鲁棒优化的方法及应用概述

鲁棒优化的方法及应用
杨威
在实际的优化中决策过程中，我们经常遇到这样的情形，数据是不确定的或者是非精确的；最优解不易计算，即使计算的非常精确，但是很难准确的实施；对于数据的一个小的扰动可能导致解是不可行。

鲁棒优化是一个建模技术，可以处理数据不确定但属于一个不确定集合的优化问题。

早在19世纪70年代，Soyster就是最早开始研究鲁棒优化问题的学者之一，他的文章给出了当约束矩阵的列向量属于一个椭球形不确定的集合时的鲁棒线性优化问题。

几年以后Falk沿着这条思路做了非精确的线性规划。

在以后的很长的一段时间里，鲁棒优化方面都没有新的成果出现。

直到19世纪末，Ben-Tal,Nemirovski的工作以及这时计算
技术的发展，尤其是对于半定优化和凸优化内点算法的发展，使得鲁棒优化又成为一个研究
的热点。

一个一般的数学规划的形式为
min n{x0 : f°(x, ) — X。

乞0, £(x, ) E0,i
-R ,x =R
其中x为设计向量，f o为目标函数，f!, f2,..., f m是问题的结构元素。

•表示属于特定问题的数据。

U是数据空间中的某个不确定的集合。

对于一个不确定问题的相应的鲁棒
问题为
min n{x° : f°(x, ) -X。

一0, £(x, ) 一0,i =1,...,m^ U}
x -R,x :R
这个问题的可行解和最优解分别称为不确定问题的鲁棒可行和鲁棒最优解。

这篇文章主要回顾了鲁棒优化的基本算法，目前的最新的研究结果及在经济上的应用。

1鲁棒优化的基本方法
1.1鲁棒线性规划
一个不确定线性规划{min{ c T x： Ax 3b} (c, A,b)乏U u R n x R mxh x R m}所对应的鲁
x
棒优化问题为min {t：t _c T x, Ax _b,(c, A,b)・U}，如果不确定的集合是一个计算上易处
x
理的问题，则这个线性规划也是一个计算上易处理的问题。

并且有下列的结论：
假设不确定的集合由一个有界的集合Z={} R N的仿射像给出，如果Z是
1线性不等式约束系统构成P■岂P，则不确定线性规划的鲁棒规划等价于一个线性规划问
题。

2由锥二次不等式系统给出P • - P i||2空q「• -「i,i =1,...,M，则不确定线性规划的鲁棒规
划等价于一个锥二次的问题。

dim ：
3由线性矩阵不等式系统给出P0亠二1P -0，则所导致的问题为一个半定规划问题。

i =1
1.2鲁棒二次规划
考虑一个不确定的凸二次约束问题
{min{ c T x: x T A j X 兰2Q T x + q ，i =1,…,m} （A ，E,cj 二 E U}
对于这样的一个问题，即使不确定集合的结够很简单，也会导致 NP 难的问题，所以对
于这种问题的处理通常是采用它的近似的鲁棒规划问题。

考虑一个不确定的优化问题
P 二{min{ c T x ： F （x, B 0K U}，假设不确定集合为
X
U = n V ，而n 表示名义的数据，而 V 表示一个扰动的集合，假设 V 是一个包含原 点的凸紧
集。

不确定问题 P 可以看成是一个不确定问题的参数族
Pp={m 『{ c T x: F （x 上）兰0} + PV}，P> 0表示不确定的水平。

具有椭圆不确定性的不确定的凸二次规划问题的近似鲁棒问题
L
U ={{（ C j ，A ，bJ =（c ：, A n ，b n ）+》©（d’A 」1）}舊|©T Q j d 1,j =1,…,k}
1=1 k
其中 Q j _0? Q j >0
j^z
则问题可一转化为一个半定规划问题
T
min c x
具有椭圆不确定集合的不确定锥二次冋题的近似鲁棒规划 考虑不确定锥二次规划
它的约束为逐侧的不确定
它的左侧的不确定的集合是一个椭圆
L
U 1eft -{{（ A i ,b ）=（A i n ,b i n ）+2：勺3馬）}点纤Q jd 1,j =1,...,k}
1 =1
k
2x T b n c n
j
j 仝
1 L
c i
T 1 c i
—+ x b …—+ x 2 2
T b L [A n x]T
s.t
i
§ x T b i Z 2
L
G T L —x b i 2
A n x
k ■- 7 ij Q i
j T
[A Z x]T [A L X ]T
A 1xillA L x
{min{ c T x: A ,x b i
i
,i =1,…,m} {（人山耳卫）}二刊}
U = （A,b i 」i 「）}角
{A’b/ U 1eft { = ,£• U right
k
其中Q j _0广Q j >0
j4
右侧的不确定集合是有界的，它的半定表示为
R
U right 二｛｛（冷，1）十 U 、dM
r 丄
V -{ u:P( ) Q(u)-R_0} , P( ),Q(u)为线性映射。

