三角形内接正方形的有趣结论

三角形内接正方形

三角形内接正方形董泽滨一、题目展示：如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC ，边mm BC 120=，高mm AD 80=，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，这个正方形零件的边长是多少？二、题目背景：1. 题材背景：选自人教版九年级下册第58页复习题27 第11题2. 知识背景：本题涵盖了正方形的性质，相似三角形的判定，相似三角形的性质3. 方法背景：相似三角形对应高的比等于相似比4. 思想背景：渗透了方程思想，转化思想，化归思想，建模思想来解决问题三、学情分析：1.学生特点：本题的教学对象是初三的学生，学生已经经历了全等三角形和四边形，相似三角形的探究活动，积累一定的合情推理经验与能力。

2.学生产生的困惑：怎么找出相似三角形，怎么利用相似三角形的性质“相似三角形中对应高的比等于相似比”转化成题目所求。

3.策略：采用导学案，引导学生写出求正方形边长的思路，再根据题目的图形找到哪些相似三角形的模型，分小组讨论交流找哪个模型是可以求出正方形的边长。

（1）求正方形的边长可以找：思路一：思路二：思路三：思路四：（2）可构造出相似三角形模型：模型一：模型二：模型三：四、题目意思：正方形内接在锐角三角形中，已知的条件是边BC 和BC 边上的高AD 的长度，求正方形的边长，题中隐含四边形KDHF ,四边形EGDK 是矩形，线段KD 等于正方形的边长，根据正方形的性质四条边相等只需求出其中一条边长，如何将求正方形的边长转化成利用相似三角形对应高的比等于相似比的问题。

重难点：重点：相似三角形的对应高的比等于相似比，建立方程解决问题难点：利用相似三角形的性质解决实际问题的应用BBB五、题目解法：1.问题设计：与三角形的高AD 有关的量有哪些？正方形的边角有什么关系？AD 与EF 有什么位置关系？图中平行的线段有哪几组？平行是否可以找出相似三角形？相似三角形的性质有哪些？2.难点突破：模型展示模型一：模型二：模型三：AD EG // AD FH // BC EF //BGE ∆∴∽BDA ∆ CHF ∆∴∽CDA ∆ AEF ∆∴∽ABC ∆ BD BG AD EG =∴ CD CH AD FH =∴ AB AEBC EF =∴完善模型:对于模型三，让学生把高AD 添加在图中，AD 是三角形ABC 的高，引导学生找相似三角形与高有关的的性质，对应高的比等于相似比，不难得出AK 是三角形AEF 的高。

相似三角形内接正方形问题例析

证：ＰＱ：＝ＰＤ’ ＱＧ．分析：（１）根据同角的余角相等即可证得
ＡＡＤＥ＝／－－－Ｂ，然后根据有两个角对应相等的三
图５
角形相似即可证得；（２）设正方形ＤＥＦＧ的边长是，根据ＡＣＤＧ一 △ Ｂ，相似三角形对应边
一
图３
图４
由三角形面积公式得：
、
求边长
－￣－－ＡＢ × Ａｃ ÷ＢＣＸＡＭ，
‘ ． ‘
例１已知正方形ＤＥＦＧ内接于 △ＡＢＣ中，且Ｅ、Ｆ在ＢＣ上，点Ｄ、Ｇ分别在ＡＢ．ＡＣ上．
Ｂ＝４，ＡＣ＝３，ＢＣ＝５．ＡＭ＝２．４，
・
．
‘
四边形ＤＥＦＧ是正方形，
．
ＤＧ＝ＧＦ＝ＥＦ－＝ＤＥ＝ＭＮ：，ＤＧ／／ＢＣ，
ＡＡＤＧ∽ ＡＡＢＣ，ＤＧＡＮ
，
・
．．
．
‘
旦：５２．４
６Ｕ
’
５加＝１，Ｓ △ 肋Ｅ＝３，Ｓ△ ｍ产１，
。
‘
．
・．．
ａ，ＡＮ＝ｂ，根据三角形的面积公式求出ＢＥ＝３ｂ，
０６＝１，船 ‘ ｎ３，｝ ‘ 。＝１，
ＢＥ＝３ｂ，ＣＦ＝－ｂ，
‘
ＣＦ＝ｂ，ａｂ＝２，推出６＝ ① ，根据Ｓ
ｊ／
；

求三角形内最大内接正方形面积

思路：假设△ABC是已知三角形，如果内接正方形EFGH有两顶点E、F在BC 上，此时设BC=a，AC=b，AB=c，BC边上的高AD=h1，设正方形EFGH的边长是x，（又假设AC、AB边上的高分别为h2、h3）1）并且设△ABC是任意锐角三角形，并且a＞b＞c由△ABC∽△AHG，所以高的比等于相似比即：x/a=(h1-x)/h1，所以内接正方形边长x=ah1/（a+h1）如果有两顶点在AB、AC边上时也同样可以得：边长为：bh2/（b+h2），ch3/（c+h3）要使内接正方形面积最大，则边长应最大，下面比较ah1/（a+h1）、bh2/（b+h2），ch3/（c+h3）的大小即可因为△ABC的面积S=ah1/2=bh2/2=ch3/2，即 ah1=bh2=ch3所以分子相同，分母越小，分数越大比较a+h1、b+h2、c+h3由（a+h1）-（b+h2）=（a-b）+（h1-h2）=（a-b）+（2S/a-2s/b）=（a-b）+2S（1/a-1/b）=（a-b）（1-2S/ab）=（a-b）（ab-2s）/ab （S是△ABC的面积）由垂线段最短，知b大于高h1，即ab＞ah1，而ah1=2S，所以（a-b）（ab-2s）/ab ＞0所以 a+h1＞b+h2 ，即如果内接正方形有两个顶点在BC边上时，边长较小，面积也较小同理，如果有两顶点在AC边上时其面积比两点在AB边上小因此得结论：当内接正方形有两个顶点在最小边上时，其面积最大此时内接正方形的边长是：ch3/（c+h3）（设最小边是c，这边上的高是h3）面积就是其平方了。

