几种作二面角的平面角的方法PPT课件
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《二面角的平面角求法》课件
二面角的平面角来解题．
复习： 二面角的平面角
以二面角的棱上任意一点为端点， 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线， 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.
O
二二面面角角的的求求法法
(1)定义法——直接在二面角的棱上取一 点（特殊点）分别在两个半平面内作棱的 垂线，得到平面角.
(2)三垂线法——利用三垂线定理或 逆定理作出平面角，通过解直角三角 形求角的大小.
S
E
D
A
C
B
解：（1）因为SB＝BC，E为SC的中点，
Байду номын сангаас
所以BE SC，又DE SC
S
因此SC 平面BDE
E
（2）由SC 平面BDE，得BD SC
D
又由SA 平面ABC，得BD SA
A
C
则BD 平面SAC
B
因此CDE为二面角E－BD－C的平面角
由AB BC，AB＝a，BC= 2a，得AC＝ 3a
2. 实施解题过程仍要注意“作、证、求” 三环节，计算一般是放在三角形中，因 此，“化归”思想很重要.
作业：
1.四棱锥P-ABCD的底面 P
是边长为4的正方形，
PD⊥面ABCD，PD=6，
C
M,N是PB,AB的中点，求
二面角M－DN－C的平 D
面角的正切值？
2.如图，在平面角为600的二面
角 -l-内有一点P，过P作PC P
2BM MN
3
则BMN arccos 6 . 3
例2.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1， P是AD的中点,求二面角A－BD1－P的大小.
C1
B1
D1
复习： 二面角的平面角
以二面角的棱上任意一点为端点， 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线， 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.
O
二二面面角角的的求求法法
(1)定义法——直接在二面角的棱上取一 点（特殊点）分别在两个半平面内作棱的 垂线，得到平面角.
(2)三垂线法——利用三垂线定理或 逆定理作出平面角，通过解直角三角 形求角的大小.
S
E
D
A
C
B
解：（1）因为SB＝BC，E为SC的中点，
Байду номын сангаас
所以BE SC，又DE SC
S
因此SC 平面BDE
E
（2）由SC 平面BDE，得BD SC
D
又由SA 平面ABC，得BD SA
A
C
则BD 平面SAC
B
因此CDE为二面角E－BD－C的平面角
由AB BC，AB＝a，BC= 2a，得AC＝ 3a
2. 实施解题过程仍要注意“作、证、求” 三环节，计算一般是放在三角形中，因 此，“化归”思想很重要.
作业：
1.四棱锥P-ABCD的底面 P
是边长为4的正方形，
PD⊥面ABCD，PD=6，
C
M,N是PB,AB的中点，求
二面角M－DN－C的平 D
面角的正切值？
2.如图，在平面角为600的二面
角 -l-内有一点P，过P作PC P
2BM MN
3
则BMN arccos 6 . 3
例2.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1， P是AD的中点,求二面角A－BD1－P的大小.
C1
B1
D1
二面角 (2) PPT
∠A1O1B1
B1
思考: 二面角的范围
B O
l
[0°,180°]
O1
A A1
9
四、二面角的平面角
以二面角的棱上任一点为端点， 在 两 个面内分别作垂直于棱的两条射线， 这两 条射线所成的角叫做二面角的平面角