.•‘■ij
— 0, i — 1,..., m, j = 1,..., k
二 x T ： j n T
Tr(RVJ,i =1,...,m
/ T 1 丄 口 1 、
X w +片
Q
V i 1.3鲁棒半定规划
一个不确定的半定规划的鲁棒规划为
n
｛min ｛ c T x:A • v x i ^ _0｝｛（代,...，A n ）｝「吕• U ｝由一个箱式不确定集合影响的不确定
i =1
半定规划的近似鲁棒问题
U ={( A o ,...,A n )=(A 0?,...,A n )吃 q (A ；,..., A)庐|仁壬}。

l =1
则半定规划的近似的鲁棒优化为
n
、
X 1 ^A[x]三A 0 + 送 X j A j ,l =1,...,L
j#
c T x: x 1 - -A l [x], l -1,...,L L
n
S x 1 兰A 0 中瓦 X j A ；,l =1,...,L |- u
J
由一个球不确定集合影响的不确定半定规划的近似鲁棒问题
V}
则半定规划为
min T
c x
k ■ ■! ■- -
ij
j 丄
n
n T [A x b i
] s.t.
k
―-ij Q i j =1
1
1 T
[Ax
b i ]
n
n A i x b
i
A ：x 川 A L x
[A i L x b i L ]T
i
I
其中P (V i )二
,i = 1,..., m
T R 丄 R R 己S
+ A
(VJ =0,i =1,...,m
-0, i =1,..., m mx ，
L
U 二｛(A o,…，A n)=(A0\…，A：)八1(A0,…，人)|』2叮｝。

I 二
则半定规划问题为
r G A[X]A2【X]川A[x「
A[x]n
* c T x:也] F+
+K0,F +G 兰2（代+Z X j A；）
»
+
1<A L[X]F>
具有易处理的鲁棒counterparts的不确定线性规划。

如果多胞形是由有限集合的凸包给出的，则鲁棒规划为
n
min｛c T x:A0 ' x j A j _0,l =1,…丄｝
x
j 二
2鲁棒优化的几种新的方法
鲁棒规划的最近的研究包括了对于可调节的鲁棒优化的研究以及对于鲁棒凸优化的研究。

2.1不确定的线性规划的可调节的鲁棒解
不确定线性规划为LP Z｛min c T u : Uu +Vv兰匕｝®"^孝，其中不确定集合
Z R n R mn R m是一个非空的紧的凸集，V称为recourse矩阵。

当V是确定的情况下，则称相应的不确定线性规划为固定recourse的。

定义：线性规划LP Z的鲁棒counterpart为
(RC) : m i nc｛ u :v f U[ V, b, ]Z U:u V,v b
则它的可调节的鲁棒counterpart为
T 严r
(ARC):叫n｛c u : 一(：.二[U,V,b] Z), v:Uu Vv _ b｝。

可调节的鲁棒规划比一般的鲁棒规划灵活，但是同时它也比一般的鲁棒规划难解。

对于一个不确定线性规划的鲁棒规划是一个计算上易处理的问题，然而它相应的可调节的鲁棒规
划却是不易处理的问题。

但是如果不确定集合是有限集合的凸包，则固定recourse的ARC 是通常的线性规划。

从实际的应用来看，只有当原不确定问题的鲁棒counterpart在计算上容易处理的时候，鲁棒优化方法才有意义。

当可调节的变量是数据的仿射函数时，可以得到一个计算上易处理的鲁棒coun terpart.
对于LP Z的仿射可调节的鲁棒counterpart (AARC)可以表示为
(AARC): mi n｛c T u:Uu V(w W )—b,"：鬥U,V,b] Z)｝。

u,w,W
如果Z是一个计算上易处理的集合，则在固定recourse的情况下，LP Z的仿射可调节的
L
鲁棒counterpart (AARC)是一个计算上易处理的问题。

如杲Z是这样的一个集合，Z =｛[U,V,b]二[U 0,V°,b0]--二片[U^vlb1]: ：、｝ , X 是一个非空的凸紧集。

l 4
在固定的recourse的情况下，AARC具有这样的形式
m j n L｛c T u:[U°+迟匕|U 1 ]u+V[v°+迟占v)M[b0+迟第],曽£於｝
u,v0 ,v1，…,v L
如果不确定的集合是一个锥表示的，则LP Z的仿射可调节的鲁棒counterpart (AARC)是一个
锥二次或半定规划。

如果recourse也是可变的，则AARC是不易处理的问题，这时采用它的近似形式。

在简单椭圆不确定集合的情况下，AARC等价于一个半定规划。

当扰动的集合是一个中心在原点的箱式集合或者是一个关于原点对称的多胞形集合，则AARC可以有一个半定规划来近
似。

对于多期的决策问题也是一个可调节的鲁棒优化问题。

考虑一个两期的决策问题
曲叽f(u,v, p)
其中p是不确定的，但属于一个闭的有界的不确定集合。

可行集V依赖于u和参数p。

则
可以表示为V(u, p)，或V u( p)。

可调节的鲁棒counterpart问题可以表示为
u iQf,t｛t: -p P, v V(u,p): f(u,v, p)m，
可以等价的表示为inf sup iffuv(p,。

，)
u 匕U p导€ (V , u ) p
如果P包含有限数量的元素，P =｛口，P2,…，P k｝，则对于每个p i P，都存在着相应的v i满足上面的问题。

则问题可以转化为一个等价的单层优化问题
inf t
u,v1,...,v k ,t
s.t f (u,M , pj _t, i = 1,...,k
u U,v「V(u,p),i =1,...,k
这样的一个单层的优化问题对于许多类的函数f和集合V(u, p)，这是一个易处理的问题。

比如f (u,V i, P i) =f0(u,V i, P i)，
U 二｛u : g l(u)乞0,1 =1,...,m｝,
V(u, pj 二W : f l(u,v, p)乞0,l =1,...皿｝
其中f l(u,v,P i) = f l(W,P i)=W T Q(P i)W +q(P i)T W i +b l(pj,l =0,...皿
g i(u) =u T Ru +n T u +d i,l =1,...,m，W i = (u,vJ T,i =1,...,k
在这种情况下，问题等价于一个二次约束的优化问题
inf t
U,V i ,...,V k ,t
s.t w ：Q i0W i +q io T W i 十鸟。

