上海高中数学-复数讲义

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沪教版高中数学高二下册第十三章13.1复数的概念课件 (共18张ppt)

复数的分类
实数(b 0)
1、复数z=a+bi
虚数(b
0)
纯虚数(a 0，b 0) 非纯虚数(a 0，b
0)
2. 复数集、虚数集、实数集、纯虚数集之间的关系
虚数集复数集C 纯虚数集实数集
决卡丹问题与邦贝利问题： 5、“虚数不虚”
意大利数学家卡尔丹（G.Candano,1501-1576）
复数的概念
x2 10x 40=0 x 5 15, x 5 15
意大利数学家卡尔丹（G.Candano,1501-1576）
(5 15) (5 15) 10, (5 15) (5 15) 40
一元二次方程的根有三种情形
问：对照前两种情形，第三种显得不太和谐，能否有一种比较和谐的状态？
只存在于“想象之中”。 -1 i a (a 0) ?
- ai
思考？
这个例子告诉我们 -1只是个记号，我们
用 i 来表示 i 2 1，不能说明负数就可以
参与平方根运算了。
2、探究复数的一般形式
复数的概念
形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数(complex number),
通常用字母z表示。全体复数所形成的集合叫做复数集(complex set)，
用！
同学们你们发现什么？
负数赋予意义
今天我们遇到了负数开平方这个超越实数
复范围的问题，就是希望引入的数的平方为负数，
但是负数有无穷多个，我们不肯能一下子引入那么多，只要引入平方为多少就行了呢？
？2 负数
数的引
1777年欧拉提出 i 用来表示 i2 = 1
入
他用了“imaginary”一词的首字母，本意是它

沪教版高中数学高二下册 -13.1复数的概念课件

知识运用
例2 已知(2 x y ) i 1 (2 y )i,其中x, yR，求 x, y 的值.
例3 当实数 x, y为何值时，复数 zx23x(y22y8)i等于4.
练习3：P75（3，4）
课堂小结
一、知识内容
（1）复数的相关概念（2）复数相等的充要条件
二、思想方法
转化思想：即复数问题实数化！
作业布置
练习册：13.1 A组
思考题：
在实数集中，两个实数之间存在几种关系？那么在复数集中，两个复数之间呢？
谢谢指导！
4、年轻是我们唯一拥有权利去编织梦想的时光。 15.一个人幸运的前提，其实是他有能力改变自己。 13、如果刀刃怕伤了自己而不与磨刀石接触，就永远不会锋利。 3.任何的限制，都是从自己的内心开始的。 3.最能让人感到快乐的事，莫过于经过一番努力后，所有东西正慢慢变成你想要的样子！ 15.世上所有美好的感情加在一起，也抵不上一桩高尚的行动。 14、壮志与毅力是事业的双翼。 6、莫愁前路无知己，天下谁人不识君。 1. 只有经历过地狱般的磨砺，才能练就创造天堂的力量；只有流过血的手指，才能弹出世间的绝响。 5.成大事不在于力量多少，而在能坚持多久。 3、如果知道光阴的易逝而珍贵爱惜，不做无谓的伤感，并向着自己应做的事业去努力，尤其是青年时代一点也不把时光滥用，那我们可以武断地说将来必然是会成功的。——聂耳 13.心若改变，你的态度跟着改变;态度改变，你的习惯跟着改变;习惯改变，你的性格跟着改变;性格改变，你的人生跟着改变。 8.有望得到的要努力，无望得到的不介意，无论输赢姿态都会好看。 8.说服自己、感动自己、征服自己，带着真诚感恩的心，勇敢地走完选定的生活道路，决不回头。 12、自信是成功的先决条件。 4.生活就像海洋，只有意志坚强的人，才能到达彼岸。 3、开启中考成功之门，钥匙有三。其一：勤奋的精神；其二：科学的方法；其三：良好的心态。 4. 不管从什么时候开始，重要的是开始以后不要停止；不管在什么时候结束，重要的是结束以后不要后悔。

(完整版)高中数学复数讲义.教师版

复数知识内容一、复数的看法1．虚数单位i:（1）它的平方等于 1 ，即i2 1 ；（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律依旧建立．（3） i 与－ 1 的关系 :i 就是1的一个平方根，即方程21 的一个根，方程21 的另一个根是 -i ．x x（4） i 的周期性：i 4n 1i ， i 4n 2 1 ， i 4n 3i ， i 4 n 1 ．实数 a( b0)2．数系的扩大：复数a bibi( b0)纯虚数 bi( a0)虚数 a非纯虚数 a bi( a0)3．复数的定义：形如 a bi( a ，b R ) 的数叫复数， a 叫复数的实部，b叫复数的虚部．全体复数所成的会集叫做复数集，用字母 C 表示4．复数的代数形式 :平时用字母 z 表示，即z a bi (a ，b R) ，把复数表示成 a bi 的形式，叫做复数的代数形式．5．复数与实数、虚数、纯虚数及0 的关系：关于复数 a bi ( a ，b R) ，当且仅当 b0时，复数 a bi( a ，b R) 是实数a；当 b 0 时，复数z a bi 叫做虚数；当a0 且 b0 时， z bi 叫做纯虚数；当且仅当 a b 0 时，z就是实数 06．复数集与其他数集之间的关系：N 苘Z Q 苘 R C7．两个复数相等的定义：假如两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．这就是说，假如a，a，b，d，c ，d R ，那么 a bi c di a c ，b d二、复数的几何意义1．复平面、实轴、虚轴：复数 z a bi( a ，b R ) 与有序实数对 a ，b是一一对应关系．建立一一对应的关系．点 Z 的横坐标是 a ，纵坐标是b，复数z a bi( a ，b R ) 可用点 Z a ，b 表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数．2．．关于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为0 ，0 ，它所确立的复数是z 0 0i 0 表示是实数．除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．3．复数 z a bi一一对应复平面内的点 Z (a ，b)这就是复数的一种几何意义．也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法．三、复数的四则运算1．复数z1与z2的和的定义：z1z2 a bi c di a c b d i2．复数z1与z2的差的定义：z1 z2 a bi c di a c b d i3．复数的加法运算满足交换律: z1z2z2z14．复数的加法运算满足联合律: ( z1z2 )z3z1(z2 z3 )5．乘法运算规则：设 z1 a bi ， z2c di ( a、b、c、d R )是任意两个复数，那么它们的积 z1 z2 a bi c di ac bd bc ad i其实就是把两个复数相乘，近似两个多项式相乘，在所得的结果中把i 2换成1，而且把实部与虚部分别合并．两个复数的积依旧是一个复数．6．乘法运算律：（1） z1 z2 z3z1 z2 z3（2） (z1 z2 ) z3z1 ( z2 z3 )（3） z 1 z 2 z 3z 1 z 2 z 1 z 37．复数除法定义：满足 c di x yia bi 的复数 x yi ( x 、 y R )叫复数 abi 除以复数 cdi 的商，记为：(a bi)c di 也许abic di8．除法运算规则：设复数 a bi ( a 、 b R ) ，除以 c di ( c ， d R )，其商为 x yi （ x 、 yR ) ，即 ( a bi) c dixyi ∵ xyi c dicx dydx cy i∴ cxdydx cy i a bix ac bdcx dy ac 2d 2由复数相等定义可知，解这个方程组，得dxcyb bc，yadc 2d 2于是有 : (a bi)cdi ac bdbc adi2 222cdcd ②利用c di c di c 22abi的分母有理化得：d 于是将 c di原式a bi (abi)( c di) [ ac bi ( di)] (bc ad)ic di (cdi)( cdi)c2d2(acbd ) (bc ad)i ac bd bc adc 2d 2 c 2 d 2 c 2d 2 i ．∴ ( (abi)c di ac bd bc adc 2d 22d 2ic评论 : ①是惯例方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采纳的分母有理化思想方法，而复数 c di 与复数 c di ，相当于我们初中学习的3 2 的对偶式 3 2 ，它们之积为1是有理数，而 c di c dic 2d 2 是正实数．所以可以分母实数化．把这类方法叫做分母实数化法．9．共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。