注意： 二面角的平面角的三个特征:
1.点在棱上 2.线在面内 3.与棱垂直
A
O
平面角是直角的二面角叫做直二面角
l
B
练习： 指出下列各图中的二面角的平面角：
D’ 正方体 A’C中 A’
D
C’ B’ O
C
A
B
二面角B--B’C--A
A
B
D
OEC二面源自A--BC--D（定义法）
（垂线法）
14
二、二面角的画法
平卧式
l
直立式
A
B
l
A
B
三、二面角的记法
二面角－AB－
A
二面角－ l－
l
B
C
l
二面角C－AB－ D
B D
A
5
四、二面角的平面角
以二面角的棱上任一点为端点， 在 两 个面内分别作垂直于棱的两条射线， 这两 条射线所成的角叫做二面角的平面角
二面角的大小用它的平面角来度量
？ ∠A O B
二面角引入 日常生活中我们应该能体会到打开的门与墙之间的 关系
打开的书 页面与页面之间的关系
一个平面内的一条直线把这个平面分成
两个部分，其中的每一部分都叫做半平面
2
一、二面角的定义
A
B
从一直线出发的两个半平面 所组成的图形叫做二面角。 这条直线叫做二面角的棱。 这两个半平面叫做二面角的面。
高一数学二面角应用课件
16
练习：
A
A
1D 1 C B
B
2
E 二面角A--BC--D
O
C
D
二面角B--AD--C
AE=3OE
1 3
1）900
2）argcos
21
例1、已知锐二面角－ l－ ，A为面内一点，A到 的距离为 2 3 ，到 l 的距离为 4，求二面角 － l － 的大小。
① 过 A作 AO⊥于O，过 O作 OD⊥ l 于D， 解： 连AD 则由三垂线定理得 AD⊥ l A ② ADO就是二面角 － l－ 的平面角 ∴∠
一、二面角的定义：
二 面 角
四、二面角的平面角的作法： 五、二面角的计算：
一“作”二“证”三“计算”
22
/ 哈夫节 泊头哈夫节
退下,看本将来取卢俊义性命/"罗成见薛万彻枪法紊乱,壹枪比壹枪沉,料定薛万彻将要落败,若是自己再否出手便可能损失壹员大将.当即大喝壹声,壹袭白龙马飞速冲出,倒拖着手中の五钩神飞亮银枪,卷起千堆沙尘朝卢俊义杀去."以多欺少算什么好汉,让我来会壹会您那冷面寒枪俏罗成/" 见罗成杀出,东方升阵营中亦冲杀出壹骑踏雪乌骓马,马上那人手执两条水磨八棱钢鞭,迎着罗成杀去.此人便是双鞭呼延灼.O(∩_∩)O)壹百四十五部分回马枪战场之上,风沙缭绕,杀气充斥着漫漫沙丘.卢俊义与薛万彻两人枪来枪往,转眼之间已经对上壹百七十回合,卢俊义手中钢枪越使越慢, 薛万彻更是如此,枪法已经变成咯单纯の挑刺.南阵の罗成否断观测着战场上の变化,见薛万彻落入下风,当即策马拖枪携着无数狂沙奔来.与此同时,东方升阵中の呼延灼看否惯以多欺少,暴喝壹声,挺起双鞭,胯下壹骑踏雪乌骓马施展开来,朝罗成迎去."来者何人,报上名来我再取您首级/"罗 成见又杀出壹员将佐,眼神中跳动
练习：
A
A
1D 1 C B
B
2
E 二面角A--BC--D
O
C
D
二面角B--AD--C
AE=3OE
1 3
1）900
2）argcos
21
例1、已知锐二面角－ l－ ，A为面内一点，A到 的距离为 2 3 ，到 l 的距离为 4，求二面角 － l － 的大小。
① 过 A作 AO⊥于O，过 O作 OD⊥ l 于D， 解： 连AD 则由三垂线定理得 AD⊥ l A ② ADO就是二面角 － l－ 的平面角 ∴∠
一、二面角的定义：
二 面 角
四、二面角的平面角的作法： 五、二面角的计算：
一“作”二“证”三“计算”
22
/ 哈夫节 泊头哈夫节
