高中圆与直线的典型大题

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直线与圆(典型例题和练习题)

直线与圆1.本单元知识点本单元的学习重点包括：直线的斜率、直线的方程、直线与直线的位置关系，圆的方程、圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，直线与圆的距离问题，其中直线与圆的位置关系是高考热点.2.典型例题选讲例1. 过点M （0,1）作直线，使它被两直线082:,0103:21=-+=+-y x l y x l 所截得的线段恰好被M 所平分，求此直线的方程.说明：直线方程有三种基本形式：点斜式、两点式、一般式，求直线方程时应根据题目条件灵活选择，并注意不同形式的适用范围. 如采用点斜式，需要注意讨论斜率不存在的情况. 例2.已知圆0822:221=-+++y x y x C 与圆024102:222=-+-+y x y x C 交于A,B 两点.（1）求直线AB 的方程；（2）求过A 、B 两点且面积最小的圆的方程.说明：应用两圆相减求两圆公共弦的方法，可避免通过求两个交点再求公共弦方程. 另外，在求解与圆有关的问题时，应注意多利用圆的相关几何性质，这样利于简化解题步骤.例3.若过点A （4,0）的直线l 与曲线1)2(22=+-y x 有公共点，求直线l 的斜率k 的取值范围. （一题多解）说明：直线与圆的位置关系问题，可以从几何和代数两方面入手. 相切问题应抓住角度问题求斜率；相交问题应抓住半径r 、弦心距d 、半弦长2l 构造的直角三角形使问题简化. 例4.设定点M （－3,4），动点N 在圆422=+y x 上运动，以OM ，ON 为邻边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹.说明：轨迹方程在必修2第122页有例题，求动点的轨迹方程要特别注意考虑轨迹与方程间的等价性，有时求得方程后还要添上或去掉某些点.3.自测题选择题：1.过点A （1，-1）且与线段)11(0323≤≤-=--x y x 相交的直线的倾斜角的取值范围是（）A. ]2,4[ππ B. ],2[ππ C. ],2[]4,0(πππ D.),2[]4,0[πππ2.若直线02)1(2=-++ay x a 与直线012=++y ax 垂直，则=a （）A.-2B.0C.-1或0D.222±3.若P （2,1）为圆25)1(22=+-y x 的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（）A. 03=--y xB.032=-+y xC.03=-+y xD.052=--y x4.已知圆1)3()2(:221=-+-y x C ，圆9)4()3(:222=-+-y x C ，M ，N 分别是圆上的动点，P 为x 轴上的动点，则PN PM +的最小值为（）A. 425-B.117-C.226-D.175.已知)3,0(),0,3(B A -，若点P 在0222=-+x y x 上运动，则PAB ∆面积的最小值为（）A.6B. 26C. 2236+D.2236-6.曲线241x y -+=与直线4)2(+-=x k y 有两个交点，则实数k 的取值范围是（）A. )125,0(B.),125(+∞C. ]43,31(D.]43,125(填空题：7.圆心在直线02=-y x 上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦长为32，则圆C 的标准方程为______________8.若圆422=+y x 与圆)0(06222>=-++a ax y x 的公共弦长为32，则=a _______9.设圆05422=--+x y x 的弦AB 的中点为P(3,1),则直线AB 的方程为_____________10.已知P 是直线0843=++y x 上的动点，PA 、PB 是圆012222=+--+y x y x 的两切线，A 、B 是切点，C 是圆心，则四边形PACB 的面积的最小值为__________解答题：11. 在ABC ∆中，)1,3(-A ，AB 边上的中线CM 所在直线方程为059106=-+y x ，B ∠的平分线BT 的方程为0104=+-y x .(1)求顶点B 的坐标； (2)求直线BC 的方程.12.已知点)3,2(--P ，圆9)2()4(:22=-+-y x C ，过P 点作圆C 的两条切线，切点分别为A 、B.(1)求过P 、A 、B 三点的圆的方程；(2)求直线AB 的方程.。

直线与圆大题

直线与圆大题研读1.已知过点)1,0(A 且斜率为k 的直线l 与圆1)3()2(:22=-+-y x C 交于N M ,两点.（1）求k 的取值范围；（2）若12=⋅ON OM ，其中O 为坐标原点，求||MN .2.在以O 为原点的直角坐标系中，点)3,4(-A 为OAB △的直角顶点，已知||2||OA AB =，且点B 的纵坐标大于0.（1）求AB 的坐标；（2）求圆026:22=++-y y x x C 关于直线OB 对称的圆的方程.3.已知直线m x l =:（2-<m ）与x 轴交于A 点，动圆M 与直线l 相切，并且与圆4:22=+y x O 外切，记动圆圆心的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）若过原点且倾斜角为3π的直线与曲线C 交于Q P ,两点，请问是否存在以PQ 为直径的圆经过点A ？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由.4.已知圆02422=+--+m y x y x 和直线032=-+y x 相交. （1）若相交所得弦长为554，求实数m 的值；（2）是否存在m ，使直线与圆交于Q P ,两点，且OQ OP ⊥（O 为坐标原点）？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.C 5.如图，在ABC Rt △中，︒=∠90BAC ，边AB 所在直线的方程为063=--y x ，点)1,1(-T 在边AC 所在的直线上，斜边BC 的中点为)0,2(M .（1）求边BC 所在直线的方程；（2）若动圆P 过点)0,2(-N ，且与ABC Rt △的外接圆相交所得公共弦长为4，求动圆P 的半径最小时圆P 的方程.6.有定点)4,6(P 及定直线x y l 4: ，Q 是l 上在第一象限内的点，PQ 交x 轴的正半轴于M 点，请问点Q 在说明位置时，OMQ △的面积最小，并求出最小值.7.过点)1,3(-P 的直线l 与x 轴交于)0,(a A （2<a 且0≠a ），与y 轴交),0(b B （0≠b ），O 为坐标原点，若AOB △的面积为2，求直线l 的方程.8.已知平面内一封闭曲线C 上的任意点M 与两个定点)0,0(O 、)3,0(P 的距离之比为2.（1）求封闭曲线C 的方程；（2）过曲线上的一点N 作圆1:22=+y x O 的两条切线，切点分别为B A ,，切线NA 、NB 分别交x 轴于E D ,两点.①若N 的左边为)5,3(，求||DE 的长度；②是否存在这样的点N ，使得线段DE 被曲线C 在点N 处的切线平分？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，说明理由.9.已知一个圆的圆心C 在直线x y =上，与x 轴交于Q P ,两点，且CQ CP ⊥.又圆C 截直线02=+-y x 所得的弦长为62.（1）求圆C 的方程；（2）若圆C 上至少有三个不同的点到直线0:=+By Ax l 的距离为2，求直线l 的倾斜角θ的取值范围.10.已知圆04222=+--+m y x y x .（1）此方程表示圆，求m 的取值范围；（2）若（1）中的圆与直线042=-+y x 相交于N M ,两点，且ON OM ⊥（O 为坐标原点），求m 的值；（3）在（2）的条件下，求以MN 为直径的圆的方程.11.已知以点)2,1(-A 为圆心的圆与直线072:1=++y x l 相切，过点)0,2(-B 的动直线l 与圆A 相交于N M ,两点，Q 是MN 的中点，直线l 与1l 相交于点P .（1）求圆A 的方程；（2）当192=MN 时，求直线l 的方程；（3）||||BP BQ ⋅是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由.12.已知过点)2,0(-P ，且斜率为k 的直线l 与圆022210:22=+--+y x y x C 交于B A 、两点，若PB PA 35=，求k 的值.13.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆4)1()3(:221=-++y x C 和圆4)5()4(:222=-+-y x C .（1）若点M 在圆1C 上，点N 在圆2C 上，求||MN 的取值范围；（2）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无数多对相互垂直的直线1l 和2l ，他们分别与圆1C 和圆2C 相交，且直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标.14.已知圆C 的方程为4)4(22=-+y x ，点O 是坐标原点.直线kx y l =:与圆交于N M ,两点.（1）求k 的取值范围；（2）设),(n m Q 是线段MN 上的点，且222||1||1||2ON OM OQ +=.请将n 表示成m 的函数.。