上海高考数学复数知识点

上海高考数学复数知识点复数，作为高考数学中的一个重要概念，广泛应用于各个数学分支中。

对于上海高考来说，对复数的理解和应用是考生必备的数学知识之一。

本文将全面介绍上海高考数学中的复数知识点，帮助考生更好地掌握这一内容。

一、复数的引入1. 实数的不完备性在高中数学中，我们知道实数是由有理数与无理数构成的。

然而，即便是把这两类数合并在一起，仍然有些问题无法解决。

例如，方程x²=-1在实数范围内无解，这就引出了复数的概念。

2. 复数的定义复数由实部和虚部构成，形如a+bi。

其中，a为实数部分，bi为虚数部分，i为虚数单位，满足i²=-1。

复数可以用平面上的点表示，实部对应的是点在实轴上的投影，虚部对应的是点在虚轴上的投影。

二、复数的运算1. 加法和减法复数的加法就是实部相加，虚部相加。

例如，(3+2i)+(5+4i)=8+6i。

减法同理，即实部相减，虚部相减。

2. 乘法和除法复数的乘法则是根据分配律展开进行计算。

例如，(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。

复数的除法可以通过有理化的方法进行，具体推导与实数的除法类似。

3. 共轭复数一个复数的共轭复数由实部保持不变，虚部变号得到。

例如，对于复数a+bi，它的共轭复数为a-bi。

共轭复数的应用十分广泛，例如求复数的模、求复数的平方等等。

三、复数的性质和定理1. 关于复数的模复数的模是指复数到原点的距离，记作|z|。

对于复数a+bi，它的模为√(a²+b²)。

复数的模具有非负性、三角不等式和模的性质等特点。

2. 欧拉公式欧拉公式是数学中一条重要的公式，被广泛应用于各个领域。

它的表达形式为e^(ix)=cos(x)+isin(x)，其中e表示自然对数的底，i为虚数单位，x为实数。

3. 复数根的性质对于复数z的n次方根，一共有n个解。

这些解在平面上均匀分布在一个圆周上，称为复数单位圆。

复数根的求解可以利用欧拉公式和三角函数理论来处理。

第9章复数(单元复习课件)高一数学(沪教版2020必修第二册)

＋
cosπ6＋isinπ6
2＋…＋
cosπ6＋isinπ6
n －1＝
1－
cosπ6＋sin
π 6
n
1－
cosn6π＋sin
nπ 6
1－ cosπ6＋sinπ6 ＝
1－
cosπ6＋sin
π 6
，
当 n＝12 时，上述复数为 0，即可回到原点．
2a＝2，
a＝1，
由复数相等的条件得，
∴
∴z＝1＋i，故选 A.
a2＋b2＝2b， b＝1.
(2)已知复数z1＝2－3i，z2＝32＋＋2ii2，则zz12＝(
)
A．－4＋3i
B．3＋4i
C．3－4i
D．4－3i
(2)D (2)zz12＝2－33＋i22i＋i2 ＝2－33＋i23i－32－i22i＋ i2 ＝－13i133＋4i＝4－3i.]
i的幂有周期性，周期为4.
i i2 1 i3 i i4 1
2.复数的相关概念
(4)复数相等：
设a,b, c, d R. ①a bi c di a c且b d; ②a bi 0 a b 0.
作用：将复数问题转化为实数问题．
注：①若两个复数能比较大小，则它们必为实数. ②一般对两个不全是实数的复数只能说相等或不相等，不能比较大小. 如：3与1+2i不能比较大小；2+3i与1+2i不能比较大小.
一个探险家无意中得到一张藏宝图，图上画着一座海岛，海岛上有两座宝塔A和B，以及一座寺庙，藏宝图用一种比较特别的方式指出了宝藏的位置．
从寺庙开始沿直线走向宝塔A，到达后记下距离并向左转 90°，沿直线走相同的距离，然后在停止处做一记号．再回到寺庙，同样沿直线走向宝塔B，到达后记下距离并向右转 90°，沿直线走相同的距离，然后在停止处再做一记号，两个记号连线的中点就是宝藏所在的位置．

