一些特殊的集合，在这些特殊的集合中，我们会发现这样一个现象：正整数集中的所有元素都在自然数集中；自然数集中的所有元素都在整数集中；整数集中的所有元素都在有理数集中；有利数集中的所有元素都在实数集中.其实，上述各集合之间是一种集合见得包含关系；可以用子集的概念来表示这种关系.1．子集(1)定义：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若a∈A则a∈B)，那么集合A成为集合B的子集，记作A B或B A，读作“集合A包含于集合B”或“集合B包含于集合A” .(2)举例：例如，{4，5} Z，{4，5} Q，Z Q，Q R.A B可以用图1-2-1来表示.(3)理解子集的定义要注意以下四点：①“A是B的子集”的含义是集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，既由x∈A，能推出x ∈B，例如{-1，1} {-1，0，1，2}.②任何一个集合是它本身的子集，即对于任何一个集合A，它的任何一个元素都是属于集合A本身，记作A A.③我们规定，空集是任何集合的子集，即对于任何一个集合A，有 A.④在子集的定义中，不能理解为子集A是B中的“部分元素”所组成的集合.因为若A= ，则A中不含任何元素；若A=B，则A中含有B中的所有元素，但此时都说集合A是集合B的子集.以上②③点告诉我们，在邱某一个集合时，不要漏掉空集和它的本身两种特殊情况.(4)例题：例1设集合A={1，3，a }，B={1，a 2-a +1}，且A B，求a的值.解：∵A B，∴a 2-a +1=3或a 2-a +1=a，由a 2-a +1=3，得a =2或a =-1；由a 2-a +1=a，得a =1.经检验，当a =1时，集合A、B中元素有重复，与集合元素的互异性矛盾，所以符合题意的a的值为-1，2.2．真子集(1)定义：如果A B ，并且A≠B，那么集合A 称为集合B 的真子集，记作A B 或B A ，读作 “A 真包含于B ”或“B 真包含A ”.(2)举例：{1，2} {1，2，3}.(3)理解子集的定义要注意以下四点： ①空集是任何非空集合的真子集.②对于集合A 、B 、C ，如果A B ，B C ，那么A C.③若A B ，则⎩⎪⎨⎪⎧A=B A B 且B A A ≠B A B .④元素与集合的关系是属于于不属于的关系，分别用符号“∈”和“ ”表示；集合 与集合之间的关系是包含于、不包含于、真包含于、相等的关系，分别用符号“ ”“ ” “ ”和“=”.(4)例题：例2 写出集合{a ,b ,c }的所有子集，并指出其中哪些是真子集，哪些是非空真子集. 解：{a ,b ,c }的所有子集是： ，{a }，{b }，{c }，{a ，b }，{a ，c }，{b ，c }，{a ，b ，c }. 其中除了{a ，b ，c }外，其余7个集合都是它的真子集.除了 ，{a ，b ，c }外，其余6个都是它的非空真子集.练习：1．判断下列命题的正误：(1){2，4，6} {2，3，4，5，6}； (2){菱形} {矩形}； (3){x |x 2+1=0} {0}； (4){(0，1)} {0，1}.解题提示： 根据子集的定义，判断所给的两集合中前一个集合的任何一个元素是否都是后一个集合的元素.解：根据子集的定义，(1)显然正确；(2)中只有正方形才既是菱形，也是矩形，其他 的菱形不是矩形；(3)中集合{ x | x 2+1= 0 }是 ，而 是任何集合的子集；(4)中{(0，1)} 是点集，而{0，1}是数集，元素不同，因此正确的是(1)(3)，错误的是(2)(4). 判断两集合之间的子集关系时，主要是看其中一个集合的元素是不是都在另一个集合中. 2．写出集合A ={p ，q ，r ，s }的所有子集.解题提示： 根据集合A 的子集中所含有元素的个数进行分类，分别写出，不要漏掉. 解：集合A 的子集分为5类，即评 点(1) ；(2)含有一个元素的子集：{p }，{q }，{r }，{s }；(3)含有两个元素的子集：{p ，q }，{q ，r }，{r ，s }，{s ，p }，{p ，r }，{q ，s }； (4)含有三个元素的子集有：{p ，q ，r }，{p ，q ，s }，{q ，r ，s }，{p ，r ，s }； (5)含有四个元素的子集有：{p ，q ，r ，s }．综上所述：集合A 的子集有 ，{p }，{q }，{r }，{s }，{p ，q }，{q ，r }，{r ，s }，{s ，p }，{p ，r }，{q ，s }，{p ，q ，r }，{p ，q ，s }，{q ，r ，s }，{p ，r ，s }，{p ，q ，r ，s }，共16个．给定一个含有具体元素的集合，写其子集时，应根据子集所含元素的个数进行分类.以下结论可以帮助检验所写子集数的正确性：若一个集合含有m 个元素，则其子集有2m个，真子集有(2m-1)个，非空真子集有(2m-2)个.3．给出下列命题：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若 A ，则A≠ ．其中正确的序号有____④______．解题提示： 从子集、真子集的概念以及空集的特点入手，逐一进行判断.解析：①错误，空集是任何集合的子集， ；②错误，如空集的子集只有1个；③错误， 不是 的真子集；④正确，∵ 是任何非空集合的真子集.求解与子集、真子集概念有关的题目时，应记住以下结论：(1)空集是任何集合的子 集，即对于任意一个集合A ，有 A.(2)任何一个集合是它本身的子集，即对任何一个集合A ，有A A.4．满足集合{1，2，3} M {1，2，3，4，5}的集合M 的个数是 __2____ ．解题提示： 根据所给关系式，利用{1，2，3}是M 的真子集，且M 真包含于{1，2，3，4，5}的关系判断集合M 中的元素个数.解析：依题意，集合M 中除含有1，2，3外至少含有4，5中的一个元素，又M {1，2，3，4，5}，∴M={1，2，3，4}或{1，2，3，5}．(1)解答此题应首先根据子集与真子集的概念判断出集合M 中含有元素的可能情况，然后根据集合M 中含有元素的多少进行分类讨论，防止遗漏.(2)若{ a 1，a 2，…，a m } A {a 1，a 2，…，a m ，a m+1，…，a n } ，则A 的个数为2n －m.若{ a 1，a 2，…，a m } A {a 1，a 2，…，a m ，a m+1，…，a n }，则A 的个数为2n －m-1. 若{ a 1，a 2，…，a m } A {a 1，a 2，…，a m ，a m+1，…，a n }，则A 的个数为2n －m-2.要点二 补集、全集[重点]评点 评点 评点1．补集设A S ，由S 中不属于A 的所有 元素组成的集合称为S 的子集A 的补集， 记作 S A(读作“A 在S 中的补集”)，即S A={ x | x ∈S ，且x A}.C S A 可用图1-2-2中的阴影部分来表示.2．全集. (1)定义：如果集合S 包含我们所要研究的各个集合，这时S 可以看做一个全集，全集通常记作U. (2)举例：例如，在实数范围内讨论集合时，R 便可看做一个全集U ，在自然数范围内讨论集合时，N 便可看做一个全集U.3．理解补集、全集要注意以下两点：(1)对全集概念的理解：全集是相对于所研究的问题而言的一个相对概念，它含有与所研究的问题有关的各个集合的全部元素，因此，全集因研究问题而异.例如在研究数集时，常常把实数集R 看做全集；在立体几何中，三维空间是全集，这是平面是全集的一个子集；而在平面几何中，整个平面可以看做一个全集.(2)求子集A 在全集U 中的补集的方法：从全集U 中去掉所有属于A 的元素，剩下的元素组成的集合即为A 在U 中的补集.如已知U= a ，b ，c ，d ，e ，f ，A= b ，f ，求C U A.该题中显然A U ，从U 中除去子集A 的元素b 、f ，乘下的a 、c 、d 、e 组成的集合即为 U A= a ，c ，d ，e .另外，原题若是无限集，在实数范围内求补集，我们则可以充分利用数轴的直观性来求解.如已知U=R ，A= x x > 3 ，求 U A.用数轴表示如图1-2-3，可知 U A= x x > 3 .4．例题例2 不等式组⎩⎨⎧2x -1>0，3x -6≤0的解集为A ，U=R .试求A 及C U A ，并把它们分别表示在数轴上.解：A= x 2 x -1 > 0且3 x –6 ≤ 0 =122<xx ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭，在数轴上表示如图1-2-4(1). C U A=1,22x x x ⎧⎫≤>⎨⎬⎩⎭或，在数轴上表示如图1-2-4(2).练习5．已知全集U=R ，集合A={ x |1< x ≤6}，求C U A.解题提示： 在数轴上标出集合A ，结合补集的定义求解.解：根据补集的定义，在实数集R 中，由所有不属于A 的实数组成的集合，就是C U A ，如图1-2-5，122122结合数轴可知，C U A={ x |1< x ≤6}.涉足与数集有关的补集，求解时一般要利用数轴只管求解，求解时要注意端点值的取舍. 6．已知全集U={不大于5的自然数}，A={0，1}，B={x |x ∈A ，且x <1}，C={x |x -1 A ，且x ∈U}. (1)判断A 、B 的关系； (2)求C U B 、C U C ，并判断其关系.解题提示： 根据题意，先写出全集U ，按所给集合B 、C 的含义，写出B 、C ，并求其补集后求解第(2)题.解：由题意知U={0，1，2，3，4，5}，B={0}，又集合C 中的元素必须满足以下两 个条件：x ∈U ，x -1 A.若x =0，此时0-1=-1 A ，∴0是C 中的元素； 若x =1，此时1-1=0∈A ，∴1不是C 中的元素； 若x =2，此时2-1=1∈A ，∴2不是C 中的元素；同理可知3，4，5是集合C 中的元素，∴C={0，3，4，5}. (1)∵A={0，1}，B={0}，∴B A ；(2)C U B={1，2，3，4，5}，C U C={1，2}，∴C U C C U B.若给定具体的数的集合，判断其两个子集的补集之间的关系时，应先求集合的补集. 7．设全集U={1，2，x 2-2}，A={1，x }，求C U A.