离散型随机变量及其分布规律
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离散型随机变量及其分布规律
量。
离散型随机变量的取值
02 离散型随机变量的取值可以是整数、分数或任何可以
明确区分的数值。
离散型随机变量的概率
03
离散型随机变量的概率是指该随机变量取某个特定值
的概率，可以通过概率分布表或概率函数来描述。
性质
离散性
离散型随机变量的取值是离散的，可以一一列举出来。
有限性
离散型随机变量的取值范围通常是有限的，也可以是 无限的但可以划分为若干个有限区间。
Excel、SPSS、SAS等统计软件都提供了模 拟实验的功能。
操作步骤
在软件中设置离散型随机变量的分布参数， 运行模拟实验，并输出结果。
结果分析
根据软件提供的统计量，对模拟实验结果进 行分析和解释。
实验结果分析
数据整理
将模拟实验结果整理成表格或图形，以便更直观地展示。
对比分析
将不同实验条件下的结果进行对比，分析离散型随机变量的分布 规律。
结论总结
根据实验结果和分析，总结离散型随机变量的分布规律，并给出 实际应用的建议。
感谢观看
THANKS
概率性
离散型随机变量具有概率性，即其取每个特定值的概 率是确定的。
例子
01
投掷一枚骰子，出现1、2、3、4、5、6点数中的任何一个点数 都是一个离散型随机变量。
02
从一副扑克牌中抽取一张牌，出现红桃、黑桃、梅花、方块中
的任何一种花色都是一个离散型随机变量。
一个人的身高，由于可以明确区分不同的身高值，因此也是一
分布函数具有归一性，即P(X=x)在所有可能取值上的概率之和为1，即 P(X=x)从-∞到+∞的积分值为1。
对于任意实数x1<x2，P(X=x1)>=P(X=x2)。
离散型随机变量及其分布律
解 由 0 p 1 ( k 0 , 1 , 2 , ), p 1 k k k 0 1 k ( ) a 得 k 1 即 a 3 1 ! k! k 03 k k0 1k 1 1 ( ) ae 3 3 e3 ! k 0 k
2. 离散型随机变量分布律与分布函数及 事件概率的关系 (1) 若已知 X 的分布律：
X
pk
0 1 2
1 2
1
实例2 200件产品中,有190件合格品,10件不合格 品,现从中随机抽取一件,那末,若规定
1 , 取得不合格品, X 0 , 取得合格品.
X
0
190 200
1
10 200
pk
则随机变量 X 服从(0-1)分布.
说明 两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有 两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是 女、明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于两点 分布.
p P { X x } k k
或
F ( x ) F ( x 0 ) k k k 1 , 2 , ) F ( x ) F ( x ) ( k k 1
( P { X x } P { x X x } ) k k 1 k 注 1º 离散型随机变量X的分布函数F(x)是阶
梯函数，x1, x2,· · · ,是F(x)的第一类间断 点, 而X在xk（k=1,2, · · ·）处的概率就是
F(x)在这些间断点处的跃度.
2º P { a X b }
P { a X b } P { X a } P { X b }
[ F ( b ) F ( a )] [ F ( b ) F ( b 0 )] [ F ( a ) F ( a 0 )]
2-2离散型随机变量及其分布律
松定理（第二章）和中心极限定理（第五章），利用这些定理
可以近似计算出它们的值．
3．泊松分布
定义 2.5 如果随机变量 X 的分布律为
P{X k} k e ， k 0,1, 2,L ， 0 ，
k!
就称 X 服从参数为 的泊松分布，记为 X ~ P() ．
【注 1】 P{X
k
k}
e
0 ， k 0,1, 2,L
一般地，在随机试验 E 中，如果样本空间 只包含两个
样本点
{1,2}，且
X
0, 1,
若 =1 , 若 =2 ,
则 X ~ B(1, p) ，其中 p P{X 1} P({2}) ．
在现实生活中，0 1两点分布有着广泛的应用．例如某产品 合格与不合格；某课程的考试及格与不及格；某事件 A 发生与 不发生等许多现象都能够刻划成 0 1两点分布．
§2 离散型随机变量及其分布律
一、离散型随机变量及其分布律的概念 定义 2.1 若随机变量 X 的取值为有限个或可列无限多个，就 称 X 为离散型随机变量．
定义 2.2 设 X 为离散型随机变量，其所有可能的取值为 x1, x2 ,L , xi ,L ，且
P{X xi} pi ， i 1, 2,L ．
的概率为 0.6 ，求该射手在 4 次射击中，命中目标次数 X 的
分布律，并问 X 取何值时的概率最大． 解 将每次射击看成一次随机试验，所需考查的试验结果只
有击中目标和没有击中目标，因此整个射击过程为 4 重的贝
努里试验．故由题意知， X ~ B(4, 0.6) ，即
P{X k} C4k 0.6k 0.44k ， k 0,1, 2,3, 4 ．
P{X
10}
第二节离散随机变量及其分布律
解 X 所取的可能值是 1, 2, 3, .
设 Ai 表示"抽到的第 i 个产品是正品",
P{ X k} P( A1A2 Ak1 Ak )
P( A1) P( A2 ) P( Ak1) P( Ak )
(1 p)(1 p) (1 p) p qk1 p.
( k 1)
所以 X 服从几何分布.
P(X k)
b( 2)k
b2 3
k 1
k 1 3
1 2
2
b
3 1
2b
1
3
3
b 1. 2
二、常见离散型随机变量的概率分布
1、两点分布(0-1分布 )
△定义： 若随机变量X的分布律为:
X
0
1
P
1－p
p
则称X服从参数为p 的两点分布或(0-1)分布,
△背景：样本空间只有两个样本点的情况 都可以用两点分布来 描述。
( X=k )对应着事件 A1 A2 Ak1 Ak
X的所有可能取值为 1，2，3，… ,k,…
P(X=k)=P(A1A2 Ak1 Ak ) (1-p)k-1p ,k=1,2,…
例 设随机变量X的分布律为
PX k b( 2)k , k 1, 2,3,L
3
试确定常数b.
