《直线和圆的方程》专题讲座
直线和圆的方程教学课件
• 圆方程的表示方法
• 通过标准式和一般式，介绍圆的方程表示方法。
• 直线和圆的位置关系
• 讲解直线和圆相交、相切和相离的位置关系。
案例分析：通过具体案例，引导学生理解直线和圆的应用场 景
• 案例选择
• 选择与直线和圆相关的实际问题，如几何、物理或工程问题，引导学生思考其应用场景。
• 问题解决实际问题中的应用方法和步骤。
点斜式
通过直线上的一点和斜率，可以写出直线方程的点斜式yy1=k(x-x1)，其中(x1,y1)是直线上的一点。
截距式
通过直线在x轴和y轴上的截距，可以写出直线方程的截距 式x/a+y/b=1，其中a和b分别是直线在x轴和y轴上的截距。
圆方程的表示方法
一般式
圆的一般方程为 x^2+y^2+Dx+Ey+F=0， 其中D、E、F为常数。
直线和圆的方程教学 课件
汇报人：xxx
目录
01 教 学 目 标 02 教 学 内 容 03 教 学 方 法 04 教 学 步 骤
01
教学目标
理解直线和圆的基本概念
学生应能理解并掌握直线和圆的方 程形式，包括一般式、点斜式、两 点式和极坐标式。
学生应能通过比较直线和圆心的距 离与半径的大小，判断直线和圆的 位置关系。
及时反馈
对学生的练习情况进行 及时反馈，指出错误并 给出正确的解题方法。
小结作业：总结本节课所学内容，布置作业。
导入新课
通过回顾上节课的知识点，引 出本节课的学习内容。
讲解新课
详细讲解直线和圆的方程，包 括定义、性质、图像等，并配
以例题进行说明。
小结作业
总结本节课所学内容，布置作 业。
《直线和圆的方程-大单元教学设计》示范公开课教学课件【高中数学人教】
数学运算
直观想象
数学建模
逻辑推理
直线与圆、圆与圆位置关系 单元
学科核心素养
数据分析
1.直线与圆的位置关系
数学抽象
2.圆与圆的位置关系
直线与圆、圆与圆的位置关系
主题
单元主题
本单元教学目标
整体设计
几何与代数
直线与圆、圆与圆的位置关系
四基四能
通过位置关系与方程的解、几何问题与代数方法的转化，用方程研究两个图形位置关系的方法的建立，体会数形结合和化归转化思想,
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念、过两点的直线斜率的计算公式，会求直线的倾斜角和斜率；2.会利用直线的斜率判断直线的平行和垂直；3.推导并掌握直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式方程，体会不同形式的直线方程的区别和联系，体会不同形式的直线方程所反映的几何特征.4.通过斜率概念的建立和斜率公式的推导、利用直线的斜率判断直线的平行和垂直、直线方程的建立，经历几何问题代数化的过程，经历从特殊到一般，从感性到理性的认知过程，体会数形结合和化归转化思想．提升直观想想，逻辑推理，数学建模学科核心素养
学科核心素养
1.能够根据直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系；2.能用直线与圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题；3.通过位置关系与方程的解、几何问题与代数方法的转化，用方程研究两个图形位置关系的方法的建立，体会数形结合和化归转化思想,初步感悟平面解析几何蕴含的数学思想.
直线与圆、圆与圆的位置关系
学科核心素养
1.能用解方程组的方法判断两条直线的位置关系（相交、平行和重合），并能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；2. 探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离；3. 通过建立二元一次方程组的解的情况、两条直线的交点个数与相应两条直线的位置关系的联系，体会数形结合思想及坐标法思想.；4. 通过两点间的距离公式、点到直线的距离公式，两条平行直线的距离这个内容探索，体会研究几何度量“距离”的研究方法，进一步体会“坐标法”的思想，体会通过代数方法研究几何问题的一般思路. 在两点间距离公式、点到直线的距离公式、两条平行线之间的距离的公式的探究和推导中，蕴涵着丰富的转化与化归、数形结合、函数与方程等重要的数学思想，发展学生的数学运算、逻辑推理等核心素养.
2022年 《直线和圆的方程知识点总结》优秀教案
直线与圆的方程复习〔一〕知识回忆一、直线方程.1.直线的倾斜角〔0°≤＜180°〕、斜率:2.过两点的直线的斜率____________.当〔即直线和x轴垂直〕时，直线的倾斜角＝，没有斜率3.直线方程的五种形式：点斜式：__________________；斜截式:__________________；两点式:_______________；截距式：____________________；一般式：______________________.3. ⑴两条直线平行：①假设_____________. ②不存在__________.⑵两条直线垂直：①假设_____________. ②不存在_______ ___ .4.过两直线的交点的直线系方程为参数，不包括在内〕6.两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式：______________________.7. 点到直线的距离：⑴点到直线的距离公式：设点，直线到的距离为，那么有__________________.⑵两条平行线间的距离公式：设两条平行直线，它们之间的距离为，那么有_______________.8.直线与平面所成夹角范围_________________.9.平面与平面所成夹角范围__________________.二、圆的方程.1. 圆的标准方程：以点为圆心，为半径的圆的标准方程是___________________.2. 圆的一般方程：____________________ .当时，方程表示一个圆，其中圆心____________，半径_____________.当时，方程表示一个点__________,当时，方程无图形.3. 点和圆的位置关系：给定点及圆.①__________;②__________;③__________.5. 直线和圆的位置关系：设圆：；直线：；（1）代数法：〔判别式法〕时分别相离、相交、相切.（2）几何法圆心到直线的距离.①时，与________；②时，与_______；③时，与_________.6．弦长求法〔1〕几何法：弦心距d，圆半径r，弦长l，那么．〔2〕解析法：联立方程求交点坐标，利用两点间的距离公式.7.圆与圆的位置关系1、判断方法：〔1〕代数法：〔判别式法〕时分别相离、相交、相切.〔2〕几何法：圆心到圆心的距离，时__________; 时__________;时____________;时_____________;____________.2、圆（1）两圆相交时，公共弦所在直线方程为.（2）经过两圆交点的圆系方程为：〔其中，不包括圆〕8、空间中任意一点与点之间的距离公式.【根底知识稳固】1、直线的倾斜角____________;在轴上的截距为_____________.2、直线平行于直线，那么实数________.3、以点为圆心且与直线相切的圆的方程为 ___________________.4、直线x+y－2=0被圆〔x－1〕2+y2=1所截得的线段的长为_____________________.6、两圆和相交于两点，那么直线的方程是_______________;________________.7、在圆内，过点的最短弦和最长弦分别为和，那么四边形的面积为_______________.探究一：圆的切线1、圆的方程是，求过圆上一点的切线方程.2、过点作圆的切线，求此切线的方程.探究二：与圆有关的最值问题〔1〕实数满足方程①求的最大值和最小值；②求的最大值和最小值；③求的最大值和最小值.【变式一】实数满足方程〔1〕求的最值；〔2〕求的最值；〔3〕求的最值.。
高二数学《直线与圆的方程的应用》课件
课前预习
课堂互动
课堂反馈
圆 C：(x－a)2＋(y－ r2－a2)2＝r2－a2. 两方程作差得直线 EF 的方程为 2ax＋2 r2－a2y＝r2＋a2. 令 x＝a，得 y＝12 r2－a2， ∴H(a，12 r2－a2)，即 H 为 CD 中点，
∴EF 平分 CD．
课前预习
课堂互动
课堂反馈
规律方法 坐标法建立直角坐标系应坚持的原则： (1)若有两条相互垂直的直线，一般以它们分别为x轴和y轴． (2)充分利用图形的对称性． (3)让尽可能多的点落在坐标轴上，或关于坐标轴对称． (4)关键点的坐标易于求得．
2．利用直线与圆的方程解决最值问题的关键是由某些代数式 的结构特征联想其几何意义，然后利用直线与圆的方程及 解析几何的有关知识并结合图形的几何量值关系分析、解 决问题．
课前预习Βιβλιοθήκη 课堂互动课堂反馈于是有 aa＋ －110022＋ ＋bb22＝ ＝rr22， ， a2＋b－42＝r2.
课前预习
课堂互动
课堂反馈
解此方程组，得a＝0，b＝－10.5，r＝14.5. 所以这座圆拱桥的拱圆的方程是 x2＋(y＋10.5)2＝14.52(0≤y≤4)． 把点D的横坐标x＝－5代入上式，得y≈3.1. 由于船在水面以上高3 m,3<3.1， 所以该船可以从桥下通过．
《直线和圆的方程》课件
圆的参数方程
圆的参数方程
01
$x=a+rcostheta, y=b+rsintheta$，其中$(a,b)$是圆心，$r$
是半径，$theta$是参数。
参数方程的应用
02
参数方程常用于圆的极坐标表示，方便计算圆的轨迹和运动。
参数方程与直角坐标系的关系
圆的一般方程
圆的一般方程
$x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$， 其中$D,E,F$是常数。
圆心坐标
圆心的坐标为$(-frac{D}{2}, frac{E}{2})$，通过圆心可以确 定圆的位置。
半径
半径的平方为 $frac{D^2+E^2-4F}{4}$，通 过半径可以确定圆的大小。
参数$D,E,F$
02
圆的方程的介绍
圆的标准方程
圆的标准方程
圆心坐标
$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，其中$(a,b)$是 圆心，$r$是半径。
圆心的坐标为$(a,b)$，通过圆心可以确定 圆的位置。
半径
圆上任一点坐标
半径是圆上任一点到圆心的距离，用$r$表 示。
根据圆的标准方程，圆上任一点的坐标可 以表示为$(a+rcostheta, b+rsintheta)$， 其中$theta$是参数。
《直线和圆的方程》 ppt课件
目 录
• 直线方程的介绍 • 圆的方程的介绍 • 直线与圆的位置关系 • 直线与圆的实际应用
01
直线方程的介绍
直线的斜率与截距式
总结词
斜率截距式是直线方程的基本形式，它描述了直线在直角坐标系中的位置关系 。
高考数学专题讲座 第11讲 直线与圆
