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八年级数学人教版(上册)第2课时直角三角形的两个锐角互余
3.如图，某同学在课桌上无意中将一块三角板叠放在直尺上，则
∠1＋∠2＝( C )
A．60°
B．75°
C．90°
D．105°
第3题图
4.如图，CE，BF 是△ABC 的两条高.若∠A＝70°，∠BCE＝ 30°，则∠EBF＝ 20°，∠FBC＝ 40°.
(1)∠ACB＝ 90°.
(2)如图 2，如果 AE 是△ABC 的角平分线，AE 与 CD 相交于点 F，那么∠CFE 与∠CEF 相等吗？请说明理由.
解：∠CFE＝∠CEF， 理由：∵AE 平分∠CAB， ∴∠CAE＝∠BAE.
∵∠CDA＝∠BCA＝90°，∠DFA＝180°－(∠CDA＋∠BAE)， ∠CEA＝180°－(∠BCA＋∠CAE)，
易错点 直角三角形中的直角顶点不确定导致漏解 8.如图，已知∠AOD＝30°，点 C 是射线 OD 上的一个动点.在 点 C 的运动过程中，△AOC 恰好是直角三角形，则此时∠A 所有可 能的度数为 60°或90° .
9.下列条件：①∠A＋∠B＝∠C；②∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3；
③∠A＝90°－∠B；④3∠A＝2∠B＝∠C，其中能确定△ABC 是直
∴∠CEF＝∠DFA． ∵∠DFA＝∠CFE， ∴∠CFE＝∠CEF.
13.直线 EF，GH 之间有一个 Rt△ABC，其中∠BAC＝90°， ∠ABC＝α.
(1)如图 1，点 A 在直线 EF 上，B，C 在直线 GH 上.若∠α＝60°， ∠FAC＝30°.试说明：EF∥GH.
解：∵∠EAB＝180°－∠BAC－∠FAC，∠BAC＝90°，∠FAC ＝30°，∴∠EAB＝60°.
又∵∠ABC＝60°，∴∠EAB＝∠ABC． ∴EF∥GH.
直角三角形知识点
第一章1.1直角三角形的性质和判定1.概念：有一个内角是直角的三角形。
2.性质：（1）直角三角形的两个内角互余。
（2）直角三角形斜边中线等于斜边的一半。
（3）直角三角形两直角边的乘积等于斜边与斜边上的高的乘积。
（4）有一个角是30°的直角三角形：在直角三角形中，如果一个锐角的度数为30°，那么这个30°角所对的直角边等于斜边一半。
（逆定理：在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边一半，那么这条直角边所对应的角是30°角）。
（5）在三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，如果三角形的三边长用a、b、c来表示，那么a+b>c，a-b<c。
3.判定：有两个角互余的三角形是直角三角形。
4.特殊的直角三角形----等腰直角三角形的概念及特点：等腰直角三角形的两个锐角都是45°。
1.2 勾股定理及其逆定理1.勾股定理定义：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方。
如果直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c，那么a2+b2=c2（勾股定理应用的前提条件是在直角三角形内。
）2.勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形。
1.3 直角三角形全等的判定斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
（可以简写成“斜边、直角边定理”或者HL定理）。
1.4 角分线的性质和垂直平分线的性质1.角平分线的概念：角平分线将已知角分成两个相等的角。
2.角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等。
3.角平分线性质定理的逆定理：在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。
4.线段垂直平分线的概念：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线(中垂线)。
5.线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等。
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（完整版）三⾓形的证明详细知识点、例题、习题）,推荐⽂档第⼀章三⾓形的证明⼀、全等三⾓形（1）定义：能够完全相等的三⾓形是全等三⾓形。
（2）性质：全等三⾓形的对应边、对应⾓相等。
（3）判定：SAS、SSS、ASA、AAS、HL注：SSA,AAA不能作为判定三⾓形全等的⽅法，判定两个三⾓形全等时，必须有边的参与，若有两边⼀⾓相等时，⾓必须是两边的夹⾓证题的思路：）找任意⼀边（）找两⾓的夹边（已知两⾓）找夹已知边的另⼀⾓（）找已知边的对⾓（）找已知⾓的另⼀边（边为⾓的邻边任意⾓（若边为⾓的对边，则找已知⼀边⼀⾓）找第三边（）找直⾓（）找夹⾓（已知两边AASASAASAAASSASAASSSSHLSAS例题解析：⼆、等腰三⾓形1. 性质：等腰三⾓形的两个底⾓相等（等边对等⾓）.2. 判定：有两个⾓相等的三⾓形是等腰三⾓形（等⾓对等边）．3. 推论：等腰三⾓形顶⾓的平分线、底边上的中线、底边上的⾼互相重合（即“三线合⼀”）．4. 等边三⾓形的性质及判定定理性质定理：等边三⾓形的三个⾓都相等，并且每个⾓都等于60°；等边三⾓形是轴对称图形，有3条对称轴.判定定理：有⼀个⾓是60°的等腰三⾓形是等边三⾓形；三个⾓都相等的三⾓形是等边三⾓形.5. 含30°的直⾓三⾓形的边的性质定理：在直⾓三⾓形中，如果⼀个锐⾓等于30°，那么它所对的直⾓边等于斜边的⼀半.例题解析：三、.直⾓三⾓形1. 勾股定理及其逆定理定理：直⾓三⾓形的两条直⾓边的平⽅和等于斜边的平⽅．逆定理：如果三⾓形两边的平⽅和等于第三边的平⽅，那么这个三⾓形是直⾓三⾓形．2. 命题与逆命题命题包括题设和结论两部分；逆命题是将原命题的题设和结论交换位置得到的；3. 直⾓三⾓形全等的判定定理定理：斜边和⼀条直⾓边对应相等的两个直⾓三⾓形全等要点诠释：①勾股定理的逆定理在语⾔叙述的时候⼀定要注意，不能说成“两条边的平⽅和等于斜边的平⽅”，应该说成“三⾓形两边的平⽅和等于第三边的平⽅”例题解析四、线段的垂直平分线1. 线段垂直平分线的性质及判定性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.判定：到⼀条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 2.三⾓形三边的垂直平分线的性质三⾓形三条边的垂直平分线相交于⼀点，并且这⼀点到三个顶点的距离相等3. 如何⽤尺规作图法作线段的垂直平分线分别以线段的两个端点A、B为圆⼼，以⼤于1/2AB的长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线.要点诠释：①注意区分线段的垂直平分线性质定理和判定定理,注意⼆者的应⽤范围；②利⽤线段的垂直平分线定理可解决两条线段的和距离最短问题.例题解析五、.⾓平分线1. ⾓平分线的性质及判定定理性质：⾓平分线上的点到这个⾓的两边的距离相等；判定：在⼀个⾓的内部，且到⾓的两边的距离相等的点，在这个⾓的平分线上2. 三⾓形三条⾓平分线的性质定理性质：三⾓形的三条⾓平分线相交于⼀点，并且这⼀点到三条边的距离相等.3. 如何⽤尺规作图法作出⾓平分线要点诠释：①注意区分⾓平分线性质定理和判定定理,注意⼆者的应⽤范围；③⼏何语⾔的表述，这也是证明线段相等的⼀种重要的⽅法.遇到⾓平分线时，要构造全等三⾓形例题解析：【课堂练习】1、△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，最⼩边BC=4 cm，最长边AB的长是（）A.5 cmB.6 cmC.5cmD.8 cm2、如图，已知∠1＝∠2，则不⼀定．．．能使△ABD≌△ACD的条件是（）A．AB＝AC B．BD＝CDC．∠B＝∠C D．∠BDA＝∠CDA3 、如上图，点,,,B C F E 在同⼀直线上, 12∠=∠,BC FE =,1∠（填“是”或“不是”） 2∠的对顶⾓，要使ABC DEF ，还需添加⼀个条件，这个条件可以是（只需写出⼀个）． 4、已知实数x ，y 满⾜，则以x ，y 的值为两边长的等腰三⾓形的周长是（）A ． 20或16B ． 20C ． 16D ．以上答案均不对5、如图所⽰的正⽅形⽹格中，⽹格线的交点称为格点．已知A 、B 是两格点，如果C 也是图中的格点，且使得ABC ?为等腰三⾓形．．．．．，则点C 的个数是 A ．6 B ．7C ．8D ．96、⼀个等腰三⾓形静的两边长分别为5或6，则这个等腰三⾓形的周长是．7、等腰三⾓形的周长为16，其⼀边长为6，则另两边为_______________。