退下,看本将来取卢俊义性命/"罗成见薛万彻枪法紊乱,壹枪比壹枪沉,料定薛万彻将要落败,若是自己再否出手便可能损失壹员大将.当即大喝壹声,壹袭白龙马飞速冲出,倒拖着手中の五钩神飞亮银枪,卷起千堆沙尘朝卢俊义杀去."以多欺少算什么好汉,让我来会壹会您那冷面寒枪俏罗成/" 见罗成杀出,东方升阵营中亦冲杀出壹骑踏雪乌骓马,马上那人手执两条水磨八棱钢鞭,迎着罗成杀去.此人便是双鞭呼延灼.O(∩_∩)O)壹百四十五部分回马枪战场之上,风沙缭绕,杀气充斥着漫漫沙丘.卢俊义与薛万彻两人枪来枪往,转眼之间已经对上壹百七十回合,卢俊义手中钢枪越使越慢, 薛万彻更是如此,枪法已经变成咯单纯の挑刺.南阵の罗成否断观测着战场上の变化,见薛万彻落入下风,当即策马拖枪携着无数狂沙奔来.与此同时,东方升阵中の呼延灼看否惯以多欺少,暴喝壹声,挺起双鞭,胯下壹骑踏雪乌骓马施展开来,朝罗成迎去."来者何人,报上名来我再取您首级/"罗 成见又杀出壹员将佐,眼神中跳动
二面角的求法 PPT课件 人教课标版
高中数学课件
二面角的求法
α
ι
β
一、二面角的定义
从一条直线出发的两个半平
面所组成的图形叫做二面角。
二、二面角的平面角
从棱上一点P分别在两 个半平面内作与棱垂直的 射线PA、PB则∠APB叫做二 面角 α-l-β的平面角。
ι
γ
P A
β
B
α
例1、已知正三 棱锥V-ABC所有的棱 长均相等，求二面角 A-VC-B的大小。
1、再长的路一步一步得走也能走到终点，再近的距离不迈开第一步永远也不会到达。 2、从善如登，从恶如崩。 3、现在决定未来，知识改变命运。 4、当你能梦的时候就不要放弃梦。 5、龙吟八洲行壮志，凤舞九天挥鸿图。 6、天下大事，必作于细；天下难事，必作于易。 7、当你把高尔夫球打不进时，球洞只是陷阱；打进时，它就是成功。 8、真正的爱，应该超越生命的长度、心灵的宽度、灵魂的深度。 9、永远不要逃避问题，因为时间不会给弱者任何回报。 10、评价一个人对你的好坏，有钱的看他愿不愿对你花时间，没钱的愿不愿意为你花钱。 11、明天是世上增值最快的一块土地，因它充满了希望。 12、得意时应善待他人，因为你失意时会需要他们。 13、人生最大的错误是不断担心会犯错。 14、忍别人所不能忍的痛，吃别人所不能吃的苦，是为了收获别人得不到的收获。 15、不管怎样，仍要坚持，没有梦想，永远到不了远方。 16、心态决定命运，自信走向成功。 17、第一个青春是上帝给的；第二个的青春是靠自己努力的。 18、励志照亮人生，创业改变命运。 19、就算生活让你再蛋疼，也要笑着学会忍。 20、当你能飞的时候就不要放弃飞。 21、所有欺骗中，自欺是最为严重的。 22、糊涂一点就会快乐一点。有的人有的事，想得太多会疼，想不通会头疼，想通了会心痛。 23、天行健君子以自强不息；地势坤君子以厚德载物。 24、态度决定高度，思路决定出路，细节关乎命运。 25、世上最累人的事，莫过於虚伪的过日子。 26、事不三思终有悔，人能百忍自无忧。 27、智者，一切求自己；愚者，一切求他人。 28、有时候，生活不免走向低谷，才能迎接你的下一个高点。 29、乐观本身就是一种成功。乌云后面依然是灿烂的晴天。 30、经验是由痛苦中粹取出来的。 31、绳锯木断，水滴石穿。 32、肯承认错误则错已改了一半。 33、快乐不是因为拥有的多而是计较的少。 34、好方法事半功倍，好习惯受益终身。 35、生命可以不轰轰烈烈，但应掷地有声。 36、每临大事，心必静心，静则神明，豁然冰释。 37、别人认识你是你的面容和躯体，人们定义你是你的头脑和心灵。 38、当一个人真正觉悟的一刻，他放弃追寻外在世界的财富，而开始追寻他内心世界的真正财富。 39、人的价值，在遭受诱惑的一瞬间被决定。 40、事虽微，不为不成；道虽迩，不行不至。 41、好好扮演自己的角色，做自己该做的事。 42、自信人生二百年，会当水击三千里。 43、要纠正别人之前，先反省自己有没有犯错。 44、仁慈是一种聋子能听到、哑巴能了解的语言。 45、不可能！只存在于蠢人的字典里。 46、在浩瀚的宇宙里，每天都只是一瞬，活在今天，忘掉昨天。 47、小事成就大事，细节成就完美。 48、凡真心尝试助人者，没有不帮到自己的。 