江苏省南通市2020高考数学二轮冲刺小练(20)
2020届江苏省南通市高考第二次调研数学模拟试卷有答案(精品)
南通市高三第二次调研测试数学Ⅰ参考公式：柱体的体积公式V Sh =柱体，其中S 为柱体的底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{}{} 1012 3 10 2 U A =-=-，，，，，，，，则U A =ð▲． 2．已知复数12i34i z a z =+=-，，其中i 为虚数单位．若12z z 为纯虚数，则实数a 的值为▲． 3．某班40名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间[]40100，上，其频率分布直方图如图所示， 则成绩不低于60分的人数为▲．4．如图是一个算法流程图，则输出的S 的值为▲．5．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，以线段AC ，BC 为邻边作矩形，则该矩形的面积 大于32 cm 2的概率为▲．6．在ABC △中，已知145AB AC B ===︒，，则BC 的长为▲．7．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 与双曲线2213y x -=有公共的渐近线，且经过点()2P -，则双曲线C 的焦距为▲．/分（第3题）8．在平面直角坐标系xOy 中，已知角αβ，的始边均为x 轴的非负半轴，终边分别经过点 (12)A ，，(51)B ，，则tan()αβ-的值为▲．9．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若396S S S ，，成等差数列，且83a =，则5a 的值为▲． 10．已知a b c ，，均为正数，且4()abc a b =+，则a b c ++的最小值为▲．11．在平面直角坐标系xOy 中，若动圆C上的点都在不等式组33030x x x ⎧⎪+⎨⎪++⎩≤，≥，≥表示的平面区域内，则面积最大的圆C 的标准方程为▲．12．设函数31e 02()320x x f x x mx x -⎧->⎪=⎨⎪--⎩≤，，，（其中e 为自然对数的底数）有3个不同的零点，则实数 m 的取值范围是▲．13．在平面四边形ABCD 中，已知1423AB BC CD DA ====，，，，则AC BD ⋅u u u r u u u r的值为▲．14．已知a为常数，函数()f x =23-，则a 的所有值为▲．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，设向量()cos sin αα=，a ，()sin cos ββ=-，b，()12=-c ．（1）若+=a b c ，求sin ()αβ-的值；（2）设5π6α=，0πβ<<，且()//+a b c ，求β的值．16．（本小题满分14分）如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB = AC ，点E ，F 分别在棱BB 1 ，CC 1上（均异于 端点），且∠ABE =∠ACF ，AE ⊥BB 1，AF ⊥CC 1． 求证：（1）平面AEF ⊥平面BB 1C 1C ；（2）BC // 平面AEF ．17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，B 1，B 2是椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的短轴端点，P 是椭圆上异于点B 1，B 2的一动点．当直线PB 1的方程为3y x =+时，线段PB 1的长为AA 1B 1C 1B CFE（第16题）（第18题）（1）求椭圆的标准方程；（2）设点Q 满足：11QB PB ⊥，22QB PB ⊥．求证：△PB 1B 2与△QB 1B 2的面积之比为定值．18．（本小题满分16分）将一铁块高温融化后制成一张厚度忽略不计、面积为100 dm 2的矩形薄铁皮（如图），并沿虚线l 1，l 2裁剪成A ，B ，C 三个矩形（B ，C 全等），用来制成一个柱体．现有两种方案： 方案①：以1l 为母线，将A 作为圆柱的侧面展开图，并从B ，C 中各裁剪出一个圆形作为圆 柱的两个底面；方案②：以1l 为侧棱，将A 作为正四棱柱的侧面展开图，并从B ，C 中各裁剪出一个正方形 （各边分别与1l 或2l 垂直）作为正四棱柱的两个底面．（1）设B ，C 都是正方形，且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱的底面，求底面半径；（2）设1l 的长为x dm ，则当x 为多少时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大？19．（本小题满分16分）设等比数列a 1，a 2，a 3，a 4的公比为q ，等差数列b 1，b 2，b 3，b 4的公差为d ，且10q d ≠≠，．记i i i c a b =+（i = 1，2，3，4）．（1）求证：数列123c c c ，，不是等差数列； （2）设11a =，2q =．若数列123c c c ，，是等比数列，求b 2关于d 的函数关系式及其定义域； （3）数列1234c c c c ，，，能否为等比数列？并说明理由．20．（本小题满分16分）设函数()sin (0)f x x a x a =->．（1）若函数()y f x =是R 上的单调增函数，求实数a 的取值范围；（第17题）0（2）设1()()ln 1(0)2a g x f x b x b b ==++∈≠R ，，，()g x '是()g x 的导函数．①若对任意的0()0x g x '>>，，求证：存在0x ，使0()0g x <；② 若1212()()()g x g x x x =≠，求证：2124x x b <．南通市高三第二次调研测试数学Ⅱ（附加题）若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，A ，B ，C 是⊙O 上的3个不同的点，半径OA 交弦BC 于点D ． 求证：22DB DC OD OA ⋅+=．B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）换1T ，在平面直角坐标系xOy 中，已知(00)(30)(22)A B C ，，，，，．设变2T 对应的矩阵分别为1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，2001⎡⎤=⎢⎥⎣⎦N ，求对△ABC 依次实施变换1T ，2T 后所得图形的面积．C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，求以点()23P π，为圆心且与直线l ：()sin 23ρθπ-=相切的圆的极坐标方程．D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知a ，b ，c 为正实数，且12a b c ++=2．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）ABDOC（第21—A 题）在某公司举行的年终庆典活动中，主持人利用随机抽奖软件进行抽奖：由电脑随机生成一张 如图所示的3⨯3表格，其中1格设奖300元，4格各设奖200元，其余4格各设奖100元， 点击某一格即显示相应金额．