圆与直线的位置关系练习题

圆与直线的位置关系练习题圆与直线的位置关系练习题在数学中，圆与直线的位置关系一直是一个重要的研究课题。

我们经常会遇到关于圆与直线的位置关系的练习题，下面就让我们来练习一些典型的题目。

1. 问题描述：已知一个半径为r的圆，以及一条直线l。

请问，直线l与圆的位置关系有哪些可能性？解答：直线l与圆的位置关系有三种可能性。

第一种是直线l与圆相交，相交点有两个。

第二种是直线l与圆外切，也就是直线l与圆相切于圆上的一个点。

第三种是直线l与圆内切，也就是直线l与圆相切于圆内的一个点。

2. 问题描述：已知一个圆心为O，半径为r的圆，以及一条直线l。

请问，直线l与圆相交的条件是什么？解答：直线l与圆相交的条件是，直线l与圆心O的距离小于圆的半径r。

3. 问题描述：已知一个圆心为O，半径为r的圆，以及一条直线l。

请问，直线l与圆外切的条件是什么？解答：直线l与圆外切的条件是，直线l与圆心O的距离等于圆的半径r。

4. 问题描述：已知一个圆心为O，半径为r的圆，以及一条直线l。

请问，直线l与圆内切的条件是什么？解答：直线l与圆内切的条件是，直线l与圆心O的距离大于圆的半径r。

5. 问题描述：已知一个圆心为O，半径为r的圆，以及一条直线l。

请问，直线l与圆相交的情况下，相交点的个数有哪些可能性？解答：直线l与圆相交的情况下，相交点的个数有两种可能性。

一种是相交点为两个，这种情况下直线l穿过了圆的内部。

另一种是相交点为一个，这种情况下直线l与圆相切。

通过以上的练习题，我们可以更加深入地理解圆与直线的位置关系。

在实际应用中，圆与直线的位置关系经常用于解决各种几何问题，例如计算圆的面积、求解圆的切线等等。

掌握了这些基本的位置关系，我们可以更加灵活地运用数学知识解决实际问题。

除了上述练习题，还有许多其他的圆与直线的位置关系的问题可以探索。

例如，如何判断一个点是否在圆内或圆外，如何求解圆与直线的交点等等。

这些问题都是数学中的经典问题，通过不断的练习与思考，我们可以提高自己的数学思维能力和解决问题的能力。

高中直线与圆练习题

高中直线与圆练习题一、选择题1. 在平面直角坐标系中，直线l的方程为y = 2x + 1，圆C的方程为(x 1)² + (y + 2)² = 16，则直线l与圆C的位置关系是：A. 相离B. 相切C. 相交D. 无法确定2. 已知直线y = kx + b与圆(x 2)² + (y + 3)² = 1相交于A、B两点，若|AB| = 2，则k的值为：A. 0B. 1C. 2D. 33. 直线y = 3x 2与圆x² + y² = 9的位置关系是：A. 相离B. 相切C. 相交D. 无法确定二、填空题1. 已知直线l：2x 3y + 6 = 0，圆C：(x 1)² + (y + 2)² = 25，则直线l与圆C的交点坐标为______。

2. 圆(x 3)² + (y + 4)² = 16的圆心坐标为______，半径为______。

3. 若直线y = kx + 1与圆x² + y² = 4相交，则k的取值范围是______。

三、解答题1. 已知直线l：x + 2y 5 = 0，圆C：(x 2)² + (y + 3)² = 16，求直线l与圆C的交点坐标。

2. 设直线l的方程为y = kx + b，圆C的方程为(x 1)² + (y +2)² = 9，若直线l与圆C相切，求k和b的值。

3. 已知直线l：y = 2x + 3，圆C：(x 2)² + (y + 1)² = 25，求直线l与圆C的公共弦长。

4. 在平面直角坐标系中，直线l的方程为y = kx + 1，圆C的方程为(x 3)² + (y + 4)² = 16，若直线l与圆C相交，求k的取值范围。

5. 已知直线l：2x y + 3 = 0，圆C：(x 2)² + (y + 1)² = 9，求直线l与圆C的交点坐标及弦心距。

高中数学直线与圆习题精讲精练

圆与直线一、典型例题例1、已知定点P （6，4）与定直线 1：y=4x ，过P 点的直线与 1交于第一象限Q 点，与x 轴正半轴交于点M ，求使△OQM 面积最小的直线方程。

分析：直线是过点P 的旋转直线，因此是选其斜率k 作为参数，还是选择点Q （还是M ）作为参数是本题关键。

通过比较可以发现，选k 作为参数，运算量稍大，因此选用点参数。

设Q （x 0，4x 0），M （m ，0） ∵ Q ，P ，M 共线 ∴ k PQ =k PM ∴m 64x 6x 4400-=--解之得：1x x 5m 00-=∵ x 0>0，m>0 ∴ x 0-1>0 ∴ 1x x 10mx2x 4|OM |21S 020OMQ -===∆令x 0-1=t ，则t>0 )2t1t (10t)1t (10S 2++=+=≥40当且仅当t=1，x 0=11时，等号成立此时Q （11，44），直线：x+y-10=0评注：本题通过引入参数，建立了关于目标函数S △OQM 的函数关系式，再由基本不等式再此目标函数的最值。

要学会选择适当参数，在解析几何中，斜率k ，截距b ，角度θ，点的坐标都是常用参数，特别是点参数。

例2、已知△ABC 中，A （2，-1），B （4，3），C （3，-2），求：（1）BC 边上的高所在直线方程；（2）AB 边中垂线方程；（3）∠A 平分线所在直线方程。

分析：（1）∵ k BC =5∴ BC 边上的高AD 所在直线斜率k=51-∴ AD 所在直线方程y+1=51-(x-2)即x+5y+3=0（2）∵ AB 中点为（3，1），k AB =2∴ AB 中垂线方程为x+2y-5=0（3）设∠A 平分线为AE ，斜率为k ，则直线AC 到AE 的角等于AE 到AB 的角。

∵ k AC =-1，k AB =2 ∴k21k 2k11k +-=-+∴ k 2+6k-1=0∴ k=-3-10（舍），k=-3+10∴ AE 所在直线方程为(10-3)x-y-210+5=0评注：在求角A 平分线时，必须结合图形对斜率k 进行取舍。

高中数学选修一直线与圆单元测试卷

高中数学选修一直线与圆单元测试卷题目一：（选择题）1. 设直线L过点A(3,2)，斜率为3/2，则直线L的解析式为：A. y = 3/2x + 1B. y = 2/3x + 1C. y = 3/2x - 1D. y = 2/3x - 12. 设直线L过点A(2,1)和点B(-3,5)，则直线L的斜率为：A. 3/7B. -7/3C. -4/5D. 5/43. 设直线L过点A(4,1)且垂直于直线y = 2x - 3，则直线L的解析式为：A. y = -1/2x + 3B. y = -1/2x - 5C. y = 2x - 7D. y = -2x + 7题目二：（填空题）1. 设直线L过点A(2,3)和点B(-1,-4)，则直线L的斜率为__________。

2. 设直线L过点A(5,2)且平行于直线y = 3x - 5，则直线L的解析式为__________。

3. 设直线L过点A(-2,3)且垂直于直线y = -2x + 4，则直线L 的解析式为__________。

题目三：（解答题）1. 两条直线分别为L1：2x - 3y + 4 = 0和L2：x + 5y - 7 = 0，求直线L1和直线L2的交点坐标。

2. 圆C的圆心为(2,-1)，半径为3。

求证直线y = 2x + 1与圆C 有且仅有一个交点，并求出该交点坐标。

3. 直线L过点A(1,2)且垂直于直线y = -3x + 5，求直线L的解析式。

参考答案：题目一：1. A2. C3. B题目二：1. -7/32. y = 3x - 133. y = 1/2x + 4题目三：1. 直线L1和直线L2的交点坐标为(-11/13, -1/13)。