数学基础讲义-第九章复数

第九章复数复数是对实数域拓展得到的新的数域，然而复数其实并不算是全新的概念，它与已经学习的实数和向量都有直接联系。

根据实数的运算进一步推广即可得到复数的性质和运算规律；复数与向量在形式上具有诸多相同点并能建立起对应关系。

复数也具有显著的“数形结合”的特点，通过虚数单位i将“数”与“形”更加直接地结合了起来。

高中阶段对复数的学习和考察的内容较为基本，可以将学习本章当作对代数运算与向量知识的复习。

一、虚数与复数从用于计数的自然数开始，先根据加法和减法拓展到整数，再根据乘法和除法拓展到有理数，又根据乘方和开方拓展到实数，现在进一步拓展到复数。

1.1 实数与虚数解一元二次方程时，根据各项系数可以判断方程根的情况。

对于一元二次方程20ax bx c（0a ）配方得：2224 (24b b ac xa a等式左边是完全平方数，恒大于等于0，由此可得：若240b ac，则方程有2个不同的实根。

若240b ac，则方程有2个相同的实根，或称只有1个实根。

若240b ac，则方程有没有实根。

为了令一元二次方程总是有解，现在规定根号内也可为负数，即：虚数。

现在只简单生硬地规定：对于虚数的具体含义，接下来将根据该规定，结合具体运算进行推导。

为方便地表示虚数，再引入一个新的单位：虚数单位，一般用符号i 表示。

其定义式为：i将实数的乘法运算作用于虚数单位i 。

任意虚数都可以用一个实数与虚数单位i 的乘积表示：5i根据虚数单位的定义i ，可得到关于i 的一系列运算规律：221i321i i i i i4242()(1)1i i即：对于任意k Z ，都有：41k i ，41k i i ，421k i ，43k i i 虚数的表示方式也适用于实数，只是通常被省略了。

若将“1”看作“实数单位”，即：1 。

“实数单位”“1”1 。

可以将实数和虚数看作分别属于两个不同“空间”的数，实数以1）为单位，在“实在”的空间内；i ）为单位，在“虚拟”的空间内。

沪教版高中数学高二下册第十三章13.1复数的概念课件(共12张PPT)

我们希望i能与实数进行加、减、乘、除运算，会产生哪些形式的“新数”呢？请举例；
这些数能用统一的形式表示吗？
复数的概念
例2.实数m取什么值时,复数 z = m²+m-2+(m²-1)i
是:(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数（4）0
数系的扩充
自然数集
整数集
有理数集
实数集
复数集
正整数负整数自然数
零
分数整数
虚数
无理数有理数
实数
复数
印度人
实际需要
实际需要
印度人
古希腊
几何直觉
古希腊
内部发展
内部发展
实际需要毕达哥拉斯
实际需要
内部发展
虚数的历史
卡
笛
尔
卡
丹
尔
1545年卡尔丹在解方程的过程中第一次大胆使用了负数平方根的概念。
欧拉
1637年法国数学家笛卡尔率先给这种
新数取名为虚数（imaginary）。
（3）当 m 1 0
m
1
0
即m1时ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ复数z 是
纯虚数．
思考： a = 0 是 z = a + b i(a,bR)为纯虚数的必要不充分条件.
归纳小结
1.数的发展过程： N Z Q R C
2.复数有关概念：
虚数单位复数的形式: z a b(a i,b R )
复数的分类
复数相等
ab icd iba
高斯
1777年著名的数学家欧拉首次用ｉ表示 1801年，高斯系统地使用这个符号，
-1 的平方根，但认为它们是虚幻的。才使i通行于世。
没有复数，便没有电磁学，便没有量子力学，便没有近代文明----陈省身

高中数学课件-复数及其三角形式(讲义)

【知识要点】1.虚数单位引入一个新数i ，叫做虚数单位，规定：21i =-。

0a ≥a R ∈。

2.复数集及其分类形如(),a bi a b R +∈的数称为复数，复数集用字母C 表示。

只有实数之间才能比较大小。

复数()(0),(0,0)(0)(0,0)b a bi a b R a b b a b =⎧⎪+∈=≠⎧⎨≠⎨⎪≠≠⎩⎩实数纯虚数虚数非纯虚数的虚数3.复数的实部、虚部、共轭、模对于(),z a bi a b R =+∈，a 叫做复数z 的实部，记作Re z ；b 叫做复数z 的虚部，记作Im z 。

对于(),z a bi a b R =+∈，定义它的共轭复数z a bi =-。

对于(),z a bi a b R =+∈，定义它的模z = 复数相等的充要条件(),a bi a b R +∈与(),c di c d R +∈相等的充要条件是a c =且b d =4.复数的运算加减法：()()()()a bi c di a c b d i +++=+++，()()()()a bi c di a c b d i +-+=-+- 乘除法：()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++，()22220a bi ac bd bc adc di i c di cd c d++-+≠=++++ 把()n n N+∈个z 相乘记作nz，定义()1,0nn zn N z z-+=∈≠，定义()001z z ≠= n 次方根若(),2n x z n N n +=∈≥，则称x 为z 的n 次方根。

2次方根又称平方根，3次方根又称立方根。

非零复数在复数域内有n 个n 次方根。

复数及其三角形式【例题1】若()23f z z z i =+-，0()63f z i i +=-，试求0()f z -．【例题2】若()220,0x xy y x y ++=≠，求20182018x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭【例题3】设z 为复数，且0z z -≠，2r z z+∈R ，0r >，证明：z r z r -+是纯虚数．【例题4】设z 是虚数，1w z z=+是实数，且12w -<<． ⑴求z 的值及z 的实部的取值范围；⑵设11zu z-=+，求证：u 为纯虚数；⑶求2w u -的最小值．【例题5】（1）12122,3,4z z z z ==+=，求1122,z z z z -（2）2z z z R z-=∈，求z【例题6】（1）设复数1z ，2z 满足12120z z A z A z ⋅+⋅+⋅=，其中A =12z A z A +⋅+的值．（2）已知复数12,z z 满足122,3z z ==；12632(3)5z z i -=+；试求12z z 的值；【例题7】k R ∈，z C ∈ ，1z =，求21z kz ++的最大值【例题8】复平面单位圆上四个不同点1234,,,Z Z Z Z 对应的复数是1234,,,z z z z ，12340z z z z +++=，求证：1234,,,Z Z Z Z 四个点组成的图形为矩形。