高考数学专题讲座 第11讲 直线与圆考纲要求：(1)理解直线斜率的概念,掌握两点的直线的斜率,掌握直线方程的点斜式\两点式\一般式,并能根据条件熟练地求出直线方程.(2)掌握两条直线平行于垂直的条件,两条直线所成的角和点到直线的距离公式.能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系.(3)了解二元一次不等式表示平面区域. (4)了解线性规划的意义,并会简单应用. (5)了解解析几何的基本思想,了解坐标法.(6)掌握圆的标准方程和一般方程.理解圆的参数方程. 基础达标1．若直线l 的倾斜角为π＋arctan(－12)，且过点(1，0)，则直线l 的方程为________________．x ＋2y －1=02．已知定点A （0，1），点B 在直线x ＋y ＝0上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标是________________． （－12，12）3．已知两条直线l 1：y ＝x ，l 2：ax －y ＝0，其中a 为实数．当这两条直线的夹角在(0，π12)内变动时，a 的取值X 围是 ( C ) A ．(0，1)B ．(33，3)C ．(33，1)∪(1，3) D ．(1，3) 4．过点A （1，－1）、B （－1，1）且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是 ( C )A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝4B ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4C ．(x －1)2＋(y －1)2＝4D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝45．圆2x 2＋2y 2＝1与直线x sin θ＋y －1＝0(θ∈R ，θ≠π2＋k π，k ∈Z )的位置关系是 ( C )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定6．已知圆C ：(x －a )2＋(y －2)2＝4（a ＞0）及直线l ：x －y ＋3＝0．当直线l 被C 截得的弦长为23时，则a ＝ （ C ） A ． 2 B ．2－2C ．2－1 D ．2＋1 例题选讲例1．（1）过点M (2,1)作直线l 与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点．① 若△AOB 的面积取得最小值,求直线l 的方程，并求出面积的最小值；② 直线l 在两条坐标轴上截距之和的最小值；③若|MA |·|MB |为最小，求直线l 的方程．解：(1)①由于已知直线l 在坐标轴上的截距,故选用直线的截距方程:1=+bya x （i ） 由已知a ＞0,b ＞0.故S △AOB ＝21ab （ii ） 由已知,直线(i)经过点(2,1).故112=+b a ,就是a ＋2b ＝ab ,a ＝12-b b (∵b ≠1) (iii) ∵a ＞0, b ＞0, ∴a ＞1. 将(iii)代入(ii),得S ＝12-b b ＝1112-+-b b ＝b ＋1＋11-b ＝(b －1)＋11-b ＋2.当b ＞1时 S ≥211)1(-⋅-b b ＋2＝4. 等号当且仅当 b －1＝11-b 即b ＝2时成立.代入(iii)得a ＝4. ∴所求的直线方程为24yx +＝1,即x②解一：a ＋b ＝2b b －1＋b ＝2(b －1)＋2b －1＋b ＝ ＝ 2b －1＋b －1＋当b ＞1时 , a ＋b ≥2(2b －1)(b －1)等号当且仅当 b －1＝2b －1， 即解二：a ＋b ＝(a ＋b )×1＝(a ＋b )(2a ＋1b )＝3等号当且仅当2b a ＝a b ，即a 2＝2b 2③由于直线l 绕点M 运动,故可选∠OAB 2θsin M y ＝1sin θ, |MB |＝θcos M x ＝2cos θ,|MA |·|MB |＝1sin θ×2cos θ＝4s in2θ，∴当sin2θ＝1时，|MA |·|MB |有最小值4， 此时tan θ＝1，所求直线l 的方程为x ＋y －3＝0.（2）已知圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝1，P （x ，y ）为圆上任意一点．①求y －22x －2的最大值、最小值；②求x －2y的最大值、最小值．解：（1）令k ＝y －2x －1，则k 表示经过P 点和A （1，2）两点的直线的斜率，故当k 取最大值或最小值时，直线P A ：kx －y ＋2－k ＝0和圆相切，此时d ＝|－2k ＋2－k |1＋k 2＝1，解得k ＝3±34，所以y －22x －2的最大值为3＋38，最小值为3－38；（2）方法一：令x －2y ＝t ，可视为一组平行线系，由题意，直线应与圆C 有公共点，且当t 取最大值或最小值时，直线x －2y －t ＝0和圆相切，则d ＝|－2－t |5＝1，解得t ＝－2±5，所以x －2y 的最大值为－2＋5，最小值为－2－5；方法二：因为P （x ，y ）为圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝1上的点，令x ＝－2＋cos θ，y ＝sin θ，θ∈[0，2π)，所以x －2y ＝－2＋cos θ－2 sin θ＝－2＋5cos(θ＋φ)( φ＝arctan2)，当θ＋φ＝2π，即θ＝2π－arctan2时，cos(θ＋φ)＝1，x －2y 取到最大值为－2＋5，当θ＋φ＝π，即θ＝π－arctan2时，cos(θ＋φ)＝－1，x －2y 取到最大值为－2＋5；例2．已知圆满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1；③圆心到直线l ：x －2y ＝0的距离为55．求该圆的方程． 解：设圆P 的圆心为P (a ，b )，半径为γ，则点P 到x 轴，y 轴的距离分别为|b |，|a |．由题设知圆P 截x 轴所得劣弧对的圆心角为90º，知圆P 截x 轴所得的弦长为r 2．故r 2=2b 2又圆P 被y 轴所截得的弦长为2，所以有 r 2＝a 2+1．从而得2b 2－a 2＝1．又因为P (a ，b )到直线x －2y =0的距离为55，所以5552b a d -=， 即有 a －2b ＝±1， 由此有⎩⎨⎧=-=-121222b a a b ⎩⎨⎧-=-=-121222b a a b 解方程组得⎩⎨⎧-=-=11b a ⎩⎨⎧==11b a 于是r 2=2b 2=2，所求圆的方程是(x +1)2+(y +1)2=2，或(x －1)2+(y －1)2=2．思考：求在满足条件①、②的所有圆中，圆心到直线l ：x －2y ＝0的距离最小的圆的方程．解法一:设圆的圆心为P (a ，b )，半径为r ，则点P 到x 轴，y 轴的距离分别为│b │， │a │． 由题设知圆P 截x 轴所得劣弧对的圆心角为90°，知圆P 截X 轴所得的弦长为r 2，故r 2=2b 2， 又圆P 截y 轴所得的弦长为2，所以有 r 2=a 2+1．从而得2b 2－a 2=1．又点P (a ，b )到直线x －2y =0的距离为52b a d -=，所以5d 2=│a －2b │2 =a 2+4b 2－4ab≥a 2+4b 2－2(a 2+b 2)=2b 2－a 2=1，当且仅当a =b 时上式等号成立，此时5d 2=1，从而d 取得最小值． 由此有⎩⎨⎧=-=12,22a b b a 解此方程组得⎩⎨⎧==;1,1b a 或⎩⎨⎧-=-=.1,1b a 由于r 2=2b 2知2=r ．于是，所求圆的方程是(x －1) 2+(y －1) 2=2，或(x +1) 2+(y +1) 2=2． 解法二:同解法一，得52b a d -=∴d b a 52±=-得2225544d bd b a +±= ①将a 2=2b 2－1代入①式，整理得01554222=++±d db b②把它看作b 的二次方程，由于方程有实根，故判别式非负，即△=8(5d 2－1)≥0，得 5d 2≥1．∴5d 2有最小值1，从而d 有最小值55． 将其代入②式得2b 2±4b +2=0．解得b =±1．将b =±1代入r 2=2b 2，得r 2=2．由r 2=a 2+1得a =±1． 综上a =±1，b =±1，r 2=2． 由b a 2-=1知a ，b 同号． 于是，所求圆的方程是(x －1) 2+(y －1) 2=2，或(x +1) 2+(y +1) 2=2．例3．在以O 为原点的直角坐标系中，点A （4，－3）为△OAB 的直角顶点.已知|AB |＝2|OA |，且点B 的纵坐标大于零．（1）求向量AB →的坐标；（2）求圆x 2－6x ＋y 2＋2y ＝0关于直线OB 对称的圆的方程；（3）是否存在实数a ，使抛物线y ＝ax 2－1上总有关于直线OB 对称的两个点？若不存在，说明理由：若存在，求a 的取值X 围．[解]（1）设⎩⎨⎧=-=+⎪⎩⎪⎨⎧=⋅==,034100,0||||||2||},,{22v u v u OA AB OA AB v u AB 即则由得 },3,4{.86,86-+=+=⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==v u AB OA OB v u v u 因为或 所以v －3>0,得v =8,故AB ={6，8}.（2）由OB ={10，5}，得B （10，5），于是直线OB 方程：.21x y =由条件可知圆的标准方程为：(x －3)2+y(y+1)2=10, 得圆心（3，－1），半径为10. 设圆心（3，－1）关于直线OB 的对称点为（x,y ）则,31,231021223⎩⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-+=-⋅-+y x x y y x 得故所求圆的方程为(x －1)2+(y －3)2=10. （3）设P (x 1,y 1), Q (x 2,y 2) 为抛物线上关于直线OB 对称两点，则.23,022544,02252,,2252,202222222212212121212121>>-⋅-=∆=-++⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=+-+a aa a a ax a x x x a a x x ax x x x yy y y x x 得于是由的两个相异实根为方程即得 故当23>a 时，抛物线y=ax 2－1上总有关于直线OB 对称的两点.4．已知⊙M ：x 2＋(y －2)2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切⊙M 于A ，B 两点，（1）如果|AB |＝423，求直线MQ 的方程；（2）求动弦AB 的中点P 的轨迹方程． 解:（1）由324||=AB ，可得,31)322(1)2||(||||2222=-=-=AB MA MP 由射影定理，得 ,3|||,|||||2=⋅=MQ MQ MP MB 得 在Rt △MOQ 中，523||||||2222=-=-=MO MQ OQ ，故55-==a a 或， 所以直线AB 方程是;0525205252=+-=-+y x y x 或 （2）连接MB ，MQ ，设),0,(),,(a Q y x P 由点M ，P ，Q 在一直线上，得(*),22xy a -=-由射影定理得|,|||||2MQ MP MB ⋅= 即(**),14)2(222=+⋅-+a y x 把（*）及（**）消去a ，并注意到2<y ，可得).2(161)47(22≠=-+y y x说明：适时应用平面几何知识，这是快速解答本题的要害所在。
专题四 第1讲直线与圆
(2)已知圆C1：x2＋y2＝r2，圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)交于不同的A(x1，y1)，
B(x2，y2)两点，给出下列结论：①a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0；②2ax1＋2by1＝a2＋b2；
∴|M→N|2≤100＋100＋8|C→M|·|C→N|cos∠MCN， ∴|M→N|2≤100＋100＋200×25＋255－0 |M→N|2， ∴|M→N|≤4 5，
设圆心C到直线y＝－2x－m的距离为d，
则 2 r2－d2＝2 25－|3＋5m|2≤4 5， 解得m≥2(舍负)， 又直线y＝－2x－m与圆C相交，可得d＜r， 即|3＋5m|＜5⇒m＜5 5－3， 综上所述 m 的取值范围是[2,5 5－3).
Ax＋By＋C＝0， 程组
x－a2＋y－b2＝r2， 消去y，得到关于x的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离⇔Δ＜0， 直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0.
2.圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离.
设圆 C1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21，圆 C2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22，两圆心之间的距离为
板块二 专题四 解析几何
内容索引
NEIRONGSUOYIN
热点分类突破 真题押题精练
1
PART ONE
热点一 直线的方程及应用 热点二 圆的方程及应用 热点三 直线与圆、圆与圆的位置关系
热点一 直线的方程及应用
1.两条直线平行与垂直的判定 若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1. 若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在. 2.求直线方程 要注意几种直线方程的局限性.点斜式、斜截式方程要求直线不能与x轴垂直，两 点式不能表示与坐标轴垂直的直线，而截距式方程不能表示过原点的直线，也不 能表示垂直于坐标轴的直线.
