(完整word版)数学分析1期末考试讲解

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2019级数学分析(1)期末复习(大字)9页

2009级数学分析（1）期末复习第一部各章内容基本要求第一章实数集与函数1. 熟练掌握绝对值的三角不等式；理解实数的完备性、有理数的稠密性。

2. 熟练掌握有界集、无界集的概念；掌握上、下确界的概念及其等价刻画，明白上、下确界与最大、最小值的联系与区别；理解确界原理。

3. 掌握邻域、空心邻域的概念。

4. 掌握函数的概念及其表示方法；明白函数与其反函数的关系；理解函数是一种对应关系，函数未必都能画出图像；熟悉一些特殊函数取整函数、Dirichlet 函数、符号函数及其表示。

5. 掌握基本初等函数与初等函数的概念。

6. 掌握函数的有界性、奇偶性、单调性、周期性，理解周期的概念。

例1. 分别求 121|1,2,3,...,[0,1]S n S n ⎧⎫===⎨⎬⎩⎭的上、下确界，并证明之。

例2. 求集合(){}|0,1Sx x =∈是无理数的上、下确界，并证明之。

例3. 对任一实数集S ，证明 sup S = sup {S ⋃ {sup S}}。

例4. 证明，任何函数 f 都可以写成一个奇函数与一个偶函数之和。

第二章数列极限1. 掌握数列极限的 ε-N 定义及其几何意义，明白极限是一种趋势，它与数列的任何有限多项无关（其任一子列都收敛且有同一极限）。

2. 掌握数列收敛性与有界性的关系。

3. 掌握收敛数列的极限唯一性、数列有界性、保号性、保序性。

4. 掌握单调有界收敛准则，两边夹定理，Cauchy 收敛准则，子列收敛判别法。

5. 掌握极限四则运算性质，掌握一些常见的以0为极限的收敛数列1ln 1,,,,,kn n n n n q n n a aαα其中 0,||1,||1,q a k N α><>∈，懂得适时变形，并能熟练运用之。

例5. 用ε-N 语言证明 22011lim02010n n n π→∞+=-。

例6. 证明，若lim 0n n a a →∞=>，则存在N > 0, 使得对任意 n > N 有 ,22n a a a ⎛⎫∈⎪⎝⎭。

数学分析_I_试题(1)doc - 扬州大学

姓名
线
学号
班
扬州大学 20 —20 学年度第学期
《数学分析 1》期末考试试卷（试卷编号： 01）
（闭卷 120 分钟）
题号一二三四五六七八总分复核
应得分 20 20 20 20 5
5
5
5
实得分
阅卷人
一.判断题（每小题 2 分,共 20 分）
1．设 A，B 为非空数集， S = A ∪ B ，则 sup S = max{sup A,sup B}
F(x) = f (x) 在 (0, +∞) 递增.（5 分）
x
八．若函数 f 在闭区间[a,b]上连续，则 f 在[a,b] 上有最大最小值.（5 分）
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姓名
线
学号
班
扬州大学 20 —20 学年度第学期
5．若
f(x)无界，则存在 { xn }
⊂
D(
f
) ，使得
lim
n→+∞
f
(xn )
=
∞
1
6． lim (1+ x)x = e x→+∞
7．若
lim(
n→∞
xn
−
yn
)
=
0
，
则
lim
n→∞
xn
=
lim
n→∞
yn
8．若
f
′
+
(
x0
),
f−′(x0 )
均存在，则
f
′( x0 )
存在
9． f (x) = x −[x] 是周期为 1 的周期函数

