十四届四年级中环杯决赛题(含详解)
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决 成 1，赛 功 3 ； 只能是 决 7 ， 成 6 ， 赛 5 ， 功 2 ； 决 赛 赛 决 成 功 功 成 1 3 3 1 强 力 中 环 杯 难 2 0 1 4 7 5 5 7 6 2 2 6 1 3 3 1 3 0 1 9 8 4 2 0 1 4
故“ 中环杯棒 ”代表的四位数的最大是 1984 。
第十四届“中环杯”小学生思维能力训练活动 四年级决赛
城隍喵
【第 9 题】 一个甜品店出售三种盒装巧克力，里面各放有 6 、 9 、 20 粒巧克力。甜品店附近有一所学校，里面的学生很 喜欢吃巧克力，所以他们经常去甜品店买巧克力。甜品店老板承诺：如果一次性进来的学生人数能用这三种 盒装巧克力数量组成的算式表示的话，学生必须自己掏钱买巧克力（比如说一次性进来 38 个学生，有 38 2 9 20 ，所以可以用一盒 20 粒装的巧克力与两盒 9 粒装的巧克力来表示学生人数） ；如果一次性进来 的学生人数不能用这三种盒装巧克力数量组成的算式表示的话，学生可以免费吃巧克力（比如说一次性进来 4 个学生，显然不能表示） 。那么，最多一次性去甜品店 ________ 个学生，能享受免费的巧克力。
第十四届“中环杯”小学生思维能力训练活动 四年级决赛
城隍喵
【第 6 题】 如图，三棱柱的六个顶点处放了六个大小均互不相同的小球（图中用相同大小的点表示了，但是它们真实的 大小都不一样） 。现在用三种颜色对这六个小球进行染色，要求相邻的小球染成不同的颜色（相邻是指有一 条棱相连的两个小球） ，则不同的染色方法有 ________ 种。
A
B K
D
G H
C
E
【分析与解】
F
A
B K
D
G H J
C
E
F
联结 AH ；过点 K 作 KJ HC ，垂足为 J ； 因为在正方形 EDHF 中， EDH 90 ， DE DH ；所以 △DEH 为等腰直角三角形；所以 DHE 45 ； 因为 DHE CHK ；所以 CHK 45 ； 因为 EK BC ；所以 CKH 90 ； 因为 CKH CHK C 180 ；所以 C 45 ； 因为在 △DAH 中， DAH 90 ， AD DE DH ；所以 △DAH 为等腰直角三角形；所以 AHD 45 ； 所以 AHD C ；所以 AH // BC ； 因为直角梯形 ABCD 中， AB // DC ；所以四边形 ABCH 是平行四边形；所以 AB HC 4 ； 因为 KJ HC ；所以 KJC 90 ； 因为 KJC C CKJ 180 ；所以 CKJ 45 ；所以 CKJ C ；所以 KJ CJ ； 同理， KJ HJ ； 所以 HC HJ CJ 2 KJ ；所以 KJ HC 2 4 2 2 ； 所以 S△CHK HC KJ 2 4 2 2 4 。
75 4.7 15.9 25 75 4.7 5.3 3 25 75 4.7 5.3 75 75 4.7 5.3 75 10 750
【第 2 题】 各位数码之和（例如 231 的数码和为 2 3 1 6 ）等于 7 的所有质数中，比 10 大的最小质数是 ________ 。 【分析与解】 数论，质数与合数。 （方法一） 比 10 大的质数有 11 ， 13 ， 17 ， 19 ， 23 ， 29 ， 31 ， 37 ， 41 ， 43 ，…… 显然，各位数码之和等于 7 的所有质数中，比 10 大的最小质数是 43 。 （方法二） 考虑两位数： 若十位数字是 1 ，则个位数字是 7 1 6 ， 16 不是质数； 若十位数字是 2 ，则个位数字是 7 2 5 ， 25 不是质数； 若十位数字是 3 ，则个位数字是 7 3 4 ， 34 不是质数； 若十位数字是 4 ，则个位数字是 7 4 3 ， 43 是质数； 故各位数码之和等于 7 的所有质数中，比 10 大的最小质数是 43 。
第十四届“中环杯”小学生思维能力训练活动 四年级决赛
城隍喵
