三角函数典型例题剖析与规律总结
三角函数图像与性质知识点总结和经典题型
三角函数图像与性质经典题型题型1：三角函数的图象例1．（2000全国，5）函数y ＝－xc os x 的部分图象是（ ）解析：因为函数y ＝－xc os x 是奇函数，它的图象关于原点对称，所以排除A 、C ，当x ∈（0，2π）时，y ＝－xc os x ＜0。
题型2：三角函数图象的变换例2．试述如何由y =31sin （2x +3π）的图象得到y =sin x 的图象。
解析：y =31sin （2x +3π））（纵坐标不变倍横坐标扩大为原来的3πsin 312+=−−−−−−−−−→−x y x y sin 313π=−−−−−−−−→−纵坐标不变个单位图象向右平移 x y sin 3=−−−−−−−−−→−横坐标不变倍纵坐标扩大到原来的例3．（2003上海春，15）把曲线yc os x +2y －1=0先沿x 轴向右平移2π个单位，再沿y 轴向下平移1个单位，得到的曲线方程是（ ）A ．（1－y ）sin x +2y －3=0B ．（y －1）sin x +2y －3=0C ．（y +1）sin x +2y +1=0D ．－(y +1)sin x +2y +1=0解析：将原方程整理为：y =x cos 21+，因为要将原曲线向右、向下分别移动2π个单位和1个单位，因此可得y =)2cos(21π-+x －1为所求方程.整理得（y +1）sin x +2y +1=0.题型3：三角函数图象的应用例4．（2003上海春，18）已知函数f （x ）=A sin （ωx +ϕ）（A >0，ω>0，x ∈R ）在一个周期内的图象如图所示，求直线y =3与函数f （x ）图象的所有交点的坐标。
解析：根据图象得A =2，T =27π－（－2π）=4π，∴ω=21，∴y =2sin （2x +ϕ），又由图象可得相位移为－2π，∴－21ϕ=－2π，∴ϕ=4π.即y =2sin （21x +4π）。
三角函数专题(知识归纳、记忆技巧、典型真题题剖析).介绍
三角函数专题（知识归纳/记忆技巧/典型真题题剖析）一、三角函数的概念(1) 角的概念：终边相同角的集合：所有与α终边相同的角,连同α在内,可构成集合{}0|360,k k Z ββα=⋅+∈或{}|2,k k Z ββπα=+∈(2) 象限角：第一象限角的集合|22,2x k x k k Z πππ⎧⎫<<+∈⎨⎬⎩⎭第二象限角的集合|22,2x k x k k Z ππππ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭第三象限角的集合|22,2x k x k k Z ππππ⎧⎫-<<-∈⎨⎬⎩⎭第四象限角的集合|22,2x k x k k Z πππ⎧⎫-<<∈⎨⎬⎩⎭(3) 轴线角：终边在x 轴上角的集合{}|,k k Z ααπ=∈,终边在y 轴上角的集合|,2k k Z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭,终边在坐标轴上角的集合|,2k k Z παα⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭(4) 角度、弧度的换算关系：（1）3602rad π=,1180rad π=,1801rad π⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）扇形的弧长、面积公式：设扇形的弧长为l ,圆心角为()rad α,半径为r ,则l r α=⋅,扇形的面积21122S lr r α==⋅3、三角函数定义： 若(),P x y 是角θ终边上任意异于O 的一点,O 为坐标原点,OP r =,则sin ,cos ,tan ,cot y x y x r r x yθθθθ==== 4、三角函数在各象限的符号规律：口诀“一全正, 二正弦,三正切,四余弦.sin α cos α tan α（cot α）二、同角三角函数的基本关系与诱导公式1、同角三角函数的基本关系式（1）倒数关系：tan cot 1αα⋅=（2）商的关系：sin cos tan ,cot .cos sin αααααα== （3）平方关系：22sin 1cos αα+=2、诱导公式x函数 sin x cos xtan x cot x α-sin α-cos αtan α-cot α-+ + ——+ + + + ————2πα±cos αsin α cot αtan απα±sin αcos α-tan α±cot α±32πα± cos α-sin α±cot α tan α2πα±sin α±cos αtan α cot α±注意：（1）诱导公式可概括为2k πα⋅±的各三角函数值的化简公式。
三角函数典型例题及分析
第12讲 三角函数高考试题中的三角函数题相对比较传统，难度较低，位置靠前，重点突出。
因此，在复习过程中既要注重三角知识的基础性，突出三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性、对称性等性质。
以及化简、求值和最值等重点内容的复习，又要注重三角知识的工具性，突出三角与代数、几何、向量的综合联系，以及三角知识的应用意识。
一、知识整合1．熟练掌握三角变换的所有公式，理解每个公式的意义，应用特点，常规使用方法等；熟悉三角变换常用的方法——化弦法，降幂法，角的变换法等；并能应用这些方法进行三角函数式的求值、化简、证明；掌握三角变换公式在三角形中应用的特点，并能结合三角形的公式解决一些实际问题．2．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质，并能用它研究复合函数的性质；熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、特点，并会用五点画出函数sin()y A x ωϕ=+的图象；理解图象平移变换、伸缩变换的意义，并会用这两种变换研究函数图象的变化．二、高考考点分析2004年各地高考中本部分所占分值在17～22分，主要以选择题和解答题的形式出现。
主要考察内容按综合难度分，我认为有以下几个层次：第一层次：通过诱导公式和倍角公式的简单运用，解决有关三角函数基本性质的问题。
如判断符号、求值、求周期、判断奇偶性等。
第二层次：三角函数公式变形中的某些常用技巧的运用。
如辅助角公式、平方公式逆用、切弦互化等。
第三层次：充分利用三角函数作为一种特殊函数的图象及周期性、奇偶性、单调性、有界性等特殊性质，解决较复杂的函数问题。
如分段函数值，求复合函数值域等。
三、方法技巧1.三角函数恒等变形的基本策略。
（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos 2θ+sin 2θ=tanx ·cotx=tan45°等。
（2）项的分拆与角的配凑。
如分拆项：sin 2x+2cos 2x=(sin 2x+cos 2x)+cos 2x=1+cos 2x ；配凑角：α=（α+β）－β，β=2βα+－2βα-等。
初中三角函数知识点总结及典型习题含答案)
初中三角函数知识点总结及典型习题含答案)初三下学期锐角三角函数知识点总结及典型题1.勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2.2.在直角三角形ABC中，若∠C为直角，则∠A的三角函数为：正弦函数sinA=对边a/斜边c，取值范围为[0,1]。
余弦函数cosA=邻边b/斜边c，取值范围为[0,1]。
正切函数tanA=对边a/邻边b，取值范围为R（实数集）。
3.任意锐角的正弦值等于其余角的余弦值，余弦值等于其余角的正弦值，即sinA=cosB，cosA=sinB，其中A+B=90°。
4.特殊角的三角函数值：30°：sin30°=1/2，cos30°=√3/2，tan30°=1/√3.45°：sin45°=cos45°=√2/2，tan45°=1.60°：sin60°=√3/2，cos60°=1/2，tan60°=√3.6.正弦、余弦的增减性：当0°≤A≤90°时，XXX随A的增大而增大，cosA随A的增大而减小。
7.正切的增减性：当0°<A<90°时，XXX随A的增大而增大。
8.解直角三角形的方法：已知边和角（其中必有一边）→求所有未知的边和角。
依据：①边的关系：a^2+b^2=c^2；②角的关系：A+B=90°；③三角函数的定义。
9.应用举例：仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。
坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，用i=h/l表示。
方位角：从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角。
方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角。
例1：在直角三角形ABC中，已知∠C=90°，sinA=3/5，求XXX的值。
三角函数典型例题剖析与规律总结
三角函数典型例题剖析与规律总结一：函数的定义域问题 1. 求函数1sin 2+=x y 的定义域。
分析：要求1sin 2+=y 的定义域，只需求满足01sin 2≥+x 的x 集合，即只需求出满足21sin -≥x 的x 值集合，由于正弦函数具有周期性，只需先根据问题要求，求出在一个周期上的适合条件的区间，然后两边加上πk 2()Z k ∈即可。
解：由题意知需01sin 2≥+x ，也即需21sin -≥x ①在一周期⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,2ππ上符合①的角为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-67,6ππ,由此可得到函数的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-672,62ππππk k ()Z k ∈ 小结:确定三角函数的定义域的依据：（1）正、余弦函数、正切函数的定义域。
（2）若函数是分式函数，则分母不能为零。
（3）若函数是偶函数，则被开方式不能为负。
（4）若函数是形如()()1,0log ≠>=a a x f y a的函数，则其定义域由()x f 确定。
（5）当函数是有实际问题确定时，其定义域不仅要使解析式有意义同时还要使实际问题有意义。
二．函数值域及最大值，最小值 （1）求函数的值域 例。
求下列函数的值域（1）x y 2sin 23-= （2）2sin 2cos 2-+=x y x分析：利用1cos ≤x 与1sin ≤x 进行求解。
解：（1） 12sin 1≤≤-x ∴[]5,151∈∴≤≤y y （2）()[].0,4,1sin 11sin 1sin 2sin 2sin 2222cos -∈∴≤≤---=-+-=-+=y x x x x x x y 评注：一般函数的值域求法有：观察法，配方法判别式法，反比例函数法等，而三角函数是函数的特殊形式，其一般方法也适用，只不过要结合三角函数本身的性质罢了。
（2）函数的最大值与最小值。
例。
求下列函数的最大值与最小值 （1）x y sin 211-= （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=6662sin 2πππx x y（3）4sin 5cos 22-+=x x y （4）⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+-=32,31cos 4cos 32ππx x x y分析：（1）（2）可利用sinx,cosx 的值域求解求解过程要注意自变量的去值范围（3）（4）可利用二次函数c bx ax x f ++=2)(在闭区间[]n m ,上求最值得方法。
三角函数例题和知识点总结
三角函数例题和知识点总结三角函数是数学中的一个重要分支，在几何、物理、工程等领域都有广泛的应用。
下面我们将通过一些例题来加深对三角函数知识点的理解，并对相关知识点进行总结。
一、三角函数的基本概念1、角的概念角可以看作是平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。
按旋转方向不同，角可分为正角、负角和零角。
2、弧度制把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角。
用弧度作为单位来度量角的制度叫做弧度制。
弧度与角度的换算关系为：180°＝π 弧度。
3、任意角的三角函数设角α的终边上任意一点 P 的坐标为(x, y)，它到原点的距离为 r（r ＝√（x²＋ y²)），则角α的正弦、余弦、正切分别为：sinα ＝ y/r ，cosα ＝ x/r ，tanα ＝ y/x （x ≠ 0）二、三角函数的图像和性质1、正弦函数 y ＝ sin x图像：正弦函数的图像是一个周期为2π，振幅为 1 的波浪线。