兰t, i =1,…，k
u T Ru r l T u d | _ 0,1 = 1,...,m 1, w T Q ii W i q T H T W i b ii _0,i =1,...,k,l =1,...,m 2
如果不确定集合是有限集合
P = ｛ p 1, p 2,..., p k ｝的凸包conv(P)，则考虑下面的问题
inf sup inf f(u,v, p)
u U
p.conv(P) v V (u ,P )
如果g u (P ) inf f (u, v, p)是拟凸的，则 max g u (P )= max g u ( p)。

则问题转化为一
v 哦(p) p^onv(P) p €P 个单层的优化问题。

2.2 一个锥二次问题的鲁棒解
一个锥二次约束的形式为
||Ax b 2 乞c T x d , [A R mn ,b R m ,c R n ,d R]，
或者是等价的形式
'Ax + b ' _ m 卅, T
e
L ， L 是 Lorentz 锥。

<c
x + d 丿
假设不确定参数属于一个有界的集合。

两种类型的不确定集合常常用到，
一个是范
数有界的不确定集合，一个是扰动的向量属于一个有界的扰动集合时的结构不确定集合。

对于参数的结构不确定为
L
S 二｛( A,b,c,d) =(A 0,b 0,c 0,d 0)亠亡=(A l ,b l ,c l ,d l ),
V ｝，其中 是描述
1
扰动的向量，T >0是表示扰动幅度的向量，
V 是扰动集合， A 0,b °,c °,d 0是名义数值，
I
I T
■
A,b,c,d 为扰动方向。

V 是椭圆的交集 V =｛二 E R ：•_.
<1,^1,..., K ｝，
K
Q k k =1,...,K 为对称的正半定矩阵，且 、心Q k 是正定的。

对于一个单侧不确定的锥二次约束， El Ghaoui 和Lebret 证明了在不确定集合是范数有 界的情况下，问题等价于一个锥二次约束。

Ben-Tal,Nemirovski 给出了在扰动集合是椭圆集
合的交集的结构不确定的情况下， 如果是简单的椭圆不确定集合， 则相应的鲁棒counterpart
为一个线性矩阵不等式，在一般的情况下，问题是 NP 难的，但是可以用线性矩阵不等式来
近似。

Ben-Tai 等研究了逐侧不确定的锥二次约束，即对于影响左侧的不确定独立于影响右侧
的不确定。

(A,b,c,d)二｛( A,b,c,d) (A,b) U ,(c,d) U ｝，U ,U 是相互独立的集合。

则x是问题|| Ax b ^c T x d的可行解，但且仅当存在•，使得||A^b^T，灯A,b^U '和i
E c T x+d,P c,d E U “成立。

在具有椭球交集的结构不确定的集合的情况下，这两个问题是易处理的。

在很多的情况下，影响两侧的不确定集合是相互依存的。

比如考虑一个不确定的锥二次约束A[r ]x b[J ] 2 乞C T[r ]x d[「]，一V，(*)其中A[z], b[z], c[z],d[z]关于z是仿射的。

V是中心在原点的椭圆的交集。

V = {[-. ：- R : 丁Q k- 1k = 1,..K ,，Q k k = 1,..., K 为对称的正半定矩阵，且二k4 Q k是正定的。

如果存在着■ k_ 0,」_ 0，且满足下式，则x满足(*)式。

-v(x) —卩―送內Pw T[x]-u T[x]
^w[x] 「Z k-PU T[x]>0
■-u[x] -PU[x]P I
其中v[x] =(c°)T x +d°,
w[x]=扣1)T x+d1,...,(c m,
1
u[x] [A0x b0],
2
11 1 L L
U[x] [A1x b1,..., A L x b L].
2
如果向量x被分成两部分，x=(u T,v T)T，其中u表示不可调节的变量，V表示可调节的变量。

假设目标函数是确定的，独立于可调节的变量V,则相应的锥优化问题为
min{c T u Uu +Zv K}，
u
K是一个锥。

则相应于不确定集合S的鲁棒counterpart为
T
m u n{c u mv:Uu +Zv-X K月(U,Z,b)乏S}
则可调节的鲁棒规划为
min{c T u —(U ,Z,b) S, v =v(U ,Z,b) :Uu Zv—b K ,}。

u
可调节的鲁棒规划比一般的鲁棒灵活一些。

但是这样会导致所得到的问题是不易处理的。

克服计算上缺点的一个方法是限制可调节的变量为一个仿射函数。

^w W ，这样得到了
仿射可调节的鲁棒规划为
T 尸尸
min{c'uUu +Z(w+W©)—b^ K月匚=(U,Z,b)E S}
u,w,W
对于结构不确定的锥二次约束可表示为A[厂]x • b[厂]2岂c T[厂]x • d[厂]，如果
分别用u,v表示x的子向量，并且分别对应于不可调节的部分和可调节的部分，则上面的约
束可以表示为
U[「]u Z[厂]v b[ L ] 2 乞 e T [「]u f T [ r ]v d[ L ](**),
若v = w ・W •，则上面的约束即为仿射可调节的约束。