上海交大数学分析第1学期期终考试解答演示教学

一、填空题（每小题4分，共 16分）1. 极限210arcsin lim x x x x →⎛⎫= ⎪⎝⎭61e . 2. 极限=∑=∞→n i n n i n 1arctan 1lim 2ln 214-π .3.积分(121arctan d x x x x -+=⎰154. 4. (电院专业同学做此题，不做4*)设常数0a >，则平面曲线222222()4()x y a x y +=-所围图形的面积为 24a . 4*. (管院专业同学做此题，不做4)设)(x f 49623-+-=x x x ，则)(x f 在]4,0[上的最大值为 0 . 二、单项选择题（每小题3分，共12分）1. 考虑下列断语，则有 ……【 D 】 (I) 若],[)(b a R x f ∈，则],[)(2b a R x f ∈. (II) 若],[)(b a R x f ∈，则],[)(b a R x f ∈.(A) I 正确，II 不正确. (B) I 不正确，II 正确. (C) I ，II 均不正确. (D) I ，II 均正确. 2. 设常数0>k ，则方程ln 0exx k -+=在),0(+∞内的实根个数为 ……【 B 】 (A) 3. (B) 2. (C) 1. (D) 0.3. 设)(x g 为区间I 上的上凸函数，)(x f 为J 上递减的下凸函数，且J g R ⊂)(，则【 A 】 (A) g f 为I 上的下凸函数. (B) g f 为I 上的上凸函数. (C) g f 必为I 上的单调函数. (D) 以上结论都不正确.4. 设)(x F 是)(x f 在区间],[b a 上的一个原函数, 则下列命题中, 错误命题个数为【 A 】 (I) )(x F 在],[b a 上连续.(II) 若0)()(<b F a F ，则),(b a ∈∃ξ，使0)(=ξF . (III) )(x f 在],[b a 上没有第一类间断点.(IV) 若0)()(<b f a f ，则),(b a ∈∃ξ，使0)(=ξf . (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. B 卷：1.(A) 2.(C) 3.(B) 4.(D)三、(本题共12分) 全面讨论函数2)1(12--=x x y 的性态，并列表作图（已知43)1(24,)1(2-+=''--='x x y x x y ）解函数定义域：1≠x令 .00=→='x y 令210-=→=''x y（5）拐点)98,21(-- ，极小值点)1,0(-由∞=→y x 1lim 得垂直渐近线 1=x ；由0lim =∞→y x 得水平渐近线 0=y . ----------------------------------（8）草图：（12）四、计算题 (第1小题6分，其它4小题各7分，共34分)1. 求极限111lim ln 1x x x →⎛⎫- ⎪-⎝⎭. 解原式=xx xx x ln )1(ln 1lim1---→ ------------------------------（2）=21)1(ln 1lim ---→x x x x =)1(211lim 1--→x x x =2121lim1=→x x --------------------------------（6） 2. 求极限30e sin (1)lim x x x x x x→-+.解原式=3243220))(6())(21(lim xx x x x x x x x x --+-⋅+++→οο-------（3）=323320))(3(lim x x x x x x x x --+++→ο=31)(3lim 3330=+→x x x x ο ------------------------------（7）3.求不定积分x . 解原式=⎰--x xd 1arcsin 2=)111arcsin 1(22dx xxx x -----⎰-----（3）=)11arcsin 1(2dx xx x ⎰+---=C x x x +++--14arcsin 12 ----------------------------（7）4. 设函数[0,1]f C ∈，且0)0(=f ，当(0,1]x ∈时，()0f x >，又20()(xf x f t t =⎰，求)(x f 的表达式.解由于当0≠x 时，()0f x >，由2()f x 可导知()f x 也可导. 方程两边对x 求导，得xx x f x f x f 2tan 21tan )()()(2+='---------------(2)当0≠x 时，有 xx x f 2tan 21tan )(2+='方程两边对x 积分得 dx xxx f ⎰+=2tan 21tan 21)(=⎰⎰--=-xxd dx x x 22cos 2cos 21cos 2sin 21=C x+-2cos arcsin21 -----------------------（6）再由0)0(=f 得C=8π. ------------------------------------------（7）5. 计算定积分e21(ln )d x x x ⎰.解原式=xdx x x x x d x e eeln 23)(ln 33)(ln 12123312⎰⎰-= ---------------------（3）=⎰⎰--=-e ee dx x x x e xdx e 12133133)ln (923ln 923 -------------------（6）=32275)31(9233333-=---e e e e --------------------------------（7）五、(本题共10分) 设)(),(x g x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且()()0f a f b >，()()02a bf a f +<，又对任意的[,]x a b ∈有()0g x ≠.试证:在),(b a 内至少存在一点ξ，使)()()()(ξξξξg f g f '='.证不妨设,0)(>a f 则0)2(,0)(<+>ba fb f ，由0)2()(<+⋅b a f a f ，0)()2(<⋅+b f ba f 及零点存在定理知 ),2(),2,(21b b a x b a a x +∈∃+∈∃使 0)()(21==x f x f -----------------------（5）构造函数 )()()(x g x f x F =],[b a x ∈，-------------------------------------（8）则0)()(21==x F x F ，故由Rolle 定理知),(),(21b a x x ⊂∈∃ξ使0)(='ξF 即)()()()(ξξξξg f g f '=' ------------------（10）六、（本题共10分）设)(),(x g x f 是定义在]1,0[上的有界函数，)(x f 和)(x g 在]1,0[上取值相异的点构成数列}{n x ，该数列满足1ln(1)()n n x x n +=+∀∈N . 证明：(1) 数列}{n x 收敛，且lim 0n n x →∞=；(2) ]1,0[R g f ∈-，并计算积分值1[()()]d f x g x x -⎰.证（1）因为n n n x x x ≤+=+)1ln(1 ，N n ∈∀，故数列}{n x 单调减，又]1,0[∈n x 有界，所以数列}{n x 收敛。