49、人往往会这样，顺风顺水，人的智力就会下降一些；如果突遇挫折，智力就会应激增长。 50、想像力比知识更重要。不是无知，而是对无知的无知，才是知的死亡。 51、对于最有能力的领航人风浪总是格外的汹涌。 52、思想如钻子，必须集中在一点钻下去才有力量。 53、年少时，梦想在心中激扬迸进，势不可挡，只是我们还没学会去战斗。经过一番努力，我们终于学会了战斗，却已没有了拼搏的勇气。因此，我们转向自身，攻击自己，成为自己最大的敌人。 54、最伟大的思想和行动往往需要最微不足道的开始。 55、不积小流无以成江海，不积跬步无以至千里。 56、远大抱负始于高中，辉煌人生起于今日。 57、理想的路总是为有信心的人预备着。 58、抱最大的希望，为最大的努力，做最坏的打算。 59、世上除了生死，都是小事。从今天开始，每天微笑吧。 60、一勤天下无难事，一懒天下皆难事。 61、在清醒中孤独，总好过于在喧嚣人群中寂寞。 62、心里的感觉总会是这样，你越期待的会越行越远，你越在乎的对你的伤害越大。 63、彩虹风雨后，成功细节中。 64、有些事你是绕不过去的，你现在逃避，你以后就会话十倍的精力去面对。 65、只要有信心，就能在信念中行走。 66、每天告诉自己一次，我真的很不错。 67、心中有理想 再累也快乐 68、发光并非太阳的专利，你也可以发光。 69、任何山都可以移动，只要把沙土一卡车一卡车运走即可。 70、当你的希望一个个落空，你也要坚定，要沉着！ 71、生命太过短暂，今天放弃了明天不一定能得到。 72、只要路是对的，就不怕路远。 73、如果一个人爱你、特别在乎你，有一个表现是他还是有点怕你。 74、先知三日，富贵十年。付诸行动，你就会得到力量。 75、爱的力量大到可以使人忘记一切，却又小到连一粒嫉妒的沙石也不能容纳。 76、好习惯成就一生，坏习惯毁人前程。 77、年轻就是这样，有错过有遗憾，最后才会学着珍惜。 78、时间不会停下来等你，我们现在过的每一天，都是余生中最年轻的一天。 79、在极度失望时，上天总会给你一点希望；在你感到痛苦时，又会让你偶遇一些温暖。在这忽冷忽热中，我们学会了看护自己，学会了坚强。 80、乐观者在灾祸中看到机会；悲观者在机会中看到灾祸。
二面角的求法
α
ι
β
一、二面角的定义
从一条直线出发的两个半平
面所组成的图形叫做二面角。
二、二面角的平面角
从棱上一点P分别在两 个半平面内作与棱垂直的 射线PA、PB则∠APB叫做二 面角 α-l-β的平面角。
ι
γ
P A
β
B
α
例1、已知正三 棱锥V-ABC所有的棱 长均相等，求二面角 A-VC-B的大小。
1、再长的路一步一步得走也能走到终点，再近的距离不迈开第一步永远也不会到达。 2、从善如登，从恶如崩。 3、现在决定未来，知识改变命运。 4、当你能梦的时候就不要放弃梦。 5、龙吟八洲行壮志，凤舞九天挥鸿图。 6、天下大事，必作于细；天下难事，必作于易。 7、当你把高尔夫球打不进时，球洞只是陷阱；打进时，它就是成功。 8、真正的爱，应该超越生命的长度、心灵的宽度、灵魂的深度。 9、永远不要逃避问题，因为时间不会给弱者任何回报。 10、评价一个人对你的好坏，有钱的看他愿不愿对你花时间，没钱的愿不愿意为你花钱。 11、明天是世上增值最快的一块土地，因它充满了希望。 12、得意时应善待他人，因为你失意时会需要他们。 13、人生最大的错误是不断担心会犯错。 14、忍别人所不能忍的痛，吃别人所不能吃的苦，是为了收获别人得不到的收获。 15、不管怎样，仍要坚持，没有梦想，永远到不了远方。 16、心态决定命运，自信走向成功。 17、第一个青春是上帝给的；第二个的青春是靠自己努力的。 18、励志照亮人生，创业改变命运。 19、就算生活让你再蛋疼，也要笑着学会忍。 20、当你能飞的时候就不要放弃飞。 21、所有欺骗中，自欺是最为严重的。 22、糊涂一点就会快乐一点。有的人有的事，想得太多会疼，想不通会头疼，想通了会心痛。 