性质：定义域为 R，值域为-1, 1，是奇函数，在π/2 ＋2kπ, π/2 ＋2kπ （k∈Z）上单调递增，在π/2 ＋2kπ, 3π/2 ＋2kπ （k∈Z）上单调递减。
2、余弦函数 y ＝ cos x图像：余弦函数的图像是一个周期为2π，振幅为 1 的波浪线。
性质：定义域为 R，值域为-1, 1，是偶函数，在π ＋2kπ, 2kπ（k∈Z）上单调递增，在2kπ, π ＋2kπ （k∈Z）上单调递减。
3、正切函数 y ＝ tan x图像：正切函数的图像是由无数个周期为π的分支组成，其定义域为｛ x ｜x ≠ π/2 ＋kπ, k∈Z ｝。
性质：值域为 R，是奇函数，在（π/2 ＋kπ, π/2 ＋kπ ）（k∈Z）上单调递增。
三、三角函数的诱导公式1、同角三角函数的基本关系sin²α ＋cos²α ＝ 1 ，tanα ＝sinα ／cosα2、诱导公式sin( α ）＝sinα ，cos( α ）＝cosα ，tan( α ）＝tanαsin( π α ）＝sinα ，cos( π α ）＝cosα ，tan( π α ）＝tanαsin( π ＋α ）＝sinα ，cos( π ＋α ）＝cosα ，tan( π ＋α ）＝tanαsin( 2π α ）＝sinα ，cos( 2π α ）＝cosα ，tan( 2π α ）＝tanα四、三角函数的和差公式1、两角和与差的正弦公式sin(α ＋β) ＝sinαcosβ ＋cosαsinβsin(α β) ＝sinαcosβ cosαsinβ2、两角和与差的余弦公式cos(α ＋β) ＝cosαcosβ sinαsinβcos(α β) ＝cosαcosβ ＋sinαsinβ3、两角和与差的正切公式tan(α ＋β) ＝（tanα ＋tanβ) ／（1 tanαtanβ)tan(α β) ＝（tanα tanβ) ／（1 ＋tanαtanβ)五、例题解析例 1：已知sinα ＝ 3/5，且α为第二象限角，求cosα 和tanα 的值。
三角函数典型例题分析
目录1、0°～360°间的三角函数.典型例题分析 (2)2、弧度制.典型例题分析 (2)3、任意角的三角函数.典型例题分析一 (3)4、任意角的三角函数.典型例题精析二 (5)5、同角三角函数的基本关系式.典型例题分析 (12)6、诱导公式.典型例题分析 (17)7、用单位圆中的线段表示三角函数值.典型例题分析 (18)8、三角公式总表 (19)9、正弦函数、余弦函数的图象和性质.典型例题分析 (22)10、函数y=Asin(wx+j)的图象.典型例题分析 (27)11、正切函数、余切函数的图象和性质.典型例题分析 (29)12、已知三角函数值求角.典型例题分析 (30)全章小结 (31)高考真题选讲 (31)1、0°～360°间的三角函数·典型例题分析例1已知角α的终边经过点P(3a，-4a)(a＜0，0°≤α≤360°)，求解α的四个三角函数．解如图2-2：∵x=3a，y=-4a，a＜0例2求315°的四个三角函数．解如图2-3，在315°角的终边上取一点P(x，y)设OP=r，作PM垂直于x轴，垂足是M，可见∠POM=45°注：对于确定的角α，三角函数值的大小与P点在角α的终边上的位置无关，如在315°的角的终边上取点Q(1，-1)，计算出的结果是一样的．2、弧度制·典型例题分析角度与弧度的换算要熟练掌握，见下表．例2将下列各角化成2kπ+α(k∈Z，0≤α＜2π)的形式，并确定其所在的象限。
∴它是第二象限的角．注意：用弧度制表示终边相同角2kπ+α(k∈Z)时，是π的偶数倍，而不是π的整数倍．A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限∴sinα＞0，tgα＜0 因此点P(sinα，tgα)在第四象限，故选D．解∵M集合是表示终边在第一、二、三、四象限的角平分线上的角的集合．N集合是表示终边在坐标轴(四个位置)上和在第一、二、三、四象限的角平分线上的角的集合．3、任意角的三角函数·典型例题分析一例1已知角α的终边上一点P(-15α，8α)(α∈R，且α≠0)，求α的各三角函数值．分析根据三角函数定义来解A．1 B．0C．2 D．-2例3若sin2α＞0，且cosα＜0，试确定α所在的象限．分析用不等式表示出α，进而求解．解∵sin2α＞0，∴2α在第一或第二象限，即2kπ＜2α＜2kπ+π，k∈Z)当k为偶数时，设k=2m(m∈Z)，有当k为奇数时，设k=2m+1(m∈Z)有∴α为第一或第三象限的角，又由cosα＜0可知α在第二或第四象限．综上所述,α在第三象限．义域为{x|x∈R且x≠kπ，k∈Z}，∴函数y=tgx+ctgx的定义域是说明本例进一步巩固终边落在坐标轴上角的集合及各三角函数值在每一象限的符号，三角函数的定义域．例5计算(1)a2sin(-1350°)+b2tg405°-(a-b)2ctg765°-2abcos(-1080°)分析利用公式1，将任意角的三角函数化为0～2π间(或0°～360°间)的三角函数，进而求值．解(1)原式=a2sin(-4×360°+90°)+b2tg(360°+45°)-(a-b)2ctg(2×360°+45°)-2abcos(-3×360°)=a2sin90°+b2tg45°-(a-b)2ctg45°-2abcos0°=a2+b2-(a-b)2-2ab=04、任意角的三角函数·典型例题精析二例1下列说法中，正确的是 [ ]A．第一象限的角是锐角B．锐角是第一象限的角C．小于90°的角是锐角D．0°到90°的角是第一象限的角【分析】本题涉及了几个基本概念，即“第一象限的角”、“锐角”、“小于90°的角”和“0°到90°的角”．在角的概念推广以后，这些概念容易混淆．因此，弄清楚这些概念及它们之间的区别，是正确解答本题的关键．【解】第一象限的角可表示为｛θ|k·360°＜θ＜90°＋k·360°，k∈Z｝，锐角可表示为｛θ|0°＜θ＜90°｝，小于90°的角为｛θ|θ＜90°｝，0°到90°的角为｛θ|0°≤θ＜90°｝．因此，锐角的集合是第一象限角的集合当k=0时的子集，故(A)，(C)，(D)均不正确，应选(B)．(90°－α)分别是第几象限角？【分析】由sinα·cosα＜0，所以α在二、四象限；由sinα·tanα＜0，所以α在二、三象限．因此α为第二象限的角，然后由角α的【解】(1)由题设可知α是第二象限的角，即90°＋k·360°＜α＜180°＋k·360°(k∈Z)，的角．(2)因为180°＋2k·360°＜2α＜360°＋2k·360°(k∈Z)，所以2α是第三、第四象限角或终边在y轴非正半轴上的角．(3)解法一：因为90°+k·360°＜α＜180°＋k·360°(k∈Z)，所以－180°－k·360°＜－α＜－90°－k·360°(k∈Z)．故－90°－k·360°＜90°－α＜－k·360°(k∈Z)．因此90°－α是第四象限的角．解法二：因为角α的终边在第二象限，所以－α的终边在第三象限．将－α的终边按逆时针旋转90°，可知90°－α的终边在第四象限内．【说明】①在确定形如α＋k·180°角的象限时，一般要分k为偶数或奇数讨论；②确定象限时，α＋kπ与α－kπ是等效的．例3已知集合E=｛θ|cosθ＜sinθ，0≤θ≤2π｝，F=｛θ|tanθ＜sinθ｝，那么E∩F是区间[ ]【分析】解答本题必须熟练掌握各个象限三角函数的符号、各个象限的三角函数值随角的变化而递增或递减的变化情况．可由三角函数的性质判断，也可由三角函数线判断．用代入特殊值排除错误答案的方法解答本题也比较容易．【解法一】由正、余弦函数的性质，【解法二】由单位圆中的正弦线和正切线容易看出，对于二、四象限的角，AT＜MP，即tanα＜sinθ，由正弦线和余弦线可看出，当应选(A)．可排除(C)，(D)，得(A)．【说明】本题解法很多，用三角函数线还可以有以下解法：因为第一、三象限均有AT＞MP，即tanθ＞sinθ，所以(B)，(C)，(D)均不成立．用排除法也有些别的方法，可自己练习．例 4 (1)已知角α终边上一点P(3k，－4k)(k＜0)，求sinα，cosα，tanα的值；【分析】利用三角函数的定义进行三角式的求值、化简和证明，是三两个象限，因此必须分两种情况讨论．【解】(1)因为x＝3k，y=－4k，例5一个扇形的周长为l，求扇形的半径、圆心角各取何值时，此扇形的面积最大．【分析】解答本题，需灵活运用弧度制下的求弧长和求面积公式．本题是求扇形面积的最大值，因此应想法写出面积S以半径r为自变量的函数表达式，再用配方法求出半径r和已知周长l的关系．【解】设扇形面积为S，半径为r，圆心角为α，则扇形弧长为l－2r．所以【说明】在学习弧度制以后，用弧度制表示的求弧长与扇形面积公形的问题中，中心角用弧度表示较方便．本例实际上推导出一个重要公式，即当扇形周长为定值时，怎样选取中心角可使面积得到最大值．本题也可将面积表示为α的函数式，用判别式来解．【分析】第(1)小题因α在第二象限，因此只有一组解；第(2)小题给了正弦函数值，但没有确定角α的象限，因此有两组解；第(3)小题角α可能在四个象限或是轴线角，因此需分两种情况讨论．【解】(3)因为sinα=m(|m|＜1)，所以α可能在四个象限或α的终边在x轴上．例7(1)已知tanα=m，求sinα的值；【分析】(1)已知tanα的值求sinα或cosα，一般可将tanα母都是sinα和cosα的同次式，再转化为关于tanα的式子求值，转化的方法是将分子、分母同除以cosα(或cos2α，这里cosα≠0)，即可根据已知条件求值．【说明】由tanα的值求sinα和cosα的值，有一些书上利用公很容易推出，所以不用专门推导和记忆这些公式，这类问题由现有的关系式和方法均可解决．函数的定义来证明．由左边=右边，所以原式成立．【证法三】(根据三角函数定义)设P(x，y)是角α终边上的任意一点，则左边=左边，故等式成立．例9化简或求值：【分析】解本题的关键是熟练地应用正、余弦的诱导公式和记住特殊角的三角函数值．=－sinα－cosα(因为α为第三象限角)．例10 (1)若 f(cos x)=cos9x，求f(sin x)的表达式；【分析】在(1)中理解函数符号的含义，并将f(sin x)化成f(cos(90°－x))是充分利用已知条件和诱导公式的关键．在(2)中必须正确掌握分段函数求值的方法．【解】(1)f(sin x)＝f(cos(90°－x))＝cos9(90°－x)=cos(2×360°＋90°－9x)＝cos(90°－9x)=sin9x；＝1．5、同角三角函数的基本关系式·典型例题分析1）已知某角的一个三角函数值，求该角的其他三角函数值．解∵sinα＜0∴角α在第三或第四象限(不可能在y轴的负半轴上)(2)若α在第四象限，则说明在解决此类问题时，要注意：(1)尽可能地确定α所在的象限，以便确定三角函数值的符号．(2)尽可能地避免使用平方关系(在一般情况下只要使用一次)．(3)必要时进行讨论．例2 已知sinα=m(|m|≤1)，求tgα的值．(2)当m=±1时，α的终边在y轴上，tgα无意义．(3)当α在Ⅰ、Ⅳ象限时，∵cosα＞0．当α在第Ⅱ、Ⅲ象限时，∵cosα＜0，说明 (1)在对角的范围进行讨论时，不可遗漏终边在坐标轴上的情况．(2)本题在进行讨论时，为什么以cosα的符号作为分类的标准，而不按sinα的符号(即m的符号)来分类讨论呢？你能找到这里的原因并概括出所用的技巧吗？2）三角函数式的化简三角函数式的化简的结果应满足下述要求：(1)函数种类尽可能地少．(2)次数尽可能地低．(3)项数尽可能地少．(4)尽可能地不含分母．(5)尽可能地将根号中的因式移到根号外面来．化简的总思路是：尽可能地化为同类函数再化简．例3 化简sin2α·tgα+cos2α·ctgα+2sinαcosα=secα·cscα解2 原式=(sin2α·tgα+sinα·cosα)+(cos2α·ctgα+sinαcosα)=tgα·(sin2α+cos2α)+ctgα(sin2α+cos2α)=tgα+ctgα=secα·cscα说明 (1)在解1中，将正切、余切化为正弦、余弦再化简，仍然是循着减少函数种类的思路进行的．(2)解2中的逆用公式将sinα·cosα用tgα表示，较为灵活，解1与解2相比，思路更自然，因而更实用．例4 化简：分析将被开方式配成完全平方式，脱去根号，进行化简．3）三角恒等式的证明证明三角恒等式的过程，实际上是化异为同的过程，即化去形式上的异，而呈现实质上的同，这个过程，往往是从化简开始的——这就是说，在证明三角恒等式时，我们可以从最复杂处开始．例5 求证 cosα(2secα+tgα)(secα-2tgα)=2cosα-3tgα．分析从复杂的左边开始证得右边．=2cosα-3tgα=右边例6 证明恒等式(1)1+3sin2αsec4α+tg6α=sec6α(2)(sinA+ secA)3+(cosA+cscA)2=(1+secAcscA)2分析 (1)的左、右两边均较复杂，所以可以从左、右两边同时化简证明 (1)右边-左边=sec6α-tg6α-3sin2αsec4α-1=(sec2α-tg2α)(sec4α+sec2α·tg2α+tg2α)-3sin2αsec4α-1=(sec4α-2sec2αtg2α+tg2α)-1=(sec2α-tg2α)2-1=0∴等式成立．