大一数学分析试卷分析与讲评

x
1 ( 1 )2
×
x
(arctan
1 ) x
1
1
1 x2
(
1 x2
)
1 x2
1
(ln
x x
1 ) 1
1 [ln( x 1) ln( x 2
1)]
1[ 1 2 x1
1 ] x 1
1 x2 1
(3x tan x3 ) 3x ln 3 tan x3 3x sec2 x3 3x2
5. 设y x2e x ,求y(80) .
由左右导数定义，证明左右连续
P98习题10
3.证明不等式: 1 ln(1 x) ln x 1 , x 0.
1 x
x
由:ln(1 x) ln x f (1 x) f ( x) 用拉格朗日中值定理证明
(1 x) x 设:f (t) ln t, 在区间[x,1 x]上验证满足中值定理条件
求出切线斜率：在点t π , 有斜率k 1 2
28；10
求出对应点：
当t
π 时, 2
有
x0
a( π 2
1),
y0 a
5.设f ( x) x x ,则 lim f ( x) 1 , f ( x) x x (ln x 1) . x0
幂指函数求极限：化对数，求指数的极限
lim x ln x
五、应用题
数学分析（2）课时安排与学习要求
1.数学分析总课时为272学时，分三个学期，第二学期96学时（周6×16周）,数学分析习题课：8学时
2.第二学期教学内容：
第八章不定积分
第九章定积分
第十章定积分的应用第十一章反常积分
第十二章-第十四章数项级数、函数项级数、幂级数

北京邮电大学数学分析期末考试1月(附答案)资料讲解

北京邮电大学2015-2016学年第一学期《数学分析》（上）考试卷考试注意事项：考生必须将答题内容做在答题纸上，做在试题纸上均无效一.填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1. 设220a c +≠，则20sin (1cos )lim(1)ln(1)x x a x b x c e d x →+-=-++ ;2. 0201|sin |arctan lim x x t dt t x→=⎰_____; 3.设函数3211tx e y dt t=+⎰的反函数为()x g y =，则(0)g '=____; 4. 设函数()y y x = 由参数方程20ln(1)cos tx t y u du =+ ⎧⎪⎨=⎪⎩⎰确定，则 22t d ydx == . 5. 曲线1xy xe - =的斜渐近线方程为 _________ ；6.sin sin cos xdx x x +⎰___________________;7.32420sin (|sin |)cos 2x x dx x sin xπ+=+⎰. 8. 设()f x 连续，满足0()2()21xf x f t dt x +=-⎰，则1()f x dx =⎰________;9.2ln exdx x+∞=⎰.10. 设211()23x x y e x e =+-是二阶常系数非线性微分方程x y ay by ce '''++=的一个特解，则：_____________.()3,2,1A a b c =-==-； ()3,2,1B a b c ===- ()3,2,1C a b c =-==； ()3,2,1D a b c ===。

二．（9分）. 求函数arctan (1)xy x e=-的单调区间、极值；函数图形的拐点。

三．（每小题6分，共12分）. （1）设函数()y y x =由方程211ln(1)y t e dt x --=+⎰确定，求22x d ydx= ；（2）设()f x 连续且(0)0f ≠，求120()lim()xx x f xt dtt f x t dt→ -⎰⎰。

