一.曲面方程的概念
第七章第5节几种常见的二次曲面
x x 0 2 y y 0 2 z z 0 2 R 2
特殊地：球心在原点时方程为
x2y2z2R2 4
例 2求 与 原 点 O 及 M 0 ( 2 ,3 ,4 )的 距 离 之 比 为 1 :2 的 点 的 全 体 所 组 成 的 曲 面 方 程 .
与平面 z z1 (|z1|c)的交线为圆.
24
截面上圆的方程
x2
y2
a2 c2
(c2
z12).
z z1
(2 ) abc,
x2 a2
ay22
az22
1
球面
方程可写为 x2y2z2a2.
25
（二）抛物面
x2 y2 z （ p与 q同号） 2 p 2q
cz22
1
双叶双曲面
o
y
x
37
五、小结
曲面方程的概念 F (x ,y,z)0 . 旋转曲面的概念及求法. 柱面的概念(母线、准线). 椭球面、抛物面、双曲面、截痕法.
（熟知这几个常见曲面的特性）
38
习题 75 P235
A组
1(1)2,， 3(2)4 ()， 4,5
39
思考题
指出下列方程在平面解析几何中和空 间解析几何中分别表示什么图形？
20
四、二次曲面
曲面方程: F(x,y,z)0
二次曲面： 三元二次方程所表示的曲面称之．
如 x2(y1)2z21
相应地平面被称为一次曲面．
如2xy3z0
讨论二次曲面方法:截痕法： 特殊的二次曲面．
21
（一）椭球面
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
椭球面与
曲面及其方程、二次曲面
例5 证明以oz轴为旋转轴，yoz坐标面上的已知曲线
C:
f ( y, z)
x
0
0
为母线所产生的旋转曲面S的方程为：f ( x2 y2 , z) 0
证明： 旋转曲面如图
z
设M(x, y, z)为旋转曲面S上任意一点， (0, 0, z)
显然，M一定是由母线C上某点 M1(0, y1, z1)旋转得到， 即
C:
z
0
母线平行于 z 轴的柱面方程为：f ( x, y) 0
注意：方程 f ( x, y) 0 中缺z，表示z可以任意取值，所以 方程 f ( x, y) 0 表示母线平行于z轴的柱面。
一般地，在空间直角坐标下
f ( x, y) 0（缺z）， 表示母线∥？，准线为？的柱面。
f ( x, z) 0（缺y）， 表示母线∥？，准线为？的柱面。
高等数学（下）主讲杨益民
第三节 曲面及其方程
一、曲面方程的概念
一般地，若曲面S与三元方程 F(x,y,z)=0 满足： （1）曲面S上任一点的坐标都满足方程 F(x,y,z)=0 ； （2）不在曲面S上的点的坐标都不满足方程 F(x,y,z)=0 ；
则称：方程F(x,y,z)=0是曲面S的方程，而曲面S就叫做方程 F(x,y,z)=0的图像。
3. Ax By Cz D 0 表示空间的一张平面。
4. yoz平面上的母线
C:
f ( y, z) 0
x
0
绕oz轴旋转得旋转曲面
2020年6月15日星期一
12
高等数学（下）主讲杨益民
f 线方程
C:
f (x, z 0
y)
0
母线平行于
z
轴的
曲面方程的概念
3 2 5 2 17 即 ( x ) ( y ) , 2 2 2 它是曲线 关于x y 坐标面的投 影柱面 － 圆柱面的方程， 在 x y 坐标面上投影曲线是圆. 32 5 2 17 ( x ) ( y ) , 2 2 2 z 0 .
x x ( t ), y y ( t ), z z(t ) .
形如上的方程组称为曲线 的参数方程， t 为参数.
例 4 设质点在圆柱面 x 2 y 2 R 2上以均匀的 角速度 绕 z 轴旋转， 同时又以均匀的线速度 v 向平行于 z 轴的方向上升. 运动开始，即 t = 0 时， 质点在 P0(R, 0, 0) 处， 求质点的运动方程. z 解 设时间 t 时，质点的位置为 P( x, y, z )，由 P 作 x y 坐标面的垂线 垂足为 Q (x, y , 0) 则从 P0 到 P 所转 过的角 = t， 上升的高度 QP = vt ， 即质点的运动方程为：
表示的曲面称为圆锥面， 点 O 称为圆锥的顶点.
(2) y z 坐标面上的抛物线 z = ay2 绕 z 轴旋转所 得的曲面方程为
z a( x y ),
2 2
z
该曲面称为旋转抛物面. 其特征是: 当 a < 0 时，旋转 抛物面的开口向下. 一般地，
方程
x y z 2 2 a b
2
2
设空间曲线 的方程为
消去 z ，得
F1 ( x , y, z ) 0, F2 ( x, y, z ) 0,
G( x , y )= 0.
可知满足曲线 的方程一定满足方程 G( x, y) = 0 ， 而 G(x , y)= 0 是母线平行于 z 轴的柱面方程， 因此，柱面 G( x , y ) = 0 就是曲线 关于 x y 坐标 面的投影柱面. 而
曲面及其方程
，即
一、曲面方程的概念
整理得 这就是所求曲面上的点的坐标满足的方程，而不在该
曲面上的点的坐标不满足此方程，所以它就是所求曲面的 方程.
以上表明作为点的几何轨迹的曲面可以用它的点的坐 标间的方程来表示.反之，变量x,y和z间的方程通常表示一 个曲面.下面将以旋转曲面为例讨论问题：已知一曲面作为 点的几何轨迹时，如何建立该曲面的方程？以柱面和二次 曲面为例讨论问题：已知坐标x,y,z间的一个方程时，研究 这方程所表示的曲面的形状.