下面分成两种情况来讨论，一种是固定的
recourse,即Z 是确定的，一种是可变的
recourse ,即Z 是不确定的。

在第一种情况下，如果约束由
(**)表达，扰动集合为中心在原
点的椭圆的交集，如果存在 比_0,k =1,…，K 和二，：0使得下式成立，则会存在一个解
U, v = W 亠！W •满足(**)，对于所有的扰动】三V 成立,
其中 W 二 U 0u Zw b 0，
丫 =U u Z 1W b 旧，…,L :二e 0T u
f T w d 0,
=e lT u f W d l l1, ... ,L
在第二种情况下，如果扰动很小，使得二次项可以被忽略，
则可以用上面的半定规划来近似。

如果二次项不能够被忽略，则需要增加一些变量后能够用一个半定规划来近似。

2.3鲁棒凸优化
2.3.1鲁棒凸二次约束的规划问题 一个凸二次约束的规划问题为
T
min c x
s.t x T Q j X 2q ：x
j 玄
0,i =1,...,p
其中x 为决策向量，R n , - R,q R n ,Q 「R nn ,Q j_0为参数。

上面的这个问题可以转化为一个二阶的锥规划问题
min c T x 由于上述的模型对于参数很敏感，所以有必要研究其对应的鲁棒问题 一个一般的鲁棒凸二次规划问题为
”[u,w,W]—卩—瓦 k Z k P
口
-P[u,w,W] 2
1
-一点[u, w,W] 2
「T [u,w,W]
2
二.k ' k Q k
[u, w,W]
2
—1 申T [u,w,W] 1 2 P MT
——ft T [u,w,W] 2
s.t
一(1 Ik)
i =1,..., p
・ T
min c x
s.t x T Q |X + 2q i T x + Y | 兰O,(Q i ,q,Y |)E S i ,i=1,...,p
当不确定的集合 S i ，i =1,...,p 是椭球时，上面的问题可以转化为一个半定规划问题， 这 里我们来确定S i 的结构，使它能够转化为一个二阶锥规划。

分成以下的三种情况
1离散集合和多边形不确定集合 对于离散形式的集合定义为
S a 二｛(Q,q, ):(Q,q, ) = (Q j ,q j , j ),Q j_0,j=1,...,k ｝，
鲁棒约束x T Qx ・2q T x ・<0, (Q,q, ) S a 等价于K 个凸二次约束
x T Q i x 2q j T x
i
_ 0, -j =1,...,k 。

或者等价的k 个二阶锥约束。

对于离散集合的凸包为
k
k
£ ={(Q,q, ):(Q,q,)八 j (Q j ,q j , j ),Q j _0「—0,—j,' ■ j =1}，则鲁棒约束 j 壬 y x T Qx 2q T x < 0, (Q,q, )
£ 等价于
k
k
龙./-j
x T
Q i X 2q ：x
i
_ 0, j _ 0, - j,M ■ j =1
j 吕
j 吕
将上面的两种情况下的集合推广到多边形的不确定集合
k
S b 二{(Q,q, )：(Q,q,)八 j (Q j ,q j , j ),Q j -0,j = 1,...,k, A —b 「_ 0}。

j m
如果决策向量R n 满足鲁棒约束x T Qx ，2q T x ，乞0 ,对于所有的(Q,q, ) S b ，当且 仅当存在着R k ，使得
其中 A j 是 A 的第 j 列，Q j 二V j T V j , j =1,...,k 。

2范数约束的不确定的集合
k
£={(Q,q, )：(Q,q, )=(Q °,q °, °) ' U (Q j ,q j , j ),Q j —0,u — 0,||U p^1}
1
一个决策向量x ，R n 满足鲁棒约束x T Qx 2q T ^ 岂0 ,对于所有的(Q,q, ) S c ，当且
s.t
1(1
2V x i 2q T
x-A 「)
-Vi -2q T x A T J , i =1,...,p
1
仅当存在f • R k 和、•. _0，满足
_
2V i X (1 i
2q
i
X — f j )
1 1
-1 v, f q -■ - 2q o x - o ，其中
1 , Q j=V j V j , j=0,...,k
q
p q
二次项和锥项的不确定性是独立的，即
k
S d 二{(Q,q, )：(Q,q, ) =(Q,q o ,。

)' 5 (Q j , q 」，j ),Q j _ 0, j =1,...,k, u ^1
k
(q, ) =(q °, 0)' V j (q j , j ), v 1}
一个决策向量x ・R n 满足鲁棒约束x T Qx • 2q T x • - 0，对于所有的（Q,q, ）• S d ，当且
仅当存在f ,g ・R k 和、-0，满足
1 1
1 1
一
-2q [x - 0，其中—• 一 =1，— • — =1 , Q j =V j T
V j ，
p q
r s
j
二0，…，k
3因子化的不确定的集合 如果不确定的集合定义为
” Q =V T FV , F € R m 册 V E R m 凉
、
F =F° +也，也二也T , N 刁也兰口，尸0兰0, N >0
S bJ （Q,q,?0）:
11
I
，
V =V0+d||W i ||g
=^T GW j 兰耳，\7i,G n 0
、
q=q°+共 R n ,|£|s =忑亏 w s 〉0
一个决策向量x ・R n 满足鲁棒约束x T Qx ，2q T x ，乞0 ,对于所有的（Q,q, ） • S e ,当且
仅当存在,v r -,R R,u ・ R n ,w R m ,L R m ，使得下式成立
n
y SU i ,U j - X j ,U j - —X j , j = 1,...,n
2 & S 2x | 兰 ~v — 2q 0x - ；'0
一1 — I —，2q i x • f j , i = 1,…，p
g j
-
2q j x
j
,
jJ'-rk ，
■ 2Vx |
(1
- f
j )
乞 1 f j ,
i = 1,..., k 2V °x 1
_0, v _ 1T
t,--
'max
(H )
'
『；卜° rlbUjzLf1”..，m
1 1
其中H 二G^F。