【第 3 题】 箱子里有红球 13 个、黄球 10 个、蓝球 2 个，从中摸出 ________ 个球，才能保证至少有 5 个同色的球。 【分析与解】 最不利原则。 由最不利原则，当红球摸 4 个、黄球摸 4 个、蓝球摸 2 个，最后再摸 1 个，就能保证至少有 5 个同色的球； 即从中摸出 4 4 2 1 11 个球，才能保证至少有 5 个同色的球。 【第 4 题】 现在有三个自然数 a 、 b 、 c ，组成一个三位数 abc ，这个三位数可以用来表示 2014 年中的日期，这样的表 示方法有两种： ⑴ a 用来表示月， bc 用来表示日； ⑵ ab 用来表示月， c 用来表示日。 比如： 202 可以表示 2 月 2 日， 121 既可以表示 1 月 21 日，也可以表示 12 月 1 日。则可用来表示 2014 年的日 期的三位数有 ________ 个。 【分析与解】 计数。 1 ~ 9 月的所有日期都可以用三位数表示； 10 ~ 12 月的日期要和 1 月份表示日期的三位数重合，要么是四个数字； 2014 年是平年， 1 ~ 9 月一共有 365 31 30 31 273 天； 故可用来表示 2014 年的日期的三位数有 273 个。
用 6 、 9 和 20 不能表示的最大正整数是 20 3 1 3 43 ； 即最多一次性去甜品店 43 个学生，能享受免费的巧克力。 （方法二）
6 和 20 都是 6, 20 2 的倍数； 6 2 3 ， 20 2 10 ； 3 10 3 10 17 ； 用 3 和 10 不能表示的最大正整数是 17 ； 用 6 和 20 不能表示的最大的 2 的倍数是 2 17 34 ； 9 2 41 ；
【分析与解】 数论，数的拆分。 （方法一）
6 和 9 都是 6,9 3 的倍数； 6 3 2 ，9 3 3； 23 2 3 1； 用 2 和 3 不能表示的最大正整数是 1 ； 用 6 和 9 不能表示的最大的 3 的倍数是 3 1 3 ； 20 3 6 2 ；
【分析与解】 计数。
C
A
B
F
D
E
如图所示，在用 A ~ F 分别表示这 6 个小球； 先考虑 A 、 B 、 C 三球： A 有 3 种颜色可选； B 和 A 相邻，颜色不能相同，有 2 种颜色可选； C 和 A 、 B 都相邻，颜色不能相同，有 1 种颜色可选； 故 A 、 B 、 C 三球有 3 2 1 6 种不同的染色方法有； D 、 E 、 F 三球染色的方法有 2 种： ① D 与 B 颜色相同， F 与 A 颜色相同， E 与 C 颜色相同； ② D 与 C 颜色相同， E 与 A 颜色相同， F 与 C 颜色相同； 故不同的染色方法有 6 2 12 种。
B 5
5 5 A
【分析与解】 沿着方格线从 A 走到 B ，只能往右或往上走，要走 5 4 9 步； 将走过的所有线段上标有的数字全部乘起来，最后结果的末尾恰好只有两个零； 则粗线条标有 5 的线段恰能经过 2 条。
B 5 G E 5 5 A C D F
C→D 1 E→F G→B 1
2 1
由标数法： C D 、 E F ， G B 分别有 2 条路径；
第十四届“中环杯”小学生思维能力训练活动 四年级决赛
城Fra Baidu bibliotek喵
【第 8 题】 图中的两个竖式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。那么， “ 中环杯棒 ”代表的
四位数的最大是 ________ 。
决 赛 赛 决 成 功 功 成 1 3 3 1 强 力 中 环 杯 难 2 0 1 4
【分析与解】 数字谜。 ⑴若 中环杯 201 ，则 强 0 ，但首位不能为 0 ； ⑵若 中环杯 198 ： ①当 难 7 时， 力 7 ， “力”和“难”相同，舍去； ②当 难 6 时， 力 8 ， “力”和“杯”相同，舍去； ③当 难 5 时， 力 9 ， “力”和“环”相同，舍去； ④当 难 4 时， 力 0 ， 强 3 ； 此时，还剩数字 2 、 5 、 6 、 7 ；
第十四届“中环杯”小学生思维能力训练活动 四年级决赛
2014 年 3 月 15 日 9 : 00 ~ 11: 00
得分： _____________ 注意：每小题前的“□”由阅卷人员填写，考生请勿填写。 一、填空题： （每小题 5 分，共 50 分） 【第 1 题】 计算： 75 4.7 15.9 25 ________ 。 【分析与解】 计算。
第十四届“中环杯”小学生思维能力训练活动 四年级决赛
城隍喵
【第 5 题】 如图， ABCD 是直角梯形， EDHF 是正方形。直角梯形的上底 AB 4 厘米，高 AD 3 厘米，正方形的边长 ED 3 厘米。联结 EH 并延长，交 BC 于 K 点，我们发现 EK 正好垂直于 BC ，则 △CHK 的面积为 ________ 平方厘米。