由于旋转轴为z轴，将方程(7-11)中的y改成 到圆锥面的方程
整理得 z2=a2(x2+y2),
其中a=cot α.
,便得
二、旋转曲面
事实上，以前学习过的椭圆、抛物线及双曲 线都是由圆锥面得来的.用一个平面截圆锥面，当截 面与其所有母线都相交，截线为椭圆；当截面与任 一条母线平行，截线为抛物线；当截面与轴线平行， 截线为双曲线的一支.
图 7-30
三、柱面
【例5】
试讨论方程
表示什么样的曲面？
解 方程
在平面解析几何中表示xOy
面上以原点O为中心的椭圆曲线.但在空间直角坐标系中,此
方程表示的应为一个曲面.
三、柱面
事实上，由于此方程不含竖坐标z,则对动点M(x,y,z)，无 论z取何值,只要其横坐标x和纵坐标y满足比方程,那么这些点 就在这曲面上.从而可知，过xOy面上的椭圆
求此曲线C绕z轴旋转一周所形成的旋转曲面（见图7-27转曲面
设M10,y1,z1为曲线C上的任一点，于是M1的坐标必满
足f(y1,z1)=0.当曲线C绕z轴旋转时，点M1绕z轴转到另一点
M（x,y,z），此时，点M与z轴的距离等于点M1到z轴的距
曲面及其方程 1
(1)
yoz面上的双曲线
y2 z2 b2 c2 1
分别绕 y 轴和 z 轴;
绕 y轴:
y2 b2
z2 x2 c2
1
旋转双叶双曲面
绕 z 轴:
x2 y2 z2 b2 c2 1
旋转单叶双曲面
(2) yoz面上的椭圆
y2 b2
z2 c2
1
分别绕
y 轴和 z 轴;
绕 y轴:
y2 b2
z2 x2 c2
第三节 曲面及其方程-1 一、曲面方程的概念 ◆曲面的实例：水桶的表面、地球的表面等等． ◆在空间解析几何中,曲面被看成 空间点的几何轨迹． ◆曲面方程的定义：
如果曲面S与三元方程F ( x, y, z) 0有如下关系 : (1)曲面S上的点的坐标 都满足方程; (2)不在曲面S上的点的坐标 都不满足方程,
展开 x2 y2 z2 Ax By Cz D 0; 反之, 任给 x2 y2 z2 Ax By Cz D 0 的图形 ?
( x A)2 ( y B)2 (z C )2 1 ( A2 B2 C 2 4D),
2
2
24
若 A2 B2 C 2 4D 0, 方程的图形是球面; 若 A2 B2 C 2 4D 0, 方程的图形是一个点; 若 A2 B2 C 2 4D 0, 方程的图形不存在.
例2 已知A(1,2,3), B(2,1,4),求线段AB的中垂面方程. 解 设M ( x, y, z)是中垂面上的任意一点, | MA || MB |,
x 12 y 22 z 32 x 22 y 12 z 42 ,
化简,得 : 2x 6 y 2z 7 0, 又因为不在曲面上的点的坐标不满足上述方程, 所以, 上述方程即为所求的中垂面方程.
曲面方程的基本概念与应用
曲面方程的基本概念与应用曲面是一个有趣且复杂的几何问题。
它有着广泛的应用，如在计算机图形学、物理学以及设计领域中。
为了描述曲面这一几何对象，我们需要一种特殊的方程形式——曲面方程。
一、曲面方程的基本定义曲面方程是指用数学方程或者几何公式表示曲面的方程式。
它可以描述平面曲线、球面、锥面、圆柱面和双曲面等多种类型的曲面。
通常情况下，曲面方程可以写成如下形式：F(x, y, z) = 0其中，F是一个函数，x, y和z是变量。
这个方程表示的是一个空间三维曲面，其中x, y和z分别代表着曲面上任意一点的三个坐标。
二、曲面方程的应用在现代科学和技术中，曲面方程有着广泛的应用。
下面就列举几个例子：1. 计算机图形学曲面方程是计算机图形学中必不可少的一环。
通过曲面方程描述三维空间中的曲面，可以实现计算机图像的建模、动画制作、虚拟现实和游戏开发等多种功能。
2. 物理学曲面方程在物理学中的应用也十分广泛。
例如，通过叠加不同曲面方程，可以得到一个连续的曲面，用来描述物体表面的形状。
同时，利用曲面方程可以计算物体的体积和表面积等相关参数。
3. 设计领域曲面方程在汽车设计、建筑设计和造船等领域中也有着重要的应用。
通过设计曲面方程，可以实现产品的外观形状优化，提高产品的美观度和性能。
三、曲面方程的具体实现在实际应用中，我们需要利用不同的曲面方程来描述各种类型的曲面。
以下是几个常见的曲面方程：1. 平面曲线方程平面曲线方程描述的是两维空间中的曲线。
常见的平面曲线方程包括直线方程、圆方程和椭圆方程等。
2. 球面方程球面是三维空间中最简单的曲面之一，它在三个方向上的半径相等。
球面方程可以用来描述球面的形状和位置，通常形式如下：(x-a)²+(y-b)²+(z-c)²=r²其中，(a,b,c)代表球心坐标，r代表半径长度。
3. 双曲面方程双曲面是一种类似于抛物面和椭圆面的曲面。
双曲面方程表示的是一个双曲面，通常形式如下：(a²/b²)x²-(c²/b²)y²+z²=1其中，a、b和c是双曲面的参数，控制着双曲面的形状和性质。
第3节曲面及其方程
一般地 :
F ( x , y ) = 0, F ( y , z ) = 0, F ( x , z ) = 0
在空间都表示一个柱面 .