直角三角形边角关系知识点
直角三角形边角关系专题复习一. 知识体系：1. 三种三角函数与直角三角形中边与角的关系，在Rt△中在此应注意的问题是无论是求哪一个角的三角函数，一定要先把这个角放在直角三角形中 2. 特殊角的三角函数值3. 三角函数的有关计算（对于一般角的三角函数值可利用计算器）41 2 3 4.三角函数的应用（）测山的高度（）测楼的高度（）测塔的高度（）其它⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪题型一：三角形内的计算问题（计算三角函数值、面积等） 例1．在ABC Rt ∆中，∠C=90° ，且21sin =A ，AB=3，求BC ，AC 及B ∠.例2．已知，四边形ABCD 中，∠ABC = ∠ADB =090，AB = 5，AD = 3，BC = 32，求四边形ABCD 的面积。
例3．如图，在Rt ABC ∆中，90BCA ∠=︒，CD 是中线，5,4BC CD ==，求AC 的长。
B变式训练：1、ABC Rt ∆中，∠C=90°，AC=4，BC=3，B cos 的值为…………………【 】 A 、51 B 、53 C 、 34 D 、 432、在菱形ABCD 中，∠ABC=60° ， AC=4，则BD 的长是…………………【 】 A 、 38 B 、34 C 、32 D 、83、在ABC Rt ∆中，∠C=90° ，A tan =3，AC=10，则S △ABC 等于………【 】 A 、 ３ B 、３00 C 、350D 、1５0 4、在Rt △ABC 中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，那么锐角A 的正弦值（ ） A.扩大2倍 B.缩小2倍 C.扩大4倍 D.没有变化5、在ABC Rt ∆中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c 三边，则下列式子一定成立的是………………………………………………………………【 】 A 、B c a sin ⋅= B 、B c a cos ⋅= C 、Bac tan =D 、A a c sin ⋅= 6、等腰三角形的腰长为10cm ，顶角为120，此三角形面积为 。
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一、直角三角形的性质《解直角三角形》专题复习1、直角三角形的两个锐角互余A几何表示：【∵∠C=90°∴∠A+∠B=90°】2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
1D几何表示：【∵∠C=90°∠A=30°∴BC= AB 】23、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
几何表示：【∵∠ACB=90° D 为 AB 的中点 ∴ CD= 1 AB=BD=AD 】2C B4、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 几何表示：【在 Rt△ABC 中∵∠ACB=90° ∴ a 2 + b 2 = c 2 】5、射影定理：在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项， 每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项。
即：【∵∠ACB=90°CD⊥AB∴ CD 2 = AD • BDAC 2 = AD • AB BC 2 = BD • AB 】6、等积法：直角三角形中，两直角边之积等于斜边乘以斜边上的高。
（ a • b = c • h ）由上图可得：AB • CD=AC • BC二、锐角三角函数的概念如图，在△ABC 中，∠C=90°sin A = ∠A 的对边 =a斜边 c cos A = ∠A 的邻边 =b斜边 c tan A = ∠A 的对边 =a∠A 的邻边 b cot A = ∠A 的邻边 =b ∠A 的对边 a锐角 A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数锐角三角函数的取值范围：0≤sinα≤1，0≤cosα≤1，tanα≥0，cotα≥0.三、锐角三角函数之间的关系（1） 平方关系(同一锐角的正弦和余弦值的平方和等于 1) sin 2 A + cos 2 A = 1 （2） 倒数关系（互为余角的两个角，它们的切函数互为倒数） tanA • tan(90°—A)=1； cotA • cot(90°—A)=1； （3） 弦切关系tanA= sin A cos A cotA= cos Asin A （4） 互余关系(互为余角的两个角，它们相反函数名的值相等) sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A)30°23 60°C仰角俯角北东南iα1tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A)四、特殊角的三角函数值A说明：锐角三角函数的增减性，当角度在 0°~90°之间变化时. （1） 正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） B（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） A（3） 正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） （4） 余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）2五、 解直角三角形2 在 Rt△中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三 角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。
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三角函数1、勾股定理：直角三角形两直角边 a 、b的平方和等于斜边 c 的平方。
a 2b2c22、如下图，在 Rt△ABC中，∠ C为直角，则∠ A 的锐角三角函数为( ∠ A可换成∠ B) ：定义表达式取值范围关系（ A+B=90）正A的对边0 sin A1sin A cosB sin A斜边( ∠ A 为锐角 )弦cos A sin B 余A的邻边0 cos A1sin2 A cos2A1 cos A斜边( ∠ A 为锐角 )弦正A的对边tan A0tan A cot B tan AA 的邻边( ∠ A 为锐角 )cot A tan B切1( 倒数 )tan A余的邻边cot A0cot Acot A A tan A cot A1切的对边( ∠ A 为锐角 )A3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。