2）直角三角形其内接正方形面积最大应为一顶点与直角顶点重合，三边上各有一顶点。

其边长为：两直角边之积/两直角边之和。

3）类似方法讨论，任意钝角三角形，内接正方形的两个顶点在钝角所对的边上时面积最大，其边长为：最大边与这边上的高的积/最大边与这边上高的和。

三角形内接矩形的结论

三角形内接矩形的结论三角形内接矩形，这个听起来挺复杂的名词，其实也没那么高深。

想象一下，一个三角形，里面竟然能塞进一个矩形，这事儿不就是有点儿像我们在挤公交车的时候，想要在一个小小的空间里挤出个坐席吗？哈哈，是不是觉得有点儿有趣？好吧，今天就来聊聊这个神奇的数学现象。

先来捋一捋这个三角形内接矩形的概念。

简单说，就是你在一个三角形里面，找一个矩形，能完全被三角形包住，听起来是不是像在说一场魔术？我们想象一下，一边是尖尖的三角形，另一边则是四四方方的矩形，真是个奇妙的组合。

这个矩形的边，既得和三角形的边平行，又不能超过三角形的边，简直就像是你在学校里，得按老师的规定来，不能越界！不得不提个小秘密。

三角形内接矩形的最大面积，恰好在三角形的重心位置。

就好比生活中，有时候最舒心的地方就是家里沙发的那个位置，坐下去就觉得整个世界都安静了下来。

数学上，这个重心的概念，听上去高大上，实际上就跟找对了位置，舒服的坐着，真是妙不可言。

再说说这个矩形怎么画。

先不急，先得找到三角形的重心。

嘿，重心是个神奇的地方，不仅能帮我们找到最大面积的矩形，还能让整个三角形看起来更有层次感。

想象一下，你把三角形的三个顶点连起来，随便哪两条边交汇的地方，都是你可以下手的点。

然后，画个矩形，把它安稳地放在里面。

听起来容易，其实就是个“大开脑洞”的过程。

这时候你可能会想，哎，这个矩形的边长有什么讲究吗？没错！这就得提到一个小细节。

矩形的长和宽，得依赖三角形的边，不能太长也不能太短。

就像买衣服一样，适合自己的才是最好的。

多一分则挤，多一分则偏，简直就跟调料一样，得有个合适的比例才行。

说到这里，可能有人会觉得无聊。

其实不然，咱们可以把这个话题轻松一点。

就像生活中的挑战，找到内接矩形的过程，就像找对象，得观察，得比较，最后才能找到合适的那一个。

我们在三角形里寻找矩形的过程，就像是在探索自己的内心，发现最适合自己的那个“形状”。

而且这个内接矩形，还能给我们带来其他的启示呢。

几个常见几何图形内接正方形的作图方法及其应用

几个常见几何图形内接正方形的作图方法及其应用本文从网络收集而来，上传到平台为了帮到更多的人，如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载本文档（有偿下载），另外祝您生活愉快，工作顺利，万事如意！几何是中学数学课程里的传统主要内容之一，不仅仅是因为它对培养人的逻辑思维能力、推理论证能力具有重要教育价值，更是在现代科技中也有重要的地位，因此学习几何和几何教育受到了全世界的广泛关注，然而几何的教育在我国的中学生身上总存在很多困难，畏惧几何。

由于数学向来有着枯燥乏味的坏名声，它的高度抽象和概括性，严谨的逻辑思维让一部分人在小学就开始觉得它晦涩难懂，在中学的几何更是严格的逻辑要求使学生觉得学习几何太难太抽象了。

现在的学生缺乏学习的主动钻研和创新精神，动手能力差，都习惯与一步一步的跟着老师的套路学习，不会画图、不会看图，同时书上的图形没有进行研究和利用，反而成了学习的障碍，不善于与周围的实际生活联想，解决问题的意识淡薄，还停留在只会做现成题的水平，思维和眼界狭隘。

本为主要通过对一些中学里常见的几何图形的内接正方形的作图方法及其应用的整理和研究，从而使之成为几何学习有趣的一个例子，在学习几何不仅仅是书本上的东西，每个有兴趣的同学可以通过自己的看法和想法去研究相关的东西，这与我们想要的创新有着密切的联系，达到激发更多的人喜爱和研究几何这门学科，希望给读者以启发。

1几何学的起源及其发展几何是数学的一门分科，在古代埃及为兴建尼罗河水利工程，曾经进行过测地工作，使它逐渐发展成为几何学。

公元前约三百年，，古希腊数学家欧几里德把前人生产实践中长期积累的几何学的研究加以整理总结为演绎体系，写成了《几何原本》。

我国对几何学的研究也有悠久的历史。

早在上古时期，我国劳动人民就已利用规矩来制作方圆。

秦汉五百年成书的《周髀算经》和《九章算术》中，对图形面积的计算已有记载，刘徽、祖冲之、王孝通等对几何学都有重大贡献。

十七世纪欧洲工业迅速发展起来，以前所用的几何方法不能满足实际需要，这就使笛卡尔利用代数方法研究几何问题，建立了解析几何。

三角形内接正方形(专题)[1]

三角形内接正方形一、概念三角形的内接正方形是指正方形四个顶点都在三角形边上的正方形,正方形有4个顶点,而三角形只有3条边,所以,正方形一定有两个顶点在同一条边上,即正方形一定有一条边落在三角形的边上.二、个数分情况讨论:1.在锐角三角形中:(1)如果三角形为等边三角形,则它的内接正方形只有一个.(正方形的边无论落在哪一条边上,根据对称性可知,都是在同一位置).(2)如果三角形为等腰三角形(底与腰不等),则它的内接正方形有2个.一个是正方形的边落在等腰三角形底边上;另一种是正方形的边落在腰上(无论哪个腰,位置是相同的);(3)如果三角形为不等边三角形(三边两两不等),则它的内接正方形有3个.2.在直角三角形中:内接正方形有2个:一个是正方形的边落在斜边上;另一个是正方形的边落在直角边上.3.在钝角三角形中:内接正方形只有1个:即正方形一条边落在斜边上.三、画法1.计算法通过计算，求出三角形内接正方形的边长a，然后在某一边上作三角形的高h，在h上截取一段长度为a 的线段，记下截点，通过截点作这边上的平行线，交另两边于两点，最后通过这两点作h的平行线即可. 2.尺规法利用位似图形的原理,选择一个位似中心和再作出一个正方形便可作出三角形内接最大正方形.方法一：先作个小正方形，再利用位似作出所求的内接正方形。

