2006考研数学三真题及答案

2006考研数学三真题及答案

一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.

（1）

()11lim ______.

n

n n n -→∞+⎛⎫= ⎪⎝⎭

（2）设函数()f x 在2x =的某邻域内可导,且

()()

e f x f x '=，

()21

f =，则

()2____.

f '''=

（3）设函数()f u 可微,且

()1

02f '=

,则

()22

4z f x y =-在点(1,2)处的全微分()

1,2d _____.

z

=

（4）设矩阵

2112A ⎛⎫

= ⎪

-⎝⎭，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则=B . （5）设随机变量X Y 与相互独立，且均服从区间

[]0,3上的均匀分布，则

{}{}max ,1P X Y ≤=

_______.

（6）设总体X 的概率密度为

()()121,,,

,2x

n

f x e x X X X -=-∞<<+∞为总体X 的简

单随机样本，其样本方差为2

S ，则2

____.ES =

二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.

（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ∆为自变量x 在点0x 处的增量，d y y ∆与分别为()f x 在点0x

处对应的增量与微分，若0x ∆>，则

(A) 0d y y <<∆. (B) 0d y y <∆<.

(C) d 0y y ∆<<. (D) d 0y y <∆< . [ ]

（8）设函数()

f x 在0x =处连续，且()

22

0lim 1

h f h h

→=，则

(A) ()()

000f f -'=且存在 (B)

()()

010f f -'=且存在

(C)

()()

000f f +'=且存在 (D)

()()

010f f +'=且存在 [ ]

（9）若级数

1

n

n a

∞

=∑收敛，则级数

(A) 1

n

n a

∞

=∑收敛 . （B ）1

(1)

n

n

n a ∞

=-∑收敛.

(C) 1

1

n n n a a ∞

+=∑收敛. (D) 112n n n a a ∞

+=+∑收敛. [ ]

（10）设非齐次线性微分方程()()y P x y Q x '+=有两个不同的解12(),(),y x y x C 为任意常

数，则该方程的通解是 （Ａ）[]12()()C y x y x -. （Ｂ）[]

112()()()y x C y x y x +-.

（Ｃ）

[]

12()()C y x y x +. （Ｄ）

[]

112()()()y x C y x y x ++ [ ]

（11）设(,)(,)f x y x y ϕ与均为可微函数，且(,)0y x y ϕ'≠，已知00(,)x y 是(,)f x y 在约

束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是 (A) 若

00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=.

(B) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '≠. (C) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '=.

(D) 若

00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠. [ ]

（12）设12,,

,s

ααα均为n 维列向量，A 为m n ⨯矩阵，下列选项正确的是

若12,,,s ααα线性相关，则12,,,s A A A ααα线性相关. 若

12,,

,s

ααα线性相关，则

12,,

,s

A A A ααα线性无关.

(C) 若12,,,s ααα线性无关，则

12,,,s A A A ααα线性相关.

(D) 若

12,,

,s

ααα线性无关，则

12,,

,s

A A A ααα线性无关. [ ]

（13）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的1-倍加到第2

列得C ，记

110010001P ⎛⎫

⎪= ⎪

⎪⎝⎭，则

（Ａ）1C P AP -=. （Ｂ）1

C PAP -=.

（Ｃ）T

C P AP =. （Ｄ）T

C PAP =. ［ ］ （14）设随机变量X 服从正态分布

211(,)

N μσ，Y 服从正态分布

2

22(,)

N μσ，且

{}{}

1211P X P Y μμ-<>-<

则必有

12σσ< (B) 12σσ>

(C)

12μμ< (D) 12μμ> [ ]

三 、解答题：15－23小题，共94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（15）（本题满分7分）

设()1sin

,,0,01arctan x

y y y

f x y x y xy x π-=

->>+,求

(Ⅰ) ()()

lim ,y g x f x y →+∞

=；

(Ⅱ)

()

0lim x g x +

→.

（16）（本题满分7分）

计算二重积分

d D

x y

，其中D 是由直线,1,0y x y x ===所围成的平面区域.

（17）（本题满分10分） 证明：当0a b π<<<时，

sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.

（18）（本题满分8分）

在xOy 坐标平面上，连续曲线L 过点

()

1,0M ，其上任意点

()()

,0P x y x ≠处的切线斜率

与直线OP 的斜率之差等于ax （常数>0a ）. (Ⅰ) 求L 的方程；

(Ⅱ) 当L 与直线y ax =所围成平面图形的面积为8

3时，确定a 的值.

（19）（本题满分10分）