新课标高三数学人教版复习单元讲座 直线圆的方程
xy=1 +ab
a——直线的横截距b——直线的纵截距
过（0，0）及与两坐标轴平行的直线不能用此式
一般式
=0
AxC+By+
ACC分别为，，BAB斜率、横截距和纵截距
A、B不能同时为零
直线的点斜式与斜截式不能表示斜率不存在（垂直于x轴）的直线；两点式不能表示平行或重合两坐标轴的直线；截距式不能表示平行或重合两坐标轴的直线及过原点的直线。
5．圆的方程
222ab0)0(rxa)(yb)r()(Ca,b时，圆。特殊地，当圆心为，半径为r的圆的标准方程为：第1页（共10页）2018年3月19日星期一Wisdom&Love
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222ryx心在原点的圆的方程为：。ED22),(0xFyDxEy圆的一般方程，圆心为点， 22224EDF22DE4F0r。半径，其中 22222xy0DxEyAxBxyCyF项的系数相项，表示圆的方程的充要条件是：①、二元二次方程22AC0DE4AF0。；②、没有xy项，即B=0同且不为0，即；③、
l两点，求、B分别交x轴、y轴的正半轴于AP例2．过点（2，1）作直线B
|·|PBPAl 的值最小时直线的方程。
θ＝，解析：依题意作图，设∠BAO，1）P（2
21θPBPA， 则， cossinx O A
424 2·PAPB， 2sinsinsincoscos|PB·PA|145sin2l 时的值最小，此时直线，即°，的倾斜角为当1351ktan135。∴斜率l2x11·y0y3xl故直线，即的方程为。点评：求直线方程是解析几何的基础，也是重要的题型。解这类题除用到有关概念和直线方程的五种形式外，还要用到一些技巧。：斜率公式及应用题型20y2xy04x2y的最大值满足3．（1）（05年江西高考）设实数x，y，则例 x02y3
《直线和圆方程》课件
目录
• 直线方程的概述 • 圆的方程 • 直线与圆的交点求解 • 直线和圆的几何性质 • 直线和圆的方程在实际问题中的应
用
01
直线方程的概述
直线的定义
直线是由无数个点组成的几何图形，这些点沿着同一直 线排列，形成一条无限延伸的线。
在平面几何中，直线是连接两个点的最短路径，它没有 宽度和厚度。
圆的参数方程
$x = a + rcostheta, y = b + rsintheta$，其中$(a, b)$是圆心坐 标，$r$是半径，$theta$是参数。
圆的标准方程
圆的标准方程为$(x - a)^{2} + (y b)^{2} = r^{2}$，其中$(a, b)$是圆
心坐标，$r$是半径。
圆的基本性质
01 02
圆的定义
圆是一个平面图形，由所有到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的 点组成，表示为 $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$，其中 $(h, k)$ 是圆 心坐标，$r$ 是半径。
圆的半径
连接圆心到圆上任意一点的线段的长度称为半径。
03
圆的直径
通过圆心且两端点在圆周上的线段称为直径，长度是半径的两倍。
圆心和半径
直径
通过圆心且两端点在圆上的线段称为 直径。
圆心是圆的中心点，半径是从圆心到 圆上任一点的线段。
圆的方程表示
圆的一般方程
$(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}$，其中$(h, k)$是圆心坐标
，$r$是半径。
圆的标准方程
$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$，其中$(a, b)$是圆心坐标 ，$r$是半径。
直线和圆课件
圆的参数方程通常表示为 (x, y) = (a, b) + r(cosθ, sinθ)，其中 (a, b) 是圆心， r 是半径，θ 是参数。
参数方程的应用实例
物理学中的应用
在物理学中，许多物理量都是通 过参数方程来描述的，例如简谐 振动的振动曲线、电磁波的传播
等。
工程设计中的应用
在工程设计中，参数方程被广泛 应用于各种曲线和曲面的描述， 例如机械零件的轮廓曲线、建筑
通过圆的半径和直径，可以计算出圆 的弧长和圆周长。
通过比较两个圆的半圆心角和扇形面积
通过圆心角和半径，可以计算出扇形 的面积。
直线和圆在实际生活中的应用
建筑设计
在建筑设计中，直线和圆是非常 重要的元素，它们可以用来确定 建筑物的平面布局、窗户和门的
物的三维模型等。
数学教育中的应用
在数学教育中，参数方程是描述 复杂函数和曲线的重要工具，有 助于学生更好地理解函数的性质
和曲线的几何意义。
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直线和圆 PPT 课件
• 直线和圆的基本概念 • 直线和圆的交点 • 直线和圆的几何应用 • 直线和圆的解析方法 • 直线和圆的参数方程
目录
Part
01
直线和圆的基本概念
直线的定义和性质
直线的定义
直线是无限长的，且在平面内， 可以由两点确定一条直线。
直线的性质
直线具有方向性，可以由斜率表 示；直线是连续的，没有中断； 直线可以无限延伸。
圆的定义和性质
圆的定义
圆是一个平面图形，由一个点（圆心 ）和一段固定长度（半径）决定，所 有点都与圆心保持相同距离。
圆的基本性质
圆是中心对称图形，有固定的周长和 面积；圆内的任意一点到圆心的距离 等于半径。
第12讲 直线和圆的方程(解析版)
第12讲 直线和圆的方程【考点梳理】一、直线与方程 1.直线的倾斜角(1)定义：x 轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角，规定与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角.(2)规定：当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0； (3)范围：直线的倾斜角α的取值范围是[0，π). 2.直线的斜率(1)定义：直线y ＝kx ＋b 中的系数k 叫做这条直线的斜率，垂直于x 轴的直线斜率不存在. (2)计算公式：若由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)确定的直线不垂直于x 轴，则k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2).若直线的倾斜角为θ(θ≠π2)，则k ＝tan__θ.3.直线方程的五种形式名称 几何条件 方程适用条件 斜截式 纵截距、斜率 y ＝kx ＋b 与x 轴不垂直的直线点斜式 过一点、斜率 y －y 0＝k (x －x 0) 两点式过两点y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1与两坐标轴均不垂直的直线截距式 纵、横截距x a ＋y b＝1 不过原点且与两坐标轴均1.两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行对于两条不重合的直线l 1，l 2，其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2.特别地，当直线l 1，l 2的斜率都不存在时，l 1与l 2平行. (2)两条直线垂直如果两条直线l 1，l 2斜率都存在，设为k 1，k 2，则l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直. 2.两直线相交直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的公共点的坐标与方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解一一对应.相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 平行⇔方程组无解； 重合⇔方程组有无数个解. 3.距离公式(1)两点间的距离公式平面上任意两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式为|P 1P 2|特别地，原点O (0，0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |(2)点到直线的距离公式平面上任意一点P0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d (3)两条平行线间的距离公式一般地，两条平行直线l1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d 三、圆的方程 1.圆的定义和圆的方程2.点与圆的位置关系平面上的一点M (x 0，y 0)与圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2之间存在着下列关系： (1)|MC |＞r ⇔M 在圆外，即(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2⇔M 在圆外；(2)|MC |＝r ⇔M 在圆上，即(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2⇔M 在圆上；(3)|MC |＜r ⇔M 在圆内，即(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2⇔M 在圆内.四、直线与圆、圆与圆的位置关系 1.直线与圆的位置关系设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，圆心C (a ，b )到直线l 的距离为d ，由⎩⎪⎨⎪⎧（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2，Ax ＋By ＋C ＝0 消去y (或x )，得到关于x (或y )的一元二次方程，其判别式为Δ.2.圆与圆的位置关系设两个圆的半径分别为R ，r ，R ＞r ，圆心距为d ，则两圆的位置关系可用下表来表示：【解题方法和技巧】1.求倾斜角的取值范围的一般步骤(1)求出斜率k＝tan α的取值范围．(2)利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角α的取值范围．求倾斜角时要注意斜率是否存在．2.已知两直线的一般方程两直线方程l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0中系数A1，B1，C1，A2，B2，C2与垂直、平行的关系：A1A2＋B1B2＝0⇔l1⊥l2；A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0⇔l1∥l2.3.判断直线与圆的位置关系常见的方法：(1)几何法：利用d与r的关系．(2)代数法：联立方程随后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．4.求圆的弦长的常用方法(1)几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则()2＝r2－d2.(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：设直线与圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝|x1－x2|＝.5.(1)判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法．(2)当两圆相交时求其公共弦所在直线方程或是公共弦长，只要把两圆方程相减消掉二次项所得方程就是公共弦所在的直线方程，再根据其中一个圆和这条直线就可以求出公共弦长．6.在解决直线与圆的位置关系时要充分考虑平面几何知识的运用，如在直线与圆相交的有关线段长度计算中，要把圆的半径、圆心到直线的距离、直线被圆截得的线段长度放在一起综合考虑，不要单纯依靠代数计算，这样既简单又不容易出错．【考点剖析】【考点1】直线的倾斜角与斜率一、单选题1．（2022·上海·高三专题练习）“21a =”是“直线1x ay +=与1ax y +=平行”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】首先根基两直线平行求出a 的值，再根据小范围推大范围选出答案. 【详解】因为直线1x ay +=与1ax y +=平行， 所以0a ≠ 且两直线的斜率相等即1a a-=解得1a =±； 而当1a =时直线1x ay +=为1x y +=，同时1ax y +=为1x y +=，两直线重合不满足题意；当1a =-时，1x y -=与1x y -+=平行，满足题意；故1a =-，根据小范围推大范围可得：21a =是1a =-的必要不充分条件. 故选：B【点睛】(1)当直线的方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件．(2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论． (3)两直线平行时要注意验证，排除掉两直线重合的情况.2．（2022·上海市实验学校模拟预测）已知点(,)M a b 与点(0,1)N -在直线3450x y -+=的两侧，给出以下结论：①3450a b -+>；②当0a >时，a b +有最小值，无最大值； ③221a b +>； ④当0a >且1a ≠时，11b a +-的取值范围是93(,)(,)44-∞-+∞. 正确的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【分析】由M 与N 的位置关系有3450a b -+<，数形结合法判断M 位置，结合11b a +-的几何意义判断a b +、11b a +-的范围，应用点线距离公式有222a b +>判断③. 