sin A cosB由 A B90B sin A cos(90A)对cos A sin B得 B90A cos A sin(90A)斜边c a 边AbC邻边4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。
tan A cot B由 A B90tan A cot(90A)cot A tan B得 B90A cot A tan(90A)5、0°、 30°、 45°、 60°、 90°特殊角的三角函数值( 重要 )三角函数0°30°45°60°90°sincostan-cot-6、正弦、余弦的增减性：当 0°≤≤ 90°时，sin随的增大而增大，cos随的增大而减小。
7、正切、余切的增减性：当0°< <90°时， tan 随的增大而增大， cot 随的增大而减小。
1、解直角三角形的定 ：已知 和角（两个，其中必有一 ）→所有未知的 和角。
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直角三角形全等的判定【知识点总结】直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）【典型例题讲解】例1：已知：如图△ABC中，BD⊥AC，CE⊥AB，BD、CE交于O点，且BD=CE 求证：OB=OC.例2：已知：Rt△ABC中，∠ACB是直角，D是AB上一点，BD=BC，过D作AB的垂线交AC于E，求证：CD⊥BE：例3：已知△ABC中，CD⊥AB于D，过D作DE⊥AC，F为BC中点，过F作FG⊥DC求证：DG=EG。
【随堂练习】1．选择：（1）两个三角形的两条边及其中一条边的对角对应相等，则下列四个命题中，真命题的个数是（）个①这两个三角形全等; ②相等的角为锐角时全等③相等的角为钝角对全等; ④相等的角为直角时全等A．0 B．1 C．2 D．3（2）在下列定理中假命题是（）A．一个等腰三角形必能分成两个全等的直角三角形B．一个直角三角形必能分成两个等腰三角形C．两个全等的直角三角形必能拼成一个等腰三角形D．两个等腰三角形必能拼成一个直角三角形（3）如图，Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=60°，延长BC到D，使CD=AC则AC：BD=（）A．1：1 B．3：1 C．4：1 D．2：3（4）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD、CE，分别是斜边AB上的高与中线，CF 是∠ACB的平分线。
则∠1与∠2的关系是（）A．∠1<∠2 B．∠1=∠2; C．∠1>∠2 D．不能确定（5）在直角三角形ABC中，若∠C=90°，D是BC边上的一点，且AD=2CD，则∠ADB 的度数是（）A．30°B．60°C．120°D．150°2．解答：（1已知：如图AB⊥BD，CD⊥BD，AB=DC求证：AD//BC.（2）如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD=BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是E、F 求证：CE=DF.B MC【课后习题】一、填空题:(每题5分,共20分)1.有________和一条________对应相等的两个直角三角形全等,简写成“斜边直角边”或用字母表示为“___________”. 2.如图,△ABC 中,∠C=90°,AM 平分∠CAB,CM= 20cm, 那么M 到AB 的距离是____cm.3.已知△ABC 和△A ′B ′C ′,∠C=∠C ′=90°,AC=A ′C ′,要判定△ABC ≌△A ′B ′C ′,必须添加条件为①________或②________或③________或④_________. 4.如图,B 、E 、F 、C 在同一直线上,AF ⊥BC 于F,DE ⊥BC 于E,AB=DC,BE=CF, 若要说明AB ∥CD,理由如下:∵AF ⊥BC 于F,DE ⊥BC 于E(已知)∴△ABF,△DCE 是直角三角形∵BE=CF(已知)∴BE+_____=CF+_______(等式性质) 即_______=___________(已证)∴Rt △ABF ≌Rt △DCE( )二、选择题:(每题5分,共25分) 5.两个直角三角形全等的条件是( )A.一锐角对应相等;B.两锐角对应相等;C.一条边对应相等;D.两条边对应相等 6.要判定两个直角三角形全等,需要满足下列条件中的()①有两条直角边对应相等; ②有两个锐角对应相等; ③有斜边和一条直角边对应相等; ④有一条直角边和一个锐角相等; ⑤有斜边和一个锐角对应相等; ⑥有两条边相等. A.6个 B.5个 C.4个 D.3个7.如图,AB ∥EF ∥DC,∠ABC=90°,AB=DC,那么图中有全等三角形( ) A.5对; B.4对; C.3对; D.2对8.已知在△ABC 和△DEF 中,∠A=∠D=90°,则下列条件中不能判定△ABC 和△DEF 全等的是( )A.AB=DE,AC=DFB.AC=EF,BC=DFC.AB=DE,BC=EFD.∠C=∠F,BC=EF9.如果两个直角三角形的两条直角边对应相等,那么两个直角三角形全等的依据是( )A.AASB.SASC.HLD.SSS三、解答题:(共55分)10.如图,△ABC 中,∠C=90°,AB=2AC,M 是AB 的中点,点N 在BC 上,MN ⊥AB.求证:AN 平分∠BAC.(7分)BA21N MCB A E FC B AEF C D11已知:如图,AB=AE,BC=ED,∠B=∠E,AF⊥CD,F为垂足,求证:CF=DF.(8分)B AE F D12知如图,AB=AC,∠BAC=90°,AE是过A点的一条直线,且B、C在DE的异侧,BD⊥AE于D,CE ⊥AE于E,求证:BD=DE+CE.(8分)BAE CD13已知如图,在△ABC中,∠BAC=2∠B,AB=2AC,求证:△ABC是直角三角形?( 8分)C14已知如图,在△ABC中,以AB、AC为直角边, 分别向外作等腰直角三角形ABE、ACF,连结EF,过点A作AD⊥BC,垂足为D,反向延长DA交EF于点M.(1)用圆规比较EM与FM的大小.(2)你能说明由(1)中所得结论的道理吗?(8分)B AE MFC D直角三角形的性质【知识点精讲】直角三角形的性质定理及其推论：①直角三角形的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半; ②推论：（1）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的一半;（2）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的角为30°.【典型例题讲解】例1：已知，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AB=8cm ，D 为AB 中点，DE ⊥AC 于E ，∠A=30°，求BC ，CD 和DE 的长例2：已知：△ABC 中，AB=AC=BC （△ABC 为等边三角形）D 为BC 边上的中点， DE ⊥AC 于E.求证：AC CE 41.例3：已知：如图AD ∥BC ，且BD ⊥CD ，BD=CD ，AC=BC. 求证：AB=BO.【随堂练习】1.△ABC 中，∠BAC=2∠B ，AB=2AC ，AE 平分∠CAB 。