高中数学复数讲义

例4.复数（）
（A）（B）（C）（D）
练习1.复数（）
A、 B、 C、 D、
练习2.复数
（A）（B）（C）（D）
例5.下面是关于复数的四个命题：其中的真命题为（）
的共轭复数为的虚部为
（C）
练习1.设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是( )．
A．若|z1－z2|＝0，则 B．若，则
思考：实轴上的点都表示________，原点表示，除了原点外虚轴上的点都表示 ___________.
在复平面内对应的点______________，对应的点______________，
实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示纯虚数_____________，
虚轴上的点表示纯虚数____________；
例3. 已知复数的虚部为，在复平面内复数对应的向量的模为2，求复数 .
练习1.已知，复数z的实部为a，虚部为1，则的取值范围是
例4. 设复数满足，则 =（）
A． B． C． D．
练习1.若复数z满足，则z=
【知识点梳理】
1．复数与的和的定义：
2．复数与的差的定义：
3．乘法运算规则：
练习1.若是虚数单位，，则为（）
A.0B.1C.2D.3
例4. 已知是虚数单位，复数，当取何实数时，是：
（1）实数（2）虚数（3）纯虚数（4）零
例5.已知复数，则实数x=
练习1.若不等式成立，则实数
专题精讲
【知识点梳理】
1. 复数与有序实数对是一一对应关系；若点Z的横坐标是，纵坐标是，则复数可用点表示，其中这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴

沪教版高中数学高二下册-13.3复数几何意义的简单应用课件

解：（1 ）（2,－2）（2 ）（-2,0）（3）（0，1）
5、满足下列条件的复数z所对应的点表示什么样的图形？
（1） |z|=1
（2） |z| <1 （3）|z-1-i|=1
解(1)以原点为圆心，以1为半径的圆
(2)以原点为圆心，以1为半径的圆面（不包括圆周）
(3)以(1,1)为圆心，以1为半径的圆
（以 ( c , 0 ) 为焦点，长轴长为 2 a 的椭圆）
5 ,z cz c 2 a (2 c 2 a 0 )
（以 ( c , 0 ) 为焦点，长轴长为 2 a 的双曲线）
巩固提高
1，若复数z满足|z|=1，|z-2|范围是____1_, _3 _ _
常用的复数方程的轨迹：
1, z r(r 0)
（以原点为圆心，r为半径的圆）
2, zz1 r(r0)
（以 Z 1 为圆心， r 为半径的圆）
3,zz1zz2(z1z2) （连接对应点 Z 、 Z 为线段的垂直平分线）
12
4 ,z c z c 2 a (2 a 2 c 0 )
3、两个复数 z 1 , z 2 在复平面
上对应的两点 Z 1 , Z 2间的距离
表示为： z1 z 2
ห้องสมุดไป่ตู้
O
a
x
例如 z 2 表示复数 z 所对应的点 Z 与 _ (_ _ 2_ ,_ 0_ )_ 的距离
复习提问巩固旧知 4、写出下列复数对应的点：
（1） 2-2i （2）-2 （3）i
解（1）由条件知复数z对应的点的集合是以 (1,0),(-1,0)为焦点，长轴长为4的椭圆。

沪教版(上海)数学高二下册-13.1复数的概念(课件)

解：由已知得：
x x
y 2x5 2y 3x y
x
y
3 2
2、已知 2x 1 i y 3 yi 其中x，
y∈R，求x与y
• 解：根据复数相等的定义，得方程组
2x 1 y
• 1 3 y
得
x
5 2
y 4
课堂练习：
1、(2015年高考)若集合A＝{i，i2，i3，i4}(i是虚数单位)，B＝{1，－1}，则A∩B等于( C ) A.{－1} B.{1} C.{1，－1} D.∅
整数集
有理数集
实数集
分数
，
无理数
，
开方，
+×
+× ÷
+×
+×
，
，
，
，
乘
乘
乘
乘
方
方
方
方
，
，
，
减
减
减
法
法
法
，
，
÷
，
探究问题二：数系扩充中，有什么共同特点？
①增添了新元素； ②原有的一些基本关系和运算法则在新数集里仍能运用； ③新数集解决了原数集一些不能解决的问题.
类比推理的数学思想
自然数整数有理数实数
是：
(1)实数 (2)虚数 (3)纯虚数 (4) 0
五、复数相等
探究问题四：如何定义两个复数相等？
如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．
若a,b,c,d ∈R,
,则 a+bi = c+di 反之,也成立.
转化化归和方程的思想，变未知为已知。
例题赏析(学生探究)
例2、已知 (x y) (x 2y) i (2x 5) (3x y) i 其中 x, y R ,求与．

(完整版)上海高中数学-复数讲义

复数一、知识点梳理： 1、i 的周期性：44n+14n+24n+34ni =1，所以，i =i, i =-1, i =-i, i =1 n Z4n 4n 1 4n 2 4n 3IIIiC a bi | a,b R 叫做复数集。

3、复数相等：a bi cdi a c 且b=d ； a bi 0 a 0且b=0实数(b=0)4、复数的分类：复数Za bi 七—一般虚数(b 0,a 0)虚数(b 0)纯虚数(b 0,a 0)虚数不能比较大小，只有等与不等。

即使是3 i,6 2i 也没有大小。

uu uu r ------- r5、复数的模：若向量OZ 表示复数乙则称OZ 的模r 为复数z 的模，z |a bi | ,a 2 b 2 ；积或商的模可利用模的性质(1) z 1 L z nZ 1 Z 2 L Z n ,(2)引Z 2Z 2Z 26、复数的几何意义：复数z a bi a,b R一一对应复平面内的点Z(a,b)一一对应uu复数Z a bi a,b R平面向量OZ , 7y 轴叫做虚轴.，实轴上的点都表示实数;除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数&复数代数形式的加减运算复数 Z 1 与 Z 2 的和：z 1+z 2=(a +bi )+( c +di )=( a +c )+( b +d ) i . a, b, c, d R 复数 Z 1 与 Z 2 的差：z 1- z 2=( a +bi )-( c +di )=( a - c )+( b - d ) i . a, b, c, d R 复数的加法运算满足交换律和结合律数加法的几何意义：复数乙=a +bi ，Z 2=c +di a,b,c,d R ； OZ = OZ 1 +OZ 2 =(a ，b )+( c ,d )=( a +c , b +d ) = (a +c )+( b +d ) iuu u uuur ujur复数减法的几何意义：复数Z 1-Z 2的差(a - c )+( b - d )i 对应•由于Z 2Z 1 OZ 1 OZ 2,两个复数的差Z — Z 1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应 9.特别地，z ABz B —Z A , z AB AB z B z A 为两点间的距离。