N)G?H =Q\\Q是H 的谱分解，一i = diag (-),
1 1
T ——
'max (H)二max1 丄』{ i} , w 二QF2G2V°x。

2.3.2二次约束的二次规划的鲁棒解
对于一个非凸的二次约束的二次优化问题
min f0(x)
s.t f k(x) _0,k =1,...,m,x C
其中C R n是一个多面体，并且包含在[a,b] ={a^x乞b} R n中，每个
f k(x),k =0,1,...,m 二R n的形式为
f k(x) 《xXj+I：c k x2+瓦d：x i 也。

i ::j i i
任何一个二次多项式可以写成两个正系数的二次多项式的差，一个一般的(QQP)可以写成
min f°(x) - f°—(x)
s.t f k(x) - f「(x) _0,k =1,...,m, x C
由于f°—(a) — f°—(x) 一f°—(b),[a,b]，则问题可以转化为
min f0(x) t
s.t t + f厂(x)二0
f k(x)〜f k_(x) 一0, k =1,...,m,x C
-f°(b) _ t 一- f°(a)
通过变换记号，可以得到这样的形式
mi n{ X| g 定)魁，a[b, ]}
其中f (x)=瓦i<j C ij x i x j+Z i c x2+瓦i d i x i，所有的系数为正的。

g(x) =k min m(U k(x) —V k(x))，并且U k(x),V k(x)为单调递增的二次函数使得
g k(x) f 切心怯乂)、i c k x2 ' b k
由于孤立的最优解即使是可计算的，但是它是难于实施，因为它对一个小的扰动非常的不稳
定，因而，从实际的观点来看，只有非孤立的可行解有意义。

Essential最优解f(x*) = min{f(x)x^S*}，S*表示所以非孤立的可行解的集合。

；Essential 可行解：，0,x 二[a, b]满足g(x) _ ;。

一个非孤立的可行解X称为是Essential ；最优解，如果它满足
f (X) 一；_inf( f(x) g(x) _ ；,x [a,b])
寻找Essential ；最优解的方法是：从一个初始的Essential可行解，寻找一个更好的Essential可行解，直到不能获得比当前的可行解更好的可行解为止。

假设为一个Esse ntial可行解的目标函数值，给定；.0 :
如果f(a)_ -；，由于f (x)单调递增，则f(x)_ —；,-x・[a,b]
如果f (a) ：：：- ;， g(a) . 0,则a 即为一个Esse ntial 可行解
如果f (a) ：：：- ；，g(a) _0，则需要考虑一个辅助的问题
(Q/ ) max{g(x) f(x) _ - ；,x [a,b]}
(Q/ )求解采用分支定界的方法。

这篇文章中给出了一个successive incumbent transcending(SIT)算法。

3鲁棒优化的应用
鲁棒优化现在已经应用到了各个研究领域，这里我们主要给出了在金融上的应用。

1. Ruijun Shen和Shuzhong Zhang将鲁棒的观点应用于基于seenario树的投资组合的选
择问题中，给出了一阶段和两阶段的组合选择模型相应的鲁棒规划问题。

这里允许概率分布
存在ambiguity.这样的一个问题能够转化为一个有限的锥形式凸规划问题。

并且在不允许卖空的情况下，效用函数采用下半方差的负值，参数的不确定集合是椭球形的，则相应的问题
可以转化成一个二阶锥规划问题。

假设想从n种资产中选择一个投资组合并且持有一段时间，假设初始的财富为1,持有期末有m种可能的结果。

即所有的可能的seenario可以通过一个具有m个叶子的一阶段树来表示。

假设收益向量的第i个元素表示表示第i种资产的收益。

则基于seenario的单阶段的组合选择模型为
m
max送兀山(护门
i =1
s.t T e = 1
* e A
n是股票的数量，
m是每个节点scenario的数量
''-R n是持有的股票，是模型中的决策向量
J • R n是如果scenario i出现的话n个股票的收益
5是scenario i出现的概率
e R是分量全为1的向量
厶是允许的投资组合集合则两阶段的效用极大化投资模型为
m m
max \ 二『二j u( iT r ij)
i 4 j 4
s.t 『e=1
r ij€R n表示如果scenario i出现在第一阶段，scenario j出现在第二阶段
二j表示条件概率scenario j出现在第二阶段在scenario i出现在第一阶段的条件下的概率。

.■-第二阶段允许的投资组合
'J是第二阶段的recourse问题的最优解
m
max 、二j u( iT r ij)
i =1
s.t 申T e =$T r"i =1,2,..., m
0 € &
则上面的问题可以写成
m m
max 、二j max 、r：j u( iT r ij)
s.t 护e = ©T r'，切=1,2,..., m
(P2)
s.t T e = 1
♦ £ A
假设可行集为凸集
令理=(二1,...,二m)T，二'「：m)T，且由定义可知为非负的向量「：T e = 1,「：iT e = 1
问题(P2)是可分的，则可得
m m
max 二• i max 二j u(iT r ij) 屮i =1 V
im
s.t 刺冷=歼"，切=1,2,..., m
段「叫“』e A
由于u(D是凹的，则上面的问题为凸规划。