数学分析(1)期末试题A答案

学习资料收集于网络，仅供参考2007-2008学年第一学期期末数学分析（1）考试试题（A 卷）参考答案及评分标准、判断题（本题共 10小题，每小题2分，共20分）1. X2. X3. V4. X5. V6.、填空题（本题共 8小题，每空2分，共20分） 1.f (n 1)(. )+ ------ ( (x -x o )n* ,:介于 x 与x o 之间. (n 1)!三、计算题（本题共 5小题，第1—4小题每题5分，第5小题10分，共30分）3.(6)1. 设y = x e ,试求y .解基本初等函数导数公式，有(x 3) =3x 2,(x 3) =6x,(x 3) =6,(x 3)(k)=0, k =4,5,6, (e x 严=e x ,k =1,2,111,6,应用莱布尼兹公式（n =6）得(6)3 x2 xxxy x e 6 3x e 15 6xe 20 6e32x=(x 18x 90x 120)e .2. 4 co sx2- s x2e 2叫23. e x f( f( e)) f(x e ) 4. 6 (x - 1) 5. -In二.6. 0, 17. y =x , y - -xx 7. V 8. x 9. V 10. xf (n) (Kn)nf(x)=f(x o ) f(x o )(x -x o )中^r (x -x o )8.学习资料收集于网络，仅供参考x = a（t -sint）,2.试求由摆线方程《所确定白^函数y=f（x）的二阶导数.y = a（1 - cost）学习资料收集于网络，仅供参考dy (a(1 - cost)) dx (a(t-sint))sint x t ------ 二 cot 一，1 - cost 2…t1 2t 2I cotcsc _dy 2 2 22 一 _ .一dx (a(t-sint)) a(1 -cost) 1 4 t——csc - ....................... .......4a 23.试求f (x) =ln(1 +x 2)到x 6项的带佩亚诺型余项的麦克劳林公式解因为2 3. x x 3ln(1+x)=x ———+—+o(x ),.......2 3所以f(x) =ln(1 +x 2)到x 6项的带佩亚诺型余项的麦克劳林公式为4622x x 6ln(1 x )= x -——一■ o(x ).2 34. 试求极限解通分后连续使用两次洛必达法则，得 x e - x -1xx(e -1)x e -1 e x(x 1)-1 xelim - ---- x 山 e x(x - 2)3分2分3分2分-- 3 2 5.试求函数y ^2x -9x +12x|在［-1,3］上的最值和极值解 32y 二|2x -9x 12x|一 2_ 一二|x(2x -9x 12) |I x(2x 2 -9x 12), -1 < x < 0,一 2x(2x -9x 12), 0 二 x <3,在闭区间［-1,3］上连续，故必存在最大最小值.-6x 2 18x-12, 6x 2 -18x 12 -6(x-1)(x-2), 6(x-1)(x-2),令y' = 0,得稳定点为x=1,2.又因匚(0) =—12, f ；(0) =12,故y 在x = 0处不可导.列表如下所以x = 0和x = 2为极小值点，极小值分别为 f (0) = 0和f (2) = 4 , x = 1为极大值点f(1)= 5.又在端点处有f (-1) = 23 , f (3) = 9,所以函数在x = 0处取最小值0,在x = -1处取最大值................................ 2分四、证明题(本题共3小题，每小题10分，共30分).21 .证明不等式e x>1 +x+— (x>0) 22、一人vx一证令 f (x) =e 一一 -x -1 , x >0, 2f (x) = e x- x -1, x 0 f (x) -e x-1 0 , x 0,且 f(0) = f (0) =0,............................. 3 分当x A0时有f "(x) >0,所以f'(x)严格递增，又f (x)在x=0处连续，所以f (x) > f (0) =0, x >0, ................................ 3 分-1 < x :二 0, 0 x <极大值为23.所以f(x)严格递增，又f(x)在x = 0处连续，所以f (x) > f (0) =0, x>0, ................................ 3 分x x2即e >1+x + ——,x >0. ............................. 1 分22.设f为(血，十a)上的连续函数，对所有x, f (x) >0 ,且lim f (x) = lim f (x) =0 ,证明f (x)必x ；：：x :.能取到最大值.证由题设f(0)>0,取8=*0■，由lim f(x) = lim f (x) = 0，m X >0,当| x |A X 时，2 x『二xf(x)<S<f(0). ................................ 4 分又f在［-X , X ］上连续，由闭区间上连续函数的最大、最小值定理知，f在［-X, X］能取到最大值................................ 4分且此最大值为f在(—叫+如)上的最大值. .................................. 2分3.若函数f(x)在［0,1］上二阶可导，且f(0)=0, f(1) = 1, f'(0)= f'(1) = 0,则存在c^(0,1)使得|f (c)|_2.证法一：v x w (0,1),把f (x)在0, 1两点处分别进行泰勒展开到二阶余项，有f ( J 2f (x) =f(0) f (0)(x-0) ^^x ,f , 0； 1 <x- <1,f(x) =f(1) f (1)(x-1) -4^(x-1)2,2!上两式相减，有f ( 1) f ( 2)(x-1)2.记| f ”(c)尸max{| f 7 -1) |,| f 'J) |},则有1《|f (c)|［x2 (x-1)2］1\|f (c)|,即存在cw(0,1)使得| f *(c)住2.证法二：在［0,1］上对f(x)应用拉格朗日中值定理有f (D = f ⑴—f (0) =1 , 0 ＜1 .当0 时，在［0,可上对f '(x)应用拉格朗日中值定理有1 .1 = f 注)—f (0) = f “(c)L =| f “(c)|=f “(c) =不之2, 2(0,与二(0,1)................................. 3分当白＜匚＜1时，在［匕1］上对f'(x)应用拉格朗日中值定理有11 = f ( ) - f (1) = f (c)( -1),=|f(c)|=—— 2, c ( ,1) (0,1).1 -................................ 2分综上证明知存在cW(0,1)使彳#|f”(c)户2. ................................ 2分。