上海市高二下学期复数的概念及其运算

上海市高二下学期复数的概念及其运算【学习要点】1.把形如)(R b a bi a ∈+、的数叫做双数，用字母z 表示，即=z )(R b a bi a ∈+、，其中a 叫做双数z 的实部，记作z Re ，b 叫做双数z 的虚部，记作z Im ，i 叫做虚数单位，规则：12-=i . 双数全体所组成的集合叫做双数集，用字母C 表示. 双数包括实数和虚数，规则12-=i .2.双数bi a z +=，事先0=b ，双数z 为实数；事先0≠b ，双数z 为虚数；当0=a 且0≠b 时，z 叫做纯虚数.3.假设两个双数bi a z +=1和di c z +=2相等，那么c a =且d b =.4.共轭双数：实部相等虚部相反的两个双数互为共轭双数，双数z 的共轭双数用 z 来表示，假定bi a z +=，那么bi a z -=.5.关于双数bi a z +=，我们把22b a +叫做双数z 的模.记z ，即=z 22b a +. 特别地，z z =.6.双数加减法：设bi a z +=1，di c z +=2，那么i d b c a z z )()(21±+±=±.7.双数乘除法：设bi a z +=1，di c z +=2，那么i ad bc bd ac z z )()(21++-=⋅；8.双数的乘方：n m n m z z z +=⋅，mn n m z z =)(，n n n z z z z 2121)(⋅=⋅.我们规则10=z ，)0(1≠=-z zz n n ，特别地，14=n i ；i i n =+14；124-=+n i ；i i n -=+34.9.双数的开方：它是乘方的逆运算，设bi a z +=1，di c z +=2，且满足21z z n=，即di c bi a n+=+)(，那么称1z 是2z 的一个n 次方根. 特别地，i ±是1-的一个立方根，1的立方根是1、i 2321±-. 10.双数的模的运算性质：①2121z z z z ⋅=⋅；②)0(22121≠=z z z z z ；11.共轭双数运算性质：①2121z z z z +=+，2121z z z z -=-；②)0(22121≠=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛z z z z z ；【例题解说与训练】例1.双数i 43+，i 2-，i ，2π，0，i 2.(1)指出它们哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？ (2)求出上述双数的模及它们的共轭双数. 〖变式训练1〗1.请说出双数i i 31,5,32--+的实部和虚部.2.双数 72+，618.0，i 72，0，i ，2i ，85+i ，i 293-中为实数的有，为虚数的有，为纯虚数有 .3.命题：①假定C z z ∈21,，且21z z =，那么21z z ±=；②假定R b a ∈,，且b a >，那么bi ai >；③与自身共轭的双数一定是实数.其中正确的序号为 .例2.实数m 取何值时，双数i m m m m m z )65(3222++++-+=是〔1〕实数？〔2〕虚数？〔3〕纯虚数？〖变式训练2〗1.实数m 区分取什么值时，双数()i m m z 11-++=是(1)实数？(2)虚数？(3) 纯虚数？2.假定双数()()i m m m m 36522-++-为纯虚数，试务实数m 的值. 3.R b a ∈,,指出不等式i b a b i a b a )62(5)(2-++-->--+-成立的条件. 例3.计算：〔1〕)43()2()65(i i i +---+-=〔2〕)20182017()54()43()32()21(i i i i i -++-+-+-+- = 〖变式训练3〗 1.计算：〔1〕)65()43()21(i i i +--++=〔2〕i i i i i i i i 2018201765432-+⋅⋅⋅+-+-+-=2.命题：①假定两个虚数1z 、2z 的和是实数，那么1z 、2z 是共轭双数；②假定1z 、2z 是共轭双数，那么1z -2z 是纯虚数；假定双数0=+z z ，那么z 是纯虚数.其中正确的序号是 .3.两个双数1z 和2z ，它们之和是i )21()12(-++，它们之差是+-)12( i )21(+，求1z 、2z .例4.双数1z 、2z 满足121==z z ，且i z z 232121+=+.求1z 、2z 的值. 〖变式训练4〗1.双数i z +=21，i z 212+=，那么双数12z z z -=在复平面内所表示的点位于〔〕(A)第一象限 (B)第二象限 (C )第三象限 (D)第四象限2.复平面上三点C B A 、、区分对应双数i i 25,2,1+ ，那么由C B A 、、所构成的三角形是〔〕(A)直角三角形 (B)等腰三角形 (C)锐角三角形 (D)钝角三角形 3.设双数z 满足2=z ，求i z -的最大值及此时的双数z . 例5.1z 、2z 是双数，1)31(z i +为纯虚数，iz z +=212，且252=z ，求2z . 〖变式训练5〗1.双数z 满足i z i 34)21(+=+，那么z = .2.双数21iz i-=+在复平面内对应的点位于 ( ) 〔A 〕第一象限〔B 〕第二象限〔C 〕第三象限〔D 〕第四象限3.假定将双数2i i +表示为a bi +(,a b R ∈)的方式，那么ab的值为( )（A ）2- 〔B 〕21- 〔C 〕2 〔D 〕21例6.设z 是虚数，zz 1+=ω是实数，且21<<-ω. （1）求z 的值及z 的实部的取值范围；（2）设zzu +-=11，求证：u 为纯虚数；（3）求2u -ω的最小值.〖变式训练6〗1.假定双数z 同时满足条件：①6101≤+<zz ；②z 的实部、虚部都是整数.求z . 2.假定双数z 满足1=z ，求证：R zz∈+21. 3.设C z ∈，求满足R zz∈+1且22=-z 的双数z . 例7.〔1〕201832ii i i +⋅⋅⋅+++= .〔2〕i 24143-的平方根是 . 〖变式训练7〗1.100432100432ii i i i +⋅⋅⋅++++= .2.i 247-的平方根是 .3.计算：n 为奇数时，求nn i i i i 22)11()11(+-+-+的值. 例8.设ω是1的立方虚根. (1)求ω；(2)求证：ωω=2； (3)求证：012=++ωω. 〖变式训练8〗1.ω是1的立方虚根，那么2018321ωωωω+⋅⋅⋅++++= . 2.ω为13=x 的一个虚根，那么)1)(1)(1)(1(842ωωωω++++= . 3.012=++x x ，那么504030x x x ++的值为= .例9.〔1〕双数4523213)23()()43(-++=i i z 的模为= .〔2〕设双数z 满足1=z ，求22+-z z 的最大值和最小值，并求相应的z .〖变式训练9〗1.双数2105)31()21()247()43(i i i i i z +--+---=的模为= . 2.假定C z z ∈21,，2121z z z z +是〔〕（A ）纯虚数〔B 〕实数〔C)虚数〔D 〕不能确定3.假定双数21,z z 满足31=z ，52=z ，721=-z z ，求21z z .例10.设双数21,z z 满足关系式02121=++z A z A z z ，其中A 为不等于0的双数. 求证：〔1〕221A A z A z =++；〔2〕Az Az A z A z ++=++2121. 〖变式训练10〗1.〔1〕C z z ∈21,，11=z ，求21211z z z z ⋅--的值；〔2〕假定双数321,,z z z 的模均为3，求321321111z z z z z z ++++的值. 2.21,z z 为非零双数，且满足2121z z z z -=+，求证：221⎪⎪⎭⎫⎝⎛z z 一定为正数.3.设双数21,z z 满足01222121=+-+⋅iz iz z z . 〔1〕假定i z z 212=-，求1z 和2z ；〔2〕假定31=z ，求证：i z 42-为常数.。