单阶段模型的鲁棒规划模型
确定的情景树有两个缺点：一个是每个情境中收益的模糊性，一个是每个情景发生的条
件概率的模糊性。

实际上在我们的模型中用到的收益向量为估计值。

并且我们并不知道确切
的收益为多少，但是根据统计分析，我们知道实际的值离我们估计的值不远，我们可以得到某些置信区间。

r^ V i（收益的模糊性）
：I丨（概率分布的模糊性）
假设所有的集合为凸的，紧的，非空的。

令y =二一屮，U =一「- * ,二；=y U 则鲁棒模型为m
s.t ©T e=1
* eA
两阶段的鲁棒规划模型
两阶段的模型中的估计量为也捫，令y=：-W, U =一「-勺，y^U, 令y—V，J「i ，——「二y i • u[
m m
呷乂/%三s+y J m T r j剔筒三贸“曲吓）
s.t 创1 =扪$ ,N i =1,2,...,m
T e =1
€ A
单阶段鲁棒模型的有限表示
假设条件：
1没有卖空人=R n
2 一个半方差的非效用函数d（w） =（R-w）2相当于一个给定的基准组合的下方风险，相应
的效用函数为u（w） =—（R_w）*。

模糊集合是椭球形的：
n ={兀乏R m兀T e = 1,兀一圳兰日}，
V" ={ r" E R n（r" -由）Q" （r" -涉）兰R2}, i =1,..., m
为了简便，假设Q"是单位矩阵
u ={y 乏R m y T e = O,||y| 兰日}，
0」
将上面的规划变为
V i ={八 R n 『—“卜 Pi}, i =1,…,m
则原模型可变形为 m
m$x £ 献—（R —『甘）2
] s.t T
e=1 _0
则相应的鲁棒规划模型为 max min T r i .V i ,y.U s.t 铲e = 1 _0
m 、
S w)[-(R-川)2]
i =4
进一步变形为 利用结论t 。

min
；tl ,t o
s.t min
',t l ,t o
s.t t
t 。

_max (l y)T t
t i 3max (R —°T
『)* T
e = 1, _0
t
t 。

—max ($ y )T t
t 一 r,
舟 ^max (R —°T f )*
i
-0
y)a 「y u =
-0 t ° -『a
T
打a-e 有
m
e
soc(m + 1)
min
,也 气
t
0」
i
—0, —0, T e = 1
fa 、
T
日(a-e^)
< m 丿 -R"T 厂
I i 丿
气+1
soc(m+1), tj T w soc(3)
soc( n 1)
m
max i
m i
in
Z 倒i +y i )u(『rj
-r i ,V i ,y.U i 4
s.t 炉e=1
max t 0
m
st t o 兰E (嘛 +yJU i ,wyw U
i J
U i -u(W i ), w i - T r i ,
-r i V i
T
e=1,
则可以得到如下的凸表示
min -t 0
<P
納-1。

、
< t 」
_0, T e =1
对于多阶段的鲁棒模型
m
' (省 yjmax .. min i
j 壬 ' " 1
i r ij ■V iJ ,y i -U i
st iT e = 1，- i = 1,2,..., m 化0,
■T e =1 -0
因此W i : F —「"F 把球V 映射到区间「T M - 'i|「||• 'ill 1|］，则上述模型等价于
m
'•⑴J y ；)( R J
- ■-iT r iJ
-||^||)2
J
壬
= 1,2,.・・,m
r _ ” || || -w ；
< -T ^ ill 'll
T
e =1 -0
对于一个一般的模型
如果D 是一个凸集，则它的齐次锥是
H(D)二 cl{
x t 0,— D}
t
-w i
H(V i )*
通过增加变量变为
H(U)*,U i 空 u(wj,
max min
■ r i "V i , y U
m
' (为 yj mqx min mqx
s.t. iT e = W i , - j
j
-0,
max min :. r j -V j ,y ■ U
2. R.h.tutuncu, M.Koenig 给出一个基于worse-case 的方法。

在一个简单的情况下，相应 鲁棒优化问题是一个标准的二次规划问题， 在大多数情况下，这个问题可以转化为一个鞍点
问题。

利用2003年Handorsson 和Tutuncu 给出的方法求解。

作者给出了在不确定集合为区 间时的
鲁棒MVO 模型，和鲁棒最大夏普比率问题。

一个资产分配问题可以表示为在期望收益的下限上极小化方差或最大化一个风险调节 的期望收益
n
其中 X ={x€ R n 无 N =1,x^0}
i 二
U 『{」：於.：：」. ＜」.U } U Q 叫Q:Q 乜 Q ^Q U ,Q 一0} U -{（」,Q ）:「U.i,Q U Q }
采用区间型数据的原因：（1）区间的端点对应于历史数据中相应的统计的极值，在分 析估计和Seenarios 中。

（2）建模者可以选择置信水平，以预测区间的形式产生收益和协方 差的估计。

给定不确定集合U ，优化问题（1）（ 2）对应的鲁棒优化为
mi n{max x T Qx}
x R n i Q U Q
s -tmj
n/T ^R ， （7）
m a x {切iQv "x - ‘ X T QX } （8）
x
若x *（）是（8 ） 一个给定正值
■的最优解，则
x *（ ■）也是（7 ）的最优解对于
R =m^n ‘T x * （入）。

