微积分公式与定积分计算练习大全

微积分公式与定积分计算练习（附加三角函数公式）
一、基本导数公式
⑴()0c '= ⑵1x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '=
⑷()cos sin x x '=- ⑸()2tan sec x x '= ⑹()2cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=⋅ ⑻()csc csc cot x x x '=-⋅
⑼
()x
x
e e '= ⑽
()ln x
x a a a
'= ⑾
()1
ln x x '=
⑿
()
1log ln x a
x a '=
⒀
(
)arcsin x '= ⒁(
)arccos x '= ⒂
()21arctan 1x x '=+ ⒃()
21arccot 1x x '=-+⒄()1
x '=
⒅
'=
二、导数的四则运算法则
()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v '''
-⎛⎫= ⎪⎝⎭
三、高阶导数的运算法则
（1）()()()
()
()
()
()
n n n u x v x u x v x ±=±⎡⎤⎣
⎦ （2）()()
(
)
()n n cu x cu x =⎡⎤⎣
⎦ （3）()()
()
()n n n
u ax b a u
ax b +=+⎡⎤⎣
⎦
（4）
()()()
(
)
()()
()0
n
n n k k k n k u x v x c u x v x -=⋅=⎡⎤⎣⎦
∑
四、基本初等函数的n 阶导数公式
（1）
()()
!
n n
x n = （2）
()()
n ax b
n ax b
e a e ++=⋅ (3)
()()
ln n x
x n a a a
=
(4)
()()
sin sin 2n n ax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦
⎝⎭(5) ()()cos cos 2n n
ax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝
⎭ (6)
()
()
()
1
1!
1n n n
n a n ax b ax b +⋅⎛⎫=- ⎪+⎝⎭
+ (7)
()()
()
()()
1
1!
ln 1n n n n
a n ax
b ax b -⋅-+=-⎡⎤⎣⎦
+
五、微分公式与微分运算法则
⑴()0
d c = ⑵
()1d x x dx
μμμ-= ⑶
()sin cos d x xdx
= ⑷()cos sin d x xdx
=- ⑸
()2tan sec d x xdx = ⑹
()2cot csc d x xdx
=-
⑺
()sec sec tan d x x xdx =⋅ ⑻
()csc csc cot d x x xdx
=-⋅
⑼
()x
x
d e
e dx = ⑽()ln x
x
d a a
adx
= ⑾
()1ln d x dx x =
⑿()1log ln x
a d dx x a = ⒀(
)arcsin d x = ⒁(
)arccos d x =
⒂
()21arctan 1d x dx x =
+ ⒃()2
1
arccot 1d x dx x =-+
六、微分运算法则 ⑴
()d u v du dv
±=± ⑵
()d cu cdu
=
⑶()d uv vdu udv =+ ⑷2
u vdu udv
d v v -⎛⎫= ⎪⎝⎭
七、基本积分公式
⑴kdx kx c =+⎰ ⑵11x x dx c μμ
μ+=++⎰ ⑶ln dx x c x =+⎰
⑷ln x
x
a a dx c a =+⎰ ⑸x x e dx e c =+⎰ ⑹cos sin xdx x c =+⎰
⑺sin cos xdx x c =-+⎰ ⑻221
sec tan cos dx xdx x c x ==+⎰⎰ ⑼2
21csc cot sin xdx x c x ==-+⎰⎰ ⑽21arctan 1dx x c x =++⎰
⑾
arcsin x c
=+
八、补充积分公式
tan ln cos xdx x c =-+⎰ cot ln sin xdx x c =+⎰ sec ln sec tan xdx x x c =++⎰ csc ln csc cot xdx x x c =-+⎰
22
11arctan x dx c a x a a =++⎰
22
11ln 2x a
dx c x a a x a -=+-+⎰
arcsin
x
c
a
=+
ln x c
=+
十、分部积分法公式
⑴形如
n ax
x e dx
⎰
，令
n
u x
=，ax
dv e dx
=
形如
sin
n
x xdx
⎰
令
n
u x
=，sin
dv xdx
=
形如
cos
n
x xdx
⎰
令
n
u x
=，cos
dv xdx
=
⑵形如
arctan
n
x xdx
⎰
，令arctan
u x
=，n
dv x dx
=
形如
ln
n
x xdx
⎰
，令ln
u x
=，n
dv x dx
=
⑶形如
sin
ax
e xdx
⎰