上面方程中缺少哪个变 量, 就 表示此柱面与哪个坐标 轴平行 .
19
四、二次曲面
曲面方程 :
F ( x, y, z ) = 0
如x + ( y − 1) + z = 1
y
d = x + y =| y1 |
将 z = z1 , y1 = ± x 2 + y 2 代入
F( y1, z1) = 0
9
将 z = z1 , y1 = ± x + y
2
2
得方程 F ±
所以
x + y , z = 0, F ( y , z ) = 0 绕 z 轴旋转曲面方程 旋转曲面方程.
2 2
( 2) a = b = c ,
x2 y2 z2 1 球面 2 + 2 + 2 = a a a
方程可写为 x 2 + y 2 + z 2 = a 2 .
24
（二）抛物面
x2 y2 + = z （ p 与 q 同号） 同号） 2 p 2q
椭圆抛物面 用截痕法讨论： 设 p > 0, q > 0 用截痕法讨论： （1）用坐标面 xoy ( z = 0) 与曲面相截 ） 截得一点， 截得一点，即坐标原点 O ( 0,0,0) 原点也叫椭圆抛物面的顶点 原点也叫椭圆抛物面的顶点. 顶点
2 2 2
二次曲面： 三元二次方程所表示的曲面称之． 二次曲面： 三元二次方程所表示的曲面称之．
相应地平面被称为一次曲面． 相应地平面被称为一次曲面． 一次曲面
大学高数空间解析几何2.
曲西方程；F （xj,z ）=O空同解祈/L 何一・曲面方程的概念定义：如果曲面s 与三元方程F (x,j,z) = O 满足:(1)曲面s 上任一点的坐标都满足方程F (xj^z) =O(2)不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程.二、平面及其方程例1设有点A (1,2,3)与B (2,-1,4),求与线段AB垂直平分的平面方程・所求平面就是与A和B等距离的动点的轨迹设平面上任一点为A/(x,j,z)AM\ = \MnI (X・ 1)2 + (y ・ 2)2 + (z - 3)2 = V(x-2y+6 + iy +(z-4)2化简得2x-6j + 2z-7 = 0 —所求平面方程Ax + By+ Cz + D = O平面的一般方程■特殊半廁XOYlfri z = 0YOZ 而x =()zox 而y=o适合下列条件的平面方程Ax + B\+Cz^D = 0仃什么特征？I.过原点0 = 02•平行于他标轴 3 •包含坐标轴平行于X4 = 0包含X4 = 0Q = 0v/? = o>^B = 0 D = 02C = 0zC = 0Q = ()4•平行于坐标平面平行于XOY面4=0 B=Q zox®4=0C=0YOZifii B = 0 C = 04例2作Z-2的图形.三、球面及其方程例3建立球心在点Mo (myo, z…)半径为R的球而的方程.设是球面上的任一点\M A M = RJ (X-Xo) 2 + Cv-几)'+ (z・zj 承(尤-X J+ (y - y 0 y+ (z - z J=j 11+ZH OXZ ——HA THP GWOZZ XHXZ(o n )吕舍sHJ+X•I \7 卜 乙——K \—/ 丟逗迂膜低丫OHd +Xz IJ+ wZ = JQ■宀b上半部例5求与原点O及M❶（2,3,4）的距离之比为1:2 点的全体所组成的曲面方程•解设M （兀jsz）是曲面上任一点根据题意有-=1恨俯惣恵月IMMJ 2J(X・2), + (y - 3)2 +(Z - 4), 2所求方程为卜+I卜0+1）并+寻」四•旋转曲面定义以一条平曲线纟翹平面上的一条直线旋黔一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴.旋转面的方程曲线C卩（”Z）=0lx = 0曲线C〔八”乙）二。
第3讲空间解析几何—曲面、曲线及其方程
第3讲 空间解析几何—曲面、曲线及其方程本节主要内容第三节 曲面及其方程1 曲面方程的概念2 旋转曲面3 柱 面 4二次曲面第四节 空间曲线及其方程1 空间曲线的一般方程2 空间曲线的参数方程3 空间曲线在坐标面上的投影讲解提纲：第七章 空间解析几何与向量代数第三节 曲面及其方程一、 曲面方程的概念空间曲面研究的两个基本问题是：1．已知曲面上的点所满足的几何条件，建立曲面的方程;2．已知曲面方程，研究曲面的几何形状.二、旋转曲面以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周形成的曲面叫做旋转曲面，旋转曲线和定直线分别叫做旋转曲面的母线和轴。
三、柱面平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L 形成的轨迹叫做柱面，定曲线C 叫做柱面的准线，动直线L 叫做柱面的母线。
四、二次曲面三元二次方程0),,(=z y x F 所表示的曲面称为二次曲面。
例题选讲：曲面方程的概念例1 建立球心在点),,(0000z y x M 、半径为R 的球面方程. 解：易得球面方程为2222000()()()x x y y z z R -+-+-=例2 求与原点O 及)4,3,2(0M 的距离之比为1:2的点的全体所组成的曲面方程. 解：易得曲面方程为22224116()(1)()339x y z +++++=。
例3 已知()1,2,3,A ()2,1,4,B - 求线段AB 的垂直平分面的方程.解：设点(,,)M x y z 为所求平面上的任一点，由 A M B M ==整理得26270x y z -+-=。