解题提示： 要求C U A ，必须先确定集合A ，实际上就是确定x 的值，从而需要分类讨论. 解：由条件知A U ，∴x ∈U={1，2，x 2-2}，又x ≠1，∴x =2或x = x 2-2. 若x =2，则x 2-2=2，此时U={1，2，2}，这是与互异性矛盾，舍去. 由x =x 2-2得x 2-x -2=0，解得x =-1或x =2(舍去). 此时U={-1，1，2}，A={1，-1}，∴C U A={2}.求解此题首先确定参数x 的值，然后确定出U 和A 的具体结果.在求解集合问题时必须密切关注集合元素的特征，并且特别注意互异性，以免产生增根.8．已知A={x |x <5}，B={x |x <a }，分别求满足下列条件的a 的取值范围：(1)B A ；(2)A B. 解题提示： 紧扣子集、全集、补集的定义，利用数轴，数形结合求出a 范围. 解：(1)因为B A ，B 是A 的子集，如图1-2-6(1)，故a ≤5.评点 评点 A Ba5x(2)ABa5x(1)(2)因为A B ，B 是A 的子集，如图1-2-6(2)，故a ≥5．9．已知M={x |x = a 2+1，a ∈N *}，P={ y | y =b 2- 6b +10，b ∈N}，判断集合M 与P 之间的关系. 解法一：集合P 中，y =b 2-6b +10=(b -3)2+1当b =4，5，6，…时，与集合M 中a =1，2，3，…时的值相同，而当b =3时，y =1∈P ，1 M ，∴M P. 解法二：对任意的x 0∈M ，有x 0=a 2 0+1=(a 0+3)2-6(a 0+3)+10∈P(∵a 0∈N *，∴a 0+3∈ N)，∴M P ，又b =3时，y =1，∴1∈P.而1<1+ a 2 0+1=(a 0∈N *)，∴1 M ，从而M P.10．已知全集U ，集合A={1，3，5，7，9}，C U A={2，4，6，8}，C U B={1，4，6，8，9}，求集合 B.解题提示： 求集合B ，需根据题意先求全集U ，由于集合A 及C U A 已知，因此可用Venn 图来表示所给集合，将A 及C U A 填入即可得U解：借助Veen 图，如图1-2-7.由题意知U={1，2，3，4，5，6，7，8，9}. ∵C U B={1，4，6，8，9} ∴B={2，3，5，7}.求本题中的全集，用Veen 较直观，本题的求解实际上应用了补集的性质C U (C U B)=B.例7 已知A={ x | x <-1或x > 5 }，B={ x ∈R | a < x <a + 4 }，若A B ，求实数a 的取值范围.解题提示： 注意到B≠ ，将A 在数轴上保释出来，再将B 在数轴上表示出来，使得A B ，即可得a 的取值范围.解：如图-2-6，∵A B ，∴a + 4 ≤-1或a ≥5，∴a ≤-5或a ≥5.本题利用数轴处理一些实数集之间的关系，以形助数直观、形象，体现了数形结合的思想，这在以后的学习中会经常用到，但一定要检验端点值是否能取到，此题的易错点是各端点的取值情况,例8 设{}{}2A=8150B=10,x x x x ax -+=-=，若B A ，求实数a 的值.解题提示： 集合B 是方程ax -1=0的解集，该方程不一定是一次方程，当a =0时，B= ，此时符方法一 数形结合思想 A 1-4a +aBA4a +aB5AA51-评点 方法二 分类讨论思想U A1 3，，5 7 9，，2468评点。
高一数学人教版A版必修二课件：第四章 圆与方程
设点P(x0，y0)及圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2. (1)(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔点P_在__圆__外__. (2)(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔点P_在__圆__内__. (3)(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点P_在__圆__上__.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练3 已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q 为圆上的动点. (1)求线段AP中点的轨迹方程； 解 设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y). 因为P点在圆x2＋y2＝4上， 所以(2x－2)2＋(2y)2＝4， 故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
第四章 圆与方程
章末复习课
学习目标
1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识； 2.培养综合运用知识解决问题的能力，能灵活、熟练运用系数法求解 圆的方程，能解决直线与圆的综合问题，渗透数形结合的数学思想.
要点归纳
题型探究
达标检测
要点归纳
主干梳理 点点落实
1.圆的方程 (1)圆的标准方程：_(_x_－__a_)2_＋__(_y－__b_)_2_＝__r_2 _. (2)圆的一般方程：__x_2_＋__y2_＋__D__x＋__E__y_＋__F_＝__0_(D__2_＋__E_2－__4_F__>_0_)_.
解析答案
类型二 直线与圆、圆与圆的位置关系 例2 已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.若直线l过点P，且 被圆C截得的线段长为 4 3 ，求l的方程.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练2 已知圆C与圆x2＋y2－2x＝0相外切，并且与直线x＋ 3 y＝0 相切于点Q(3，－ 3 )，求圆C的方程. 解 设所求圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 圆心 C(a，b)与 Q(3，－ 3)的连线垂直于直线 x＋ 3y＝0，且斜率为 3.
2022高一数学同步精品课件(苏教版2019必修第一册)1
课标要求素养要求理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.会用三种语言(自然语言、图形语言、符号语言)表示集合间的基本关系，并能进行转换，重点提升数学抽象素养和直观想象素养.新知探究草原上，蓝蓝的天上白云飘，白云下面马儿跑.如果草原上的枣红马组成集合A，草原上的所有马组成集合B.问题 (1)集合A中的元素与集合B中的元素的关系是怎样的？(2)集合A与集合B又存在什么关系？提示 (1)集合A中的元素都是B的元素.(2)A是B的子集.1.子集、真子集(1)如果集合A 的任意一个元素______集合B 的元素(若a ∈A ，则a ∈B )，那么集合A 称为集合B 的子集，记为________________.读作：“集合A 包含于集合B ”或“集合B 包含集合A ”.(2)如果A ⊆B ，并且________.那么集合A 称为集合B 的真子集，记为________或B⊋A .读作“A 真包含于B ”或“B 真包含A”.都是A ⊆B 或B ⊇A A ≠B A ⫋B2.子集、真子集的性质(1)任意集合A 都是它自身的______，即A ⊆A .(2)空集是任意一个集合A 的子集，即________.(3)对于集合A ，B ，C ，如果A ⊆B ，B ⊆C ，那么________.(4)对于集合A ，B ，C ，如果A ⫋B ，B ⫋C ，那么________.子集∅⊆A A ⊆C A ⫋C3.用韦恩图表示非空集合的基本关系(1)A⊆B表示为：或(2)A⫋B表示为：(3)A＝B表示为：基础自测[判断题]1.1⊆{1，2，3}.( )提示 “⊆”表示集合与集合之间的关系，而不是元素和集合之间的关系.2.任何集合都有子集和真子集.( )提示 空集只有子集，没有真子集.3.若a ∈A ，则{a } A .()提示 也有可能{a }＝A .4.若A ⊆B ，且B ⊆A ，则A ＝B .( )×××√5.已知集合A＝{－1，3，m}，B＝{3，4}，若B⊆A，则实数m＝________.解析 ∵B⊆A，∴ 元素3，4必为A中元素，∴m＝4.答案 46.若A＝{1，a，0}，B＝{－1，b，1}，且A＝B，则a＝________，b＝________.解析 由两个集合相等可知b＝0，a＝－1.答案 －1 07.若{1，2}⊆B⊆{1，2，4}，则B＝________.解析 由条件知B中一定含有元素1和2，故B可能是{1，2}或{1，2，4}.答案 {1，2}或{1，2，4}[思考]1.A⊆B能否理解为子集A是B中的“部分元素”所组合的集合？提示 A⊆B不能理解为集合A是B中的“部分元素”所组成的集合.因为若A＝∅，则A中不包含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素，而此时可以说集合A 是集合B的子集.2.符号“∈”与“⊆”的区别是什么？提示 符号“∈”用于表示元素与集合之间的关系；而符号“⊆”用于表示集合与集合之间的关系.3.集合A中有n(n∈N*)个元素，则A的子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数分别是多少？提示 ①由n个元素组成的集合有2n个子集；②由n个元素组成的集合有(2n－1)个真子集；③由n个元素组成的集合有(2n－1)个非空子集；④由n个元素组成的集合有(2n－2)个非空真子集.题型一 集合关系的判断【例1】 指出下列各对集合之间的关系：(1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}；(2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；(3)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}；(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N＋}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N＋}.