【详解】将(0,1)N -代入有304(1)590⨯-⨯-+=>，而M 与N 在3450x y -+=的两侧，则3450a b -+<，①错误；由上知：3450a b -+<且0a >，则M 在直线上方与y 轴右侧部分， 所以54a b +>，故a b +无最值，②错误； 由上图知：M 在直线左上方，则22222(134a b +>=+，③正确； 由3450x y -+=过5(0,)4且0a >且1a ≠，即M 在直线上方与y 轴右侧部分，而11b a +-表示(1,1)-与M 连线的斜率，由图知：193(,)(,)144b a +∈-∞-⋃+∞-，④正确. 故选：B 二、填空题3．（2022·上海·华师大二附中模拟预测）直线2380ax y -+=与直线10x y --=垂直，则=a ______． 【答案】32-【分析】根据两直线垂直得230a +=，即可求出答案.【详解】由直线2380ax y -+=与直线10x y --=垂直得，32302a a +=⇒=-.故答案为：32-.4．（2022·上海·高三专题练习）过圆2240x y x +-=的圆心且与直线20x y +=垂直的直线方程为___________ 【答案】220x y --=【分析】根据圆的方程求出圆心坐标，再根据两直线垂直斜率乘积为1-求出所求直线的斜率，再由点斜式即可得所求直线的方程.【详解】由2240x y x +-=可得()2224x y -+=， 所以圆心为()2,0，由20x y +=可得2y x =-，所以直线20x y +=的斜率为2-，所以与直线20x y +=垂直的直线的斜率为12， 所以所求直线的方程为：()1022y x -=-，即220x y --=， 故答案为：220x y --=.5．（2022·上海·高三专题练习）求直线2x =-与直线310x y -+=的夹角为________. 【答案】6π【分析】先求出直线的斜率，可得它们的倾斜角，从而求出两条直线的夹角． 【详解】解：直线2x =-的斜率不存在，倾斜角为2π， 直线310x y -+=的斜率为3，倾斜角为3π， 故直线2x =-与直线310x y -+=的夹角为236πππ-=，故答案为：6π．6．（2022·上海·高三专题练习）已知双曲线22145x y Γ-=：的左右焦点分别为1F 、2F ，直线l 与Γ的左、右支分别交于点P 、Q （P 、Q 均在x 轴上方）．若直线1PF 、2QF 的斜率均为k ，且四边形21PQF F 的面积为206，则k =___________． 【答案】2±【解析】斜率相等，两条线平行，然后用余弦定理求出1PF 和2QF ，根据四边形 21PQF F 的面积为206建立等式解出tan θ即可.【详解】按题意作出图如下：由双曲线方程可得：2a =，3c =，因为直线1PF 、2QF 的斜率均为k ，所以直线1PF ∥2QF ，在三角形12QF F 中，设2QF x =，则124QF a x x =+=+， 设2QF 的倾斜角为θ，则由余弦定理得()()22364cos 26x x x πθ+-+-=⨯，解得2523cos QF x θ==-，同理可得：1523cos PF θ=+，所以四边形21PQF F 的面积()121221155sin 6sin 2223cos 23cos S PF QF F F θθθθ⎛⎫=+⨯⨯=+⨯⨯=⎪+-⎝⎭解得sin θ=sin θ=tan k θ==故答案为：【点睛】两直线平行转化为：斜率相等或者向量平行； 两直线垂直转化为：斜率之积为1-或者向量数量积为0； 三、解答题7．（2022·上海·高三专题练习）已知函数()22x xf x -=-.（1）设()()()112212,,,A x y B x y x x ≠是()y f x =图象上的两点，直线AB 斜率k 存在，求证：0k >；（2）求函数()()()22224x xg x mf x m R -=+-∈在区间0,1上的最大值.【答案】（1）证明见解析；（2）当38m ≥时，max ()2g x =；当38m <时，max 17()64g x m =-. 【分析】（1）由解析式判断()f x 的单调性，进而判断k 的符号，即可证结论.（2）由题设整理()g x ，令322[0,]2x xt --∈=有2()()42g x h t t mt ==-+，根据二次函数的性质可求区间最大值.【详解】（1）∵2x y =单调递增，2x y -=单调递减，∴()22x xf x -=-在定义域上是单调增函数，而2121y y k x x -=-， ∴0k >恒成立，结论得证.（2）由题意，有()222224(22)(22)4(22)2x x x x x x x xg x m m ----=+-⋅-=--⋅-+且[]0,1x ∈，令322[0,]2x xt --∈=，则2()42h t t mt =-+，开口向上且对称轴为2t m =，∴当324m ≤，即38m ≤时，max 317()()624h t h m ==-，即max 17()64g x m =-；当324m >，即38m >时，max ()(0)2h t h ==，即max ()2g x =；【考点2】直线的方程一、单选题1．（2022·上海·高三专题练习）若点1(,)M a b和1(,)N b c 都在直线:1l x y +=上，又点1(.)P c a 和点1(,)Q b c ，则A ．点P 和Q 都不在直线l 上B ．点P 和Q 都在直线l 上C ．点P 在直线l 上且Q 不在直线l 上D ．点P 不在直线l 上且Q 在直线l 上【答案】B【详解】由题意得：1111a bb c ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，易得点1,Q b c ⎛⎫⎪⎝⎭满足1 1b c += 由方程组得1111b a b c b ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩，两式相加得11c a +=，即点1,P c a ⎛⎫⎪⎝⎭ 在直线:1l x y +=上，故选B.2．（2022·上海·高三专题练习）如下图，直线l 的方程是（ ）A 330x y -B 3230x y -C 3310x y --=D ．310x -=【答案】D【分析】由图得到直线的倾斜角为30，进而得到斜率，然后由直线l 与x 轴交点为()1,0求解. 【详解】由图可得直线的倾斜角为30°， 所以斜率3tan 30k =︒=所以直线l 与x 轴的交点为()1,0， 所以直线的点斜式方程可得l ：)301y x -=-，即310x y --=． 故选：D3．（2022·上海市七宝中学高三期中）在平面直角坐标系中，函数+=+1()1x f x x 的图象上有三个不同的点位于直线上，且这三点的横坐标之和为0，则这条直线必过定点（ ） A ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．()10-， C ．()1，1-- D ．()1,1【答案】A【分析】画出函数图像，由图可知，直线0k ≠，当0x ≥时，由1kx b =+，解得其中一根， 当0x <时，联立直线和函数方程，由韦达定理及三根之和为0，即可求解. 【详解】解：当0x ≥，1()1,1x f x x +==+ 当()1220,()1,11x x f x x x --++<==---+-所以1,0()21,01x f x x x ≥⎧⎪=⎨--<⎪-⎩，画出图像：设直线方程为：y kx b =+，当0k =时，直线l 与函数()f x 的图像的交点个数不可能是3个, 故0k ≠，依题意可知，关于x 的方程()f x kx b =+有三个不等实根， 当0x ≥时，由1kx b =+，可解得1b x k -=，不妨令31bx k-=， 当0x <时，由211kx b x --=+-可得， 2(1)10(*)kx b k x b ++-+-=，则关于x 的方程（*）有两个不等负实根12,x x ， 则由韦达定理可得，121211,k b bx x x x k k---+==， 依题意可知123110k b b x x x k k---++=+=， 则2k b =，直线方程为：()21y kx b b x =+=+，故直线恒过定点1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，故选：A.4．（2022·上海·高三专题练习）设{}n a 是公比为()1q q ≠，首项为a 的等比数列，n S 是其前n 项和，则点()1,n n S S +（ ）A ．一定在直线y qx a =-上B ．一定在直线y ax q =+上C ．一定在直线y ax q =-上D ．一定在直线y qx a =+上【答案】D【分析】由于()()111111n n n n a q a q S qS qa qq++---=-=--，即可得出.【详解】∵()()111111n n n n a q a q S qS qa qq++---=-=--，∴1n n S qS a +=+，∴点()1,n n S S +一定在直线y qx a =+上. 故选：D.【点睛】本题考查了等比数列的前n 项和公式、直线的方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题. 二、填空题5．（2022·上海奉贤·二模）构造一个二元二次方程组()(),0,0f x y g x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，使得它的解恰好为1112x y =⎧⎨=⎩，2234x y =⎧⎨=-⎩，要求(),0f x y =与(),0g x y =的每个方程均要出现x ，y 两个未知数．答：________. 【答案】()()2235021100x y x y +-=⎧⎪⎨-++-=⎪⎩【分析】不妨令(),0f x y =为过()1,2、()3,4-两点的直线，(),0g x y =为以()1,2、()3,4-两点为直径的圆，即可满足题意.【详解】过()1,2、()3,4-两点的直线为214231y x --=---，整理得350x y +-= ()1,2、()3,4-()1,2、()3,4-两点的中点坐标为()2,1-则以()1,2、()3,4-两点为直径的圆为()222(1)10x y -++=则可令(),0f x y =为350x y +-=，(),0g x y =为()222(1)10x y -++=故答案为：()()2235021100x y x y +-=⎧⎪⎨-++-=⎪⎩6．（2022·上海·高三专题练习）在△ABC 中，3AC =，4AB =，5BC =，P 为角平分线AT 上一点，且在△ABC 内部，则P 到三边距离倒数之和的最小值为________ 【答案】1927012+ 【分析】先根据题意建立平面直角坐标系，求出BC 所在直线的方程为134x y+=和角A平分线AT 的方程为y x =，求出交点的坐标，令(,)P m m ，依题意知1207m <<，根据点到直线的距离表示出P 到三边的距离的倒数和，构造函数25()127f m m m =+-，1207m <<，利用导数求出函数的最小值． 【详解】由3AC =，4AB =，5BC =可知△ABC 为直角三角形，以A 为原点，以直角边AC 为x 轴，直角边AB 为y 轴建立平面直角坐标系，易知(0,4)B ，(3,0)C ，角A 平分线AT 的方程为y x =，由截距式知BC 所在直线的方程为134x y+=，即43120x y +-=，43120y x x y =⎧⎨+-=⎩ 解得1212(,)77T ，令(,)P m m 依题可知1207m <<， 由点到直线的距离公式知P 到BC 的距离为1275m-， 则P 到三边距离倒数之和为11525127127m m m m m++=+-- 令25()127f m m m =+-，1207m <<，则'22235()(127)f m m m =-+-，令'()0f m =，即有m =（该极值点在区间1207m <<上），当 0m <<'()0f m <，则()f m 递减；127m <<时，'()0f m >，则()f m 递增，min ()f m f ∴==【点睛】本题考查了点到直线的距离公式、导数和函数的最值关系，培养了学生的计算能力、转化能力，属于中档题．7．（2022·上海·高三专题练习）已知直线l 过点(2,1)P -，直线l 的一个方向向量是()3,2d =-，则直线l 的点方向式方程是___________. 【答案】2132x y +-=- 【分析】利用直线的点方向式方程可得出结果.【详解】因为直线l 过点(2,1)P -，它的一个方向向量为()3,2d =-， 所以，直线l 的点方向式方程为2132x y +-=-. 故答案为：2132x y +-=-. 8．（2022·上海·复旦附中模拟预测）经过点1,0A 且法向量为()2,1n =的直线l 的一般式方程是______． 【答案】220x y +-=【分析】由法向量的定义求出直线方程法向式再化为一般式．【详解】设(,)P x y 是直线上任一点，则由0AP n ⋅=得直线方程为2(1)0x y -+=，即220x y +-=． 故答案为：220x y +-=．【考点3】两直线的位置关系一、单选题1．（2021·上海市七宝中学模拟预测）“2m =-”是“直线()230m x my -++=与直线30x my --=垂直”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用两直线垂直可求得m 的值，再利用集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】若直线()230m x my -++=与直线30x my --=垂直，则220m m --=， 即220m m +-=，解得2m =-或1，因为{}2- {}2,1-，所以，“2m =-”是“直线()230m x my -++=与直线30x my --=垂直”的充分非必要条件. 故选：A. 二、填空题2．（2022·上海徐汇·二模）已知m ∈R ，若直线1l ：10mx y ++=与直线2l ：9230x my m +++=平行，则m =______________．