高中数学竞赛讲义第十五章复数【讲义】

第十五章复数一、基础知识1．复数的定义：设i 为方程x 2=-1的根,i 称为虚数单位,由i 与实数进行加、减、乘、除等运算.便产生形如a+bi （a,b ∈R ）的数,称为复数.所有复数构成的集合称复数集.通常用C 来表示. 2．复数的几种形式.对任意复数z=a+bi （a,b ∈R ）,a 称实部记作Re(z),b 称虚部记作Im(z). z=ai 称为代数形式,它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标,那么z 与坐标平面唯一一个点相对应,从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射.因此复数可以用点来表示,表示复数的平面称为复平面,x 轴称为实轴,y 轴去掉原点称为虚轴,点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标,复数z 又对应唯一一个向量.因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式,称为向量形式；另外设z 对应复平面内的点Z,见图15-1,连接OZ,设∠xOZ=θ,|OZ|=r,则a=rcos θ,b=rsin θ,所以z=r(cos θ+isin θ),这种形式叫做三角形式.若z=r(cos θ+isin θ),则θ称为z 的辐角.若0≤θ<2π,则θ称为z 的辐角主值,记作θ=Arg(z). r 称为z 的模,也记作|z|,由勾股定理知|z|=22b a +.如果用e i θ表示cos θ+isin θ,则z=re i θ,称为复数的指数形式.3．共轭与模,若z=a+bi,（a,b ∈R ）,则=z a-bi 称为z 的共轭复数.模与共轭的性质有：（1）2121z z z z ±=±；（2）2121z z z z ⋅=⋅；（3）2||z z z =⋅；（4）2121z z zz =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛；（5）||||||2121z z z z ⋅=⋅；（6）||||||2121z z z z =；（7）||z 1|-|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|+|z 2|；（8）|z 1+z 2|2+|z 1-z 2|2=2|z 1|2+2|z 2|2；（9）若|z|=1,则zz 1=. 4．复数的运算法则：（1）按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致,运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数；（2）按向量形式,加、减法满足平行四边形和三角形法则；（3）按三角形式,若z 1=r 1(cos θ1+isin θ1), z 2=r 2(cos θ2+isin θ2),则z 1••z 2=r 1r 2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]；若21212,0r r z z z =≠[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)],用指数形式记为z 1z 2=r 1r 2ei(θ1+θ2),.)(212121θθ-=i e r r z z 5.棣莫弗定理：[r(cos θ+isin θ)]n=r n(cosn θ+isinn θ). 6.开方：若=n w r(cos θ+isin θ),则)2sin2(cosnk i nk r w n πθπθ+++=,k=0,1,2,…,n-1.7．单位根：若w n=1,则称w 为1的一个n 次单位根,简称单位根,记Z 1=ni n ππ2sin 2cos +,则全部单位根可表示为1,1Z ,1121,,-n Z Z .单位根的基本性质有（这里记k k Z Z 1=,k=1,2,…,n-1）：（1）对任意整数k,若k=nq+r,q ∈Z,0≤r ≤n-1,有Z nq+r =Z r ；（2）对任意整数m,当n ≥2时,有mn m m Z Z Z 1211-++++ =⎩⎨⎧,|,,|,0m n n m n 当当特别1+Z 1+Z 2+…+Z n-1=0；（3）x n-1+x n-2+…+x+1=(x-Z 1)(x-Z 2)…(x-Z n-1)=(x-Z 1)(x-21Z )…(x-11-n Z ).8.复数相等的充要条件：（1）两个复数实部和虚部分别对应相等；（2）两个复数的模和辐角主值分别相等.9．复数z 是实数的充要条件是z=z ;z 是纯虚数的充要条件是：z+z =0（且z ≠0）. 10.代数基本定理：在复数范围内,一元n 次方程至少有一个根.11．实系数方程虚根成对定理：实系数一元n 次方程的虚根成对出现,即若z=a+bi(b ≠0)是方程的一个根,则z =a-bi 也是一个根.12．若a,b,c ∈R,a ≠0,则关于x 的方程ax 2+bx+c=0,当Δ=b 2-4ac<0时方程的根为.22,1aib x ∆-±-=二、方法与例题 1．模的应用.例1 求证：当n ∈N +时,方程(z+1)2n +(z-1)2n=0只有纯虚根.例2 设f(z)=z 2+az+b,a,b 为复数,对一切|z|=1,有|f(z)|=1,求a,b 的值.2.复数相等.例3 设λ∈R ,若二次方程(1-i)x 2+(λ+i)x+1+λi=0有两个虚根,求λ满足的充要条件.3．三角形式的应用.例4 设n ≤2000,n ∈N,且存在θ满足(sin θ+icos θ)n=sinn θ+icosn θ,那么这样的n 有多少个？4．二项式定理的应用.例5 计算：（1）100100410021000100C C C C +-+- ；（2）99100510031001100C C C C --+-5．复数乘法的几何意义.例6 以定长线段BC 为一边任作ΔABC,分别以AB,AC 为腰,B,C 为直角顶点向外作等腰直角ΔABM 、等腰直角ΔACN.求证：MN 的中点为定点.例7 设A,B,C,D 为平面上任意四点,求证：AB •AD+BC •AD ≥AC •BD.6．复数与轨迹.例8 ΔABC 的顶点A 表示的复数为3i,底边BC 在实轴上滑动,且|BC|=2,求ΔABC 的外心轨迹.7．复数与三角.例9 已知cos α+cos β+cos γ=sin α+sin β+sin γ=0,求证：cos2α+cos2β+cos2γ=0.例10 求和：S=cos200+2cos400+…+18cos18×200.8．复数与多项式.例11 已知f(z)=c 0z n +c 1z n-1+…+c n-1z+c n 是n 次复系数多项式(c 0≠0). 求证：一定存在一个复数z 0,|z 0|≤1,并且|f(z 0)|≥|c 0|+|c n |.9.单位根的应用.例12 证明：自⊙O 上任意一点p 到正多边形A 1A 2…A n 各个顶点的距离的平方和为定值.10．复数与几何.例13 如图15-2所示,在四边形ABCD 内存在一点P,使得ΔPAB,ΔPCD 都是以P 为直角顶点的等腰直角三角形.求证：必存在另一点Q,使得ΔQBC,ΔQDA 也都是以Q 为直角顶点的等腰直角三角形.例14 平面上给定ΔA 1A 2A 3及点p 0,定义A s =A s-3,s ≥4,构造点列p 0,p 1,p 2,…,使得p k+1为绕中心A k+1顺时针旋转1200时p k 所到达的位置,k=0,1,2,…,若p 1986=p 0.证明：ΔA 1A 2A 3为等边三角形.三、基础训练题1．满足(2x 2+5x+2)+(y 2-y-2)i=0的有序实数对(x,y)有__________组. 2．