某人在一张表中随机不重复地点击3格，记中奖总金额为X 元． （1）求概率(600)P X =；（2）求X 的概率分布及数学期望()E X ．23．（本小题满分10分） 已知212012(1)n x a a x a x ++=+++ (21)21n n a x+++，*n ∈N ．记0(21)nn n k k T k a -==+∑．（1）求2T 的值；（2）化简n T 的表达式，并证明：对任意的*n ∈N ，n T 都能被42n +整除．南通市高三第二次调研测试 数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．已知集合{}{} 1012 3 10 2 U A =-=-，，，，，，，，则U A =ð▲．【答案】{}13，2．已知复数12i 34i z a z =+=-，，其中i 为虚数单位．若12z z 为纯虚数，则实数a 的值为▲． 【答案】433．某班40名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间[]40100，上，其频率分布直方图如图 所示，则成绩不低于60分的人数为▲．【答案】304．如图是一个算法流程图，则输出的S 的值为▲． 【答案】1255．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，以线段AC ，BC 为邻边作矩形，则该矩形的面积大于32 cm 2的概率为▲． 【答案】136．在ABC △中，已知145AB AC B ===︒，，则BC 的长为▲．7．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 与双曲线2213y x -=有公共的渐近线，且经过点()2P -，则双曲线C 的焦距为▲． 【答案】8．在平面直角坐标系xOy 中，已知角αβ，的始边均为x 轴的非负半轴，终边分别经过点 (12)A，，(51)B ，，则tan()αβ-的值为▲．/分（第3题）【答案】979．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若396S S S ，，成等差数列，且83a =，则5a 的值为▲． 【答案】6-10．已知a b c ，，均为正数，且4()abc a b =+，则a b c ++的最小值为▲． 【答案】811．在平面直角坐标系xOy 中，若动圆C上的点都在不等式组33030x x x ⎧⎪+⎨⎪++⎩≤，≥，≥表示的平面区域内，则面积最大的圆C 的标准方程为▲． 【答案】22(1)4x y -+=12．设函数31e 02()320x x f x x mx x -⎧->⎪=⎨⎪--⎩≤，，，（其中e 为自然对数的底数）有3个不同的零点， 则实数m 的取值范围是▲． 【答案】()1+∞，13．在平面四边形ABCD 中，已知1423AB BC CD DA ====，，，，则AC BD ⋅u u u r u u u r的值为▲．【答案】1014．已知a为常数，函数()f x =23-，则a 的所有值为▲．【答案】144，二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，设向量()cos sin αα=，a ，()sin cos ββ=-，b ，()12=-c ．（1）若+=a b c ，求sin ()αβ-的值；（2）设5π6α=，0πβ<<，且()//+a b c ，求β的值．解：（1）因为()cos sin αα=，a ，()sin cos ββ=-，b，()12=-c ，所以1===a b c ，且cos sin sin cos sin ()αβαβαβ⋅=-+=-a b ． ……3分因为+=a b c ，所以22+=a bc ，即a 2+ 2a ⋅b + b 2= 1，所以12sin ()11αβ+-+=，即1sin ()2αβ-=-．……6分（2）因为5π6α=，所以()12=，a ．依题意，()1sin cos 2ββ+=--，b c ．……8分因为()//+a b c，所以)()11cos sin 022ββ-+--=．化简得，11sin 22ββ=，所以()π1sin 32β-=．…… 12分因为0πβ<<，所以ππ2π333β-<-<．所以ππ36β-=，即π2β=．…… 14分16．（本小题满分14分）如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB = AC ，点E ，F 分别在棱BB 1 ，CC 1上（均异 于端点），且∠ABE =∠ACF ，AE ⊥BB 1，AF ⊥CC 1． 求证：（1）平面AEF ⊥平面BB 1C 1C ；（2）BC // 平面AEF ．证明：（1）在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，BB 1 // CC 1． 因为AF ⊥CC 1，所以AF ⊥BB 1．…… 2分 又AE ⊥BB 1，AE I AF A =，AE ，AF ⊂平面AEF ， 所以BB 1⊥平面AEF ．…… 5分又因为BB 1⊂平面BB 1C 1C ，所以平面AEF ⊥平面BB 1C 1C ．…… 7分 （2）因为AE ⊥BB 1，AF ⊥CC 1，∠ABE =∠ACF ，AB = AC ， 所以Rt △AEB ≌Rt △AFC ． 所以BE = CF ．…… 9分 又由（1）知，BE // CF ． 所以四边形BEFC 是平行四边形． 从而BC // EF ．…… 11分又BC ⊄平面AEF ，EF ⊂平面AEF ， 所以BC // 平面AEF ．…… 14分17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，B 1，B 2是椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的短轴端点，P 是椭圆上异于点B 1，B 2的一动点．当直线PB 1的方程为3y x =+时，线段PB 1的长为AA 1B 1C 1B CFE （第16题）（1）求椭圆的标准方程；（2）设点Q 满足：11QB PB ⊥，22QB PB ⊥．求证：△PB 1B 2与△QB 1B 2的面积之比为定值． 解：设()00P x y ，，()11Q x y ，．（1）在3y x =+中，令0x =，得3y =，从而b = 3． …… 2分由222193y x a y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()222319x x a ++=． 所以20269a x a =-+．…… 4分因为10PB x ==，所以2269a a=+，解得218a =． 所以椭圆的标准方程为221189y x +=．…… 6分 （2）方法一： 直线PB 1的斜率为1003PB y k x -=， 由11QB PB ⊥，所以直线QB 1的斜率为1003QB x k y =--． 于是直线QB 1的方程为：0033x y x y =-+-． 同理，QB 2的方程为：0033x y x y =--+．…… 8分 联立两直线方程，消去y ，得20109y x x -=．…… 10分因为()00P x y ，在椭圆221189y x +=上，所以22001189x y +=，从而220092x y -=-． 所以012x x =-．