=sin2A+cos2A=1故原式成立在解题时，要全面地理解“繁”与“简”的关系．实际上，将不同的角化为同角，以减少角的数目，将不同的函数名称，化为同名函数，以减少函数的种类，都是化繁为简，以上两点在三角变换中有着广泛的应用．分析1 从右端向左端变形，将“切”化为“弦”，以减少函数的种类．分析2 由1+2sinxcosx立即想到(sinx+cosx)2，进而可以约分，达到化简的目的．说明 (1)当题目中涉及多种名称的函数时，常常将切、割化为弦(如解法1)，或将弦化为切(如解法2)以减少函数的种类．(2)要熟悉公式的各种变形，以便迅速地找到解题的突破口，请看下列．=secα+tgα∴等式成立说明以上证明中采用了“1的代换”的技巧，即将1用sec2α-tg2α代换，可是解题者怎么会想到这种代换的呢？很可能，解题者在采用这种代换时，已经预见到代换后，分子可以因式分解，可以约分，而所有这一切都是建立在熟悉公式的各种变形的基础上的，当然，对不熟练的解题者而言，还有如下的“一般证法”——即证明“左边-右边=0”∴左边=右边6、诱导公式·典型例题分析例1 求下列三角函数值：解 (1)sin(-1200°)=-sin1200°=-sin(3×360°+120°)=-sin120°=-sin(180°-60°)(2)tg945°=tg(2×360°+225°)=tg225°=tg(108°+45°)=tg45°=1例4 求证(1)sin(nπ+α)=(-1)n sinα；(n∈Z)(2)cos(nπ+α)=(-1)n cosα．证明：1°当n为奇数时，设n=2k-1(k∈Z)则(1)sin(nπ+α)=sin[(2k-1)π+α]=sin(-π+α)=-sinα=(-1)n sinα (∵(-1)n=-1)(2)cos(nπ+α)=cos[(2k-1)π+α]=cos(-π+α)=-cosα=(-1)n cosα2°当n为偶数时，设n=2k(k∈Z)，则(1)sin(nπ+α)=sin(2kπ+α)=sinα=(-1)n sinα(∵(-1)n=1)(2)cos(nπ+α)=cos(2kπ+α)=cosα=(-1)n cosα由1°，2°，本题得证．例5 设A、B、C是一个三角形的三个内角，则在①sin(A+B)-sinC ② cos(A+B)+cosC③tg(A+B)+tgC ④ctg(A+B)-ctgCA．1个 B．2个C．3个 D．4个解由已知，A+B+C=π，∴A+B=π-C，故有①sin(A+B)-sinC=sin(π-C)-sinC=sinC-sinC=0为常数．②cos(A+B)+cosC=cos(π-C)+cosC=-cosC+cosC=0为常数．③ tg(A+B)+tgC=tg(π-C)+tgC=-tgC+tgC=0为常数．④ctg(A+B)-ctgC=ctg(π-C)-ctgC=-ctgC-ctgC=-2ctgC不是常数．从而选(C)．7、用单位圆中的线段表示三角函数值·典型例题分析例1 利用三角函数线，求满足下列条件的角或角的范围．P′，则(2)如图2-11，过点(1，-1)和原点作直线交单位圆于点p和p′，则∴满足条件的所有角是8、三角公式总表1、L 弧长=αR=nπR 180 S 扇=21L R=21R 2α=3602R n ⋅π 2、正弦定理：A asin =B b sin =Cc sin = 2R （R 为三角形外接圆半径） 3、余弦定理：a 2=b2+c2-2bc A cos b2=a2+c2-2ac B cos c2=a2+b2-2ab C cosbca cb A 2cos 222-+=4、S ⊿=21a a h ⋅=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =Rabc 4=2R 2A sin B sin C sin =AC B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C B A c sin 2sin sin 2=pr=))()((c p b p a p p ---(其中)(21c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) 5、同角关系： ⑴ 商的关系：①θtg =x y =θθcos sin =θθsec sin ⋅ ②θθθθθcsc cos sin cos ⋅===y x ctg ③θθθtg ry⋅==cos sin ④θθθθcsc cos 1sec ⋅===tg x r ⑤θθθctg rx⋅==sin cos ⑥θθθθsec sin 1csc ⋅===ctg y r ⑵ 倒数关系：1sec cos csc sin =⋅=⋅=⋅θθθθθθctg tg⑶ 平方关系：1csc sec cos sin 222222=-=-=+θθθθθθctg tg⑷)sin(cos sin 22ϕθθθ++=+b a b a （其中辅助角ϕ与点（a,b ）在同一象限，且abtg =ϕ）6、函数y=++⋅)sin(ϕωx A k 的图象及性质：（0,0>>A ω）振幅A ，周期T=ωπ2, 频率f=T1,相位ϕω+⋅x ，初相ϕ7、五点作图法：令ϕω+x 依次为ππππ2,23,,20 求出x 与y ， 依点()y x ,作图三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号；即：函数名不变，符号看象限三角函数值等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号;即：函数名改变，符号看象限 9、和差角公式①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ②βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±③βαβαβαtg tg tg tg tg ⋅±=± 1)( ④)1)((βαβαβαtg tg tg tg tg ⋅±=±⑤γβγαβαγβαγβαγβαtg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg ⋅-⋅-⋅-⋅⋅-++=++1)( 其中当A+B+C=π时,有:i).tgC tgB tgA tgC tgB tgA ⋅⋅=++ ii).1222222=++Ctg B tg C tg A tg B tg A tg 10、二倍角公式：(含万能公式) ①θθθθθ212cos sin 22sin tg tg +==②θθθθθθθ22222211sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-=③θθθ2122tg tg tg -= ④22cos 11sin 222θθθθ-=+=tg tg ⑤22cos 1cos 2θθ+=11、三倍角公式：①)60sin()60sin(sin 4sin 4sin 33sin 3θθθθθθ+︒-︒=-= ②)60cos()60cos(cos 4cos 4cos 33cos 3θθθθθθ+︒-︒=+-=③)60()60(313323θθθθθθθ+⋅-⋅=--=tg tg tg tg tg tg tg 12、半角公式：（符号的选择由2θ所在的象限确定） ①2cos 12sinθθ-±= ②2cos 12sin 2θθ-= ③2cos 12cos θθ+±=④2cos 12cos2θθ+=⑤2sin 2cos 12θθ=- ⑥2cos 2cos 12θθ=+⑦2sin2cos )2sin 2(cos sin 12θθθθθ±=±=± ⑧θθθθθθθsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12-=+=+-±=tg13、积化和差公式：[])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=[])sin()sin(21sin cos βαβαβα--+=[])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++= ()[]βαβαβα--+-=cos )cos(21sin sin14、和差化积公式： ①2cos2sin2sin sin βαβαβα-+=+ ②2sin2cos2sin sin βαβαβα-+=-③2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+ ④2sin2sin 2cos cos βαβαβα-+-=- ⒗最简单的三角方程方程方程的解集a x =sin1=a {}Z k a k x x ∈+=,arcsin 2|π1<a (){}Z k a k x x k ∈-+=,arcsin 1|π a x =cos1=a {}Z k a k x x ∈+=,arccos 2|π1<a{}Z k a k x x ∈±=,arccos 2|π a tgx ={}Z k arctga k x x ∈+=,|π a ctgx ={}Z k arcctga k x x ∈+=,|π、正弦函数、余弦函数的图象和性质·典型例题分析例1 用五点法作下列函数的图象 (1)y=2-sinx ，x ∈[0，2π]解 (1)(图2-14)名称 函数式 定义域 值域性质反正弦函数 x y arcsin = []1,1-增 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ -arcsinx arcsin(-x)= 奇 反余弦函数 x y arccos = []1,1-减[]π,0x x arccos )arccos(-=-π 反正切函数 arctgx y = R 增 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,2ππ arctgx - arctg(-x)= 奇反余切函数arcctgx y = R 减()π,0arcctgx x arcctg -=-π)((2)(图2-15)描点法作图：例2 求下列函数的定义域和值域．解 (1)要使lgsinx有意义，必须且只须sinx＞0，解之，得 2kπ＜x＜(2k+1)π，k∈Z．又∵0＜sinx≤1，∴-∞＜lgsinx≤0．∴定义域为(2kπ，(2k+1)π)(k∈Z)，值域为(-∞，0]．的取值范围，进而再利用三角函数线或函数图象，求出x的取值范围。
高中数学三角函数解题实例及解题思路详解与举例分析和讲解
高中数学三角函数解题实例及解题思路详解与举例分析和讲解三角函数是高中数学中一个重要的章节，也是学生们经常遇到的难点之一。
在解题过程中，掌握一些解题技巧和思路是非常重要的。
本文将通过具体的题目举例，详细解析三角函数解题的思路和方法，并给出一些解题技巧，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和掌握三角函数的应用。
一、正弦函数的解题实例1. 题目：已知一角的正弦值为0.6，求该角的余弦值。
解析：根据正弦函数的定义sinθ = 对边/斜边，已知sinθ = 0.6，我们可以设对边为3，斜边为5。
根据勾股定理，可以求得邻边为4。
然后，根据余弦函数的定义cosθ = 邻边/斜边，代入已知的值，得到cosθ = 4/5。
2. 题目：已知一角的正弦值为0.8，求该角的余切值。
解析：根据正弦函数的定义sinθ = 对边/斜边，已知sinθ = 0.8，我们可以设对边为8，斜边为10。
根据勾股定理，可以求得邻边为6。
然后，根据余切函数的定义tanθ = 对边/邻边，代入已知的值，得到tanθ = 8/6 = 4/3。
二、余弦函数的解题实例1. 题目：已知一角的余弦值为0.5，求该角的正弦值。
解析：根据余弦函数的定义cosθ = 邻边/斜边，已知cosθ = 0.5，我们可以设邻边为1，斜边为2。
根据勾股定理，可以求得对边为√3。
然后，根据正弦函数的定义sinθ = 对边/斜边，代入已知的值，得到sinθ = √3/2。
2. 题目：已知一角的余弦值为0.6，求该角的正切值。
解析：根据余弦函数的定义cosθ = 邻边/斜边，已知cosθ = 0.6，我们可以设邻边为6，斜边为10。
根据勾股定理，可以求得对边为8。
然后，根据正切函数的定义tanθ = 对边/邻边，代入已知的值，得到tanθ = 8/6 = 4/3。
三、正切函数的解题实例1. 题目：已知一角的正切值为1.5，求该角的余弦值。
解析：根据正切函数的定义tanθ = 对边/邻边，已知tanθ = 1.5，我们可以设对边为3，邻边为2。
三角函数例题和知识点总结
三角函数例题和知识点总结一、三角函数的基本概念在数学中，三角函数是一类重要的函数，它们描述了三角形中边与角之间的关系。
首先，我们来了解一下角度的度量。
角度可以用度（°）或弧度来表示。
