高中数学选修3统计案例之线性回归方程习题课

1．相关关系的分类

从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关；点散布在从左上角到右下角的区域内，两个变量的这种相关关系称为负相关．

2．线性相关

从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在一条直线附近，则称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线．3．回归方程

(1)最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离平方和最小的方法叫最小二乘法．(2)回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)，其回归方程为y^＝b^x＋a^，则b^，a^

其中，b是回归方程的斜率，a是在y轴上的截距．

4．样本相关系数

r＝

∑

i＝1

n

(x i－x)(y i－y)

∑

i＝1

n

(x i－x)2∑

i＝1

n

(y i－y)2

，用它来衡

量两个变量间的线性相关关系．

(1)当r＞0时，表明两个变量正相关；

(2)当r＜0时，表明两个变量负相关；

(3)r的绝对值越接近1，表明两个变量的线性相关性越强；r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常当|r|＞0.75时，认为两个变量有很强的线性相关关系．

5．线性回归模型

(1)y＝bx＋a＋e中，a、b称为模型的未知参数；e称为随机误差．

(2)相关指数

用相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是：R2＝，R2的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果越好．在线性回归模型中，R2表示解释变量对预报变量变化的贡献率，R2越接近于1，表示回归效果越好．

规律

(1)函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系．事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系．

注意

(1)回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实际意义，否则，求出的回归直线方程毫无意义．(2)线性回归方程中的截距和斜率都是通过样本数据估计而来的，存在误差，这种误差会导致预报结果的偏差；而且回归方程只适用于我们所研究的样本总体．

考向一相关关系的判断

例1．下列选项中，两个变量具有相关关系的是( )

A．正方形的面积与周长

B．匀速行驶车辆的行驶路程与时间

C．人的身高与体重

D．人的身高与视力

答案：C

例2．对变量x、y有观测数据(x i，y i)(i ＝1,2，…，10)，得散点图1；对变量u，v 有观测数据(u i，v i)(i＝1,2，…，10)，得散点图2.由这两个散点图可以判断( )

A．变量x与y正相关，u与v正相关

B．变量x与y正相关，u与v负相关

C.变量x与y负相关，u与v正相关

D．变量x与y负相关，u与v负相关

解析：选C.由题图1可知，各点整体呈递减趋势，x与y负相关，由题图2可知，各点整体呈递增趋势，u与v正相关．

例3．下面哪些变量是相关关系()．A．出租车车费与行驶的里程

B．房屋面积与房屋价格

C．身高与体重D．铁块的大小与质量

解析A，B，D都是函数关系，其中A一般是分段函数，只有C是相关关系．

答案 C

例4.如图所示，有5组(x，y)数据，去掉________组数据后，剩下的4组数据的线性相关性最大．

解析：因为A、B、C、E四点分布在一条直线附近且贴近某一直线，D点离得远．答案：D

例5．对变量x，y有观测数据(x i，y i)(i＝1,2，…，10)，得散点图(1)；对变量u，v 有观测数据(u i、v i)(i＝1,2，…，10)，得散点图(2)．由这两个散点图可以判断()．

A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关

解析由题图(1)可知，各点整体呈递减趋势，x与y负相关；由题图(2)可知，各点整体呈递增趋势，u与v正相关．

答案 C

例6．下列关系属于线性负相关的是( )

A．父母的身高与子女身高的关系

B．球的体积与半径之间的关系

C．汽车的重量与汽车每消耗1 L汽油所行驶的平均路程

D．一个家庭的收入与支出

解析：选C.A、D中的两个变量属于线性正相关，B中两个变量是函数关系．

例7.山东鲁洁棉业公司的科研人员在7块并排、形状大小相同的试验田上对某棉花新品种进行施化肥量x对产量y影响的试验，得到如下表所示的一组数据(单位：kg)：

(1)画出散点图；

(2)判断是否具有相关关系．

[审题视点] (1)用x轴表示化肥施用量，y轴表示棉花产量，逐一画点．

(2)根据散点图，分析两个变量是否存在相关

关系．

解(1)散点图如图所示

(2)由散点图知，各组数据对应点大致都在一条直线附近，所以施化肥量x与产量y具有线性相关关系．

利用散点图判断两个变量是否有相关关系是比较简便的方法．在散点图中如果所有的样本点都落在某一函数的曲线上，就用该函数来描述变量之间的关系．即变量之间具有函数关系．如果所有的样本点落在某一函数的曲线附近，变量之间就有相关关系；

如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系．

例8. 根据两个变量x，y之间的观测数据画成散点图如图所示，这两个变量是否具有线性相关关系________(填“是”与“否”)．

解析从散点图看，散点图的分布成团状，无任何规律，所以两个变量不具有线性相关关系．

答案否

考向二线性回归方程

例9．对有线性相关关系的两个变量建立的回归直线方程y^＝a＋bx中，回归系数b( )