2. a) 将直线代入圆的方程，得到4x^2 + y^2 - 8x + 2y + 3 = 0b) 解该方程得到唯一解为(2,3)。

3. 直线L的解析式为 y = 1/3x + 5/3。

高二数学直线与圆专题复习

高二数学直线与圆专题复习卷一、选择题1.已知圆22:210C x y y +--=上任一点(,)P x y ，其坐标均使不等式x y m ++≥0恒成立，则实数m 的取值范围是（）A.[1,)+∞B.(]-∞,1C.[3,)-+∞D. (]-∞,-32. 直线3y kx =+与圆22(3)(2)4x y -+-=相交于M N 、两点，若23MN ≥k 的取值范围是（）. A.3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B.[)3,0,4⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦ C.33⎡⎢⎣⎦ D.2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦3.已知圆的方程为22680x y x y +--=，设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别AC BD 和，则四边形ABCD 的面积为（） A.1066 C.30664.已知圆221:(1)(1)1C x y ++-=，圆2C 与圆1C 关于直线10x y --=对称，则圆2C 的方程为（）.A.22(2)(2)1x y ++-=B.22(2)(2)1x y -++=C.22(2)(2)1x y +++=D.22(2)(2)1x y -+-=5.已知M （-1，0），N （1，0），在直线340x y m -+=上存在点P ，满足0PM PN ⋅=，则m 的取值范围是（）.A.(,5][5,)-∞-⋃+∞B. (,25][25,)-∞-⋃+∞C.[5,5]-D. [25,25]-6.已知直线ax +by +c =0（abc ≠0）与圆x 2+y 2=1相切，则三条边长分别为|a |，|b |，|c |的三角形（）A.是锐角三角形B.是直角三角形C.是钝角三角形D.不存在二、填空题7. 自点A （-3，3）发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线m 所在直线与圆224470x y x y +--+=相切，则光线l 与m 所在直线方程为__________.8 .设直线ax -y +3=0与圆22(1)(2)4x y -+-=相交于A ，B 两点，且弦AB 的长为a = .9. 已知直线:60l x y -+=与圆22:(1)(1)2C x y -+-=，则C 上各点到l 距离的最小值为__________.10. 已知圆M 与圆2220x y x +-=相外切，并且与直线0x +=相切于点(3,Q ，则圆M 的方程为__________.11. 如果圆()22()4x a y a -+-=上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a 的取值范围是 .12.设m ，n R ∈，若直线(1)+(1)2=0m x n y ++-与圆22(1)+(y 1)=1x --相切，则+m n 的取值范围是13.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是．14.若曲线1C ：2220x y x +-=与曲线2C ：()0y y mx m --=有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是15.与直线2x+y-1=0关于点（1,0）对称的直线的方程是16.圆0104422=---+y x y x 上的点到直线014=-+y x 的最大距离与最小距离的差是17.已知{(,)|0}M x y y y ==≠，{(,)|}N x y y x b ==+，若M N ≠∅，则b 的取值范围是18.一束光线从点(1,1)A -出发，经x 轴反射到圆22:(2)(3)1C x y -+-=上的最短路径是19.设圆222(3)(5)(0)x y r r -++=>上有且仅有两个点到直线4320x y --=的距离等于1，则圆半径r 的取值范围是．20.已知直线1:sin 10l x y θ+-=，2:2sin 10l x y θ++=，若12//l l ，则θ= ．三、解答题21.已知圆22:1O x y +=和定点(2,1)A ，由圆O 外一点(,)P a b 向圆O 引切线PQ ，切点为Q ，且满足PQ PA =.(1).求实数,a b 间满足的等量关系；(2).求线段PQ 长的最小值；(3).若以P 为圆心所作的圆P 与圆O 有公共点，试求半径取值最小时，圆P 的方程.22．设圆满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x3：1；③圆心到直线:20l x y -=的距离为，求该圆的方程．23.、已知直线l ：kx －y －3k =0，圆M ：x 2＋y 2－8x －2y ＋9=0（1）求证：直线l 与圆M 必相交；（2）当圆M 截l 所得弦最短时，求k 的值，并求l 的直线方程。

直线与圆的典型问题

当 r1 r2 d r1 r2 时，两圆相交；
当 r1 r2 d 时，两圆外切；
当 r1 r2 d 时，两圆外离；
当 r1 r2 d 时，两圆内切；
当 r1 r2 d 时，两圆内含.
（3）
弦长 l
具有的关系
r2
d2
l 2
2
二典型例题
1．直线 3x－4y＋6＝0 与圆(x－2)2＋(y－3)2＝4 的位置关系是
13
132
＋16，解得 c＝10 或 c＝－68.
89．自点 P(－6，7)发出的光线 l 射到 x 轴上的点 A 处，被 x 轴反
射，其反射光线所在直线与圆 x2＋y2－8x－6y＋21＝0 相切于点 Q.
求光线 l 所在直线方程．
解：如图所示，作圆 x2＋y2－8x－6y＋21＝0 关于 x 轴的对称圆 x2＋y2－8x＋6y＋21＝0，由几何光学原理，知直线 l 与圆 x2＋y2－8x ＋6y＋21＝0 相切．
110．(本小题满分 12 分)已知圆 x2＋y2＝4 上一定点 A(2，0)，B(1， 1)为圆内一点，P，Q 为圆上的动点．
(1)求线段 AP 中点的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求线段 PQ 中点的轨迹方程．
解：(1)设 AP 中点为 M(x，y)，由中点坐标公式可知，P 点坐标(2x－2，2y)．因为 P 点在圆 x2＋y2＝4 上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4. 故线段 AP 中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1. (2)设 PQ 的中点为 N(x，y)．在 Rt△PBQ 中，|PN|＝|BN|，设 O 为坐标原点，连接 ON(图略)，则 ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以 x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4. 故线段 PQ 中点的轨迹方程为 x2＋y2－x－y－1＝0.

《直线和圆的位置关系》典型例题

《直线和圆的位置关系》典型例题例1在R t△ABC中，∠C=90°，AB=4cm，BC=2cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有何种位置关系为什么（1）r=1cm；（2）r= cm；（3）r=2.5cm．例2 在R t△ABC中，∠C=90°，AB=4cm，BC=2cm，以C为圆心，r为半径的圆，若直线AB与⊙C，（1）相交；（2）相切；（3）相离．求半径r的取值．例3如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=∠D=90°，若AB=6，AD=4，BC=2，试问：DC上是否存在点P，使R t△PBC∽R t△APD例4如图，直角梯形中，，，，为上的一点，平分，平分 .求证：以为直径的圆与相切.例5已知中，，于，，，以为圆心，为半径画圆.求证直线和⊙相离.参考答案例1分析如图，欲判定⊙C与直线AB的关系，只需先求出圆心C到直线AB的距离CD的长，然后再与r比较即可．解：过C点作CD⊥AB于D，在R t△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=2，∴AC=2，∴AB·CD=AC·BC，∴，（1）当r =1cm时CD＞r，∴圆C与AB相离；（2）当r= cm时，CD=r，∴圆C与AB相切；（3）当r=2.5cm时，CD＜r，∴圆C与AB相交．说明：从“数”到“形”，判定圆与直线位置关系．例2 解：过C点作CD⊥AB于D，在R t△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=2，∴AC=2，∴AB·CD=AC·BC，∴，（1）∵直线AB与⊙C相离，∴0r<CD，即0<r<；（2）∵直线AB与⊙C相切，∴ r =CD，即r=；（3）∵直线AB与⊙C相交，∴r>CD，即r>．说明：从“形”到“数”，由圆与直线位置关系来确定半径．例3 分析：若R t△PBC∽R t△APD，则∠APD+∠BPC=90°，可知∠APB=90°，所以P点为以AB为直径的圆O与DC的交点，由条件可知为⊙O与DC相切，所以存在一点P，使R t△PBC∽R t△APD．解：设以AB为直径的圆为⊙O，OP⊥DC，则：OP为直角梯形ABCD的中位线，∴OP=（AD+BC）/2=（4+2）/2=3，又∵OA=OB=AB/2=3，∴OP=OA，∴⊙O与DC相切，∴∠APB=90°，∴∠APD+∠BPC=90°．又∵∠PBC+∠BPC=90°，∴∠APD=∠PBC，又∵∠C=∠D=90°，∴R t△PBC∽R t△APD．因此，DC上存在点P，使R t△PBC∽R t△APD．说明：①直线与圆位置关系的应用；②此题目可以变动数值，使DC与⊙O 相交、相离．例4 分析：要证以为直径的圆与相切，只需证明的中点到的距离等于 .证明：过点作于，同理可证：为的中点，即：以为直径的圆与相切.说明：在判定直线是圆的切线时，若条件没有告诉它们有公共点，常用的方法就是“距离判定”法，即先由圆心到该直线作垂线，证明圆心到该直线的距离恰好等于半径，从而得出直线是圆的切线的结论.例5 分析：欲证直线和⊙相离，只需计算点到的距离的长，若，则判定与⊙相离（如图）证明于，是圆心到的距离∽ .又⊙的半径为，故与⊙相离.。

直线与圆的方程综合题、典型题[1]

直线与圆的方程综合题、典型题、高考题1、已知m ∈R ，直线l ：2(1)4mx m y m -+=和圆C ：2284160x y x y +-++=．（1）求直线l 斜率的取值范围；（2）直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧？为什么？解析：（1）直线l 的方程可化为22411m m y x m m =-++，直线l 的斜率21mk m =+，因为21(1)2m m +≤，所以2112m k m =+≤，当且仅当1m =时等号成立．所以，斜率k 的取值范围是1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，．（2）不能．由（1）知l 的方程为(4)y k x =-，其中12k ≤．圆C 的圆心为(42)C -，，半径2r =．圆心C 到直线l的距离d =．由12k ≤，得1d >，即2r d >．从而，若l 与圆C 相交，则圆C 截直线l 所得的弦所对的圆心角小于23π．所以l 不能将圆C 分割成弧长的比值为12的两段弧． 2、已知圆C ：044222=-+-+y x y x ，是否存在斜率为1的直线l ，使l 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点，若存在求出直线l 的方程，若不存在说明理由。