23、天行健君子以自强不息；地势坤君子以厚德载物。 24、态度决定高度，思路决定出路，细节关乎命运。 25、世上最累人的事，莫过於虚伪的过日子。 26、事不三思终有悔，人能百忍自无忧。 27、智者，一切求自己；愚者，一切求他人。 28、有时候，生活不免走向低谷，才能迎接你的下一个高点。 29、乐观本身就是一种成功。乌云后面依然是灿烂的晴天。 30、经验是由痛苦中粹取出来的。 31、绳锯木断，水滴石穿。 32、肯承认错误则错已改了一半。 33、快乐不是因为拥有的多而是计较的少。 34、好方法事半功倍，好习惯受益终身。 35、生命可以不轰轰烈烈，但应掷地有声。 36、每临大事，心必静心，静则神明，豁然冰释。 37、别人认识你是你的面容和躯体，人们定义你是你的头脑和心灵。 38、当一个人真正觉悟的一刻，他放弃追寻外在世界的财富，而开始追寻他内心世界的真正财富。 39、人的价值，在遭受诱惑的一瞬间被决定。 40、事虽微，不为不成；道虽迩，不行不至。 41、好好扮演自己的角色，做自己该做的事。 42、自信人生二百年，会当水击三千里。 43、要纠正别人之前，先反省自己有没有犯错。 44、仁慈是一种聋子能听到、哑巴能了解的语言。 45、不可能！只存在于蠢人的字典里。 46、在浩瀚的宇宙里，每天都只是一瞬，活在今天，忘掉昨天。 47、小事成就大事，细节成就完美。 48、凡真心尝试助人者，没有不帮到自己的。 49、人往往会这样，顺风顺水，人的智力就会下降一些；如果突遇挫折，智力就会应激增长。 50、想像力比知识更重要。不是无知，而是对无知的无知，才是知的死亡。 51、对于最有能力的领航人风浪总是格外的汹涌。 52、思想如钻子，必须集中在一点钻下去才有力量。 53、年少时，梦想在心中激扬迸进，势不可挡，只是我们还没学会去战斗。经过一番努力，我们终于学会了战斗，却已没有了拼搏的勇气。因此，我们转向自身，攻击自己，成为自己最大的敌人。 54、最伟大的思想和行动往往需要最微不足道的开始。 55、不积小流无以成江海，不积跬步无以至千里。 56、远大抱负始于高中，辉煌人生起于今日。 57、理想的路总是为有信心的人预备着。 58、抱最大的希望，为最大的努力，做最坏的打算。 59、世上除了生死，都是小事。从今天开始，每天微笑吧。 60、一勤天下无难事，一懒天下皆难事。 61、在清醒中孤独，总好过于在喧嚣人群中寂寞。 62、心里的感觉总会是这样，你越期待的会越行越远，你越在乎的对你的伤害越大。 63、彩虹风雨后，成功细节中。 64、有些事你是绕不过去的，你现在逃避，你以后就会话十倍的精力去面对。 65、只要有信心，就能在信念中行走。 66、每天告诉自己一次，我真的很不错。 67、心中有理想 再累也快乐 68、发光并非太阳的专利，你也可以发光。 69、任何山都可以移动，只要把沙土一卡车一卡车运走即可。 70、当你的希望一个个落空，你也要坚定，要沉着！ 71、生命太过短暂，今天放弃了明天不一定能得到。 72、只要路是对的，就不怕路远。 73、如果一个人爱你、特别在乎你，有一个表现是他还是有点怕你。 74、先知三日，富贵十年。付诸行动，你就会得到力量。 75、爱的力量大到可以使人忘记一切，却又小到连一粒嫉妒的沙石也不能容纳。 76、好习惯成就一生，坏习惯毁人前程。 77、年轻就是这样，有错过有遗憾，最后才会学着珍惜。 78、时间不会停下来等你，我们现在过的每一天，都是余生中最年轻的一天。 79、在极度失望时，上天总会给你一点希望；在你感到痛苦时，又会让你偶遇一些温暖。在这忽冷忽热中，我们学会了看护自己，学会了坚强。 80、乐观者在灾祸中看到机会；悲观者在机会中看到灾祸。
二面角 课件(人教版)
C AO
B
D
C
二面角
例3、在60°二面角α-l-β内有一点 P，PA⊥ α于A点，PB ⊥ β于B点， PA=3，PB=5，求P到棱l的距离。