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2017—2018学年寒假辅导第1讲直角萨娇新的边角关系一、知识清单梳理知识点一：锐角三角函数的定义关键点拨与对应举例1.锐角三角函数正弦: sin A＝∠A的对边斜边＝ac余弦: cos A＝∠A的邻边斜边＝bc正切: tan A＝∠A的对边∠A的邻边＝ab.根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.2.特殊角的三角函数值度数三角函数30°45°60°sinA 122232cosA 322212tanA 331 3知识点二：解直角三角形3.解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．科学选择解直角三角形的方法口诀：已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切；已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢；已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦.例：在Rt△ABC中，已知a=5,∠A=30°，则c=,b=.4.解直角三角形的常用关系(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2；(2)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；(3)边角之间的关系：sinA＝=cosB=ac，cosA＝sinB=bc，tanA＝ab.(4)相等的角①商的关系:tanA= ;②平方关系:sin2A+cos2A=1.(5)互余的两角:若∠A+∠B=90°,则sinA=cosB, cosA=sinB.知识点三：解直角三角形的应用5.仰角、俯角、坡度、坡角和方向角(1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角．（如图①）(2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i表示．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用α表示，则有i＝tanα. （如图②）(3)方向角：平面上，通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从点O出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角．（如图③）解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：（1）叠合式（2）背靠式解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解.6.解直角三角形实际应用的一般步骤(1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；(2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；(3)选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．二、 专题讲座专题一：锐角三角函数的概念注意：1.sinA 、∠cosA 、tanA 表示的是一个整体，是两条线段的比，没有 ，这些比值只与 有关，与直角三角形的 无关2.取值范围 <sinA< ； < cosA< ； tanA> 例1．如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°．①斜边)(sin =A ＝______， 斜边)(sin =B ＝______；②斜边)(cos =A ＝______， 斜边)(cos =B ＝______；③的邻边A A ∠=)(tan ＝______，)(tan 的对边B B ∠=＝______．例2. 锐角三角函数求值：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a ＝9，b ＝12，则c ＝______，sin A ＝__ ___，cos A ＝___ ___，tan A ＝____ __， sin B ＝___ ___，cos B ＝_____ _，tan B ＝___ ___．例3．已知：如图，Rt △TNM 中，∠TMN ＝90°，MR ⊥TN 于R 点，TN ＝4，MN ＝3．求：sin ∠TMR 、cos ∠TMR 、tan ∠TMR ．类型一：直角三角形求值例4．已知Rt △ABC 中，,12,43tan ,90==︒=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ．例5.已知A ∠是锐角，178sin =A ，求A cos ，A tan 的值类型二. 利用角度转化求值：例6．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°．D 是AC 边上一点，DE ⊥AB 于E 点．DE ∶AE ＝1∶2． 求：sinB 、cosB 、tanB ．例7.如图，角α的顶点为O ，它的一边在x 轴的正半轴上，另一边OA 上有一点P （3，4），则 sin α= ．A D ECBF例7图 例8图 例9图 例13图例8.如图，菱形ABCD 的边长为10cm ，DE ⊥AB ，3sin 5A =，则这个菱形的面积= cm 2． 例9.如图，沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边的点F 处．已知8AB =，10BC =，AB=8,则tan EFC ∠的值为 ( ) Ａ．34 Ｂ．43 Ｃ．35 Ｄ．45类型三. 化斜三角形为直角三角形例10.如图，在△ABC 中，∠A=30°，∠B=45°，AC=23，求AB 的长．例11．已知：如图，△ABC 中，AC ＝12cm ，AB ＝16cm ，⋅=31sin A (1)求AB 边上的高CD ；(2)求△ABC 的面积S ；(3)求tan B ．例12．已知：如图，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝10，AC ＝5．求：sin ∠ABC 的值．类型四：利用网格构造直角三角形例13如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sinA 的值为（ ） A ．12 B ．55 C ．1010D ．255对应训练：1．在Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，若BC ＝1，AB =5，则tan A 的值为（ ）A ．55 B ．255 C ．12D ．2 2．在△ABC 中，∠C =90°，sin A=53，那么tan A 的值等于（ ） A ．35 B. 45 C. 34 D. 433. 如图，在等腰直角三角形ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，D 为AC 上一点，若1tan 5DBA ∠= ，则AD 的长为( ) A ．2 B ．2 C ．1 D ．224. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =8，∠A 的平分线AD =3316；求∠B 的度数及边BC 、AB 的长.DABC5．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，点D 在BC 边上，且△ABD 是等边三角形．若AB=2，求△ABC 的周长．（结果保留根号）6．已知：如图，△ABC 中，AB ＝9，BC ＝6，△ABC 的面积等于9，求sin B ．7. 在△ABC 中，∠A=60°，AB=6 cm ，AC=4 cm ，则△ABC 的面积是 （ ）A.23 cm 2B.43 cm 2C.63 cm 2D.12 cm 28．如图，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sin A =_______.9．