解
由分布律的性质,有
如：上抛一枚硬币。
例 设一个袋中装有3个红球和7个白球，现在从中
随机抽取一球，如果每个球抽取的机会相等，
并且用数“1”代表取得红球，“0”代表取得
白球，则随机抽取一球所得的值是一个离散型
随机变量
1 X 0
（取得红球） （取得白球）
其概率分布为 P( X 1) 3 10
§2.2离散型随机变量及其分布律
P{ X k} 20(0.2)k (0.8)20k , k 0,1, ,20. k
P{ X 0} 0.012 P{ X 4} 0.218 P{ X 8} 0.022 P{ X 1} 0.058 P{ X 5} 0.175 P{ X 9} 0.007 P{ X 2} 0.137 P{ X 6} 0.109 P{ X 10} 0.002 P{ X 3} 0.205 P{ X 7} 0.055
P{X 2} 1 P{X 0} P{X 1}
1 (0.98)400 400(0.02)(0.98)399
0.9972.
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二项分布的分布形态
若 X ~ Bn， p， 则
PX PX k
k 1
1
n
1 p
kq
k
q 1 p
由此可知，二项分布的分布 PX k
先是随着 k 的增大而增大，达到其最大值后再 随着k 的增大而减少．这个使得
P{X=3}=(1-p)3p
设 p 为每组信号灯禁止汽车通过的概率, 则有
X0
1
2
3
4
pk p (1 p) p (1 p)2 p (1 p)3 p (1 p)4
上页 下页 返回
将
p
1 2
代入得
X0
1
pk 0.5 0.25
2
0.125
3
4
0.0625 0.0625
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例4 设随机变量 X 的分布律为
则有
PX
k
Cnk
pk 1
p nk
k
k!
e
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4. 泊松分(Poisson)分布
如果随机变量 X 的分布律为
P{ X 0} 0.012 P{ X 4} 0.218 P{ X 8} 0.022 P{ X 1} 0.058 P{ X 5} 0.175 P{ X 9} 0.007 P{ X 2} 0.137 P{ X 6} 0.109 P{ X 10} 0.002 P{ X 3} 0.205 P{ X 7} 0.055
P{X 2} 1 P{X 0} P{X 1}
1 (0.98)400 400(0.02)(0.98)399
0.9972.
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二项分布的分布形态
若 X ~ Bn， p， 则
PX PX k
k 1
1
n
1 p
kq
k
q 1 p
由此可知，二项分布的分布 PX k
先是随着 k 的增大而增大，达到其最大值后再 随着k 的增大而减少．这个使得
P{X=3}=(1-p)3p
设 p 为每组信号灯禁止汽车通过的概率, 则有
X0
1
2
3
4
pk p (1 p) p (1 p)2 p (1 p)3 p (1 p)4
上页 下页 返回
将
p
1 2
代入得
X0
1
pk 0.5 0.25
2
0.125
3
4
0.0625 0.0625
上页 下页 返回
例4 设随机变量 X 的分布律为
则有
PX
k
Cnk
pk 1
p nk
k
k!
e
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4. 泊松分(Poisson)分布
如果随机变量 X 的分布律为
离散型随机变量及其分布规律
一、 (0-1)分布 （二点分布）
随机变量X 只取0与1两个值 它的分布列是
X
0
1
P
1-P
P
或
X
~
0 1
p
1 p
0 p 1
或者表示为： P ( X k ) pk (1 p)1k , k 0,1
例6 将一枚均匀硬币抛掷1次， 令X 表示1次中出现
“正面”的次数 则X 的分布列是：
X=0
反面
(0-1) 分布记为 X ~ B1, p
例10 已知100个产品中有5个次品，现从中有放回 地取3次，每次任取1个，求在所取的3个中恰有2个 次品的概率. 解: 因为这是有放回地取3次，因此这3 次试验的 条件完全相同且独立，它是贝努里试验.
依题意，每次试验取到次品的概率为0.05.
设 X 为所取的3个中的次品数，
X
~
B( 8,
1 3
)
P8 (k)
P( X
k)
C8k ( 13)k (1
)1 8k 3
,
k 0,1, ,8
0 1 2 34 5 6 7 8
.039 .156 .273 .273 .179 .068 .017 .0024 .0000
P 0.273•
由图表可见 , 当 k 2或3 时， 分布取得最大值
则 X ～B(3, 0.05)， 于是，所求概率为：
P(X 2) C32 (0.05)2 (0.95) 0.007125
注： 若将本例中的“有放回”改为”无放回”，那 次么试各验条件就不同了，不是贝努里概型， 此时只能用
古典概型求解.
P(
X
2)
C915C52 C3
100
2.2 离散型随机变量及其分布律
k k n k n P { X k } C p q ( p q ) 1 n k 0 k 0 n n
(2) 当n=1时，0-1分布. 可以简单地说， 二项分布描述的是n重伯努利 试验中，出现“成功”次数X的分布律.
二项分布的取值情况
1 设X ~ B(8, )，则 3
X 0 1 2 3 .273 4 .179 5 .068 6 .017 7 8 P .039 .156 .273 .0024 .0000
2.2 离散型随机变量 及其分布律
一、离散型随机变量的定义
定义 如果随机变量X只可能取有限个或无限可
列多个值，则称X为离散型随机变量.
讨论离散型随机变量主要要搞清楚两个方面： (1) 随机变量的所有可能取值； (2) 随机变量取这些可能值的概率.
