三角函数典型例题剖析与规律总结

三角函数典型例题剖析与规律总结

一：函数的定义域问题 1. 求函数1sin 2+=x y 的定义域。

分析：要求1sin 2+=

y 的定义域，只需求满足01sin 2≥+x 的x 集合，即只需求出满足

2

1

sin -≥x 的x 值集合，由于正弦函数具有周期性，只需先根据问题要求，求出在一个周

期上的适合条件的区间，然后两边加上πk 2()Z k ∈即可。 解：由题意知需01sin 2≥+x ，也即需21sin -

≥x ①在一周期⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-23,2ππ上符合①的角为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-67,6ππ,由此可得到函数的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣

⎡

+-672,62ππππk k ()Z k ∈ 小结:确定三角函数的定义域的依据：（1）正、余弦函数、正切函数的定义域。（2）若函数

是分式函数，则分母不能为零。（3）若函数是偶函数，则被开方式不能为负。（4）若函数是形如()()1,0log ≠>=

a a x f y a

的函数，则其定义域由()x f 确定。

（5）当函数是有实际问题确定时，其定义域不仅要使解析式有意义同时还要使实际问题有意义。 二．函数值域及最大值，最小值 （1）求函数的值域 例。求下列函数的值域

（1）x y 2sin 23-= （2）2sin 2cos 2

-+=

x y x

分析：利用1cos ≤x 与1sin ≤x 进行求解。 解：（1） 12sin 1≤≤-x ∴[]5,151∈∴≤≤y y （2）

()[].

0,4,1sin 11sin 1sin 2sin 2sin 22

22

cos -∈∴≤≤---=-+-=-+=y x x x x x x y 评注：一般函数的值域求法有：观察法，配方法判别式法，反比例函数法等，而三角函数是函数的特殊形式，其一般方法也适用，只不过要结合三角函数本身的性质罢了。 （2）函数的最大值与最小值。 例。求下列函数的最大值与最小值 （1）x y sin 211-

= （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤-⎪⎭⎫ ⎝

⎛

+=6662sin 2πππx x y

（3）4sin 5cos 22

-+=x x y （4）⎥⎦

⎤⎢

⎣⎡∈+-=32,31cos 4cos 32

ππx x x y

分析：（1）（2）可利用sinx,cosx 的值域求解求解过程要注意自变量的去值范围（3）（4）可利用二次函数c bx ax x f ++=2

)(在闭区间[]n m ,上求最值得方法。

解：

(1)

221sin ;261sin 1sin 11

sin 10

sin 21

1min max =

==-=∴≤≤-∴⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≥-y x y x x x x 时当时，当 (2)

.11)32cos(5132cos ,1)32cos(1min max =-=+==⎪⎭⎫ ⎝

⎛

+∴≤+

≤-y x y x x 时，；当时，当πππ

(3)

[]2

22592cos 5sin 42sin 5sin 22sin ,sin 1,1,48y x x x x x x ⎛

⎫=+-=-+-=--+∈- ⎪⎝

⎭

∴当sin 1x =-，即2(2

x k k Z π

π=-

+∈）

时，y 有最小值9-； 当sin 1x =，即2(2

x k k Z π

π=+∈）

，y 有最大值1。 (4)

4

13,21cos 415y 32,21cos ,21,21cos ,32,3,31)32(cos 31cos 4cos 3min max 22-

=====-=⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡-∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈--=+-=y x x x x x x x x x y 时，即当时，、即

从而ππππ 小结：求值域或最大值，最小值的问题，一般的依据是：（1）sinx,cosx 的有界性；（2）tanx 的值可取一切实数；（3）连续函数在闭区间上存在最大值和最小值。根据上面的原则，常常把给出的函数变成以下几种形式；

（1）()sin x ωα+一次形式（2）sin ()x f y =或cos ()x f y =的形式，通过()1f y ≤来确定或其他变形来确定。 三：函数的周期性

例 求下列函数的周期()x x f 2cos )(1=())6

2

sin(2)(2π

-

=x x f

分析：该例的两个函数都是复合函数，我们可以通过变量的替换，将它们归结为基本三角函数去处理。

（1） 把x 2看成是一个新的变量u ，那么u cos 的最小正周期是π2，就是说，当π2+u u 增加到且

必须增加到π2+u 时，函数u cos 的值重复出现，而),(2222πππ+=+=+x x u 所以当自变量x 增加到π+x 且必须增加到π+x 时，函数值重复出现，因此，x y 2sin =的周期是π。

（2） ⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=+-62sin 2)262sin(

2πππx x 即())62sin(2)()62sin(2642

1

sin 2ππππ-=∴-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+x x f x x 的周期是π4。

小结：由上面的例题我们看到函数周期的变化仅与自变量x 的系数有关。一般地，函数

)sin(ϕω+=x A y 或)cos(ϕω+=x A y （其中ϕω,,A 为常数，),0,0R x A ∈>≠ω的周期ω

π

2=

T 。

四．函数的奇偶性

例 判断下列函数的奇偶性

x

x

x x f x x x f sin 1cos sin 1)()2)(sin()()1(2+-+=+=π

分析：可利用函数奇偶性定义予以判断。 解：（1）函数的定义域R 关于原点对称。

是偶函数。)()(sin )sin()()(,sin )sin()(x f x f x x x x x f x x x x x f ∴=-=--=--=+=ππ

（2函数应满足∴⎭

⎬⎫⎩⎨⎧∈+

≠∈∴≠+.,2320sin 1Z k k x R x x x π

π，且函数的定义于为函数的定义域不关于原点对称。∴ 函数既不是奇函数又不是偶函数。

评注：判断函数奇偶性时，必须先检查定义域是否关于原点对称的区间，如果是，再验证)(x f -是否等于)(x f -或)(x f ，进而判断函数的奇偶性，如果不是，则该函数必为非奇非偶函数。 五：函数的单调性 例：下列函数，在⎥⎦

⎤

⎢

⎣⎡ππ,2上是增函数的是（ ） x y A sin .= x y B cos = x y C 2sin = x y D 2cos =

分析：判断。

在各象限的单调性作出与可根据x x x x cos sin .22,2

ππππ

≤≤∴≤≤

解：

sin y x =与cos y x =在2ππ⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

，上都是减函数，∴排除,A B ，2x ππ≤≤，22,x ππ∴≤≤知sin 2y x =在[]2,2x ππ∈内不具有单调性，∴又可排除C ，∴应选D 。

小结：求形如)0,0)(cos()sin(>≠+=+=ωϕωϕωA x A y x A y 其中或的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：