例4方程2222440x y z x y z ++-++=表示怎样的曲面？旋转曲面例5 将xOz 坐标面上的抛物线25z x =分别绕x 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程.解：易得旋转曲面的方程225y z x +=例6 直线L 绕另一条与L 相交的定直线旋转一周, 所得旋转曲面称为叫圆锥面. 两直线的交点称为圆锥面的顶点, 两直线的夹角α)20(πα<<称为圆锥面的半顶角. 试建立顶点在坐标原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为α的圆锥面方程解：在yoz 坐标平面上，直线L 的方程为 c o tz y α= 可得圆锥面的方程为2222()z x y α=+柱面例7 分别求母线平行于x 轴和y 轴，且通过曲线222222216x y z x y z ⎧++=⎨-+=⎩的柱面方程.解：母线平行于x 轴的柱面方程：22316y z -= 母线平行于y 轴的柱面方程：223216x z += 二次曲面.椭球面：1222222=++cz b y a x )0,0,0(>>>c b a抛物面椭圆抛物面 qy p x z 2222+= （同号与q p ）双曲抛物面 z qy p x =+-2222 ( p 与q 同号)双曲面单叶双曲面 1222222=-+c z b y a x )0,0,0(>>>c b a双叶双曲面 1222222-=-+c z b y a x )0,0,0(>>>c b a二次锥面 0222222=-+cz b y a x例8 由曲面,0,0,0===z y x 1,122=+=+z y y x 围成的空间区域(在第一卦限部分), 作它的简图.课堂练习 1.求直线11:121x y z L --==绕z 轴旋转所得到的旋转曲面的方程. 2.指出方程221x y -=及22z x =-所表示的曲面. 3 方程()()22234z x y =-+--的图形是怎样的?第四节 空间曲线及其方程一、 空间曲线的一般方程 ⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F二、空间曲线的参数方程 ⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x三、 空间曲线在坐标面上的投影⇒⎩⎨⎧==.0),,(,0),,(z y x G z y x F ⇒=0),(y x H ⎩⎨⎧==00),(z y x H例题选讲：空间曲线的一般方程例1方程组 221493x y y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩表示怎样的曲线?空间曲线的参数方程例2 若空间一点M 在圆柱面222a y x =+上以角速度ω绕z 轴旋转, 同时又以线速度v 沿平行于z 轴的正方向上升 (其中ω、v 是常数), 则点M 构成的图形叫做螺旋线. 试建立其参数方程.解：取时间t 为参数，在t=0时，动点位于x 轴上的一点(,0,0)A a 处。
第三节 曲面及其方程学习资料
M (x,y,z)的坐标也满足方程 x2 y2 R2 ,
沿曲线C, 平行于z轴的一切直线所形成的曲面上的点
的坐标都满足此方程
19
此曲面称为圆柱面.
z
M•
在空间, x2y2R2就是圆柱面方程.
•
C
因此,该方程的图形是以xOy面上圆为准线, x
OM1
• •
• •
y
•
母线平行于z轴的柱面.
L
20
z
第三节 曲面及其方程
z
一、曲面方程的概念
F(x, y,z) 0
S
曲面方程的定义
O
y
如果曲面S与三元方程 F (x ,y ,z) x0 有下述关系:
(1) 曲面S上任一点的坐标都满足方程;
(2) 不在曲面S上的点的坐标都不满足方程;
那么, 方 F (x 程 ,y ,z ) 0就叫做曲面S的方程,
而曲面S就叫做方程的图形.
13
圆锥面方程 zx2y2cot
即 z 2 a 2 (x 2 y 2 )( a co ) t
a1时, cot1
4
即 圆锥面方程 z2x2y2
(用得较多)
14
yOz面上直线方程为 yzcot
绕y轴旋转所得曲面方程及图形.
y x2z2cot
即 y 2 c2 o (x 2 t z2 )
绕 y轴 旋 转 ay22x2c2z21
旋 转
椭
绕 z轴 旋 转 x2a2y2cz22 1
球 面
(3) yO坐 z 标面上的抛y2物 2线 pz绕z轴.
x2y22pz 旋转抛物面
17
三、柱面 (cylindrical surface )
曲面方程
面上的直线x-y=0，所以它是过z轴的平面.
二、 母线平行于坐标轴的柱面方程
【例29】
讨论方程x2+y2=R2所表示的曲面. 解因为方程x2+y2=R2中不含变量z，与母线平行于z轴 的柱面方程F(x, y)=0的特征一致，且与xOy面的交线是圆， 所以该方程表示的曲面是圆柱面.
三、 旋转曲面方程
6x+10y－2z－9=0， 即为所求平面. 通过建立曲面方程的概念，我们就可以用代数的方法来研究空间几何 的一些问题.下面我们来建立在今后学习中常见的曲面方程.
二、 母线平行于坐标轴的柱面方程
定义5
平行于定直线L且沿定曲线C 移动的直线L′所形成的曲面称为柱 面，定曲线C称为柱面的准线，动 直线称为柱面的母线.
二、 母线平行于坐标轴的柱面方程
同理，在空间直角坐标系中，F(y,z)=0表示母线平行于x轴
的柱面方程；F(z,x)=0表示母线平行于y轴的柱面方程.
z轴，准线为xOy面上椭圆的
1 是母线平行于y轴、准线为zOx面上
双曲线的双曲柱面方程；z2=2y
x轴、准线为
yOz面上的抛物线的抛物柱面方程.