方法二：1)以△ABC的一边BC为一边,向下作正方形BCYX； 2)连接AX.BY与BC交于E,F.3)分别过E,F作ED,FG分别交AB,AC于D,G. 4)连结DG四边形EFGD便是所求图形由此便探索出了三角形内接最大正方形的一种尺规作法，我们是选顶点A作为位似中心，那么点B，点C可不可以做位似中心呢？答案是肯定的。

一共是四种做法。

四、教材衔接1.如图，四边形EFGH是△ABC内接正方形，BC=27cm，高AD=21cm，求内接正方形EFGH的面积．解：设正方形EFGH的边长为x，设AD与GH的交点为I，∵HG∥BC，∴△AHG∽△ABC，∴AI：AD=GH：BC，正方形EFGH的边长为xcm．∵BC=27，AD=21，∴（21-x）：21=x：27，即可求解．点评：本题主要考查正方形的面积、相似三角形的判定与性质，关键在于通过求证△AHG∽△ABC，推出正方形的边长．2. 如图，Rt△ABC（∠C=90°）中有三个内接正方形，DF=9厘米，GK=6厘米，猜想第三个正方形的边长PQ 的长．解：GF=EF-EG=9-6=3，设PQ=x，∵GK∥PQ，∴∠FKG=∠KQP．又∵∠FGK=∠KPQ=90°，∴△FGK∽△KPQ．∴ FGKP=GKPQ．∴ 36-x=6x．解得x=4．答：第三个正方形的边长为4厘米．点评：本题利用了平行线的性质，相似三角形的判定和性质求解．3. 如图所示，四边形EFGH是三角形ABC的内接矩形，AD⊥BC，垂足为D，BC=21cm，AD=14cm，EF：FG=1：2，求矩形EFGH的面积．解：如图，设矩形的边长EF=x，则FG=2x，∵四边形EFGH是三角形ABC的内接矩形，∴EH∥BC，EH=FG，∴△AEH∽△ABC，又∵AD⊥BC，则ID=x，AI=AD-ID，∴ EHBC= AIAD，BC=21cm，AD=14cm，∴ 2x21= 14-x14，解得，x=6cm，即2x=12cm，∴S矩形EFGH=EF×FG=6×12=72cm2．答：矩形EFGH的面积为72cm2．点评：本题主要考查了矩形的性质和相似三角形的判定与性质，知道相似三角形的对应高之比就等于对应边之比，即相识比．五、中考应用(几何综合题,规律型)1.2.把边长为40厘米的正方形ABCD 沿对角线AC 截成两个三角形，在两个三角形内如图所示剪下两个内接正方形M 、N ，则M 、N 的的面积的差是4009平方厘米．解：正方形M 的面积=20cm ×20cm=400cm 2，设：正方形N 的边长为x ，则存在：x2+ 12×x2+ 12×x2+ 12× 12×x2= 40×402，解得：x2= 32009cm 2，故M 、N 的面积的差为（400- 32009）cm2= 4009cm 2，故答案为 4009cm 2．点评：本题考查了正方形，等腰三角形面积的计算方法，考查了正方形四边相等，各内角均为直角的性质，解本题的关键是正方形N 的面积的计算．3.如图1，在△ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，四边形DEFG 为△ABC 的内接正方形，若设正方形的边长为x ，容易算出x 的长为 60/37．探究与计算：（1）如图2，若三角形内有并排的两个全等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC ，则正方形的边长为 60/49；（2）如图3，若三角形内有并排的三个全等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC ，则正方形的边长为 60/61；（3）如图4，若三角形内有并排的n 个全等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC ，请你猜想正方形的边长是多少？并对你的猜想进行证明．解：（1） 6049；（2分）（2） 6061；（2分）（3）若三角形内有并排的n 个全等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC ，正方形的边长是 6025+12n ．证明，如图，过点C 作CN ⊥AB ，垂足为N ，交GF 于点M ，设小正方形的边长为x ，∵四边形GDEF 为矩形，∴GF ∥AB ，CM ⊥GF ，易算出CN= 125，∴ CMCN=GFAB ，即 125-x125=nx5， ∴x= 6025+12n ．即小正方形的边长是 6025+12n ．（4分）点评：主要考查了正方形，矩形的性质和相似三角形的性质．会利用三角形相似中的相似比来得到相关的线段之间的等量关系是解题的关键． 4. （2009•湘西州）如图，等腰直角△ABC 腰长为a ，现分别按图1，图2方式在△ABC 内内接一个正方形ADFE 和正方形PMNQ ．设△ABC 的面积为S ，正方形ADFE 的面积为S1，正方形PMNQ 的面积为S2．（1）在图1中，求AD ：AB 的值；在图2中，求AP ：AB 的值；（2）比较S1+S2与S 的大小．。

同圆的内接正三角形与内接正方形的面积-概述说明以及解释

同圆的内接正三角形与内接正方形的面积-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分的内容可以从以下几个方面进行展开：概述部分是整篇文章的开场白，主要是对文章的主题进行简要介绍，并引起读者的兴趣。