若z ∈C 且z2=8+6i,且z3-16z-z100=__________. 3.复数z 满足|z|=5,且(3+4i)•z 是纯虚数,则 z __________.4．已知iz 312+-=,则1+z+z 2+…+z1992=__________.5.设复数z 使得21++z z 的一个辐角的绝对值为6π,则z 辐角主值的取值范围是__________. 6．设z,w,λ∈C,|λ|≠1,则关于z 的方程z -Λz=w 的解为z=__________.7.设0<x<1,则2arctan=+-+-+2211arcsin 11x x x x __________. 8.若α,β是方程ax 2+bx+c=0（a,b,c ∈R ）的两个虚根且R ∈βα2,则=βα__________. 9．若a,b,c ∈C,则a 2+b 2>c 2是a 2+b 2-c 2>0成立的__________条件.10．已知关于x 的实系数方程x 2-2x+2=0和x 2+2mx+1=0的四个不同的根在复平面上对应的点共圆,则m 取值的集合是__________.11．二次方程ax 2+x+1=0的两根的模都小于2,求实数a 的取值范围.12．复平面上定点Z 0,动点Z 1对应的复数分别为z 0,z 1,其中z 0≠0,且满足方程|z 1-z 0|=|z 1|,①另一个动点Z 对应的复数z 满足z 1•z=-1,②求点Z 的轨迹,并指出它在复平面上的形状和位置.13．N 个复数z 1,z 2,…,z n 成等比数列,其中|z 1|≠1,公比为q,|q|=1且q ≠±1,复数w 1,w 2,…,w n 满足条件：w k =z k +kz 1+h,其中k=1,2,…,n,h 为已知实数,求证：复平面内表示w 1,w 2,…,w n 的点p 1,p 2,…,p n 都在一个焦距为4的椭圆上. 四、高考水平训练题1．复数z 和cos θ+isin θ对应的点关于直线|iz+1|=|z+i|对称,则z=__________. 2.设复数z 满足z+|z|=2+i,那么z=__________.3．有一个人在草原上漫步,开始时从O 出发,向东行走,每走1千米后,便向左转6π角度,他走过n 千米后,首次回到原出发点,则n=__________.4.若12102)1()31()34(i i i z -+--=,则|z|=__________.5.若a k ≥0,k=1,2,…,n,并规定a n+1=a 1,使不等式∑∑==++≥+-nk k nk k k k k a aa a a 112112λ恒成立的实数λ的最大值为__________.6．已知点P 为椭圆15922=+y x 上任意一点,以OP 为边逆时针作正方形OPQR,则动点R 的轨迹方程为__________.7．已知P 为直线x-y+1=0上的动点,以OP 为边作正ΔOPQ(O,P,Q 按顺时针方向排列).则点Q 的轨迹方程为__________.8．已知z ∈C,则命题“z 是纯虚数”是命题“R zz ∈-221”的__________条件. 9．若n ∈N,且n ≥3,则方程z n+1+z n-1=0的模为1的虚根的个数为__________. 10．设(x2006+x2008+3)2007=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a n x n,则2222543210a aa a a a --++-+…+a 3k -=++-++n k k a a a 222313__________. 11.设复数z 1,z 2满足z1•0212=++z A z A z ,其中A ≠0,A ∈C.证明：（1）|z 1+A|•|z 2+A|=|A|2；（2）.2121Az Az A z A z ++=++12．若z ∈C,且|z|=1,u=z 4-z 3-3z 2i-z+1.求|u|的最大值和最小值,并求取得最大值、最小值时的复数z.13.给定实数a,b,c,已知复数z 1,z 2,z 3满足⎪⎩⎪⎨⎧=++===,1,1||||||133221321z z z z z zz z z 求|az 1+bz 2+cz 3|的值.三、联赛一试水平训练题1．已知复数z 满足.1|12|=+zz 则z 的辐角主值的取值范围是__________. 2．设复数z=cos θ+isin θ(0≤θ≤π),复数z,(1+i)z,2z 在复平面上对应的三个点分别是P,Q,R,当P,Q,R 不共线时,以PQ,PR 为两边的平行四边形第四个顶点为S,则S 到原点距离的最大值为__________.3．设复平面上单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次为z 1,z 2,…,z 20,则复数1995201995219951,,,z z z 所对应的不同点的个数是__________.4．已知复数z 满足|z|=1,则|z+iz+1|的最小值为__________. 5．设i w 2321+-=,z 1=w-z,z 2=w+z,z 1,z 2对应复平面上的点A,B,点O 为原点,∠AOB=900,|AO|=|BO|,则ΔOAB 面积是__________. 6．设5sin5cosππi w +=,则(x-w)(x-w 3)(x-w 7)(x-w 9)的展开式为__________.7．已知(i +3)m =(1+i)n(m,n ∈N +),则mn 的最小值是__________.8．复平面上,非零复数z1,z2在以i 为圆心,1为半径的圆上,1z •z 2的实部为零,z 1的辐角主值为6π,则z 2=__________. 9.当n ∈N,且1≤n ≤100时,n i ]1)23[(7++的值中有实数__________个. 10．已知复数z 1,z 2满足2112z z z z =,且31π=Argz ,62π=Argz ,π873=Argz ,则321z z z Arg+的值是__________. 11．集合A={z|z 18=1},B={w|w 48=1},C={zw|z ∈A,w ∈B},问：集合C 中有多少个不同的元素？ 12．证明：如果复数A 的模为1,那么方程A ixix n=-+)11(的所有根都是不相等的实根（n ∈N +）. 13.对于适合|z|≤1的每一个复数z,要使0<|αz+β|<2总能成立,试问：复数α,β应满足什么条件？六、联赛二试水平训练题1．设非零复数a 1,a 2,a 3,a 4,a 5满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++===,)(41543215432145342312S a a a a a a a a a a a a a a a a a a 其中S 为实数且|S|≤2,求证：复数a 1,a 2,a 3,a 4,a 5在复平面上所对应的点位于同一圆周上. 2．求证：)2(2)1(sin 2sinsin1≥=-⋅⋅⋅-n nn n n nn πππ. 3．已知p(z)=z n+c 1z n-1+c 2z n-2+…+c n 是复变量z 的实系数多项式,且|p(i)|<1,求证：存在实数a,b,使得p(a+bi)=0且(a 2+b 2+1)2<4b 2+1.4．运用复数证明：任给8个非零实数a 1,a 2,…,a 8,证明六个数a 1a 3+a 2a 4, a 1a 5+a 2a 6, a 1a 7+a 2a 8, a 3a 5+a 4a 6, a 3a 7+a 4a 8,a 5a 7+a 6a 8中至少有一个是非负数.5．已知复数z 满足11z 10+10iz 9+10iz-11=0,求证：|z|=1. 6.设z 1,z 2,z 3为复数,求证：|z 1|+|z 2|+|z 3|+|z 1+z 2+z 3|≥|z 1+z 2|+|z 2+z 3|+|z 3+z 1|.。