数学分析1期末考试讲解(可编辑修改word版)

《数学分析Ⅰ》题目讲解⎝一、单项选择题（每小题 2 分，共 14 分）1、设数列{x }满足x = 1 ⎛x + 1 ⎫ 且lim x = ，则n为【】n +1 2 n ⎪ x n ⎭ n →∞ nxA 、0B 、1C 、1 2D 、22、已知f (x ) = ⎧ tan x ⎪, ⎨ ⎩⎪ 1, x ≠ 0, x = 0, 则 x = 0是 f (x )的【】⎪A 、第一类不连续点B 、第二类不连续点C 、连续点D 、可去不连续点3、已知 f (x ) = ⎧ x s in 1 , ⎨x ⎪⎩0, x > 0，则 x ≤ 0 f (x )在 x = 0处A、左可导B、右可导C、可微D、不连续4、若limf (x)存在，下列说法一定正确的是x x0A 、 fB 、 fC 、 fD 、 f (x )在x 0的任一邻域内有界(x )在x 0的某一邻域内无界(x )在x 0的某一邻域内有界(x )在x 0的任一邻域内无界5、若 f (x )在 x = 0处连续，并且lim h →0 f (h 2)h2 = c ，则【】A 、 fB 、 fC 、 fD 、 f (0) (0) (0) (0) = 0且= 0且 = c 且= c 且f - '(0)存在f + '(0)存在f - '(0)存在f + '(0)存在6、若f (x)在点x0处存在左、右导数，则f (x)在点x0处必然【】A、可导B、不可导C、连续D、不连续7、下列叙述错误的是【】A、若fB、若f (x)在点x0可导，则f(x)在点x0可导，则f(x)在点x0可微；(x)在点x0连续；C、若f (x)在点x0可导，则( f (x0))′= 0；D、设f (x)在点x可导，则x0是极值点当仅当f ′(x0) = 0.参考答案：1. B 2.C 3.A 4.C 5.B 6.C 7.D二、填空题（每小题 3 分，共 21 分）⎡x31、lim ⎢ + 5x + 63 +⎛1- 1 ⎫x ⎤⎪⎥=x→∞⎢⎣ 4x +1 ⎝x ⎭⎥⎦2、曲线y = ln x上平行于直线y = 1x +1的切线的方5程为3、设f '(a) =1，则limh→0 f (a + 2h) -hf (a - 3h)=4、曲线y = 2x +e-x2 的斜渐近线为f (x) = x3- 9x2+ 24x -15的极小值点x5、函数_6、已知当x → 0时ln(1+ ax)与e x-1等价，则a7、(5x)( n) =参考答案：1. 1+1；4 e2. y = 1 (x5-5)+ ln 5；3. 5；4. y = 2x；5. 4；6. 1；7. (ln n5)5x三、计算题（每小题 6 分，共 36 分）1、计算lim ⎛ 1+1 + + 1 ⎫.n→∞n +1 n + n +⎪⎝⎭1、计算lim ⎛ 1+ 1 + + 1 ⎫ n →∞ n +1 n + n + ⎪⎝⎭解：设x = 1 + 1 + +1，由于 nn +1 n +nn≤ x ≤ n，nn +1 n.n lim nn →∞ = 1，lim n →∞ n = 1 n +1，（4 分）由夹逼性，lim x n →∞=1，即原极限为 1。

