高考数学试题分类汇编不等式含文科理科及详细解析

2017年高考数学试题分类汇编：不等式 1（2017北京文）已知，，且x +y =1，则的取值范围是__________．

【考点】3W ：二次函数的性质．

【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；51 ：函数的性质及应用．

【分析】利用已知条件转化所求表达式，通过二次函数的性质求解即可．

【解答】解：x ≥0，y ≥0，且x +y=1，则x 2+y 2=x 2+（1﹣x ）2=2x 2﹣2x +1，x ∈[0，1]，

则令f （x ）=2x 2﹣2x +1，x ∈[0，1]，函数的对称轴为：x=，开口向上， 所以函数的最小值为：f （）=

=．

最大值为：f （1）=2﹣2+1=1．

则x 2+y 2的取值范围是：[，1]．

故答案为：[，1]．

【点评】本题考查二次函数的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力． 2（2017浙江）已知a R ，函数在区间[1，4]上的最大值是5，则的取值范围是___________． 【考点】3H ：函数的最值及其几何意义．

【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；51 ：函数的性质及应用．

【分析】通过转化可知|x +﹣a |+a ≤5且a ≤5，进而解绝对值不等式可知2a ﹣5≤x +≤5，进而计算可得结论．

0x ≥0y ≥22x y +∈4()||f x x a a x =+

-+a

【解答】解：由题可知|x+﹣a|+a≤5，即|x+﹣a|≤5﹣a，所以a≤5，

又因为|x+﹣a|≤5﹣a，

所以a﹣5≤x+﹣a≤5﹣a，

所以2a﹣5≤x+≤5，

又因为1≤x≤4，4≤x+≤5，

所以2a﹣5≤4，解得a≤，

故答案为：（﹣∞，]．

【点评】本题考查函数的最值，考查绝对值函数，考查转化与化归思想，注意解题方法的积累，属于中档题．

3（2017新课标Ⅲ文数）[选修4—5：不等式选讲]（10分）

f x=│x+1│–│x–2│.

已知函数()

f x≥1的解集；

（1）求不等式()

f x≥x2–x +m的解集非空，求实数m的取值范围.

（2）若不等式()

【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．

【专题】32 ：分类讨论；33 ：函数思想；4C ：分类法；4R：转化法；51 ：函数的性质及应用；5T ：不等式．

【分析】（1）由于f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|=，解不等式f（x）≥1可分﹣1≤x≤2与x＞2两类讨论即可解得不等式f（x）≥1的解集；（2）依题意可得m≤[f（x）﹣x2+x]max，设g（x）=f（x）﹣x2+x，分x≤1、﹣1

＜x＜2、x≥2三类讨论，可求得g（x）max=，从而可得m的取值范围．

【解答】解：（1）∵f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|=，f（x）≥1，

∴当﹣1≤x≤2时，2x﹣1≥1，解得1≤x≤2；

当x＞2时，3≥1恒成立，故x＞2；

综上，不等式f（x）≥1的解集为{x|x≥1}．

（2）原式等价于存在x∈R使得f（x）﹣x2+x≥m成立，

即m≤[f（x）﹣x2+x]max，设g（x）=f（x）﹣x2+x．

由（1）知，g（x）=，

当x≤﹣1时，g（x）=﹣x2+x﹣3，其开口向下，对称轴方程为x=＞﹣1，

∴g（x）≤g（﹣1）=﹣1﹣1﹣3=﹣5；

当﹣1＜x＜2时，g（x）=﹣x2+3x﹣1，其开口向下，对称轴方程为x=∈（﹣1，2），

∴g（x）≤g（）=﹣+﹣1=；

当x≥2时，g（x）=﹣x2+x+3，其开口向下，对称轴方程为x=＜2，

∴g（x）≤g（2）=﹣4+2+3=1；

综上，g（x）max=，

∴m的取值范围为（﹣∞，]．

【点评】本题考查绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号是解决问题的关键，突出考查分类讨论思想与等价转化思想、函数与方程思想的综合运用，属于难题． 4（2017新课标Ⅲ理数）．[选修45：不等式选讲]（10分）

已知函数f （x ）=│x +1│–│x –2│．

（1）求不等式f （x ）≥1的解集；

（2）若不等式f （x ）≥x 2–x +m 的解集非空，求m 的取值范围．

解：（1）当1x ≤-时 ()()()

1231f x x x =-++-=-≤无解

当12x -<<时()1(2)

21

211

1f x x x x x x =++-=--≥≥∴12x <<

当2x ≥时()1(2)3

312

f x x x x =+--=>∴≥综上所述()1f x ≥的解集为 [1,)+∞.

（2）原式等价于存在x R ∈，使2()f x x x m -+≥ 成立，即 2max [()]f x x x m -+≥

设2

()()g x f x x x =-+ 由（1）知 2223,1()31,123,2x x x g x x x x x x x ⎧-+-≤-⎪=-+--<<⎨⎪-++≥⎩

当1x ≤-时，2()3g x x x =-+-

5（2017新课标Ⅱ文）[选修4−5：不等式选讲]（10分）

已知33

0,0,2a b a b >>+=.证明： （1）55

()()4a b a b ++≥；

（2）2a b +≤.

【解析】（1）

（2）因为

所以()3+8≤a b ，因此a+b≤2.

6（2017新课标Ⅱ理）[选修4—5：不等式选讲]（10分）

已知330,0,2a b a b >>+=．证明：

（1）55

()()4a b a b ++≥；

（2）2a b +≤．

【解析】（1）

（2）因为 所以()3+8≤a b ，因此a+b≤2.

7（2017新课标Ⅰ文数）[选修4—5：不等式选讲]（10分）

已知函数f （x ）=–x 2+ax +4，g (x )=│x +1│+│x –1│.

（1）当a =1时，求不等式f （x ）≥g （x ）的解集；

（2）若不等式f （x ）≥g （x ）的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围.

解：（1）当1a =时，不等式()()f x g x ≥等价于2

|1||1|40x x x x -+++--≤.① 当1x <-时，①式化为2340x x --≤，无解；

当11x -≤≤时，①式化为220x x --≤，从而11x -≤≤；

当1x >时，①式化为240x x +-≤，从而112

x -<≤.