【答案】3【分析】根据两条直线平行的充要条件列方程组求解即可得答案.【详解】解：因为直线1l ：10mx y ++=与直线2l ：9230x my m +++=平行，所以()29101231m m m ⎧-⨯=⎪⎨⨯+≠⨯⎪⎩，解得3m =，故答案为：3.3．（2022·上海市行知中学高二期中）若直线1:210l ax y -+=与2:(1)10l x a y +++=互相垂直，则=a ______. 【答案】2-【分析】根据两个直线垂直的公式代入计算即可.【详解】因为直线1:210l ax y -+=与2:(1)10l x a y +++=互相垂直， 所以()()1210a a ⨯+-⨯+=，解得2a =-， 故答案为：2-.4．（2022·上海宝山·二模）已知直线20x y ++=与直线0x dy -+=互相平行且距离为m .等差数列{}n a 的公差为d ，且7841035,0a a a a =+<，令123||||||||n n S a a a a =++++，则m S 的值为__．【答案】52【分析】根据平行线的距离求出d 和m 的值，利用等差数列的定义和性质求出通项公式，进而求和即可. 【详解】由题意知，0d ≠，因为两直线平行，所以121d =≠-2d =-，由两平行直线间距离公式得10m ==，由78a a ⋅=77(2)35a a ⋅-=，解得75a =-或77a =. 又410720a a a +=<，所以75a =-，即7165a a d =+=-， 解得17a =，所以1(1)29n a a n d n =+-=-+. 所以1012310S a a a a =++++|7||5||3||1||1||3||5||7||9|=++++-+-+-+-+-|11|52+-=．故答案为：52.5．（2022·上海·同济大学第一附属中学高二阶段练习）若直线1:210l ax y a ++-=与直线2:230l x ay a ++-=平行，则1l 与2l 之间的距离为______．【分析】利用直线平行可求得2a =-，代入距离公式即可得出结果.【详解】根据两直线平行，可得22(1)2(3)a a a a a ⋅=⨯⎧⎨-≠-⎩，解得2a =-，所以两直线的方程为：12:2230,:2250l x y l x y -+=-+=，根据平行线间的距离公式可得，两平行线间的距离2d =，【考点4】直线与圆的位置关系一、单选题1．（2022·上海·模拟预测）设集合(){}222Ω(,)()4,x y x k y kk k =-+-=∈Z ①存在直线l ，使得集合Ω中不存在点在l 上，而存在点在l 两侧；②存在直线l ，使得集合Ω中存在无数点在l 上：（ ） A ．①成立②成立 B ．①成立②不成立 C ．①不成立②成立 D ．①不成立②不成立【答案】B【分析】根据圆与圆的位置关系及直线与圆的位置关系一一判断即可； 【详解】解：若①成立，则相邻两圆外离，不妨设相邻两圆方程为()222(4)k x k y k -+-=，圆心为()2,k k，半径1r =()()()2224111x k y k k -++=-+-，圆心为()()21,1k k ++，半径2r =2>当4k =时(222282360⎡⎤-=-->⎣⎦，2>成立，所以结论①成立；对于②，设直线l 的方程为y mx t =+，则圆心()2,k k到直线l 的距离d =，当k →∞时d r >，所以直线l 只能与有限个圆相交，所以结论②不成立； 故选：B2．（2022·上海·高三专题练习）直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则"1"k =是“OAB ∆的面积为12”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】A试题分析：由1k =时,圆心到直线:1l y x =+的距离d =.所以11222OAB S ∆==.所以充分性成立,由图形的对成性当1k =-时, OAB ∆的面积为12.所以不要性不成立.故选A. 考点：1.直线与圆的位置关系.2.充要条件. 二、填空题3．（2022·上海·模拟预测）设直线系:(1)cos (2)sin 1(02)M x y θθθπ-+-=≤≤，对于下列四个命题： ①M 中所有直线均经过一个定点； ②存在定点P 不在M 中的任一条直线上；③对于任意整数(3)n n ≥，存在正n 边形，使其所有边均在M 中的直线上； ④M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等．其中真命题的序号是_________（写出所有真命题的序号） 【答案】②③【分析】令1cos 2sin x y θθ-=⎧⎨-=⎩，消去θ，即可得到直线系M 表示圆()()22121x y -+-=的切线的集合，即可判断①②③，再利用特殊值判断④；【详解】解：由直线系:(1)cos (2)sin 1(02)M x y θθθπ-+-=≤≤，可令1cos 2sin x y θθ-=⎧⎨-=⎩，消去θ可得()()22121x y -+-=，故直线系M 表示圆()()22121x y -+-=的切线的集合，故①不正确； 因为对任意θ，存在定点()1,2不在直线系M 中的任意一条上，故②正确；由于圆()()22121x y -+-=的外切正n 边形，所有的边都在直线系M 中，故③正确；M 中的直线所能围成的正三角形的边长不一定相等，故它们的面积不一定相等，如图中等边三角形ABC 和ADE 面积不相等，故④不正确．综上，正确的命题是②③． 故答案为：②③．4．（2022·上海·高三开学考试）已知点P 是直线3420x y +-=上的点，点Q 是圆22(1)(1)1x y +++=上的点，则PQ 的最小值是___________. 【答案】45【分析】由题意可得PQ 的最小值为圆心到直线的距离减去半径即可 【详解】圆22(1)(1)1x y +++=的圆心为(1,1)--，半径为1， 则圆心到直线3420x y +-=的距离为223429534d ---==+，所以PQ 的最小值为94155-=，故答案为：455．（2022·上海·高三专题练习）若直线:5l x y +=与曲线22:16C x y +=交于两点11(,)A x y 、22(,)B x y ，则1221x y x y +的值为________.【答案】16【分析】直接利用圆与直线的位置关系,建立一元二次方程根与系数的关系,进一步求出结果. 【详解】解：直线:5l x y +=与曲线22:16C x y +=交于两点11(,)A x y 、22(,)B x y , 则：22516x y x y +=⎧⎨+=⎩所以：221090x x -+=, 则125x x +=,1292x x , 则()()1112221255x x x y x y x x =-+-+121252x x x x25916故答案为：16【点睛】本题考查的知识要点：直线与曲线的位置关系的应用,一元二次方程根与系数的关系的应用. 6．（2022·上海·高三专题练习）过原点且与圆22420x y x y ++-=相切的直线方程为_______. 【答案】20x y -=【分析】切线的斜率显然存在,设出切线方程,利用圆心到直线的距离等于半径,列方程可解得答案. 【详解】由22420x y x y ++-=得22(2)(1)5++-=x y ,所以圆心为(2,1)-,因为圆心到y 轴的距离为2,所以所求切线的斜率一定存在, 所以设所求切线方程为y kx =,即0kx y ,解得2k =,所以所求切线方程为20x y -=. 故答案为:20x y -=.【点睛】本题考查了求圆的切线方程,属于基础题.7．（2022·上海·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，过点(3,)P a -作圆2220x y x +-=的两条切线，切点分别为11(,)M x y ，22(,)N x y ．若21212121()()()(2)0x x x x y y y y -++-+-=，则实数a 的值等于____________． 【答案】4．【分析】取MN 中点Q ，设()1,0,(0,1)A B ，则利用斜率公式转化条件得1MN BQ k k ⋅=-，再结合圆的切线性质得1MN PA k k ⋅=-，即得BQ PA k k =，最后根据三点共线求结果．【详解】由2220x y x +-=得()2211x y -+=，圆心为1,0A ，设()0,1B ，取MN 中点Q ，由题意得1MN PA k k ⋅=-， 因为21212121()()()(2)0x x x x y y y y -++-+-= 所以21212121()(2)1()()y y y y x x x x -+-=--+，则1MN BQ k k ⋅=-因此BQ PA k k =，从而,,P A B 三点关系，即13110a -=---得4a = . 故答案为：4.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于利用斜率关系转化为三点共线问题求解．8．（2022·上海·y 轴交于点A ，与圆()2211x y +-=相切于点B ，则AB =____________．【分析】设直线AB的方程为y b =+，则点()0,A b ，利用直线AB 与圆()2211x y +-=相切求出b 的值，求出AC ，利用勾股定理可求得AB .【详解】设直线AB的方程为y b =+，则点()0,A b ，由于直线AB 与圆()2211x y +-=相切，且圆心为()0,1C ，半径为1，则112b -=，解得1b =-或3b =，所以2AC =， 因为1BC =，故AB ==9．（2021·上海·高三专题练习）过直线:2l x y +=上任意点P 向圆22:1C x y +=作两条切线，切点分别为,A B ，线段AB 的中点为Q ，则点Q 到直线l 的距离的取值范围为______．【答案】 【分析】设P （t ，2﹣t ），可得过O 、A 、P 、B 的圆的方程与已知圆的方程相减可得AB 的方程，进而联立直线方程解方程组可得中点Q 的坐标，由点Q 到直线的距离公式和不等式的性质可得． 【详解】∵点P 为直线:2l x y +=上的任意一点，∴可设(),2P t t -，则过O A P B 、、、的圆的方程为()2222212224t t x y t t -⎛⎫⎛⎫⎡⎤-+-=+- ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭， 化简可得()2220x tx y t y -+--=，与已知圆的方程相减可得AB 的方程为()21tx t y +-=， 由直线OP 的方程为()20t x ty --=， 联立两直线方程可解得2244tx t t =-+，22244t y t t -=-+，故线段AB 的中点222,244244t t Q t t t t -⎛⎫⎪-+-+⎝⎭，∴点Q 到直线l的距离2122d t t ==--+，∵()2222111t t t -+=-+≥，∴210122t t <≤-+， ∴211022t t -≤-<-+，∴2112222t t ≤-<-+，∴21222t t -<-+d ∈⎣故答案为⎣ 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆的相交弦和点到直线的距离公式，以及不等式求函数的值域，属中档题．10．（2022·上海交大附中高三期中）圆C 的圆心C 在抛物线22y x =上，且圆C 与y 轴相切于点A ，与x 轴相交于P 、Q 两点，若9OC OA ⋅=（O 为坐标原点），则PQ =______．【答案】【分析】不妨设点C 在第一象限，设()2000,02y C y y ⎛⎫> ⎪⎝⎭，则()00,A y ，根据9OC OA ⋅=求出0y ，从而可求得圆C 的方程，求出,P Q 的坐标即可得解. 【详解】解：不妨设点C 在第一象限， 设()2000,02y C y y ⎛⎫> ⎪⎝⎭，则()00,A y ， 故()2200009,0,2y y OC y y OA ⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭⋅=，解得03y =， 故圆心9,32C ⎛⎫⎪⎝⎭，所以圆C 的半径等于92，所以圆C 的方程为()22981324x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，当0y =时，3592x +=或3592-+， 所以3593593522PQ -++=-=. 故答案为：35.11．（2022·上海·高三专题练习）已知圆221:1x y ω+=，圆222:4x y ω+=，P 为1ω上的动点，M ､N 为2ω上的动点，满足23MN =PM PN ⋅的取值范围是___________. 【答案】[3,1]-【分析】先由勾股定理得出MN 的中点Q 的轨迹，再结合向量的运算得出23PM PN QP ⋅=-，最后由2[0,4]QP ∈得出PM PN ⋅的取值范围.【详解】设MN 的中点Q ，22||2(3)1OQ =-=，即MN 的中点Q 的轨迹是221x y +=，所以222()()3PM PN QM QP QN QP QP QM QP ⋅=-⋅-=-=-，又 220,2QP ⎡⎤∈⎣⎦，所以[3,1]PM PN ⋅∈-故答案为：[3,1]-12．（2022·上海·华师大二附中模拟预测）已知曲线29C y x =--：，直线2l y =：，若对于点(0,)A m ，存在C 上的点P 和l 上的点Q ，使得0AP AQ +=，则m 取值范围是_________． 【答案】1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】通过曲线方程判断曲线特征，通过0AP AQ +=，说明A 是PQ 的中点，结合y 的范围，求出m 的范围即可． 【详解】解：曲线2:9C y x =--，是以原点为圆心，3为半径的半圆（圆的下半部分）， 并且[3P y ∈-，0]，对于点(0,)A m ，存在C 上的点P 和l 上的Q 使得0AP AQ +=， 说明A 是PQ 的中点，Q 的纵坐标2y =，21[,1]22py m +∴=∈-．