平面x-y=0也可看成母线平行于z轴的柱面，其准线是xOy
f(y,±x2+z2)=0. 类似地可以得到，在xOy(zOx)平面内的曲线绕x轴或y 轴(z轴或x轴)旋转而形成的旋转曲面方程，请读者自己把它 们写出来.
三、 旋转曲面方程
例如，(1)yOz平面上的直线z=ay(a>0)绕z轴旋转所成
的曲面称为圆锥面，其方程为
z2=a2(x2+y2).
(7-26)
(2)zOx平面上的抛物线z =ax2(a>0)绕z轴旋转所成的曲
第七章-3.-曲面方程
z
C
M1 (0, y1, z1 )
f ( y1, z1) = 0
当绕 z 轴旋转时, 该点转到 M(x, y, z) , 则有
M(x, y, z)
z = z1,
x + y = y1
2 2
o
y
故旋转曲面方程为
x
f ( ± x2 + y2 , z) = 0
当曲线 C 绕 y 轴旋转时,方程如何?
z
C : f ( y, z) = 0
=1
z = z1
同样 y = y1 ( y1 ≤ b ) 及 的截痕 也为椭圆. 椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.
椭球面与平面 z = z1 的交线为椭圆
x y + 2 =1 a2 b 2 2 2 2 (c z1 ) 2 (c z1 ) 2 c c z = z1 | z1 |< c
f (± x + y , z) = 0
2 2
柱面 如,曲面F(x, y) = 0表示母线平行 z 轴的柱面. 又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 .
2. 二次曲面 椭球面 抛物面:
三元二次方程
椭圆抛物面
双曲抛物面
x2 y2 + =z 2 p 2q 双曲面: 单叶双曲面 双叶双曲面 x2 y2 x2 y2 + 2 + 2 =1 = 1 2 2 a b a b 2 2 x y 椭圆锥面: + 2 = z2 a2 b
当 z1 变动时,这种圆 的中心都在 z 轴上.
x y + = z ( p 与 q 同号) 2 p 2q
双曲抛物面(马鞍面) 用截痕法讨论: 设 p > 0, q > 0 图形如下:
曲面方程总结
曲面方程总结一、曲面方程的基本概念曲面是三维空间中的一个二维曲线在第三个维度上的延伸，可以被表示为一种方程形式。
曲面方程描述了曲面上所有点的性质和关系，是数学中重要的工具之一。
二、曲面方程的分类根据曲面的性质和方程的形式，我们可以将曲面方程分为以下几类：2.1 隐式曲面方程隐式曲面方程是最基本的曲面方程形式，可以用一个等式来表示。
例如，一个球体的隐式曲面方程可以表示为：x^2 + y^2 + z^2 - r^2 = 0其中，x、y、z是三维空间中的坐标变量，r是球体的半径。
2.2 参数曲面方程参数曲面方程使用参数表示曲线上的点的位置。
例如，一个圆柱体的参数曲面方程可以表示为：x = r * cos(theta)y = r * sin(theta)z = z其中，theta是参数，r是圆柱体的半径，z是高度。
2.3 二次曲面方程二次曲面方程是指由二次多项式定义的曲面方程。
常见的二次曲面包括球面、椭球面和双曲面等。
例如，一个椭球面的二次曲面方程可以表示为：Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0其中，A、B、C、D、E、F、G、H、I、J是参数。
三、曲面方程的应用曲面方程在数学和科学中有着广泛的应用，以下是一些常见的应用领域：3.1 几何学曲面方程在几何学中起着重要的作用，可以描述各种形状的曲面，如球体、圆柱体、圆锥体等。
通过分析曲面方程，可以研究曲面的性质，如曲率、法向量等。
3.2 物理学曲面方程在物理学中有着广泛的应用，可以描述电磁场、流体流动、声波传播等现象。
通过求解曲面方程，可以得到物理系统的解析解，进而分析系统的行为和性质。
3.3 计算机图形学曲面方程在计算机图形学中被广泛应用于建模和渲染。
通过定义曲面方程，可以描述并生成各种复杂的三维物体，如人物角色、场景等。
曲面方程的求解和优化也是计算机图形学中的重要研究内容之一。
第四节 曲面及其方程
2
z1 )
2
y
b 2 (c 2 c2
2
z12 )
1
x
a
(3) 当 a＝b 时为旋转椭球面; 当a＝b＝c 时为球面.
上页 下页 返回 结束
3 抛物面
x2 y2 2 2z (1) 椭圆抛物面 2 p q
z
标准方程
截痕:
用z = a截曲面 椭圆
用y = b截曲面
抛物线 用x = c截曲面
1
双叶双曲面
x2 y2 2 2 a b
1
• 柱面:
x2 y2 2 1 2 a b
返回
结束
3. 两条相交直线
z2 y2 2 2 = 0 b a x = 0
z
绕 z 轴旋转一周. 得 圆锥面
z x y 0 2 2 a b
2 2 2
o
y
当a = b = 1时,
x
圆锥面为
z x2 y2 .