变式：如果二面角α-l-β的平面角是锐 角，点P到α 、β和棱l的距离分别为2 2 4和 4 2 ，求二面角的大小。
二面角
2、作二面角的平面角的常用方法
①、点P在棱上 —定义法 ②、点P在一个半平面上 —三垂线(逆)定理法 ③、点P在二面角内 —垂面法
l
P
P
A
B
A
B
lห้องสมุดไป่ตู้
B
P
O
l
A
二面角
例4、已知矩形ABCD中，AB=3， BC=4，沿对角线BD把△ABD折起使点 A在平面BCD上的射影E恰好落在BC 上，求二面角A-BD-C的大小。
二面角
5、已知在一个60°的二面角的棱上有 两个点A、B，AC、BD分别是在这 个二面角的两个面内，且垂直于AB 的线段，又知AB=4，AC=6，BD=8， 求CD的长。
二面角的平面角的范围: 0180
二面角
例1.如图,已知P是二面角 AB 棱上一点，过
P 分别在、内引射线PM、PN，且∠MPN=600，
∠BPM =∠BPN =450，求此二面角的度数。
解：①在PB上取不同于P 的一点O，
在内过O作OC⊥AB交PM 于C，
C M
在 内作OD⊥AB交PN于D， A P O B
连结CD，可得：
②∠COD是二面角 AB 的 平面角
③设PO = a ，∵∠BPM =∠BPN = 45º
D N
∴CO=a，DO=a， PC 2 a ， PD 2a
作二面角的平面角的常用方法
作二面角的平面角的常用方法
一、通过建模来表达平面角
1、找一个矩形，将它旋转一定的角度，形成等边三角形，可以使用数学建模的方法表达出一个平面角
2、利用构建一个正多边形的方法，将正多边形的边线外缩一定的距离，形成一个空心的正多边形，然后可以使用数学建模表达出一个平面角
二、通过计算来表达平面角
1、通过计算两个空间的斜率，然后计算出斜率的夹角，从而可以表达出一个平面角；
2、如果要表达出两个空间之间的外部夹角，可以使用它们的绝对夹角，以及它们在圆周上的关系；
3、如果是相邻空间的内部夹角，可以使用它们的角度，以及它们的面积之间的关系来表达；
4、如果要表达平面角的位置，可以使用它们的绝对位置和相对位置的计算，以及它们之间的距离来表达。
三、通过几何图形来表达平面角
1、如果要表达出切线图，可以使用它们的切线图，以及它们的扇形图，给出凸点和凹点之间的夹角；
2、如果要表达出夹角的位置，可以使用它们的位置图，给出凸点和凹点之间的夹角的位置；
3、可以使用它们的夹角图，给出它们的夹角形状，或者给出他们的长度来表达；
4、如果要表达出夹角的宽度，可以使用它们的宽度图。
二面角及二面角的平面角
二面角
二面角及面面垂直的判定
15:10
二面角
一、 二面角及二面角的平面角
1
、半平面——
平面的一条直线把平面分为两部分， 其中的每一部分都叫做一个半平面。
α
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
l
15:10
二面角
2、二面角的定义
从空间一直线出发的两个半 平面所组成的图形叫做二面角 记作：
α
ι
β
3、二面角的平面角
一个平面垂直于二面角 的 棱 ， 并 与 两 半 平 面分别相交于射线 PA 、 PB 垂足为P，则∠APB叫做二面 角 的平面角
O
15:10
10
A O
B
B
(1)
(2)
二面角
二.作二面角的平面角的常用方法
①、点P在棱上 —定义法 ②、点P在一个半平面上 ③、点P在二面角内 —垂面法
ι
p
α
β
A B B
pβ
β
B
p
α
A
ι
ι
O
α
A
15:10
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面 角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.
(1)除了定义之外,如何判定两个平面互相垂直 呢? (2)日常生活中平面与平面垂直的例子?