用 6 、 9 和 20 不能表示的最大正整数是 9 2 1 34 43 ； 即最多一次性去甜品店 43 个学生，能享受免费的巧克力。
第十四届“中环杯”小学生思维能力训练活动 四年级决赛
城隍喵
【第 10 题】 图中的方格表是由 20 个 1 1 的小正方形组成的，其中三根长度为 1 的粗线上标有数字 5 ，剩下的所有长度为 1 的线段上都标有数字 2 。现在要求沿着方格线从 A 走到 B ，只能往右或往上走。将走过的所有线段上标有的 数字全部乘起来，最后结果的末尾恰好只有两个零的路径有 ________ 条。
第十四届“中环杯”小学生思维能力训练活动 四年级决赛
城隍喵
【第 7 题】 有五个不同的数： 24 、 27 、 55 、 64 、 x ，这五个数的平均数是一个质数。如果将它们从小到大排成一排， 那么中间的那个数是 3 的倍数。所有符合要求的 x 的和为 ________ 。 【分析与解】 平均数，数论。 这五个数的和为 24 27 55 64 x 170 x ，是 5 的倍数； 故 x 是 5 的倍数。 这五这个数从小到大排列，中间的那个数是 3 的倍数； 中间数只可能是 27 或 x 。 ⑴若中间数是 27 ，则 x ≤ 27 ； 考虑不大于 27 的 5 的倍数： 0 、 5 、 10 、 15 、 20 、 25 ； 当 x 0 时， 170 0 5 34 不是质数； 当 x 5 时， 170 5 5 35 不是质数； 当 x 10 时， 170 10 5 36 不是质数； 当 x 15 时， 170 15 5 37 是质数； 当 x 20 时， 170 20 5 38 不是质数； 当 x 25 时， 170 25 5 39 不是质数； ⑵若中间数是 x ，则 27 ≤ x ≤ 55 的数； 考虑不小于 27 且不大于 55 的 3,5 15 的倍数： 30 、 45 ； 当 x 30 时， 170 30 5 40 不是质数； 当 x 45 时， 170 45 5 43 是质数； 综上所述， x 15 或 x 45 ； 所有符合要求的 x 的和为 15 45 60 。
故“ 中环杯棒 ”代表的四位数的最大是 1984 。
第十四届“中环杯”小学生思维能力训练活动 四年级决赛
城隍喵
【第 9 题】 一个甜品店出售三种盒装巧克力，里面各放有 6 、 9 、 20 粒巧克力。甜品店附近有一所学校，里面的学生很 喜欢吃巧克力，所以他们经常去甜品店买巧克力。甜品店老板承诺：如果一次性进来的学生人数能用这三种 盒装巧克力数量组成的算式表示的话，学生必须自己掏钱买巧克力（比如说一次性进来 38 个学生，有 38 2 9 20 ，所以可以用一盒 20 粒装的巧克力与两盒 9 粒装的巧克力来表示学生人数） ；如果一次性进来 的学生人数不能用这三种盒装巧克力数量组成的算式表示的话，学生可以免费吃巧克力（比如说一次性进来 4 个学生，显然不能表示） 。那么，最多一次性去甜品店 ________ 个学生，能享受免费的巧克力。
第十四届“中环杯”小学生思维能力训练活动 四年级决赛
城隍喵
【第 6 题】 如图，三棱柱的六个顶点处放了六个大小均互不相同的小球（图中用相同大小的点表示了，但是它们真实的 大小都不一样） 。现在用三种颜色对这六个小球进行染色，要求相邻的小球染成不同的颜色（相邻是指有一 条棱相连的两个小球） ，则不同的染色方法有 ________ 种。
A
B K
D
G H
C
E
【分析与解】
F
A
B K
D
G H J
C
E
F
联结 AH ；过点 K 作 KJ HC ，垂足为 J ； 因为在正方形 EDHF 中， EDH 90 ， DE DH ；所以 △DEH 为等腰直角三角形；所以 DHE 45 ； 因为 DHE CHK ；所以 CHK 45 ； 因为 EK BC ；所以 CKH 90 ； 因为 CKH CHK C 180 ；所以 C 45 ； 因为在 △DAH 中， DAH 90 ， AD DE DH ；所以 △DAH 为等腰直角三角形；所以 AHD 45 ； 所以 AHD C ；所以 AH // BC ； 因为直角梯形 ABCD 中， AB // DC ；所以四边形 ABCH 是平行四边形；所以 AB HC 4 ； 因为 KJ HC ；所以 KJC 90 ； 因为 KJC C CKJ 180 ；所以 CKJ 45 ；所以 CKJ C ；所以 KJ CJ ； 同理， KJ HJ ； 所以 HC HJ CJ 2 KJ ；所以 KJ HC 2 4 2 2 ； 所以 S△CHK HC KJ 2 4 2 2 4 。