解 (1)集合A的元素是数，集合B的元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系.规律方法 判断集合关系的方法(1)观察法：一一列举观察.(2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系.(3)数形结合法：利用数轴或Venn图.【训练1】 (1)设集合M＝{菱形}，N＝{平行四边形}，P＝{四边形}，Q＝{正方形}，则这些集合之间的关系为( )A.P⊆N⊆M⊆QB.Q⊆M⊆N⊆PC.P⊆M⊆N⊆QD.Q⊆N⊆M⊆P(2)设集合A＝{0，1}，集合B＝{x|x<2或x>3}，则A与B的关系为( )A.A∈BB.B∈AC.A⊆BD.B⊆A解析 (1)正方形都是菱形，菱形都是平行四边形，平行四边形都是四边形，故选B.(2)∵0<2，∴0∈B.又∵1<2，∴1∈B.∴A⊆B.答案 (1)B (2)C题型二 集合的子集、真子集【例2】 (1)集合{a，b，c}的所有子集为________________，其中它的真子集有________个.解析 集合{a，b，c}的子集有：∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，其中，除{a，b，c}外，都是{a，b，c}的真子集，共7个.答案 ∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c} 74}，{0，2，3，4}，{1，2，3，4}，{0，1，2，3，4}.规律方法 1.假设集合A中含有n个元素，则有：(1)A的子集有2n个；(2)A的非空子集有(2n－1)个；(3)A的真子集有(2n－1)个；(4)A的非空真子集有(2n－2)个.2.求给定集合的子集的两个注意点：(1)按子集中元素个数的多少，以一定的顺序来写；(2)在写子集时要注意不要忘记空集和集合本身.【训练2】 已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集.解 ∵A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，∴A＝{(0，2)，(1，1)，(2，0)}.∴A的子集有：∅，{(0，2)}，{(1，1)}，{(2，0)}，{(0，2)，(1，1)}，{(0，2)，(2，0)}，{(1，1)，(2，0)}，{(0，2)，(1，1)，(2，0)}.题型三 子集关系的应用【例3】 已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⫋A，求实数m的取值范围.解 (1)当B≠∅时，如图所示.解这两个不等式组得2≤m≤3.(2)当B＝∅时，由m＋1>2m－1，得m<2.综上可得，m的取值范围是{m|m≤3}.【迁移1】 (变换条件)若本例条件“A＝{x|－2≤x≤5}”改为“A＝{x|－2<x<5}”，其他条件不变，求m的取值范围.解 (1)当B＝∅时，由m＋1>2m－1，得m<2.(2)当B≠∅时，如图所示.即2≤m<3，综上可得，m的取值范围是{m|m<3}.解 当A⊆B时，如图所示，此时B≠∅.∴m∈∅，即m的取值范围为∅.【训练3】 已知集合A＝{x|1≤x≤2}，集合B＝{x|1≤x≤a，a≥1}.(2)若B⊆A，由图可知1≤a≤2.一、课堂小结1.通过自然语言、图形语言、符号语言表示集合间的基本关系，提升数学抽象素养和直观想象素养.2.对子集、真子集有关概念的理解(1)集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A，能推出x∈B，这是判断A⊆B的常用方法.(2)不能简单地把“A⊆B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝∅时，则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素.(3)在真子集的定义中，A，B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A.二、课堂检测1.已知集合A＝{－1，0，1}，A的子集中，含有元素0的子集共有( )A.2个B.4个C.6个D.8个解析 根据题意，在集合A的子集中，含有元素0的子集有{0}，{0，1}，{0，－1}，{－1，0，1}, 故选B.答案 B2.已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，则( )解析 ∵A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，∴A≠B.又1∈A且1∉B，∴B是A的真子集，故选D.答案 D3.设集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，若A⊆B，则a的取值范围是________.解析 画出数轴可得a≥2.答案 {a|a≥2}4.我们已经知道自然数集、整数集、有理数集、实数集可以分别用N，Z，Q，R 表示，用符号表示N，Z，Q，R的关系为____________.答案 N⫋Z⫋Q⫋R5.已知集合M＝{x|x＝a2＋1，a∈N}，集合P＝{y|y＝b2＋2b＋2，b∈N}，试判断M与P的关系，并说明理由.当a＝0时，x＝1，∴1∈M.∵b∈N，∴y＝b2＋2b＋2＝(b＋1)2＋1≥2，∴1∉P.谢谢观看。
高一数学复习考点知识讲解课件5---两条直线平行
高一数学复习考点知识讲解课件§1.3两条直线的平行与垂直第1课时两条直线平行考点知识1.理解并掌握两条直线平行的条件.2.会运用条件判定两直线是否平行.3.运用两直线平行时的斜率关系求直线方程，解决相应的几何问题.导语魔术师的地毯有一天，著名魔术大师拿了一块长宽都是13分米的地毯去找地毯匠，要求把这块正方形的地毯改制成宽8分米，长21分米的矩形，地毯匠对魔术师说：这不可能吧，正方形的面积是169平方分米，而矩形的面积只有168平方分米，除非裁去1平方分米．魔术师拿出事先准备好的两张图，对地毯匠说：“你就按图(1)的尺寸把地毯分成四块，然后按图(2)的样子拼在一起缝好就行了，我不会出错的，你尽管放心做吧”．地毯匠照着做了，缝了一量，果真是宽8分米，长21分米．魔术师拿着改好的地毯得意洋洋地走了．而地毯匠还在纳闷哩，这是怎么回事呢？为了破解这个谜底，今天我们学习直线的平行．一、两条直线平行的判定问题1在平面几何中，两条平行直线被第三条直线所截，形成的同位角、内错角、同旁内角有什么关系？提示两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补．问题2平面中的两条平行直线被x轴所截，形成同位角相等，而倾斜角是一对同位角，因此可以得出什么结论？提示两直线平行，倾斜角相等．知识梳理对于斜率分别为k1，k2的两条直线l1，l2，有l1∥l2⇔k1＝k2.注意点：(1)l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l1与l2不重合．(2)k1＝k2⇒l1∥l2或l1与l2重合(斜率存在)．(3)l1∥l2⇒k1＝k2或两条直线的斜率都不存在．例1判断下列各题中的直线l1与l2是否平行：(1)l1经过点A(－1，－2)，B(2,1)，l2经过点M(3,4)，N(－1，－1)；(2)l1的斜率为1，l2经过点A(1,1)，B(2,2)；(3)l1经过点A(0,1)，B(1,0)，l2经过点M(－1,3)，N(2,0)；(4)l1经过点A(－3,2)，B(－3,10)，l2经过点M(5，－2)，N(5,5)．解(1)k1＝1－(－2)2－(－1)＝1，k2＝－1－4－1－3＝54，k1≠k2，l1与l2不平行．(2)k 1＝1，k 2＝2－12－1＝1，k 1＝k 2，故l 1∥l 2或l 1与l 2重合．(3)k 1＝0－11－0＝－1，k 2＝0－32－(－1)＝－1，则有k 1＝k 2. 又k AM ＝3－1－1－0＝－2≠－1，则A ，B ，M 不共线．故l 1∥l 2.(4)由已知点的坐标，得l 1与l 2均与x 轴垂直且不重合，故有l 1∥l 2.反思感悟判断两条不重合的直线是否平行的方法跟踪训练1(1)已知l 1经过点A (0,3)，B (5,3)，l 2经过点M (2,5)，N (6,5)，判断直线l 1与l 2是否平行．解∵l 1与l 2都与y 轴垂直，且l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2.(2)试确定m 的值，使过点A (m ＋1,0)，B (－5，m )的直线与过点C (－4,3)，D (0,5)的直线平行．解由题意知直线CD 的斜率存在，则与其平行的直线AB 的斜率也存在．k AB ＝m －0－5－(m ＋1)＝m －6－m ，k CD ＝5－30－(－4)＝12，由于AB ∥CD ，所以k AB ＝k CD ，即m －6－m ＝12，得m ＝－2.经验证，当m ＝－2时直线AB 的斜率存在，所以m ＝－2.二、求与已知直线平行的直线方程例2(1)过点(5,0)且与x ＋2y －2＝0平行的直线方程是()A ．2x ＋y ＋5＝0B ．2x ＋y －5＝0C ．x ＋2y －5＝0D ．x ＋2y ＋5＝0答案C解析由题意可设所求直线方程为x ＋2y ＋c ＝0(c ≠－2)．因为(5,0)在该直线上，所以5＋2×0＋c ＝0，得c ＝－5，故该直线方程为x ＋2y －5＝0.(2)求与直线3x ＋4y ＋1＝0平行，且过点(1,2)的直线l 的方程．解方法一设直线l 的斜率为k ，∵直线l 与直线3x ＋4y ＋1＝0平行，∴k ＝－34，又∵直线l 经过点(1,2)，∴所求直线的方程为y －2＝－34(x －1)，即3x ＋4y －11＝0.方法二设与直线3x＋4y＋1＝0平行的直线l的方程为3x＋4y＋m＝0.∵直线l经过点(1,2)，∴3×1＋4×2＋m＝0，解得m＝－11，∴所求直线的方程为3x＋4y－11＝0.