例三.如图,四面体P-ABC中 PA 平面ABC BC AC
P
F
E
(1)问此图中有多少个直角三角形? C (2)过A作AE PC于E,过 A作 AF PB于 F，连接 EF
A
B
问此图形中有多少直角三角形？
15:10
小结
一.作二面角的平面角的常用方法
二面角及面面垂直的判定
15:10
二面角
一、 二面角及二面角的平面角
1
、半平面——
平面的一条直线把平面分为两部分， 其中的每一部分都叫做一个半平面。
α
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
l
15:10
二面角
2、二面角的定义
从空间一直线出发的两个半 平面所组成的图形叫做二面角 记作：
α
ι
β
3、二面角的平面角
一个平面垂直于二面角 的 棱 ， 并 与 两 半 平 面分别相交于射线 PA 、 PB 垂足为P，则∠APB叫做二面 角 的平面角
O
15:10
10
A O
B
B
(1)
(2)
二面角
二.作二面角的平面角的常用方法
①、点P在棱上 —定义法 ②、点P在一个半平面上 ③、点P在二面角内 —垂面法
ι
p
α
β
A B B
pβ
β
B
p
α
A
ι
ι
O
α
A
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一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面 角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.
(1)除了定义之外,如何判定两个平面互相垂直 呢? (2)日常生活中平面与平面垂直的例子?
例三.如图,四面体P-ABC中 PA 平面ABC BC AC
P
F
E
(1)问此图中有多少个直角三角形? C (2)过A作AE PC于E,过 A作 AF PB于 F，连接 EF
A
B
问此图形中有多少直角三角形？
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小结
一.作二面角的平面角的常用方法
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D
C
A
B
D1 A1
C1 B1
练习
在坡度为30o，顶高为30米的小山坡上种树， 要求树的行距不小于3米，求从山脚到山顶最多可 以种多少行树？
已知AB是圆O的直径，C是圆O上不同于A， B的任一点，PA垂直于圆O所在的平面，求二面 角A-PC-B的大小.
解:在PB上任取一点G, 过G作 GD⊥AB交PM于D，GF⊥AB 交PN于F，连接DF.
在直角三角形PGD和直角三角 形PGF中
α MD
B
GP A
βNF
∵∠ MPB=∠ NPB=45o,
∴ PG=DP=GF=a, PD=PF= 2a 又∠ MPN=60 o, ∴ DF= 2a
在三角形DGF中，∵ DG2+GF2=DF2, ∴∠ DGF=90o
二面角（2）
一、复习巩固
1. 二面角的定义?
2. 什么是二面角的平面角?
请看
3. 什么是直二面角？
二、研究与讨论
1. 二面角的平面角的顶点是二面角棱上的_任__意__一点.
2. 二面角的平面角的两边分别在二面角的_两__个__面__内.
3. 二面角的平面角的两边都与棱_垂__直_____.
4. 二面角的平面角所在的平面与二面角的棱_垂__直_____.
因为CD=100米，故DH=DGsin60o=CDsin30osin60o
=100sin30osin60o=25 3 ≈43.3米.
答：沿直道前进100米，升高约43.3米.
例2 P是二面角为α-AB-β棱AB上一点，自P点分别在α、 β上引射线PM、PN，∠ MPB=∠ NPB=45o， ∠ MPN=60o，求二面角α-AB-β的大小.
5. 你能有几种作二面角的平面角的方法？ （1）运用定义 （2）利用三垂线定理 （3）作棱的垂面 6. 二面角的平面角的范围是：__0_°___≤_θ_≤_1_8_0_°_.
练习：
如果两条异面直线a和b成30o角，a⊥α，b ⊥β, 那么α与β所成的二面角是____3_0_o或__1_5_0_o_.
所以二面角α-AB-β的大小为90o.
例3 ? ABC的边BC在平面α内，A在平面α内的射影是A1， 设? ABC的面积为S，它和平面α交成二面角θ，（0o< θ<90 o), 射影? A1BC的面积为S1，求证S1=Scosθ.
例4 在正方体AC1中，求面AB1C与底型例题
例1 山坡的倾斜度（坡面与水平面所成的二面角的度 数）是60o，山坡上有一直道CD，它和坡脚的水平线 AB的夹角是30o，沿这条路上山，行走100米升高多少 米？
解：如图 ， 过D作水平面的垂线DH，垂足为H，过H 在水平面内作AB的垂线GH，垂足为G，连接DG.
由三垂线定理，得 DG⊥AB，所以∠ DGH就是坡 面和水平平面所成的二面角的平面角，故∠ DGH=60o.