故答案为：1[,1]2-．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，函数思想的应用，考查计算能力以及转化思想． 三、解答题13．（2022·上海·模拟预测）如图，由半圆()22200，+=≤>x y r y r 和部分抛物线()()2100y a x y a =-≥>，合成的曲线C 称为“羽毛球开线”，曲线C 与x 轴有AB 、两个焦点，且经过点()23.，(1)求a r 、的值；(2)设()02N ，，M 为曲线C 上的动点，求MN 的最小值；(3)过A 且斜率为k 的直线l 与“羽毛球形线”相交于点、、P A Q 三点，问是否存在实数k ，使得QBA PBA ∠=∠？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）11a r =⎧⎨=⎩；（2）min MN =3）存在，且1k =【分析】（1）将()23，代入()21=-y a x 求出1a =，再由21y x =-与x 轴交点坐标，代入圆的方程，即可求出1r =；（2）先设00(,)M x y ，得到=MN 00≤y ，和00≥y 两种情况，由抛物线与圆的方程，即可求出结果；（3）先由题意得到PQ 的方程，与抛物线联立，求出2(1,2)--Q k k k ；与圆联立，求出22212,11⎛⎫-- ⎪++⎝⎭k k P k k ，根据QBA PBA ∠=∠得到=-BP BQ k k ，化简得到关于k 的方程，求解，即可得出结果.【详解】（1）由题意，将()23，代入()21=-y a x ，得到1a =；所以抛物线21y x =-； 又21y x =-与x 轴交于()1,0±，所以(1,0)(1,0)、-A B ，代入圆的方程，可得1r =； 所以1a =，1r =；（2）设00(,)M x y ，因为()02，N ，则MN当00≤y 时，22001=-x y ，所以=MN所以00y =时，min =MN当00≥y 时，2001=+x y ，=MN所以032=y 时，minMN<MN （3）由题意，可得：PQ 的方程为(1)y k x =-，由2(1)1y k x y x =-⎧⎨=-⎩，整理得：210x kx k -+-=， 解得1x =或1=-x k ，即2(1,2)--Q k k k ；由22(1)1y k x x y =-⎧⎨+=⎩，整理得：2222(1)210+-+-=k x k x k 解得：1x =或2211-=+k x k ，则22212,11⎛⎫-- ⎪++⎝⎭k k P k k ，由QBA PBA ∠=∠，可得=-BP BQ k k ，即2222221111--+=--++kk k k k kk ，整理得2210--=k k，解得1=k因此，存在实数1k =QBA PBA ∠=∠.【点睛】本题主要考查圆与圆锥曲线的综合，熟记直线与圆位置关系，以及直线与抛物线物位置关系即可，属于常考题型.14．（2022·上海·高三专题练习）某景区欲建造同一水平面上的两条圆形景观步道1M 、2M （宽度忽略不计），已知AB AC ⊥，60AB AC AD ===（单位：米），要求圆1M 与AB 、AD 分别相切于点B 、D ，2M 与AC 、AD 分别相切于点C 、D ，且90CAD BAD ︒∠+∠=.（1）若60BAD ︒∠=，求圆1M 、圆2M 的半径（结果精确到0.1米）；（2）若景观步道1M 、2M 的造价分别为每米0.8千元、0.9千元，如何设计圆1M 、圆2M 的大小，使总造价最低？最低总造价为多少（结果精确到0.1千元）？ 【答案】（1）圆1M 、圆2M 的半径分别为34.6米、16.1米；（2）1M 的半径与圆2M 的半径分别为30米与20米时，总造价最低，最低总造价为84263.9π≈千元. 【分析】（1）直接利用锐角三角函数的定义可计算出两圆的半径； （2）设1M ADα，可得24M ADπα，其中0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，然后得出总造价y （千元）关于α的函数表达式，并利用基本不等式可求出y 的最小值，利用等号成立求出对应的tan α的值，即可计算出两圆的半径长.【详解】（1）依题意，圆1M的半径1tan 306034.6M B AB =⋅==（米）， ()tan 60tan 4531tan15tan 604521tan 60tan 4513--=-===++圆2M 的半径(260tan1560216.1M C =⋅=≈（米） ，答：圆1M 、圆2M 的半径分别为34.6米、16.1米； （2）设1M ADα，则24M ADπα，其中0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故景观步道的总造价为260tan 0.8260tan 0.94y ππαπα⎛⎫=⋅⋅⋅+⋅⋅-⋅ ⎪⎝⎭.1tan 2128tan 9128tan 911tan 1tan απαπααα⎡⎤-⎛⎫⎛⎫=+⋅=+-+ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()18181281tan 1712281tan 17841tan 1tan παπαπαα⎡⎤⎡⎤=++-≥⋅+⋅=⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦（当且仅当()1tan 0,12α=∈时取等号）， 当()1tan 0,12α=∈时，1tan 1tan 41tan 3πααα-⎛⎫-== ⎪+⎝⎭， 答：设计圆1M 的半径与圆2M 的半径分别为30米与20米时，总造价最低，最低总造价为84263.9π≈（千元）.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查利用基本不等式求最值，解题的关键就是建立函数模型的解析式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.【考点5】圆与圆的位置关系一、单选题1．（2020·上海·高三专题练习）已知,x y R ∈，且2220x y x ++<，则（ ）． A ．22680x y x +++< B ．22680x y x +++> C ．22430x y x +++< D ．22430x y x +++>【答案】B【分析】借助圆与圆关系确定选择. 【详解】222212(1)0x y x x y ++<∴++<,表示圆心为1(1,0)C -，半径为11r =的圆内部的点，范围记为P2222680(3)1x y x x y +++<∴++<表示圆心为2(3,0)C -，半径为21r =的圆内部的点，因为1212||2C C r r ==+，所以两圆外切，P 在A 中所表示的点的范围外，所以A 不成立； 2222680(3)1x y x x y +++>∴++>表示圆心为2(3,0)C -，半径为21r =的圆外部的点，因为1212||2C C r r ==+，所以两圆外切，P 在B 中所表示的点的范围内，所以B 成立； 2222430(2)1x y x x y +++<∴++<表示圆心为3(2,0)C -，半径为31r =的圆内部的点，因为121312||||1r r C C r r -<=<+，所以两圆相交，P 中有些点在C 中所表示的点的范围外，所以C 不恒成立； 2222430(2)1x y x x y +++>∴++>表示圆心为3(2,0)C -，半径为31r =的圆外部的点，因为121312||||1r r C C r r -<=<+，所以两圆相交，P 中有些点在D 中所表示的点的范围外，所以D 不恒成立； 故选：B【点睛】本题考查两圆位置关系，考查综合分析判断能力，属中档题.2．（2022·上海·高三专题练习）若圆221:1C x y +=和圆222:680C x y x y k +---=没有公共点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(9,11)-B ．(25,9)--C ．(,9)(11,)-∞-+∞D ．(25,9)(11,)--+∞【答案】D【分析】求出两圆的圆心坐标与半径，再由圆心距与半径间的关系列式求解． 【详解】化圆C 2：x 2+y 2﹣6x ﹣8y ﹣k ＝0为（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝25+k ，则k ＞﹣25，圆心坐标为（3，4 圆C 1：x 2+y 2＝1的圆心坐标为（0，0），半径为1．要使圆C 1：x 2+y 2＝1和圆C 2：x 2+y 2﹣6x ﹣8y ﹣k ＝0没有公共点，则|C 1C 2|1或|C 1C 2|1，即51或51， 解得﹣25＜k ＜﹣9或k ＞11．∴实数k 的取值范围是（﹣25，﹣9）∪（11，+∞）． 故选：D ．【点睛】本题考查圆与圆位置关系的判定及应用，考查数学转化思想方法，考查计算能力，是基础题．3．（2022·上海黄浦·模拟预测）已知圆C ：25cos 35sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数），与圆C 关于直线0x y +=对称的圆的普通方程是（ ）. A ．22(3)(2)25x y ++-= B ．22(2)(3)25x y -++= C ．22(3)(2)5x y ++-= D ．22(3)(2)5x y ++-=【答案】A【分析】根据题意得圆C 的普通方程为22(2)(3)25x y ++-=，与圆C 对称的圆的圆心和圆C 的圆心关于直线0x y +=对称，半径和圆C 相同，求解计算即可.【详解】圆C ：25cos 35sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）转化为普通方程为22(2)(3)25x y ++-=，圆心为(2,3)-，半径为5，设圆C 关于直线0x y +=对称的圆的圆心为(,)a b ，半径为5， 所以点(2,3)-与点(,)a b 关于0x y +=对称，所以()230223112a b b a -+⎧+=⎪⎪⎨-⎪⨯-=-⎪+⎩，解得32a b =-⎧⎨=⎩， 所以对称的圆的圆心为(3,2)-，半径为5， 故对称的圆的普通方程是22(3)(2)25x y ++-=. 故选：A. 二、填空题4．（2020·上海·高三专题练习）若圆2225x y +=与圆22680x y x y m +-++=的公共弦长为8，则m =________.【答案】55-或5【分析】将两圆的方程相减即可得到两圆公共弦所在的直线方程，根据弦长与半径以及弦心距之间的关系即可得到d ＝|25|10m +＝3．从而解得m ＝﹣55或5． 【详解】解：x 2+y 2＝25① x 2+y 2﹣6x +8y +m ＝0② 两式相减得6x ﹣8y ﹣25﹣m ＝0．圆x 2+y 2＝25的圆心为（0，0），半径r ＝5．。
第二章直线与圆的方程课说课课件(人教版)
【预设】猜想点 P 的轨迹还是圆，也可能有同学发现 =1 时是中垂线.
【问题 6】你能对变式 1 中的点 P 轨迹进行严谨的证明吗？
【问题 7】以上问题如何建系更合理更简洁？
设计意图：体会研究数学问题的一般过程， 由特殊到一般，先大胆猜想再严谨证明。
设点 A（t,0）, B(t,0) （因为 A和B 不重合，所以 t 0 .）
第二章 平面解析几何
【学习内容分析】
本节课是直线与圆部分的习题课，学生已经学习了直线与圆 的方程、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系等内容，因 此本节课是对已学内容的巩固深化和拓展延伸；通过求动点的轨 迹，使学生进一步体会坐标法在解析几何中的应用，后面学习圆 锥曲线等内容奠定基础.
蕴含的数学思想和方法：
经检验 x2 y2 4 上的所有点 P 都满足 PA 2 PB .
提出问题
深入研究
特殊一般
形成策略
反思小结
（二）问题深入，典例分析
例 2.已知两个定点 A(0,4), B(0，1) ,动点 P 满足 PA 2 PB ，设动点 P 的轨迹为曲线 E，直线. l : y kx 4
（1）求曲线 E 的方程；
提出问题
深入研究
特殊一般
形成策略
反思小结
【小结】求轨迹方程时要注意验证完备性，即是否轨迹上所有点都满足条件.
（一）提出问题，引发思考
【预设 1】已知 A，B 为两个定点，若动点 P 满足 PA PB ，则点 P 的轨迹是以 AB 为直径的圆. 【预设 2】已知 A，B 为两个定点，若动点 P 满足 PA PB 0 ，则点 P 的轨迹是以 AB 为直径的圆.
提出问题
深入研究
特殊一般
形成策略
《直线和圆的方程》课件1 (北师大版必修2)
在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如 果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所 转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。
y
l
0 x
当直线与x轴平行或重合时 规定倾斜角为00。
0 0
倾斜角的取值范围是 0 180 .
描述直线倾斜程度的量——直线的斜率
2、直线的斜率 定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这
设P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 )是直线l上的两个不同点 1
| PP2 | k tan | PP | 1
| PP | y2 y1 2 | PP | x2 x1 1
tan
l
y y x x
2 2
y P2
1
1
P 1
P
直线的斜率计算公式：
0
x
即
y y k x x
2 2
1
1
如何用两点的坐标表示直线的斜率
设P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 )是直线l上的两个不同点 1
向量P P2 x2 x1, y2 y1） （ . 1
过原点作OP P P2 . 1
则P的坐标是（x2 x1 , y2 y1） .
