离散型随机变量及其分布规律

xn
Pk p1 p2
pk pn
2. 分布列的性质
1. P X xk 0 k 1, 2, （非负性）
n
2. Pk 1 k 1
（归一性）
给定了 xk , Pk k 1, 2, n .我们就能很好的描述X.
即可以知道 X 取什么值，以及以多大的概率取这些值。
例1. 设随机变量X的概率函数为：
0
4 0.011 0.013 0.014 0.015
0
Possion定理
设 npn 0 , 则对固定的 k
lim
n
Cnk
pnk (1
pn )nk
e
k
k!
k 0,1,2,
Poisson定理说明若X ~ B( n, p), 则当n 较大 p 较小, 而np 适中, 则可以用近似公式
Cnk pk (1
且概率分布为：
P( X k) e k , k 0, 1, 2,,
k!
其中 λ >0 是常数, 则称 X 服从参数为λ 的
泊松分布, 记作 X ~ 或者x~p()
例12 设某国每对夫妇的子女数X服从参数为的泊 松分布,且知一对夫妇有不超过1个孩子的概率为3e-2. 求任选一对夫妇,至少有3个孩子的概率。
p
)nk
e
k
, k!
k 0,1,2,
例13 有产品15000件，其中次品 150件，今抽取100
件，求有2件是次品的概率。
解法一 超几何分布 N 15000 M 150 n 100
P X
解法二
2
2 98
C C 150 14850 100
C 15000
二项分布 p
M N
0.01
k=(n 1) p整数时,前后两项相等P (X = k ) ＝P (X = k－1 )
k=(n 1) p非整数时,P (X＝[ (n 1) p])取得最大值
例3 一门大炮对目标进行轰击,假定此目标
必须被击中r 次才能被摧毁. 若每次击中目 标的概率为p (0 < p < 1), 且各次轰击相互独
解:
例5. 某射手连续向一目标射击，直到命中为止，
已知他每发命中的概率是p，求射击次数X 的分布列.
解: 显然，X 可能取的值是1,2,… ， 为计算 P(X =k )， k = 1,2, …，
设 Ak = {第k 次命中}，k =1, 2, …，
于是
P(X =1)=P(A1)=p,
P(X 2)P(A1A2 ) (1 p)p
••••••••• 012345678
x
设 X ~ B(20,0.2)
0 12 3 4 5 6 7 89 1 .01 .06 .14 .21 .22 .18 .11 .06 .02 .01 .00
P
0.22 •
由图表可见 , 当k 4 分布取得最大值
P20(4) 0.22
时，
• 0
• ••• 1 234
0...
k
n=10,p=0.7
X~B(n,p)
下面图形显示：泊松分布是二项分布的极限分布，
当 n 很大，p 很小时 二项分布就可近似看成是 ，参数 = n p 的泊松分布
在实际计算中,当 n 20, p 0.05时, 可用上
述公式近似计算; 而当 n 100, np 10 时
精度更好
按二项分布
随机变量X 只取0与1两个值 它的分布列是
X
0
P 1-P
1 P
或
X
~
0 1
p
1 p
0 p 1
或者表示为： P ( X k ) pk (1 p)1k , k 0,1
例6将一枚均匀硬币抛掷1次， 令X 表示1次中出现
“正面”的次数 则X 的分布列是：
X=0 X=1
X0
1
反面
正面
P 1/2 1/2
n 重贝努里试验. 若以X 表示n 重贝努里试验事件A 发生的次数，
则称 X 服从参数为n,p 的二项分布。
记作 X ~ Bn, p
用X 表示n 重贝努里试验中事件A（成功）出现
的次数，则
P(X k) Cnk pk (1 p)nk , k 0,1,, n
不难验证：
（1） P( X k) 0
k m
(X k) (X l) , k l
由全概率公式
P(Y m) P(X k)P(Y m X k)
km
e
km
kk!Ckm
pm (1
p)km
e (p)m km (1 p)km
m! km(k m)!
令k ms
e
(p)m
s (1 p)s
m! s0 s!
e (p)m e(1p) ep (p)m , m 0,1,2,
m!
m!
故 Y ~ P(p)
作业
P57 4; 5 ； 6
感谢下 载
(0-1) 分布记为 X ~ B1, p
例10 已知100个产品中有5个次品，现从中有放回 地取3次，每次任取1个，求在所取的3个中恰有2个 次品的概率. 解: 因为这是有放回地取3次，因此这3 次试验的 条件完全相同且独立，它是贝努里试验. 依题意，每次试验取到次品的概率为0.05.
设 X 为所取的3个中的次品数，
•• • • • • • 56 7 8 9 10
•
•
•
•
•
•
•
•
•20x
二项分布的图形特点:
X ~ Bn, p
对于固定n 及 P， 当k 增加时 , 概率P (X = k ) 先是随之增加
Pk
直至达到最大值, 随后单调减少.
当 n 1p 不为整数时， n 1p 二项概率 PX k
在k [n 1 p] 达到最大值；
解: 由题意,
X ~ (), 且 P X 1 P{X 0} P{X 1} 3e2
e e 3e2 2
P{X 3} 1 P{X 0} P{X 1} P{X 2} 1 e2 21 e2 22 e2 1 5e2 0.323
1! 2!