…… 12分 所以1212012PB B QB B S xS x ∆∆==．…… 14分 方法二：设直线PB 1，PB 2的斜率为k ，k '，则直线PB 1的方程为3y kx =+． 由11QB PB ⊥，直线QB 1的方程为13y x k=-+．将3y kx =+代入221189y x +=，得()2221120k x kx ++=， （第17题）0（第18题）因为P 是椭圆上异于点B 1，B 2的点，所以00x ≠，从而0x =21221k k -+．…… 8分 因为()00P x y ，在椭圆221189y x +=上，所以22001189x y +=，从而220092x y -=-． 所以2000200033912y y y k k x x x -+-'⋅=⋅==-，得12k k '=-．…… 10分 由22QB PB ⊥，所以直线2QB 的方程为23y kx =-．联立1323y x k y kx ⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩，则2621k x k =+，即12621k x k =+．…… 12分 所以1212201212212621PB B QB B k S xk S x kk ∆∆-+===+．…… 14分18．（本小题满分16分）将一铁块高温融化后制成一张厚度忽略不计、面积为100 dm 2的矩形薄铁皮（如图），并沿 虚线l 1，l 2裁剪成A ，B ，C 三个矩形（B ，C 全等），用来制成一个柱体．现有两种方案： 方案①：以1l 为母线，将A 作为圆柱的侧面展开图，并从B ，C 中各裁剪出一个圆形作为圆柱的两个底面；方案②：以1l 为侧棱，将A 作为正四棱柱的侧面展开图，并从B ，C 中各裁剪出一个正方形（各边分别与1l 或2l 垂直）作为正四棱柱的两个底面．（1）设B ，C 都是正方形，且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱的底面，求底面半径；（2）设1l 的长为x dm ，则当x 为多少时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大？ 解：（1）设所得圆柱的半径为r dm ，则()2π24100r r r +⨯=， (4)分解得r =6分（2）设所得正四棱柱的底面边长为a dm ，则21004x a a a x ⎧⎪⎨⎪-⎩≤≤，，即220.x a a x ⎧⎪⎨⎪⎩≤≤， (9)分 方法一：所得正四棱柱的体积3204400x x V a x x x⎧<⎪=⎨⎪>⎩≤≤，，……11分记函数304()400x x p x x x⎧<⎪=⎨⎪>⎩≤，， 则()p x在(0，上单调递增，在)⎡+∞⎣上单调递减，所以当x =max ()p x =所以当x =a =max V=3．…… 14分 方法二：202a x a≤≤，从而a 11分所得正四棱柱的体积()222020V a x a a a ==≤≤．所以当a =x =max V=3．…… 14分答：（1dm ；（2）当x 为 16分 【评分说明】①直接“由()21002xx x ⋅+=得，x=2分；②方法一中的求解过程要体现()p x V ≤≤，凡写成()p x V =≤5分， 其它类似解答参照给分．19．（本小题满分16分）设等比数列a 1，a 2，a 3，a 4的公比为q ，等差数列b 1，b 2，b 3，b 4的公差为d ，且10q d ≠≠，． 记i i i c a b =+（i = 1，2，3，4）．（1）求证：数列123c c c ，，不是等差数列； （2）设11a =，2q =．若数列123c c c ，，是等比数列，求b 2关于d 的函数关系式及其定义域； （3）数列1234c c c c ，，，能否为等比数列？并说明理由． 解：（1）假设数列123c c c ，，是等差数列， 则2132c c c =+，即()()()2211332a b a b a b +=+++．因为12b b ，，3b 是等差数列，所以2132b b b =+．从而2132a a a =+．……2分 又因为12a a ，，3a 是等比数列，所以2213a a a =． 所以123a a a ==，这与1q ≠矛盾，从而假设不成立．所以数列123c c c ，，不是等差数列．……4分 （2）因为11a =，2q =，所以12n n a -=．因为2213c c c =，所以()()()2222214b b d b d +=+-++，即223b d d =+，……6分 由2220c b =+≠，得2320d d ++≠，所以1d ≠-且2d ≠-．又0d ≠，所以223b d d =+，定义域为{}120d d d d ∈≠-≠-≠R ，，．……8分 （3）方法一：设c 1，c 2，c 3，c 4成等比数列，其公比为q 1， 则1111111221111331111=2=3=.a b c a q b d c q a q b d c q a q b d c q +=⎧⎪++⎪⎨++⎪⎪++⎩①②③④，，，……10分将①+③－2×②得，()()2211111a q c q -=-，⑤将②+④－2×③得，()()22111111a q q c q q -=-，⑥……12分 因为10a ≠，1q ≠，由⑤得10c ≠，11q ≠． 由⑤⑥得1q q =，从而11a c =．……14分 代入①得10b =．再代入②，得0d =，与0d ≠矛盾． 所以c 1，c 2，c 3，c 4不成等比数列．……16分方法二：假设数列1234c c c c ，，，是等比数列，则324123c c c c c c ==．……10分 所以32432132c c c c c c c c --=--，即32432132a a d a a d a a d a a d -+-+=-+-+． 两边同时减1得，321432213222a a a a a a a a d a a d-+-+=-+-+．……12分 因为等比数列a 1，a 2，a 3，a 4的公比为q ()1q ≠，所以()321321213222q a a a a a a a a d a a d-+-+=-+-+． 又()23211210a a a a q -+=-≠，所以()2132q a a d a a d -+=-+，即()10q d -=． ……14分这与1q ≠，且0d ≠矛盾，所以假设不成立．所以数列1234c c c c ，，，不能为等比数列．……16分20．（本小题满分16分）设函数()sin (0)f x x a x a =->．（1）若函数()y f x =是R 上的单调增函数，求实数a 的取值范围；（2）设1()()ln 1(0)2a g x f xb x b b ==++∈≠R ，，，()g x '是()g x 的导函数．①若对任意的0()0x g x '>>，，求证：存在0x ，使0()0g x <；② 若1212()()()g x g x x x =≠，求证：2124x x b <． 解：（1）由题意，()1cos 0f x a x '=-≥对x ∈R 恒成立，因为0a >，所以1cos x a≥对x ∈R 恒成立，因为()max cos 1x =，所以11a ≥，从而01a <≤．……3分（2）①()1sin ln 12g x x x b x =-++，所以()11cos 2b g x x x '=-+．若0b <，则存在02b ->，使()()11cos 0222b b g '-=---<，不合题意，所以0b >．