解析：圆C 化成标准方程为2223)2()1(=++-y x 假设存在以AB 为直径的圆M ，圆心M 的坐标为（a由于CM ⊥l ，∴k CM ⋅k l = －1 ∴k CM =112-=-+a b ，即a +b +1=0，得b = －a －1 ① 直线l 的方程为y －b =x －a ，即x －y +b －a =0CM=23+-a b∵以AB 为直径的圆M 过原点，∴OM MB MA ==2)3(92222+--=-=a b CMCB MB ，222b a OM += ∴2222)3(9b a a b +=+-- ②把①代入②得 0322=--a a ，∴123-==a a 或当25,23-==b a 时此时直线l 的方程为x －y －4=0；当0,1=-=b a 时此时直线l 的方程为x －y +1=0故这样的直线l 是存在的，方程为x －y －4=0 或x －y +1=0评析：此题用0OA OB =,联立方程组，根与系数关系代入得到关于b 的方程比较简单3、已知点A(－2，－1)和B(2，3)，圆C ：x 2＋y 2= m 2，当圆C 与线段．．AB 没有公共点时，求m 的取值范围.解：∵过点A 、B 的直线方程为在l ：x －y ＋1 = 0, 作OP 垂直AB 于点P ，连结OB.由图象得：|m|＜OP 或|m|＞OB 时，线段AB 与圆x 2＋y 2= m 2无交点.（I ）当|m|＜OP 时，由点到直线的距离公式得：22|m |2|1||m |<⇒<，即22m 22<<-. （II ）当m ＞OB 时,||||m m 即 13m 13m >-<或. ∴当22m 22<<-和0m 13m 13m ≠>-<且与时，圆x 2＋y 2= m 2与线段AB 无交点.4、．已知动圆Q 与x 轴相切，且过点()0,2A .⑴求动圆圆心Q 的轨迹M 方程；⑵设B 、C 为曲线M 上两点，()2,2P ，PB BC ⊥，求点C 横坐标的取值范围. 解： ⑴设(),P x y 为轨迹上任一点，则0y =≠ （4分）化简得：2114y x =+ 为求。

高中数学直线与圆位置关系练习题

高中数学直线与圆位置关系练习题1．若直线2x＋y＋a＝0与圆x2＋y2＋2x－4y＝0相切，则a的值为( )A．± 5 B．±5C．3 D．±32．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是( )A．相交B．外切C．相离D．内切3．(2020·敦化期末)与圆x2＋y2＋4x－4y＋7＝0和x2＋y2－4x－10y＋13＝0都相切的直线共有( )A．1条B．2条C．3条D．4条4．在平面直角坐标系内，过点P(0,3)的直线与圆心为C的圆x2＋y2－2x－3＝0相交于A，B两点，则△ABC面积的最大值是( )A．2 B．4C. 3 D．2 35．[逻辑推理、直观想象]已知过原点的直线l与圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B，且线段AB的中点坐标为D(2，2)，则弦长为( )A．2 B．3C．4 D．56．[多选题]若直线l：ax＋y＋2a＝0被圆C：x2＋(y－4)2＝4截得的弦长为22，则a的值为( )A．－7 B．－1C．7 D．17．[多选题]已知圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝72，若直线l：x＋y－m＝0垂直于圆C的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，则直线l的方程是( ) A．x＋y－2＝0 B．x＋y－4＝0C．x＋y－8＝0 D．x＋y－10＝08．已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝________，r＝________.9．已知AB为圆C：x2＋y2－2y＝0的直径，点P为直线y＝x－1上任意一点，则|PA|2＋|PB|2的最小值为________．10．已知直线l过点(1,1)，过点P(－1，3)作直线m⊥l，垂足为M，则点M到点Q(2,4)距离的取值范围为________．11．过点M(1,2)的直线l与圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝25交于A，B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程是________________．12．在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0,1)．当m变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；(2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．13．已知圆C：x2＋y2－8x－6y＋F＝0与圆O：x2＋y2＝4相外切，切点为A，过点P(4,1)的直线与圆C交于点M，N，线段MN的中点为Q.(1)求点Q的轨迹方程；(2)若|AQ|＝|AP|，点P与点Q不重合，求直线MN的方程及△AMN的面积．14．已知圆C：x2＋(y－a)2＝4，点A(1,0)．(1)当过点A的圆C的切线存在时，求实数a的取值范围；(2)设AM，AN为圆C的两条切线，M，N为切点，当|MN|＝455时，求MN所在直线的方程．。

高二数学直线与圆的位置关系试题

高二数学直线与圆的位置关系试题1.已知O为坐标原点，直线与圆分别交于A,B两点．若，则实数的值为（）．A．1B．C．D．【答案】D【解析】设A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为∵直线与圆相交于两点，．∵，代入上式可得∴2×化为满足（*）解得a＝．故选：D．【考点】直线与圆相交问题；根与系数的关系；数量积运算．2.已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0，若圆C的切线在x轴、y轴上的截距相等，求切线的方程．【答案】切线方程为或x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0．【解析】切线在x轴、y轴上的截距相等，可设切线方程为或x＋y＝a，又根据切线的性质知圆心(－1,2)到切线的距离等于半径，由点到直线的距离公式可得与的值．本题中容易遗漏切线为的形式，此时在两坐标轴的距离也相等为．解:由方程x2＋y2＋2x－4y＋3＝0知圆心为(－1,2)，半径为，当切线过原点时，设切线方程为,则，∴，即切线方程为．当切线不过原点时，设切线方程为x＋y＝a，则．∴a＝－1或a＝3，即切线方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0．∴切线方程为或x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0．考点:1．圆的切线的性质；2．点到直线的距离公式；3．直线的截距式方程．3.直线与圆的位置关系是A．相交B．相切C．相离D．与值有关【答案】D【解析】圆心为，所以圆心到直线的距离为，所以与值有关，故选D.【考点】直线与圆的位置关系.4.在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－2x－3与坐标轴的交点都在圆C上．（1）求圆C的方程；（2）若直线x＋y＋a＝0与圆C交于A，B两点，且AB＝2，求实数a的值．【答案】（1）x2＋y2－2x＋2y-3＝0（2）【解析】（1）曲线y＝x2－2x－3与坐标轴的交点有三个交点，本题就是求过三个点的圆的方程，因此设圆方程的一般式x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，若从图形看，则圆的方程又可设成x2＋y2－2x＋Ey-3＝0，再利用过点求出（2）先将圆的一般式化为标准式：，明确圆心和半径，涉及圆的弦长问题，利用由半径、半弦长、圆心到弦所在直线距离构成的直角三角形，列等量关系：试题解析：解（1）曲线与y轴的交点是(0，－3)．令y＝0，得x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x ＝3．即曲线与x轴的交点是(－1，0)，(3，0)． 2分设所求圆C的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则，解得D＝－2，E＝2，F＝－3．所以圆C的方程是x2＋y2－2x＋2y-3＝0． 5分（2）圆C的方程可化为，所以圆心C(1，－1)，半径． 7分圆心C到直线x＋y＋a＝0的距离，由于所以，解得． 10分【考点】圆的一般式方程，圆的弦长5.已知圆的方程为,点是坐标原点.直线与圆交于两点.（1）求的取值范围;（2）过作圆的弦，求最小弦长？【答案】（1）或；（2）．【解析】（1）根据直线与圆相交，得到圆心到直线的距离小于半径，即可求出的取值范围；（2）当圆心与连线为弦心距时，弦长最小，利用两点间的距离公式求出弦心距，由垂径定理及勾股定理求出最小弦长即可．试题解析：（1）圆心到直线的距离，解得或．（2）当圆心与连线为弦心距时，弦长最小，∵圆心到的距离为，半径，根据题意得：最小弦长为．【考点】直线与圆的位置关系．6.已知圆的方程为,直线的方程为,点在直线上,过点作圆的切线,切点为.(1)若,试求点的坐标;(2)若点的坐标为,过作直线与圆交于两点,当时,求直线的方程;【答案】(1)或 (2)或【解析】(1)根据题意可知,因为则，因为，则可得，设出点的坐标根据点在直线上且，可求得点的坐标。

直线与圆的方程试题及答案大题

直线与圆的方程试题及答案大题一、选择题1.设直线过点A(1, 2)，斜率为-2，则直线方程是（）– A. y = 2x + 3– B. y = -2x + 3– C. 2y = x + 3– D. -2y = x + 3答案：B2.设点A(-1,3)和B(2,-4)，则直线AB的斜率为（）– A. -1– B. 1– C. 2– D. -2答案：D二、填空题1.过点A(2,1)且与直线y = 2x + 3平行的直线的方程是y = ___________。