首先，可以简要介绍同圆的内接正三角形和内接正方形的概念及其性质。

同圆的内接正三角形指的是一个三角形的三个顶点都位于同一个圆的圆周上，并且三个顶点所对应的圆心角都为60的特殊三角形。

内接正方形指的是一个正方形的四个顶点都位于同一个圆的圆周上的特殊方形。

这两种几何形体具有独特的性质，对于解决某些几何问题有着重要的作用。

其次，可以提及本文的目的和意义。

研究同圆的内接正三角形和内接正方形的面积，旨在探究它们之间的数学关系和几何特性。

通过分析和比较它们的面积计算方法，可以深入理解几何形体的性质和几何学的基本原理。

这对于提升数学思维、加深对几何学的理解以及应用数学知识解决实际问题具有重要意义。

最后，可以简要介绍文章的结构和内容安排。

本文将分为引言、正文和结论三部分。

其中，引言部分介绍了同圆的内接正三角形和内接正方形的概念、目的和意义。

正文部分将详细探讨同圆的内接正三角形和内接正方形的定义、性质、构造方法以及面积计算等内容。

结论部分将对文章进行总结，并提出一些讨论和思考的问题。

通过以上的概述，读者可以对本文的主题和内容有一个初步的了解，为接下来的阅读打下基础。

接下来，我们将进入正文部分，详细介绍同圆的内接正三角形和内接正方形的相关知识点。

文章结构（Article Structure）本文将从引言、正文和结论三个部分来探讨同圆的内接正三角形与内接正方形的面积。

以下是各部分的详细内容：1. 引言（Introduction）1.1 概述：在这一部分，我们将介绍同圆的内接正三角形和内接正方形，并强调它们在几何学中的重要性。

1.2 文章结构：这一小节将详细说明本文的结构和各个部分的内容，以帮助读者更好地理解文章的整体框架。

1.3 目的：在这一段，我们将明确本文的目标和研究问题，即探讨同圆的内接正三角形和内接正方形的面积计算方法。

相似三角形性质的应用-三角形内接正方形,内接矩形问题

4.7 相似三角形性质应用的专题训练
1如图1，在一个大正方形中有两个小正方形，分别用S1，S2表示两个小正方形的面积，那么以下对S1，S2的大小关系判断正确的是（）
A.S1>S2
B.S1<S2 C .S1=S2 D.不能确定
图1 图2
2如图2，△ABC是斜边AB的长为1的等腰直角三角形，在△ABC 内作第1个内接正方形A1B1D1E1（D1、E1在AB上，A1、B1分别在AC、BC上），再在△A1B1C内接同样的方法作第2个内接正方形A2B2D2E2，…如此下去，操作n次，则第n个小正方形AnBnDnEn 的边长是______.
3 一张等腰三角形纸片，底边长15cm，底边上的高长22.5cm．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（）A．第4张B．第5张C．第6张D．第7张
4(中考链接)如图，△ABC 是一张锐角三角形的硬纸片．AD 是边BC 上的高，BC=40cm ，AD=30cm ．从这张硬纸片剪下一个长HG 是宽HE 的2倍的矩形EFGH ．使它的一边EF 在BC 上，顶点G ，H 分别在AC ，
AB 上．AD 与HG 的交点为M ．
（1）求证:
BC HG
AD AM
（2）求这个矩形EFGH 的周长．
5 有一余料△ABC ，BC 长30cm ，高AM 长20cm ，，把它加工成一块矩
形材料，且矩形的一边EF 在BC 上，顶点D 、G 分别在AB 、AC 上并使矩形的长是宽的2倍，有几种设计方法?请你通过计算比较一下，哪一种图形的矩形面积大些？。

九年级巧解三角形内接正方形

巧解三角形内接正方形北师版八年级下册第147页的例题：如图，AD 是△ABC 的高，点P 、Q 在BC 边上，点R 在AC 边上，点S 在AB 边上，BC ＝60cm ，AD=40 cm ，四边形PQRS 是正方形。

(1)△ASR 与△ABC 相似吗？为什么？ (2)求正方形PQRS 的边长。

思考与探究：由正方形PQRS 可知SR ∥BC ，于是△ASR ∽△ABC ，依此有SR AS BC AB =①；同理△BPS ∽△BDA ，又得SP SB AD AB=②. 由①+②，得SR SP 1BC AD+=（*）. 又SR=SP ，则（*）式变为111BC AD SR +=. 至此，例题中的两个小题可轻松方便地解答完毕。

不仅如此，我们还顺便得到了两个优美漂亮的结论，它们的应用较为广泛，特别是在解答某些较难的问题时作用更大，常化难为易化繁为简，收到出奇制胜的效果，以部分中考与竞赛试题为例说明如下:例1(广东佛山中考题)如果正方形的一边落在三角形的一边上，其余两个顶点分别在三角形的另外两边上，则这样的正方形叫做三角形的内接正方形。

（1）如图1，在△ABC 中，BC=a ，BC 边上的高AD=h a ，EFGH 是△ABC 的内接正方形，设正方形EFGH 的边长是x ，求证：a aah x a h =+；（2）在Rt △ABC 中，AB=4，AC=3，∠BAC=90º，请在图2、图3中分别画出可能的内接正方形，并根据计算回答哪个内接正方形的面积大。

解析:（1）依本文结论，有111a a a a h x a h ah +=+=，a a ah x a h ∴=+。

（2）可能的内接正方形分别如图2、图3中的EFGH 、EGAH.在图2中作AD ⊥BC 于点D ，易知BC=5.据三角形的面积公式，有AD 5214321⨯⨯=⨯⨯，∴512AD =. 对图2、图3分别运用本文结论，得603712551AD 1BC 1HG 1=+=+=，60351273141AC 1AB 1HE 1==+=+=. ∴HG 1＞HE1，HG ＜HE . ∴在直角三角形中，内接正方形的一边落在直角边上时，正方形的面积最大。

三角形内接正方形

三角形内接正方形一、概念三角形的内接正方形是指正方形四个顶点都在三角形边上的正方形,正方形有4个顶点,而三角形只有3条边,所以,正方形一定有两个顶点在同一条边上,即正方形一定有一条边落在三角形的边上.二、个数分情况讨论:1.在锐角三角形中:(1)如果三角形为等边三角形,则它的内接正方形只有一个.(正方形的边无论落在哪一条边上,根据对称性可知,都是在同一位置).(2)如果三角形为等腰三角形(底与腰不等),则它的内接正方形有2个.一个是正方形的边落在等腰三角形底边上;另一种是正方形的边落在腰上(无论哪个腰,位置是相同的);(3)如果三角形为不等边三角形(三边两两不等),则它的内接正方形有3个.2.在直角三角形中:内接正方形有2个:一个是正方形的边落在斜边上;另一个是正方形的边落在直角边上.3.在钝角三角形中:内接正方形只有1个:即正方形一条边落在斜边上.三、画法1.计算法通过计算，求出三角形内接正方形的边长a，然后在某一边上作三角形的高h，在h上截取一段长度为a 的线段，记下截点，通过截点作这边上的平行线，交另两边于两点，最后通过这两点作h的平行线即可. 2.尺规法利用位似图形的原理,选择一个位似中心和再作出一个正方形便可作出三角形内接最大正方形.方法一：先作个小正方形，再利用位似作出所求的内接正方形。