75 4.7 15.9 25 75 4.7 5.3 3 25 75 4.7 5.3 75 75 4.7 5.3 75 10 750
【第 2 题】 各位数码之和（例如 231 的数码和为 2 3 1 6 ）等于 7 的所有质数中，比 10 大的最小质数是 ________ 。 【分析与解】 数论，质数与合数。 （方法一） 比 10 大的质数有 11 ， 13 ， 17 ， 19 ， 23 ， 29 ， 31 ， 37 ， 41 ， 43 ，…… 显然，各位数码之和等于 7 的所有质数中，比 10 大的最小质数是 43 。 （方法二） 考虑两位数： 若十位数字是 1 ，则个位数字是 7 1 6 ， 16 不是质数； 若十位数字是 2 ，则个位数字是 7 2 5 ， 25 不是质数； 若十位数字是 3 ，则个位数字是 7 3 4 ， 34 不是质数； 若十位数字是 4 ，则个位数字是 7 4 3 ， 43 是质数； 故各位数码之和等于 7 的所有质数中，比 10 大的最小质数是 43 。
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城隍喵
【第 3 题】 箱子里有红球 13 个、黄球 10 个、蓝球 2 个，从中摸出 ________ 个球，才能保证至少有 5 个同色的球。 【分析与解】 最不利原则。 由最不利原则，当红球摸 4 个、黄球摸 4 个、蓝球摸 2 个，最后再摸 1 个，就能保证至少有 5 个同色的球； 即从中摸出 4 4 2 1 11 个球，才能保证至少有 5 个同色的球。 【第 4 题】 现在有三个自然数 a 、 b 、 c ，组成一个三位数 abc ，这个三位数可以用来表示 2014 年中的日期，这样的表 示方法有两种： ⑴ a 用来表示月， bc 用来表示日； ⑵ ab 用来表示月， c 用来表示日。 比如： 202 可以表示 2 月 2 日， 121 既可以表示 1 月 21 日，也可以表示 12 月 1 日。则可用来表示 2014 年的日 期的三位数有 ________ 个。 【分析与解】 计数。 1 ~ 9 月的所有日期都可以用三位数表示； 10 ~ 12 月的日期要和 1 月份表示日期的三位数重合，要么是四个数字； 2014 年是平年， 1 ~ 9 月一共有 365 31 30 31 273 天； 故可用来表示 2014 年的日期的三位数有 273 个。
用 6 、 9 和 20 不能表示的最大正整数是 20 3 1 3 43 ； 即最多一次性去甜品店 43 个学生，能享受免费的巧克力。 （方法二）
6 和 20 都是 6, 20 2 的倍数； 6 2 3 ， 20 2 10 ； 3 10 3 10 17 ； 用 3 和 10 不能表示的最大正整数是 17 ； 用 6 和 20 不能表示的最大的 2 的倍数是 2 17 34 ； 9 2 41 ；
【分析与解】 数论，数的拆分。 （方法一）
6 和 9 都是 6,9 3 的倍数； 6 3 2 ，9 3 3； 23 2 3 1； 用 2 和 3 不能表示的最大正整数是 1 ； 用 6 和 9 不能表示的最大的 3 的倍数是 3 1 3 ； 20 3 6 2 ；
【分析与解】 计数。
C
A
B
F
D
E
如图所示，在用 A ~ F 分别表示这 6 个小球； 先考虑 A 、 B 、 C 三球： A 有 3 种颜色可选； B 和 A 相邻，颜色不能相同，有 2 种颜色可选； C 和 A 、 B 都相邻，颜色不能相同，有 1 种颜色可选； 故 A 、 B 、 C 三球有 3 2 1 6 种不同的染色方法有； D 、 E 、 F 三球染色的方法有 2 种： ① D 与 B 颜色相同， F 与 A 颜色相同， E 与 C 颜色相同； ② D 与 C 颜色相同， E 与 A 颜色相同， F 与 C 颜色相同； 故不同的染色方法有 6 2 12 种。
B 5
5 5 A