反思感悟与已知直线平行的直线方程的求法可以求点斜式方程，也可以先设成一般式，用待定系数法求方程．跟踪训练2(1)已知直线l过点(0,7)，且与直线y＝－4x＋2平行，则直线l的方程为() A．y＝－4x－7B．y＝4x－7C．y＝4x＋7D．y＝－4x＋7答案D解析过点(0,7)且与直线y＝－4x＋2平行的直线方程为y－7＝－4x，即直线l的方程为y ＝－4x＋7，故选D.(2)求过点P(－1,3)且平行于直线x－2y＋3＝0的直线方程．解设所求直线方程为x－2y＋c＝0，把P(－1,3)代入直线方程得c＝7，所以所求直线方程为x－2y＋7＝0.三、直线平行的应用例3已知两直线l1：x＋my＋6＝0；l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，当m为何值时，直线l1与l2：(1)相交；(2)平行；(3)重合．解∵直线l1：x＋my＋6＝0，直线l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，∴A 1＝1，B 1＝m ，C 1＝6，A 2＝m －2，B 2＝3，C 2＝2m .(1)若l 1与l 2相交，则A 1B 2－A 2B 1≠0，即1×3－m (m －2)≠0，即m 2－2m －3≠0，即(m －3)(m ＋1)≠0，即m ≠3，且m ≠－1.故当m ≠3，且m ≠－1时，直线l 1与l 2相交．(2)若l 1∥l 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧ A 1B 2－A 2B 1＝0，B 1C 2－B 2C 1≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 3－m (m －2)＝0，2m 2－18≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －3＝0，m 2≠9， 即⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝3或m ＝－1，m ≠3且m ≠－3，∴m ＝－1.故当m ＝－1时，直线l 1与l 2平行．(3)若l 1与l 2重合，则有⎩⎪⎨⎪⎧A 1B 2－A 2B 1＝0，B 1C 2－B 2C 1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 3－m (m －2)＝0，2m 2－18＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝3或m ＝－1，m ＝3或m ＝－3，∴m ＝3. 故当m ＝3时，直线l 1与l 2重合．反思感悟已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则： l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0，且B 1C 2－B 2C 1≠0(或A 1C 2－A 2C 1≠0)．跟踪训练3l 1：9x －y ＋a ＋2＝0；l 2：ax ＋(a －2)y ＋1＝0.求当a 为何值时，直线l 1与l 2：(1)相交；(2)平行；(3)重合．解由题意得A 1＝9，B 1＝－1，C 1＝a ＋2，a 2＝a ，B 2＝a －2，C 2＝1.(1)若l 1与l 2相交，则a 1B 2－a 2B 1≠0，即9(a －2)－a ×(－1)≠0，∴a ≠95.故当a ≠95时，直线l 1与l 2相交．(2)若l 1∥l 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧ A 1B 2－A 2B 1＝0，B 1C 2－B 2C 1≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 9(a －2)－a ×(－1)＝0，－1－(a 2－4)≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝95，a ≠±3.∴当a ＝95时，l 1与l 2平行．(3)若l 1与l 2重合，则有⎩⎪⎨⎪⎧A 1B 2－A 2B 1＝0，B 1C 2－B 2C 1＝0， 由(2)知⎩⎨⎧ a ＝95，a ＝±3，不成立，∴直线l 1与l 2不重合．综上所述，当a ≠95时，两直线相交，当a ＝95时，两直线平行，不论a 为何值两直线不会重合．1．知识清单：(1)两直线平行的条件． (2)由两直线平行求参数值．(3)求与已知直线平行的直线方程．2．方法归纳：分类讨论、数形结合．3．常见误区：研究两直线平行关系时忽略直线斜率为0或斜率不存在的情况．1．已知直线l 1的倾斜角为30°，直线l 1∥l 2，则直线l 2的斜率为()A.3B ．－ 3C.33D ．－33答案C解析因为l 1∥l 2，所以kl 2＝kl 1＝tan30°＝33.2．直线x ＋ay －7＝0与直线(a ＋1)x ＋2y －14＝0平行，则a 的值是()A ．1B ．－2C ．1或－2D ．－1或2答案B解析由已知，得a (a ＋1)－2＝0，解得a ＝－2或a ＝1.当a ＝1时，两直线重合，∴a ＝－2.3．已知过点A (－2，m )和B (m ,4)的直线与直线2x ＋y －1＝0平行，则m 的值为()A ．－8B ．0C ．2D ．10答案A解析由已知，得4－m m ＋2＝－2，∴m ＝－8. 4．已知直线l 的倾斜角为45°，直线l 2的斜率为k ＝m 2－3，若l 1∥l 2，则m 的值为________． 答案±2解析由题意知m 2－3＝tan45°，解得m ＝±2.课时对点练1．(多选)若l 1与l 2为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别是α1，α2，斜率分别为k 1，k 2，则下列选项中正确的是()A．若l1∥l2，则斜率k1＝k2B．若k1＝k2，则l1∥l2C．若l1∥l2，则倾斜角α1＝α2D．若α1＝α2，则l1∥l2答案BCD2．过点A(2,5)和点B(－4,5)的直线与直线y＝3的位置关系是() A．相交B．平行C．重合D．以上都不对答案B解析斜率都为0且不重合，所以平行．3．已知直线l的倾斜角为3π4，直线l1经过点A(3,2)和B(a，－1)，且直线l与l1平行，则实数a的值为()A．0B．1C．6D．0或6 答案C解析由直线l的倾斜角为3π4得l的斜率为－1，因为直线l与l1平行，所以l1的斜率为－1. 又直线l1经过点A(3,2)和B(a，－1)，所以l1的斜率为33－a ，故33－a＝－1，解得a＝6.4．若直线l1：mx－y－2＝0与直线l2：(2－m)x－y＋1＝0互相平行，则实数m的值为() A．－1B．0C．1D．2答案C解析∵直线l 1：mx －y －2＝0与直线l 2：(2－m )x －y ＋1＝0互相平行，∴⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋(2－m )＝0，m ＋2(2－m )≠0，解得m ＝1. 5．设不同直线l 1：2x －my －1＝0，l 2：(m －1)x －y ＋1＝0，则“m ＝2”是“l 1∥l 2”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案C解析当m ＝2时，易知两直线平行，即充分性成立．当l 1∥l 2时，显然m ≠0，从而有2m ＝m －1，解得m ＝2或m ＝－1，但当m ＝－1时，两直线重合，不符合要求，故必要性成立，故选C.6．已知直线l ：(a －1)x ＋(b ＋2)y ＋c ＝0，若l ∥y 轴，但不重合，则下列结论正确的是()A ．a ≠1，b ≠2，c ≠0B ．a ≠1，b ＝－2，c ≠0C ．a ＝1，b ≠－2，c ≠0D ．a ≠1，b ≠－2，c ≠0答案B解析∵直线l ：(a －1)x ＋(b ＋2)y ＋c ＝0，l ∥y 轴，但不重合，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1≠0，b ＋2＝0，c ≠0，解得a ≠1，b ＝－2，c ≠0.故选B.7．直线l 1的斜率k 1＝34，直线l 2经过点A (1,2)，B (a －1,3)，l 1∥l 2，则a 的值为________．答案103解析直线l 2的斜率k 2＝3－2a －1－1＝1a －2， ∵l 1∥l 2，∴k 1＝k 2，∴1a －2＝34， ∴a ＝103.8．直线x ＋a 2y ＋6＝0和(a －2)x ＋3ay ＋2a ＝0无公共点，则a 的值为______________． 答案0或－1解析两直线无公共点，即两直线平行．当a ＝0时，这两条直线分别为x ＋6＝0和x ＝0，无公共点；当a ≠0时，由－1a 2＝－a －23a ，解得a ＝3或a ＝－1.若a ＝3，这两条直线分别为x ＋9y ＋6＝0，x ＋9y ＋6＝0，两直线重合，有无数个公共点，不符合题意，舍去；若a＝－1，这两条直线分别为x＋y＋6＝0和3x＋3y＋2＝0，两直线平行，无公共点．综上，a＝0或a＝－1.9．根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行．(1)l1经过点A(2,1)，B(－3,5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)；(2)l1的倾斜角为60°，l2经过点M(3,23)，N(－2，－33)．解(1)由题意知k1＝5－1－3－2＝－45，k2＝－7＋38－3＝－45.因为k1＝k2，且A，B，C，D四点不共线，所以l1∥l2.(2)由题意知k1＝tan60°＝3，k2＝－33－23－2－3＝ 3.所以k1＝k2，所以l1∥l2或l1与l2重合．10．已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.若l1与l2平行，求a 的值．