方法二：1)以△ABC的一边BC为一边,向下作正方形BCYX； 2)连接AX.BY与BC交于E,F.3)分别过E,F作ED,FG分别交AB,AC于D,G. 4)连结DG四边形EFGD便是所求图形由此便探索出了三角形内接最大正方形的一种尺规作法，我们是选顶点A作为位似中心，那么点B，点C可不可以做位似中心呢？答案是肯定的。

一共是四种做法。

四、教材衔接1.如图，四边形EFGH是△ABC内接正方形，BC=27cm，高AD=21cm，求内接正方形EFGH的面积．解：设正方形EFGH的边长为x，设AD与GH的交点为I，∵HG∥BC，∴△AHG∽△ABC，∴AI：AD=GH：BC，正方形EFGH的边长为xcm．∵BC=27，AD=21，∴（21-x）：21=x：27，即可求解．点评：本题主要考查正方形的面积、相似三角形的判定与性质，关键在于通过求证△AHG∽△ABC，推出正方形的边长．2. 如图，Rt△ABC（∠C=90°）中有三个内接正方形，DF=9厘米，GK=6厘米，猜想第三个正方形的边长PQ 的长．解：GF=EF-EG=9-6=3，设PQ=x，∵GK∥PQ，∴∠FKG=∠KQP．又∵∠FGK=∠KPQ=90°，∴△FGK∽△KPQ．∴ FGKP=GKPQ．∴ 36-x=6x．解得x=4．答：第三个正方形的边长为4厘米．点评：本题利用了平行线的性质，相似三角形的判定和性质求解．3. 如图所示，四边形EFGH是三角形ABC的内接矩形，AD⊥BC，垂足为D，BC=21cm，AD=14cm，EF：FG=1：2，求矩形EFGH的面积．解：如图，设矩形的边长EF=x，则FG=2x，∵四边形EFGH是三角形ABC的内接矩形，∴EH∥BC，EH=FG，∴△AEH∽△ABC，又∵AD⊥BC，则ID=x，AI=AD-ID，∴ EHBC= AIAD，BC=21cm，AD=14cm，∴ 2x21= 14-x14，解得，x=6cm，即2x=12cm，∴S矩形EFGH=EF×FG=6×12=72cm2．答：矩形EFGH的面积为72cm2．点评：本题主要考查了矩形的性质和相似三角形的判定与性质，知道相似三角形的对应高之比就等于对应边之比，即相识比．五、中考应用(几何综合题,规律型)1.2.把边长为40厘米的正方形ABCD 沿对角线AC 截成两个三角形，在两个三角形内如图所示剪下两个内接正方形M 、N ，则M 、N 的的面积的差是4009平方厘米．解：正方形M 的面积=20cm ×20cm=400cm 2，设：正方形N 的边长为x ，则存在：x2+ 12×x2+ 12×x2+ 12× 12×x2= 40×402，解得：x2= 32009cm 2，故M 、N 的面积的差为（400- 32009）cm2= 4009cm 2，故答案为 4009cm 2．点评：本题考查了正方形，等腰三角形面积的计算方法，考查了正方形四边相等，各内角均为直角的性质，解本题的关键是正方形N 的面积的计算．3.如图1，在△ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，四边形DEFG 为△ABC 的内接正方形，若设正方形的边长为x ，容易算出x 的长为 60/37．探究与计算：（1）如图2，若三角形内有并排的两个全等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC ，则正方形的边长为 60/49；（2）如图3，若三角形内有并排的三个全等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC ，则正方形的边长为 60/61；（3）如图4，若三角形内有并排的n 个全等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC ，请你猜想正方形的边长是多少？并对你的猜想进行证明．解：（1） 6049；（2分）（2） 6061；（2分）（3）若三角形内有并排的n 个全等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC ，正方形的边长是 6025+12n ．证明，如图，过点C 作CN ⊥AB ，垂足为N ，交GF 于点M ，设小正方形的边长为x ，∵四边形GDEF 为矩形，∴GF ∥AB ，CM ⊥GF ，易算出CN= 125，∴ CMCN=GFAB ，即 125-x125=nx5， ∴x= 6025+12n ．即小正方形的边长是 6025+12n ．（4分）点评：主要考查了正方形，矩形的性质和相似三角形的性质．会利用三角形相似中的相似比来得到相关的线段之间的等量关系是解题的关键． 4. （2009•湘西州）如图，等腰直角△ABC 腰长为a ，现分别按图1，图2方式在△ABC 内内接一个正方形ADFE 和正方形PMNQ ．设△ABC 的面积为S ，正方形ADFE 的面积为S1，正方形PMNQ 的面积为S2．（1）在图1中，求AD ：AB 的值；在图2中，求AP ：AB 的值；（2）比较S1+S2与S 的大小．。

相似三角形性质1应用三角形内接矩形问题

相似三角形的性质（2）
挑战一下吧！
在△ABC中，有一个内接正三角形DEF，点D、E、F分别在AB、CA、BC上，DE//BC，已知BC=6cm，BC上的高为AH=3cm.求DE的长.
如果正方形的一边落在三角形的一边上，其余两个顶点分别在三角形的另外两条边上，则这样的正方形叫做三角形的内接正方形．（1）如图①，在△ABC中，BC=a，BC边上的高AD=ha， EFGH是△ABC的内接正方（2）在Rt△ABC中，AB=4，AC=3，∠BAC=90度．请在图②，图③中分别画出可能的内接正方形，并根据计算回答哪个内接正方形的面积最大；
（3）在锐角△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，且a＜b＜c．请问这个三角形的内接正方形中哪个面积最大？并说明理由．