定义 设X为离散型随机变量，它的一切可能取
值为x1, x2, …, xn , … 称 P{ X xn } pn ,
P ( B1 ) P ( A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 )
P ( A1 A2 A3 A4 ) P ( A1 A2 A3 A4 )
1 P ( A1 A2 A3 A4 ) P ( A1 A2 A3 A4 ) C4 pq3 2 2 2 P ( B2 ) C4 pq ,
试确定常数b的值. 解： 利用性质
20
P{ X k } 1
k
20 3 ( 1 3 ) 2 k (1) b 3 b 1 b 20 1 3 3 ( 3 1) k 1
(2) 由于0 P( X k ) 1，易知0 b 1，从而有
3b 1 3b 1 b 1 b 4 k 1
(2) 当n=1时，0-1分布. 可以简单地说， 二项分布描述的是n重伯努利 试验中，出现“成功”次数X的分布律.
二项分布的取值情况
1 设X ~ B(8, )，则 3
X 0 1 2 3 .273 4 .179 5 .068 6 .017 7 8 P .039 .156 .273 .0024 .0000
2.2 离散型随机变量 及其分布律
一、离散型随机变量的定义
定义 如果随机变量X只可能取有限个或无限可
列多个值，则称X为离散型随机变量.
讨论离散型随机变量主要要搞清楚两个方面： (1) 随机变量的所有可能取值； (2) 随机变量取这些可能值的概率.
定义 设X为离散型随机变量，它的一切可能取
值为x1, x2, …, xn , … 称 P{ X xn } pn ,
P ( B1 ) P ( A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 )
P ( A1 A2 A3 A4 ) P ( A1 A2 A3 A4 )
1 P ( A1 A2 A3 A4 ) P ( A1 A2 A3 A4 ) C4 pq3 2 2 2 P ( B2 ) C4 pq ,
试确定常数b的值. 解： 利用性质
20
P{ X k } 1
k
20 3 ( 1 3 ) 2 k (1) b 3 b 1 b 20 1 3 3 ( 3 1) k 1
(2) 由于0 P( X k ) 1，易知0 b 1，从而有
3b 1 3b 1 b 1 b 4 k 1
第二章第二节 离散型随机变量及其分布律——概率论与数理统计(李长青版)..
n
n
lim P{X k}
k
k!
e
X
近似地
( )
4、几何分布
在独立重复试验中, 事件 A发生的概率为 p, 若X
表示直到 A发生为止所进行的试验次数, 则
P{ X k} (1 p)k -1 p, k 1, 2,
若一个随机变量 X的分布律由上式给出, 则称 X
k
P( X k ) p (1 p), k 0,1,2,3
k
P( X 4) p ,
4
p 0.4
k
代入
0
1
2
3
4
pk 0.6 0.24 0.096 0.0384 0.0256
二、典型的离散型随机变量
1、两点分布、0﹣1分布 若随机变量 X 的可能取值只有x1, x2 两个, 它的 分布律为 P{ X x1} p, P{ X x2 } 1 p 称 X 服从参数 p 为 的两点分布. 特别地, 若随机变量 X 只可能取0或1两个值, 则 称 X 服从参数 p 为的0﹣1分布, 记为X~b(1, p)，它的 分布律为 X 0 1 pk q p 其中
a k k 1 a ae k 0 k ! k 0 k !
由此得
ae
注 此处使用了 ex 的麦克劳林展开式：
k x 1 2 x e 1 x x 2! k 0 k !
1 k x k! ( x )
例4 设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏
同理可得
1 1 PX 3 , 2 8
3 1 1 P X 1 =C , 8 2 2
1 3 2
n
lim P{X k}
k
k!
e
X
近似地
( )
4、几何分布
在独立重复试验中, 事件 A发生的概率为 p, 若X
表示直到 A发生为止所进行的试验次数, 则
P{ X k} (1 p)k -1 p, k 1, 2,
若一个随机变量 X的分布律由上式给出, 则称 X
k
P( X k ) p (1 p), k 0,1,2,3
k
P( X 4) p ,
4
p 0.4
k
代入
0
1
2
3
4
pk 0.6 0.24 0.096 0.0384 0.0256
二、典型的离散型随机变量
1、两点分布、0﹣1分布 若随机变量 X 的可能取值只有x1, x2 两个, 它的 分布律为 P{ X x1} p, P{ X x2 } 1 p 称 X 服从参数 p 为 的两点分布. 特别地, 若随机变量 X 只可能取0或1两个值, 则 称 X 服从参数 p 为的0﹣1分布, 记为X~b(1, p)，它的 分布律为 X 0 1 pk q p 其中
a k k 1 a ae k 0 k ! k 0 k !
由此得
ae
注 此处使用了 ex 的麦克劳林展开式：
k x 1 2 x e 1 x x 2! k 0 k !
1 k x k! ( x )
例4 设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏
同理可得
1 1 PX 3 , 2 8
3 1 1 P X 1 =C , 8 2 2
1 3 2
经济类概率统计 离散型随机变量及其分布律
1， 4 3，
1 x 2, 2 x 3,
4
1， x 3
F(x)的图形如下
F(x) 1
-1
O1
2
3X
P
X
1
2
F
1 2
1 4
,
P
3 2
X
5
2
F
5 2
F
3 2
3 4
1 4
1 2
.