解方法一当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1不平行于l2；当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不平行于l2；当a≠1且a≠0时，两直线可化为l1：y＝－a2x－3，l 2：y ＝11－ax －(a ＋1)， l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧ －a 2＝11－a ，－3≠－(a ＋1)，解得a ＝－1，综上可知，当a ＝－1时，l 1∥l 2.方法二由a 1B 2－a 2B 1＝0，得a (a －1)－1×2＝0，由a 1C 2－a 2C 1≠0，得a (a 2－1)－1×6≠0，所以l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a (a －1)－1×2＝0，a (a 2－a )－1×6≠0，⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＝0，a (a 2－1)≠6，可得a ＝－1， 故当a ＝－1时，l 1∥l 2.11．(多选)已知点A (m ,3)，B (2m ，m ＋4)，C (m ＋1,2)，D (1，0)，且直线AB 与直线CD 平行，则m 的值为()答案BC解析当m＝0时，直线AB与直线CD的斜率均不存在且不重合，此时AB∥CD.当m≠0时，k AB＝(m＋4)－32m－m，k CD＝2－0(m＋1)－1，则k AB＝k CD，即m＋1m＝2m，得m＝1，∴m＝0或1.12.如图所示，在平面直角坐标系中，以O(0,0)，A(1,1)，B(3,0)为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是()A．(－3,1) B．(4,1)C．(－2,1) D．(2，－1)答案A解析如图所示，因为经过三点可构造三个平行四边形，即▱AOBC1，▱ABOC2，▱AOC3B.根据平行四边形的性质，可知选项B，C，D分别是点C1，C2，C3的坐标，故选A.13．(多选)已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k 的值是()答案CD解析由两直线平行得，当k －3＝0，即k ＝3时，两直线的方程分别为y ＝－1和y ＝32，显然两直线平行．当k －3≠0，即k ≠3时，由k －32(k －3)＝4－k －2≠13，可得k ＝5.综上，k 的值是3或5.14．已知两条直线的斜率分别为1b 2和－b 2－1a ，若这两条直线互相平行，则实数a 的最大值为________．答案14解析因为两条直线互相平行，所以1b 2＝－b 2－1a ，所以a ＝－b 4＋b 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2－122＋14≤14，当且仅当b 2＝12时取等号，故实数a 的最大值为14.15．已知直线l 平行于直线3x ＋4y －7＝0，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，则直线l 的方程为________．答案3x ＋4y －24＝0或3x ＋4y ＋24＝0解析因为直线l 与直线3x ＋4y －7＝0平行，所以设直线l 的方程为3x ＋4y ＋b ＝0(b ≠－7)，则其与x 轴交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 3，0，与y 轴交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－b 4.依题意可得，12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－b 3×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－b 4＝24， 解得b ＝±24，所以直线l 的方程为3x ＋4y ±24＝0.16．已知P (－2，m )，Q (m ,4)，M (m ＋2,3)，N (1,1)，若直线PQ ∥直线MN ，求m 的值. 解当m ＝－2时，直线PQ 的斜率不存在，而直线MN 的斜率存在，MN 与PQ 不平行，不符合题意；当m ＝－1时，直线MN 的斜率不存在，而直线PQ 的斜率存在，MN 与PQ 不平行，不符合题意；当m ≠－2，且m ≠－1时，k PQ ＝4－m m －(－2)＝4－m m ＋2， k MN ＝3－1m ＋2－1＝2m ＋1. 因为直线PQ ∥直线MN ，所以k PQ ＝k MN ，即4－m m ＋2＝2m ＋1，解得m ＝0或m ＝1. 当m ＝0或1时，由图形知，两直线不重合．综上，m 的值为0或1.。
2024-2025学年高一数学必修第一册(配北师版)教学课件1.1利用函数性质判定方程解的存在性
D.(-∞,-3)和(4,+∞)
解析 易知f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条连续不断的曲线,又f(-3)·f(-1)
(1)函数的零点是一个点.( × )
(2)函数的零点是一个点的坐标.( × )
1
2.函数y=1+ 的零点是( B )
A.(-1,0)
B.-1
C.1
D.0
3.[人教B版教材例题]如图所示是函数y=f(x)的图象,分别写出
f(x)=0,f(x)>0,f(x)≤0的解集.
解 由图可知,f(x)=0的解集为{-5,-3,-1,2,4,6}.
f(x)=0,通过求方程f(x)=0的解求得函数的零点;二是几何法,画出函数y=f(x)
的图象,图象与x轴交点的横坐标即函数的零点.
变式训练1已知函数f(x)=x2+3(m+1)x+n的零点是1和2,求函数y=logn(mx+1)
的零点.
解 由题意知函数f(x)=x2+3(m+1)x+n的零点为1和2,则1和2是方程
【例2】 判断下列函数零点的个数:
(1)f(x)=(x2-4)log2x;
(2)f(x)=x2-
1
;
(3)f(x)=2x+lg(x+1)-2.
解 (1)令f(x)=0,得(x2-4)log2x=0,因此x2-4=0或log2x=0,解得x=±2或x=1.
又因为函数定义域为(0,+∞),所以-2不是函数的零点,故函数有1和2两个零点.
(方法二)令h(x)=2-2x,g(x)=lg(x+1),在同一平面直
3.3 幂函数 课件(共48张PPT)高一数学必修第一册(人教A版2019)
(3) 在区间(0, )上,函数y x, y x2 , y x3 , y x 2单调递增, 函数y x1单调递减;
(4) 在第一象限内, 函数y x1的图象向上与y轴无限接近,向右与x轴 无限接近.
学习新知 例 证明函数f ( x) x是增函数.
证明：函数的定义域是[0, ). x1, x2 [0, ), 且x1 x2 ,
[0,+∞)递增
(-∞,0)和(0,+∞) 递减
图象
公共点
(1,1) ( R) (0,0) ( 0时)
①为偶数, y x是偶函 数. ②为—奇—数, y x是奇函 数.
3.3 幂函数
02 幂函数的图象 与性质
应用新知 1 幂函数的概念
一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.
本节我们利用这些知识研究一类新的函数．
学习新知
先看几个实例： (1)如果卢老师以1元/kg的价格购买了某种蔬菜t千克，那么他需要支付
的钱数P=t元，这里P是t的函数；
(2)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S=a2，这里S是a的函数；
(3)如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V=b3，这里V是b的函数；
或
m＝0.
当
m＝2
时，f(x)＝
x
1 2
，图象过点(4,2)；
当
m＝0
时，f(x)＝
x
3 2
，图象不过点(4,2)，舍去．
综上，f(x)＝
x
1 2
.
能力提升 题型三：利用幂函数的单调性比较大小
【练习
3】已知幂函数
f(x)＝m2
2m
1
m 3
x2
的图象过点(4,2)．
高一数学指数函数ppt课件
与对数式的转换、对数运算的性质等。
拓展延伸：挑战更高难度题目
复杂指数函数的性质研究
引入更复杂的指数函数形式，如复合指数函 数、分段指数函数等，探讨它们的性质和应 用。
指数函数在实际问题中的应 用
结合实际问题，如复利计算、人口增长等，展示指 数函数的应用价值，并引导学生运用所学知识解决 实际问题。
指数函数与其他数学知识 的综合应用
指数函数图像特征
当a>1时，图像在x轴上方，且随着x 的增大，y值迅速增大；当0<a<1时， 图像在x轴上方，但随着
当a>1时，指数函数在R上是增函数；当0<a<1时，指数函数在R 上是减函数。
指数函数的值域
指数函数的值域为(0, +∞)。
在解题时，要注意判断题目所给 条件是否满足对称性，以便更好
地应用这一性质。
05 复杂问题解决方 法与策略
分段讨论法在处理复杂问题时应用
分段讨论法概念
将复杂问题按照一定条件分成若 干段，每一段内问题相对简单，
易于解决。
分段讨论法应用
在处理指数函数问题时，当自变量 在不同区间内取值时，函数性质可 能发生变化，此时可以采用分段讨 论法。
数形结合思想概念
将数学中的“数”与“形”结合起来，通过图形 直观展示数量关系，帮助理解问题本质。
数形结合思想应用
在处理指数函数问题时，可以通过绘制函数图像 来观察函数性质，如单调性、周期性等。
数形结合思想优势
通过数形结合可以更加直观地理解问题，提高解 题准确性。
06 总结回顾与拓展 延伸
关键知识点总结回顾
幂的乘方规则
$(a^m)^n = a^{m times n}$，幂的乘方，底 数不变，指数相乘。
高一数学最新课件-一元二次不等式解法[整理] 精品
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三、课堂练习：
课本P20，练习1—3，
三、课堂练习：
补充练习： 1、若不等式
x2 8x mx2 mx
20 1
0
对一切x恒成立，
求实数m的范围.（-4<m≤0）
2、设不等式ax2+bx+c>0的解集是
{x|a<x<β}(0<a<β)，求不等式
cx2+bx+a<0的解集。
（{x|x<
1
}∪{x|x>
x>2}.
