上海高中数学-复数讲义

一、知识点梳理: 1、i 的周期性：

i4=1，所以，i41, i421, i43, i41

“z

i 4n i 4n1 严2 i 4n3 =0 n Z

2、复数的代数形式：a bi a, b R , a 叫实部，b 叫虚部，实部和 虚部都是实数。C = bi|a,

叫做复数集。二二二二.

3、 复数相等： a bi = c di ：= a = c 且b=d ； a • bi =0：= a =0且b=0

「实数(b=0)

4、 复数的分类： 复数Z 二a bi 士疥

一般虚数(b=0,a = 0) 虚数(b H0)g

i 纯虚数(b 式0,a=0)

虚数不能比较大小，只有等与不等。即使是3 i,6 2i 也没有大 小。 5、 复数的模：若向量oz 表示复数 乙则称oz 的模r 为复数z 的 模， z =|a bi |二■. a 2 b 2 ； 积或商的模可利用模的性质(

Z 1 Z 2

6、 复数的几何意义：

复数|z=a+bi(a,b€R )«-一对复平面内的点

一一对应

复数Z =a +bi(a,b 乏R)㈠ 平面向量O#，

7、 复平面：这个建立了直角坐标系来表示复数的坐标平面叫做

复平面，其中x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴•，实轴上 的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯 虚数

&复数代数形式的加减运算

复数

1

)乙川厶,=|乙| ：Z 2 HI ：Z n ， ( 2)

复数z1 与z2 的和：z12=()+()=()+()i. a,b,c,d R

复数z1 与z2 的差：z12=()-()=()+()i. a,b,c,d R

复数的加法运算满足交换律和结合律

数加法的几何意义：复数z1，z2 a,b,c,d・R ；OZ= OZ, ON (a ,

b)+(c , d)=( , ) = ()+()i

复数减法的几何意义：复数z12的差(a - c)+(b - d)i对应.由于

Z2Z^OZ^-OZ2,两个复数的差z-z1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.

9、特别地，令二一.,|胡=|AB =Z B-Z A为两点间的距离。|z-Z i|=|z-Z2|Z 对应的点的轨迹是线段乙Z2的垂直平分线；|z-Z o|=r , z 对应的点的轨迹是一个圆；|z-z,| |z-z2p2a Z1Z2 : 2a , z 对应的点的轨迹是一个椭圆；

|z-Z i I-|z-z2| =2a( Z1Z2 >2a ), z 对应的点的轨迹是双曲线。

乙一乙，兰乙±z2乞乙+z2

10、显然有公式： 2 2 2 2

Zi+Z2 +乙—Z2 =2(|乙+ Z2 )

11、复数的乘除法运算：

复数的乘法：z1z2= ()()=( - )+()i. a,b,c,d R

复数的乘法运算满足交换律、结合律和分配律。

实数集R中正整数指数的运算律，在复数集C中仍然成立.即对z123 € C及€ N*有:,(),(z1z2)12n.

复数的除法：ZL=() -■()旦埋普里巴驾i a,b,c,d・R，分母实

Z2 c+dic+d c+d

数化是常规方法

12、共轭复数：若两个复数的实部相等，而虚部是互为相反数时， 这两个复数叫互为共轭复数； 特别地，虚部不为0的两个共轭复 数也叫做共轭虚数;

Z 二a • bi,z 二a —bi a,b ・R ，两共轭复数所对应的点或向量关于实轴

i i .

2

2

-------- = i

①(i i) =2i ②(i —i) =-2i ③ i_i

=i ②’2

③i 亠心亠心2 =0 ④

复数相等求解。但仍然适用韦达定理。

X 2 -X i 是实系数一元二次方程 a X 2 bX ^0的两个根，求

X 2 -X i 的方法:

对称。 =| z 1= a 2 b 2

Z i

二 Z 2 二

Z i 二 Z 2, Z i Z 2 = Z i Z 2 ,

13、 熟记常用算式：h_i ，

i

14、 复数的代数式运算技

巧: 2

(i i) =2i ，(i-i)

Z 二 互」

i i . i-i

，- i ，

i

'i-i i i

Z i Z 2 (1) (2)

、"一丄士旦

i ”的立方根 2 2

的性质:

i5、实系数一元二次方程的根问题： （1） 当厶=b 2-4ac_0时，方程有两个实根

（2） 当厶=b 2-4ac ：：：0时，方程有两个共轭虚根，其中 此时有

X i ,X 2

X i

2 =X2

注意两种题型: (1) X i —X2

2

c

b - i =X/2 =—且 X i 2

a

⑵ X i +|X 2

o

2a

虚系数一元二次方程有实根问题： 不能用判别式法，

般用两个

已知 5

_ 2.2

Z Z = a b ：二 R,Z Z

(1)当厶二 b ? _4ac _0 时，

x 2 -禺 =J (X 4 +x 2)2 —4X 4X 2 =

—4ac

(2)当-b ^4ac ：：：0 时，

二、典例分析: 例1.( 1)复数等于()

D. - 1-i

解析:复数=互=i (r i^ -1 i ，选C.

1 -i

(2)若复数z 同时满足z - z = 2i , z = iz ( i 为虚数单位)，则z

解：已知=Z -iZ =2i = Z

2L

=i -1 ； 1 - i

(3)设a 、b 、c 、d € R,则复数()()为实数的充要条件是

C. 0

=J|(X 1 +X 2)2 —4X 1X 2

4ac - b 2

已知X 1，X 2是实系数一元二次方程 ax 2+bx+c = 0的两个根，求X 2 +X 1

的方法：

当厶二b 2 -4ac 亠0时， >0,即—>0，则x 2屮

(1) ①X 1 x ?

X i X-I x 2

②X 1

■X2 c 0,

即-<0，贝U X 2忖 X i

x 1 x 2 )2 —4^X 2 二

b 2 - 4a

c la

(2)

当厶二 b 2

「4ac ::: 0 时， X 2I + X 1 =2x 1

=2 . x 1 x 2 = 2

A.1 - i

B.1

C. - 1+ i