上页 下页 返回 结束
y 2 az 绕 z 轴旋转一周, 得 4. 抛物线 x0 z 旋转抛物面 x 2 y 2 az
上页 下页 返回 结束
例9 指出下列方程的图形: 方 程
x5
x y 9
2 2
平面解析几何中
空间解析几何中
平行于 y 轴的直线 平行于 yOz 面的平面
圆心在(0,0) 半径为 3 的圆 斜率为1的直线 以 z 轴为中心轴的 圆柱面 平行于 z 轴的平面
y x 1
上页
下页
返回
结束
四、二次曲面
x2 y2 2 z 2 p q
z
截痕: 用z = a截曲面
曲面与空间曲面的总结
曲面与空间曲线的总结椭圆柱面；12222=+yx 122=-y x曲面与空间曲线一.曲面及其方程：1.曲面方程的一般概念： 定义：若曲面上的点的坐标(x,y,z)都满足方程F(x,y,z)=0，而满足此方程的点都在曲面上，则称此方程为 该曲面的方程，而曲面称为此方程的‘图形’。
例1：求与A(2,3,1)和B(4,5,6)等距离的点的运动规迹。
解： 设M(x,y,z)为动点的坐标，动点应满足的条件是 |AM|=|BM|由距离公式得此即所求点的规迹方程，为一平面方程。
2.坐标面及与坐标面平行的平面方程： ①坐标平面xOy 的方程：z=0②过点（a,b,c)且与xOy 面平行的平面方程：z=c③坐标面yOz 、坐标面zOx 以及过（a,b,c)点且分别与之平行的平面方程：x=0; y=0; x=a; y=b 3. 球面方程：①球面的标准方程：以M0(x0,y0,z0)为球心，R 为半径 的球面方程为(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2 ②球面的一般方程：x2+y2+z2+Ax+By+Cz+D=0球面方程的特点：平方项系数相同；没有交叉项。
例2：求x2+y2+z2+2x-2y-2=0表示的曲面 解：整理得： (x+1)2+(y-1)2+z2=22故此为一个球心在（-1,1,0)，半径为2的球。
4.母线平行于坐标轴的柱面方程：一般我们将动直线l 沿定曲线c 平行移动所形成的轨迹 称为柱面。
其中直线l 称为柱面的母线，定曲线c 称为柱面 的准线。
本章中我们只研究母线平行于坐标轴的柱面方程。
此时有以下结论：若柱面的母线平行于z 轴，准线c 是xOy 面上的一条曲线，其方程为F(x,y)=0，则该柱面的方程为F(x,y)=0; 同理，G(x,z)=0,H(y,z)=0在空间中分别表示母线平行于y 轴和x 轴的柱面。
分析：母线平行于坐标轴的柱面的特点为：平行于某轴，则在其方程中无此坐标项。
解析几何中的曲面方程与参数方程
解析几何中的曲面方程与参数方程在解析几何中，曲面是一个重要的概念。
曲面可以通过方程或参数方程来描述。
本文将详细解析曲面方程与参数方程的概念、特点和应用。
一、曲面方程曲面方程是通过方程来表示曲面的方法。
一般来说，曲面可以用二元方程或者三元方程来表示。
下面我们将分别介绍这两种情况。
1. 二元方程二元方程是指含有两个变量的方程。
在解析几何中，我们通常用二元方程来表示二次曲面。
常见的二次曲面方程有球面方程、圆柱面方程、抛物面方程等。
以球面方程为例，球面方程可以表示为：(x-a)² + (y-b)² + (z-c)² = r²，其中(a, b,c)是球心坐标，r是球的半径。
2. 三元方程三元方程是指含有三个变量的方程。
在解析几何中，我们通常用三元方程来表示高次曲面。
常见的高次曲面方程有椭球面方程、双曲面方程、二次曲面方程等。
以椭球面方程为例，椭球面方程可以表示为：(x/a)² + (y/b)² + (z/c)² = 1，其中a、b、c分别代表x、y、z轴上的半轴长。
二、参数方程参数方程是通过参数来表示曲面上的点的方法。
参数方程可以将曲面上的点的坐标表示为参数的函数形式。
参数方程的形式通常为：x = f(u, v)，y = g(u, v)，z =h(u, v)。
参数方程的优点是可以直观地描述曲面的形状。
通过改变参数的取值范围，可以得到曲面上不同的点。
参数方程常用于描述曲面的形状、求曲面的切向量和法向量等。
三、曲面方程与参数方程的关系曲面方程与参数方程是等价的，可以相互转化。
通过曲面方程，可以得到参数方程，反之亦然。
转化的过程需要根据具体情况进行代数运算。
例如，以球面方程为例，通过参数方程可以得到球面方程。
假设球面的参数方程为：x = a + rcosθsinφ，y = b + rsinθsinφ，z = c + rcosφ，其中(a, b, c)是球心坐标，r是球的半径，θ和φ是参数。
曲面及其方程
l o o x M(x, y, 0) y
xoy面上的圆 x2 + y2 = R2 叫做柱面的准线. 平行于 z 轴的直线 L 叫做柱面的母线.
(1) 定义: 平行于定直线并沿定曲线C移动 直线 L 形成的轨迹叫做柱面. 定曲线C叫做柱面的准线. 动直线 L 叫做柱面的母线.
例2: 方程 y2 =2x 表示.母线平行于 z 轴的柱面, 它的准线是xoy面上的抛物线y2 =2x,该柱 面叫做抛物柱面. z y
y2 =2x
o
x
例2: 方程 x−y = 0表示. 母线平行于 z 轴的柱面, 它的准线是xoy面上 的直线x−y = 0, 所以它是过z轴的平面.
z
o x
y x−y = 0
(2) 母线平行于坐标轴的柱面方程. 1° 方程F (x, y) =0 表示: 母线平行于 z 轴的柱面, 准线为xoy面上的曲线 C: F (x, y) = 0 . 2° 方程F (x, z) =0 表示: 母线平行于 y 轴的柱面, 准线为xoz面上的曲线 C: F (x, z) = 0 . 3° 方程F (y, z) =0 表示: 母线平行于 x 轴的柱面, 准线为yoz面上的曲线 C: F (y, z) = 0 .
y
那末, 方程F (x, y, z) =0叫做曲面S的方程, 而曲面S 叫做方程F (x, y, z) =0的图形.