US 财政证券可以认为是无风险投资。

如果这样的资产包含于资产类中， 则有效的投资
组合是这个无风险资产和一个风险组合的线性组合。

这个最优的组合是具有最高夏普比率的
2 x — r f
组合。

h （x ） 〒
，r f 为无风险的已知收益。

假设 Q 是正定的。

因为 Q 是正半定的，
,x Qx
若它是正定的，则意味着没有冗余的资产。

具有最高夏普比率的组合可以通过解决下面的优化问题给出：
maxh （x ） st
（ 11）
这个目标函数是一个非线性，非凹的目标函数，难以解决。

min x T Qx
x.R n
s.t 」T
X _ R,
（ 1）
X X I, T
口 J
max ： x - ‘ x Qx
xWR n
s.t x ^K
对于期望收益的向量
J
和协方差矩阵 Q 分别取成区间的形式
利用lifting 技术对X 进行齐次化：
x+ = {x 壬R n ^€ R 直A O,^€X }U (O,O)，增加(0,0)是为了或得一个凸集。

此+是
K
个锥，当X 是一个环的时候，二■是一个ice-cream 锥，若：' 是一个多面体,
={x Ax _b,cx = d}，则={x Ax -b . _ 0,cx -d = 0「一 0}。

h(x^k 2^r ^=^
^^l —=g(x)=g(-)^ >0，由于 g(x)是齐次的，则问题等 J x Qx
S.t (x,町EK +,由于g(x)是齐次的，则增加规范化的约束不会影响最优
1
三：「亠,(」-r f e)T = 1
max
s.t (x,')
结论：给定一个可行的具有 e T x=1性质的组合集x , 一x X ，这个集合中具有最大夏普 比率的解可以通过下面的规划来解:
s.t (x, ■ ) ,( J - r f e)T =1 ( 15)
min{max x T Qx} s -t m (i nV _r f e)^1
(x,')—
鲁棒有效前沿的算法:
R min =L L )T x min
3选择K ,有效前沿上点的数量，
R {R min ：/(K -1),R min 2 ：/(K -1),...,鮎 (n-1) J(K -1)}，解决问题
,x T Qx
价于 maxg(x) 解("-r f e)T 二 1
，则问题等价于
x T Qx
max x T Qx
若 x =(乂 I)是(15) 松弛问题如下：
的解，贝U x 二？/I?。

1利用SP 算法解决没有期望收益约束的问题
min{max x T Qx}
Q U Q
，令x mn 表示他的最优解，令
2
，解决问题m a x {空％6}，令
x m ax 表示他的最优解，R max 二C T X max ,
mi n{max x T QX
X .Z Q .U Q
丿
s.tmin 」T X _R, x :二氷
3. Mustafa C.Pinar 给出了多阶段的组合选择模型。

目标是最大化最终期望收益和最小 化与一个给定的财富水平的偏差。

他们之间是通过一个非负参数来平衡的。

利用一个分段的
线性罚函数，能够得到线性规划模型，并且能够确保如下阶段的最优性。

假设有m+1种资产，前m 种为风险的股票，第 m 1种为无风险资产，比如现金。

x 0表示1阶段初的决策向量， x °[i]表示相应的组合种第i 种资产的市值。

x 1表示2阶段初的决策向量,
1 2
r ,r 表示一阶段和二阶段结束后的净资产收益。

是有限概率空间上(JF,P)的离散的 随机变量。

假设市场的发展是离散的 scenario 树。

r,表示随机变量r 1相应于第一层seenario 树的第n 个节点的实现。

基于最大的期望end-of-horizon 组合值的没有交易费用的两阶段组合选择模型的随机规 划为：
_ 0 T 0 0
max{瓦 P n Q n
(x ) e x =1,x >0}
x
n ,N 2
其中 Q n (X °) =mqx{( r )T X ；n) (e)T x ；n )=(r ；n ))T x °, X ；n) =0} 由于 recourse 问题 Q n (x 0), n ^ N 2的可分性，上面的优化问题等价于
以上的模型假设决策者是风险中立的，
Mulvey,Vanderbei and Zenios 建议通过由一个参数
控制给目标函数增加一个风险项得到两阶段的鲁棒随机规划。

他们的模型为
r
-- / 0、 、「//2\T1 /2、T1 、 T0 , 0*c 、 /、 max{工 p n Q n (x )—h f (仃1 ) X 氷1),...,(r N )X 兀(N )) e X =1,x 兰 0}
( 4)
x
n EN ?
则可分离的鲁棒优化模型为
恣知薦Png 2%)""2)%⑴，..皿心秋总曲即书} {&0乂,-n N 1):e T x 0 =1,(e)T x ； pr nT x 0,-n N 1,x 0 — 0又—
0}
Takriti and Ahmed 证明了对于任意的方差测度 f ，上式对能够给出当两阶段的组合决策问题
对于recourse 问题不是最优时的最优解。

如果f 是一个非减的函数，人- 0，则上面的两
个问题时等价的。

Takriti and Ahmed 利用了一个分段二次的方差度量
a
x
N 1}{；N
p n (r n
) x
-(n)
T 1 1 T 0 _ 0 1
= 1,(e) X (n )=(r ：(n )) x,—n N 「x _0,X n-0}
n ：=N 2
现右仏…,啊,而 6 ‘2,…,讣2|是相应的概率。

为了是计算方便是所得的问题是一个线性规划，采用一个分段线性的方差测度
f(t)八「nd).
n WN ?
它仍然满足非减的条件。

则我们的问题变为
%0孫鼠｝
｛
三 P
n (r n
2)T X ；n)-
n 1 n 环 2 n 田 2
0 1 TO T 1 , 1、T 0 0
1
二｛(x ,X n,— n N 1) :e x =1,(e) x . =(&) x ,- n N 1,x _0x 一0｝
可以将上面的模型推广到三阶段的情况。