P2 X 3 F 3 F 2 PX 2
1 3 1 3. 42 4
3. 常见离散型分布
问题：固定n和p，当k取何值时，b(k;n,p)取最大值？
由于对0<p<1,
因此
b(k; n, p) (n k 1) p 1 (n 1) p k
b(k 1; n, p)
kq
kq
当k<(n+1)p时，b(k;n,p)>b(k-1;n,p)
当k>(n+1)p时，b(k;n,p)<b(k-1;n,p)
iii) 二项分布
考虑n重伯努里试验中，事件A恰出现k次的概率。 以X表示n重伯 努利试验中事件A发生的次数，X是一个随机变量，我们来求它的分布 律。X所有可能取的值为o，1，2，…，n．由于各次试验是相互独立的， 故在n次试验中，事件A发生k次的概率为
n k
pk (1
p)nk， 记q
1
p， 即 有
X
x1 x2 … xn …
pk
p1 p2 … pn …
称为随机变量X的分布列。
分布律性质：
1 非负性：pi 0
2 完备性： pi 1 i1
例2：设一汽车在开往目的地的道路上需经过四组信号灯，每组信号灯以1 ／2的概率允许或禁止汽车通过。以X表示汽车首次停下时，它已通过的信 号灯的组数(设各组信号灯的工作是相互独立的)，求X的分布律。
2-2离散型随机变量及其分布律
k P{ X k } C10 0.2k 0.810k , k 0,1,10
即P
X
0
1
2 0.30
3 0.20
4 0.09
5 0.03
6
7
8 0.00
9 0.00
10 0.00
0.11 0.27
0.01 0.00
P ( X 1) P ( X 0) P ( X 1)
1 0.2 0.89 =0.38. 0.810 +C10
第二章 一维随机变量及其分布
第二节 离散型随机变量及其分布律
一、离散型随机变量的分布律
对于离散型随机变量，我们所关心的问题： （1）随机变量所有可能的取值有哪些？ （2）取每个可能值的概率是多少？ 定义 设x1，x2，…为离散型随机变量X的可能取值， p1，p2，…为 X 取 x1，x2，… 的概率，即 P(X=xi ) = pi (i=1,2,…) (1)
(0 p 1) ，则在n重伯努利试验中事件A出现k次 的概率为
C pq
k n
k
n k
其中p q 1
k 0,1,, n.
k k n k pq 若随机变量 X 的分布律为 PX k Cn
其中 k 0,1,, n; 0 p 1; q 1 p. 即 X p
k e xk e x，易知 1. 利用级数 k 0 k ! k 0 k!
历史上，泊松分布是作为二项分布的 近似，于1837年由法国数学家泊松引入的 . 近数十年来，泊松分布日益显示其重要性 , 成为概率论中最重要的几个分布之一 . 在 实际中，许多随机现象服从或近似服从泊 松分布. 二十世纪初罗瑟福和盖克两位科学家在 观察与分析放射性物质放出的 粒子个数 的情况时,他们做了2608 次观察(每次时 间为7.5 秒)发现放射性物质在 规定的一段时间内, 其放射的粒 子数X 服从泊松分布.
即P
X
0
1
2 0.30
3 0.20
4 0.09
5 0.03
6
7
8 0.00
9 0.00
10 0.00
0.11 0.27
0.01 0.00
P ( X 1) P ( X 0) P ( X 1)
1 0.2 0.89 =0.38. 0.810 +C10
第二章 一维随机变量及其分布
第二节 离散型随机变量及其分布律
一、离散型随机变量的分布律
对于离散型随机变量，我们所关心的问题： （1）随机变量所有可能的取值有哪些？ （2）取每个可能值的概率是多少？ 定义 设x1，x2，…为离散型随机变量X的可能取值， p1，p2，…为 X 取 x1，x2，… 的概率，即 P(X=xi ) = pi (i=1,2,…) (1)
(0 p 1) ，则在n重伯努利试验中事件A出现k次 的概率为
C pq
k n
k
n k
其中p q 1
k 0,1,, n.
k k n k pq 若随机变量 X 的分布律为 PX k Cn
其中 k 0,1,, n; 0 p 1; q 1 p. 即 X p
k e xk e x，易知 1. 利用级数 k 0 k ! k 0 k!
历史上，泊松分布是作为二项分布的 近似，于1837年由法国数学家泊松引入的 . 近数十年来，泊松分布日益显示其重要性 , 成为概率论中最重要的几个分布之一 . 在 实际中，许多随机现象服从或近似服从泊 松分布. 二十世纪初罗瑟福和盖克两位科学家在 观察与分析放射性物质放出的 粒子个数 的情况时,他们做了2608 次观察(每次时 间为7.5 秒)发现放射性物质在 规定的一段时间内, 其放射的粒 子数X 服从泊松分布.
N5离散型随机变量及其分布律FF
x1 x2 xk
例1(续) 设盒中有5个球 (2白3红), 从中任抽3个, 以X表
示取得白球的个数, 试求随机变量X的分布律.
解 随机变量X 的所有可能取值为: 0, 1, 2.
0 3 C2 C3 1 P{ X 0} 3 C5 10 1 2 C2 C3 6 P{ X 1} 3 C5 10 2 1 C2 C3 3 P{ X 2} 3 C5 10
是一个离散型随机变量. X 的所有可能取值为: 0, 1, 2.
例2 设某狙击手每次击中目标的概率是0.8, 现该 狙击手共射击30次, 则
X (e) “射中目标的次数” ,
是一个离散型随机变量.
X 的所有可能取值为: 0, 1, …, 30.
一、离散型随机变量的分布律
1. 离散型随机变量 2. 离散型随机变量的分布律 设xk (k=1,2,…)为离散型随机变量X的所有可能 取值, 事件{X=Xk}发生的概率为pk , 即
第五讲 离散型随机变量及其分布律
• 离散型随机变量的分布律 • 几种常见离散型分布
一、离散型随机变量的分布律
1. 离散型随机变量 如果随机变量X所有的可能取值为有限 个或可列无限多个 , 则称随机变量 X为 离散型随机变量。
例1 设盒中有5个球 (2白3红),从中任抽3个,则
X (e) “抽得的白球的个数” ,
如果随机变量 X 的分布律为
P{ X k } C p (1 p)
k n k
n k
, k 0,1, , n.
则称X服从参数为n, p 的二项分布.
记作 X ~ B(n, p)
(0–1) 分布是 n = 1 的二项分布.
二项分布的取值情况 设 X ~ B( 8, X 0 1
概率论与数理统计221 离散型随机变量及其分布律
连续型随机变量
定义1: 随机变量X的所有可能取值是有限多个或可列
无限多个, 这种随机变量称为离散型随机变量 .