数学分析1期末考试讲解

《数学分析Ⅰ》题目讲解一、单项选择题（每小题2分，共14分）1、设数列{}n x 满足1112n n n x x x +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭且lim nn x →∞=，则为【】A 、0B 、1C 、12 D 、22、已知tan,0,()1,0,xxf x xx⎧≠⎪=⎨⎪=⎩则0x=是()f x的【】A、第一类不连续点B、第二类不连续点C、连续点D、可去不连续点3、已知1sin,0()0,0x xf x xx⎧>⎪=⎨⎪≤⎩，则()f x在0x=处【】A、左可导B、右可导C、可微D、不连续4、若0lim ()x x f x 存在，下列说法一定正确的是【】A 、()f x 在0x 的任一邻域内有界 B 、()f x 在0x 的某一邻域内无界 C 、()f x 在0x 的某一邻域内有界 D 、()f x 在0x 的任一邻域内无界5、若()f x 在0x =处连续，并且220()lim h f h c h→=，则【】 A 、(0)0f =且(0)f -'存在 B 、(0)0f =且(0)f +'存在 C 、(0)f c =且(0)f -'存在 D 、(0)f c =且(0)f +'存在6、若()f x 在点0x 处存在左、右导数，则()f x 在点0x 处必然【】A 、可导B 、不可导C 、连续D 、不连续7、下列叙述错误的是【】A 、若()f x 在点0x 可导，则()f x 在点0x 可微；B 、若()f x 在点0x 可导，则()f x 在点0x 连续；C 、若()f x 在点0x 可导，则()0()0f x ′=； D 、设()f x 在点0x 可导，则0x 是极值点当仅当0()0f x =′.参考答案：1. B 2.C 3.A 4.C 5.B 6.C7.D二、填空题（每小题3分，共21分）1、33561lim 141x x x x x x →∞⎡⎤++⎛⎫+-=⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 2、曲线ln y x =上平行于直线115y x =+的切线的方程为3、设()1f a '=，则 0(2)(3)lim h f a h f a h h→+--=4、曲线22x y x e -=+的斜渐近线为5、函数32()92415f x x x x =-+-的极小值点x =______ _6、已知当0x →时ln(1)ax +与1xe -等价，则a = 7、()()5n x=参考答案：1. 114e+；2. ()15ln55y x =-+；3. 5；4. 2y x =；5. 4；6. 1；7. ()ln 55nx三、计算题（每小题6分，共36分）1、计算111lim 1n n n n n →∞⎛⎫+++⎪+++⎝⎭.1、计算111lim 1n n n nn →∞⎛⎫+++⎪+++⎝⎭ 解：设1111n x n n n n=++++++，由于1n n nx n n ≤≤++，lim 1n n n →∞=+，lim 11n nn →∞=+ ，（4分）由夹逼性，lim 1n n x →∞=，即原极限为1。

数学分析第一册讲义

3，…。“严格”的定义可以用枚举的办法，也就是说 i 1, 2,3, ，但这省略号表示什
么呢？事实上，自然数的定义是和加法联系在一起的，换言之，自然数可以用第一个数 1，和后继这两个说清楚。自然数集合的严格定义如下（皮亚诺 Peano）：
（P1）有数 1；（P2）每一个数 m 都有一个后继，记为 m+1；（P3）1 不是任何数的后继；（P4）若 m+1=n+1，则 m=n；（P5）（归纳公理）若一个子集合满足（P1）（P2），则它就是自然数集。其实这里定义了一个以 1 为首的一列“数字”队伍，我们依次称它们为 2，3，4，…。这就解释了省略号的意思。加法来自于我们解释后继为加 1，具体地说，n 的后继为 n+1，而 m+n 可以定义为 ( ((m 1) 1) ) 1；或者递归定义 m+(n+1)=(m+n)+1。可以证明（试一试！）这样定义的加法满足：交换率 m n n m ；结合率 (m n) p m (n p) 。因为自然数集合通过后继来定义，我们就得到了数与数之间的一种“序”的关系，大于、等于和小于的意思于是就知道了。任给两个自然数 m 和 n，必有 m n, m n, m n 三种关系中的一种出现，而且只有一种。这就是说，自然数可以比较大小。一会儿我们将看到，实数比较大小要困难许多。自然数这个定义对于微积分来说，非常重要的是第一次清晰、准确地刻画了一个无穷的概念。我们没有定义任何一个数是无穷大，事实上，任给一个自然数 n，都存在比它更大的数，如 n+1；但是，自然数逐渐加大的这样一个无穷的过程，定义了一个无穷。我们今后会不断看到，这样一个作为过程的“无穷”。
说到这里，上面所有的内容并不涉及自然数的记法。有了乘法，就可以有数的进制。

