《直线和圆的方程》专题讲座

《直线和圆的方程》专题讲座

一、 求最值问题

若a i ＞0（i=1，2，…，n ），则有

n

a a a n +++...21≥n

n a a a ⋯⋯⋅21

（1）当a 1+a 2+…+a n =s （常数）时，积a 1·a 2……a n 有最大值为(n

s )n

，当且仅当a 1=a 2=…=a n 时取得.

（2）当a 1·a 2……a n =p （常数）时，和a 1+a 2+…+a n 有最小值有n n p ，当且仅当a 1=a 2=…=a n 时取得.

利用此公式求最值，按大纲要求只需掌握n=2时的情形.同时在应用时需注意以下三点：（1）作和或作积的数必须都为正；（2）若求和的最小值，则它们的积必须是一个常数，而若求积的最大值，则它们的和必须是一个常数；（3）在允许范围内这几个数能达到相等。 【例1】求下列函数的最值. （1）y=

4

32

+x x

； （2）y=4

34

322+++-x x x x .

分析 此类题一般用判别式求最值，其实，应用二元均值不等式也能予以解答。 解（1）当x=0时，y=0 ， 当x ≠0时，

y =

x

x 43+

=

x

x 43+

≤

4

3 ∴－

43≤y ≤4

3 当且仅当x =

x

4

( )，即x=±2时，等号成立. ∴y min =－

43，y min =4

3 （2）易知函数的定义域是R.

y=4

34

322+++-x x x x =1－4362++x x .

①当x ＞0时，1＞y=1－

3

46

++x

x ≥1－

3

426

+=

71 即当x=2时，y=

7

1

； ②当x=0时，y=1； ③当x ＜0时，1＜y=1+

3

)

(4

)(6--+-x x

≤

3

426+

即当x=－2时，y=7. 综合以上知，y min =7，y min =

7

1 说明 将函数解析式变形以出现“x+

x

a

”是活用平均值不等式求最值的前提. 事实上，对于（2），若令x=2tan θ ，则有

y=

4314312

2+++-

x x x x

=θθ2sin 342sin 34+-. 由此确定这个三角函数的最值也很容易. 【例2】已知x ，y ∈R +，且2x+y=1，求证：

x 1+y

1

的最小值为3+22. 分析 注意到条件中给出1+2x+y ，而所要求证的不等式左边

x 1+y

1

中的也含有1，故可将已知条件作逆向代换，即把1换成2x+y ，可使问题得到巧妙的解决. 解∴

x 1+y 1=x y x +2+ y

y x +2 =2+

x y +y x

2+1 =2+

x y +y

x 2

∵y ∈R + ∴

x y +y x 2≥2y

x x y 2⋅=22 ∴

x 1+y 1≥3+22当且仅当x y =y x 2，即x=2

22-，y=2－1时取“=”.

二、 判别式法的应用

【例1】已知a ，b ，c ∈R ，a+b+c=0，求证：a ，b ，c 中至少有一个大于2

3

. 证明：∵abc=1＞0

∴a ，b ，c 要么同正，要么有两个数为负，另一个数为正。 ∵a+b+c=0， ∴a ，b ，c 不能同正.

可设a ＞0，b ＜0，c ＜0，只需证明a ＞2

3

即可. ∵b+c=－a ，bc=

a

1， ∴b ，c 是一元二次方程x 2+ax+a

1

=0的两个负实根. ∴△=a 2－

a

4

≥0，即a 3≥4. ∴a ＞34＞3

827=2

3 ∴a ，b ，c 中至少有一个大于

2

3. 说明 作此题前要将条件分析好，即由a+b+c=0知a ，b ，c 不能都大于零，只能其中有两个数为负，一个数为正，这样，只需证明为正的那个数大于2

3

即可。 【例2】已知x+y+z=5, x 2+y 2+z 2=9中，得 x 2+(y －5)x+y 2－5y+8=0， ∵x ∈R, ∴△≥0，

即(y －5)2－4(y 2－5y+8) ≥0，

解得1≤y ≤

37 即y ∈[1，3

7] 同理可证x ∈[1，37 ] z ∈[1，3

7

]

说明 在用判别式法证不等式时，要注意“主元”的取值范围.

三、 直线系

直线系指的是具有某种共同性质的直线的集合。利用直线系理论来解决有关问题时，常常显得简捷明快，所以灵活运用直线系知识是重要的解题方法和技巧之一。 （一）平行直线系

Ax+By+λ=0是平行于直线Ax+By+C=0的平行直线系（其中λ为常数，当λ=C 时，两直线重合）.

Bx －Ay+λ=0是垂直于直线Ax+By+C=0的平行直线系.

【例1】求过点P （1，1）且分别与直线3x －5y+4=0平行或垂直的直线方程。 解 将点P 的坐标（1，1）分别代入 3x －5y+λ=0及5x+3y+u=0， 得λ=2，u=－8 。

故与已知直线平行的直线为3x －5y+2=0，与已知直线垂直的直线为 5x+3y －8=0.

（二） 过两直线交点的直线系

【例2】过直线：2x+y+8=0和x+y+3=0的交点作一直线，使它夹在两直线x －y －5=0和x －y －2=0之间的线段长等于3，求此直线方程.

解 如图7—33，两平行线x －y －5=0与x －y －2=0间的距离u=

2

3

∵所求直线被这两行线截下的线段为3=2d ∴所求直线与这两平行线夹角为450

又x －y －5=0的倾角为450，∴所求直线倾角为00与900 ∵过2x+y+8=0和x+y+3=0的交点，求所求直线方程为： 2x+y+8+λ(x+y+3)=0，即：(2+λ)x+(1+λ)y+(8+3λ)=0，① 令2+λ=0得λ=－2，

令1+λ=0得λ=－1代入①式得所求直线方程为y=2或x=－5. 图7—33

四、 对称问题

对称分为点对称（中心对称）和轴对称两种，这是中点坐标公式和直线与直线垂直的应用。 【例1】求①点P （x ，y ）②直线l ：2x －y+3=0 ③圆x 2+y 2=1分别关于点A （1，2）对称的点，直线和圆的方程.

解 ①点P 关于点A 的对称点P /（x /，y /） 则A 是PP /的中点，由中点坐标公式

x-y-2=0

3

3

x-y-5=0