第十章 Stokes 公式

2 u = u = gradu u u u j + k)( i + j + k) =( i + x y z x y z
2u 2u 2u = 2 + 2 + 2 = u x y z
------Laplace算子
A = Pi + Qj + Rk
P Q R A= + + = divA x y z i × A= x P j y Q k = rotA z R
z0
z
y0
o x
M1
y
M2
四,物理意义---环流量与旋度 物理意义---环流量与旋度 --1. 环流量的定义: 环流量的定义:
设向量场 A( x , y , z ) = P ( x , y , z )i + Q ( x , y , z ) j + R( x , y , z )k 则沿场 A中某一封闭的有向曲线 C上的曲线积分 Γ = ∫ A ds = ∫ Pdx + Qdy + Rdz
xy
1
根椐格林公式
∫∫
Dxy
P[ x, y, f ( x, y)]dxdy = ∫ P[ x, y, f ( x, y)]dx c y
P P 即 ∫∫ dzdx dxdy = ∫cP[ x, y, f ( x, y)]dx 2 y ∑ z
平面有向曲线
P P ∫∫ z dzdx y dxdy = ∫Γ P( x, y, z)dx, ∑ 空间有向曲线
P P P P f y )dxdy 即 ∫∫ dzdx dxdy = ∫∫ ( + y z ∑ z ∑ y
P P P[ x , y , f ( x , y )] = + fy y y z
P P ∫∫ z dzdx y dxdy ∑ = ∫∫ P[ x, y, f ( x, y)]dxdy , (a + b)
三,空间曲线积分与路径无关的条件
前面我们利用Green公式得到了平面曲线积分 与路径无关的条件,完全类似地,利用Stokes 与路径无关的条件,完全类似地,利用Stokes 公 式可推得空间曲线积分与路径无关的条件 空间一维单连域: 空间一维单连域:若 G 内任一闭曲线总可以 的曲面, 张一张完全属于 G 的曲面,则称 G 为空间一维 单连域, 单连域,或称 G 为按曲面是单连通区域
= ∫∫ ( 1 1)dydz + ( 1 1)dzdx + ( 1 1)dxdy
∑
= 2 ∫∫ dydz + dzdx + dxdy
∑ 与 zox 坐标面垂直
∑
∑ 在 yoz 面的投影为一椭圆
x2 + y2 = a2 消去 x 得 x z a +b =1
∫∫ dzdx = 0 ∑
同理可证 Q Q ∫∫ x dxdy z dydz = ∫Γ Q( x, y, z)dy, ∑ R R ∫∫ y dydz x dzdx = ∫Γ R( x, y, z)dz, ∑
R Q P R Q P ∫∫ ( y z )dydz + ( z x )dzdx + ( x y )dxdy ∑
应用上述定理, 应用上述定理,并仿照以前的证明方法可得到
定理
是空间一维单连域, 设 G 是空间一维单连域, P , Q , R 在 G 内具有 连续的一阶偏导数, 连续的一阶偏导数,则 Pdx + Qdy + Rdz 在 G 内是某一函数 u( x , y , z )的全微分的充要条件 P Q Q R R P , , = = = 在 G 内恒成立 y x z y x z
= ∫ Pdx + Qdy + Rdz
Γ
..
故有结论成立. 故有结论成立
便于记忆形式
dydz dzdx dxdy ∫∫ x y z = ∫Γ Pdx + Qdy + Rdz ∑ P Q R 另一种形式
cosα cos β cosγ ∫∫ x y z ds = ∫Γ Pdx + Qdy + Rdz ∑ P Q R
L
ω
o
M
i
v =ω ×r =
j y
k z
ω1 ω 2 ω 3
x
观察旋度 rot v = {2ω1 , 2ω2 , 2ω3} = 2ω.