定义2: 设 xk (k=1,2, …) 是离散型随机变量 X 所取的 一切可能值，称 P{ X xk } pk ,k 1, 2, 为离散型随机变量 X 的分布律(probability distribution).
k 1
即 a≥0 ,
a k ae 1
k0 k!
e k k0 k!
从中解得 a e
二、离散型随机变量表示方法
（1）公式法 P{ X xk } pk ,k 1, 2,
（2）列表法
X
x1 x2
xk
pk
p1 p2
pk
随机变量X的各 个取值所对应的
概率
随机变量X 的所有取值
例3 一汽车沿一街道行驶， 需要通过三个均设有红绿信号灯的路口， 每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立， 以p表示每组信号灯禁止汽车通过的概率 . 以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数， 求X的分布律.
1 4
1 8
1 8
例3 某篮球运动员投中篮圈概率是0.9， 求他两次独立投篮投中次数X的概率分布律.
解：X 可取值为0,1,2 ; Ai={第i次投中}, i=1,2. P{X =0} p(A1A2 ) P( A1)P( A2 ) =(0.1)(0.1)=0.01 P{X =1} p( A1A2 A1A2 ) p( A1A2 ) p( A1A2 ) = (0.9)(0.1) +(0.1)(0.9) =0.18 P{X =2} p(A1A2 ) P( A1)P( A2 ) =(0.9)(0.9)=0.81
§2.2.1离散型随机变量及其分布律
定义1: 随机变量X的所有可能取值是有限多个或可列
无限多个, 这种随机变量称为离散型随机变量 .
定义2: 设 xk (k=1,2, …) 是离散型随机变量 X 所取的 一切可能值，称 P{ X xk } pk ,k 1, 2, 为离散型随机变量 X 的分布律(probability distribution).
k 1
即 a≥0 ,
a k ae 1
k0 k!
e k k0 k!
从中解得 a e
二、离散型随机变量表示方法
（1）公式法 P{ X xk } pk ,k 1, 2,
（2）列表法
X
x1 x2
xk
pk
p1 p2
pk
随机变量X的各 个取值所对应的
概率
随机变量X 的所有取值
例3 一汽车沿一街道行驶， 需要通过三个均设有红绿信号灯的路口， 每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立， 以p表示每组信号灯禁止汽车通过的概率 . 以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数， 求X的分布律.
1 4
1 8
1 8
例3 某篮球运动员投中篮圈概率是0.9， 求他两次独立投篮投中次数X的概率分布律.
解：X 可取值为0,1,2 ; Ai={第i次投中}, i=1,2. P{X =0} p(A1A2 ) P( A1)P( A2 ) =(0.1)(0.1)=0.01 P{X =1} p( A1A2 A1A2 ) p( A1A2 ) p( A1A2 ) = (0.9)(0.1) +(0.1)(0.9) =0.18 P{X =2} p(A1A2 ) P( A1)P( A2 ) =(0.9)(0.9)=0.81
§2.2.1离散型随机变量及其分布律
离散型随机变量与分布
离散型随机变量与分布一、离散型随机变量的概念离散型随机变量是指在一定范围内取有限个或可数个值的随机变量。
通常用字母X来表示离散型随机变量，例如X={x1, x2, x3, ...}。
每个xi表示X取某个值的情况，对应的概率为P(X=xi)，概率取值介于0和1之间，且所有xi对应的概率之和等于1。
二、离散型随机变量的分布律离散型随机变量的分布律描述了X取不同值的概率分布情况。
记为P(X=xi)或P(X)。
其中，xi表示随机变量X可能取到的某个值，P(X=xi)表示X取xi时的概率。
常见的离散型随机变量分布律包括：1. 伯努利分布：伯努利试验是一类只有两种结果的随机试验，例如抛硬币或投骰子。
若随机变量X表示试验成功的概率，则伯努利分布的分布律为：P(X=x) = p^x(1-p)^(1-x)，其中p表示试验成功的概率。
2. 二项分布：二项分布是n重伯努利试验的离散型随机变量分布。
它描述了进行n次独立的成功-失败试验（伯努利试验）中成功次数X的概率分布。
其分布律为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中C(n,k)表示从n次试验中选k次成功的组合数。
3. 泊松分布：泊松分布适用于描述一段时间或一定空间内随机事件发生的次数。
其分布律为：P(X=k) = (e^(-λ) * λ^k) / k!，其中λ表示单位时间或单位空间内事件发生的平均次数。
4. 几何分布：几何分布适用于描述在n次独立的伯努利试验中，首次获得成功的次数。
其分布律为：P(X=k) = (1-p)^(k-1) * p，其中p表示每次试验成功的概率。
5. 二项负分布：二项负分布描述了在一系列独立的伯努利试验中，获得r次成功时需要进行的试验次数。
其分布律为：P(X=k) = C(k-1, r-1) * p^r * (1-p)^(k-r)，其中p表示每次试验成功的概率。
三、离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量的期望和方差是对离散型随机变量分布的特征进行度量的指标。
3-3离散型随机变量及其分布律
二项分布可以看成是由 n 重
伯努利试验产生。
2020/7/8
二项分布的图形
二项分布随机数演示
2020/7/8
例1 按规定 ,某种型号电子元件 用的 寿使 命超过 1500小时的为一级 .已品 知某一大批产品 级的一 品率为 0.2,现在从中随机地20抽 只.问 查20只元件 中恰有 k只(k 0,1,,20)一级品的概率是? 多少
P {X k } 2 (0 0 .2 )k (0 .8 )2 k 0 ,k 0 ,1 , ,2.0 k
P {X0}0.012P {X4}0.218P {X8}0.022 P {X1}0.058P {X5}0.175P {X9}0.007 P {X2}0.137P {X6}0.109P {X1}0 0.002 P {X3}0.205 P {X7}0.055
称此为离散型随机X变 的量 分布.律
说明 (1 )p k 0 , k 1 ,2 , ;(2) pk 1.