如图，A 、B 、C 三点在正方形网络线的交点处，若将ABC ∆绕着点A 逆时针旋转得到''B AC ∆，则'tan B 的值为（ ） A.41 B. 31 C.21D. 110．正方形网格中，AOB ∠如图放置，则tan AOB ∠的值是（ ）A ．5 5 B. 2 5 5 C.12D. 2CB A ABO专题二：特殊角的三角函数值当 时，正弦和正切值随着角度的增大而 余弦值随着角度的增大而例1．求下列各式的值．（1）︒-︒+︒60tan 45sin 230cos 2 （2）︒-︒+︒30cos 245sin 60tan 2（3）3－1+(2π－1)0－33tan30°－tan45°(4)30tan 2345sin 60cos 221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛︒-︒+︒+ (5) tan 45sin 301cos 60︒+︒-︒；例2．求适合下列条件的锐角α ． (1)21cos =α (2)33tan =α (3)222sin =α(4)33)16cos(6=- α （5）已知α 为锐角，且3)30tan(0=+α，求αtan 的值（6）在ABC ∆中，若0)22(sin 21cos 2=-+-B A ，B A ∠∠，都是锐角，求C ∠的度数.例3. 三角函数的增减性 1．已知∠A 为锐角，且sin A <21，那么∠A 的取值范围是（ ） A. 0°< ∠A < 30° B. 30°< ∠A ＜60° C. 60°< ∠A < 90° D. 30°< ∠A < 90° 2. 已知∠A 为锐角，且030sin cos <A ，则 （ ）A. 0°<∠ A < 60°B. 30°<∠ A < 60°C. 60°< ∠A < 90°D. 30°<∠ A < 90°例4. （三角函数在几何中的应用）已知：如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于E ，BE ＝16cm ，⋅=1312sin A 求此菱形的周长．对应练习：1.计算：10123tan 45(2 1.41)3-⎛⎫--++- ⎪⎝⎭2.计算：1201314.330sin 21）（）（-++---π3.计算：212322cos602°. 4计算：(2014－5)0－(cos60°)-2＋38－3tan30°；5.计算：6.计算：|1﹣|﹣（）﹣1﹣4cos30°+（π﹣3.14）0．7.已知α是锐角，且sin(α+15°)=32． 计算10184cos ( 3.14)tan 3απα-⎛⎫---++ ⎪⎝⎭的值．8．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，3==BC AC ，作∠DAC ＝30°，AD 交CB 于D 点，求： (1)∠BAD ； (2)sin ∠BAD 、cos ∠BAD 和tan ∠BAD ．9. 已知：如图△ABC 中，D 为BC 中点，且∠BAD ＝90°，31tan =∠B ，求：sin ∠CAD 、cos ∠CAD 、tan ∠CAD ．10. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，53sin =B ，点D 在BC 边上，DC= AC = 6，求tan ∠BAD 的值．11.（本小题5分）如图，△ABC 中，∠A=30°，3tan 2B =，43AC =．求AB 的长.DCBAACB专题三：解直角三角形的应用例1．（2012•福州）如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（）例1图例2图A．200米B．200米C．220米D．100（）米例2．如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1：3，堤坝高BC=50m，则应水坡面AB的长度是（）A．100m B．1003m C．150m D．503m例3. “兰州中山桥”位于兰州滨河路中段白搭山下、金城关前，是黄河上第一座真正意义上的桥梁，有“天下黄河第一桥”之美誉。
(完整版)第十八章三角形知识点总结
(完整版)第十八章三角形知识点总结一、基本概念三角形是由三条线段所围成的封闭图形，它是几何学中非常重要的一个概念。
在研究三角形知识时，需要掌握以下基本概念：1. 三边：三角形由三条线段组成，分别称为三边。
记作AB、BC、CA，也可以用小写字母a、b、c表示。
三边：三角形由三条线段组成，分别称为三边。
记作AB、BC、CA，也可以用小写字母a、b、c表示。
2. 三角形的顶点：三角形的一个角的顶点叫做该三角形的顶点，记作A。
三角形的顶点：三角形的一个角的顶点叫做该三角形的顶点，记作A。
3. 三个内角：三角形内部的角叫做三角形的内角。
记作∠B、∠C、∠A，也可以用小写字母α、β、γ表示。
三个内角：三角形内部的角叫做三角形的内角。
记作∠B、∠C、∠A，也可以用小写字母α、β、γ表示。
4. 三个外角：三角形内部每个内角的补角叫做该内角的外角。
记作∠∠B、∠∠C、∠∠A。
三个外角：三角形内部每个内角的补角叫做该内角的外角。
记作∠∠B、∠∠C、∠∠A。
二、三角形的分类根据三边的关系，三角形可以分为以下几种类型：1. 等边三角形：三条边的边长相等，记作ABC。
等边三角形的每个内角都是60°，每个外角都是120°。
等边三角形：三条边的边长相等，记作ABC。
等边三角形的每个内角都是60°，每个外角都是120°。
2. 等腰三角形：两条边的边长相等，记作ABC。
等腰三角形的底边上的两个角是等角。
等腰三角形：两条边的边长相等，记作ABC。
等腰三角形的底边上的两个角是等角。
3. 直角三角形：其中一个角是直角（90°），记作ABC。
直角三角形的斜边是其他两条边的最长边。
直角三角形：其中一个角是直角（90°），记作ABC。
直角三角形的斜边是其他两条边的最长边。
4. 锐角三角形：三个内角都是锐角（小于90°）的三角形。
锐角三角形：三个内角都是锐角（小于90°）的三角形。
人教版九年级下册数学作业课件 第28章解直角三角形 (2)
(2)∠A＝22°，AB＝10.(sin22°≈0.37，cos22°≈0.93， tan22°≈0.40，其中结果精确到 0.1) 解：在 Rt△ABC 中，∠B＝90°－∠A＝90°－22°＝68°. ∵∠A＝22°，AB＝10， ∴AC＝cosA·AB＝cos22°·10≈0.93×10＝9.3， BC＝AB·sinA＝10·sin22°≈0.37×10＝3.7.
又∵∠CDE＝90°，CD＝4，sinE＝CD，∠E＝30°， CE
∴CE＝sCinDE＝sin430°＝41＝8. 2
∴BC＝BE－CE＝6 3－8.
(2)若 sinA＝45，求 AD 的长． 解：∵∠ABE＝90°，AB＝6，sinA＝45＝BAEE， ∴设 BE＝4x，AE＝5x，则 AB＝3x. ∴3x＝6，得 x＝2. ∴BE＝8，AE＝10.
10．如图，在四边形 ABCD 中，AB＝2，BC＝CD＝ 2 3 ， ∠B ＝ 90°， ∠C ＝ 120°， 则 线 段 AD 的 长 为 7. 解析：如图，连接 AC. 在 Rt△ABC 中， ∵∠B＝90°，AB＝2，BC＝2 3， ∴tan∠ACB＝BACB＝223＝ 33.
∴∠ACB＝30°. ∴AC＝2AB＝4. ∵∠BCD＝120°. ∴∠ACD＝∠BCD－∠ACB＝120°－30°＝90°. 在 Rt△ADC 中， ∵∠ACD＝90°，AC＝4，CD＝2 3， ∴AD＝ AC2＋CD2＝ 42＋（2 3）2＝2 7.
解：在
Rt△ABC
中，∠C＝90°，tanA＝
3， 3
∴∠A＝30°，∠ABC＝60°.
∵BD 是∠ABC 的平分线，
∴∠CBD＝∠ABD＝30°.
又∵CD＝ 3， ∴BC＝taCn3D0°＝3. 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°， ∴AB＝siBn3C0°＝6.