由三角形中的内接正方形展开的联想…A班

再让学生感悟求矩形PQMN的面积，先要求PN的长度，用模型去解决。
（3）求二次函数最值。
通过模型应用的练习，大部分学生应该能够解决第（1）题，第（2）题通过师生交流合作完成，进一步提升学生的认知水平，激发他们强烈的数学探究欲望。
六、课堂小结
1、相似三角形的基本模型
2、数学思想方法
3、收获与疑惑
学生回答畅谈心里的感悟。
（2）设PQ=x，矩形PQMN的面积为y，试求y关于x的函数关系式，写出x的取值范围，并求出y的最大值.
例2：如图，已知△ABC中，BC=12，BC边上的高AD=8，四边形PQMN为△ABC的内接矩形.解决下列问题：
（1）先计算PQ和PN的长度，再算矩形PQMN的面积；
（2）先让学生感受矩形PQMN的面积是变化的，
最后总结
绍兴市柯桥区钱清镇中学
高立钢
学生活动
教学目的
一、模型建立
出示填空题，唤醒学生认知
则_____∽______；若AD⊥BC于点D，
交PN于点E，则______.
回顾旧知，得出结论，并说明理由。
通过填空的形式。从而建构相似三角形对应高线比等于相似比这种模型。培养学生的建模思想，使大部分学生都有话可说，增加学生学习数学的兴趣。
2、原题呈现
呈现课本原题，组织学生解题，巩固模型。
（九上P149第5题）如图所示，有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm,高线AD=80mm,要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上。求加工成的正方形零件的边长.
独立完成，展示交流。
通过课本上的作业题，运用模型学会计算线段长度，达到学以致用的目的，使学生获得成就感。
（2）当矩形PQMN的长是宽的两倍时，求PQ的长度；

人教版初三数学下册三角形内接正方形

x 80x 120 80
解得：x=48
B
G
答：这个正方形的边长为48mm.
A F
K DH C
方法二
解：设正方形的边长为x，依题得
x2x(8 0 x)x(12 x)012 800
2
2
2
解得：x=48mm A
答：这个正方形的边长为48mm.
E
F
K
面积法
B
G
DH C
归纳总结：
1.本题考查相似三角形的应用，在章节复习中链接了相似三角形的判定和性质知识点的联系，有助于学生构建知识框架，引导学生探索数学问题的解题方法。
EF AE BC AB
难点突破
E/F B / C
AEF∽ ABC
EF
AADK-KD
B1C20 A8D0
1E2F0 AD80E F设EF=x
80mm
K
D
方法一
解：正方形EGHF的边GH在BC上
EF//BC
AEF∽ ABC
EF AK BC AD
设EF=xmm ,则EF=FH=KD=xmm E
x2=____________, 按如此方法继续作正方形，第 x n 个正
方形的边长 =____________.
A
意图：学生在了解原题的解法后，通过观察、猜想和验证，探索其中的规律，这是对原题方法的总结和提升，发展学生推理解题的思维能力。 B
I
N
E
F
J KM
G
DH C
图1
变式二：现把△ABC按照图2加工成三个相同大小的正方形零件(边长为x)，△ABC的边BC与高 AD需要满足一定的数量关系．则这一数量关系是：_______________.

三角形中内接四边形的问题探究

三角形中内接四边形的问题探究
通过以上探索我们可以发现，三角形内接正方形的边长与三角形的形状无关，其大小取决于三角形某边的长度以及该边上高的长度。

变式1：将数值用字母表示
变式2：将内接正方形转化为内接矩形
由变式1和变式2的探索，我们可以发现，只要紧扣“相似三角形对应高之比等于相似比”，并利用方程思想设元，就可以将三角形内接正方形(矩形)问题迎刃而解。

变式3：内接矩形与原三角形形成X型
变式3中通过反向延长AH，构造了X型背景下的相似三角形。

变式3的解法2充分利用了A型及X型基本图形，再根据比例线段的中间比(AC:CD)，借助方程思想，最终求得DG的长度。

变式4：三角形内接矩形的综合应用
变式4-1充分利用了相似三角形的性质，图中▲BDE，▲ABC，▲CGF两两相似，通过设DE=x，用含x的代数式，利用相似三角形对应边成比例的性质表示BE、CF的长度；同时利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，同样利用方程思想解决第二问。