答案：2x - 12.过点A(1,-2)且与直线2y = 4x - 3垂直的直线的方程是y = ___________。

答案：-0.5x - 13.过点A(-3,4)，斜率为2的直线方程是 y = ___________。

答案：2x + 10三、解答题1.求过点A(2,3)和B(-1,5)的直线方程。

解：直线AB的斜率 m = (5 - 3)/ (-1 - 2) = 2 / -3 = -2/3直线方程的一般形式为y = mx + c，其中c为常数。

将坐标A(2,3)代入直线方程，得到3 = (-2/3) * 2 + c => 3 = -4/3 + c。

解得c = 3 + 4/3 = 13/3，所以直线方程为y = -2/3x + 13/3。

2.已知直线的斜率为-1/2，过点A(3,4)，求直线的方程。

解：直线方程的斜率为-1/2，过点A(3,4)，所以直线方程可以表示为y = (-1/2)x + c。

将点A(3,4)代入直线方程，得到4 = (-1/2) * 3 + c => 4 = -3/2 + c。

解得c = 4 +3/2 = 11/2，所以直线方程为y = (-1/2)x + 11/2。

四、应用题1.在直角坐标系中，过点A(2,3)和B(-1,5)的直线与y轴交于点C，求点C的坐标。

解：由题意可知，过点A(2,3)和B(-1,5)的直线与y轴交于点C，所以C的横坐标为0。

高中圆与直线的典型大题

已知方程x2+y2-2x-4y+m=0。

（Ⅰ）若此方程表示圆，求m的取值范围；（Ⅱ）若（Ⅰ）中的圆与直线x+2y-4=0相交于M，N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求m的值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求以MN为直径的圆的方程。

解：（Ⅰ），D=-2，E=-4，F=m，=20-4m＞0，解得：m＜5。

（Ⅱ），将x=4-2y代入得，∴，，∵OM⊥ON，得出：，∴，∴。

（Ⅲ）设圆心为（a，b），，半径，∴圆的方程为。

法2.2. 已知圆C方程为x²+y²-2x-4y-20=0，直线l的方程为：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0. 证明：无论m取何圆C恒有两个公共点。

2、求直线l被圆C截得的线段的最短长度，并求出此时m的值1、将直线方程化为：m(2x+y-7)+(x+y-4)=0，不论m取何值，直线总过定点，令2x+y-7=0，x+y-4=0解得x=3，y=1，所以直线过定点(3，1），将点(3,1)代入圆方程左边可知<0，所以点(3,1)在圆内所以直线与圆相交，直线与圆恒有两个公共点2、当直线与过A(3,1)点的直径垂直时，直线l被圆C截得的线段的最短，圆心C(1,2)，AC的斜率= -1/2，所以L的斜率=2，所以 - (2m+1)/(m+1)=2，所以m= - 3/43、已知圆C：（x-1）2+（y-2）2=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0．（Ⅰ）证明：不论m为何值时，直线l和圆C恒有两个交点；（Ⅱ）判断直线l被圆C截得的弦何时最长、何时最短？并求截得的弦长最短时m的值以及最短长度．4.已知圆C：x2+y2-2x-4y-20=0，直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0．（Ⅰ）求圆C的圆心坐标和圆C的半径；（Ⅱ）求证：直线l过定点；（Ⅲ）判断直线l被圆C截得的弦何时最长，何时最短？并求截得的弦长最短时m的值，以及最短长度．（I）将圆的方程化为标准方程，可得圆C的圆心坐标和圆C的半径；（Ⅱ）分离参数可得（2x+y-7）m+（x+y-4）=0，再建立方程组，可得结论；（Ⅲ）直线l被圆C截得的弦最长时，圆心（1，2）在直线l上，圆C截得的弦为直径；当圆心C（1，2）与A（3，1）的连线与l垂直时，直线l被圆C截得的弦最短，由此可得结论．5. 求与圆x2+y2-2x=0外切，且与直线x+根号3y＝0相切与点（3，-根号3）的圆的方程所求圆心（x,y),半径r圆x2+y2-2x=0圆心（1,0),半径1 圆心距等于半径和（x-1)^2+y^2=(1+r)^2到直线距离r|x+√3y|/2=r√[（x-1)^2+y^2]=|x+√3y|/2+1化简：x^2-2√3xy-y^2-8x-√3y-2=0或x^2-2√3xy-y^2+√3y-2=0。

高中圆与直线练习题及答案

一、选择题：1．直线x-3y+6=0的倾斜角是（） A 600 B 1200 C 300 D 15002. 经过点A(-1,4),且在x 轴上的截距为3的直线方程是（）A x+y+3=0B x-y+3=0C x+y-3=0D x+y-5=03．直线(2m 2+m-3)x+(m 2-m)y=4m-1与直线2x-3y=5平行，则的值为（）A-23或 1 B1 C-89D-89或1 4．直线ax+(1-a)y=3与直线(a-1)x+(2a+3)y=2相互垂直，则a 的值为（）A -3B 1C 0或-23D 1或-35．圆（x-3）2+(y+4)2=2关于直线x+y=0对称的圆的方程是（）A. (x+3)2+(y-4)2=2 B. (x-4)2+(y+3)2=2C .(x+4)2+(y-3)2=2 D. (x-3)2+(y-4)2=26、若实数x 、y 满意3)2(22=++y x ，则xy的最大值为（） A.3 B. 3- C.33 D. 33- 7．圆1)3()1(22=++-y x 的切线方程中有一个是（）A ．x －y ＝0B ．x ＋y ＝0C ．x＝0D ．y ＝08．若直线210ax y ++=与直线20x y +-=相互垂直，那么a 的值等于（）A ．1B ．13- C ．23- D ．2-9．设直线过点(0,),a 其斜率为1，且与圆222x y +=相切，则a 的值为（）Ａ．4± Ｂ．±Ｃ．2±Ｄ．10．假如直线12,l l 的斜率分别为二次方程2410x x -+=的两个根，那么1l 与2l 的夹角为（）A ．3πB ．4πC ．6πD ．8π 11．已知{(,)|0}M x y y y ==≠，{(,)|}N x y y x b ==+，若MN ≠∅，则b ∈A．[-B．(- C．(- D．[-12．一束光线从点(1,1)A -动身，经x 轴反射到圆22:(2)(3)1C x y -+-=上的最短路径是A ．4 B．5C．1 D．二、填空题：13过点M （2，-3）且平行于A （1，2），B（-1，-5）两点连线的直线方程是14、直线l 在y 轴上截距为2，且与直线l `：x+3y-2=0垂直，则l 的方程是15．已知直线0125=++a y x 与圆0222=+-y x x 相切，则a 的值为________.16圆224460x y x y +-++=截直线50x y --=所得的弦长为 _________17．已知圆M ：（x ＋cos θ）2＋（y －sin θ）2＝1，直线l ：y ＝kx ，下面四个命题：（A ）对随意实数k 与θ，直线l 和圆M 相切；（B ）对随意实数k 与θ，直线l 和圆M 有公共点；（C ）对随意实数θ，必存在实数k ，使得直线l 与和圆M 相切;（D ）对随意实数k ，必存在实数θ，使得直线l 与和圆M 相切.其中真命题的代号是______________（写出全部真命题的代号）.18已知点M （a ，b ）在直线1543=+y x 上，则22b a +的最小值为三、解答题： 19、平行于直线2x+5y-1=0的直线l 与坐标轴围成的三角形面积为5，求直线l 的方程。