一个完整的圆周对应的角度是 360°，而用弧度表示则是2π 弧度。
接下来，我们认识一下常见的三角函数：正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）。
正弦函数sinθ 表示在直角三角形中，对边与斜边的比值；余弦函数cosθ 表示邻边与斜边的比值；正切函数tanθ 则是对边与邻边的比值。
二、三角函数的基本公式1、同角三角函数的基本关系sin²θ ＋cos²θ ＝ 1tanθ ＝sinθ ／cosθ2、诱导公式例如：sin(π θ) ＝sinθ ，cos(π θ) ＝cosθ 等三、三角函数的图像和性质1、正弦函数 y ＝ sin x 的图像是一个周期为2π 的波形，其值域为-1, 1，在 x ＝π/2 ＋2kπ （k 为整数）时取得最大值 1，在 x ＝3π/2 ＋2kπ （k 为整数）时取得最小值－1。
2、余弦函数 y ＝ cos x 的图像也是一个周期为2π 的波形，值域同样为-1, 1，在 x ＝2kπ （k 为整数）时取得最大值 1，在 x ＝π ＋2kπ （k 为整数）时取得最小值－1。
3、正切函数 y ＝ tan x 的图像其周期为π，定义域为x ≠ π/2 ＋kπ （k 为整数），值域为 R 。
四、三角函数的例题例 1：已知sinθ ＝ 08，且θ 在第一象限，求cosθ 和tanθ 的值。
因为sin²θ ＋cos²θ ＝ 1，所以cosθ ＝√（1 sin²θ) ＝√（1 08²) ＝06 。
tanθ ＝sinθ ／cosθ ＝ 08 ／ 06 ＝ 4 ／ 3 。
例 2：求函数 y ＝ 2sin(2x ＋π/3) 的周期和振幅。
三角函数典型例题剖析与规律总结材料
三角函数典型例题剖析与规律总结一：函数的定义域问题 1. 求函数1sin 2+=x y 的定义域。
分析：要求1sin 2+=y 的定义域，只需求满足01sin 2≥+x 的x 集合，即只需求出满足21sin -≥x 的x 值集合，由于正弦函数具有周期性，只需先根据问题要求，求出在一个周期上的适合条件的区间，然后两边加上πk 2()Z k ∈即可。
解：由题意知需01sin 2≥+x ，也即需21sin -≥x ①在一周期⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,2ππ上符合①的角为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-67,6ππ,由此可得到函数的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-672,62ππππk k ()Z k ∈ 小结:确定三角函数的定义域的依据：（1）正、余弦函数、正切函数的定义域。
（2）若函数是分式函数，则分母不能为零。
（3）若函数是偶函数，则被开方式不能为负。
（4）若函数是形如()()1,0log ≠>=a a x f y a的函数，则其定义域由()x f 确定。
（5）当函数是有实际问题确定时，其定义域不仅要使解析式有意义同时还要使实际问题有意义。
二．函数值域及最大值，最小值 （1）求函数的值域 例。
求下列函数的值域（1）x y 2sin 23-= （2）2sin 2cos 2-+=x y x分析：利用1cos ≤x 与1sin ≤x 进行求解。
解：（1） 12sin 1≤≤-x ∴[]5,151∈∴≤≤y y （2）()[].0,4,1sin 11sin 1sin 2sin 2sin 2222cos -∈∴≤≤---=-+-=-+=y x x x x x x y 评注：一般函数的值域求法有：观察法，配方法判别式法，反比例函数法等，而三角函数是函数的特殊形式，其一般方法也适用，只不过要结合三角函数本身的性质罢了。
（2）函数的最大值与最小值。
例。
求下列函数的最大值与最小值 （1）x y sin 211-= （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=6662sin 2πππx x y（3）4sin 5cos 22-+=x x y （4）⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+-=32,31cos 4cos 32ππx x x y分析：（1）（2）可利用sinx,cosx 的值域求解求解过程要注意自变量的去值范围（3）（4）可利用二次函数c bx ax x f ++=2)(在闭区间[]n m ,上求最值得方法。
三角函数性质与应用例题和知识点总结
三角函数性质与应用例题和知识点总结一、三角函数的基本定义在直角三角形中，正弦（sin）、余弦（cos）和正切（tan）分别定义为：正弦：对边与斜边的比值，即sinθ ＝对边／斜边。
余弦：邻边与斜边的比值，即cosθ ＝邻边／斜边。
正切：对边与邻边的比值，即tanθ ＝对边／邻边。
二、三角函数的性质1、周期性正弦函数和余弦函数的周期都是2π，即 sin(x ＋2π) ＝ sin(x)，cos(x ＋2π) ＝ cos(x)；正切函数的周期是π，即 tan(x ＋π) ＝ tan(x)。
2、奇偶性正弦函数是奇函数，即 sin(x) ＝ sin(x)；余弦函数是偶函数，即cos(x) ＝ cos(x)。
3、值域正弦函数和余弦函数的值域都是－1, 1，正切函数的值域是 R（全体实数）。
4、单调性正弦函数在π/2 ＋2kπ, π/2 ＋2kπ 上单调递增，在π/2 ＋2kπ, 3π/2 ＋2kπ 上单调递减（k∈Z）。
余弦函数在2kπ, π ＋2kπ 上单调递减，在π ＋2kπ, 2π ＋2kπ 上单调递增（k∈Z）。
正切函数在（π/2 ＋kπ, π/2 ＋kπ) 上单调递增（k∈Z）。
三、三角函数的应用例题例 1：已知一个直角三角形的一个锐角为 30°，斜边为 2，求这个直角三角形的两条直角边的长度。
解：因为一个锐角为 30°，所以 sin30°＝ 1/2，cos30°＝√3/2。
设 30°角所对的直角边为 a，邻边为 b，则：a ＝ 2×sin30°＝ 2×（1/2) ＝ 1b ＝ 2×cos30°＝ 2×（√3/2) ＝√3例 2：求函数 y ＝ 2sin(2x ＋π/3) 的最大值和最小值，并求出取得最值时 x 的值。
解：因为正弦函数的值域为－1, 1，所以 2sin(2x ＋π/3) 的值域为－2, 2。
三角函数常见典型考题赏析
高一使用3031年4月▼W bW V-b*e・▼■r~9•w**■一■—W-^■张文伟三角函数是高中数学的重要内容,也是高考的常考点。
同学们要掌握三角函数的有关概念和性质(单调性、对称性、奇偶性、周期性、最值)，要理解和掌握三角函数的图像与性质，掌握三角函数模型的简单应用。
题型1:角的概念象限角的两种判断方法:(1)图像法，在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角;(2)转化法，先将已知角化为k X360°+a (0°C a V360°k e Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角a,再由角a终边所在的象限判断已知角是第几象限角。
利用终边相同的角的集合S=,,=2k n+a,e Z｝判断一个角,所在的象限时，只需把这个角写成[0,2n)范围内的一个角a与2n的整数倍的和，然后判断角a所在的象限。
例1在一720°〜0°范围内所有与45°终边相同的角为。
解：所有与45°终边相同的角可表示为,=45°+k X360°(k e Z)。
令一720°C45°+ k X360°V0°(k e Z)，可得一765°C k X360°V7(^5°A50—45°(-e z)，解得一76n oC-v—4°(-e360360Z),即一2.125C k V0.125(k e z),可知k=—2或k=—1,代入可得,=一675°或,=—315°。
答案为一675°或一315°。
跟踪训练1若a=k X360°+3,=m X 360°—3-m e Z),则角a与角,的终边的位置关系是))OA.重合B.关于原点对称C.关于x轴对称D.关于y轴对称提示：由题意知角a与角3的终边相同,角，与角一3的终边相同。
三角函数知识归纳与典型例题
三角函数知识归纳与典型例题1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形.按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角,一条射线没有作任何旋转时,称它形成一个零角.射线的起始位置称为始边,终止位置称为终边.2、象限角的概念：在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限的角.如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何象限.3.终边相同的角的表示：〔1〕α终边与θ终边相同<α的终边在θ终边所在射线上>⇔2()k k αθπ=+∈Z ,注意：相等的角的终边一定相同,终边相同的角不一定相等.例1．与角1825-的终边相同,且绝对值最小的角的度数是＿25-,合＿536π-＿弧度. 〔2〕α终边与θ终边共线<α的终边在θ终边所在直线上>⇔()k k αθπ=+∈Z . 〔3〕α终边与θ终边关于x 轴对称⇔2()k k αθπ=-+∈Z . 〔4〕α终边与θ终边关于y 轴对称⇔2()k k απθπ=-+∈Z . 〔5〕α终边与θ终边关于原点对称⇔2()k k απθπ=++∈Z .〔6〕α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈；α终边在y 轴上的角可表示为：,2k k Z παπ=+∈；α终边在坐标轴上的角可表示为：,2k k Z πα=∈.例2．α的终边与6π的终边关于直线x y =对称,则α＝____Z k k ∈+,32ππ________. 4、α与2α的终边关系：由"两等分各象限、一二三四"确定.例3．若α是第二象限角,则2α是第__一、三___象限角 5.弧长公式：||l R α=,扇形面积公式：211||22S lR R α==,1弧度<1rad>57.3≈.例4．已知扇形AOB 的周长是6cm,该扇形的中心角是1弧度,求该扇形的面积. 答案：22cm 〕6、任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角,P (,)x y 是α的终边上的任意一点〔异于原点〕,它与原点的距离是r =>,那么sin ,cos y x r r αα==,()tan ,0y x x α=≠,cot x y α=(0)y ≠,sec rxα=()0x ≠,()csc 0ry yα=≠.三角函数值只与角的大小有关,而与终边上点P 的位置无关.例5．〔1〕已知角α的终边经过点P<5,－12>,则ααcos sin +的值为＿713-＿.〔2〕设α是第三、四象限角,m m --=432sin α,则m 的取值范围是___〔－1,)23____.〔3〕若0|cos |cos sin |sin |=+αααα,试判断)tan(cos )cot(sin αα⋅的符号答：负 7.三角函数线的特征是：正弦线MP"站在x 轴上<起点在x 轴上>"、余弦线OM"躺在x 轴上<起点是原点>"、正切线AT"站在点(1,0)A 处<起点是A >".三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等式.例6．〔1〕若08πθ-<<,则sin ,cos ,tan θθθ的大小关系为_____〔tan sin cos θθθ<<〕〔2〕若α为锐角,则,sin ,tan ααα的大小关系为_______ ,〔sin tan ααα<<〕〔3〕函数)3sin 2lg(cos 21+++=x x y 的定义域是_______,答案：2(2,2]()33k k k Z ππππ-+∈〔1〕平方关系：222222sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+= 〔2〕倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1, 〔3〕商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αααααα==同角三角函数的基本关系式的主要应用是,已知一个角的三角函数值,求此角的其它三角函数值.在运用平方关系解题时,要根据已知角的范围和三角函数的取值,尽可能地压缩角的范围,以便进行定号；在具体求三角函数值时,一般不需用同角三角函数的基本关系式,而是先根据角的范围确定三角函数值的符号,再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对值.例7．