二、几种常见曲面的方程. 几种常见曲面的方程.
M
1. 球面 考虑球心为M0(x0, y0, z0), 半径为R的球面. 对于球面上任 一点M(x, y, z), 都有|M M0|2 =R2. 即: (x− x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 = R2 称方程(1)为球面的标准方程. 特别: 当球心在原点O(0, 0, 0)时, 球面方程: x2 + y2 + z2 =43; y 2 )
曲面方程的定义及其应用
曲面方程的定义及其应用曲面方程是数学中的一个重要概念，用于描述三维空间中的曲面，比如球面、圆柱面、抛物面等。
本文将介绍曲面方程的定义、表示方法及其在工程学、物理学等领域中的应用。
一、曲面方程的定义曲面方程是三元函数x = f(u,v), y = g(u,v), z = h(u,v)关于u和v的方程组，其中x，y，z是曲面上的点的坐标。
通常情况下，曲面方程是用隐式函数的形式表示的，即F(x,y,z)=0，其中F是由x,y,z的函数构成的方程。
二、表示曲面方程的方法1. 参数方程曲面方程最常见的表示方法是使用参数方程。
在参数方程中，每个点都由两个参数组成。
比如，球面的参数方程是：x = r sinθ cosφy = r sinθ sinφz = r cosθ其中r是球面的半径，θ是与x轴的夹角，φ是与y轴的夹角。
通过调整θ和φ，可以得到球面的任何一个点的坐标。
2. 隐式方程隐式方程是用一个等式描述曲面的方程。
通常情况下，隐式方程不是显式地表示出曲面的每个点的坐标，而是通过寻找能够满足该方程的所有点来定义曲面。
比如，球面的隐式方程是：x^2 + y^2 + z^2 = r^2该方程表示了所以与球心距离为r的点构成的球面。
三、曲面方程的应用曲面方程在工程学、物理学、计算机图形学等领域中有着广泛的应用。
1. 工程学在工程学中，曲面方程被广泛应用于计算机辅助设计（CAD）系统。
CAD系统使用曲面方程来描述复杂的产品造型，帮助工程师们更加精确地设计产品。
2. 物理学在物理学中，曲面方程被用于描述电场、磁场、光场等等。
比如抛物面就是一种典型的电磁场的曲面形状。
3. 计算机图形学在计算机图形学中，曲面方程被广泛应用于计算机三维图形的构建。
通过曲面方程，设计师们可以更加精确和快速地建立三维模型。
总之，曲面方程是一种重要的数学概念，它在工程学、物理学、计算机图形学等领域有着广泛的应用。
学习曲面方程可以帮助我们更好地理解三维空间中的对象，同时也可以帮助我们更加高效地解决实际问题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
螺旋线在三个坐标平面上的投影（用直角坐标方程表示）？ x a cos t y a s i nt
z vt 2 2 2 x y a （1）关于 xOy面的投影柱面 ： 2 2 2 x y a 则在 xOy面上的投影为：
（2）关于 yOz 面的投影柱面： y a sin z v y a sin v z 则在 yOz 面上的投影为：
2 x 6 y 2z 7 0.
B
为所求平面上的点的坐标所满足的方程。
3
例3 方程 解: 配方得
x 2 y 2 z 2 2 x 4 y 0 表示怎样的曲面?
x 1
2
y 2 z 2 5.
2
原方程表示球心在点 M 0 1,2 ,0, 半径为 R 5 的球面. 一般地，设有三元二次方程
(3)
例2 已知 A1,2,3, B2,1,4, 求线段AB的垂直平分面的方程.
点 解：设 M ( x, y, z )是垂直平分面上任意一 MA MB ,
A
x 1
2
y 2 z 3
2
2
M
x 22 y 22 z 42
x
y
这就是圆锥面的方程。
7
例5
将
x x2 z2 O 2 1, 2 a c 分别绕 x 轴和 z 轴一周, 求所生成的旋转曲面的方程.
2 2 2 x y z 解： 绕x轴 : 1. 2 2 a c x2 y2 z2 绕z轴 : 2 1. 2 a c
xoz面上的双曲线
z
z0
2v
z vt
x
A
t
o
M x, y, z
y
M ' x, y,0
当t 2 时， z v
2
2b 叫做螺旋线的螺距。
P21
18
三.空间曲线在坐标面上的投影 设空间曲线 C 的一般方程为
F x , y , z 0 G x, y, z 0
方程 H y , z 0 , 在空间直角坐标系中表示：母线平行于
13
第六节 空间曲线及其方程
一.空间曲线的一般式方程 空间曲线可以看作两个曲面的交线.
z
S1 C S2
O
S1 : F x , y, z 0, S 2 : G x, y, z 0.
y
F x, y, z 0, C : G x, y, z 0.
定义: 平行于定直线并沿定曲线C平行移动的直线 l 形成的轨迹 叫做柱面， 定曲线 C 叫做柱面的准线， 动直线叫做柱面的母线。
z
y
z
O y2 2x
o
x
x
y
x y0
y 2 2 x 表示母线平行于
z 轴, 准线是 xOy面上的抛物线 y 2 2 x 的抛物柱面。
x y 0 表示母线平行于
19
方程（2）表示一个母线平行于 z 轴的柱面， 它必定包含
方程（2）即
z
H x , y 0
所表示的柱面即空间曲线 C 关于 xOy 面的投影柱面。
C O
y
而方程
H x , y 0 z0
x
所表示的曲线为空间曲线 C 在 xOy 面上的投影。 问题：空间曲线 C 关于 yOz、zOx 面的投影柱面? 空间曲线 C 在 yOz、zOx面上的投影?