例题解析（师生共同活动）
例2：解不等式-3x2+6x>2.
分析：二次项系数小于零，首先将其变形为二次项系数 大于零情形，转化为熟知类型，然后求解。
解：原不等式变形为：3x2-6x+2<0.
因为Δ=36-24＞０,方程3x2-6x+2=0解是：
x1=1-
3 3
，x2 =1+
3 3
所以原不等式的解3;
3 3
}.
例题解析（师生共同活动）
例3：解不等式4x2-4x+1>0.
解：∵Δ=16-16=0,方程4x2-4x+1=0的解是：x1=x2=
∴不等式的解集是：{x|x≠ 12，x∈R}.
1.2
例题解析（师生共同活动）
例4：解不等式-x2+2x-3>0. 解：将原不等式变形，得：x2-2x+3<0. ∵Δ= 4-12<0,方程x2-2x+3=0无实数解. 所以不等式x2-2x+3<0解集是ø. 故原不等式的解集是ø.
一、复习回顾
不等式解集含义； 会在数轴上表示解集； 不等式性质及其利用。
复数代数形式的加、减运算及其几何意义课件-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
跟踪训练3 设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，1≤|z|≤2，则|z＋1|的取值范围 是___[_0_,3_]__.
解析 由复数的模及复数加减运算的几何意义可知， 1≤|z|≤2表示如图所示的圆环，而|z＋1|表示 复数z的对应点A(a，b)与复数z1＝－1的 对应点B(－1，0)之间的距离，即圆环内 的点到点B的距离d.由图易知当A与B重合时，dmin＝0， 当点A与点C(2,0)重合时，dmax＝3，∴0≤|z＋1|≤3.
复数与向量的对应关系的两个关注点
①
②
复数z＝a＋bi(a，b∈R)是与以原 点为起点，Z(a，b)为终点的向量 一一对应的.
一个向量可以平移，其对应的复数 不变，但是其起点与终点所对应的 复数发生改变.
跟踪训练 2 (1)已知复平面内的向量O→A，A→B对应的复数分别是 －2＋i,3＋2i，则|O→B|＝____1_0___.
1234
2.已知z1＝2＋i，z2＝1－2i，则复数z＝z2－z1对应的点位于
A.第一象限
B.第二象限
√C.第三象限
D.第四象限
解析
解析 z＝z2－z1＝(1－2i)－(2＋i)＝－1－3i.
故z对应的点为(－1，－3)，位于第三象限.
1234
3.已知复数z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且 z1－z2为纯虚数，则a＝__－__1____.
解析 ∵O→B＝O→A＋A→B， ∴O→B对应的复数为(－2＋i)＋(3＋2i)＝1＋3i， ∴|O→B|＝ 12＋32＝ 10.
(2) 若z1＝1＋2i，z2＝2＋ai，复数z2－z1所对应的点在第四象限 内，则实数a的取值范围是__(_－__∞__，__2_) __.
对数函数的图像和性质 课件-高一上学期数学人教A版必修第一册
a＜1.
x－4<x－2
解集为(4,+∞)
3.对数型函数的奇偶性和单调性
例 4.函数 f(x)＝log1 (x2－3x－10)的单调递增区间为( )
2
A．(－∞，－2)
B．(－∞，32)
C．(－2，3) 2
D．(5，＋∞)
[解析] 由题意，得x2－3x－10>0，∴(x－5)(x＋2)>0，∴x<－2或x>5.
∴函数f(x)为奇函数
若函数y＝loga(2－ax)在x∈[0,1]上是减函数，则a的取值范围是( B )
A．(0,1)
B．(1,2)
C．(0,2)
D．(1，＋∞)
令u＝2－ax，由于a>0且a≠1，所以u＝2－ax为减函数， 又根据对数函数定义域要求u＝2－ax在[0,1] 上恒大于零，当x∈[0,1]时，umin＝2－a>0，解得a<2.
1
o1
x
最后把y=lg(x-1)的图象在x轴下方的部分 对称翻折到x轴上方
类型2 对数函数的性质
1.比较大小 例2.比较下列各组中两个值的大小:
(1) log25.3 , log24.7 y＝log2x在( 0,＋∞) 是增 函数.log25.3 > log24.7
(2) log0.27 , logo.29 y＝log0.2x在( 0,＋∞) 是减 函数.log0.27 > logo.29
②当 0＜a＜1 时，有12＜a，从而12＜ a＜1.
∴a 的取值范围是( 1
2
,1).
a＜(14. ).解不等式：loga(x－4)>loga(x－2)．
①当 a①＞当1 时a＞，1有时xx－－a，＜有4212>>，00a＜此12时，无此解时无解 x－4>x－2
复数代数形式的加、减运算及其几何意义课件-高一数学人教A版(2019)必修第二册
1. 复数的加法运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di (a，b，c，d∈R)， 则z1＋z2=(a＋bi)+(c＋di )=__(a_＋__c_)_＋__(_b_＋__d_)_i___， 口诀：虚实各相加 说明：复数加法的结果还是一个复数，类似多项式相加
2.复数的加法交换律、结合律
对任意设z1, z2, z2∈C，有
我们规定：复数的减法是加法的逆运算，把满足(c di) (x yi) a bi 的复数x yi叫做复数a bi减去复数c di的差，记作：(a bi) (c di)
说明：复数减法的结果还是一个复数，类似多项式相减
应用举例
例1 计算 (5－6i)+(－2－i)－ (3+4i).
∵|z+i|+|z-i|=2, ∴点Z到Z1、Z2的距离之和等于2. 又∵|Z1Z2|=2, ∴点Z的集合为线段Z1Z2. 问题转化为:动点Z在线段Z1Z2上移动, 求|ZZ3|的最小值,
y Z2(0,1)
Z
Ox
∵Z1Z3⊥Z1Z2 ∴ |z+i+1|min=|Z1Z3|=1.
Z3(-1,-数模的最值问题）
1.如果复数z满足 z i z i 2 ,那么 z i 1 的最小值是
.
2.若复数z满足 z 3 i 1,求 z 的最大值和最小值.
y
3
O
x
M
B
1
A
复数加法及 其几何意义
梳理总结
复数加法 运算律
复数减法及 其几何意义
复数减法的模 的几何意义
再见
Z1(a,b)
x
5. 复数的减法几何意义 复数的减法还可以按照向量的减法来进行.
应用举例
高一数学备课课件正弦函数余弦函数的图象
CHAPTER 05
图形变换及应用
平移变换
平移变换定义
将函数的图象在直角坐标系中沿x轴或y轴方向移动一定的距离，得到新的函数图象。
正弦函数、余弦函数的平移变换规律
过程与方法
通过观察和实验，理解正 弦函数、余弦函数的图象 形状和变化规律，培养数 形结合的思想方法。
情感态度与价值观
感受数学与生活的联系， 体会数学的应用价值，培 养学习数学的兴趣和热情 。
教学内容
正弦函数、余弦函数 的定义域、值域、周 期性等基本性质。
利用正弦函数、余弦 函数的图象解决简单 的实际问题。
对称变换
对称变换定义
将函数的图象在直角坐标系中关于某条直线或某个点进行对称，得到新的函数图象。
正弦函数、余弦函数的对称变换规律
正弦函数、余弦函数的图象关于原点对称，也关于直线x=kπ+π/2（k∈Z）对称。即 函数y=sin(x)或y=cos(x)的图象关于原点对称，得到y=-sin(x)或y=-cos(x)的图象；关
求函数的解析式； 求函数的递增区间；
求使$y leqslant 0$的$x$的取值范围。
例题一：利用正弦、余弦函数图象求解析式
解析
由题意知，函数的周期为$T = 4 times (frac{pi}{3} - frac{pi}{12}) = pi$，从而得到$omega = frac{2pi}{T} = 2$。
例题一：利用正弦、余弦函数图象求解析式
又因为函数的最大值为5，所以振幅 $A = 5$。
所以函数的解析式为$y = 5sin(2x frac{pi}{6})$。
高一数学上册 第2章 不等式 2.2 一元二次不等式的解法 2.2.3 不等式的应用-二次方程根的分布课件 沪教版
(((342))) m若x2ax22mxbx,1,c0恒是0成x2立1,(则2xkm21,)x 4 2k 0
的则根cx,2则 bxk a 0
(3) mx2 mx 1 0恒成立,则 m
不等式的实际应用 ①找不等关系 ②设元，列不等式（组）
③解不等式（组），写答
p37
不等式的应用----二次方程根的分布
• 一、一元二次方程根的基本分布： • ax2+bx+c=0(a≠0) • 1、有一正根、有一负根的充要条件是： • 2、有两个正根的充要条件是： • 3、有两个负根的充要条件是：
• 例1、 • 1)、若一元二次方程 • x2-ax+a2-4=0有两个正根， • 求a的取值范围。
• 2）若一元二次方程x2+(m-2)x+5-m=0的两 根都是负数，求m的取值范围。
补充练习
已知集合A {x | x2 5x 4 0}, B {x | x2 2ax a 2 0, a R} 且B A,求a的取值范围.