由此可看出速 度场的旋度与 旋转角速度的 关系. 关系
五,向量微分算子
j+ k = i + x y z
---------Hamilton 算子
u = gradu
( z b )2 y 2 + 2 =1 2 b a
∫∫ dydz = D dydz = πab ∫∫ ∑
yz
(椭圆面积) 椭圆面积)
∑ 在 xoy 面的投影 :x 2 + y 2 = a 2
∫∫ dxdy =
∑
dxdy = πa 2 ∫∫
D xy
(圆面积) 圆面积)
∫ Pdx + Qdy + Rdz = 2πa(a + b) Γ
= 2πa(a + b)
解三 投影方法
x2 + y2 = a2 将 Γ : x z 投影到 xoy 面得投影曲线 a +b =1
C : x2 + y 2 = a2
记 C 所围区域为 D
(逆时针方向) 逆时针方向)
I = ∫ Pdx + Qdy + Rdz
x x = ∫ [ y b(1 )]dx + [b(1 ) x ]dy a a C x + ( x y )d [b(1 )] a b b = ∫ [(1 + ) y b]dx + [b (1 + ) x ]dy a a C b = ∫∫ 2(1 + )dxdy a D
其中n = {cosα,cos β ,cosγ }
Stokes公式的实质: Stokes公式的实质: 公式的实质 表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线 上的曲线积分之间的关系. 上的曲线积分之间的关系.
(当 是xoy面 平 闭 域 ) ∑ 的 面 区 时
斯托克斯公式
特殊情形
格林公式
二,简单的应用
定理
是空间一维单连域, 设 G是空间一维单连域, P , Q , R 在 G内具有 一阶连续偏导数, 一阶连续偏导数,则空 间曲线积分 G内
内与路径无关( ∫ Pdx + Qdy + Rdz 在G内与路径无关(或沿 Γ 任一闭曲线的曲线积分 为0)的充要条件是 P Q Q R R P , , = = = 在 G内恒成立 y x z y x z
解二 化为参变量的定积分计算
x = cos t 令 y = sin t
x 则 z = b(1 ) = b(1 cos t ) a
I=
2π
+ [b(1 cos t ) a cos t ]a cos t + [a cos t a sin t ]b sin t }
∫ {[a sin t b(1 cos t )]( a sin t ) 0
例 1 计算曲线积分∫ zdx + xdy + ydz, 其中Γ是平面x + y + z = 1被三坐标面所截成的 三角形的整个边界, 三角形的整个边界,它的正向与这个三角形上侧 z 的法向量之间符合右手规则. 的法向量之间符合右手规则.
解 按斯托克斯公式, 有 按斯托克斯公式,
1
Γ
n y
∫
Γ
zdx + xdy + ydz
C C
称为向量场 A沿曲线 C按所取方向的环流量 .
利用stokes公式, 有 利用stokes公式, stokes公式
i 环流量 Γ = ∫ A ds = ∫∫ C x ∑ P
2. 旋度的定义: 旋度的定义:
j y Q
k ds z R
i j k 称向量 为向量场的旋度 ( rotA) . x y z P Q R
1
x
例2
计算
Γ
∫ ( y z)dx + (z x)dy + ( x y)dz Γ
2 2 2
x z 其中Γ 为椭圆 x + y = a , + = 1 a b
轴正向看去, 从 x 轴正向看去,椭圆取逆时针方向 解一 用 Stokes 公式
z
∫ Pdx + Qdy + Rdz Γ
o y x
dydz dzdx dxdy = ∫∫ x y z ∑ P Q R
i j k 旋度 rotA = x y z P Q R
R Q P R Q P = ( )i + ( ) j + ( )k. y z z x x y
斯托克斯公式的又一种形式
R Q P R Q P ∫∫[( y z )cosα + ( z x )cos β + ( x y )cosγ ]dS ∑