2010—2011 学年第一学期期末考试大学《数学分析 1》试题及答案

五、证明题（3 小题，1,2 小题各题 6 分，3 小题 7 分，共 19 分）
1、设 an
=
sin1 2
+
sin 2 22
++
sin n 2n
，证明数列 an 收敛.
2、证明 f (x) = x2 在a,b上一致连续.
3、若函数
f
在 a,b上可导，且
f
+
(a
)
f
−
(b)
，
k
为介于
f
+
(a
)和f
−
(b)
( ) 1、已知 y = ln x + 1+ x2 ，求 dy ； dx
2、设
x y
= =
a(t a(1
− sin t) − cost)
，求
dy dx
；
3、设 y = xsin x ，求 y ；
4、设 y = arcsin 1− x2 ，求 dy .
5、求函数 f (x) = (2x − 5) 3 x2 的极值.
1
( ) d 1− x2 , ……………………………………3 分
( )2
1− 1− x2
( ) = 1 d 1 − x2 = − 1 x dx ……………………………………………………5 分 x 2 1− x2 x 1− x2
5、解：定义域 (− ,+)
f
(x) = 23
x2
+
(2
x
−
5)
2
x
−
( ) 9、若在 x0 附近 f (x) = pn (x)+ o (x − x0 )n ，则 pn (x)是唯一的，其中