绕 z 轴旋转所成的旋转曲面的方程为
绕 y 轴旋转所成的旋转曲面的方程为
2 2 2 2 z a x y , 5.锥面的方程
a cot
x y , z 0 f y , x z 0
6.柱面方程
x 轴的柱面, 其准线是 yOz 面上的曲线 C : H y, z 0.
则方程(1)就叫做曲面S的方程,而曲面S就叫做方程(1)的图形。
1
在空间解析几何中关于曲面的研究,有下列两个基本问题: (1) 已知曲面点的几何轨迹，求曲面的方程； (2) 已知曲面的方程，求这方程所表示的曲面的形状。 1、球面方程
例1 建立球心在 M 0 x0 , y0 , z 0 , 半径为 R 的球面 S 的方程.
z
过 M 点做 z 轴的垂面，与 z 轴交于P（0,0,z） 点，交曲线 C 于M1（0, y1 , z）,显然
PM PM 1
P
M 1
0 , y , z
1
M （x,y,z)
C
y
PM x y , PM1 y1 ,
2 2
o
x
y1 x 2 y 2 .
因为，M1在曲线C上，其坐标应满足
z
R
2
M x , y , z
解： M x, y, z S M 0 M R
M0 M
x x0 y y0 z z 0
2 2
,
M 0 x0 , y0 , z0
或
x x0 2 y y0 2 z z0 2
第五节
一.曲面方程的概念
曲面及其方程
z
F x , y , z 0
S
y
平面曲线、 空间曲面是点的几何轨迹。 曲面 S 与三元方程
F x , y , z 0
有下述关系：
(1)
x
O
（纯粹性）
(1) 曲面S上任一点的坐标都满足方程(1);
(2) 不在曲面S上的点的坐标都不满足方程(1), （完备性）
o
x
2
y
a 的上半球面；
a 半径为 . 2
第二个方程表示母线平行于 a z 轴的圆柱面， 它的准线是 xOy 面上的圆， 圆心在点 ,0 ,
方程组就表示上述半球面与圆柱面的交线。
16
二. 空间曲线的参数方程
x x t y y t z z t
表示母线平行于 y 轴的柱面, 其准线是 xOz 面上的直线，
它是一平面.
o
x
y
所以曲线C是圆柱面与平面的交线。
15
例2
方程组
z
z a2 x2 y2 2 2 a a 2 x y 2 2
表示怎样的曲线？ 解：方程组中第一个方程表示球心 在坐标原点，半径为
2 2
R,
o
x
（2）
y
x x0 y y0 z z0
2
R2
2
方程(2) 就是以 M 0 x0 , y0 , z0 球心 , 半径为 R 的球面方程. 若球心在原点，则 x0 y0 z 0 0, 从而球面的方程为
x 2 y 2 z 2 R2 .
C : x z 0.
z
xz 0
o
x
y
12
小 结：
1.曲面的概念 2.球面方程
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R 2
作业:习题7-5 作业纸P50 下次交P49-50
f
2 2
2 2
3.平面方程 Ax By Cz D 0 4.旋转曲面 设 C : f y, z 0 yoz面
绕 x轴旋转所成的旋转曲面的方程为 绕 z 轴旋转所成的旋转曲面的方程为
f x , y 2 z 2 0 x2 y2
例4
直线L 绕另一条与L相交的直线旋转一周,所得旋转曲
面叫圆锥面， 两直线的交点叫做圆锥面的顶点， 两直线的夹角 0 叫做圆锥面的半顶角。试建立顶点在坐标原点 O,
平行移动而成, 这曲面叫做圆柱面.
xOy面上的圆 x 2 y 2 R 2
叫做它的准线，平行于 z 轴的直线 l 叫做它的母线。 其实在 yOz 面内的一条直线: y R, 绕z轴旋转而成的旋转
曲面就是该圆柱面,则圆柱面方程为:
x 2 y 2 R. 即
P11
9
x 2 y 2 R2 .
(1)
x
方程组(1)叫做空间曲线 C 的一般方程.
14
例1
方程组
2 2
x2 y2 1 C : 表示怎样的曲线? 2 x 3z 6
解：S1 : x y 1 表示母线平行于 z 轴的圆柱面, 其准线是 xOy 面上的圆 , 圆心 在原点, 半径为1.
z
C
S 2 : 2 x 3z 6
f y , z 0 即： f
x2 y2 , z
0
(4)
5
就是所求旋转曲面的方程。
设 C : f y, z 0 yoz面 绕 z 轴旋转所成的旋转曲面的方程为 绕 y 轴旋转所成的旋转曲面的方程为 设 C : f x, y 0 xoy
f
z
（1）
投影柱面
C
O
y
消去变量 z 得方程
x
（2）
投影曲线
H x , y 0
曲线 C , 以曲线 C 为准线、母线平行于 z 轴的柱面叫做曲线 C 关于 xOy 面的投影柱面。 投影柱面与 xOy 面的交线叫做空间曲线 C 在 xOy 面上的 投影曲线，或简称投影。 注： 曲线 C 和其投影都在其投影柱面内。
y
z
y
这两种曲面都叫做旋转双曲面.
z
y
O
x
O
x
8
三.柱面
2 2 2 例6 方程 x y R 表示怎样的曲面?
z
O