……5分 取30e bx -=，则001x <<．此时()30000111sin ln 11ln 10222b g x x x b x b e -=-++<+++=-<．所以存在00x >，使()00g x <．……8分 ②依题意，不妨设120x x <<，令21x t x =，则1t >． 由（1）知函数sin y x x =-单调递增，所以2211sin sin x x x x ->-． 从而2121sin sin x x x x ->-．……10分因为()()12g x g x =，所以11122211sin ln 1sin ln 122x x b x x x b x -++=-++，所以()()()2121212111ln ln sin sin 22b x x x x x x x x --=--->-． 所以212120ln ln x x b x x -->>-．……12分下面证明2121ln ln x x x x ->-1ln t t ->()ln 0t <*．设())ln 1h t t t =>，所以()210h t -'=<在()1+∞，恒成立．所以()h t 在()1+∞，单调递减，故()()10h t h <=，从而()*得证．所以2b ->2124x x b <．……16分数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，A ，B ，C 是⊙O 上的3个不同的点，半径OA 交弦BC 于点D ． 求证：22DB DC OD OA ⋅+=． 证明：延长AO 交⊙O 于点E ，则()()DB DC DE DA OD OE OA OD ⋅=⋅=+⋅-．……5分因为OE OA =，所以()()22DB DC OA OD OA OD OA OD ⋅=+⋅-=-． 所以22DB DC OD OA ⋅+=．……10分B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知(00)(30)(22)A B C ，，，，，．设变换1T ，2T 对应的矩 阵分别为1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，2001⎡⎤=⎢⎥⎣⎦N ，求对△ABC 依次实施变换1T ，2T 后所得图形的面积． 解：依题意，依次实施变换1T ，2T 所对应的矩阵=NM 201020010202⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦． ……5分则20000200⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，20360200⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，20240224⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦． 所以(00)(30)(22)A B C ，，，，，分别变为点(00)(60)(44)A B C '''，，，，，． 从而所得图形的面积为164122⨯⨯=．……10分C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，求以点()23P π，为圆心且与直线l ：()sin 23ρθπ-=相切的圆的极坐标方程．解：以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴，建立平面直角坐标系xOy ．ABDC（第21—A 题）EO则点P的直角坐标为()1．……2分将直线l ：()sin 23ρθπ-=的方程变形为：sin cos cos sin 233ρθρθππ-=，40y -+=．……5分所以()1P 到直线l40y -+=2=．故所求圆的普通方程为()(2214x y -+=．……8分化为极坐标方程得，()π4sin 6ρθ=+．……10分D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知a ，b ，c 为正实数，且12a b c ++=2． 证明：因为a ，b ，c 为正实数，=2=（当且仅当a b c ==取“=”）．……10分【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应 写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）在某公司举行的年终庆典活动中，主持人利用随机抽奖软件进行抽奖：由电脑随机生成一张如图所示的3⨯3表格，其中1格设奖300元，4格各设奖200元，其余4格各设奖100元，点击某一格即显示相应金额．某人在一张表中随机不重复地点击3格，记中奖的总金额为X 元． （1）求概率()600P X =；（2）求X 的概率分布及数学期望()E X ．解：（1）从3⨯3表格中随机不重复地点击3格，共有39C 种不同情形． 则事件：“600X =”包含两类情形： 第一类是3格各得奖200元；第二类是1格得奖300元，一格得奖200元，一格得奖100元，其中第一类包含34C 种情形，第二类包含111144C C C ⋅⋅种情形．所以()3111414439C C C C 560021C P X +⋅⋅===．……3分 （2）X 的所有可能值为300，400，500，600，700．则()3439C 413008421C P X ====，()121439C C 242400847C P X ⋅====， ()1212144439C C C C 3055008414C P X ⋅+⋅====，()121439C C 637008442C P X ⋅====． 所以X 的概率分布列为：……8分所以()12553300400500600700500217142142E X=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）． ……10分23．（本小题满分10分） 已知212012(1)n x a a x a x ++=+++ (21)21n n a x+++，*n ∈N ．记0(21)nn n k k T k a -==+∑．（1）求2T 的值；（2）化简n T 的表达式，并证明：对任意的*n ∈N ，n T 都能被42n +整除． 解：由二项式定理，得21C i i n a +=（i =0，1，2，…，2n +1）．（1）210221055535C 3C 5C 30T a a a =++=++=；…… 2分（2）因为()()()()()12121!1C 11!!n kn n n k n k n k n k ++++++=++⋅++-()()()()212!!!n n n k n k +⋅=+-()221C n kn n +=+， …… 4分所以()021nn n k k T k a -==+∑()21021C nn kn k k -+==+∑ ()121021C nn k n k k +++==+∑ ()()12102121C nn k n k n k n +++==++-+⎡⎤⎣⎦∑ ()()112121021C21C nnn kn kn n k k n k n ++++++===++-+∑∑()()12210221C21C nnn k n knn k k n n ++++===+-+∑∑()()()2212112212C 21222n n n n n n +=+⋅⋅+-+⋅⋅ ()221C n n n =+． …… 8分()()()()1221212121C 21C C 221C n n n nn n n n n T n n n ----=+=++=+． 因为21C n n *-∈N ，所以n T 能被42n +整除．…… 10分。