分布律也可表示为
k1
X~x1 p1
x2 p2
xn pn
X x1 x2 xn
pk
2020/7/8
p1 p2 pn
二、常见离散型随机变量 的概率分布
1.两点分布
神经细胞兴奋与抑制，可设二值以区分， 常选0和1。
2. 二项分布
一个袋子中有 N 个球，其中黑球 M 个，白球 N M 个。
有放回，求在 n 次摸球中恰有k 个黑球的概率。
记
p
M N
，q
1
p
P( X k ) Cnk p k qnk ， k 0,1, 2, , n
称 X 服从参数为 n, p 的二项分布，
记为 X ~ B(n, p)
二项分布 n1
伯努利试验产生。
2020/7/8
二项分布的图形
二项分布随机数演示
2020/7/8
例1 按规定 ,某种型号电子元件 用的 寿使 命超过 1500小时的为一级 .已品 知某一大批产品 级的一 品率为 0.2,现在从中随机地20抽 只.问 查20只元件 中恰有 k只(k 0,1,,20)一级品的概率是? 多少
P {X k } 2 (0 0 .2 )k (0 .8 )2 k 0 ,k 0 ,1 , ,2.0 k
P {X0}0.012P {X4}0.218P {X8}0.022 P {X1}0.058P {X5}0.175P {X9}0.007 P {X2}0.137P {X6}0.109P {X1}0 0.002 P {X3}0.205 P {X7}0.055
称此为离散型随机X变 的量 分布.律
说明 (1 )p k 0 , k 1 ,2 , ;(2) pk 1.
分布律也可表示为
k1
X~x1 p1
x2 p2
xn pn
X x1 x2 xn
pk
2020/7/8
p1 p2 pn
二、常见离散型随机变量 的概率分布
1.两点分布
神经细胞兴奋与抑制，可设二值以区分， 常选0和1。
2. 二项分布
一个袋子中有 N 个球，其中黑球 M 个，白球 N M 个。
有放回，求在 n 次摸球中恰有k 个黑球的概率。
记
p
M N
，q
1
p
P( X k ) Cnk p k qnk ， k 0,1, 2, , n
称 X 服从参数为 n, p 的二项分布，
记为 X ~ B(n, p)
二项分布 n1
离散型随机变量及其分布律(2
X的分布函数为
F(x) P{X x} (x R)
P{ X k} X 0 1 2
kx
P 0.1 0.6 0.3
y
0, P0{.X1, 0}, P{0X.17,+ 0}.6,
x0 0 x1 P{X11x}, 21
1
0.7 x 0.12
P01{.,X1 +00.}6+P0{.3X, x1}2
Cnk pkqnk
或为:
X0
1
k
n
pk qn Cn1 pqn1 Cnk pkqnk pn
称这样的分布为二项分布.记为 X ~ B(n, p).
二项分布 n 1 两点分布
例如 在相同条件下相互独立地进行 5 次射击,每 次射击时击中目标的概率为 0.6 ,则击中目标的次 数 X 服从 B (5,0.6) 的二项分布.
梯函数，x1, x2,···,是F(x)的第一类间断 点, 而X在xk（k=1,2, ···）处的概率就是 F(x)在这些间断点处的跃度.
2º P{a X b} P{a X b} P{X a} P{X b}
[F(b) F(a)][F(a) F(a 0)] [F(b) F(b 0)] F(b 0) F(a 0) F(b) F(a)
X 01
2
3
4
5
pk (0.4)5 C510.6 0.44 C520.62 0.43 C530.63 0.42 C540.64 0.4 0.65
例3 某人进行射击,设每次射击的命中率为0.02, 独立射击 400 次,试求至少击中两次的概率. 解 设击中的次数为 X , 则 X ~ B(400, 0.02). X 的分布律为
例2 一盒内装有5个乒乓球，其中2个旧的， 3个新的，从中任取2个，求取得的新球 个数X的分布律与分布函数，并计算：
3-3离散型随机变量及其分布律
把检查一只元件是否为一级品看成是一次试 验, 检查20只元件相当于做20 重伯努利试验.
解 以 X 记 20 只元件中一级品的只数, 则 X ~ b(20, 0.2), 因此所求概率为
P{ X k} 20(0.2)k (0.8)20k , k 0,1,,20. k
P{ X 0} 0.012 P{ X 4} 0.218 P{ X 8} 0.022 P{ X 1} 0.058 P{ X 5} 0.175 P{ X 9} 0.007 P{ X 2} 0.137 P{ X 6} 0.109 P{ X 10} 0.002 P{ X 3} 0.205 P{ X 7} 0.055
称 X 服从参数为 p 的几何分布，
记为 X ~ G( p) 特性：无记忆性
P(X m n | X n) P(X m) ， m, n 0,1,2,3,
5. 负二项分布
一个袋子中有 N 个球，其中黑球 M 个，白球 N M 个。
有放回，求在第 r 次摸到黑球在第k 次摸球时实现概率。
记
kN 1 k!
查表可求得满足此式最小的N是8. 故至少需配备8
个工人,才能保证设备发生故障但不能及时维修的概 率小于0.01.
4. 几何分布
一个袋子中有 N 个球，其中黑球 M 个，白球 N M 个。
有放回，求在第 k 次摸球才摸到黑球的概率。
记
p
M N
，q
1
p
P( X k ) pqk1 ，k 1,2,3,,
P{ X k} 0.001, 当 k 11时
图示概率分布
例2 有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设每 辆汽车在一天的某段时间内,出事故的概率为0.0001, 在每天的该段时间内有1000 辆汽车通过, 问出事故的 次数不小于2的概率是多少?