泊松分布的图形特点：
Pk
X ~ P()
0...
k
n=10,p=0.7
( [x] 表示不超过 x 的最大整数)
简要说明
b(k, n, p) (n k 1) p 1 (n 1) p k
b(k 1, n, p)
kq
kq
k (n 1) p时,b(k, n, p)大于前面一项,P (X = k ) 增加
k (n 1) p时,b(k, n, p)小于前面一项,P (X = k ) 下降
设各个虫卵是否能发育成幼虫是 相互独立的.
求一昆虫所生的虫卵发育成幼
虫数 Y 的概率分布.
解 昆虫
X 个虫卵 Y 个幼虫
已知 P( X k) e k , k 0,1,2,
k!
P(Y m X k) Ckm pm(1 p)km, m 0,1,2,,k
(Y m) ( X k), m 0,1Βιβλιοθήκη Baidu2,
k
P(X k) a ,
k =0,1,2, …, 0
k!
试确定常数 a.
解: 依据分布律的性质:
P(X =k)≥0,
a0
P(X k) 1
k
解得 a e
k
a
ae
1
k0 k!
这里用到了常见的幂级数展开式
e k
k0 k!
例题2
设X 为离散型随机变量，其分布律为：
x
-1 0
1
p
1/2 1-2q q2
n
（2） P( X k) 1
k 0
二项分布的分布列
若
X ~ Bn, p
c 其分布列为： P{X k} k pk (1 p)nk ,(k 0, 1, ..., n) n Ck pk (1 p)nk 正好是二项式 ( p q)n 的展开式 n 中的通项，因此该分布为二项分布。
显然，n = 1 时，二项分布化为二点分布。
为次品率
PX
2
C
2 100
0.012
0.9998
解法三 泊松分布 n p 1
PX 2 12 e1 1 0.3678 0.1839
2! 2
历史上，泊松分布是作为二项分布的近似，于1837 年由法国数学家泊松引入的.
近数十年来，泊松分布日益显示其重要性, 成为 概率论中最重要的几个分布之一.
第二节
离散型随机变量及其分布规律
一、离散型随机变量分布律的定义
1、定义
设离散型随机变量X可能取 x1, x2 , , xn .
且取这些值的概率依次为 p1, p2, …, pn,,
称 PX xk Pk k 1, 2,
为X的分布律(列)或概率分布。
分布列也可以用列表法表示
X x1 x2
xk
立,一次次地轰击直到摧毁目标为止.求所需
轰击次数 X 的概率分布.
解 P(X = k) = P(前 k –1次击中 r – 1次， 第 k 次击中目标)
帕斯卡 分布
C r1 k 1
p
r1
(1
p)kr
p
C r1 k 1
pr
(1
p)kr
k r,r 1,
泊松分布
设随机变量X 所有可能取的值为 0,1,2 , … ,
P(X 3)P(A1A2 A3)(1 p)2p
可见 P(Xk)(1 p)k1p k1,2,
这就是所求射击次数 X 的分布列.
若随机变量X的分布律如上式， 则称X 服从
几何分布. 不难验证:
(1 p)k1p 1
k 1
几个重要的离散性随机变量模型
(0,1)分布 二项分布 波松分布
一、 (0-1)分布 （二点分布）
在实际中，许多随机现象服从或近似服从泊松分布. 泊松分布在管理科学、运筹学以及自然科学的某 些问题中都占有重要的地位 .
例如
一放射性源放射出的 粒子数；
每天119收到的火灾报警次数； 一个售货员接待的顾客数; 一台纺纱机的断头数;
都可以看作服从泊松分布. …
例6 设一只昆虫所生虫卵数为随机变
量 X , 已知X ~ P()，且每个虫卵发育 成幼虫的概率为 p.
按Po
k
n=10 n=20 n=40 n=100 =np=1 p=0. p=0.05 p=0.02 p=0.01
0 10.349 0.3585 0.369 0.366
0
1 0.305 0.377 0.372 0.370
0
2 0.194 0.189 0.186 0.185
0
3 0.057 0.060 0.060 0.061
则 X ～B(3, 0.05)， 于是，所求概率为：
P(X 2) C32 (0.05)2 (0.95) 0.007125
注： 若将本例中的“有放回”改为”无放回”，那么各 次试验条件就不同了，不是贝努里概型， 此时只能用 古典概型求解.
P(X 2)CC91513C0052 0.00618
二项分布的取值情况 设
X
~
B( 8,
1 3
)
P8 (k)
P( X
k)
C8k
(
1 3
)k
(1
)1 8k 3
,
k 0,1,,8
0
1 2 34
56
7
.039 .156 .273 .273 .179 .068 .017 .0024
P
0.273•
由图表可见 , 当k 2或3 时 分布取得最大值
P8(2) P8(3) 0.273 此时的 k 称为最可能成功次数
P { X k } ( 1 )k ( 1 )1k , 22
k 0, 1
例3 100件相同的产品中有4件次品和96件正品，
现从中任取一件，求取得正品数 X 的分布列。
解
X
~
0 0.04
1 0.96
伯努利试验 和 二项分布
定义 设将试验独立重复进行n 次，每次试验中， 事件A 发生的概率均为P， 则称这n 次试验为