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a A
∠的对边
(1)角A的正弦：锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，
即sinA＝
(2)角A的余弦：锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，
即cosA＝
(3)角A的正切：锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作t an A，
即t an A＝
(4)角A的余切：锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作c ot A，
即c ot A＝
2.直角三角形中的边角关系
(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2
(2)锐角之间的关系：A＋B＝90°
(3)边角之间的关系：
sinA＝cosB＝，cosA＝sinB＝
t an A＝c ot B＝， cot A＝t an B＝
3.三角函数的关系
(1)同角的三角函数的关系
1)平方关系：sinA2＋cosA2＝1
2)倒数关系：t an A·c ot A＝1
3)商的关系：t an A＝，c ot A＝
(2)互为余角的函数之间的关系
sin(90°－A)＝cosA，cos(90°－A)＝sinA
t an(90°－A)＝c ot A， cot(90°－A)＝t an A
4．一些特殊角的三角函数值
角函数值都是正值
即
(3)坡角:坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母α表示，则tanα＝
(4)方位角:从某点的指北方向线，按顺时针方向转到目标方向线所成的角.。
(完整版)第一章直角三角形的性质与判定复习
17第一章直角三角形的性质与判定复习一、知识点总结1、直角三角形的性质：（1） __________________________________________ 在直角三角形中，两锐角 ；（2） 在直角三角形中，斜边上的中线等于 __________ ■勺一半； （3） 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°,那么它所对的直角边等于 （4） 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边 所对的角等于 ___________ 。
（5） 在直角三角形中，两条直角的平方和等于 ____ 的平方。
勾股定理 2、 直角三角形的判定： （1） 有一个角等于 _______ 的三角形是直角三角形； （2） 有两个角 ___________ ■勺三角形是直角三角形； （3） 如果三角形一边上的中线等于这条边的 ________ 那么这个三角形是 直角三角形。
（3）如果一个三角形中其中两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这 个三角形是直角三角形。
3、 常用的勾股数据：⑴ 3,4,5⑵ 5,12,13 ⑶ 2,1, .3 ⑷ 1,1, . 2一、选择题（本大题共14小题，共 1. 下列各组数中，是勾股数的（ A.12 , 15, 18 B.11 , 60, 61 42.0 分)) C.15 , 2. 下列四组数中，不是勾股数的一组数是（ A. a=8, b=15, c=17C.a=7, b=24, c=25 16, 17 )B.a=9, D. a=3, D.12， 35，36b=12, b=5, c=7 c=15 3. 若直角三角形的三边长为偶数，则这三边的边长可能是（ ） A.3 , 4, 5 B.6 , 8, 10 C.7 , 24, 29 D.8, 12, 20 4. 分别以下列各组数据为三角形三边的长度，那么不能构成直角三角形的是（ A.3 , 4, 5B.5 , 12 , 13 5. 下列各组数中不是勾股数的是（ A.3 , 4 , 5 B.4 , 5 , 6 6. 下列几组数：①7 , 24 , 25;②8 , 于1的正整数）.其中是勾股数的有（A.1 组B.2组 7. 在下列各组数中，是勾股数的一组是C.7, 13, 15 )D.8 ，15，17 A.0.3、0.4、0.5 5、4 8. 下列不能组成直角三角形三边长的是 A.5, 12 , 13B.6 , 8 , 10C.5 , 12 , 17;③9 , )C.3组)15, ) C.9 ，16, 13 40, C.2521D.6 , 8, 10 241 :④ n -1 , 2n , D.4组、7、24D.8，15,已知大正方9. 如图，是4个全等的直角三角形镶嵌而成的正方形图案， 形的面积为49 ,小正方形的面积为 4 ,若用x , y 表示直角三角形的两2n +1 （n 是大D.6、条直角边（x >y ），请观察图案，指出下列关系式不正确的是（ 2 2 A. x +y =49 B. x-y=2 C.2xy+4=49 D.x+y=13 10. 如果一个直角三角形的两边分别是 2、5，那么第三边的平方是 A.21 B.26 C.29 D.21 或 29 11. 下列各组数中，以 a 、b 、c 为边的三角形不是直角三角形的是（ A.a=, 2 一， b =2 ， c=2 . c= ■ C.a=・■，b=・、，c=m c=13 12. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ A.1.5，2，3 D.a=5, b=12. B a = . , b=2, 13. △ ABC D E 分别为 A.6 B.4 14. 如图，△ ABC 中，点 四边形EBCF 面积为（A.4B.6 B.4，5，5C.2， AB AC 中点，S ^ABC =8， C.2 ） 3，4 D.1， 则厶DEC 的面积为D.1 E 、F 分别为AB AC 中点，△ AEF 面积为 ） C.8 D.10 二、填空题（本大题共16小题，共48.0分） 15. 如图，在菱形 ABCD 中, AC 若OE=2则菱形ABCD 的周长是 16. 等腰三角形的顶角是 120°， _____ cm .2 2 2 217. 观察下列各式：3 +4 =5 ; 8 +6=10 ; 15+8=17; 中的规律？请用你发现的规律写出接下来的式子： 18. 写四组勾股数组. _________ ， ______ ， _______ , ________ . 19. 如图，OP=1,过P 作PP 丄OP 得 OR=JJ ；再过 R 作P 1P 2丄OP 且 RP 2=1,得OP=.;又过P 2作 P 2P 3丄OB 且卩2卩3=1,得OP=2;…依此 法继续作下去，若△ OPnPn +1的面积大于6时，n 至少是 ______________________ . 20. 如图，在 Rt ^ABC 中，/ ACB=90 AC=3 BC=4,分别以 AB AC BC 为边在AB 同侧作正方形ABEF ACPQ BDMC 记四块阴影部分的面积分别为 S3、S,贝y s+s+s+s= ________ . BD 相交于点O E 为AB 的中点, 底边上的高是 3cm , 则腰长为 2 2 2 24+10=26 ； P：S 、S 2、2, B…；你有没有发现其21. 如图，直线11、12、13分别过正方形 ABCD 的三个顶点 A, B , D,且相互平行， 若11与12的距离为1, 12与13的距离为1,则该正方形的面积是 ___________ . 22. 如图所示，矩形纸片 ABCD 中, AB=6cm , BC=8bm ,现将其沿EF 对折，使得 点C 与点A 重合，则EF 长为 ________ cm .23. 如图，一透明的圆柱体玻璃杯，从内部测得底部直径为6cm，杯深8cm•今有一根长为16cm的吸管如图放入杯中，露在杯口外的长度为h，则h的变化范围是： __________ 24. △ ABC的3条边的长分别为6、8、10,与其相似的△ DEF的最长边为15，则△ DEF的最短边为_______ , △ DEF的面积为 _______ •25. 如图，在△ ABC中，E, D, F分别是AB, BC, CA的中点，AC=4 BC=5, AB=6则四边形AEDF的周长是_______ •26. 如图，在?ABCD中, E、F分别是AD CD的中点，EF与BD相交于点M 若厶DEM的面积为1，则？ABCD勺面积为27. 如图，四边形ABCD中，/ A=90°, AB=2 - , AD=2点M N分别为线段BC, AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E, F分别是DMMN的中点，贝U EF长度的最大值为______ •28. 如图，在△ ABC中，D, E分别是AB, AC的中点，那么△ ADE与四边形DBCE的面积之比是_______ •29. 已知三角形3条中位线的比为3: 5: 6,三角形的周长是112cm,这三条中位线长分别是_________ •30. 