解 以 X 记 20 只元件中一级品的只数, 则 X ~ b(20, 0.2), 因此所求概率为
P{ X k} 20(0.2)k (0.8)20k , k 0,1,,20. k
P{ X 0} 0.012 P{ X 4} 0.218 P{ X 8} 0.022 P{ X 1} 0.058 P{ X 5} 0.175 P{ X 9} 0.007 P{ X 2} 0.137 P{ X 6} 0.109 P{ X 10} 0.002 P{ X 3} 0.205 P{ X 7} 0.055
称 X 服从参数为 p 的几何分布，
记为 X ~ G( p) 特性：无记忆性
P(X m n | X n) P(X m) ， m, n 0,1,2,3,
5. 负二项分布
一个袋子中有 N 个球，其中黑球 M 个，白球 N M 个。
有放回，求在第 r 次摸到黑球在第k 次摸球时实现概率。
记
kN 1 k!
查表可求得满足此式最小的N是8. 故至少需配备8
个工人,才能保证设备发生故障但不能及时维修的概 率小于0.01.
4. 几何分布
一个袋子中有 N 个球，其中黑球 M 个，白球 N M 个。
有放回，求在第 k 次摸球才摸到黑球的概率。
记
p
M N
，q
1
p
P( X k ) pqk1 ，k 1,2,3,,
P{ X k} 0.001, 当 k 11时
图示概率分布
例2 有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设每 辆汽车在一天的某段时间内,出事故的概率为0.0001, 在每天的该段时间内有1000 辆汽车通过, 问出事故的 次数不小于2的概率是多少?
2.2 离散型随机变量及其分布规律
观察正反面情况。 1.对一均匀硬币抛一次 观察正反面情况。 对一均匀硬币抛一次， 例1.对一均匀硬币抛一次，
2.统计概率课的缺课人数 统计概率课的缺课人数。 例2.统计概率课的缺课人数。 样本空间 设 为随机变量。 为随机变量。 习惯用X, 表示随机变量， 表示实数。 习惯用 Y, Z 表示随机变量，用x, y, z 表示实数。
k =( n + 1) p整数时,前后两项相等
k =( n + 1) p非整数时,[( n + 1) p]取得最大值
泊松分布 设随机变量X 所有可能取的值为 0,1,2 , … , 且概率分布为： 且概率分布为：
P( X = k) =e
−λ
λ
k
k!
, k= 0, 1 2,L , , L
其中 λ 是常数, 则称 X 服从参数为 λ >0 是常数, 的 泊松分布, 泊松分布, 记作
−2
} QX ~ π (λ), 且 P( X ≤1) = P{X = 0}+ P{X =1 = 3e
的分布列。 现从中任取一件，求取得正品数 X 的分布列。 现从中任取一件， 解
1 0 X ~ 0.04 0.96
伯努利试验 和 二项分布
有一类十分广泛存在的只有相互对立的两个结果 的试验。 的试验。 的样本空间S 即在试验E 的样本空间S 只有两个基本事件
A 与A.
种子“ 种子 发芽” 例如：试验“成功”、“失败”。 “发芽”、“不发芽 例如：试验“成功” 失败” 考试“及格” 考试“及格”、“不及格 生“男孩”、“女 男孩” 孩” 产品“合格”、“不合格” 产品“合格” 不合格” 买彩票“中奖”、“不中奖 买彩票“中奖” 且每次试验中
将一枚均匀硬币抛掷1 例1 将一枚均匀硬币抛掷1次， 令X 表示1次中出现 表示1 “正面”的次数 正面” 的分布列是： 则X 的分布列是：
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解:
例5. 某射手连续向一目标射击，直到命中为止，
已知他每发命中的概率是p，求射击次数X 的分布列.
解: 显然，X 可能取的值是1,2,… ， 为计算 P(X =k )， k = 1,2, …，
设 Ak = {第k 次命中}，k =1, 2, …，
于是
P(X =1)=P(A1)=p,
P(X 2)P(A1A2 ) (1 p)p
P(X 3)P(A1A2 A3)(1 p)2p
可见 P(Xk)(1 p)k1p k1,2,
这就是所求射击次数 X 的分布列.
若随机变量X的分布律如上式， 则称X 服从
几何分布. 不难验证:
(1 p)k1p 1
k 1
几个重要的离散性随机变量模型
(0,1)分布 二项分布 波松分布
一、 (0-1)分布 （二点分布）
按Po
k
n=10 n=20 n=40 n=100 =np=1 p=0. p=0.05 p=0.02 p=0.01
0 10.349 0.3585 0.369 0.366
0
1 0.305 0.377 0.372 0.370
0
2 0.194 0.189 0.186 0.185
0
3 0.057 0.060 0.060 0.061
•• • • • • • 56 7 8 9 10
•
•
•
•
•
•
•
•
•20x
二项分布的图形特点:
X ~ Bn, p
对于固定n 及 P， 当k 增加时 , 概率P (X = k ) 先是随之增加
Pk
直至达到最大值, 随后单调减少.
当 n 1p 不为整数时， n 1p 二项概率 PX k
在k [n 1 p] 达到最大值；
k m
(X k) (X l) , k l
由全概率公式
P(Y m) P(X k)P(Y m X k)
km
e
km
kk!Ckm
pm (1
p)km
e (p)m km (1 p)km
m! km(k m)!
令k ms
e
(p)m
s (1 p)s
m! s0 s!
e (p)m e(1p) ep (p)m , m 0,1,2,
X
~
B( 8,
1 3
)
P8 (k)
P( X
k)
C8k
(
1 3
)k
(1
)1 8k 3
,
k 0,1,,8
0
1 2 34
56
7
.039 .156 .273 .273 .179 .068 .017 .0024
P
0.273•
由图表可见 , 当k 2或3 时 分布取得最大值
P8(2) P8(3) 0.273 此时的 k 称为最可能成功次数
xn
Pk p1 p2
pk pn
2. 分布列的性质
1. P X xk 0 k 1, 2, （非负性）
n
2. Pk 1 k 1
（归一性）
给定了 xk , Pk k 1, 2, n .我们就能很好的描述X.