• 若有一个正根和一个负根呢？ • 至少有一个正根
二、一元二次方程区间根分布
• 例2、若一元二次方程3x2-5x+a=0的一根大 于-2而小于0，另一个根大于1而小于3，试 求a的取值范围。
• 例3、若一元二次方程x2+2mx+2m+1=0 • 的两个根 • 1）均在区间（0，1）内，求m的范围。 • 2）均比1大 • 3）均比1小 • 4）若一元二次方程kx2+3kx+k-3=0呢？
解关于x的不等式 x2-5ax+6a2>0
2x2+kx-k>0 ax2-2ax+a+3≤0
1.2集合间的基本关系-2024-2025学年高一数学必修第一册+课件(人教A版2019)
(2)
集合
⌀
{a}
{a,b}
{a,b,c}
集合的子集
⌀
⌀,{a}
⌀,{a},{b},{a,b}
⌀,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}
子集的个数
1
2
4
8
由此猜想:含n个元素的集合{a1,a2,…,an}的所有子集的个数是2 ?真子集的个数
及非空真子集的个数是2 -2.
确定集合的子集、真子集
设A={x(x-16)(x+5x+4)=0}，写出集合A的子集，并指出其中哪些是它的真子集？
解：由(x2-16)(x2+5x+4)=0，得(x-4)(x+1)(x+4)2=0，解方程得x=-4或x=-1
或x=4.
故集合A={-4,-1,4}.由0个元素构成的子集为∅;
由1个元素构成的子集为{-4}，{-1}，{4};
由2个元素构成的子集为{-4,-1}，{-4,4}，{-1,4};
由3个元素构成的子集为{-4,-1,4}.
因此集合A的子集为∅，{-4}，{-1}，{4}，{-4,-1}，{-4,4}，{-1,4}，{4,-1,4}.
真子集为∅，{-4}，{-1}，{4}，{-4,-1}，{-4,4}，{-1,4}.
知识讲解
2.填空
一般地,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时集合B
的任何一个元素都是集合A的元素,那么集合A与集合B相等,记作
A=B.
也就是说,若A⊆B,且B⊆A,则A=B.
3.做一做
高一数学二次函数的性质和图象课件
（一）二次函数的定义
解：根据题意，得
一般地，如果y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0),那么y叫做x 的二次函数.
２
二次函数的几种表达式：
添加标题
、
添加标题
、
添加标题
、
添加标题
(顶点式)
添加标题
(一般式)
添加标题
(交点式)
添加标题
例2、已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0） 与x轴的两个交点的横坐标是 -1、3，与 y轴交点的纵坐标是 ：
解： f(x)=x2－4x+1=(x－2)2－3， 对称轴是x=2，在区间[2, +∞)上是增函数. f(－1)=f(2－3)=f(2+3)=f(5)， f(1)=f(2－1)=f(2+1)=f(3)， 所以f(1)<f(4)<f(－1)=f(5).
例6. 已知二次函数y=x2－mx+m－2， （1）证明：无论m为何值时，函数的图象与x轴总有两个交点； （2）m为何值时，这两个交点之间的距离最小。
a
a,b
c
△
a决定开口方向：a＞０时开口向上， a＜０时开口向下
a、b同时决定对称轴位置：a、b同号时对称轴在y轴左侧 a、b异号时对称轴在y轴右侧 b＝０时对称轴是y轴
c决定抛物线与y轴的交点：c＞０时抛物线交于y轴的正半轴 c＝０时抛物线过原点 c＜０时抛物线交于y轴的负半轴
所以函数y=f(x)的图像可以看作是由y = x2 经一系列变换得到的，具体地说：先将y = x2 的图像向左移动4个单位，再向下移动2个单位得到 的图像
解：（1）配方得
（2）函数与x轴的交点是：
(－6，0)和( －2，0)
高一数学-三交集.并集 精品
§1.3.1 交集、并集教学目标1.理解交集与并集的概念；2.会求两个已知集合交集、并集；3.认识由具体到抽象的思维过程。
教学重点交集与并集概念、数形结合运用教学难点理解交集与并集概念、符号之间区别与联系教学方法发现式教学法教具准备投影片（3张）教学过程（I）复习回顾1.说出C S A 的意义；2.填空：如果全集U=={x∈Z|0≤x<6},A={1,3,5},B={1,4},那么C U A=____,C U B=____,C U(C U A)=_____。
（II）讲授新课观察下面五个图（投影1）,它们与集合A,集合B有什么关系?图1—5（1）给出了两个集合A、B；图（2）阴影部分是A与B公共部分；图（3）阴影部分是由A、B组成；图（4）集合A是集合B的真子集；图（5）集合B是集合A的真子集；指出：图（2）阴影部分叫集合A与B的交集；图（3）阴影部分叫集合A与B的并集.由此⊆,则A∩B=A；由图1—5（4）有: 若A B⊆,则A⋃B=A；由图1—5（5）有: 若B A特别地:若A,B两集合中,B=∅.,则A∩∅=∅, A⋃∅=A；4.例题解析（投影3）(师生共同活动)（III ）课堂练习：(1)课本P 12：练习1—5；(2)补充练习：已知M={1}，N={1，2}，设A={（x ，y ）|x ∈M ，y ∈N}，B={（x ，y ）|x ∈N ，y ∈M}，求A ∩B ，A ∪B 。
[A ∩B={(1,1)},A ∪B={(1,1)，(1,2)，(2,1)}](IV) 拓广延伸:例3中,A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，得C==A ∪B={4，5，6，8}⋃{3，5，7，8}={3,4,5,6,7,8},讨论上述三个集合的元素个数问题.card(A)记有限集合的元素个数为card(A),则card(A)=4,card(B)=4,card(A ⋃B)=6,显然card(A)+card(B)≠card(A ⋃B),这是因为集合中的元素是没有重复的现象.因此,在两个集合的并集中,两个集合的公共元素只能出现一次,如何求card(A ⋃B)?不难看出,只需扣除两个集合公共元素的个数,即card(A ⋂B).结论:一般地,对于任意两个集合A,B,有card(A)+card(B)-card(A ⋂B)=card(A ⋃B)(V) 课时小结在求解问题过程中，充分利用数轴、文恩图。
等比数列数形结合
等比数列数形结合
等比数列可以通过数形结合的方式来进行理解和分析。
在数列中，等比数列是一种特殊的数列，它的每一项都是相同的倍数。
在数形结合的方法中，可以使用图像来表示等比数列的项，并通过图像的特征来分析数列的性质。
例如，可以使用坐标系来表示等比数列的每一项，其中横坐标表示项的索引，纵坐标表示项的数值。
通过绘制等比数列的图像，可以直观地观察到数列的趋势、增减性等特征，从而更好地理解等比数列的性质。
数形结合是数学中一种重要的思想方法，它可以帮助我们将抽象的数学问题转化为直观的图形问题，从而更容易地解决问题。
在等比数列中，数形结合的方法可以帮助我们更好地理解数列的性质和规律，提高数学思维能力和解题能力。
高一数学专题1-数形结合思想含答案
数形结合思想一．作图、识图、用图技巧(1)作图：常用描点法和图象变换法．图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换． 描绘函数图象时，要从函数性质入手，抓住关键点(图象最高点、最低点、与坐标轴的交点等)和对称性进行．(2)识图：从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系．(3)用图：图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象结合研究．(4)利用基本函数图象的变换作图①平移变换：y ＝f (x )――→h >0，右移|h |个单位h <0，左移|h |个单位y ＝f (x －h )， y ＝f (x )――→k >0，上移|k |个单位k <0，下移|k |个单位y ＝f (x )＋k . ②伸缩变换：y ＝f (x )错误!y ＝f (ωx )，y ＝f (x )――→0<A <1，纵坐标缩短到原来的A 倍A >1，纵坐标伸长到原来的A 倍y ＝Af (x )．③对称变换：y ＝f (x )――→关于x 轴对称y ＝－f (x )，y ＝f (x )――→关于y 轴对称y ＝f (－x )，y ＝f (x )――→关于直线x ＝a 对称y ＝f (2a －x )，y ＝f (x )――→关于原点对称y ＝－f (－x )．f (x )――→关于原点对称y ＝－f (－x )． 二、通法归纳与感悟1．应用数形结合的思想应注意以下数与形的转化(1)集合的运算及韦恩图；(2)函数及其图像；(3)方程(多指二元方程)及方程的曲线；(4)对于研究距离、角或面积的问题，直接从几何图形入手进行求解即可；(5)对于研究函数、方程或不等式(最值)的问题，可通过函数的图像求解(函数的零点、顶点是关键点)，做好知识的迁移与综合运用．2．运用数形结合的思想分析解决问题时，应把握以下三个原则(1)等价性原则在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞，有时，由于图形的局限性，不能完整地表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，但它同时也是抽象而严格证明的诱导．(2)双向性原则在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析(或仅对几何问题进行代数分析)在许多时候是很难行得通的．例如，在解析几何中，我们主要是运用代数的方法来研究几何问题，但是在许多时候，若能充分地挖掘利用图形的几何特征，将会使得复杂的问题简单化．(3)简单性原则就是找到解题思路之后，至于用几何方法还是用代数方法或者兼用两种方法来叙述解题过程，则取决于哪种方法更为简单，而不是去刻意追求代数问题运用几何方法，几何问题运用代数方法．三、利用数形结合讨论函数零点、方程的解或图像的交点利用数形结合求方程解应注意两点(1)讨论方程的解(或函数的零点)可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图像的准确性、全面性，否则会得到错解．(2)正确作出两个函数的图像是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则而采用，不要刻意去数形结合．