(word版)高中数学直线与圆的位置关系练习题

高中数学直线与圆的位置关系一、单选题1.已知圆x2+y2−6x=0，过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为()A. 1B. 2C. 3D. 42.从点P(m,3)向圆C：(x+2)2+(y+2)2=1引切线，则切线长的最小值为()A. 2√6B. √26C. 4+√2D. 53.圆x2+y2−4x+2y+1=0与圆x2+y2+4x−4y−1=0的公切线有()A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条4.过点P(−2,4)作圆O：(x−2)2+(y−1)2=25的切线l，直线m：ax−3y=0与直线l平行，则直线l与m的距离为()A. 4B. 2C. 85D. 1255.已知圆C:x2−6x+y2+2ay+7+a2=0关于直线3x+y−1=0对称，则a=()A. 4B. 6C. 8D. 106.在坐标平面内，与点A(1,2)距离为1，且与点B(3,1)距离为2的直线共有()A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条7.设O为原点直线y=kx+2与圆x2+y2=4相交于A，B两点，当▵ABO面积最大值时，k=()A. ±√22B. ±1C. ±√2D. ±28.圆C1：(x+1)2+(y+2)2=4与圆C2：(x−1)2+(y+1)2=9的位置关系是()A. 内切B. 相交C. 外切D. 相离9.直线l：y=x+1上的点到圆C：x2+y2+2x+4y+4=0上的点的最近距离为()A. √2B. 2−√2C. 1D. √2−110.若点P(1,1)为圆C：x2+y2−6x=0的弦MN的中点，则弦MN所在的直线方程为()A. 2x+y−3=0B. x−2y+1=0C. x+2y−3=0D. 2x−y−1=011. 已知圆C 的圆心为原点O ，且与直线x +y +4√2=0相切．点P 在直线x =8上，过点P 引圆C 的两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，如图所示，则直线AB 恒过定点的坐标为( )A. (2,0)B. (0,2)C. (1,0)D. (0,1)12. 若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x −3y =0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A. (x −2)2+(y −1)2=1B. (x −2)2+(y +1)2=1C. (x +2)2+(y −1)2=1D. (x −3)2+(y −1)2=1二、多选题（本大题共2小题，共10.0分） 13. 已知圆M:x 2+y 2−4x −1=0，点P (x,y )是圆M 上的动点，则下列说法正确的有( )A. 圆M 关于直线x +3y −2=0对称B. 直线x +y =0与M 的相交弦长为√3C. t =y x+3的最大值为12D. x 2+y 2的最小值为9−4√514. 已知A (−2,0)，B (2,0)，若圆(x −2a +1)2+(y −2a −2)2=1上存在点M 满足MA →⋅MB →=0，实数a 可以是( ) A. −1 B. −0.5 C. 0D. 1三、单空题15. 已知点P 是直线y =x 上一个动点，过点P 作圆(x +2)2+(y −2)2=1的切线，切点为T ，则线段PT 长度的最小值为．16. 若过点P(1,√3)作圆O:x 2+y 2=1的两条切线，切点分别为A 和B ，则|AB |= ．17. 与直线y =x +3平行且与圆(x −2)2+(y −3)2=8相切的直线的方程为________________________．18.已知坐标原点为O，过点P(2,6)作直线2mx−(4m+n)y+2n=0(m,n不同时为零)的垂线，垂足为M，则|OM|的取值范围是______．19.若P(2,1)是圆(x−1)2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程为．20.已知直线x−√3y+8=0和圆x2+y2=r2(r>0)相交于A，B两点．若|AB|=6，则r的值为______．21.已知点P在直线x−y+4=0上，由点P向圆x 2+y 2=4作两条切线，切点分别为A，B，则∠APB的最大值为__________．四、多空题（本大题共1小题，共5.0分）22.已知圆C1:x2+y2=4与圆C2:x2+y2−8x+6y+m=0外切，则m=(1)，此时直线l:x+y=0被圆C2所截的弦长为(2)．五、解答题23.已知点M(3,1)，圆O1：(x−1)2+(y−2)2=4．(1)若直线ax−y+4=0与圆O1相交于A，B两点，且弦AB的长为2√3，求a的值；(2)求过点M的圆O1的切线方程．24.已知圆C1：x2+y2−2x=0和圆C2：x2+y2−6x−4y+4=0相交于A,B两点．(1)求公共弦AB的垂直平分线方程．(2)求ΔABC2的面积。

高三数学直线与圆的位置关系试题

高三数学直线与圆的位置关系试题1.如图，在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足．设为线段的中点．（1）当点在圆上运动时，求点的轨迹的方程；（2）若圆在点处的切线与轴交于点，试判断直线与轨迹的位置关系．【答案】（1）;（2）相切【解析】（1）由于点在圆上运动, 为线段的中点,根据两点坐标的关系,以及点P在圆上,即可得到结论.（2）由（1）得到轨迹的方程为椭圆方程.切线PE的斜率有两种情况：斜率不存在则可得直线与轨迹的位置关系为相切.直线斜率存在则假设点P的坐标,写出切线方程,以及点N的坐标,再写出直线MN的方程.联立椭圆方程,根据判别式的值即可得到结论.（1）设，则．点在圆上，，即点的轨迹的方程为． 4分（2）解法一：（i）当直线的斜率不存在时，直线的方程为或．显然与轨迹相切；（2）当直线的斜率存在时，设的方程为，因为直线与圆相切，所以，即． 7分又直线的斜率等于，点的坐标为．所以直线的方程为，即. 9分由得．．故直线与轨迹相切．综上（i）（2）知，直线与轨迹相切. 13分解法二：设（），则． 5分（i）当时，直线的方程为或，此时，直线与轨迹相切；（2）当时，直线的方程为，即．令，则．，又点，所以直线的方程为，即． 9分由得即．．所以，直线与轨迹相切．综上（i）（2）知，直线与轨迹相切． 13分【考点】1.待定系数法求椭圆的方程.2.直线与圆的位置关系.3.直线与椭圆的位置关系.2.在平面直角坐标系中，圆C的方程为．若直线上存在一点，使过所作的圆的两条切线相互垂直，则实数的取值范围是．【答案】【解析】圆C的方程为．解题中要体会转化思想的运用：先将“圆的两条切线相互垂直”转化为“点到圆心的距离为”，再将“直线上存在点到圆心的距离为”转化为“圆心到直线的距离小于等于”，再利用点到直线的距离公式求解．即【考点】圆的方程、圆和直线的位置关系、点到直线的距离公式3.在平面直角坐标系中，直线（为参数）与圆（为参数）相切，切点在第一象限，则实数的值为.【答案】.【解析】直线的一般式方程为，圆的圆心坐标为，半径长为，则有，解得或，由于切点在第一象限，则直线必过第一象限，则，因此.【考点】1.参数方程与普通方程间的转化；2.直线与圆的位置关系4.过直线x＋y－2＝0上点P作圆x2＋y2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P 的坐标是__________．【答案】(，)【解析】本题主要考查数形结合的思想，设P(x，y)，则由已知可得PO(O为原点)与切线的夹角为30°，则|PO|＝2，由可得5.在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是____________．【答案】【解析】∵圆C的方程可化为(x－4)2＋y2＝1，∴圆C的圆心为(4，0)，半径为1.由题意知，直线y＝kx－2上至少存在一点A(x0，kx－2)，以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴存在x0∈R，使得AC≤1＋1成立，即ACmin≤2.∵ACmin即为点C到直线y＝kx－2的距离，∴≤2，解得0≤k≤.∴k的最大值是.6.已知方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圆有最大的面积,则直线y=(k-1)x+2的倾斜角α=.【答案】【解析】r=≤1,当有最大半径时有最大面积,此时k=0,r=1,∴直线方程为y=-x+2,设倾斜角为α,则由tanα=-1且α∈[0,π)得α=.7.已知点和曲线，若过点A的任意直线都与曲线至少有一个交点，则实数的取值范围是．【答案】．【解析】把曲线方程化为：，知它是以为圆心，为半径的圆．如图所示，点在直线上，任意过的直线与圆有交点，则．【考点】直线和圆的位置关系．8.在平面直角坐标系xOy中，设点P为圆C：(x－1)2＋y2＝4上的任意一点，点Q(2a，a－3)(a∈R)，则线段PQ长度的最小值为________．【答案】－2【解析】点Q在直线x－2y－6＝0上，圆心(1，0)到该直线的距离为d＝＝，因此线段PQ长度的最小值为－2.9.动圆C经过点，并且与直线相切，若动圆C与直线总有公共点，则圆C的面积（）A．有最大值B．有最小值C．有最小值D．有最小值【答案】D【解析】设圆心为，半径为，，即，即，∴圆心为，，圆心到直线的距离为，∴或，当时，，∴.【考点】1.点到直线的距离；2.圆与直线的位置关系.10.若圆C经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是________．【答案】(x－2)2＋2＝【解析】∵圆C经过原点O(0,0)和点P(4,0)，∴线段OP的垂直平分线x＝2过圆C的圆心，设圆C的方程为(x－2)2＋(y－b)2＝r2，又圆C与直线y＝1相切，∴b2＋22＝r2，且|1－b|＝r，解之得b＝－，r＝，∴圆C的方程为(x－2)2＋2＝.11.直线x＋y－2＝0与圆x2＋y2＝4交于A，B两点，则＝()．A．4B．3C．2D．－2【答案】C【解析】由解得或,即A(，1)，B(0,2)，所以＝212.已知以点C (t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点．(1)求证：△AOB的面积为定值；(2)设直线2x＋y－4＝0与圆C交于点M、N，若|OM|＝|ON|，求圆C的方程；(3)在(2)的条件下，设P、Q分别是直线l：x＋y＋2＝0和圆C的动点，求|PB|＋|PQ|的最小值及此时点P的坐标．【答案】（1）见解析（2）(x－2)2＋(y－1)2＝5（3）2，坐标为【解析】(1)证明由题设知，圆C的方程为(x－t)2＋2＝t2＋，化简得x2－2tx＋y2－y＝0，当y＝0时，x＝0或2t，则A(2t,0)；当x＝0时，y＝0或，则B，∴S＝|OA|·|OB|＝|2t|·＝4为定值．△AOB(2)解∵|OM|＝|ON|，则原点O在MN的中垂线上，设MN的中点为H，则CH⊥MN，∴C、H、O三点共线，则直线OC的斜率k＝＝＝，∴t＝2或t＝－2.∴圆心为C(2,1)或C(－2，－1)，∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5或(x＋2)2＋(y＋1)2＝5由于当圆方程为(x＋2)2＋(y＋1)2＝5时，直线2x＋y－4＝0到圆心的距离d＞r，此时不满足直线与圆相交，故舍去，∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.(3)解点B(0,2)关于直线x＋y＋2＝0的对称点B′(－4，－2)，则|PB|＋|PQ|＝|PB′|＋|PQ|≥|B′Q|，又B′到圆上点Q的最短距离为|B′C|－r＝＝3－＝2.所以|PB|＋|PQ|的最小值为2，直线B′C的方程为y＝x，则直线B′C与直线x＋y＋2＝0的交点P的坐标为.13.已知圆的半径为,、为该圆的两条切线,、为两切点,那么的最小值为．【答案】-3+2【解析】.【考点】圆的切线长，向量数量积，基本不等式14.直线将圆分割成的两段圆孤长之比为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】圆心到直线的距离为直线被圆所截得的弦长为,所以圆心角为,故分割成的两段圆孤长之比为.【考点】直线与圆的位置关系,弦长公式.15.过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为（）A．B．C．D．【答案】【解析】圆心到直线的距离为，所以弦长为.选A.【考点】直线与圆.16.已知双曲线的渐近线与圆有公共点，则该双曲线离心率的取值范围是__________.【答案】【解析】将圆的方程配方得：.双曲线的渐近线方程为.由于双曲线的渐近线与圆有公共点，所以，即，所以离心率的取值范围为.【考点】1、双曲线的离心率；2、直线与圆的位置关系.17.过点P（0,1）与圆相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线方程是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】配方得，依题意，被圆截得的弦最长时的直线过圆心，由因为过点,故所求的直线方程为.【考点】1、直线和圆的位置关系；2、直线和圆的方程.18.已知实数满足，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】将化为，，，从几何意义讲，表示在圆上的点到直线的距离的倍，要使其值最小，只需最小即可，由直线和圆的位置关系可知，所以的最小值为，选A.【考点】直线和圆的位置关系、点到线的距离公式.19.已知直线与直线平行且与圆相切，则直线的方程为（）A．B．或C．D．或【答案】D【解析】设直线的方程为，将圆的方程化为标准式为，圆心坐标为，半径长为，由于直线与圆相切，则有，整理得，解得或，故直线的方程为或，故选D.【考点】1.两直线的位置关系；2.直线与圆的位置关系20.若直线始终平分圆的周长，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】直线平分圆周，则直线过圆心，则，.【考点】直线与圆的位置关系；基本不等式.21.若直线与圆相交于、两点，则的值为（）A．B．C．D．与有关的数值【解析】对于直线，令，可得，，故直线过定点，而此定点恰为圆圆心，故为圆的一条直径，.【考点】直线过定点，直线与圆相交所形成的弦长的计算22.直线与圆相交于M,N两点，若，则k的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】若，则根据圆心到直线的距离、圆半径和半弦长组成一个直角三角形可以得到，圆心到直线的距离等于1，若，则圆心到直线的距离小于等于1，根据点到直线的距离公式可知，解得k的取值范围是.【考点】本小题主要考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式的应用.点评：遇到直线与圆相交的题目，常常用到圆心到直线的距离、圆半径和半弦长组成一个直角三角形，进而用点到直线的距离公式或数形结合解决问题.23.已知点P的坐标，过点P的直线l与圆相交于A、B两点，则的最小值为【答案】4【解析】画出可行域（如图），P在阴影处，为使弦长|AB|最小，须P到圆心即原点距离最大，即直线过P(1，3)时，取到最小值为=4.【考点】本题主要考查简单线性规划问题，直线与圆的位置关系。

