计算机算法：算法与算法分析

算法与算法分析

计算机与算法有着不可分割的关系，可以说，没有算法就没有计算机，计算机无法独立于算法而存在，因此算法被誉为计算机的灵魂。但是，算法不一定依赖于计算机而存在。算法可以是抽象的，实现算法的主体可以是计算机，也可以是人。只是多数时候，很多算法对于人来说过于复杂，计算工作量太大且常常重复，人脑难以胜任，算法就通过计算机来实现。

1.算法的概念

日常生活中到处都在使用算法，例如，到商店购物，首先确定要购买的东西，然后进行挑选、比较，最后去付款，这一系列活动就是购物的“算法”。算法就是解决问题的方法和步骤。方法不同，对应的步骤自然也不一样。算法设计时，首先应该考虑采用什么方法，确定后再考虑具体的求解步骤。所以，通常把解题过程准确而完整的描述称为解该问题的算法。进一步说，程序就是用计算机语言表达的算法，流程图就是图形化了的算法。程序的目的是加工数据，而如何加工数据是算法的问题。程序是算法与数据结构的统一。

算法是对事物本质的数学抽象，看似深奥却体现着点点滴滴的朴素思想。因此，学习和研究算法能锻炼思维，使思维变得更加清晰、更有逻辑，对日后的学习和生活都会产生深远的影响。

【例1】交换两瓶墨水。有一瓶红墨水、一瓶蓝墨水，现要求把原来装红墨水的瓶子改装蓝墨水，把原来装蓝墨水的瓶子改装红墨水。

【解】这个问题的解决办法是找一个空瓶子来倒腾一下，算法（也就是解决问题的步

骤）如下：

第一步：将红墨水倒入空瓶子中；

第二步：将蓝墨水倒入原来装红墨水的瓶子中；

第三步：将已倒入空瓶子中的红墨水倒入原来装蓝墨水的瓶子中；

第四步：结束。

以上算法是用自然语言来写的，容易理解，但比较繁琐。

如果用变量a表示装有红墨水的瓶子，变量b表示装有蓝墨水的瓶子，变量t表示空瓶子，用符号“←”表示把一个变量的值放入另一个变量中（此处指把一个瓶子中的墨水倒入另一个瓶子中），那么上述算法表示如下：

t ←a

a ←b

b ←t

这就是常用的两个变量交换的算法，这样的算法简洁、明了。

【例2】求s = a + aa + aaa + aaaa + ...... 的值。其中，a是一个数字（0≤a ≤9），n是最后一项中a的个数（n ≽1），a和n的值从键盘输入。

例如，若a = 7，n = 5，则s = 7+77+777+7777+77777。

【解】 这是一个求n 个数据项累加的问题，当输入n 的值后，算法可以用确定循环次数的循环结构实现。设置一个存储累加和的变量s ，其初值为0；设置循环控制变量i 表示求和的项数（i ≤n ）；设置数据项为t ，其初值为0，在重复执行的循环体中逐次将t * 10 + a 的值累加到变量s 中。

算法流程图如图1所示。

图1 例2的流程图

Y

N

开始

t ←0, s ←0

i ←1

t ←t*10 + a

i ←i+1

输出s 结束

i ≤n 输入a,n s ←s +t

由以上例子可以看出，一个算法由一些操作组成，这些操作是按一定的控制结构所规定的次序执行的。

这些操作包括：①逻辑运算：与、或、非；②算术运算：加、减、乘、除；③数据比较：大于、小于、等于、不等于；④数据传送：输入、输出、赋值。

算法中的每一步都必须能分解成这些基本操作，否则算法是不可行的。算法的功能不仅取决于所选用的操作，还取决于各操作之间的执行次序，即控制结构。任何复杂的算法都可以用顺序、选择、循环三种控制结构组合而成。用流程图可以形象地表示出算法的控制结构。

2.算法的基本特性

著名计算机科学家Knuth把算法的性质归纳为以下五点。

（1）有穷性（Finiteness）

一个算法必须在执行有穷步之后结束，即任何算法必须在有限时间内完成。算法的执行步数是有限的，解必须在有限步内得到，不能出现“死循环”，任何不会终止的算法都是没有意义的。算法执行时间应该合理，这种合理性应该具体问题具体分析。如果一个算法在计算机上要运行上千年，那就失去了实用价值，尽管它是有穷的。

（2）确定性（Definiteness）

组成算法的每个步骤都是确定的、明确无误的。也就是说，算法中的每一步必须有确切的含义，理解时不能产生二义性，不能模棱两可，不能含糊不清。

例如，生活中假定照着菜谱学做菜，这道菜的做法是这样的：

第一步：锅中放入少许油，加花椒爆香；

第二步：放入切好的肉片，煎炒到适当的时候放水；

第三步：煮沸时，加入少量调味品；

第四步：淋入适量香油，出锅。

生活中可以按照这样的菜谱做菜，但让计算机执行这样的“算法”就不行，因为其中有“少许”、“适当”、“少量”、“适量”等不确定性的词汇。如果把这个菜的做法看成一个“算法”，那么这个算法是不满足确定性的。

（3）可行性（Effectiveness）

算法中的每一步操作都应是可以执行的，或者都可以分解成计算机可执行的基本操作。

典型的、不可行的操作如下：

①“公鸡下蛋”式的操作：比如以0做分母，即便在数学中也是不可行的。

②想当然的操作：例如算法中某一步要求方程f（x）=0的根。计算机只是帮助人们计算，至于如何计算这是算法设计者或程序员的事，也就是说，如果我们不知道怎么求解一个问题，计算机也无能为力。

但像两个变量交换这样的算法步骤“A⇔B”是可行的，因为它可以分解成下面三个可执行的基本操作“T⇐A，A⇐B，B⇐T”。

（4）输入（Input）

算法开始前，允许有若干个输入量，也可以没有输入量。

（5）输出（Output）

每种算法必须有确定的结果，产生一个或多个输出。否则，“只开花不结果”的算法是没有意义的。

可见，算法是一个过程，这个过程由一套明确的规则组成，这些规则制定了一个操作的顺序，以便用有限的步骤提供特定类型问题的解答。