条直线的斜率。斜率通常用k表示，即：
k tan
思考：为什么用 的正切来表示斜率？
y
C
2
0
A B
x
意义：斜率表示倾斜角不等于90 0的直线对于x轴的倾 斜程度。
下列说法对吗？
(Yes (1)任何一条直线都有唯一 的倾斜角。 )
(2)任何一条直线都有唯一 的斜率。 (No )
《直线和圆的方程》说课稿
《直线和圆的方程》说课稿各位领导,专家,同仁:你们好!我说课的内容是高中数学第二册(上册)第七章《直线和圆的方程》中的第六节“曲线和方程"的第一课时,下面我的说课将从以下几个方面进行阐述:一,教材分析教材的地位和作用"曲线和方程"这节教材揭示了几何中的形与代数中的数相统一的关系,为"作形判数"与"就数论形"的相互转化开辟了途径,这正体现了解析几何这门课的基本思想,对全部解析几何教学有着深远的影响.学生只有透彻理解了曲线和方程的意义,才算是寻得了解析几何学习的入门之径.如果以为学生不真正领悟曲线和方程的关系,照样能求出方程,照样能计算某些难题,因而可以忽视这个基本概念的教学,这不能不说是一种"舍本逐题"的偏见,应该认识到这节"曲线和方程"的开头课是解析几何教学的"重头戏"!根据以上分析,确立教学重点是:"曲线的方程"与"方程的曲线"的概念;难点是:怎样利用定义验证曲线是方程的曲线,方程是曲线的方程.二,教学目标根据教学大纲的要求以及本教材的地位和作用,结合高二学生的认知特点确定教学目标如下:知识目标:1,了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系;2,初步领会"曲线的方程"与"方程的曲线"的概念;3,学会根据已有的情景资料找规律,进而分析,判断,归纳结论;4,强化"形"与"数"一致并相互转化的思想方法.能力目标:1,通过直线方程的引入,加强学生对方程的解和曲线上的点的一一对应关系的认识;2,在形成曲线和方程的概念的教学中,学生经历观察,分析,讨论等数学活动过程,探索出结论,并能有条理的阐述自己的观点;3,能用所学知识理解新的概念,并能运用概念解决实际问题,从中体会转化化归的思想方法,提高思维品质,发展应用意识.情感目标:1,通过概念的引入,让学生感受从特殊到一般的认知规律;2,通过反例辨析和问题解决,培养合作交流,独立思考等良好的个性品质,以及勇于批判,敢于创新的科学精神.三,重难点突破"曲线的方程"与"方程的曲线"的概念是本节的重点,这是由于本节课是由直观表象上升到抽象概念的过程,学生容易对定义中为什么要规定两个关系产生困惑,原因是不理解两者缺一都将扩大概念的外延.由于学生已经具备了用方程表示直线,抛物线等实际模型,积累了感性认识的基础,所以可用举反例的方法来解决困惑,通过反例揭示"两者缺一"与直觉的矛盾,从而又促使学生对概念表述的严密性进行探索,自然地得出定义.为了强化其认识,又决定用集合相等的概念来解释曲线和方程的对应关系,并以此为工具来分析实例,这将有助于学生的理解,有助于学生通其法,知其理.怎样利用定义验证曲线是方程的曲线,方程是曲线的方程是本节的难点.因为学生在作业中容易犯想当然的错误,通常在由已知曲线建立方程的时候,不验证方程的解为坐标的点在曲线上,就断然得出所求的是曲线方程.这种现象在高考中也屡见不鲜.为了突破难点,本节课设计了三种层次的问题,幻灯片9是概念的直接运用,幻灯片10是概念的逆向运用,幻灯片11是证明曲线的方程.通过这些例题让学生再一次体会"二者"缺一不可.四,学情分析此前,学生已知,在建立了直角坐标系后平面内的点和有序实数对之间建立了一一对应关系,已有了用方程(有时以函数式的形式出现)表示曲线的感性认识(特别是二元一次方程表示直线),现在要进一步研究平面内的曲线和含有两个变数的方程之间的关系,是由直观表象上升到抽象概念的过程,对学生有相当大的难度.学生在学习时容易产生的问题是,不理解"曲线上的点的坐标都是方程的解"和"以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点"这两句话在揭示"曲线和方程"关系时各自所起的作用.本节课的教学目标也只能是初步领会,要求学生能答出曲线和方程间必须满足两个关系时才能称作"曲线的方程"和"方程的曲线",两者缺一不可,并能借助实例指出两个关系的区别.五,教法分析新课程强调教师要调整自己的角色,改变传统的教育方式,教师要由传统意义上的知识的传授者和学生的管理者,转变为学生发展的促进者和帮助者,简单的教书匠转变为实践的研究者,或研究的实践者,在教育方式上,也要体现出以人为本,以学生为中心,让学生真正成为学习的主人而不是知识的奴隶,基于此,本节课遵循了概念学习的四个基本步骤,重点采用了问题探究和启发式相结合的教学方法.从实例,到类比,到推广的问题探究,它对激发学生学习兴趣,培养学习能力都十分有利.启发引导学生得出概念,深化概念,并应用它所解决问题去讨论,去研究.在生生合作,师生互动中解决问题,为提高学生分析问题,解决问题的能力打下了基础.利用多媒体辅助教学,节省了时间,增大了信息量,增强了直观形象性.六,学法分析基础教育课程改革要求加强学习方式的改变,提倡学习方式的多样化,各学科课程通过引导学生主动参与,亲身实践,独立思考,合作探究,发展学生搜集处理信息的能力,获取新知识的能力,分析和解决问题的能力,以及交流合作的能力,基于此,本节课从实例引入→类比→推广→得概念→概念挖掘深化→具体应用→作业中的研究性问题的思考,始终让学生主动参与,亲身实践,独立思考,与合作探究相结合,在生生合作,师生互动中,使学生真正成为知识的发现者和知识的研究者.七,教学过程分析1,感性认识阶段――以旧带新,提出课题(出示幻灯片2)借助多媒体让学生直观上深刻体会如下结论:(出示幻灯片3)运用学生熟知的旧知识引入,再类比和推广,由特殊到一般地提出了课题,又为形成"曲线和方程"的概念提供了实际模型.但是如果就此而由教师直接给出结论,那就不仅会失去开发学生思维的机会,影响学生的理解,而且会使教学变得枯燥乏味,抑制学生学习的主动性和积极性.(出示幻灯片4,引导学生类比,推广并思考相关问题)要启动学生的思维,就要有一个明确的可供思考的问题,使学生的思维有明确的指向.这里提出的思考题是以相信学生对用方程表示曲线的实事已有了初步的认识为前提,它可以说是本节课的中心议题,应引导全班学生积极思维,让多一点学生发表意见,形成"高潮".在思考题的后面加上了"为什么"的问题,是为了给那些还记着"直线的方程"的定义的学生提供思考的余地,增大思考题的跨度.2,分化本质属性阶段――运用反例揭示内涵在以上讨论中,学生会有各种不同的意见,教师应予鼓励,并随时补正纠错,但不要急着把两个关系并列起来抛出定义,中断学生的探索性思维,而是再提出问题,深入探索.(出示幻灯片5,让学生回答问题,并加以纠正和总结)师:方程⑴,⑵,⑶都不是曲线C的方程.第⑴题中曲线C上的点不全是方程的解;例如点A(-2,-2),B(,)等即不符合"曲线上点的坐标都是方程的解"这一结论.第⑵题中,尽管"曲线上点的坐标都是方程的解",但是以方程的解为坐标的点却不全在曲线上;例如D(2,-2),E(,)等不符合"以这个方程的解为坐标的点都在曲线上"这一结论.第⑶题中既有以方程的解为坐标的点,如G(-3,3),H(,)等都不在曲线上,又有曲线C上的点,如M(-3,-3),N(-1,-1)等的坐标不是方程的解.事实上,⑴,⑵,⑶中各方程所表示的曲线应该是如图所示的3种情况.(出示幻灯片6)在概念教学中,通过反例反衬,常常起着帮助学生理解概念的作用.反例一般应用在学生对概念有了初步的正面了解之后,这里却用在给出概念的定义之前,那是出于这样的考虑:⑴相信学生已经有了用方程表示曲线的经验,已能从直觉上识别哪个方程能表示哪条曲线(当然是简单的例子),哪个方程不能表示哪条直线,缺少的只是用逻辑形式确切地加以陈述,给概念下定义;⑵将反例中出现的不完整性与直观引起矛盾,避免曲线和方程之间关系的不完整性,寻求做出必要的规定,这就是产生"曲线的方程"和"方程的曲线"的定义过程.3,概括形成定义阶段――讨论归纳得定义师:在下定义时,针对幻灯片5中的第⑴个问题"曲线上混有其坐标不是方程的解的点"应作何规定生:"曲线上的点的坐标都是这个方程的解".师:针对幻灯片5中的第⑵个问题"以方程的解为坐标的点不在曲线上"应作何规定生:"以方程的解为坐标的点都有是曲线上的点".这样,我们可以对"曲线的方程"和"方程的曲线"下这样的定义: (出示幻灯片7)在辨析反例之后,有了关于对象所共有的本质属性的正确认识,给对象以明确的定义是水到渠成,这里单独列出作为一个教学步骤,是想突出这个中心环节,并有意识地训练学生依据知觉中的分散的已知知识给概念下定义的创造能力.4,定义强化阶段――多种表征,深化内涵师:大家熟知,曲线可以看作是由点组成的集合,记作C;一个二元方程的解可以作为点的坐标,因此二元方程的解集也描述了一个点集,记作F.请大家思考:如何用集合C和F间的关系来表述"曲线的方程"和"方程的曲线"定义中的两个关系,进而重新表述"曲线的方程"和"方程的曲线"的定义.启发学生得出:关系⑴指点集C是点集F的子集;关系⑵指点集F是点集C的子集.(出示幻灯片8)师:另外从充要条件的角度看,关系⑴或⑵仅是"曲线的方程"和"方程的曲线"的必要条件,只有两者都满足了"曲线的方程"和"方程的曲线"才具备充分性.这是本节课第二个思维的"热点",将促使学生对曲线和方程关系的理解得到强化,是认识上的再一次抽象,其结果将使学生对曲线和方程的关系的理解与记忆都趋于简化.5,应用和强化阶段――主动参与,合作交流1,初步应用,突出内涵(出示幻灯片9,让学生思考后回答下列问题)数学概念是要在运用中得以巩固,通过运用与练习,可以纠正错误的认识,促使对概念的正确理解,通过反复重现,可以不断领悟,加强记忆.这里安排的"初步应用",目的也在于帮助学生正确理解概念,通过理解辨析"两个关系"实现本节课的教学目标.为此,题目中的"曲线"与"方程"都力求简单.2,变式应用,提升能力(出示幻灯片10,让学生在练习本上解答以下问题学生回答:⑴依据关系⑵点A在圆上,依据关系⑴点B不在圆上.⑵依据关系⑵求得m=.(出示幻灯片11,教师启发学生共同完成如下证明)学生回答:⑴依据关系⑵点A在圆上,依据关系⑴点B不在圆上.⑵依据关系⑵求得m=.(出示幻灯片11,教师启发学生共同完成如下证明)师:请同学思考,证明应从何着手生:应从以下两方面:(1)圆上的点的坐标都满足方程:;(2)方程的解为坐标的点都在圆上.师:(1)中的"点"和(2)中的"解"指的都是有关集合中的全体元素,怎样解决全体问题师:(学生思考片刻后)用"任意一个"代表"全体"是数学证明中常用的方法.(请同学们完成证明过程,同桌间交流,参照课本证明纠正错误,完善证题过程,加强证明题的严密性.)本题是课本例题,处理时将第2问分散到了幻灯片10中的问题中,本题的要求集中在"证明"上.这样安排的意图是先集中注意力于概念的领会上,对证明过程中思维,表述上遇到的一些困难留在这里解决,层层深入.6,小结本节课我们通过实例的研究,掌握了"曲线的方程"和"方程的曲线"的定义,在领会定义时,要牢记关系⑴,⑵两者缺一不可,它们都是"曲线的方程"和"方程的曲线"的必要条件,两者都满足了"曲线的方程"和"方程的曲线"才具备充分性.曲线和方程之间一一对应的确立,进一步把"曲线"与"方程"统一了起来,在此基础上,我们就可以更多地用代数的方法研究几何问题.引导学生从知识内容和思想方法两个方面进行小结,不仅使学生对本节课的知识结构有一个清晰的认识,而且对所用到的数学方法和涉及的数学思想也得以领会,这样既可以使学生完成知识建构,又可以培养其能力.7,作业布置1,教材72页,习题1,2题.2,思考题:如果两条曲线的方程和的交点为M(),求证:方程表示的曲线也经过点M.(λ为任意常数)⑴题是课本习题,通过它来反馈知识掌握效果,巩固所学知识,强化基本技能的训练,培养学生良好的学习习惯和品质;⑵题设计成选做题,是为了给学有余力的学生留出自由发展的空间.我的说课完了,不妥之处,敬请各位专家,同仁指正.谢谢大家!幻灯片2画出方程表示的直线幻灯片31,直线上的点的坐标都是方程的解;2,以这个方程的解为坐标的点都在直线上.即:直线上所有点的集合与方程的解的集合之间建立了一一对应关系.也即:幻灯片4类比:推广:即:任意的曲线和二元方程是否都能建立这种对应关系呢也即:方程的解与曲线C上的点的坐标具备怎样的关系就能用方程表示曲线C,同时曲线C也表示着方程为什么要具备这些条件幻灯片5用下列方程表示如图所示的曲线C,对吗为什么幻灯片6幻灯片7一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系:⑴曲线上的点的坐标都是这个方程的解;⑵以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点,那么,这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线(图形).幻灯片8这样用集合相等的概念定义"曲线的方程"与"方程的曲线"为: 幻灯片9下列各题中,图所示的的曲线C的方程为所列方程,对吗如果不对,是不符合关系⑴还是关系⑵幻灯片10解答下列问题,且说出各依据了"曲线的方程"和"方程的曲线"定义中的哪一个关系。
高考数学一轮复习专题九平面解析几何1直线方程与圆的方程综合篇课件新人教A版
3.直线方程的几种形式
名称 方程
说明
斜截式 y=kx+b
k是斜率,
b是纵截距
点斜式 y-y0=k(x-x0)
(x0,y0)是直线上的已知点, k是斜率
两点式
y y1 y2 y1
=
x x1 x2 x1
(x1≠x2,y1≠y2)
(x1,y1),(x2,y2)是直线上的两个已知点
适用条件 与x轴不垂直的直线
A
x1
2
x2
B
y1
2
y2
C
0, 可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2,y2)(其
A( y1 y2 ) B(x1 x2 ),
中A≠0,x1≠x2).
②直线关于直线的对称
此类问题一般转化为点关于直线的对称问题来解决,有两种情况:一是已
知直线与对称轴相交;二是已知直线与对称轴平行.