〔1〕函数sin tan cos cot y αααα+=+的值的符号为____大于0,〔2〕若π220≤≤x ,则使x x 2cos 2sin 12=-成立的x 的取值范围是____,yTA xα B SO M P答案：[0,]4π],43[ππ 〔3〕已知53sin +-=m m θ,)2(524cos πθπθ<<+-=m m ,则θtan ＝___125-,〔4〕已知11tan tan -=-αα,则ααααcos sin cos 3sin +-＝____35-； 2cos sin sin 2++ααα＝________513_;〔5〕已知a = 200sin ,则160tan 等于 〔 B 〕A 、21aa-- B 、21a a- C 、a a 21-- D 、a a 21-；〔6〕已知x x f 3cos )(cos =,则)30(sinf 的值为______－1.10.三角函数诱导公式〔2kπα+〕的本质是：奇变偶不变〔对k 而言,指k 取奇数或偶数〕,符号看象限〔看原函数,同时可把α看成是锐角〕.诱导公式的应用是求任意角的三角函数值,其一般步骤：〔1〕负角变正角,再写成2k π+α,02απ≤<；<2>转化为锐角三角函数.例8．〔1〕97cos tan()sin 2146πππ+-+的值为____23-____； 〔2〕已知54)540sin(-=+α,则=-)270cos( α___54-___,若α为第二象限角,则=+-+-)180tan()]360cos()180[sin(2ααα ____1003-____. 11、两角和与差的正弦、余弦、正切公式与倍角公式：()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβαβαβαβααα=±=±−−−→=()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 21cos2sin 22tan tan 21tan 令 ＝ ＝ αβαβαβαβααααααβααβααβααααα=±=−−−→=-↓=-=-±±=⇒-↓=-例9．〔1〕下列各式中,值为12的是 〔 C 〕A 、1515sin cosB 、221212cos sin ππ-C 、22251225tan .tan .-D 30； 〔2〕命题P ：0tan(A B )+=,命题Q ：0tan A tan B +=,则P 是Q 的 〔 〕A 、充要条件B 、充分不必要条件C 、必要不充分条件D 、既不充分也不必要条件；〔3〕已知35sin()cos cos()sin αβααβα---=,那么2cos β的值为___725_； 〔4〕131080sin sin -的值是____4__；<5>已知0tan110a =,求0tan 50的值〔用a ,乙求得的结果是212a a-,对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是______甲、乙都对;12.三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构.即首先观察角与角之间的关系,注意角的一些常用变式,角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系,通常"切化弦"；第三观察代数式的结构特点.基本的技巧有:〔1〕巧变角〔已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+,2()()ααβαβ=++-,2()()αβαβα=+--,22αβαβ++=⋅,()()222αββααβ+=---等〕,例10．〔1〕已知2tan()5αβ+=,1tan()44πβ-=,那么tan()4πα+的值是____322_； 〔2〕已知02πβαπ<<<<,且129cos()βα-=-,223sin()αβ-=,求cos()αβ+的值；答案：490729〔3〕已知,αβ为锐角,sin ,cos x y αβ==,3cos()5αβ+=-,则y 与x 的函数关系为______43(1)55y x x =<<；<2>三角函数名互化<切割化弦>,例11．〔1〕求值sin 50(13tan10)+；〔答案：1〔2〕已知sin cos 21,tan()1cos 23αααβα=-=--,求tan(2)βα-的值；答案：18<3>公式变形使用〔tan tan αβ±()()tan 1tan tan αβαβ=±.例12．〔1〕已知A 、B 为锐角,且满足tan tan tan tan 1A B A B =++,则cos()A B +＝__2-_；<2>设ABC ∆中,tan A tan B Atan B ++=,4sin Acos A =,则此三角形是__等边__三角形；<4>三角函数次数的降升<降幂公式：21cos 2cos 2αα+=,21cos 2sin 2αα-=与升幂公式：21cos 22cos αα+=,21cos 22sin αα-=>.例13．<1>若32(,)αππ∈,为_____sin 2α；〔2〕函数25f (x )sin x cos x x =-x R )∈的单调递增区间为_______51212[k ,k ](k Z )ππππ-+∈<5>式子结构的转化<对角、函数名、式子结构化同>. 例14．〔1〕化简tan (cos sin )ααα-sin tan cot csc αααα+++；〔〕〔2〕求证：21tan 1sin 212sin 1tan 22αααα++=--；〔sin α〕〔3〕：化简42212cos 2cos 22tan()sin ()44x x x x ππ-+-+ 〔1cos 22x 〕 <6>常值变换主要指"1”的变换〔221sin cos x x =+22sec tan tan cot x x x x =-=⋅ tan sin 42ππ===等〕,例15．已知tan 2α=,求22sin sin cos 3cos αααα+-.〔35〕<7>正余弦"三兄妹—sin cos sin cos x x x x ±、"的内存联系――"知一求二",例16．〔1〕若sin cos x x t ±=,则sin cos x x =212t -± __,特别提醒：这里[t ∈；〔2〕若1(0,),sin cos 2απαα∈+=,求tan α的值.；〔3〕已知2sin 22sin 1tan k ααα+=+()42ππα<<,试用k 表示sin cos αα-的值13、辅助角公式中辅助角的确定：()sin cos a x b x x θ+=+<其中θ角所在的象限由a , b 的符号确定,θ角的值由tan baθ=确定>在求最值、化简时起着重要作用. 例17．〔1〕若方程sin x x c =有实数解,则c 的取值范围是___[－2,2]________.；〔2〕当函数23y cos x sin x =-取得最大值时,tanx 的值是___32-___；〔3〕如果()()sin 2cos()f x x x ϕϕ=+++是奇函数,则tan ϕ=－2；〔4〕求值：=︒+︒-︒20sin 6420cos 120sin 3222_______32_； 14、正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数sin y x =和余弦函数cos y x =图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为0,3,,,222ππππ的五点,再用光滑的曲线把这五点连接起来,就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象.15、正弦函数sin ()y x x R =∈、余弦函数cos ()y x x R =∈的性质： 〔1〕定义域：都是R.〔2〕值域：都是[]1,1-,对sin y x =,当()22x k k Z ππ=+∈时,y 取最大值1；当()322x k k Z ππ=+∈时,y 取最小值－1；对cos y x =,当()2x k k Z π=∈时,y 取最大值1,当()2x k k Z ππ=+∈时,y 取最小值－1. 例18．〔1〕若函数sin(3)6y a b x π=-+的最大值为23,最小值为21-,则=a __,=b ；答案：1,12a b ==或1b =- 〔2〕函数x x x f cos 3sin )(+=〔]2,2[ππ-∈x 〕的值域是____[－1, 2]； 〔3〕若2αβπ+=,则6y cos sin βα=-的最大值和最小值分别是_7___ 、__－5___；〔4〕函数2()2cos sin()3f x x x x π=+sin cos x x +的最小值是__2___,此时x ＝()12k k Z ππ+∈；〔5〕己知21cos sin =βα,求αβcos sin =t 的变化范围；1[0,]2〔6〕若αβαcos 2sin 2sin 22=+,求βα22sin sin +=y 的最大、最小值.1max =y ,222min -=y特别提醒：在解含有正余弦函数的问题时,你深入挖掘正余弦函数的有界性了吗？〔3〕周期性：①sin y x =、cos y x =的最小正周期都是2π；②()sin()f x A x ωϕ=+和()cos()f x A x ωϕ=+的最小正周期都是2||T πω=. 例19．<1>若3sin)(xx f π=,则(1)(2)(3)(2003)f f f f ++++＝___0； <2> 函数4()cos f x x =2sin cos x x -4sin x -的最小正周期为___π_； <3> 设函数)52sin(2)(ππ+=x x f ,若对任意R x ∈都有)()()(21x f x f x f ≤≤成立,则||21x x -的最小值为__2__；〔4〕奇偶性与对称性：正弦函数sin ()y x x R =∈是奇函数,对称中心是()(),0k k Z π∈,对称轴是直线()2x k k Z ππ=+∈；余弦函数cos ()y x x R =∈是偶函数,对称中心是(),02k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭,对称轴是直线()x k k Z π=∈〔正<余>弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x 轴的直线,对称中心为图象与x 轴的交点〕.例20．〔1〕函数522y sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的奇偶性是______偶函数； 〔2〕已知函数31f (x )ax b sin x (a,b =++为常数〕,且57f ()=,则5f ()-=－5_；〔3〕函数)cos (sin cos 2x x x y +=的图象的对称中心和对称轴分别是__________、____________；128k (,)(k Z )ππ-∈；28k x (k Z )ππ=+∈ 〔4〕已知f (x )sin(x )x )θθ=+++为偶函数,求θ的值.6k (k Z )πθπ=+∈〔5〕单调性：()sin 2,222y x k k k Z ππππ⎡⎤=-+∈⎢⎥⎣⎦在上单调递增,在()32,222k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦单调递减；cos y x =在[]()2,2k k k Z πππ+∈上单调递减,在[]()2,22k k k Z ππππ++∈上单调递增.特别提醒,别忘了k Z ∈！ 16、形如sin()y A x ωϕ=+的函数： 〔1〕几个物理量：A ―振幅；1f T=―频率〔周期的倒数〕；x ωϕ+―相位；ϕ―初相；〔2〕函数sin()y A x ωϕ=+表达式的确定：A由周期确定；ϕ由图象上的特殊点确定,例21．()sin()(0,0f x A x A ωϕω=+>>,||2πϕ<图所示,则()f x ＝___15()2sin()23f x x π=+； 〔3〕函数sin()y A x ωϕ=+图象的画法：①"五点法"――设X x ωϕ=+,令X ＝0,3,,,222ππππ求出相应的x 值,计算得出五点的坐标,描点后得出图象；②图象变换法：这是作函数简图常用方法.〔4〕函数sin()y A x k ωϕ=++的图象与sin y x =图象间的关系：①函数sin y x =的图象纵坐标不变,横坐标向左〔ϕ>0〕或向右〔ϕ<0〕平移||ϕ个单位得()sin y x ϕ=+的图象；②函数()sin y x ϕ=+图象的纵坐标不变,横坐标变为原来的1ω,得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；③函数()sin y x ωϕ=+图象的横坐标不变,纵坐标变为原来的A 倍,得到函数sin()y A x ωϕ=+的图象；④函数sin()y A x ωϕ=+图象的横坐标不变,纵坐标向上〔0k >〕或向下〔0k <〕,得到()sin y A x k ωϕ=++的图象.要特别注意,若由()sin y x ω=得到()sin y x ωϕ=+的图象,则向左或向右平移应平移||ϕω个单位, 例22．