在这篇文章中作者还给出了包含线性交易费用的模型。

y n 表示一阶段买入资产的数量,
7表示一阶段买入一美兀的资产的交易费
1
Z n 表示一阶段卖出资产的数量,
1
v 表示一阶段卖出一美元的资产的交易费 x ；[i]表示x l 的第i 个分量
则对于风险资产x ；[i] Y[i]x 0[i] + y n 【i]—和],i=1,…，m
m
m
对于无风险资产 x ：[m+1]=亡口+1/1口+1]-迟(1 +耳、丫:山+迟(1-v ；)z n [i]
im
im
m
初始的资金要求为(1 V 0)x 0[i] =1 -x 0[m 1]
i *
则可行集为T 二｛(xlx^y n ’z n , — n ，NJ:满足上面的三个方程｝ 带有交易成本的鲁棒两阶段的投资组合选择的模型为
2 T 1
2 T 1
|01
11
maxP n (r n ) X 二(n)
-
'
P n (R-(h) X 二 5))(X , X n , y n , Z n , 一 n N) T ｝
x ｛冷皿，石』.N 1｝ n.N 2
n.N 2
4. Aharo n Ben-Tai, Tamar Margalit Arkadi Nemirovski 给出了一个多阶段的组合选择问题 的鲁棒建模方法。

假设有n 种类型的资产i =1,..., n 和现金(n 1)。

L 个投资阶段。

目标是控制这些资产
人E P n (R -(r ；)T xL n ))十(x 0,x n ,Fn E N JEX ｝
的一个投资组合。

x1表示投资组合中资产i在阶段l开始时的数量。

X1可以有下列的方程给出：
・丿」l l A l A l l
i 时，凶=斤_x 一—％• Z
r i l亠X '是来自前一个阶段的数量，r i l‘ . 0表示资产收益。

z：表示在阶段I初买入的资产数量。

寸表示在阶段I初卖出的资产数量。

n n
1 - n 1时，X n 彳=& i x n i …二（1 -」i ）y i - ' （1 V| ）乙y i d
是从前一个阶段得到的现金流；
（1 -彳）u是在阶段丨卖出资产i得到的资产数量，叫1表示交易成本
（1 V：） Z：表示在阶段I买入资产I得到的资产数量，V：表示交易成本
应该满足约束
l.l l
y 二y：二y：,i =1,...,n,
l . l l
z z Z i,i=1,..., n,
X y i X：,I二1,...,n
假设约束为简单的约束，即下界为0，上界为无穷大
n +
目标是极大化期末财富的总价值v^ r i L x i L。

可得到线性规划模型为
i =1
n 1
\- L L
max v 二* X
i =1
l l 4 l 4 l l
X =r X—y i +z , 1=1,...,n,l =1,...,L
n n
只卄佔裁吃（1 一片送（忖V：）Z
i 4 i 4
y i — 0, i =1,..., n, l — 1, ...,L
Z： -0,i =1,...,n,l =1,...,L
X：—0,i =1,..., n, n 1,l =1,...,L
令斗=（只）‘乂，NRU I1 , U： =（£）'£，其中R：亍丫…厂，则新的规划为
n "1
max v 八R L 1 ,
i m
i = 1,..., n, I = 1,..., L
n n
n_鳥A ;八B1 ;,i "，…丄
i 4 i」
'_0,i =1,...,n,l =1,...丄
i _ 0,i = 1,...,n,I = 1,...,L
i - 0,i =1,...,n,n 1,l =1,...,L
其中
A1 =(1一£)戌/氏.1,
B； =(1 v；)R1I/R；1,
max w
n -1
w 兰送R i L'^i L
i 4
；=7 -： i, i =1,..., n, I 二1,..., L
n n
：1 —n,v A1' B：：,I =1,...丄
1- 0,i =1,..., n, I =1,...,L
i
；一0,i = 1,...,n, 1 = 1,...,L
；_0,i =1,...,n,n 1,1 =1,...丄
数据的不确定性
决策向量：，：,...，：不是实的，是■ ■1的可测函数，当决策向量实施的时候，数据就是立即可知。

不确定线性规划的鲁棒规划
max{ c T x AX b _ 0}
X
ajb i
X为N维的决策向量，c为精确可知的目标，[代b] = III为不确定的约束矩阵。

_a m b m 一
max{c T x AX b _0, -[代b] U}
X
%
U i ={(a i T,b0)=([a0]T,b i0)+：S U j([aiT,b j)u T u 兰1}
jw
锥二次规划
max{c T x ([a0]T,b°) —卩i +a：x|2 ^0,i =1,...,m}
X
a T X •
b _ pj - J i T V 三
max w
W 「L1.「L ]T V L1「L ]^「i L1】L
i 二1
二「-； ：，i =1,…,n, I 二 1,..., L
{(R -P 1)T
(VT(R -P 1) X 2
},I =1,...,L .
锥规划模型可以用已有的算法求解。

4结论：这里给出了鲁棒优化的基本算法，最新的发展和在金融上的应用。

今后的研究 方向是对鲁棒优化算法本身的研究，另一个是将其用到金融上。

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'A '
兀=
，兀
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,I=2,...,L,
P L 屮=R L
书，
n .1 T
n
I J y I I u + ? OL n -
i i
i=1
I
— -0,i 1, ..n ,1 1 ,L..., -0,i 1, ..n 1L …， -0,i
1, ..n ,n ,
1,
1L...
片1是R
L 1
的期望，V L1
是随机变量
R L 1
的协方差矩阵。

f
i
、
是随机变量的协方差。