1． (2013·长沙模拟)若f (x )＋1＝1f (x ＋1)，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，若在区间(－1,1]内g (x )＝f (x )－mx －m 有两个零点，则实数m 的取值范围是( )A. ⎣⎡⎭⎫0，12 B. ⎣⎡⎭⎫12，＋∞ C. ⎣⎡⎭⎫0，13 D. ⎝⎛⎦⎤0，12 2. 若定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且x ∈[－1,1]时，f (x )＝1－x 2，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ lg x ，x >0，0，x ＝0，－1x ，x <0，则函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,5]内零点的个数是 ( )A ．5B ．7C ．8D ．10解析:C3.已知函数()12+-=x x f ,()kx x g =.若方程()()x g x f =有两学科网个不相等的实根，则实数k 的取值范围是（A ）），（210（B ）），（121（C ）），（21（D ）），（∞+2 4．(文)已知函数f (x )满足下面关系：①f (x ＋1)＝f (x －1)；②当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2，则方程f (x )＝lg x 解的个数是( )A ．5B ．7C ．9D ．106．函数y ＝11－x的图象与函数y ＝2sinπx (－2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于( ) A ．2 B ．4C ．6D ．8二、利用数形结合解不等式或求参数利用数形结合解不等式应注意的问题解含参数的不等式时，由于涉及到参数，往往需要讨论，导致运算过程繁琐冗长．如果题设与几何图形有联系，那么利用数形结合的方法，问题将会顺利地得到解决．7. (1)使log 2(－x )<x ＋1成立的x 的取值范围是_______．(2)若不等式|x －2a |≥12x ＋a －1对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________． 8. 当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，则a 的取值范围为( )A ．(2,3]B ．[4，＋∞)C ．(1,2]D ．[2,4)9. (理)对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1，设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －x 2)，x ∈R ，若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )A ．(－∞，2]∪(－1，32) B ．(－∞，－2]∪(－1，－34) C ．(－1，14)∪(14，＋∞) D ．(－1，－34)∪[14，＋∞) 10. (理)(2015·安徽理，9)函数f (x )＝ax ＋b x ＋c 2的图象如图所示，则下列结论成立的是( ) 5A ．a ＞0，b ＞0，c ＜0B ．a ＜0，b ＞0，c ＞0C ．a ＜0，b ＞0，c ＜0D ．a ＜0，b ＜0，c ＜011. (理)已知f (x )是定义在(－3,3)上的奇函数，当0<x <3时，f (x )的图象如图所示，那么不等式f (x )cos x <0的解集是( )A ．(－3，－π2)∪(0,1)∪(π2，3)B ．(－π2，－1)∪(0,1)∪(π2，3) C ．(－3，－1)∪(0,1)∪(1,3) D ．(－3，－π2)∪(0,1)∪(1,3) 13．(文)(2014·哈三中二模)对实数a 和b ，定义运算“*”：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1b ，a －b >1，设函数f (x )＝(x 2＋1)*(x ＋2)，若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )A ．(2,4]∪(5，＋∞)B ．(1,2]∪(4,5]C ．(－∞，1)∪(4,5]D ．[1,2]三、利用数形结合求最值利用数形结合求最值的方法步骤第一步：分析数理特征，确定目标问题的几何意义．一般从图形结构、图形的几何意义分析代数式是否具有几何意义．第二步：转化为几何问题．第三步：解决几何问题．第四步：回归代数问题．第五步：回顾反思．应用几何意义数形结合法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：(1)比值——可考虑直线的斜率；(2)二元一次式——可考虑直线的截距；(3)根式分式——可考虑点到直线的距离；(4)根式——可考虑两点间的距离．14已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是 ( )A ．1B ．2 C. 2 D.2215．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)，λ∈[0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心16．对于任意x ∈R ，函数f (x )表示－x ＋3，32x ＋12，x 2－4x ＋3 中的较大者，则f (x )的最小值是( ) A ．2 B ．3C ．8D ．－117．(文)设函数g (x )＝x 2－2(x ∈R )，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ gx ＋x ＋4，x ＜g x g x －x ，x ≥g x ，则f (x )的值域是( )A ．⎣⎡⎦⎤－94，0∪(1，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．⎣⎡⎭⎫－94，＋∞ D ．⎣⎡⎦⎤－94，0∪(2，＋∞) 18. (理)设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M 、N ，则当|MN |达到最小时t 的值为( )A ．1B ．12C ．52 D ．22。
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（B） （C） （D）
b0
0b1
1b 2
12
x
o
2b
解析： f (x) 0 有三个根0，1，2，
所以 f (x) ax3 bx2 cx d axx 1x 2 ax3 3ax2 2ax
所以 b 3a ，当 0 x 1时，f (x) 0 且此时
x 1 0, x 2 0 则必有 a 0 ，所以 b 0
在（y0，1）f 与x（1，2）内分别有一个根，则需函数
满足：
f 0 0 f 1 0 f 2 0
k2 k 2 0 k2 2k 8 0 y k 2 3k 0
2 k 1或3 k 4 o 1
x
2
（五）解高次函数问题
例6、已知函数 如右：则（ ）
（A）
f (x) ax3 的b图x象2 cx d
3
2 x2
f
3 2
0
即：
3 2
2
2m
8
3 2
m2
16
0
1 m 7
2
2
练习:(实验班,重点班 )
k 例5、
是什么实数时，
7x2 k 13 x k2 k 2 0
的两根分别位于区间(1,2)与(0,1)之间。
解析：令
f x 7x2 k 13易x k2 k 2 0
知
的图象是一条开口向上的抛物线，要使
二、利用构造函数解题
( ) 实验班,重点班
例1、对任意的
函数
的值总大于零f ，x求
a， 1,1
x的2 取值a范围4。 x
4
2a
x
解：构造函数 函数
g a x 2a x于2 是4x 4, a 1,1 的值总大于零等价于
f x恒成x立2 a 4 x 4 2a
所g以a： 0 a1,1
解析：设数x轴上1任一A点P , 对x 应 动2 点pBP , x 3 CP
因为
所以 y AP BP当P与CBP重合时
ymin AP BP CP 2
（三）解一次函数的问题
例3：对于每个实数设 是 f (x)
y 2x 4 ，三个函数的最小者，则 3
y 4x 1, y x 2,
1
2
f (x) 的最大值
为多少？
y
2
1
-1 o 1 2
x
y2
y1
y3
解析：在同一坐标系内作出三个函数的图象，依题
意得，f (x) 的图象是三个函数的图象的最下面的部分
构成的折线，由图象知
f (x) 的最大值是
y 1
与
y 2
图
象交点的纵坐标，解 y x 2 ，故 f (x) 的最大值
为8 。
y2x4
运用数形结合 的思想解题
一、数形结合
借助图象来研究函数的性质是一种常 用的方法.函数的几何特征与数量关系 紧密结合,体现了数形结合的思想.运 用这种数形结合的思想有助于理解题 意,探求解题思路,检验解题结果.
(一)、利用图象求根的个数
例1、函数
f x x m 2 ,如果 f x a
有且只有一个实根，则求实数a的范围。
f x a 的图象，观察它们的交点个数的情形。
y
（1）当
a 0 ，实根
x
1 2 3 （3）当
0 a 1 ，有四个实根
（4）当
a 1 ，有三个实根
（二）解绝对值函数问题
例2：求函数 最小值。
f x x 1 的x 2 x 3
o
1 23
X
Ax B C
g 1 x 2 x2 4x 4 0 g 1 x 2 x2 4x 4 0 解得： x 3或x 1
分析：先作出
f x x m 2 的图象，再考查它
与函数
f x a 的交点个数只有一个的情况。
由图象知道:
a2
y 2
1
om
f x xm 2
f x a
x
2：讨论关于 的实数根的个数。
x 的方程
x2 4x 3 a(a R)
分析：交点个数
实数解个数
解：画出函数
f x x2 4x 3 的图象，再画出
3
（四）解二次函数的问题
x 例4、已知关于 的方程
x , x 的两个实数根
,满足
求实数 的范围。
12
m
x2 2m 8 x m2 16 0
，
3
x1 2 x2
解：构造二次函数
y x2 2m 8 x m2 16
因为方程
满足： x1
所以，
x2 2m 8 x m2 16 0 的两个实根
x1, x2