高二数学圆与直线的典型练习题

高二数学圆与直线的典型练习题1. 已知直线L：2x + y – 5 = 0与圆C：x^2 + y^2 – 6x – 2y – 7 = 0，求它们的交点坐标。

解析：将直线L的方程代入圆C的方程，得到：(2x + y – 5)^2 + (x^2 + y^2 – 6x – 2y – 7) = 0化简得：5x^2 + 5xy – 15x + y^2 – 12y + 11 = 0再配方得：(x + y)^2 + 5(x + y) – (3x + 4y + 6) = 0设：m = x + y，n = 3x + 4y + 6代入上式：m^2 + 5m – n = 0此为一元二次方程，求解可得m和n的值得到x和y的值后，即可求得交点坐标。

2. 已知圆C1的圆心为A(3, –4)，与直线L：3x – 4y + 5 = 0相切于点P，直线L的斜率为2，求直线AP的方程。

解析：直线L与圆C1相切于点P，说明PA⊥L，即斜率乘积为-1，即直线AP的斜率为-1/2。

已知点A(3, –4)和斜率-1/2，可得直线AP的方程为：y + 4 = (-1/2)(x – 3)3. 已知圆C的方程为x^2 + y^2 + 4x – 6y – 12 = 0，求该圆的圆心坐标及半径长度。

解析：将方程变换为标准形式，得到：(x + 2)^2 + (y – 3)^2 = 25圆心坐标为(-2, 3)，半径长度为5。

4. 已知圆C的方程为(x – 2)^2 + (y + 3)^2 = 16，直线L的方程为2x – 3y + 5 = 0，求直线L与圆C的交点坐标。

解析：将直线L的方程代入圆C的方程，得到：(x – 2)^2 + (y + 3)^2 = 16化简得：4x^2 – 12xy + 4y^2 – 8x + 12y + 4 = 0再配方得：(2x – 3y + 2)^2 + 3(x – y + 2) – 16 = 0设：m = 2x – 3y + 2，n = x – y + 2代入上式：m^2 + 3n – 16 = 0此为一元二次方程，求解可得m和n的值得到x和y的值后，即可求得交点坐标。

高中数学直线与圆精选题目(附答案)