如图，在△ ABC中，D、E、F分别是各边的中点，AH是高,/ DHF=50，/ DAF= ______ °.、解答题（本大题共14小题，共112.0分）31.如图1,将两个完全相同的三角形纸片/ B=Z E=30°,（1）操作发现：如图2,固定△ ABC 使厶DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB 边上时，①厶ADC是______ 三角形；②设△ BDC的面积为$,△ AEC的面积为S2,那么S与Sa的数量关系是ABC和DEC重合放置，其中/ C=9C° ,（2）猜想论证当△ DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1 ）中S与S 的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△ BDC和厶AEC中BC CE边上的高，请你证明小明的猜想.（3）拓展探究，如图4,已知/ ABC=60，点D是角平分线上一点，BD=CD=4 DE// AB 交BC于点E （如图4）•若在射线BA上存在点F,使S^DCF=S A BDE，请直接写出相应的BF32. 已知：如图，在△ ABC 中，/B=90 , AB=$m , BC=cm .点 p 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，同时点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动.当一个点到达终点时另 一点也随之停止运动，设运动时间为 x 秒， (1) 求几秒后，AP BQ 的面积等于6cm 2? (2) 求几秒后，PQ 的长度等于5cm ?(3) 运动过程中，△ PQB 的面积能否等于 8cm 2?说明理由.33.如图，每个小正方形的边长都是1,(1) 求四边形 ABCD 勺周长和面积；2)Z BCD 是直角吗？34. 如图〔，△ ACB 和△ ECD 都是等腰直角三角形， CA=CB CE=CD ACB 的顶点 A 在厶ECD的长. A的斜边DE 上(1) 求证：Al+A[j=2AC ;(2) 如图2,若AE=2 AC=2 ，点F 是AD 的中点，直接写出 CF 的长是A ----- > p B35. 如图四边形ABCD中, / C=90 , BC=1, DC=2 AB= ,AD=3,求出这个四边形的面积.36. 如图，在△ ABC 中，D 为BC上一点，且AB=5 BD=3AD=4,且厶ABC的周长为18,求AC的长和△ ABC的面积.37.如图所示，在厶ABC中，AB: BC CA-3: 4: 5且周长为36cm，C 点P从点A开始沿AB边向B点以每秒2cm的速度移动，点Q从/点C沿CB边向点B以每秒1cm的速度移动，如果同时出发，则/过3秒时，求△ BPQ的面积. /A p >38. 如图：正方形网格中每个小方格的边长为均1,且点A、B、C为格点.(1)求厶ABC的面积；(2)通过计算判断△ ABC的形状；.3)求AB边上的高.39. 如图，△ ABC中，AB=5cm , BC=Mm, AC=£m，若动点P从点C开始，按C^A^B的路径运动，且速度为每秒2cm，设出发的时间为t秒.(1)请判断△ ABC的形状，说明理由.(2)当t= ______ 时，△ BCP是以BC为腰的等腰三角形.3)另有一点Q,从点C开始，按 3B T A^C的路径运动，且速度为每秒1cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动.当t为何值时，P、Q两点之间的距离为？B40.已知a、b、c满足(a-7.5 ) 2+ +| c-8.5|=0 .求:(1)a、b、c 的值；(2)求以a、b、c为边构成的三角形面积.41.如图，△ ABC 中，/ C=Rt Z, AB=5cm, BC=©m，若动点P从点C开始，按C^A T B—C的路径运动，且速度为每秒1cm,设出发的时间为t秒.(1)出发2秒后，求△ ABP的周长.(2)问t满足什么条件时，△ BCP为直角三角形？3)另有一点Q,从点C开始，按C—B—A—C的路径运动，且速度为每秒2cm,若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动.当t为何值时，直线卩0把厶ABC的周长分成相等的两部分？42.如图，在△ ABC 中，AB=30cm, BC=35：m , Z B=60°，有一动点M自A向B以1cm/s的速度运动，动点N自B向C以2cm/s的速度运动，若M, N同时分别从A, B出发.(1)经过多少秒，△ BMN为等边三角形；2)经过多少秒，△ BMN为直角三角形.43.如图，在△ ABC中，D、E是AB AC中点，AG为BC边上的中线，DE AG相交于点0,求证：AG与DE互相平分.44.如图，已知正方形ABCD和正方形AEFG连结BE DG(1)求证：BE=DG BE! DG(2)连接BD EG DE,点MN P分别是BD EG DE的中点，连接MP PN, MN求证：△ MPN是等腰直角三角形；(3)若AB=4, EF=2J空,/ DAE=45 ,直接写出MN=。
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解三角形是指已知三角形的一些边长或角度，求解其他未知边长或角度的过程。
在解三角形时，常用的方法包括正弦定理、余弦定理、正切定理以及解直角三角形的特殊方法。
一、正弦定理：
在三角形ABC中，已知边长a、b和夹角C，可以使用正弦定理求解另外两个夹角A和B，以及未知边c的长度。
正弦定理的公式如下：sinA/a = sinB/b = sinC/c
二、余弦定理：
在三角形ABC中，已知边长a、b和夹角C，可以使用余弦定理求解另外两个边c和未知夹角A、B。
余弦定理的公式如下：
a² = b² + c² - 2bc*cosA
b² = a² + c² - 2ac*cosB
c² = a² + b² - 2ab*cosC
三、正切定理：
在三角形ABC中，已知边长a、b和夹角C，可以使用正切定理求解未知边c和另外两个夹角A、B。
正切定理的公式如下：
tanA = (b*sinC)/(a+b*cosC)
tanB = (a*sinC)/(b+a*cosC)
c = (a+b)/(tanA+tanB)
四、直角三角形的解法：
若已知一个直角三角形的两个直角边a、b，可以使用勾股定理求解斜边c的长度。
勾股定理的公式如下：
c=√(a²+b²)
在解三角形问题时，可以根据已知条件和需要求解的未知量选择合适的定理应用，从而得出答案。
(完整版)三角形知识点总结
三角形知识点总结一、基础知识1、三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.（三角形有三条边，三个内角，三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角;相邻两边的公共端点是三角形的顶点）2、三角形的表示三角形ABC用符号表示为△ABC，三角形ABC的边AB可用边AB所对的角C的小写字母c表示，AC可用b表示，BC可用a表示.三个顶点用大写字母A,B,C来表示。
（1）三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；（2）三角形是一个封闭的图形；（3）注意：△ABC是三角形ABC的符号标记，单独的△没有意义3、三角形的分类：（1）按边分类：等腰三角形、等边三角形、不等边三角形（2）按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形4、三角形的主要线段的定义：（1）三角形的中线：三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段．如图：（1）AD是△ABC的BC上的中线.（2）BD=DC= BC.注意：①三角形的中线是线段；②三角形三条中线全在三角形的内部且交于三角形内部一点（重心）③中线把三角形分成两个面积相等的三角形．（2）三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段如图：（1）AD是△ABC的∠BAC的平分线.（2）∠1=∠2= ∠BAC.注意：①三角形的角平分线是线段；②三角形三条角平分线全在三角形的内部且交于三角形内部一点（内心）③角平分线上的点到角的两边距离相等（3）三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．如图：①AD是△ABC的BC上的高线；②AD⊥BC于D；③∠ADB=∠ADC=90°.注意：①三角形的高是线段；②锐角三角形的三条高的交点在三角形内部；钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部：直角三角形的三条高的交点在直角顶点上。