以下为教师用书专用
圆的方程
名称 标准方程 一般方程
考点二 圆的方程
方程
(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0) x2+y2+Dx+Ey+F=0 (D2+E2-4F>0)
圆心 (a,b)
DE
- 2 ,- 2
半径
r
1 D2 E2 4F 2
温馨提示 (1)方程(x-a)2+(y-b)2=r2中,若没有给出r>0,则圆的半径为|r|,实 数r可以取负值.
(2)由已知设直线y=3x的倾斜角为α,则所求直线的倾斜角为2α.因为tan α=
3,所以tan 2α= 2 tan α =- 3 .
1 tan2α 4
又直线经过点A(-1,-3),因此所求直线方程为y+3=- 3 (x+1),即3x+4y+15=0.
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《直线和圆的方程》专题讲座一、 求最值问题若a i ＞0（i=1，2，…，n ），则有na a a n +++...21≥nn a a a ⋯⋯⋅21（1）当a 1+a 2+…+a n =s （常数）时，积a 1·a 2……a n 有最大值为(ns )n，当且仅当a 1=a 2=…=a n 时取得.（2）当a 1·a 2……a n =p （常数）时，和a 1+a 2+…+a n 有最小值有n n p ，当且仅当a 1=a 2=…=a n 时取得.利用此公式求最值，按大纲要求只需掌握n=2时的情形.同时在应用时需注意以下三点：（1）作和或作积的数必须都为正；（2）若求和的最小值，则它们的积必须是一个常数，而若求积的最大值，则它们的和必须是一个常数；（3）在允许范围内这几个数能达到相等。
【例1】求下列函数的最值. （1）y=432+x x； （2）y=434322+++-x x x x .分析 此类题一般用判别式求最值，其实，应用二元均值不等式也能予以解答。
解（1）当x=0时，y=0 ， 当x ≠0时，y =xx 43+=xx 43+≤43 ∴－43≤y ≤43 当且仅当x =x4( )，即x=±2时，等号成立. ∴y min =－43，y min =43 （2）易知函数的定义域是R.y=434322+++-x x x x =1－4362++x x .①当x ＞0时，1＞y=1－346++xx ≥1－3426+=71 即当x=2时，y=71； ②当x=0时，y=1； ③当x ＜0时，1＜y=1+3)(4)(6--+-x x≤3426+即当x=－2时，y=7. 综合以上知，y min =7，y min =71 说明 将函数解析式变形以出现“x+xa”是活用平均值不等式求最值的前提. 事实上，对于（2），若令x=2tan θ ，则有y=43143122+++-x x x x=θθ2sin 342sin 34+-. 由此确定这个三角函数的最值也很容易. 【例2】已知x ，y ∈R +，且2x+y=1，求证：x 1+y1的最小值为3+22. 分析 注意到条件中给出1+2x+y ，而所要求证的不等式左边x 1+y1中的也含有1，故可将已知条件作逆向代换，即把1换成2x+y ，可使问题得到巧妙的解决. 解∴x 1+y 1=x y x +2+ yy x +2 =2+x y +y x2+1 =2+x y +yx 2∵y ∈R + ∴x y +y x 2≥2yx x y 2⋅=22 ∴x 1+y 1≥3+22当且仅当x y =y x 2，即x=222-，y=2－1时取“=”.二、 判别式法的应用【例1】已知a ，b ，c ∈R ，a+b+c=0，求证：a ，b ，c 中至少有一个大于23. 证明：∵abc=1＞0∴a ，b ，c 要么同正，要么有两个数为负，另一个数为正。
∵a+b+c=0， ∴a ，b ，c 不能同正.可设a ＞0，b ＜0，c ＜0，只需证明a ＞23即可. ∵b+c=－a ，bc=a1， ∴b ，c 是一元二次方程x 2+ax+a1=0的两个负实根. ∴△=a 2－a4≥0，即a 3≥4. ∴a ＞34＞3827=23 ∴a ，b ，c 中至少有一个大于23. 说明 作此题前要将条件分析好，即由a+b+c=0知a ，b ，c 不能都大于零，只能其中有两个数为负，一个数为正，这样，只需证明为正的那个数大于23即可。
【例2】已知x+y+z=5, x 2+y 2+z 2=9中，得 x 2+(y －5)x+y 2－5y+8=0， ∵x ∈R, ∴△≥0，即(y －5)2－4(y 2－5y+8) ≥0，解得1≤y ≤37 即y ∈[1，37] 同理可证x ∈[1，37 ] z ∈[1，37]说明 在用判别式法证不等式时，要注意“主元”的取值范围.三、 直线系直线系指的是具有某种共同性质的直线的集合。
利用直线系理论来解决有关问题时，常常显得简捷明快，所以灵活运用直线系知识是重要的解题方法和技巧之一。
（一）平行直线系Ax+By+λ=0是平行于直线Ax+By+C=0的平行直线系（其中λ为常数，当λ=C 时，两直线重合）.Bx －Ay+λ=0是垂直于直线Ax+By+C=0的平行直线系.【例1】求过点P （1，1）且分别与直线3x －5y+4=0平行或垂直的直线方程。
解 将点P 的坐标（1，1）分别代入 3x －5y+λ=0及5x+3y+u=0， 得λ=2，u=－8 。
故与已知直线平行的直线为3x －5y+2=0，与已知直线垂直的直线为 5x+3y －8=0.（二） 过两直线交点的直线系【例2】过直线：2x+y+8=0和x+y+3=0的交点作一直线，使它夹在两直线x －y －5=0和x －y －2=0之间的线段长等于3，求此直线方程.解 如图7—33，两平行线x －y －5=0与x －y －2=0间的距离u=23∵所求直线被这两行线截下的线段为3=2d ∴所求直线与这两平行线夹角为450又x －y －5=0的倾角为450，∴所求直线倾角为00与900 ∵过2x+y+8=0和x+y+3=0的交点，求所求直线方程为： 2x+y+8+λ(x+y+3)=0，即：(2+λ)x+(1+λ)y+(8+3λ)=0，① 令2+λ=0得λ=－2，令1+λ=0得λ=－1代入①式得所求直线方程为y=2或x=－5. 图7—33四、 对称问题对称分为点对称（中心对称）和轴对称两种，这是中点坐标公式和直线与直线垂直的应用。
【例1】求①点P （x ，y ）②直线l ：2x －y+3=0 ③圆x 2+y 2=1分别关于点A （1，2）对称的点，直线和圆的方程.解 ①点P 关于点A 的对称点P /（x /，y /） 则A 是PP /的中点，由中点坐标公式x-y-2=033x-y-5=0⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=-2221//yy x x ∴⎪⎩⎪⎨⎧-∆=--=y y x x //2∴P /(―2―x ， 4―y) ②设l 关于点A 对称的直线l /上任一点M （x ，y ）则M （x ，y ）关于点A （－1，2）的对称点M /(－2－x ，4－y)在直线l 上，∴2（－2－x ）－（4－y ）+3=0 即2x －4y+5=0③在圆x 2+y 2=1关于点A （－1，2）对称的圆上任取一点M （x ，y ），则M 关于点A 的对称点M /（－2－x ）2+(4－y)2=1 即：(x+2)2+(y －4)2=1 说明 通过本题得出结论：①点P （x ，y ）关于点A （x 0，y 0）的对称点是P /（2x 0－x ，2y 0－y ） ②曲线F （x ，y ）=0关于点A 的对称曲线的方程是F(2x 0－x ，2y 0－y)=0.【例2】求①点P(x 0，y 0) ②圆C ：x 2+y 2=1分别关于直线x －y+1=0对称的点和圆的方程. 解 ①设点P 关于直线x －y+1=0对称的点P /（x 1，y 1）则线段PP /的中点在对称轴上，且PP /⊥对称轴. ∴210x x +－210y y ++1=0解得：⎩⎨⎧+=-=110101x y y x1010x x y y --―1=―1即P /（y 0－1，x 0+1）②在所求的对称圆上任取一点M （x ，y ），则点M 关于x －y+1=0对称的点M /（y －1，x+1）在已知圆C 上，∴(y －1)2+(x+1)2=1.就是所求的对称的圆.说明 点（x 0，y 0）关于直线x －y+1=0对称的点（y 0－1，x 0+1）可以直线代换而得，不必列方程组求解.其代换法则是这样的：对称点的横坐标是把原来点的纵坐标y 0代入对称轴方程的y 而得x －y 0+1=0，从而x=y 0－1；所求对称点的纵坐标，是把原来点的横坐标x 0代入对称轴方程的x 而得x 0－y+1=0从而y=x 0+1.斜率为±1的直线索对称轴时，都可用此代换法是，再如点P （x 0，y 0）关于直线x+y+b=00对称的点P /的坐标是（－y －b ）2+(x －b)2=1即(x+b)2+(y+b)2=1.一般地，曲线F （x ，y ）=0关于直线x －y+b=0对称的曲线是F （y －b ，x+b ）=0；曲线F(x ，y)=0关于直线x+y+b=0对称的曲线是F(－y －b ，－x －b)=0.当对称轴为y=±x 时，即是上述x ±y+b=0中，b=0的特殊情形.上述代换法则仍然成立，当对称轴垂直于坐标轴时，可给合图形直接求出对称点的坐标；当对称轴不是上述几种特殊情形时，没有简单的方法，只有【例2】的①那样列方程组求解.点P （x 0，y 0）关于某对称轴对称的点的坐标（特殊对称轴）如表7—5： 表7—5对称轴方程 x=x 1 y=y 1 y=x y=－x x+y+b=0x －y+b=0 对称点P / 的坐标(2x 1－x 0，y 0) (x 0,2y 1－x 0) (y 0,x 0)(－y 0, －x 0)(－y 0－b, －x 0－b)(y 0－b,x 0+b)五、 圆系（一）同心圆系设圆C 的一般式方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0，则与圆C 同心的同心的圆系方程为x 2+y 2+Dx+Ey+λ=0.若圆C 的标准方程为(x －a)2+(y －b)2=r 2，则与圆C 同心的圆系方程为线长等于的圆的方程.解 设所求同心的方程为x 2+y 2－2x+4y+λ=0， 由于从点A （4，3）向此圆所引的切线长为5，所以 42+32－2×4+4×3+λ=52 得λ=－4.故所求圆的方程为x 2+y 2－2x+4y －4=0. （二）共轴圆系 设两个同心的圆的方程为 C 1：x 2+y 2+D 1x+E 1y+F 1=0 C 2：x 2+y 2+D 2x+E 2Y+F 2=0 记方程C ：C 1+λC 2=0.当λ=－1时，C 为一直线方程，这条直线叫做两圆的根轴，它是从两圆外向两圆引切线使切线长相等的点的轨迹.（当两圆相离或内含或相切的轨迹为一直线，当两圆相交时轨迹为公共弦所在直线去掉公共弦所剩余的两部分.）当λ≠－1时，C 表示过C 1，C 2两圆交点的圆系（但不包括C 2），即它们都有相同的根轴l ：C 1－C 2=0，故称共轴圆系.【例2】求经过两圆x 2+y 2+3x －y=0和3x 2+3y 2+2x+y=0的交点及点P （1，1）的圆的方程.解 设所求圆的方程为3x 2+3y 2+2x+y+λ(x 2+y 2+3x －y)=0 将点P （1，1）的坐标代入上式，得λ=－49. 故所求圆的方程为3x 2+3y 2－19x+13y=0.【例3】求过直线2x+y+4=0和圆x 2+y 2+2x －4y+1=0的交点，且满足下列条件之一的圆的方程.（1）过原点； （2）有最小面积. 解 设所求圆的方程为x 2+y 2+2x －4y+1+λ(2x+y+4)=0， 即x 2+y 2+2(1+λ)x+(λ－4)+(1+4λ)=0. （1）∵此圆过原点，∴1+4λ=0. 由此得λ=－41 故所求圆的方程为x 2+y 2+23x －417y=0 （2）将圆系方程化为标准式，有 (x+1+λ)2+(y －24-λ)2=45(λ－58)2+54 当其半径最小时，圆的面积最小，此时λ=58为所求. 故满足条件的圆的方程为 (x+513) 2+(y －56)2=54.。