【分析与解】 沿着方格线从 A 走到 B ，只能往右或往上走，要走 5 4 9 步； 将走过的所有线段上标有的数字全部乘起来，最后结果的末尾恰好只有两个零； 则粗线条标有 5 的线段恰能经过 2 条。
B 5 G E 5 5 A C D F
C→D 1 E→F G→B 1
2 1
由标数法： C D 、 E F ， G B 分别有 2 条路径；
第十四届“中环杯”小学生思维能力训练活动 四年级决赛
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【第 8 题】 图中的两个竖式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。那么， “ 中环杯棒 ”代表的
四位数的最大是 ________ 。
决 赛 赛 决 成 功 功 成 1 3 3 1 强 力 中 环 杯 难 2 0 1 4
【分析与解】 数字谜。 ⑴若 中环杯 201 ，则 强 0 ，但首位不能为 0 ； ⑵若 中环杯 198 ： ①当 难 7 时， 力 7 ， “力”和“难”相同，舍去； ②当 难 6 时， 力 8 ， “力”和“杯”相同，舍去； ③当 难 5 时， 力 9 ， “力”和“环”相同，舍去； ④当 难 4 时， 力 0 ， 强 3 ； 此时，还剩数字 2 、 5 、 6 、 7 ；
第十四届“中环杯”小学生思维能力训练活动 四年级决赛
2014 年 3 月 15 日 9 : 00 ~ 11: 00
得分： _____________ 注意：每小题前的“□”由阅卷人员填写，考生请勿填写。 一、填空题： （每小题 5 分，共 50 分） 【第 1 题】 计算： 75 4.7 15.9 25 ________ 。 【分析与解】 计算。
第十四届“中环杯”小学生思维能力训练活动 四年级决赛
城隍喵
【第 5 题】 如图， ABCD 是直角梯形， EDHF 是正方形。直角梯形的上底 AB 4 厘米，高 AD 3 厘米，正方形的边长 ED 3 厘米。联结 EH 并延长，交 BC 于 K 点，我们发现 EK 正好垂直于 BC ，则 △CHK 的面积为 ________ 平方厘米。
用 6 、 9 和 20 不能表示的最大正整数是 9 2 1 34 43 ； 即最多一次性去甜品店 43 个学生，能享受免费的巧克力。
第十四届“中环杯”小学生思维能力训练活动 四年级决赛
城隍喵
【第 10 题】 图中的方格表是由 20 个 1 1 的小正方形组成的，其中三根长度为 1 的粗线上标有数字 5 ，剩下的所有长度为 1 的线段上都标有数字 2 。现在要求沿着方格线从 A 走到 B ，只能往右或往上走。将走过的所有线段上标有的 数字全部乘起来，最后结果的末尾恰好只有两个零的路径有 ________ 条。
第十四届“中环杯”小学生思维能力训练活动 四年级决赛
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【第 7 题】 有五个不同的数： 24 、 27 、 55 、 64 、 x ，这五个数的平均数是一个质数。如果将它们从小到大排成一排， 那么中间的那个数是 3 的倍数。所有符合要求的 x 的和为 ________ 。 【分析与解】 平均数，数论。 这五个数的和为 24 27 55 64 x 170 x ，是 5 的倍数； 故 x 是 5 的倍数。 这五这个数从小到大排列，中间的那个数是 3 的倍数； 中间数只可能是 27 或 x 。 ⑴若中间数是 27 ，则 x ≤ 27 ； 考虑不大于 27 的 5 的倍数： 0 、 5 、 10 、 15 、 20 、 25 ； 当 x 0 时， 170 0 5 34 不是质数； 当 x 5 时， 170 5 5 35 不是质数； 当 x 10 时， 170 10 5 36 不是质数； 当 x 15 时， 170 15 5 37 是质数； 当 x 20 时， 170 20 5 38 不是质数； 当 x 25 时， 170 25 5 39 不是质数； ⑵若中间数是 x ，则 27 ≤ x ≤ 55 的数； 考虑不小于 27 且不大于 55 的 3,5 15 的倍数： 30 、 45 ； 当 x 30 时， 170 30 5 40 不是质数； 当 x 45 时， 170 45 5 43 是质数； 综上所述， x 15 或 x 45 ； 所有符合要求的 x 的和为 15 45 60 。