〔1〕函数2sin(2)14y x π=--的图象经过怎样的变换才能得到sin y x =的图象？；2sin(2)14y x π=--向上平移1个单位得2sin(2)4y x π=-的图象,再向左平移8π个单位得2sin 2y x =的图象,横坐标扩大到原来的2倍得2sin y x =的图象,最后将纵坐标缩小到原来的12即得sin y x =的图象<2> 要得到函数cos()24x y π=-的图象,只需把函数sin 2xy =的图象向_左__平移__2π__个单位； 〔3〕将函数72sin(2)13y x π=-+图像,按向量a 平移后得到的函数图像关于原点对称,这样的向量是否唯一？若唯一,求出a ；若不唯一,求出模最小的向量；答案：存在但不唯一,模最小的向量(,1)6a π=--答：〕 〔4〕若函数()[]()cos sin 0,2f x x x x π=+∈的图象与直线y k =有且仅有四个不同的交点,则k 的取值范围是；〔5〕研究函数sin()y A x ωϕ=+性质的方法：类比于研究sin y x =的性质,只需将sin()y A x ωϕ=+中的x ωϕ+看成sin y x =中的x ,但在求sin()y A x ωϕ=+的单调区间时,要特别注意A 和ω的符号,通过诱导公式先将ω化正.例23．〔1〕函数23y sin(x )π=-+的递减区间是______；〔2〕1234x y log cos()π=+的递减区间是_______；〔3〕设函数)22,0,0)(sin()(πϕπωϕω<<->≠+=A x A x f 的图象关于直线32π=x 对称,它的周期是π,则 〔 〕A 、)21,0()(的图象过点x f B 、()f x 在区间52[,]123ππ上是减函数 C 、)0,125()(π是的图象的一个对称中心x f D 、()f x 的最大值是A ； 〔4〕对于函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭给出下列结论：①图象关于原点成中心对称；②图象关于直线12x π=成轴对称；③图象可由函数2sin 2y x =的图像向左平移3π个单位得到；④图像向左平移12π个单位,即得到函数2cos 2y x =的图像.其中正确结论是_______； 〔5〕已知函数()2sin()f x x ωϕ=+图象与直线1y =的交点中,距离最近两点间的距离为3π,那么此函数的周期是_______； 17、正切函数tan y x =的图象和性质：〔1〕定义域：{|,}2x x k k Z ππ≠+∈.遇到有关正切函数问题时,你注意到正切函数的定义域了吗？〔2〕值域是R,在上面定义域上无最大值也无最小值；〔3〕周期性：是周期函数且周期是π,它与直线y a =的两个相邻交点之间的距离是一个周期π.绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来,某一周期函数解析式加绝对值或平方,其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值,其周期性不变,其它不定. 如x y x y sin ,sin 2==的周期都是π, 但sin y x =cos x +的周期为2π,而1|2sin(3)|,|2sin(3)2|626y x y x ππ=-+=-+,|tan |y x =的周期不变；〔4〕奇偶性与对称性：是奇函数,对称中心是,02k π⎛⎫⎪⎝⎭()k Z ∈,特别提醒：正<余>切型函数的对称中心有两类：一类是图象与x 轴的交点,另一类是渐近线与x 轴的交点,但无对称轴,这是与正弦、余弦函数的不同之处.〔5〕单调性：正切函数在开区间(),k k k Z ππππ⎛⎫-++∈ ⎪内都是增函数.但要注意在18. 三角形中的有关公式：<1>内角和定理：三角形三角和为π,这是三角形中三角函数问题的特殊性,解题可不能忘记！任意两角和与第三个角总互补,任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形⇔三内角都是锐角⇔三内角的余弦值为正值⇔任两角和都是钝角⇔任意两边的平方和大于第三边的平方.<2>正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C===<R 为三角形外接圆的半径>.注意：①正弦定理的一些变式：()sin sin sin i a b c A B C ::=::；()sin ,sin ,sin 22a bii A B C R R==2cR=；()2sin ,2sin ,2sin iii a R A b R B b R C ===；②已知三角形两边一对角,求解三角形时,若运用正弦定理,则务必注意可能有两解.<3>余弦定理：2222222cos ,cos 2b c a a b c bc A A bc+-=+-=等,常选用余弦定理鉴定三角形的形状.<4>面积公式：111sin ()222a S ah ab C r a b c ===++〔其中r 为三角形内切圆半径〕.如ABC ∆中,若C B A B A 22222sin sin cos cos sin =-,判断ABC ∆的形状〔答：直角三角形〕.特别提醒：〔1〕求解三角形中的问题时,一定要注意A B C π++=这个特殊性：,sin()sin ,sincos 22A B CA B C A B C π++=-+==；〔2〕求解三角形中含有边角混合关系的问题时,常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化.例24．〔1〕ABC ∆中,A 、B 的对边分别是 a b 、,且A=60 4,a b ==,那么满足条件的ABC ∆ A 、 有一个解 B 、有两个解 C 、无解 D 、不能确定 〔 〕；〔2〕在ABC ∆中,A ＞B 是sin A sin B >成立的____条件；〔3〕在ABC ∆中,112(tan A)(tan B )++=,则2log sinC ＝_____；<4>在ABC ∆中,a,b,c 分别是角A 、B 、C 所对的边,若(a b c )(sin A sin B +++3sinC )a sin B -=,则C ∠＝____；〔5〕在ABC ∆中,若其面积222S =,则C ∠=____；〔6〕在ABC ∆中,60 1A ,b ==,这个三角形的面积为,则ABC ∆外接圆的直径是_______；〔7〕在△ABC 中,a 、b 、c 是角A 、B 、C 的对边,21,cos 32B C a A +==则=,22b c +的最大值为；〔8〕在△ABC 中AB=1,BC=2,则角C 的取值范围是；〔9〕设O 是锐角三角形ABC 的外心,若75C ∠=,且,,AOB BOC COA ∆∆∆的面积满足关系式AOB BOC COA S S ∆∆∆+=,求A ∠．19.反三角函数：〔1〕反三角函数的定义〔以反正弦函数为例〕：arcsin a 表示一个角,这个角的正弦值为a ,且这个角在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内(11)a -≤≤.<2>反正弦arcsin x 、反余弦arccos x 、反正切arctan x 的取值范围分别是)2,2(],,0[],2,2[πππππ--. 在用反三角表示两异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的平面角、直线的倾斜角、1l 到2l 的角、1l 与2l 的夹角以与两向量的夹角时,你是否注意到了它们的范围？(0,],[0,],[0,]22πππ,[)π,0,[0,),[0,),[0,]2πππ． 20、求角的方法：先确定角的范围,再求出关于此角的某一个三角函数〔要注意选择,其标准有二：一是此三角函数在角的范围内具有单调性；二是根据条件易求出此三角函数值〕.例25．〔1〕若,(0,)αβπ∈,且tan α、tan β是方程2560x x -+=的两根,则求αβ+的值______；〔2〕ABC ∆中,3sin 4cos 6,4sin 3cos 1A B B A +=+=,则C ∠＝_______；〔3〕若02αβγπ≤<<<且0sin sin sin αβγ++=,0cos cos cos αβγ++=,求βα-的值例26．已知函数xx x x f 2cos 4sin 5cos 6)(24-+=,求：〔1〕函数f <x >的定义域； 〔2〕函数f <x >的周期和值域.例27．已知.0cos 35cos sin )515(sin ),23,(22=---∈θθθθππθ〔I 〕求θcos ； 〔Ⅱ〕若)(,21cos sin cos 34cos sin 15154)(2x f x x x x f 求+-=θθ的最小正周期与单调 递减区间.例28．已知： 〔Ⅰ〕(),x R f x ∈若求的最小正周期;〔Ⅱ〕()()22cos 2.f x x x a a R =+∈其中(),3,66f x a ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦若在上最大值与最小值之和求的值.〔答：25-；536π-〕 〔答：Z k k ∈+,32ππ〕〔答：一、三〕〔答：22cm 〕〔答：713-〕；〔答：〔－1,)23〕；〔答：负〕<答：tan sin cos θθθ<<>；〔答：sin tan ααα<<〕；〔答：2(2,2]()33k k k Z ππππ-+∈〕〔答：大于0〕；〔答：[0,]4π],43[ππ〕；〔答：125-〕；〔答：35-；513〕；答：B 〔答：－1〕〔答：2-〕〔答：54-；1003-〕〔答：C 〕〔答：725〕〔答：4〕〔答：甲、乙都对〕〔答：322〕〔答：490729〕〔答：43(1)55y x x =<<〕〔答：1〕〔答：18〕〔答：2-〕〔答：等边〕〔答：sin 2α〕〔答：51212[k ,k ](k Z )ππππ-+∈〕〔答：sin α〕〔答：1cos 22x 〕〔答：35〕〔答：212t -±〕〔答：〕〔答：[－2,2]〕<答：32-><答：－2><答：32>〔答：1,12a b ==或1b =-〕〔答：[－1, 2]〕〔答：7；－5〕〔答：2；()12k k Z ππ+∈〕〔答：1[0,]2〕〔答：1max =y ,222min -=y 〕〔答：0〕〔答：π〕〔答：2〕〔答：偶函数〕〔答：－5〕〔答：128k (,)(k Z )ππ-∈、28k x (k Z )ππ=+∈〕〔答：6k (k Z )πθπ=+∈〕〔答：15()2sin()23f x x π=+〕〔答：2sin(2)14y x π=--向上平移1个单位得2sin(2)4y x π=-的图象,再向左平移8π个单位得2sin 2y x =的图象,横坐标扩大到原来的2倍得2sin y x =的图象,最后将纵坐标缩小到原来的12即得sin y x =的图象〕〔答：左；2π〕〔答：存在但不唯一,模最小的向量(,1)6a π=--〕〔答：〕〔答：51212[k ,k ](k Z )ππππ-+∈〕〔答：336644[k ,k ](k Z )ππππ-+∈〕〔答：C 〕〔答：②④〕〔答：π〕答：C 〔答：充要〕〔答：12-〕〔答：60〕〔答：30〕〔答：3〕〔答：1932;〕〔答：06C π<≤〕〔答：45〕〔答：34π〕〔答：3π〕〔答：23π〕解：〔1〕2202cos ππ+≠⇒≠k x x 得)(22Z k k x ∈+≠ππ 〔2〕化简得).42(212cos 23)(ππ+≠+=k x x x f 所以周期T=]2,21()21,1[,⋃-值域为π 解：〔I 〕035tan )515(tan ),23,(2=---∈θθππθ则 解出5tan 15tan -==θθ或〔舍去〕)](65,3[)()(653,)(,)(2326222:22)62sin(2cos 212sin 232122cos 12sin 2321cos cos sin 321cos sin )41(34cos )415(15154)()23,(,415cos 1sin )(41tan 11cos 2222Z k k k x f Z k k x k x f Z k k x k x T x x x x x x x x x x x x f II ∈++∴∈+≤≤+∈+≤-≤+==∴-=-=++-=+-=+-⨯--⨯=∈-=--=-=+-=∴ππππππππππππππππππθθθθθ单调减区间为即是减函数时满足当已知： ()()22cos 2.f x x x a a R =+∈其中〔Ⅰ〕(),x R f x ∈若求的最小正周期;〔Ⅱ〕解：()1cos 222sin(2)16f x x x a x a π=++=+++ ……3分 〔Ⅰ〕最小正周22T ππ== ……6分 〔Ⅱ〕1[,]2[,]sin(2)16666226x x x ππππππ∈-∴+∈-∴-≤+≤ ……9分即max min ()21()11f x a f x a =++⎧⎨=-++⎩233a ∴+= 即：0a =解：〔I 〕035tan )515(tan ),23,(2=---∈θθππθ则 解出5tan 15tan -==θθ或〔舍去〕)](65,3[)()(653,)(,)(2326222:22)62sin(2cos 212sin 232122cos 12sin 2321cos cos sin 321cos sin )41(34cos )415(15154)()23,(,415cos 1sin )(41tan 11cos 2222Z k k k x f Z k k x k x f Z k k x k x T x x x x x x x x x x x x f II ∈++∴∈+≤≤+∈+≤-≤+==∴-=-=++-=+-=+-⨯--⨯=∈-=--=-=+-=∴ππππππππππππππππππθθθθθ单调减区间为即是减函数时满足当解：()1cos 222sin(2)16f x x x a x a π=++=+++ ……3分〔Ⅰ〕最小正周22T ππ== ……6分(),3,66f x a ππ⎡⎤-⎢⎥⎣若在上最大值与最小值之和求的值.〔Ⅱ〕1[,]2[,]sin(2)16666226x x x ππππππ∈-∴+∈-∴-≤+≤ ……9分 即max min ()21()11f x a f x a =++⎧⎨=-++⎩233a ∴+= 即：0a =。