江苏省南通市2020届高三第二次模拟考试(5月)数学
2020届高三模拟考试试卷数 学(满分160分，考试时间120分钟)2020．5参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝圆柱的体积公式：V圆柱＝Sh ，其中S 是圆柱的底面积，h 为高．圆柱的侧面积公式：S 圆柱侧＝cl ，其中c 是圆柱底面的周长，l 为母线长．球的体积公式：V 球＝43πR 3，球的表面积公式：S 球＝4πR 2，其中R 为球的半径．一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合M ＝{－2，－1，0，1}，N ＝{x|x 2＋x ≤0}，则M ∩N ＝________．2. 已知复数a ＋i2＋i为纯虚数，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是________．3. 某同学5次数学练习的得分依次为114，116，114，114，117，则这5次得分的方差是________． Read xIf x ＜0 Then m ←2x ＋1 Elsem ←2－3x End If Print m(第4题)4. 根据如图所示的伪代码，当输入的x 为－1时，最后输出m 的值是________．5. 在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为5，则该双曲线的渐近线的方程是____________．6. 某同学参加“新冠肺炎防疫知识”答题竞赛活动，需从4道题中随机抽取2道作答．若该同学会其中的3道题，则抽到的2道题他都会的概率是________．7. 将函数f(x)＝sin(2x ＋π3)的图象向右平移φ个单位长度得到函数g(x)的图象．若g(x)为奇函数，则φ的最小正值是________．8. 已知非零向量b 与a 的夹角为120°，且|a|＝2，|2a ＋b|＝4，则|b|＝________．9. 已知等比数列{a n }的各项均为正数，且8a 1，a 3，6a 2成等差数列，则a 7＋2a 8a 5＋2a 6的值是________．10. 在平面直角坐标系xOy 中，已知过点(－10，0)的圆M 与圆x 2＋y 2－6x －6y ＝0相切于原点，则圆M 的半径是________．11. 唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺．它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度)，如图2所示．已知球的半径为R ，酒杯内壁表面积为143πR 2.设酒杯上部分(圆柱)的体积为V 1，下部分(半球)的体积为V 2，则V 1V 2的值是________．12. 已知函数f(x)＝log a x(a>1)的图象与直线y ＝k(x －1)(k ∈R )相交．若其中一个交点的纵坐标为1，则k ＋a 的最小值是________．13. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4x ＋1，x ≥0，（x ＋2）2，x<0.若关于x 的不等式f(x)－mx －m －1<0(m ∈R )的解集是(x 1，x 2)∪(x 3，＋∞)，x 1<x 2<x 3，则m 的取值范围是________．14. 如图，在△ABC 中，AC ＝32BC ，点M ，N 分别在AC ，BC 上，且AM ＝13AC ，BN ＝12BC.若BM 与AN 相交于点P ，则CPAB的取值范围是________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (本小题满分14分)在斜三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c. (1) 若2acos C ＝b ，且sin 2C ＝sin Asin B ，求B 的值； (2) 若cos(2A ＋B)＋3cos B ＝0，求tan Atan C 的值．16. (本小题满分14分)如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，平面ACC 1A 1⊥平面BCC 1B 1，侧面BCC 1B 1是矩形，点E ，F 分别为BC ，A 1B 1的中点．求证：(1) BC ⊥AC 1；(2) EF ∥平面ACC 1A 1.17.(本小题满分14分)如图，某森林公园内有一条宽为100米的笔直的河道(假设河道足够长)，现拟在河道内围出一块直角三角形区域养殖观赏鱼．三角形区域记为△ABC，A到河两岸的距离AE，AD相等，B，C分别在两岸上，AB⊥AC.为方便游客观赏，拟围绕△ABC区域在水面搭建景观桥．为了使桥的总长度l(即△ABC的周长)最短，工程师设计了以下两种方案：方案1：设∠ABD＝α，求出l关于α的函数解析式f(α)，并求出f(α)的最小值．方案2：设EC＝x米，求出l关于x的函数解析式g(x)，并求出g(x)的最小值．请从以上两种方案中自选一种解答．(注：如果选用了两种方案解答，则按第一种解答计分)18. (本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>0，b>0)短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，两准线之间的距离为833.(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 直线l ：y ＝kx ＋m(k>0，m ≠0)与椭圆C 交于P ，Q 两点，设直线OP ，OQ 的斜率分别为k 1，k 2.已知k 2＝k 1·k 2.①求k 的值；②当△OPQ 的面积最大时，求直线PQ 的方程．19. (本小题满分16分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，λa n ＋1＋S n ·S n ＋2＝S 2n ＋1，n ∈N *，λ∈R . (1) 若λ＝－3，a 2＝－1，求a 3的值；(2) 若数列{a n }的前k 项成公差不为0的等差数列，求k 的最大值；(3) 若a 2>0，是否存在λ∈R ，使{a n }为等比数列？若存在，求出所有符合题意的λ的值；若不存在，请说明理由．20. (本小题满分16分)对于定义在D 上的函数f(x)，若存在k ∈R ，使f(x)<kx 恒成立，则称f(x)为“m(k)型函数”；若存在k ∈R ，使f(x)≥kx 恒成立，则称f(x)为“M(k)型函数”．已知函数f(x)＝(1－2ax)ln x(a ∈R )．(1) 设函数h 1(x)＝f(x)＋1(x ≥1)．若a ＝0，且h 1(x)为“m(k)型函数”，求k 的取值范围；(2) 设函数h 2(x)＝f(x)＋1x .求证：当a ＝－12时，h 2(x)为“M(1)型函数”；(3) 若a ∈Z ，求证：存在唯一整数a ，使得f(x)为“m(14)型函数”．