一.曲面方程的概念

x
y
这就是圆锥面的方程。
7
例5
将
x x2 z2 O 2 1, 2 a c 分别绕 x 轴和 z 轴一周, 求所生成的旋转曲面的方程.
2 2 2 x y z 解： 绕x轴 : 1. 2 2 a c x2 y2 z2 绕z轴 : 2 1. 2 a c
xoz面上的双曲线
z
x y , z 0 f y , x z 0
2 2
2 2
绕 x轴旋转所成的旋转曲面的方程为 绕 y 轴旋转所成的旋转曲面的方程为
设C :
f f
f x , y 2 z 2 0
x2 z2
, y 0 , z 0
6
f x, z 0 zox
z
●
M x , y , z
叫做空间曲线的参数方程。
x
O
y
17
如果空间一点 M 在圆柱面 x 2 y 2 a 2 上以角速度 绕 z 例3 轴旋转，同时又以线速度 v沿平行于 z 轴的正方向上升， 那么点
M 构成的图形叫做螺旋线，试建立其参数方程。
z
解: 取时间 t 为参数， 设当 t 0时， 动点位于 x轴上的一点 Aa ,0 ,0 处， 经过时间 t ， 动点由A 运动到 M x , y , z , 记 M 在 xOy 面上的投影为 M' , 则 M’的坐标为: M x, y,0 x a cos t y a sint 所以
z轴, 准线是 xOy面上的直线
x y 0 过 Z 轴的平面。
10
方程 F x , y 0 , 在空间 直角坐标系中表示： 母线平行于 z 轴的柱面, 其准线是 xOy 面上的曲线
z
F x , y 0,
y
o
x
C
C : F x, y 0.
方程中缺哪个字母，母线 方程 G x , z 0 , 在空间 平行于相应的轴。 直角坐标系中表示： 母线平行于 y 轴的柱面, 其准线是 xOz 面上的曲线
z
（1）
投影柱面
C
O
y
消去变量 z 得方程
x
（2）
投影曲线
H x , y 0
曲线 C , 以曲线 C 为准线、母线平行于 z 轴的柱面叫做曲线 C 关于 xOy 面的投影柱面。 投影柱面与 xOy 面的交线叫做空间曲线 C 在 xOy 面上的 投影曲线，或简称投影。 注： 曲线 C 和其投影都在其投影柱面内。
(3)
例2 已知 A1,2,3, B2,1,4, 求线段AB的垂直平分面的方程.
点 解：设 M ( x, y, z )是垂直平分面上任意一 MA MB ,
A

x 1

2
y 2 z 3
2
2
M
x 22 y 22 z 42
2
旋转轴为 z 轴, 半顶角为 的圆锥面的方程.
z
P
y 解: 在yOz坐标面上， L : z tan
让L绕z轴旋转
z x y cot
2 2
或
o
(7)

M x, y, z
M 0, y , z 1 1 1
L
z2 a2 x2 y2 ,

a cot
Ax 2 Ay 2 Az 2 Dx Ey Fz G 0
通过配方可以化成（2）的形式， 那么它的图形就是一个球面。
4
二.旋转曲面
——通常多考虑以坐标轴为旋转轴的旋转曲面. 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面 叫做旋转曲面，这条定直线叫做旋转曲面的轴. 设 C : f y, z 0 yoz, M x, y, z S ,
平行移动而成, 这曲面叫做圆柱面.
xOy面上的圆 x 2 y 2 R 2
叫做它的准线，平行于 z 轴的直线 l 叫做它的母线。 其实在 yOz 面内的一条直线: y R, 绕z轴旋转而成的旋转
曲面就是该圆柱面,则圆柱面方程为:
x 2 y 2 R. 即
P11
9
x 2 y 2 R2 .
f y , z 0 即： f

x2 y2 , z
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0
(4)
5
就是所求旋转曲面的方程。
设 C : f y, z 0 yoz面 绕 z 轴旋转所成的旋转曲面的方程为 绕 y 轴旋转所成的旋转曲面的方程为 设 C : f x, y 0 xoy
f
表示母线平行于 y 轴的柱面, 其准线是 xOz 面上的直线，
它是一平面.
o
x
y
所以曲线C是圆柱面与平面的交线。
15
例2
方程组
z
z a2 x2 y2 2 2 a a 2 x y 2 2
表示怎样的曲线？ 解：方程组中第一个方程表示球心 在坐标原点，半径为
z
过 M 点做 z 轴的垂面，与 z 轴交于P（0,0,z） 点，交曲线 C 于M1（0, y1 , z）,显然
PM PM 1
P
M 1
0 , y , z
1
M （x,y,z)
C
y
PM x y , PM1 y1 ,
2 2
o
x
y1 x 2 y 2 .
因为，M1在曲线C上，其坐标应满足
方程 H y , z 0 , 在空间直角坐标系中表示：母线平行于
13
第六节 空间曲线及其方程
一.空间曲线的一般式方程 空间曲线可以看作两个曲面的交线.
z
S1 C S2
O
S1 : F x , y, z 0, S 2 : G x, y, z 0.
y
F x, y, z 0, C : G x, y, z 0.
C : x z 0.
z
xz 0
o
x
y
12
小 结：
1.曲面的概念 2.球面方程
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R 2
作业:习题7-5 作业纸P50 下次交P49-50
f
2 2
2 2
3.平面方程 Ax By Cz D 0 4.旋转曲面 设 C : f y, z 0 yoz面

