数值分析5.1
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T 2
1 3 1 2 1 0 1 4 A A 24 34 1 4 2 0
1 5 2 2 1
A ( A A ) 1 52 2 1 5 . 4 6 2
T
湘潭大学数学与计算科学学院 13
T
湘潭大学数学与计算科学学院
2
r a m e r 法则求解时存在的困难是：当方程 利用 C
2 组的阶数 n 很大时，计算量为 O ( n ! ) O ( n )
常用计算方法: (1) 直接解法：它是一类精确方法，即若不考虑计
算过程中的舍入误差，那么通过有限步运算可以获得
方程解的精确结果. Gauss 逐步（顺序）消去法、 Gauss主元素法、矩阵分解法等；
(k ) 有 l i m x x 若对 i 1 , 2 , , n i i k
T 则称向量序列 { x ( k ) } 收敛于向量 x ( x , , x ) 1 n
命题: 当 k 时 ( k ) (k) l i m x x 0 x x
k
( k ) ( k ) ( k ) x x m a x | x x | , , | x x | 这是因为 1 1 n n
第五章 线性代数方程组的解法
5.1 预备知识
湘潭大学数学与计算科学学院
1
x b 求解线性方程组 A
其中
a11 a 21 A an1
a12 a22 an2
T
。
a1n a2n ann
且 | A| 0
x xx ,2 , , x 1 n
b bb ,2 , , b 1 n
i1 4
2 x 2 x 5 1 i i1
4
1 /2
x m a x ( | x | ,, | x | ) 5 1 4
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6
范数的等价性
定理 5.1 对于 Rn 中任意两种范数 p 和 q ，总存在常 数 m和 M ，使对一切 x R n 都有 m x q x p M x q. (*)
定理5.3中的性质 1), 2) 和 3)是一般范数所满 足的基本性质，性质 4)、5) 被称为相容性条件， 一般矩阵范数并不一定满足该条件.
湘潭大学数学与计算科学学院 11
三种从属范数计算：
（1）矩阵的1-范数（列和范数）:
A1 m ax | aij |
j i1 n
i
n
（2）矩阵的 -范数（行和范数）: A m ax | aij |
湘潭大学数学与计算科学学院 3
(2) 迭代解法：所谓迭代方法，就是构造某种 极限过程去逐步逼近方程组的解. 经典迭代法有： 迭代法、 a u s s S e i d e l J a c o b i 迭代法、G 逐次超松弛（SOR）迭代法等；
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4
5.1.1 向量空间及相关概念和记号
j1
（3）矩阵的2-范数: 其中
1
A 2 1
T A A 的最大特征值 :
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12
例
1 2 求 A , p 1 ,2 , 已知矩阵 A , p 3 4
A1 6
解： 按定义
T
A 7
1 0 1 4 I A A 3 0 4 0 1 4 2 0
1 向量的范数
设 是 n 维实向量空间 Rn 上的范数，最常用的向量
T x (, x x , , x ) 范数是 p 范数： 12 n
p xp |x [ 1 , ) , i | ,p 1 i
n
1 /p
其中 p 1, 2, 是最重要的,即：
wk.baidu.com
x |x | |x | |x | |x 1 2 n i| 1
2 x 2 xi i1 x m a x ( | x | ,, | x | ) 1 n
n
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n
1/ 2
i 1
5
例:
T 1 ,2 , ( 1 ,3 , 5 , 4 ), 设x 求 xp, p
根据定义:
x 1 | xi | 13
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9
5.1.2 矩阵的一些相关概念及记号
1. 矩阵的范数
对于 R n 上的任何向量范数,我们可以定义矩阵范数.
定义 5.1 若 是 Rn 上任意范数,则对任一 A Rnn Ax A max max Ax , x 0 x 1 x 称为 A 的由向量范数 导出的矩阵范数， 简称 A 的从属 范数.
从而当 k 时， x ( k ) x 与 x ( k ) x
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0 等价
8
定理 5.2
设 为 Rn 中的任一种范数，则序
列{x ( k ) }收敛于 x R n 的充分必要条件为
x( k ) x 0,
k 时.