2020届高三模拟考试试卷(十四)数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A ，B ，C 三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修42：矩阵与变换)已知矩阵A 的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3221.(1) 求矩阵A ；(2) 若向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，计算A 2α.B. (选修44：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝12t(t 为参数)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos (θ＋π3)．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最大值．C. (选修45：不等式选讲)若实数x ，y ，z 满足x ＋2y ＋3z ＝1，求x 2＋y 2＋z 2的最小值．【必做题】 第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y 2＝2px(p>0)，过点M(4p ，0)的直线l 交抛物线于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)两点．当AB 垂直于x 轴时，△OAB 的面积为2 2.(1) 求抛物线的方程；(2) 设线段AB 的垂直平分线交x 轴于点T. ①求证：y 1y 2为定值；②若OA ∥TB ，求直线l 的斜率．23. 设n ∈N *，k ∈N ，n ≥k.(1) 化简：C k n ＋1·C k ＋1n ＋1C k n ·C k ＋1n ＋2；(2) 已知(1－x)2n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2n x 2n ，记F(n)＝(n ＋1)ka k.求证：F(n)能被2n ＋1整除．2020届高三模拟考试试卷(南通)数学参考答案及评分标准1. {－1，0}2. －123. 854. 325. y ＝±2x6. 12 7. π6 8. 4 9. 16 10. 52 11. 2 12. 313. (0，2)∪(2，3) 14. (15，2)15. 解： (1) 在△ABC 中，由余弦定理得2a·a 2＋b 2－c 22ab ＝b ，化简得a 2＝c 2，即a ＝c.(2分)因为sin 2C ＝sin Asin B ，且a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R(R 为△ABC 外接圆半径)，所以c 2＝ab ，(4分)所以c ＝a ＝b ，所以△ABC 为正三角形， 所以B ＝π3.(6分)(2) 因为cos(2A ＋B)＋3cos B ＝0，且B ＝π－(A ＋C)， 所以cos[π＋(A －C)]＋3cos[π－(A ＋C)]＝0，(8分) 所以cos(A －C)＝－3cos(A ＋C)，(10分)即cos Acos C ＋sin Asin C ＝－3cos Acos C ＋3sin Asin C ， 所以2cos Acos C ＝sin Asin C ．(12分)在斜三角形ABC 中，因为A ≠π2，C ≠π2，所以cos A ≠0，cos C ≠0，所以tan Atan C ＝2.(14分)16. 证明：(1) 因为侧面BCC 1B 1是矩形，所以BC ⊥CC 1.因为平面ACC 1A 1⊥平面BCC 1B 1，平面ACC 1A 1∩平面BCC 1B 1＝C 1C ，BC ⊂平面BCC 1B 1， 所以BC ⊥平面ACC 1A 1.(4分) 因为AC 1⊂平面ACC 1A 1， 所以BC ⊥AC 1.(6分)(2) 取A 1C 1的中点G ，连结FG ，CG.在△A 1B 1C 1中，点F ，G 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点， 所以FG ∥B 1C 1，且FG ＝12B 1C 1.(8分)在矩形BCC 1B 1中，点E 是BC 的中点， 所以EC ∥B 1C 1，且EC ＝12B 1C 1，所以EC ∥FG ，且EC ＝FG.(10分) 所以四边形EFGC 为平行四边形， 所以EF ∥GC.(12分)因为EF ⊄平面ACC 1A 1，GC ⊂平面ACC 1A 1， 所以EF ∥平面ACC 1A 1.(14分) 17. 解：方案1：因为AB ⊥AC ， 所以∠EAC ＋∠BAD ＝90°.在Rt △ABD 中，∠ABD ＋∠BAD ＝90°， 所以∠EAC ＝∠ABD ＝α，α∈(0，π2)．(2分)因为AD ＝AE ＝50，在Rt △ADB 和Rt △AEC 中，AB ＝50sin α，AC ＝50cos α，(4分) 所以BC ＝（50sin α）2＋（50cos α）2＝501sin 2α＋1cos 2α＝50sin αcos α， 所以f(α)＝50(1sin α＋1cos α＋1sin αcos α)＝50(sin α＋cos α＋1sin αcos α)，其中α∈(0，π2)．(7分)(解法1)设t ＝sin α＋cos α，则t ＝sin α＋cos α＝2sin (α＋π4)．因为α∈(0，π2)，所以t ∈(1，2]．(9分)因为t 2＝1＋2sin αcos α，所以sin αcos α＝t 2－12，所以y ＝50（t ＋1）t 2－12＝100t －1，(12分)所以当t ＝2时，f (α)min ＝1002－1＝100＋100 2. 答：景观桥总长度的最小值为(100＋1002)米．(14分)(解法2)f′(α)＝50（cos α－sin α）（－1－sin αcos α－sin α－cos α）（sin αcos α）2.(10分)因为α∈(0，π2)，所以－1－sin αcos α－sin α－cos α<0，(sin αcos α)2>0.当α∈(0，π4)时，cos α－sin α>0，f ′(α)<0，f (α)单调递减；当α∈(π4，π2)时，cos α－sin α<0，f ′(α)>0，f (α)单调递增．(12分)所以当α＝π4时，f (α)取得最小值，最小值为(100＋1002)米．答：景观桥总长度的最小值为(100＋1002)米．(14分) 方案2：因为AB ⊥AC ，所以∠EAC ＋∠BAD ＝90°. 在Rt △ABD 中，∠ABD ＋∠BAD ＝90°， 所以∠EAC ＝∠ABD ， 所以Rt △CAE ∽Rt △ABD, 所以AC AB ＝ECAD.(2分)因为EC ＝x ，AC ＝AE 2＋EC 2＝ 2 500＋x 2，AD ＝50， 所以AB ＝50 2 500＋x 2x .(4分)BC ＝AB 2＋AC 2＝5 000＋x 2＋2 5002x 2＝x ＋2 500x， 所以g(x)＝ 2 500＋x 2＋50 2 500＋x 2x ＋(x ＋2 500x)，x>0.(7分)因为x>0， 所以g(x)≥2 2 500＋x 2·50 2 500＋x 2x＋2x·2 500x(10分)＝250（2 500x＋x ）＋100≥250×22 500x·x ＋100＝1002＋100.(12分) 当且仅当 2 500＋x 2＝50 2 500＋x 2x ，且2 500x ＝x ，即x ＝50时取“＝”．