变式4-2借助了A型图，利用了线段之间的比例关系。

若将问题一般化，即将AB、ACn等分，则可以找到BnCn和BC之间的数量关系，即BnCn=(n/5)BC.。

正方形中最大内接正三角形证明

正方形中最大内接正三角形证明在一个阳光明媚的下午，我们来聊聊一个有趣的几何问题——在正方形里面，能放进多大的正三角形。

听上去有点枯燥，但别急，咱们慢慢来，搞清楚这其中的奥妙。

想象一下，一个正方形，四个边，四个角，方方正正的，简直就像个小盒子。

然后，在这个小盒子里，我们要放进一个正三角形，咱们可得让它尽量大，让它在方方正正的正方形中优雅地舞动，像个小明星一样。

想象一下正方形的样子。

四条边都一样长，四个角都是九十度，简直是几何的天花板。

咱们来找找这个正方形的中心。

把正方形分成四份，就像切蛋糕一样。

中间的位置就是正方形的中心。

然后，咱们来试试把正三角形放进这个正方形里。

正三角形，有三个边，三个角，边也要一样长，角也得是六十度。

这不，就像三个好朋友一起去旅行，想要找到一个舒适的地方住下。

现在，咱们要把这个正三角形放得又稳又好。

可以想象，正三角形的一个顶点正好放在正方形的顶点上，其他两个顶点得恰好落在正方形的边上。

咱们先把正三角形的一个顶点放在正方形的上顶点，这样一来，另外两个顶点就要在正方形的左边和右边各找到一个地方。

听起来简单，可实际上要做到这一点，还得动动脑筋。

对了，咱们可以用简单的公式来看看正方形和正三角形的关系。

假设正方形的边长是a，那正三角形的边长要怎么计算呢？这个正三角形的边长其实是正方形的边长乘以一个神奇的数字，叫做根号3除以2。

用个简单的算式，算出来，正三角形的边长是 a * √3 / 2。

这个小公式就像是给正三角形量身定做的衣服，刚刚好，特别合身。

咱们也可以通过画图来理解这个过程。

画个正方形，然后在正方形的中心画个正三角形。

看到没有？这个正三角形的边缘正好触碰正方形的边。

是不是特别美？像是正方形和正三角形在跳舞，一边旋转一边微笑，彼此间的距离刚刚好，不远不近，简直是天作之合。

我们再来想象一下，假如我们把正三角形的每个顶点都放在正方形的边上，这个正三角形的面积该有多大啊！计算面积的时候，咱们可以用边长的平方来表示。

三角形内接正方形的一个关系式及其应用

三角形内接正方形的一个关系式及其应用作者：肖维松来源：《中学数学杂志(初中版)》2013年第02期如果正方形的四个顶点都在三角形的边上，那么这个正方形称为此三角形的内接正方形.关于三角形的内接正方形问题，有一个应用广泛的关系式：若三角形的一边长为a，这边上的高为h，则立在这边上的内接正方形的边长为aha+h.证明如图1，设△ABC的内接正方形边长为x，BC=a，AD=h，则因为OR∥BC，所以△AOR∽△ABC，所以ORBC=AFAD，即xa=h-xh，所以x=aha+h.这一关系式即为北师大版义务教育课程标准实验教科书《数学》八年级下册第147页的例题.利用这个关系式，可以解答三角形的内接正方形的有关问题，现以部分竞赛题为例说明如下.例1 （1991年全国初中数学联赛试题）如图1，正方形OPQR内接于△ABC，已知△AOR、△BOP和△CRQ的面积分别是S1=1、S2=3和S3=1，那么，正方形OPQR的边长是（）A.2B.3C.2D.3解作 AD⊥BC于D，交OR于F，设正方形OPQR的边长为x，则1=S1=12x·AF，从而有AF=2x，同理可得BP=6x，QC=2x，于是BC=x+8x，AD=x+2x.所以由上述关系式得x=（x+8x）（x+2x）x+8x+x+2x，化简整理得x4=16，因为x为正，所以x=2，故选C.点评本题通过设内接正方形的边长为x，先利用三角形的面积公式，求得AF、BP、QC 用x表示的分式，再运用三角形内接正方形的关系式列出一个分式方程，最后求得x，由于运用代数方法解决了几何问题，因而数形结合，问题也由繁变简了.例2 （第五届美国数学邀请赛试题）如图2，△ABC（∠C=Rt∠）的两个内接正方形DFCE、PQMN的面积分别是S1=441、S2=440，求AC+BC的值.解令BC=a，AC=b，AB=C，斜边上的高为h，则由上述关系式得S1=aba+b，S2=chc+h.注意到ab=ch，a2+b2=c2，即有S1=c2h2c2+2ch，而有c2+2ch=c2h2S1，于是S2=c2h2c2+2ch+h2=c2h2c2h2S1+h2=c2S1c2+S1，由此解得c2=S1S2S1-S2.再注意到ad=S1（a+b），即有c2=a2+b2=（a+b）2-2ab=（a+b）2-2S1（a+b），从而有c2+S1=（a+b-S1）2，于是S1S2S1-S2+S1=（a+b-S1）2，由此可解得ab=S1+S1S1-S2.将S1=441，S2=440代入上式即得a+b=462，即AC+BC的值为462.点评本题比较复杂，如用常规方法求解，将很困难.然而两次运用了三角形内接正方形的关系式，结合三角形面积化简轻松求得结果.本题又是一道代数与几何融为一体的综合题，解题关键是通过数形结合方法直观解题，因而有明显的选拔功能和考查功能.例3 （1986年美国第四届数学邀请赛试题）证明边长为2的正方形必不能被三边分别为3、4、5的三角形所覆盖.证明令△ABC的边AC=3，BC=4，AB=5，则∠ACB=Rt∠，如图3可知，正方形DECF 为内接于Rt△ABC的最大正方形，设CE=x，由上述关系式得 x=3×43+4=127.因为127点评本题设计比较新颖，难度不太大，只要运用三角形内接正方形的关系式求得正方形边长127，再通过与已知正方形边长2比较就可以了.例4 如图4，在锐角△ABC中内接一正方形PQMN，试证明这正方形的面积不超过三角形ABC面积之半，（1978年广东省中学生数学竞赛题）.证明设△ABC的底边BC=a，高AD=h，正方形边长为x，由三角形的内接正方形的关系式得xa+xh=1. ①又SPQMN=x2，即xa·xh=SPQMNah②所以由①、②知xa、xh是方程z2-z+SPQMNah=0的两个实数根.所以Δ≥0，即（-1）2-4×1×SQPMNah≥0.从而得SPQMN≤ah4=12.12ah=12S△ABC，即SPQMN≤12S△ABC.点评本题是一道几何与韦达定理，一元二次方程根的判别式构成的综合题.解题关键是先利用三角形内接正方形的关系式求得x=aha+h推出xa+xh=1①，再由SPQMN=x2推出xa·xh=SPQMNah②，然后利用韦达定理的逆定理，利用①、②构造出一元二次方程z2-z+SPQMNah=0，最后应用根的判别式Δ≥0得证，这种解题主法充分体现了构造法解题的科学性，符合新课程的理念要求，利于激发学生的学习数学的积极性，利于培养学生的创新和探索精神.例5 如图5，正方形EFGH内接于△ABC，设BC=ab（这是一个两位数），EF=C，三角形的高AD=d，已知a，b，c，d恰好是从小到大的四个连续正整数，试求△ABC的面积，（1997年安徽省部分地区初中数学竞赛题）解由上述关系式得 1d+ 1 ab=1c，依题意有b=a+1，c=a+2，d=a+3，则ab=10a+b=11a+1，所以1a+3+111a+1=1a+2.化简得（a-3）2=4，所以a-3=±2，a1=1，a2=5.当a=1时，S△ABC=12·ab·d=12×12×4=24；当a=5时，S△ABC=12·ab·d=12×56×8=224.点评本题是一道几何与代数相结合的综合题，解题关键是先利用关系式写出1d+1ab=1c 再结合b=a+1，c=a+2，d=a+3，通过化简变形求得a的值，最后求得S△ABC.这是一道创新的竞赛题，由于数形结合，因而符合新课程改革的理念要求.综上所述可知，应用本文中的关系式解竞赛问题，其关键在于要从问题的实际出发，根据题设去灵活运用，通过教学实践，笔者认为，注意对学生进行课本内容的探究应用的研究，有利于培养学生的思维品质，有利于调动学生学习的积极性，有利于提高学生的专题总结水平，有利于融会贯通所学过的几何代数知识，有利于培养学生研究数学的兴趣，有利于提高教与学的质量.。

