数值分析作业

数

值

分

析

作

业

——非线性方程的求解方法与分析

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本文主要阐述了五种非线性方程的求解方法，分别为二分法、简易牛顿法、牛顿迭代法、牛顿下山法与弦截法。并分别对五种求解方法的计算结果进行了相应地分析。二分法运用函数有根区间中点与端点的函数值，缩小根区间，从而得到较快的收敛速度。牛顿迭代法，是一种常见的求解具有单重零点的非线性方程的数值方法，具有局部二阶收敛性。简易牛顿法便是简化的牛顿迭代法，将迭代点的导数值固定为初始值点的导数值，从而简化计算次数。牛顿下山法，为避免初值选取不当而使得迭代不收敛而在牛顿迭代法改进的方法。弦截法，克服了牛顿迭代法需求零点处函数导数的缺点，使用两次迭代点的差商替代了函数的导数值。本文非线性方程的求解方法均运用MATLAB编程及实现。

关键词：非线性方程；二分法；牛顿迭代法；牛顿下山法；弦截法

第一章非线性方程 (1)

非线性方程简介 (1)

非线性方程求解方法简介 (1)

二分法 (1)

牛顿迭代法 (2)

牛顿下山法 (4)

简易牛顿法 (4)

弦截法 (5)

第二章计算机配置 (7)

处理器 (7)

存储设备 (7)

显卡 (8)

显示屏 (8)

操作系统 (8)

第三章算法的MATLAB实现及结果分析 (9)

二分法 (9)

牛顿迭代法 (12)

简易牛顿法 (15)

牛顿下山法 (18)

弦截法 (21)

结论 (25)

第一章 非线性方程

非线性方程简介

非线性方程，就是因变量与自变量之间的关系不是线性关系。

在永恒变化发展的自然界与人类社会中，在研究其内部规律的各个科学领域中，更深刻、更精确地描述其内部规律的数学工具之一，就是非线性方程。非线性代数是研究大规模离散数据的运算处理与内在性状的数学科学。科学技术离不开数据处理与数据分析，因此非线性代数具有非常广泛的应用，在力学、化学、生命科学、控制理论等众多科学领域中，非线性方程早已屡见不鲜。因此，非线性方程的求解就显得愈加重要。然而求解非线性方程有很多种方法，每种方法都有自己的优缺点。

非线性方程求解方法简介

求函数零解作为数学研究领域的一个热点已经延续了几百余年，所以已经建立了许多种方法，拥有比较完备的求解体系。本文中，主要介绍非线性方程求解方法中最常用也是比较简单的几种方法。

在解决实际问题的中，大都会遇到非线性方程或非线性方程组的数学模型，这类方程的求解用一般的代数方法求解是不可能实现的。所以，在解决这类问题的时候，多是将求零解转化为求近似解。

二分法

若)(x f 是区间[]b a ,上的连续函数，且0)()(

二分法求解的具体方法：若0)()(

2/)(b a c +=，并且检验0)()(

当然，若0)()(=c f a f ，则0)(=c f 从而求出一个零点。然而由于舍入误差的存在，在计算机计算的过程中，)(c f 精确为0是完全不可能存在的。因此，主卧室算法循环的停止判断准则不应该是0)(=c f 是否成立，而必须提供一个合理的允许误差。当计算结果)(c f 的值在误差范围内，便可停止运算。

牛顿迭代法

牛顿法迭代法是一种能在许多不同情况下应用的通用过程。特别地，当用牛顿法来求实值变量函数零点时，常常被称为牛顿-拉弗森迭代。通常，牛顿迭代法比二分法与弦截法获取答案的速度要快，这是因为它的收敛是二次的而不是线性或者超线性的。一旦二次收敛变得有效时，即牛顿法序列的值充分地接近根时，其收敛是如此之快以致于仅仅再需要几个数值即可。但是，牛顿迭代法并无法保证总是收敛的。所以牛顿法经常与其他较慢的方法结合形成一种数值上整体收敛的混合方法。

若存在一个函数)(x f ，其零点由数值方法计算得出。设r 是)(x f 的零点，而x 是r 的一个近似，若)(x f 的n 阶导数存在并且连续，则由泰勒定理将函数在零点处进行展开可得：

)()()()()(02h x f h x f h x f r f ο+'+=+==

其中x r h -=。若h 较小（即x 在r 附近），则可以略去)(2h ο项，并且在余下的方程中求h 。由此可得到结果是)(/)(x f x f h '-=。若x 使r 的一个近似，则)(/)(x f x f x '-应该是r 的一个更好的近似。牛顿迭代法从r 的一个估计0x 开始，则归纳出迭代的格式为

)

()(1n n n n x f x f x x '-=+ )0(≥n 下面叙述一下牛顿迭代法的几何意义。

r 是0)(=x f 的根，

选取0x 作为r 的初始近似值，经过)(x f 上的点))((0,0x f x 做)(x f y =的切线方程L ：))(()(00x x x f x f y -'+=，求出L 与横轴焦点的横坐标)()(0001x f x f x x '-=，则称1x 为r 的一次近似值。将1x 作为下一次迭代的初值，重复上述过程可得到r 的二次近似值)()(1112x f x f x x '-=。如此循环，可以获取r 的近似值序列。

下述三个定理分别讨论了牛顿法的收敛性质：

定理1：对于方程0)(=x f ，设)(x f 在],[b a 上有二阶连续导数且满足下述条件：

（1）0)()(

（2）0)(≠'x f ，0)(≠''x f ，对任意的],[b a x ∈；

（3）选取],[0b a x ∈，满足0)()(00>''x f x f

则牛顿法产生的序列{}K x 收敛于0)(=x f 在],[b a 内的唯一根*x 。

定理2：对于方程0)(=x f ，设)(x f 在],[b a 上连续可导。若],[)(b a C x f ∈，0)(=x f 的根],[*b a x ∈，且0)(*≠'x f ，则存在*x 的一个邻域{}δ≤-=*|x x x R ，使任意初值R x ∈0，牛顿迭代收敛于*x ，且满足)

(2)()(**2**1lim

x f x f x x x x k k k '''=--+∞→。 定理3：设*x 是方程0)(=x f 的根，在*x 的某个开区间内)(x f ''连续且