数分大一下期末考试知识点

数分大一下期末考试知识点数学分析是数学专业中的一门重要课程，也是大部分理工科专业的必修课之一。

对于大一学生来说，数分下学期末考试的内容通常是其中最为关键的一部分。

为了帮助大家复习和准备考试，下面将对数分大一下期末考试的知识点进行总结和归纳。

1. 无穷级数无穷级数是数学分析中的重要概念，有着广泛的应用。

在考试中，通常会涉及到级数的收敛与发散、级数的运算性质等方面的问题。

复习时需要掌握无穷级数各种判别法，例如比较判别法、比值判别法、根值判别法等。

2. 函数极限与连续性函数极限与连续性是数学分析的基础内容。

考试中可能出现求函数极限、证明函数连续性等类型的题目。

在复习过程中，需要熟练掌握函数极限的定义和性质，以及连续性的定义、判别方法和运算规则。

3. 导数与微分导数与微分是数学分析的核心内容，也是大家最常接触到的部分。

在考试中，通常会出现求导数、求高阶导数、应用导数等类型的题目。

复习时需要熟悉导数的定义、运算法则，以及常见函数的导数公式和基本性质。

4. 可积性与不可积性在数学分析中，可积性是一个重要的概念。

考试中可能会涉及到函数的可积性问题，需要掌握黎曼可积的判定条件和计算方法。

此外，还需要了解黎曼积分的性质和应用，如函数的积分中值定理等。

5. 序列与级数序列与级数是数学分析中的基本概念之一，也是数学分析的重要内容。

在考试中，通常会出现求序列极限、判别序列的收敛性、级数求和等类型的题目。

复习时需要掌握序列和级数的基本定义、性质和运算法则。

6. 多元函数的极限、连续性与偏导数多元函数是数学分析中一个较为复杂的知识点。

在考试中，可能会出现多元函数的极限、连续性、偏导数等问题。

复习时需要熟悉多元函数的极限、连续性的定义和判别方法，以及多元函数的偏导数的计算和性质。

7. 多元函数的积分多元函数的积分是数学分析中的重要内容之一。

在考试中，通常会出现多元函数的积分的计算和应用题。

复习时需要掌握多元函数的积分的计算方法，并了解应用题中的一些常见方法，如变量代换等。

大一数学分析期末知识点

大一数学分析期末知识点在大一数学分析的学习过程中，学生将接触到许多基础的数学知识点。

这些知识点在期末考试中占据重要的地位，对于学生来说是必须要熟练掌握的。

本文将着重介绍大一数学分析期末考试中常涉及的几个主要知识点。

1. 函数与极限在数学分析的学习中，函数与极限是一个非常重要的基础概念。

学生需要了解函数的定义、性质和图像表示方法。

同时，对于函数的极限也是非常重要的。

学生需要学会计算函数的极限，理解极限存在与否的条件，并能够应用极限理论解决相关问题。

2. 数列与级数数列与级数是数学分析中的另一个核心内容。

学生需要了解数列的定义、分类和性质，能够计算数列的极限。

对于级数，学生需要学会判断级数的敛散性，掌握级数求和的方法，并了解级数收敛的判定方法。

3. 微分学微分学是数学分析的重要内容之一。

学生需要熟练掌握函数的导数概念与计算方法，理解导数的几何与物理意义，并能够应用导数解决相关问题。

此外，学生还需要了解高阶导数、隐函数与参数方程的微分计算方法。

4. 积分学积分学是数学分析的另一个重要内容。

学生需要熟悉不定积分和定积分的定义与计算方法，了解换元积分法和分部积分法等积分技巧，并能够应用积分解决相关问题。

此外，对于柯西定理和牛顿-莱布尼茨公式的理解也是必要的。

5. 常微分方程常微分方程是数学分析的一门重要的应用课程。

学生需要了解一阶和二阶常微分方程的基本概念、解的存在唯一性以及一些特殊类型的微分方程解法，并能够应用常微分方程解决实际问题。

以上所列举的知识点只是大一数学分析期末考试中的主要内容，还有其他相关知识点也是需要学生积极掌握的。

学生在备考期末考试时，应该注重理解概念，熟练掌握运算方法，并进行大量的练习，加强对知识点的理解与应用能力。

通过系统的学习与反复的训练，相信大家能够在大一数学分析期末考试中取得优异的成绩！。

(完整版)《数学分析》考试知识点.

《数学解析》考试知识点题目种类及所占比率：填空题（ 20 分）、解答题（ 60 分）、证明题 (70 分)考试范围：一、极限和函数的连续性考试内容：1照射与函数的看法及表示法，函数的四则运算、复合函数与反函数的求法，函数的有界性、奇偶性、单调性与周期性；2数列与函数极限的定义与性质，函数的左右极限，无量小量与无量大量的看法及关系、无量小量与无量大量的阶，极限的计算；3函数的连续性和一致连续性；4实数系的连续性；5连续函数的各种性质。

考试要求：1理解照射与函数的看法，掌握函数的表示法；会函数的四则运算、复合运算；知道反函数及隐函数存在的条件及求法；认识初等函数的看法，会求初等函数的定义域；2理解函数与数列极限 (包括左右 )的看法，会用极限的看法证明有关极限的命题；熟练掌握极限的四则运算及性质；会问题及简单的求函数熟练掌握数列极限与函数极限的看法；理解无量小量的看法及基本性质。

掌握极限的性质及四则运算性质，能够熟练运用两面夹原理和两个特别极限。

掌握实数系的基本定理。

熟练掌握函数连续性的看法及有关的不连续点种类。

熟练掌握闭区间上连续函数的性质。

二、一元函数微分学考试主要内容：微分的看法、导数的看法、微分和导数的意义；求导运算；微分运算；微分中值定理；洛必达法规、泰勒展式；导数的应用。

考试要求：理解导数和微分的看法。

熟练掌握函数导数与微分的运算法规，包括高阶导数的运算法规、复合函数求导法规，会求分段函数的导数。

熟练掌握Rolle 中值定理， Lagrange中值定理和 Cauchy中值定理以及 Taylor 展式。

能用导数研究函数的单调性、极值，最值和凸凹性。

掌握用洛必达法规求不定式极限的方法。

三、一元函数积分学考试主要内容：定积分的看法、性质和微积分基本定理；不定积分和定积分的计算；定积分的应用；广义积分的看法和广义积分收敛的鉴识法。

考试要求：理解不定积分的看法。

掌握不定积分的基本公式，换元积分法和分部积分法，会求初等函数、有理函数和三角有理函数的积分。