三角形内接正方形的有趣结论

三角形内接正方形的有趣结论我们在思考三角形内接正方形的问题时，得到了三个有趣结论，整理如下，供大家学习参考．.结论一：在ABC ∆中，AC BC ≠．D 是AB 上的一点,且满足22BD AD BC AC =.在ACD ∆中做正方形PQRS ，S R ,两点在AC 上，Q P ,两点分别在CD AD ,上．在DCB ∆中做正方形EFGH ，G F ,两点在BC 上，E H ,两点在DB CD ,上.若正方形PQRS 的边长与正方形EFGH 的边长相等，求证： 90=∠C ．B证明：作AC DM ⊥于M ，BC DN ⊥于N ．设两个相等的正方形的边长为m . 记21,,,h DN h DM b AC a BC ====在ACD ∆中,因为PS 平行DM ,PQ 平行AC ,所以AD DP AC PQ AD AP DM PS ==,,相加得11=+bm h m (1) 同理在DCB ∆中可得12=+am h m (2) 由(1),(2)得ah b h 111121+=+ （3）因为222122212222)()(h h a b ah bh S S BD AD DCB ACD ⋅===∆∆，a b BC AC =，所以b a h h =2221 (4) 设x a h =1，)0(>x .由（4）得x b h =2，代入（3）得a xb b x a 1111+=+，即ab a b xab a b -=- 因为AC BC ≠，所以b a ≠，由上式可得b a ab x += 所以ab x b a a b ah bh S ABC 21)(21212121=+=+=∆ 而a ABC ah S 21=∆，所以a h b =，所以 90=∠C . 结论二：在ABC ∆中， 90=∠C ，D 是AB 上的一点.在ACD ∆中做正方形PQRS ，S R ,两点在AC 上，Q P ,两点分别在CD AD ,上．在DCB ∆中做正方形EFGH ，G F ,两点在BC 上，E H ,两点在DB CD ,上.若正方形PQRS 的边长与正方形EFGH 的边长相等，求证：22BD AD BC AC =．B证明：作AC DM ⊥于M ，BC DN ⊥于N .设两个相等的正方形的边长为m ．记21,,,h DN h DM b AC a BC ====在ACD ∆中,因为PS 平行DM ,PQ 平行AC ,所以AD DP AC PQ AD AP DM PS ==,,相加得11=+bm h m (5) 同理在DCB ∆中可得12=+am h m (6) 在ABC ∆中可得121=+bh a h （7）由(5),(6)得ah b h 111121+=+ （8）设x h h =21，则21xh h =，代入（7）得a xb ab h +=2，所以a xb xab h +=1 将1h ，2h 表达式代入（8）得a ab a xb b xab a xb 11++=++，化简得ba x =2 所以BC AC ab b a a b x a b h h a b ah bh S S BD AD DCBACD =======∆∆222222122212222)()()()( 结论三：在ABC ∆中，90=∠C ，D 是AB 上的一点。

等腰直角三角形内接正方形的面积

要计算等腰直角三角形内接正方形的面积，我们需要知道等腰直角三角形的边长。

假设直角三角形的两个直角边都为a，则斜边长为a√2。

接下来，考虑内接正方形的一个顶点到直角三角形的两个直角边的距离。

设内接正方形的边长为x，则两个直角边上的距离都是x。

现在考虑内接正方形对角线与斜边的交点，将其分为两个相等的等腰直角三角形。

由于斜边的长度为a√2，两个三角形的直角边分别为a-x与x。

于是我们有：
(a-x)^2 + x^2 = (a√2/2)^2
化简等式得：
2x^2 - 2ax + a^2 = a^2/2
将式子化简可得：
x^2 - ax + a^2/4 = 0
这是关于x的二次方程。

为了找到x的解，我们可以使用一元二次方程的求根公式：
x = (-b±√(b^2-4ac))/(2a)
在这个方程中，a=1, b=-a, c=a^2/4。

我们将这些值代入求根公式：
x = (a±√((-a)^2-41(a^2/4)))/(2*1)
x = (a±√(a^2-a^2))/(2)
x = (a±0)/2
x = a/2
所以内接正方形的边长x=a/2。

此时，正方形的面积为：
面积= x^2 = (a/2)^2 = a^2/4
因此，等腰直角三角形内接正方形的面积等于等腰直角三角形边长的平方除以4。

相似复习：三角形内接正方形

哪条边上作出的正方形面积最大？
B
B
B
A
C
A C
A
C
锐角三角形中内接正方形的一边落在锐角三角形最短边上时，边长最大。
实验探究
当△ABC是直角三角形时，可以画出多少个内接正方形？哪个正方形面积最大？
A

B
C
直角三角形中内接正方形的一边落在直角边上时，边长最大。
实验探究
当△ABC是钝角三角形时，可以画出多少个内接正方形？
折纸游戏
如何用一张不等边三角形折出一个矩形？
（1）类比圆的内接三角形，给这个矩形取个名字？这样的矩形可以有几个？（2）有没有这样的正方形？
相似三角形复习
——三角形内接正方形
问题出现
学习方法指导丛书83页作业第7题
实验探究
当△ABC是锐角三角形时，可以画出多少个内接正方形？
B
A
C
问题出现
A
B
C
问题解决
如何构造三角形的内接正方形？
A O
L N
A S
B
M
C
P R
B
Q
C
问题拓展
（2015•崇左）一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=12mm，高AD=80mm，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．（1）求证：△AEF∽△ABC；（2）求这个正方形零件的边长；（3）如果把它加工成矩形零件如图2，问这个矩形的最大面积是多少？