常见不等式通用解法

常见不等式通用解法总结

一、基础的一元二次不等式，可化为类似一元二次不等式的不等式

① 基础一元二次不等式 如2x 2 x 6

0，x 2 2x 1 0 ,对于这样能够直接配方或者因式分解的基础一元

次不等式，重点关注 解区间的“形状”。

当二次项系数大于 0，不等号为小于（或小于等于号）时，解区间为两根的中间。

3

又如x 2 ax 4

-，令t x 2，再对a 进行分类讨论来确定不等式的解集

2

③含参数的一元二次不等式 解法步骤总结：

序号

步骤

1

首先判定二次项系数是否为

0，为0则

化为一元一次不等式，再分类讨论 2

二次项系数非0,将其化为正的，讨论 判别式的

正负性，从而确定不等式的解 集

3

若可以直接看出两根，或二次式可以因 式分

解，则无需讨论判别式，直接根据 不同的参数值比较两根大小

4

综上，写出解集

如不等式x 2 ax 1 0，首先发现二次项系数大于 0,而且此不等式无法直接看出两根,

所以，讨论

a 2 4的正负性即可。

0,R

以只需要判定a 2和a 的大小即可。

a 0or a 1,{x R| x a} 此不等式的解集为

0 a 1,( ,a 2) (a,) 2

a 0or a 1,(

, a) (a ,

)

又如不等式ax 2 2(a 1)x 4 0 ,注意：有些同学发现其可以因式分解，就直接写成

2x x 6

0的解为（

当二次项系数大于

|,2）

0，不等号为大于（或大于等于号）时，解区间为两根的两边。

2x 1

0的解为（

,1 . 2) (1 .2,)

当二次项系数小于

②可化为类似一元二次不等式的不等式（换元） 如3x 1 x 的范围 0时，化成二次项系数大于

0的情况考虑。

9x 2，令t 3x ，原不等式就变为t 2

3t 2 0，再算出t 的范围，进而算出

此不等式的解集为

0,{x 0,(

R

|x 自

又如不等式x 2 （a 2 a ）x a 3

0，发现其可以通过因式分解化为

(x a)(x a 2)

0，所

)

(x 1)2(x 2)(x 3)(x 4) 0 的示意图见下。

2

(ax 2)(x 2)

0 ,然后开始判断两根 -和2的大小关系，这样做是有问题的。

a

事实上，这个题目中并没有说此不等式一定是一元二次不等式， 所以参数a 是有可能为 0的。讨论完a 0的情况再讨论a 0和a 0的情况。所以此不等式的解集应该是：

a 0,( ,2) 2 a 0,( ,2)

a

2

a 1,( -) (2,)

a

a 1,{x R|x 2} 0 a 1,(

,2) (2,)

a

注意，a 0和a 0时解区间的状况不同，一种为中间，一种为两边。 二、数轴标根法(又名穿针引线法)解不等式

这种问题的一般形式是 (x a i )(x a 2)(x a 3)...(x a n )

0 (或，，)

步骤：

① 将不等式化为标准式，一段为 0,另一端为一次因式的乘积 (注意！系数为正) 或二

次不可约因式(二次项系数为正)。

② 画出数轴如下，并从最右端上方起，用曲线自右向左一次由各根穿过数轴。 ③ 记数轴上方为正，下方为负，根据不等式的符号写出解集。 例如，求不等式(X 1)(x 2)(x 3)(x 4) 0的解集，画出图如下，发现解集为

为什么数轴标根法是正确的呢？对于不等式 (x 1)(x 2)(x 3)(x 4) 0来说，要满足

四项相乘为正，说明①四项均正，解集为 (4,)②两正两负，只能是(x 1),(x 2)正， (x 3),(x 4)负，此时解集为(2,3)③四项均负，解集为(，1)。综上，解集为这三种情况 的并集。当不等式左侧有奇数项的时候同理。

由此可知，遇到奇数个一次项系数为负的情况，如果不把系数化为正的，结果一定是 错误的。 注意，这种方法要灵活使用，若不等式为

(x 1)2(x 2)(x 3)(x 4) 0，使用数轴标根

2

法得到的解集显然和上述不一样，因为 (x 1)是偶次项，必然非负，所以在“穿针引线”

时，可以忽略，或者可以记住口诀“奇穿偶不穿”

。

分式不等式的解题思路，前面讲了一些不等式的求解，都是讲不等式的一边化为0,另

一边为含x的多项式。把一个分式不等式经过移项和通分处理，最终总能化为丄凶0 (或

g(x)

,,的形式)，此时解f(x)g(x) 0就可以解出原不等式的解集。

特别地，若要解器0,则解f(x)g(x) 0 即可。

g(x) 0

例如22x 8

x x 6

1，移项化简得

2

x 3x 2

~2

x

0，使用穿针引线法得到解集为

x 6

{x|x 2或1 x 2或x 3}，一定要注意分母不为零，而分子可以为零

。

例：一道比较复杂的题，求坐耳

x 2

解：原不等式通过移项通分可化为(a 1)x (a 2)

0，由于a 1，所以可以进

1(a 1)的解集，现写出此题的完整解题过程。

步化

a 2

(a 1)(x ) a 2为西丄0，两根为a 2

2

1

时,

1

时,

①当0

②当a

③当a

冷(2，)解集为两根的两边，显然有「2，所以此时解集为(

a 1

解集为两根中间，此时必须根据a的取值判断两根范围。

a 2

1

1时，

a

0时，匚2

a 1

0时，匚

a 1

2，此时解集为(2,皂二)

a 1 2，此时解集为

2，此时解集为(~ ,2)

a 1

a的所有值都讨论完毕，所以这道题讨论到这样就结束了

至此，

当然，如果这道题不给a 1的限制条件，只需要再讨论一下a 1时的解集情况即可。补充内容：一类经典但易错的分式不等式问题

1

①求-1的解集

x