所以g(x)min ＝100＋1002，答：景观桥总长度的最小值为(100＋1002)米．(14分) 18. 解：(1) 设椭圆的焦距为2c ，则c 2＝a 2－b 2.因为短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，所以c ＝3b. 又两准线间的距离为833，则2a 2c ＝833，所以a ＝2，b ＝1，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(3分)(2) ① 设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y 得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，Δ＝64k 2m 2－4(4k 2＋1)(4m 2－4)>0，化简得m 2<4k 2＋1， 所以x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.又OP 的斜率k 1＝y 1x 1，OQ 的斜率k 2＝y 2x 2，所以k 2＝k1·k 2＝y 1y 2x 1x 2＝（kx 1＋m ）（kx 2＋m ）x 1x 2＝k 2x 1x 2＋km （x 1＋x 2）＋m 2x 1x 2，(6分) 化简得km(x 1＋x 2)＋m 2＝0， 所以km·－8km4k 2＋1＋m 2＝0.因为m ≠0，即4k 2＝1，又k>0，所以k ＝12.(8分)②由①得k ＝12，直线PQ 的方程为y ＝12x ＋m ，且x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2－2，m 2<2.又m ≠0，所以0<||m < 2.所以PQ ＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝52|x 1－x 2|＝52（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝5·2－m 2，(10分)点O 到直线PQ 的距离d ＝|m|12＋（12）2＝25|m|，(12分) 所以S △OPQ ＝12PQ ·d ＝12×5·2－m 2·25|m|＝m 2（2－m 2）≤m 2＋（2－m 2）2＝1，当且仅当m 2＝2－m 2，即m ＝±1时，△OPQ 的面积最大， 所以直线PQ 的方程为y ＝12x ±1.(16分)19. 解：记λa n ＋1＋S n ·S n ＋2＝S 2n ＋1为(*)式．(1) 当λ＝－3时，(*)式为－3a n ＋1＋S n ·S n ＋2＝S 2n ＋1， 令n ＝1得－3a 2＋S 1·S 3＝S 22，即－3a 2＋a 1·(a 1＋a 2＋a 3)＝(a 1＋a 2)2. 由已知a 1＝1，a 2＝－1，解得a 3＝－3.(2分)(2) 因为前k 项成等差数列，设公差为d ，则a 2＝1＋d ，a 3＝1＋2d. 若k ＝3，则S 2＝2＋d ，S 3＝3＋3d.在(*)式中，令n ＝1得λa 2＋S 1·S 3＝S 22，所以λ(1＋d)＋3＋3d ＝(2＋d)2，化简得d 2＋d ＋1＝λ(1＋d) ①.(4分) 若k ＝4，则S 4＝4＋6d.在(*)式中，令n ＝2得λa 3＋S 2·S 4＝S 23，所以λ(1＋2d)＋(2＋d)(4＋6d)＝(3＋3d)2， 化简得3d 2＋2d ＋1＝λ(1＋2d) ②.②－①，得2d 2＋d ＝λd ，因为公差不为0，所以d ≠0，所以2d ＋1＝λ，代入①得d 2＋2d ＝0，所以d ＝－2，λ＝－3. 所以k ＝4符合题意．(6分)若k ＝5，则a 1＝1，a 2＝－1，a 3＝－3，a 4＝－5，a 5＝－7，S 3＝－3，S 4＝－8，S 5＝－15.在(*)式中，令n ＝3得－3a 4＋S 3S 5＝－3×(－5)＋(－3)×(－15)＝60，S 24＝(－8)2＝64， 所以－3a 4＋S 3S 5≠S 24，所以k 的最大值为4.(8分) (3) 假设存在λ∈R ，使{a n }为等比数列．设前3项分别为1，q ，q 2，则S 1＝1，S 2＝1＋q ，S 3＝1＋q ＋q 2， (*)式中，令n ＝1得λq ＋(1＋q ＋q 2)＝(1＋q)2，化简得q(λ－1)＝0. 因为q ＝a 2>0，所以λ＝1.(10分) 此时(*)式为(S n ＋1－S n )＋S n ·S n ＋2＝S 2n ＋1，即S n ＋1(S n ＋1－1)＝S n (S n ＋2－1) (**)． 由S 1＝1，S 2＝1＋a 2>1，得S 3>1; 由S 2，S 3>1得S 4>1，…依次类推，S n ≥1>0，所以(**)等价于S n ＋2－1S n ＋1＝S n ＋1－1S n ，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋1－1S n 为常数列， 所以S n ＋1－1S n ＝S 2－1S 1＝a 2.(14分)于是n ≥2时，⎩⎪⎨⎪⎧S n ＋1－1＝a 2S n ，S n －1＝a 2S n －1，两式相减得a n ＋1＝a 2·a n .因为a 2＝a 2·a 1，所以a n ＋1＝a 2·a n (n ∈N *)．又a 1，a 2≠0，所以a n ＋1a n ＝a 2(非零常数)，所以存在λ＝1，使{a n }为等比数列．(16分)20. (1)解：a ＝0时，h 1(x)＝ln x ＋1.因为h 1(x)为“m(k)型函数”，所以h 1(x)<kx 恒成立，即k>ln x ＋1x 恒成立．设g(x)＝ln x ＋1x (x ≥1)，则g′(x)＝－ln xx 2≤0恒成立，所以g(x)在[1，＋∞)上单调递减，所以g(x)≤g(1)＝1，所以k 的取值范围是(1，＋∞)．(3分)(2) 证明：当a ＝－12时，要证h 2(x)为“M(1)型函数”，即证(1＋x)ln x ＋1x ≥x ，即证(1＋x)ln x ＋1x －x ≥0.(证法1)令R(x)＝(1＋x)ln x ＋1x－x ，则R′(x)＝ln x ＋(1＋x)·1x －1x 2－1＝ln x ＋1x －1x 2＝ln x ＋x －1x 2.当x>1时，ln x>0，x －1x 2>0，则R′(x)>0；当0<x<1时，ln x<0，x －1x2<0，则R′(x)<0；所以R(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，(6分) 则R(x)≥R(1)，又R(1)＝0，所以R(x)≥0， 所以h 2(x)为“M(1)型函数”．(8分)(证法2)令F(x)＝ln x ＋1x －1x 2，则F′(x)＝1x －1x 2＋2x 3＝x 2－x ＋2x 3>0，所以函数F(x)在(0，＋∞)上单调递增，又F(1)＝0，所以当0<x<1时，R ′(x)<0，当x>1时，R ′(x)>0，所以R(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，(6分) 以下同证法1.(3) 证明：函数f(x)为“m(14)型函数”等价于p(x)＝(1－2ax)ln x －14x<0恒成立，当a ≤0时，p(e)＝(1－2ae)－e 4≥1－e4>0，不合题意；当a ≥2时，p(1e )＝2a e －1－14e ≥1e (4－e －14)>0，不合题意；(10分)当a ＝1时，(证法1)p(x)＝(1－2x)ln x －14x ，①当x ≥1或0<x ≤12时，p(x)≤0－14x<0.