即可以知道 X 取什么值，以及以多大的概率取这些值。
例1. 设随机变量X的概率函数为：
解: 由题意,
X ~ (), 且 P X 1 P{X 0} P{X 1} 3e2
e e 3e2 2
P{X 3} 1 P{X 0} P{X 1} P{X 2} 1 e2 21 e2 22 e2 1 5e2 0.323
1! 2!
泊松分布的图形特点：
Pk
X ~ P()
p
)nk
e
k
, k!
k 0,1,2,
例13 有产品15000件，其中次品 150件，今抽取100
件，求有2件是次品的概率。
解法一 超几何分布 N 15000 M 150 n 100
P X
解法二
2
2 98
C C 150 14850 100
C 15000
二项分布 p
M N
0.01
0...
k
n=10,p=0.7
( [x] 表示不超过 x 的最大整数)
简要说明
b(k, n, p) (n k 1) p 1 (n 1) p k
b(k 1, n, p)
kq
kq
k (n 1) p时,b(k, n, p)大于前面一项,P (X = k ) 增加
k (n 1) p时,b(k, n, p)小于前面一项,P (X = k ) 下降
••••••••• 012345678
x
设 X ~ B(20,0.2)
0 12 3 4 5 6 7 89 1 .01 .06 .14 .21 .22 .18 .11 .06 .02 .01 .00
P
0.22 •
由图表可见 , 当k 4 分布取得最大值
P20(4) 0.22
时，
• 0
• ••• 1 234
(0-1) 分布记为 X ~ B1, p
例10 已知100个产品中有5个次品，现从中有放回 地取3次，每次任取1个，求在所取的3个中恰有2个 次品的概率. 解: 因为这是有放回地取3次，因此这3 次试验的 条件完全相同且独立，它是贝努里试验. 依题意，每次试验取到次品的概率为0.05.
设 X 为所取的3个中的次品数，
P { X k } ( 1 )k ( 1 )1k , 22
k 0, 1
例3 100件相同的产品中有4件次品和96件正品，
现从中任取一件，求取得正品数 X 的分布列。
解
X
~
0 0.04
1 0.96
伯努利试验 和 二项分布
定义 设将试验独立重复进行n 次，每次试验中， 事件A 发生的概率均为P， 则称这n 次试验为
n 重贝努里试验. 若以X 表示n 重贝努里试验事件A 发生的次数，
则称 X 服从参数为n,p 的二项分布。
记作 X ~ Bn, p
用X 表示n 重贝努里试验中事件A（成功）出现
的次数，则
P(X k) Cnk pk (1 p)nk , k 0,1,, n
不难验证：
（1） P( X k) 0
n
（2） P( X k) 1
k 0
二项分布的分布列
若
X ~ Bn, p
c 其分布列为： P{X k} k pk (1 p)nk ,(k 0, 1, ..., n) n Ck pk (1 p)nk 正好是二项式 ( p q)n 的展开式 n 中的通项，因此该分布为二项分布。
显然，n = 1 时，二项分布化为二点分布。
第二节
离散型随机变量及其分布规律
一、离散型随机变量分布律的定义
1、定义
设离散型随机变量X可能取 x1, x2 , , xn .
且取这些值的概率依次为 p1, p2, …, pn,,
称 PX xk Pk k 1, 2,
为X的分布律(列)或概率分布。
分布列也可以用列表法表示
X x1 x2
xk
立,一次次地轰击直到摧毁目标为止.求所需
轰击次数 X 的概率分布.
解 P(X = k) = P(前 k –1次击中 r – 1次， 第 k 次击中目标)
帕斯卡 分布
C r1 k 1
p
r1
(1
p)kr
p
C r1 k 1pr来自(1 p)kr
k r,r 1,
泊松分布
设随机变量X 所有可能取的值为 0,1,2 , … ,
随机变量X 只取0与1两个值 它的分布列是
X
0
P 1-P
1 P
或
X
~
0 1
p
1 p
0 p 1
或者表示为： P ( X k ) pk (1 p)1k , k 0,1
例6将一枚均匀硬币抛掷1次， 令X 表示1次中出现
“正面”的次数 则X 的分布列是：
X=0 X=1
X0
1
反面
正面
P 1/2 1/2
设各个虫卵是否能发育成幼虫是 相互独立的.
求一昆虫所生的虫卵发育成幼
虫数 Y 的概率分布.
解 昆虫
X 个虫卵 Y 个幼虫
已知 P( X k) e k , k 0,1,2,
k!
P(Y m X k) Ckm pm(1 p)km, m 0,1,2,,k
(Y m) ( X k), m 0,1,2,
0
4 0.011 0.013 0.014 0.015
0
Possion定理
设 npn 0 , 则对固定的 k
lim
n
Cnk
pnk (1
pn )nk
e
k
k!
k 0,1,2,
Poisson定理说明若X ~ B( n, p), 则当n 较大 p 较小, 而np 适中, 则可以用近似公式
Cnk pk (1
在实际中，许多随机现象服从或近似服从泊松分布. 泊松分布在管理科学、运筹学以及自然科学的某 些问题中都占有重要的地位 .
例如
一放射性源放射出的 粒子数；
每天119收到的火灾报警次数； 一个售货员接待的顾客数; 一台纺纱机的断头数;
都可以看作服从泊松分布. …
例6 设一只昆虫所生虫卵数为随机变
量 X , 已知X ~ P()，且每个虫卵发育 成幼虫的概率为 p.
则 X ～B(3, 0.05)， 于是，所求概率为：
P(X 2) C32 (0.05)2 (0.95) 0.007125
注： 若将本例中的“有放回”改为”无放回”，那么各 次试验条件就不同了，不是贝努里概型， 此时只能用 古典概型求解.