，
cos
ax
e xdx
⎰
令
,sin,cos
ax
u e x x
=
均可。

十一、第二换元积分法中的三角换元公式
sin x a t =
(2) tan x a t =
sec x a t =
【特殊角的三角函数值】
（1）sin00= （2）
1sin
6
2π
=
（3
）sin 32π= （4）sin 12π= （5）sin 0π=
（1）cos01= （2
）
cos
6
2π
=
（3）1cos 32π= （4）cos 0
2π= （5）cos 1π=- （1）tan 00= （2
）
tan
6
π
=
（3
）tan 3π=4）
tan
2π
不存在（5）tan 0π= （1）cot 0不存在 （2
）cot
6
π
=3
）
cot
3
π
=
（4）cot 0
2π
=（5）cot π不存在
十二、重要公式
（1）0sin lim
1x x x →= （2）()10lim 1x x x e →+= （3
）)1n a o >=
（4
）1
n = （5）lim arctan 2x x π
→∞
=
（6）lim tan 2x arc x π
→-∞
=-
（7）limarccot 0x x →∞
= （8）lim arccot x x π→-∞
= （9）lim 0
x x e →-∞
=
（10）lim x x e →+∞=∞
（11）0
lim 1x x x +
→=
（12）
101101
lim
0n n n m m x m a n m b a x a x a n m b x b x b n m
--→∞⎧=⎪⎪++
+⎪
=<⎨+++⎪
∞>⎪⎪⎩
（系数不为0的情况）
十三、下列常用等价无穷小关系（0x →）
sin x
x tan x x arcsin x
x arctan x
x
2
11cos 2x
x
-
()
ln 1x x
+ 1
x
e x - 1
ln x
a x a - ()
11x x
∂
+-∂
十四、三角函数公式 1.两角和公式
sin()sin cos cos sin A B A B A B +=+ sin()sin cos cos sin A B A B A B -=- cos()cos cos sin sin A B A B A B +=- cos()cos cos sin sin A B A B A B -=+
tan tan tan()1tan tan A B A B A B ++=
- tan tan tan()1tan tan A B
A B A B --=
+ cot cot 1cot()cot cot A B A B B A ⋅-+=+ cot cot 1
cot()cot cot A B A B B A ⋅+-=
- 2.二倍角公式
sin 22sin cos A A A = 2222cos 2cos sin 12sin 2cos 1A A A A A =-=-=- 22tan tan 21tan A A A =
-
3.半角公式
sin
2A =
cos 2A =
sin tan
21cos A A A ==+
sin cot 21cos A A A ==-
4.和差化积公式
sin sin 2sin
cos 22a b a b a b +-+=⋅ sin sin 2cos sin 22a b a b
a b +--=⋅ cos cos 2cos cos 22a b a b a b +-+=⋅ cos cos 2sin sin
22a b a b
a b +--=-⋅
()sin tan tan cos cos a b a b a b ++=
⋅
5.积化和差公式
()()1sin sin cos cos 2a b a b a b =-+--⎡⎤⎣⎦ ()()1
cos cos cos cos 2a b a b a b =++-⎡⎤⎣⎦
()()1sin cos sin sin 2a b a b a b =++-⎡⎤⎣⎦ ()()1
cos sin sin sin 2a b a b a b =+--⎡⎤⎣⎦
6.万能公式
22tan
2sin 1tan 2a
a a
=+
2
2
1tan 2cos 1tan 2a a a -=+ 2
2tan
2tan 1tan 2a
a a
=-
7.平方关系
22sin cos 1x x += 22sec n 1x ta x -= 22csc cot 1x x -=
8.倒数关系
tan cot 1x x ⋅= sec cos 1x x ⋅= c sin 1cs x x ⋅=
9.商数关系
sin tan cos x x x =
cos cot sin x
x x =
十五、几种常见的微分方程
1.可分离变量的微分方程：
()()
dy
f x
g y
dx
=
，
()()()()
1122
f x
g y dx f x g y dy
+=
2.齐次微分方程：dy y
f
dx x
⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
3.一阶线性非齐次微分方程：
()()
dy
p x y Q x
dx
+=
解为：
()()()
p x dx p x dx
y e Q x e dx c
-⎡⎤
⎰⎰
=+
⎢⎥
⎣⎦
⎰。