高中数学直线与圆精选题目(附答案)一、两直线的位置关系1求直线斜率的基本方法(1) 定义法：已知直线的倾斜角为a,且a工90°,贝U斜率k = ta n a .y2 — y i⑵公式法：已知直线过两点P i(x i,y i) ,P2(X2,y2)，且X i M X2,则斜率k = .X2 一X i2. 判断两直线平行的方法(1) 若不重合的直线11与12的斜率都存在，且分别为k i, k2,贝U k i= k2? 11//I 2.(2) 若不重合的直线I i与I 2的斜率都不存在，其倾斜角都为90°,则I i//l2.3. 判断两直线垂直的方法(1) 若直线I i与丨2的斜率都存在，且分别为k i, k2，贝U k i • k2=—i? I i±12.(2) 已知直线I i与12,若其中一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0,则I i 丄I 2.i. 已知两条直线I i：ax —by+ 4= 0和12：(a—i)x + y + b = 0,求满足下列条件的a, b的值.(1) I i 丄12 且I i 过点(—3,—i)；(2) I i / I 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等.［解］⑴••• Ii丄I2,a(a—i) —b = 0,①又丨i过点(一3, —i),—3a + b+4 = 0.②a= 2,解①②组成的方程组得.cb = 2.(2) I 2的斜率存在，I i / I 2 ,.直线I i的斜率存在.a--k i = k2,即二=i —a.③b又•••坐标原点到这两条直线的距离相等，I i // I 2, .11, 12在y轴上的截距互为相反数，即b = — （一 b ）.④经检验此时的l 1与丨2不重合，故所求值为2a=- 或 3b = 2.注：已知两直线 11: A i X + By + C = 0 和 12: Ax + By + C 2= 0(1) 对于I 1//I 2的问题，先由AB — AB i = 0解出其中的字母值，然后代回原方程检验这时的I l 和I 2是否重合，若重合，舍去.⑵ 对于丨1丄12的问题，由AiA +0解出字母的值即可.2. 直线ax + 2y — 1 = 0与直线2x — 3y — 1= 0垂直，则a 的值为()4A•- 3 B .- 3 C. 2D . 3解析：选D 由2a — 6= 0得a = 3.故选D.3. 已知直线 x + 2ay — 1 = 0与直线(a — 1)x + ay + 1 = 0平行，则a 的值为 ( )或0C. 0D . — 2解析：选A 当a = 0时，两直线的方程化为x = 1和x = 1，显然重合，不符 a 1 a 3合题意；当a ^O 时，^厂= ，解得a =-.故选A.1 2a 2、直线方程1 .直线方程的五种形式由③④联立，解得：=2,b = — 2a = _b = 2.a= 2，b = — 22.常见的直线系方程(1) 经过两条直线I仁A i X + By + C i= 0, 12 ：Ax+ By + G= 0父点的直线系方程为A i x + B i y + C i+入(A2X + By + Q) = 0,其中入是待定系数.在这个方程中，无论入取什么实数，都不能得到Ax + By + C2= 0,因此它不能表示直线丨2.⑵平行直线系方程：与直线Ax+ By+ C= 0(A, B不同时为0)平行的直线系方程是Ax+ By+入=0(入工C).(3) 垂直直线系方程：与直线Ax+ By+ C= 0(A, B不同时为0)垂直的直线系方程是Bx—Ay+入=0.4. 过点A(3 , - 1)作直线I交x轴于点B,交直线I仁y二2x于点C,若| Bq 二2| AB，求直线I的方程.［解］当直线I的斜率不存在时，直线I : x = 3,••• B(3,0) , C(3,6).此时| Bq = 6, I AB = 1, |Bq 工2|AB ,•••直线I的斜率存在.设直线I的方程为y +1 = k(x-3),显然k M0且k工2.••• B3 +1 0 ,k ，-| Bq = 2| AB|，…| X B — X c | = 2| X A — X B | , 3k + 1 1 1•- 口 — k — 3= 2 k ，3k +1 1 2 3k +1 1 2 ■k^ — k — 3= k 或 T —2 — k — 3= — k ， 3 1解得k =—㊁或k = 4.•••所求直线I 的方程为3X + 2y — 7 = 0或X — 4y — 7= 0. 注：求直线方程时，要根据给定条件，选择恰当的方程，常用以下两种方法求解： (1)直接法：直接选取适当的直线方程的形式，写出结果；⑵ 待定系数法：先以直线满足的某个条件为基础设出直线方程，再由直线满足的另一个条件求出待定系数，从而求得方程.5. 已知直线I 仁3X — 2y — 1 = 0和丨2： 3X — 2y — 13= 0,直线I 与I 1，12的距离分别是d 1， d 2，若d 1 : d 2=2 ： 1，求直线I 的方程.解：由直线丨1，I 2的方程知I 1//I 2,又由题意知，直线I 与丨1,丨2均平行(否则d 1 = 0或d 2= 0，不符合题意).设直线I : 3x — 2y + m = 0( mr^ — 1且m^ — 13)，由两平行直线间的距离公式，=—25 或 m = — 9.故所求直线I 的方程为3x — 2y — 25 = 0或3x — 2y — 9 = 0. 6. 已知直线I : 3x — y + 3= 0，求： (1)点P(4,5)关于I 的对称点；y = 2x , y + 1 = k x — 3得点C 的横坐标X c =3k + 1k — 2 .得d 1d 2=| n + 13|13又 d 1 : d 2=2 ： 1，所以 | 1| = 2| m + 13|，解得 m| m + 1|⑵直线x—y — 2 = 0关于直线I对称的直线方程.解：设P(x，y)关于直线I : 3x—y+ 3= 0的对称点为P'(x'，y').y — y••• k pp • ki 二―1 即x ^—x x 3二—1.① 又PP'的中点在直线3x — y + 3= 0上,—4x + 3y — 9 — ,—4x + 3y — 9 3x + 4y + 3—2= 0,化简得 7x + y + 22 = 0.三、圆的方程(1) 圆的标准方程：(x — a)2+ (y — b)2 = r 2 (2) 圆的一般方程：x 2 + y 2+ Dx + Ey + F = 0(3) 若圆经过两已知圆的交点或一已知圆与一已知直线的交点，求圆的方程时可用相应的圆系方程加以求解：① 过两圆 C i : x 2+y 2+ Dx + E i y + F i = 0, G : x 2+y 2+ D 2x + &y + F ?= 0 交点的圆系方程为 x 2+ y 2+ Dx + E i y + F i + 入(x 2+y 2+ Dx + Ey + F 2) = 0( X 为参数，入工 —1)，该方程不包括圆G ;② 过圆C : x 2+ y 2+ Dx + Ey + F = 0与直线I : Ax + By + C = 0交点的圆系方程2 2 __________________为 x + y + Dx + Ey + F + X (Ax + By + C) = 0( X 为参数，X € R).7.在平面直角坐标系中，已知△ ABC 的三个顶点的坐标分别为 A — 3,0),B(2,0) , C(0，— 4)，经过这三个点的圆记为 M(1)求BC 边的中线AD 所在直线的一般式方程；⑵求圆M 的方程.••• 3X 22 +3 = 0.②由①②得=3x + 4y + 3(1)把x = 4, y =5代入③④得 =—2, y ' = 7,••• P(4,5)关于直线I 的对称点 P' 的坐标为(一2,7).⑵用③④分别代换x — y — 2= 0 中的x , y ，得关于I 的对称直线方程为［解］⑴法一：由B(2,0) , C(0，—4)，知BC的中点D的坐标为(1 , —2).即中线AD 所在直线的一般式方程为x + 2y + 3= 0. 法二：由题意，得| AB = | Aq = 5, 则厶ABC 是等腰三角形，所以ADL BC因为直线BC 的斜率k Bc = 2, 1所以直线AD 的斜率k AD = — 2 ,1由直线的点斜式方程，得y — 0= — 2(x + 3), 所以直线AD 的一般式方程为x + 2y + 3= 0.⑵ 设圆M 的方程为x 2 + y 2+ Dx + Ey + F = 0.将 A — 3,0) , B(2,0) , C(0 , — 4)三点的坐标分别代入方程，得5所以圆M 的方程是x + y + x + qy — 6= 0. 注：利用待定系数法求圆的方程(1) 若已知条件与圆的圆心和半径有关，可设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a , b , r 的方程组，从而求出a , b , r 的值.(2) 若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，可选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D, E , F 的方程组，从而求出D, E , F 的值.8.以线段AB x+ y — 2 = 0(0< x < 2)为直径的圆的方程为()A. (x + 1)2+ (y + 1)2= 2B. (x — 1)2+ (y — 1)2= 2C. (x + 1)2+ (y + 1)2= 8D. (x — 1)2+ (y — 1)2= 8又A — 3,0),所以直线AD 的方程为y —0 x +3—2—0=~1+3，9 — 3D+ F = 0,4+ 2D+ F = 0,16— 4E + F =—1,5解得E = 2，F = —解析：选B直径的两端点分别为(0,2) ,(2,0)，二圆心为(1,1)，半径为2 故圆的方程为(x—1)2+ (y —1)2= 2.9. 已知圆C经过点A(2 , —3), B( —2,—5)，且圆心在直线I : x—2y —3 =0上，求圆C的方程.解：设圆C的方程为(x —a)2+ (y—b)2= r2.2 一a + —3一b = r ， a = —1，由题意，得一2— a 2+ —5— b 2= r2，解得b= —2，a —2b—3= 0，r2= 10.所以圆C的方程为(x+ 1)2+ (y + 2)2= 10.10. 求以圆C: x2+ y2—12x —2y —13 = 0 和圆Q: x2+ y2+ 12x + 16y—25= 0 的公共弦为直径的圆C的方程.解：联立两圆的方程得方程组2 2x + y —12x —2y—13= 0，2 2x + y + 12x + 16y —25 = 0，相减得公共弦所在直线的方程为4x + 3y —2= 0.4x+ 3y —2 = 0，再由2解得两圆交点坐标为(一1,2)，(5，—6).2x + y —12x—2y —13 =1 •••所求圆以公共弦为直径，•••圆心C是公共弦的中点(2，—2)，半径长为2厂5+ 厂2+ 一- 6—2一2= 5.2 2•••圆C的方程为(x —2) + (y + 2) = 25.四、直线与圆的位置关系1. 直线与圆位置关系的判断方法(1) 几何法：设圆心到直线的距离为d，圆的半径长为r.若dvr，则直线和圆相交；若d= r，则直线和圆相切；若d>r，则直线和圆相离.(2) 代数法：联立直线方程与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，其判别式为△ . △= 0?直线与圆相切；△ >0?直线与圆相交；△ <0?直线与圆相离.2. 过圆外一点(X o，y o)与圆相切的切线方程的求法①当切线斜率存在时，设切线方程为y —y o= k(x—X。

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