Γ 分 光 的 间 向 曲 ∑ 理 设 为 段 滑 空 有 闭 线 是 定 , 以 Γ为 界 分 光 的 向 面,Γ 的正 与 面, 向∑ 边 的 片 滑 有 曲
侧 合 手 则 的 符 右 规 , 函 P( x, y, z),Q( x, y, z), 数
R( x, y, z)在 含 面 在 的 个 间 域 具 包 曲 ∑ 内 一 空 区 内
ν = ∫ (Pcos λ + Qcos + Rcos )ds
Γ
其中
∑的单位法向量为 n = cosα i + cos β j + cos γ k ,
Γ 的单位切向量为 t = cos λ i + cos j + cos ν k
斯托克斯公式的向量形式
∫∫ rotA ndS = ∫ΓA t ds ∑
∑
Stokes公式的物理解释 公式的物理解释: 公式的物理解释
向 场A沿 向 曲 Γ 的 流 等 向 场 量 有 闭 线 环 量 于 量 A的 度 通 Γ 所 的 面 通量.(Γ 的 旋 场 过 张 曲 的 量.( 正 向 ∑的 符 右 法 ) 与 侧 合 手 则
例4 设一刚体绕过原点的某个轴 转动, 转动,其角速度为 ω = {ω1 ,ω2 ,ω3} 刚体在每一点的线速度构成一线 速场, 速场,则向量 r = OM = {x, y, z} 在点 M 处的线速度场的旋度 等于角速度的 2 倍 解 由力学知道点 M 的线速度为
一 连 偏 数 有 阶 续 导 , 则 公 有 式
R Q P R Q P ∫∫ ( y z )dydz + ( z x )dzdx + ( x y )dxdy ∑
= ∫ Pdx + Qdy + Rdz
Γ
n
∑
右手法则
Γ是有向曲面 ∑ 的
正向边界曲线
z
n
Γ
证明
如图
设 ∑ 与平行于 z 轴的直线 相交不多于一点, 相交不多于一点 , 并 ∑ 取 上侧, 上侧,有向曲线 C 为∑的正 向边界曲线 Γ 在 xoy 的 投 影.且所围区域 D xy .
u( x , y , z ) = ∫
x
( x , y ,z )
( x 0 , y0 , z 0 )
Pdx + Qdy + Rdz
y
z M
M0
u( x , y , z ) = ∫ P ( x , y0 , z0 )dx + ∫ Q( x , y , z0 )dy
x0
+ ∫ R( x , y , z )dz
x
0
= ∫∫ dydz + dzdx + dxdy
∑
D xy
1
1
由于∑ 弦都为正, 由于∑的法向量的三个方向余 弦都为正, 再由对称性知: 再由对称性知:
∫∫ dydz + dzdx + dxdy ∑
Dxy 如图
= 3 ∫∫ dσ
D xy
y
1
3 ∫Γ zdx + xdy + ydz = 2
Dxy
o
Stokes 公式
一,斯托克斯(stokes)公式 斯托克斯(stokes)公式 (stokes)
前面所介绍的 Gauss 公式是 Green 公式的推广 公式. 下面我们 从另一个角度来推广Green 公式.
Green 公式表达了平面闭区域上的二重积分
与其边界曲线上的曲线积分之间的联系, 与其边界曲线上的曲线积分之间的联系, stokes 公式则是把曲面上的曲面积分与沿曲面的边界曲线 上的曲线积分联系起来
x o
∑ :z =
Γ
f ( x, y)
y
Dxy C
思路 曲面积分 1 二重积分 2 曲线积分
P P P P ∵ ∫∫ dzdx dxdy = ∫∫ ( cos β cos γ )ds y y z ∑ z ∑
又 ∵ cos β = f y cos γ , 代入上式得
P P P P ∫∫ z dzdx y dxdy = ∫∫ ( y + z f y ) cos γds ∑ ∑
其中
( rotA)n = rotA n R Q P R Q P ) cosα + ( ) cos β + ( =( ) cos γ y z z x x y
At = A n = P cos λ + Q cos + R cosν
∴环流量 Γ = ∫∫ rotA ds = ∫Γ At ds