2v
z vt
x
A
t
o
M x, y, z

y
M ' x, y,0
当t 2 时， z v
2

2b 叫做螺旋线的螺距。
P21
18
三.空间曲线在坐标面上的投影 设空间曲线 C 的一般方程为
F x , y , z 0 G x, y, z 0
20
螺旋线在三个坐标平面上的投影（用直角坐标方程表示）？ x a cos t y a s i nt
z vt 2 2 2 x y a （1）关于 xOy面的投影柱面 ： 2 2 2 x y a 则在 xOy面上的投影为：
（2）关于 yOz 面的投影柱面： y a sin z v y a sin v z 则在 yOz 面上的投影为：
z0
(1)
x
方程组(1)叫做空间曲线 C 的一般方程.
14
例1
方程组
2 2
x2 y2 1 C : 表示怎样的曲线? 2 x 3z 6
解：S1 : x y 1 表示母线平行于 z 轴的圆柱面, 其准线是 xOy 面上的圆 , 圆心 在原点, 半径为1.
z
C
S 2 : 2 x 3z 6
则方程(1)就叫做曲面S的方程,而曲面S就叫做方程(1)的图形。
1
在空间解析几何中关于曲面的研究,有下列两个基本问题: (1) 已知曲面点的几何轨迹，求曲面的方程； (2) 已知曲面的方程，求这方程所表示的曲面的形状。 1、球面方程
例1 建立球心在 M 0 x0 , y0 , z 0 , 半径为 R 的球面 S 的方程.
2 x 6 y 2z 7 0.
B

为所求平面上的点的坐标所满足的方程。
3
例3 方程 解: 配方得
x 2 y 2 z 2 2 x 4 y 0 表示怎样的曲面?
x 1
2
y 2 z 2 5.
2
原方程表示球心在点 M 0 1,2 ,0, 半径为 R 5 的球面. 一般地，设有三元二次方程
绕 x轴旋转所成的旋转曲面的方程为 绕 z 轴旋转所成的旋转曲面的方程为
f x , y 2 z 2 0 x2 y2
例4
直线L 绕另一条与L相交的直线旋转一周,所得旋转曲
面叫圆锥面， 两直线的交点叫做圆锥面的顶点， 两直线的夹角 0 叫做圆锥面的半顶角。试建立顶点在坐标原点 O,
绕 z 轴旋转所成的旋转曲面的方程为
绕 y 轴旋转所成的旋转曲面的方程为
2 2 2 2 z a x y , 5.锥面的方程


a cot
x y , z 0 f y , x z 0
6.柱面方程
x 轴的柱面, 其准线是 yOz 面上的曲线 C : H y, z 0.
19
方程（2）表示一个母线平行于 z 轴的柱面， 它必定包含
方程（2）即
z
H x , y 0
所表示的柱面即空间曲线 C 关于 xOy 面的投影柱面。
C O
y
而方程
H x , y 0 z0
x
所表示的曲线为空间曲线 C 在 xOy 面上的投影。 问题：空间曲线 C 关于 yOz、zOx 面的投影柱面? 空间曲线 C 在 yOz、zOx面上的投影?
o
x
2
y
a 的上半球面；
a 半径为 . 2
第二个方程表示母线平行于 a z 轴的圆柱面， 它的准线是 xOy 面上的圆， 圆心在点 ,0 ,
方程组就表示上述半球面与圆柱面的交线。
16
二. 空间曲线的参数方程
x x t y y t z z t
定义: 平行于定直线并沿定曲线C平行移动的直线 l 形成的轨迹 叫做柱面， 定曲线 C 叫做柱面的准线， 动直线叫做柱面的母线。
z
y
z
O y2 2x
o
x
x
y
x y0
y 2 2 x 表示母线平行于
z 轴, 准线是 xOy面上的抛物线 y 2 2 x 的抛物柱面。
x y 0 表示母线平行于
y
z
y
这两种曲面都叫做旋转双曲面.
z
y
O
x
O
x
8
三.柱面
2 2 2 例6 方程 x y R 表示怎样的曲面?
z
O
解： 在 xOy面： x 2 y 2 R 2
在三维空间直角坐标系中
圆
l
M
这曲面可以看作是由平行于 z 轴
R
y
的直线 l 沿 xOy面上的圆 x 2 y 2 R 2 x
z
R
2
M x , y , z

解： M x, y, z S M 0 M R
M0 M
x x0 y y0 z z 0
2 2
,
M 0 x0 , y0 , z0

或
x x0 2 y y0 2 z z0 2
C : G x, z 0.
方程 H y , z 0 , 在空间直角坐标系中表示： 母线平行于 x 轴的柱面, 其准线是 yOz 面上的曲线
C : H y, z 0.
P9
11
方程 x z 0 , 在空间直角坐标系中表示： 母线平行于 y轴的柱面, 其准线是 xOz 面上的曲(直)线:
第五节
一.曲面方程的概念
曲面及其方程
z
F x , y , z 0
S
y
平面曲线、 空间曲面是点的几何轨迹。 曲面 S 与三元方程
F x , y , z 0
有下述关系：
(1)
x
O
（纯粹性）
(1) 曲面S上任一点的坐标都满足方程(1);
(2) 不在曲面S上的点的坐标都不满足方程(1), （完备性）
2 2
R,
o
x
（2）
y
x x0 y y0 z z0
2
R2
2
方程(2) 就是以 M 0 x0 , y0 , z0 球心 , 半径为 R 的球面方程. 若球心在原点，则 x0 y0 z 0 0, 从而球面的方程为
x 2 y 2 z 2 R2 .