三角形三条高所在直线交于一点（垂心）③由于三角形有三条高线，所以求三角形的面积的时候就有三种（因为高底不一样）（4）三角形的中垂线：过三角形一条边中点所做的垂直于该条边的线段如图：DE是△ABC的边BC的中垂线；DE⊥BC于D；BD=DC注意：①三角形的中垂线是直线；②三角形的三条中垂线交于一点（外心）小总结：内心：三条角平分线的交点,也是三角形内切圆的圆心.性质：到三边距离相等.外心：三条中垂线的交点,也是三角形外接圆的圆心.性质：到三个顶点距离相等.重心：三条中线的交点.性质：三条中线的三等分点,到顶点距离为到对边中点距离的2倍.垂心：三条高所在直线的交点.5、三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边.注意：（1）三边关系的依据是：两点之间线段最短；（2）围成三角形的条件是任意两边之和大于第三边．6、三角形的角与角之间的关系：(1)三角形三个内角的和等于180;(2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；(3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.(4)直角三角形的两个锐角互余.7、三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°．推论：直角三角形的两个锐角互余。
直角三角形知识点
直角三角形知识点1. 定义直角三角形是三个角中有一个角是直角（即90度）的三角形。
在这种三角形中，两个较小的角相加等于90度，因为三角形内角和总是180度。
2. 边的分类直角三角形的边可以分为三类：- 斜边（Hypotenuse）：最长的边，对直角的对边。
- 直角边（Legs）：另外两个较短的边，它们与直角相邻。
3. 毕达哥拉斯定理毕达哥拉斯定理是直角三角形的一个基本定理，它表明直角三角形斜边的平方等于两个直角边平方的和。
用公式表示为：c² = a² + b²其中，c 表示斜边的长度，a 和 b 表示两个直角边的长度。
4. 边的比例关系在直角三角形中，边的比例关系可以用相似三角形来描述。
如果两个直角三角形相似，那么它们的对应边长比是相等的。
5. 角度关系直角三角形中的角度关系遵循三角形内角和定理。
除了一个90度的直角外，另外两个角的度数之和也是90度。
6. 三角函数在直角三角形中，三角函数（正弦、余弦、正切）可以用来描述角度和边长之间的关系。
例如：- 正弦（Sin）：对边与斜边的比值。
- 余弦（Cos）：邻边与斜边的比值。
- 正切（Tan）：对边与邻边的比值。
7. 面积计算直角三角形的面积可以通过以下公式计算：面积 = (1/2) * 底 * 高其中，底和高是直角三角形的两个直角边。
8. 应用直角三角形在现实生活中有广泛的应用，如建筑设计、工程测量、物理问题解决等领域。
了解和掌握直角三角形的性质对于解决这些问题至关重要。
9. 勾股定理证明毕达哥拉斯定理有多种证明方法，其中一种常见的证明是通过重新排列图形来展示面积的相等性。
通过构建两个相同的直角三角形，并将它们以不同的方式拼接，可以直观地展示斜边平方等于两直角边平方和的结论。
10. 特殊直角三角形某些直角三角形具有特殊的边长比例，如3-4-5和5-12-13三角形，它们是毕达哥拉斯三元组的例子，其中边长都是整数。
总结直角三角形是数学中的一个基本概念，它的属性和定理在科学、工程和日常生活中有着广泛的应用。
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初中几何图形知识点归纳三角形知识点、概念总结1. 三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2. 三角形的分类(1)三角形按逆分董如下(不尊三荊形.底和膜不等的等腰三角形三轴形 寻腰壬莆开丸等边三角黔3. 三角形的三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。
4. 高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。
5. 中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。
6. 角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
7.三角形技角分棗如下：，直荊三角形|(視擀三角形 钝惭三甬瞩 料三甬形8. 三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。
9. 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180推论1直角三角形的两个锐角互余推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和推论3三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；三角形的内角和是外角和的一半10. 三角形的外角：三角形的一条边与另一条边延长线的夹角，叫做三角形的外角。
11. 三角形外角的性质（1）顶点是三角形的一个顶点，一边是三角形的一边，另一边是三角形的一边的延长线;（2 ）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；（3）三角形的一个外角大于与它不相邻的任一内角；（4）三角形的外角和是360 °。
四边形（含多边形）知识点、概念总结一、平行四边形的定义、性质及判定1. 两组对边平行的四边形是平行四边形。
2. 性质：（1）平行四边形的对边相等且平行（2）平行四边形的对角相等，邻角互补（3）平行四边形的对角线互相平分3. 判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形4. 对称性：平行四边形是中心对称图形二、矩形的定义、性质及判定1. 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形2. 性质：矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等3. 判定：（1）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（2）有三个角是直角的四边形是矩形（3）两条对角线相等的平行四边形是矩形4. 对称性：矩形是轴对称图形也是中心对称图形。
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第一章
1.1直角三角形的性质和判定
1.概念：有一个内角是直角的三角形。
2.性质：（1）直角三角形的两个内角互余。
（2）直角三角形斜边中线等于斜边的一半。
（3）直角三角形两直角边的乘积等于斜边与斜边上的高的乘积。
（4）有一个角是30°的直角三角形：在直角三角形中，如果一个锐角的度数为30°，那么这个30°角所对的直角边等于斜边一半。
（逆定理：在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边一半，那么这条直角边所对应的角是30°角）。
（5）在三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，如果三角形的三边长用a、b、c来表示，那么a+b>c，a-b<c。
3.判定：有两个角互余的三角形是直角三角形。
4.特殊的直角三角形----等腰直角三角形的概念及特点：等腰直角三角形的两个锐角都是45°。
1.2 勾股定理及其逆定理
1.勾股定理定义：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方。
如果直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c，那么a2+b2=c2
（勾股定理应用的前提条件是在直角三角形内。
）
2.勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形。
1.3 直角三角形全等的判定
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
（可以简写成“斜边、直角边定理”或者HL定理）。
1.4 角分线的性质和垂直平分线的性质
1.角平分线的概念：角平分线将已知角分成两个相等的角。
2.角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等。
3.角平分线性质定理的逆定理：在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。
4.线段垂直平分线的概念：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线(中垂线)。
5.线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等。
（等边对等角，因此形成的两个角也相等）
6.线段垂直平分线性质定理的逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。