三角函数典型例题剖析与规律总结44439
三角函数典型例题剖析与规律总结一：函数的定义域问题 1. 求函数1sin 2+=x y 的定义域。
分析：要求1sin 2+=y 的定义域，只需求满足01sin 2≥+x 的x 集合，即只需求出满足21sin -≥x 的x值集合，由于正弦函数具有周期性，只需先根据问题要求，求出在一个周期上的适合条件的区间，然后两边加上πk 2()Z k ∈即可。
解：由题意知需01sin 2≥+x ，也即需21sin -≥x ①在一周期⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,2ππ上符合①的角为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-67,6ππ,由此可得到函数的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-672,62ππππk k ()Z k ∈ 小结:确定三角函数的定义域的依据：（1）正、余弦函数、正切函数的定义域。
（2）若函数是分式函数，则分母不能为零。
（3）若函数是偶函数，则被开方式不能为负。
（4）若函数是形如()()1,0log ≠>=a a x f y a的函数，则其定义域由()x f 确定。
（5）当函数是有实际问题确定时，其定义域不仅要使解析式有意义同时还要使实际问题有意义。
二．函数值域及最大值，最小值 （1）求函数的值域 例。
求下列函数的值域（1）x y 2sin 23-= （2）2sin 2cos 2-+=x y x分析：利用1cos ≤x 与1sin ≤x 进行求解。
解：（1） 12sin 1≤≤-x ∴[]5,151∈∴≤≤y y （2）()[].0,4,1sin 11sin 1sin 2sin 2sin 2222cos -∈∴≤≤---=-+-=-+=y x x x x x x y 评注：一般函数的值域求法有：观察法，配方法判别式法，反比例函数法等，而三角函数是函数的特殊形式，其一般方法也适用，只不过要结合三角函数本身的性质罢了。
（2）函数的最大值与最小值。
例。
求下列函数的最大值与最小值 （1）x y sin 211-= （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=6662sin 2πππx x y（3）4sin 5cos 22-+=x x y （4）⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+-=32,31cos 4cos 32ππx x x y 分析：（1）（2）可利用sinx,cosx 的值域求解求解过程要注意自变量的去值范围（3）（4）可利用二次函数c bx ax x f ++=2)(在闭区间[]n m ,上求最值得方法。
初中三角函数知识点总结及典型习题共5页
初中三角函数知识点总结及典型习题共5页初三下学期锐角三角函数知识点总结及典型题1、勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。
2、在直角三角形Rt△ABC中，若∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为：定义表达式取值范围关系正弦 sinA a/c (-1,1] 对边/斜边余弦 cosA b/c (-1,1] 邻边/斜边正切 tanA a/b (-∞。
+∞) 对边/邻边同时，有以下关系式：sinA = cosBcosA = sinBsin^2A + cos^2A = 13、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，余弦值等于它的余角的正弦值。
即：sinA = cos(90°-A)cosA = sin(90°-A)4、特殊角的三角函数值：角度 30° 45° 60°正弦值1/2 √2/2 √3/2余弦值√3/2 √2/2 1/2正切值√3/3 1 √35、正弦、余弦的增减性：当0°≤A≤90°时，XXX随A的增大而增大，cosA随A的增大而减小。
6、正切的增减性：当0°<A<90°时，XXX随A的增大而增大。
7、正弦定理、余弦定理：1) 三角形常用公式：A+B+C=π；S=1/2absinC=1/2bcsinA=1/2casinB2) 三角形中的边角不等关系：A>B⇔a>b。
a+b>c。
a-b<c3) 正弦定理：a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R（外接圆直径）4) 正弦定理应用范围：①已知两角和任一边，求其他两边及一角。
②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。
③几何作图时，存在多种情况。
如已知a、b及A，求作三角形时，要分类讨论，确定解的个数。
已知两边和其中一边的对角解三角形，有如下的情况：1)A为锐角一解：a = bsinA/sinB两解：a < b2)A为锐角或钝角，当a>b时有一解。
(完整版)三角函数典型例题剖析与规律总结材料,推荐文档
建议收藏下载本文，以便随时学习！ 已知，且，则可以表示（）））） 分析 由题意求，不仅要看选择支给出的四个角中哪一个角在区间内，还要看哪一个角的正弦值为 依据诱导公式，有，，由此排除了 又，故，）若，则等于（）） ）））已知，那么的值是（ （A）（B） （C）（D） 分析（1）方法1 因为 （注意）. （注意由有）. 于是原式，故选. 方法 2 利用，，， 又，，，故选（A）. （2）本题是的条件下，求两角和的值，只要求出这两个角和的正切值，并确定其取值范围即可． 设，， 由，有，，， 故， 并且，，.建议收藏下载本文，以便随时学习！ 由此可知，故选.的值 设，则，且 又设，则，且，故． 又由，可得， 即． 函数的定义域为建议收藏下载本文，以便随时学习！ 分析 所求函数定义域应该由下列条件确定： 解得为，故所求定义域为． 又由，则，，即所求值域为 函数的单调递增区间是 分析 由，得函数的定义域为 由于函数由函数和复合而成，而函数在其定义域内是减函数，故只要求出函数的单调递减区间，为 因此，已知函数的递增敬意是 满足的的取值范围是 满足的的取值范围是此类题既要用到函数的单调性，还要注意相应式有意义对的限制条件． 例7 若，则在上满足的的取值范围是（）． （A）（B） （C）（D） 分析这是一道既要运用三角函数的性质，又要运用以反三角函数表示一定范围内的角的题目．如下图， 满足已知条件的的取值范围是， 其中满足：，故， 同样，因此本题应选B．。
三角函数解三角形知识点总结例题剖析
三角函数5、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l rα=． 6、弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1180π=，7、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2Cr l =+，21122S lr r α==．8、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是()r r =>，则sin y r α=，cos x r α=，()tan 0yx xα=≠． 9、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．11、角三角函数的基本关系：()221sin cos 1αα+=()2222sin1cos ,cos 1sin αααα=-=-；()sin 2tan cos ααα=sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛⎫== ⎪⎝⎭．12、函数的诱导公式：()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．口诀：函数名称不变，符号看象限．()5sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭．()6sin cos 2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=-⎪⎝⎭． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．13、①的图象上所有点向左（右）平移ϕ个单位长度，得到函数()sin y x ϕ=+的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象．14、函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质：①振幅：A 12f ωπ==T ；④相位：x ωϕ+；⑤初相：ϕ．15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sin y x =cos y x = tan y x =图象定义域 R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =；当22x k ππ=- ()k ∈Z 时，min 1y =-．当()2x k k π=∈Z 时，max 1y =；当2x k ππ=+()k ∈Z 时，min 1y =-．既无最大值也无最小值周期性2π 2π π 奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是增函数；在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是减函数．在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在[]2,2k k πππ+()k ∈Z 上是减函数．在,22k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭()k ∈Z 上是增函数．对称性对称中心()(),0k k π∈Z对称轴()2x k k ππ=+∈Z对称中心(),02k k ππ⎛⎫+∈Z ⎪⎝⎭对称轴()x k k π=∈Z对称中心(),02k k π⎛⎫∈Z ⎪⎝⎭无对称轴余弦定理主要解决的问题：①已知两边和夹角，求其余的量。
三角函数知识点归纳总结及例题
《三角函数》一、任意角的概念与弧度制1、将沿X轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角. 逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角2、同终边的角可表示为｛a|a = /7 + k・36O°｝（Z；£Z）x轴上角：｛a[a = A180｝（%eZ）y 轴上角：｛囱a = 90 +k.\ 80 ｝（& £ Z）3、第一象限角：｛回0 +攵・360。
vav90 +人360?（人Z）第二象限角：｛回90 +k・360。
vavl80 +k・360°｝（k£Z）第三象限角：同180 +攵・360。
<a< 270、+攵・360。
｝（攵e Z）第四象限角：｛© 270、+ k・360° < a < 360' + 女・360'｝仕e Z）4、区分第一象限角、锐角以及小于90的角第一象限角：｛回0 +攵・360。
v a v 90 +人360°｝（ke Z）镜角：｛蜀0<2<90 ｝小于90°的角：｛a|av90 ｝例题：1.下列各角中，与27。