高中数学复数讲义.教师版

复数知识内容一、复数的概念1．虚数单位 i:〔1〕它的平方等于1，即i2 1；2〕实数可以与它进行四那么运算，进行四那么运算时，原有加、乘运算律仍然成立．3〕i与－1的关系:i就是1的一个平方根，即方程21的一个根，方程21的另一个根是-i．x x〔4〕i的周期性：i4n1i，i4n21，i4n3i，i4n1．实数a(b0)2．数系的扩充：复数a bibi(b0)纯虚数bi(a0)虚数a非纯虚数a b i(a 0 )3．复数的定义：形如a bi(a，bR)的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数的虚部．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示4．复数的代数形式:通常用字母z表示，即z a bi(a，b R)，把复数表示成abi的形式，叫做复数的代数形式．5．复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数abi(a，b R)，当且仅当b0时，复数abi(a，b R)是实数a；当b0时，复数zabi叫做虚数；当a0且b 0时，z bi叫做纯虚数；当且仅当ab0时，z就是实数06．复数集与其它数集之间的关系：N苘ZQ苘R C7．两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚局部别相等，那么我们就说这两个复数相等．这就是说，如果a，a，b，d，c，dR，那么a bi cdia c，bd二、复数的几何意义1．复平面、实轴、虚轴：复数zabi(a，bR)与有序实数对a，b是一一对应关系．建立一一对应的关系．点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z abi(a，b R)可用点Za，b表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数．2．．对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为0，0，它所确定的复数是z00i0表示是实数．除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．3．复数za bi 一一对应复平面内的点Z(a，b)这就是复数的一种几何意义．也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法．三、复数的四那么运算1．复数z1与z2的和的定义：z1z2 a bi c di a c b di2．复数z1与z2的差的定义：z1z2abi cdi ac bdi3．复数的加法运算满足交换律:z1z2z2z14．复数的加法运算满足结合律:(z1z2)z3z1(z2z3)5．乘法运算规那么：设z1abi，z2c di(a、b、c、d R)是任意两个复数，那么它们的积z1z2abi c di ac bd bcadi其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成1，并且把实部与虚局部别合并．两个复数的积仍然是一个复数．6．乘法运算律：〔1〕z1z2z3z1z2z3〔2〕(z1z2)z3z1(z2z3)〔3〕z1z2z3z1z2z1z37．复数除法定义：满足c di x yi a bi的复数x yi(x、y R)叫复数a bi除以复数c di的商，记为：(abi)c di或者abi c di8．除法运算规那么：设复数a bi(a、b R)，除以c di(c，d R)，其商为x yi〔x、y R)，即(a bi)c di x yi∵x yi c di cx dy dx cy i∴cx dy dx cyi a bixac bdcx dy a c2d2，由复数相等定义可知，解这个方程组，得dx cy by bc ad c2d2于是有:(a bi)c di ac bdbc adi2222 c d c d②利用c di c di c22abi的分母有理化得：d于是将c di原式a bi(a bi)(c di)[ac bi(di)](bc ad)i c di(c di)(cdi)c2d2(ac bd)(bc ad)i ac bd bc adc2d2c2d2c2d2i．∴((a bi)c di ac bd bc ad c2d2c2d2i点评:①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数c di与复数cdi，相当于我们初中学习的32的对偶式32，它们之积为1是有理数，而c di c di c2d2是正实数．所以可以分母实数化．把这种方法叫做分母实数化法．9．共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。