利用向量范数的等价性及向量范数的连续性, 容易 得到定理5.2的证明
例如：
1 x1 x2 x1 n
x x n x 1
x x n x 2
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2 向量序列的收敛问题
R , k 1 , 2 ,, 设 x 为R
( k ) n
n
中的一个给定
( k ) ( k ) ( k )T ( x , , x ) 向量序列 x 1 n
矩阵范数的等价定理： 对 A
、A
，存在常数 m 和 M ，使得：
m A A M A
几种常用范数的等价关系：
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10
定理5.3 矩阵的从属范数具有下列基本性质：
1） A 0 ，当且仅当 A0时， A 0 2) R ,
A | | A
A x A x
n n 3 )A B A B , A , B R ;
4) 5)
x Rn 时
A B A B , A 、B Rnn
1 3 1 2 1 0 1 4 A A 24 34 1 4 2 0
1 5 2 2 1
A ( A A ) 1 52 2 1 5 . 4 6 2
T
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T
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2
r a m e r 法则求解时存在的困难是：当方程 利用 C
2 组的阶数 n 很大时，计算量为 O ( n ! ) O ( n )
常用计算方法: (1) 直接解法：它是一类精确方法，即若不考虑计
算过程中的舍入误差，那么通过有限步运算可以获得
方程解的精确结果. Gauss 逐步（顺序）消去法、 Gauss主元素法、矩阵分解法等；
(k ) 有 l i m x x 若对 i 1 , 2 , , n i i k
T 则称向量序列 { x ( k ) } 收敛于向量 x ( x , , x ) 1 n
命题: 当 k 时 ( k ) (k) l i m x x 0 x x
k
( k ) ( k ) ( k ) x x m a x | x x | , , | x x | 这是因为 1 1 n n
第五章 线性代数方程组的解法
5.1 预备知识
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1
x b 求解线性方程组 A
其中
a11 a 21 A an1
a12 a22 an2
T
。
a1n a2n ann
且 | A| 0
x xx ,2 , , x 1 n
b bb ,2 , , b 1 n
i1 4
2 x 2 x 5 1 i i1
4
1 /2
x m a x ( | x | ,, | x | ) 5 1 4
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6
范数的等价性
定理 5.1 对于 Rn 中任意两种范数 p 和 q ，总存在常 数 m和 M ，使对一切 x R n 都有 m x q x p M x q. (*)
定理5.3中的性质 1), 2) 和 3)是一般范数所满 足的基本性质，性质 4)、5) 被称为相容性条件， 一般矩阵范数并不一定满足该条件.
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三种从属范数计算：
（1）矩阵的1-范数（列和范数）:
A1 m ax | aij |
j i1 n
i
n
（2）矩阵的 -范数（行和范数）: A m ax | aij |
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(2) 迭代解法：所谓迭代方法，就是构造某种 极限过程去逐步逼近方程组的解. 经典迭代法有： 迭代法、 a u s s S e i d e l J a c o b i 迭代法、G 逐次超松弛（SOR）迭代法等；
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4
5.1.1 向量空间及相关概念和记号
j1
（3）矩阵的2-范数: 其中
1
A 2 1
T A A 的最大特征值 :
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12
例
1 2 求 A , p 1 ,2 , 已知矩阵 A , p 3 4
A1 6
解： 按定义
T
A 7
1 0 1 4 I A A 3 0 4 0 1 4 2 0
1 向量的范数
设 是 n 维实向量空间 Rn 上的范数，最常用的向量
T x (, x x , , x ) 范数是 p 范数： 12 n
p xp |x [ 1 , ) , i | ,p 1 i
n
1 /p
其中 p 1, 2, 是最重要的,即：
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x |x | |x | |x | |x 1 2 n i| 1
2 x 2 xi i1 x m a x ( | x | ,, | x | ) 1 n
n
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n
1/ 2
i 1
5
例:
T 1 ,2 , ( 1 ,3 , 5 , 4 ), 设x 求 xp, p
根据定义:
x 1 | xi | 13
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5.1.2 矩阵的一些相关概念及记号
1. 矩阵的范数
对于 R n 上的任何向量范数,我们可以定义矩阵范数.
定义 5.1 若 是 Rn 上任意范数,则对任一 A Rnn Ax A max max Ax , x 0 x 1 x 称为 A 的由向量范数 导出的矩阵范数， 简称 A 的从属 范数.
从而当 k 时， x ( k ) x 与 x ( k ) x
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8
定理 5.2
设 为 Rn 中的任一种范数，则序
列{x ( k ) }收敛于 x R n 的充分必要条件为
x( k ) x 0,
k 时.
利用向量范数的等价性及向量范数的连续性, 容易 得到定理5.2的证明
例如：
1 x1 x2 x1 n
x x n x 1
x x n x 2
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2 向量序列的收敛问题
R , k 1 , 2 ,, 设 x 为R
( k ) n
n
中的一个给定
( k ) ( k ) ( k )T ( x , , x ) 向量序列 x 1 n
矩阵范数的等价定理： 对 A
、A
，存在常数 m 和 M ，使得：
m A A M A
几种常用范数的等价关系：
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10
定理5.3 矩阵的从属范数具有下列基本性质：
1） A 0 ，当且仅当 A0时， A 0 2) R ,
A | | A
A x A x
n n 3 )A B A B , A , B R ;
4) 5)
x Rn 时
A B A B , A 、B Rnn