角终边相同的是（）A. 630B. 1530C. 207°D. 387°2.已知cosg V 0,sin4 V 0,且cosa<0,则角a 为（）2 2A.第一象限的角B.第二象限的角C.第三象限的角D.第四象限的角3.若角。
为第二象限角，则角:为（）象限角2A.第一B.第一或第二C.第二D.第一或第三5、若a为第二象限角，那么区为第几象限角？2兀……、a 九，—+ 2k 九<a<7r + 2k 冗— + k7r< — < — + k7r2 4 2 2fc 穴，,汽 力"//J 江A = 0, — « a < —,k = 1, — W a & —,4 2 4 2所以3在第一、三象限 26、弧度制：弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作1m".7、角度与弧度的转化：1° = —^0.01745 1 =也%57.30。
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三角函数典型例题剖析与规律总结一：函数的定义域问题 1. 求函数1sin 2+=x y 的定义域。
分析：要求1sin 2+=y 的定义域，只需求满足01sin 2≥+x 的x 集合，即只需求出满足21sin -≥x 的x 值集合，由于正弦函数具有周期性，只需先根据问题要求，求出在一个周期上的适合条件的区间，然后两边加上πk 2()Z k ∈即可。
解：由题意知需01sin 2≥+x ，也即需21sin -≥x ①在一周期⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,2ππ上符合①的角为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-67,6ππ,由此可得到函数的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-672,62ππππk k ()Z k ∈ 小结:确定三角函数的定义域的依据：（1）正、余弦函数、正切函数的定义域。
（2）若函数是分式函数，则分母不能为零。
（3）若函数是偶函数，则被开方式不能为负。
（4）若函数是形如()()1,0log ≠>=a a x f y a的函数，则其定义域由()x f 确定。
（5）当函数是有实际问题确定时，其定义域不仅要使解析式有意义同时还要使实际问题有意义。
二．函数值域及最大值，最小值 （1）求函数的值域 例。
求下列函数的值域（1）x y 2sin 23-= （2）2sin 2cos 2-+=x y x分析：利用1cos ≤x 与1sin ≤x 进行求解。
解：（1） 12sin 1≤≤-x ∴[]5,151∈∴≤≤y y （2）()[].0,4,1sin 11sin 1sin 2sin 2sin 2222cos -∈∴≤≤---=-+-=-+=y x x x x x x y 评注：一般函数的值域求法有：观察法，配方法判别式法，反比例函数法等，而三角函数是函数的特殊形式，其一般方法也适用，只不过要结合三角函数本身的性质罢了。
（2）函数的最大值与最小值。
例。
求下列函数的最大值与最小值 （1）x y sin 211-= （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=6662sin 2πππx x y（3）4sin 5cos 22-+=x x y （4）⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+-=32,31cos 4cos 32ππx x x y分析：（1）（2）可利用sinx,cosx 的值域求解求解过程要注意自变量的去值范围（3）（4）可利用二次函数c bx ax x f ++=2)(在闭区间[]n m ,上求最值得方法。
解：(1)221sin ;261sin 1sin 11sin 10sin 211min max ===-=∴≤≤-∴⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≥-y x y x x x x 时当时，当 (2).11)32cos(5132cos ,1)32cos(1min max =-=+==⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴≤+≤-y x y x x 时，；当时，当πππ(3)[]222592cos 5sin 42sin 5sin 22sin ,sin 1,1,48y x x x x x x ⎛⎫=+-=-+-=--+∈- ⎪⎝⎭∴当sin 1x =-，即2(2x k k Z ππ=-+∈）时，y 有最小值9-； 当sin 1x =，即2(2x k k Z ππ=+∈），y 有最大值1。
(4)413,21cos 415y 32,21cos ,21,21cos ,32,3,31)32(cos 31cos 4cos 3min max 22-=====-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈--=+-=y x x x x x x x x x y 时，即当时，、即从而ππππ 小结：求值域或最大值，最小值的问题，一般的依据是：（1）sinx,cosx 的有界性；（2）tanx 的值可取一切实数；（3）连续函数在闭区间上存在最大值和最小值。
根据上面的原则，常常把给出的函数变成以下几种形式；（1）()sin x ωα+一次形式（2）sin ()x f y =或cos ()x f y =的形式，通过()1f y ≤来确定或其他变形来确定。
三：函数的周期性例 求下列函数的周期()x x f 2cos )(1=())62sin(2)(2π-=x x f分析：该例的两个函数都是复合函数，我们可以通过变量的替换，将它们归结为基本三角函数去处理。
（1） 把x 2看成是一个新的变量u ，那么u cos 的最小正周期是π2，就是说，当π2+u u 增加到且必须增加到π2+u 时，函数u cos 的值重复出现，而),(2222πππ+=+=+x x u 所以当自变量x 增加到π+x 且必须增加到π+x 时，函数值重复出现，因此，x y 2sin =的周期是π。
（2） ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-62sin 2)262sin(2πππx x 即())62sin(2)()62sin(26421sin 2ππππ-=∴-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+x x f x x 的周期是π4。
小结：由上面的例题我们看到函数周期的变化仅与自变量x 的系数有关。
一般地，函数)sin(ϕω+=x A y 或)cos(ϕω+=x A y （其中ϕω,,A 为常数，),0,0R x A ∈>≠ω的周期ωπ2=T 。
四．函数的奇偶性例 判断下列函数的奇偶性xxx x f x x x f sin 1cos sin 1)()2)(sin()()1(2+-+=+=π分析：可利用函数奇偶性定义予以判断。
解：（1）函数的定义域R 关于原点对称。
是偶函数。
)()(sin )sin()()(,sin )sin()(x f x f x x x x x f x x x x x f ∴=-=--=--=+=ππ（2函数应满足∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠∈∴≠+.,2320sin 1Z k k x R x x x ππ，且函数的定义于为函数的定义域不关于原点对称。
∴ 函数既不是奇函数又不是偶函数。
评注：判断函数奇偶性时，必须先检查定义域是否关于原点对称的区间，如果是，再验证)(x f -是否等于)(x f -或)(x f ，进而判断函数的奇偶性，如果不是，则该函数必为非奇非偶函数。
五：函数的单调性 例：下列函数，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ,2上是增函数的是（ ） x y A sin .= x y B cos = x y C 2sin = x y D 2cos =分析：判断。
在各象限的单调性作出与可根据x x x x cos sin .22,2ππππ≤≤∴≤≤解：sin y x =与cos y x =在2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上都是减函数，∴排除,A B ，2x ππ≤≤，22,x ππ∴≤≤知sin 2y x =在[]2,2x ππ∈内不具有单调性，∴又可排除C ，∴应选D 。
小结：求形如)0,0)(cos()sin(>≠+=+=ωϕωϕωA x A y x A y 其中或的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：式的方向相同（反）。
的单调区间对应的不等与时，所列不等式的方向）视为一个整体；（把“)(cos ),(sin )0(02)"0()1(R x x y R x x y A A x ∈=∈=<>>+ωϕω练习：1. 函数xy sin 1=的定义域为（ ） {}[)(]{}0.1,00,1.,..≠-∈≠∈x x D C Z k k x R x B R A π2. 函数)6cos(π+=x y ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 的值域是( ) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎝⎛-1,211,2323,2121,23.DCBA 3. 函数)0)(4sin(>+=ωπωx y 的周期为32π，则ω=------------. 4. 下列函数中是偶函数的是（ ）1sin sin sin 2sin .+==-==x y Dxy C x y B x y A5. 下列函数中，奇函数的个数为（ ）（1）x x y sin 2=（2）[]π2,0,sin ∈=x x y （3）[]ππ,,sin -∈=x x y （4）x x y cos =432.1.D C B A6. 在区间⎪⎭⎫⎝⎛2,0π上，下列函数为增函数的是（ ） x y Dxy Cxy Bxy A cos sin cos 1sin 1.-=-=-==7. 函数x y 2sin =的单调减区间是（ ）[]()Z k k k D k k Ck k B k k A ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++4,423,243,4223,22ππππππππππππππππ8. 如果4π≤x ，则函数x x y sin cos 2+=的最小值是——————9. 函数)2434(tan πππ≠≤=x xx y 且的值域为（ ） [](][)(][)+∞-∞-+∞-∞--,11,,11,1,1DCBA答案：B B 3 C C D B221B例1已知，且，则可以表示（）．（A）（B）（C）（D）分析由题意求，不仅要看选择支给出的四个角中哪一个角在区间，还要看哪一个角的正弦值为依据诱导公式，有，，由此排除了B和D．又，故，因此本题应选C．点评反三角函数的记号既然表示一个特定区间上的角，就可以此为基础表示其他指定范围内的角．例2（1）若，则等于（）．（A）（B）（C）（D）（2）已知，那么的值是（）．（A）（B）（C）（D）分析（1）方法1因为（注意）.（注意由有）.于是原式，故选.方法 2 利用，，，又，，，故选（A）.（2）本题是的条件下，求两角和的值，只要求出这两个角和的正切值，并确定其取值范围即可．设，，由，有，，，故，并且，，.由此可知，故选.点评本题是利用反三角函数的概念，通过设辅助角，把反三角函数的运算转化为三角函数的问题来解决，这是常用的处理方法，同时，揭示了反三角函数和三角函数的内在联系．例3的值= ．分析本题实质上是求角的大小，可以先求它的某种三角函数值，再估计其取值范围而确定．设，则，且又设，则，且，故．∴又由，可得∴，即．例4函数的定义域为，值域为．分析所求函数定义域应该由下列条件确定：解得为，故所求定义域为．又由，则，∴，即所求值域为点评求值域时既要认识给定函数是复合函数，又要注意定义域的制约作用．例5函数的单调递增区间是．分析由，得函数的定义域为由于函数由函数和复合而成，而函数在其定义域内是减函数，故只要求出函数的单调递减区间，为因此，已知函数的递增敬意是点评这里不仅要正确运用复合函数单调性的规律，而且要注意函数的单调区间定是其定义域的子区间．例6满足的的取值范围是；满足的的取值范围是．分析此类题既要用到函数的单调性，还要注意相应式有意义对的限制条件．例7若，则在上满足的的取值范围是（）．（A）（B）（C）（D）分析这是一道既要运用三角函数的性质，又要运用以反三角函数表示一定范围内的角的题目．如下图，满足已知条件的的取值范围是，其中满足：，故，同样，因此本题应选B．。