(12分)②当12<x<1时，1－2x<0，由(2)知ln x>x －1x ，所以p(x)<（1－2x ）（x －1）x －14x ＝－14x(3x －2)2≤0.综上，存在唯一整数a ＝1，使得f(x)为“m(14)型函数”．(16分)(证法2)p(x)＝(1－2x)ln x －14x ，p ′(x)＝－2ln x ＋1－2x x －14＝－2ln x ＋1x －94.记φ(x)＝－2ln x ＋1x －94，则φ′(x)＝－2x －1x 2<0，所以φ(x)＝p′(x)在(0，＋∞)上单调递减．易得ln x ≤x －1， 所以p′(22)＝2ln 2＋2－94≤2(2－1)＋2－94＝32－174＝288－174<0. 因为p′(12)＝2ln 2＋2－94>1＋2－94>0，所以存在唯一零点x 0∈(12，22)，使得p′(x 0)＝－2ln x 0＋1x 0－94＝0，且x 0为p(x)的最大值点，(12分)所以p(x 0)＝(1－2x 0)ln x 0－14x 0＝（1－2x 0）（1x 0－94）2－14x 0＝2x 0＋12x 0－178.注意到y ＝2x ＋12x －178在(12，22)上单调递增，所以p(x 0)<p(22)＝2＋12－178＝12(32－174)<0， 所以p(x)<0.综上，存在唯一整数a ＝1，使得f(x)为“m(14)型函数”．(16分)2020届高三模拟考试试卷(南通) 数学附加题参考答案及评分标准21. A. 解：(1) 设矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则A －1A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3221⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3a ＋2c 3b ＋2d 2a ＋c 2b ＋d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，故⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2c ＝1，2a ＋c ＝0，3b ＋2d ＝0，2b ＋d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2，c ＝2，d ＝－3，则矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2 2－3.(5分) (2) 由矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2 2－3，得A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2 2－3⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2 2－3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5－8－8 13，(8分)所以A 2α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 5－8－8 13⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－3.(10分)B. 解：由ρ＝4cos (θ＋π3)得ρ2＝4ρcos (θ＋π3)＝2ρcos θ－23ρsin θ，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋23y ＝0，即(x －1)2＋(y ＋3)2＝4，圆心(1，－3)，半径r ＝2.(3分)由直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝12t(t 为参数)得x ＝1＋3y ，所以直线l 的普通方程为x －3y －1＝0.(6分) 所以圆心(1，－3)到直线l 的距离d ＝32，(8分)所以点P 到直线l 的距离的最大值为32＋2＝72.(10分)C. 解：由柯西不等式，得(x ＋2y ＋3z)2≤(12＋22＋32)·(x 2＋y 2＋z 2)，(5分) 即x ＋2y ＋3z ≤12＋22＋32·x 2＋y 2＋z 2. 因为x ＋2y ＋3z ＝1，所以x 2＋y 2＋z 2≥114，当且仅当x 1＝y 2＝z 3，即x ＝114，y ＝17，z ＝314时取等号．综上，x 2＋y 2＋z 2的最小值为114.(10分) 22. (1) 解：当AB 垂直于x 轴时，A(4p ，22p)，B(4p ，－22p)，所以△OAB 的面积为12·AB ·OM ＝12·42p ·4p ＝82p 2＝2 2.因为p>0，所以p ＝12，所以抛物线的方程为y 2＝x.(3分)(2) ①证明：由题意可知直线l 与x 轴不垂直．由(1)知M(2，0)，设A(y 21，y 1)，B(y 22，y 2)，则k AB ＝y 1－y 2y 21－y 22＝1y 1＋y 2. 由A ，M ，B 三点共线，得y 1y 21－2＝y 2y 22－2. 因为y 1≠y 2，化简得y 1y 2＝－2.(5分) ②解：因为y 1y 2＝－2，所以B(4y 21，－2y 1)．因为线段AB 垂直平分线的方程为y －y 1＋y 22＝－(y 1＋y 2)(x －y 21＋y 222)，令y ＝0，得x T ＝y 21＋y 22＋12＝12(y 21＋4y 21＋1)．(7分) 因为OA ∥TB ，所以k OA ＝k TB ，即1y 1＝2y 112（y 21＋4y 21＋1）－4y 21，整理得(y 21＋1)(y 21－4)＝0，解得y 1＝±2，故A(4，±2)． 所以k AM ＝±1，即直线l 的斜率为±1.(10分)23. (1) 解：C k n ＋1·C k ＋1n ＋1C k n ·C k ＋1n ＋2＝（n ＋1）！k ！（n ＋1－k ）！·（n ＋1）！（k ＋1）！（n －k ）！n ！k ！（n －k ）！·（n ＋2）！（k ＋1）！（n ＋1－k ）！ ＝（n ＋1）·n ！·（n ＋1）！n ！（n ＋2）·（n ＋1）！＝n ＋1n ＋2.(3分) (2) 证明：由(1)得1C k n ＝n ＋1n ＋2·C k ＋1n ＋2C k n ＋1·C k ＋1n ＋1＝n ＋1n ＋2·C k n ＋1＋C k ＋1n ＋1C k n ＋1·C k ＋1n ＋1＝n ＋1n ＋2·(1C k n ＋1＋1C k ＋1n ＋1)．(6分) 因为k a k ＝（－1）k k C k 2n ＝2n ＋12n ＋2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤（－1）k k C k 2n ＋1＋（－1）k k C k ＋12n ＋1， 所以F(n)＝(n ＋1)k a k ＝2n ＋12·⎣⎢⎡⎦⎥⎤（－1）k k C k 2n ＋1＋（－1）k k C k ＋12n ＋1. 因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤（－1）k k C k 2n ＋1＋（－1）k k C k ＋12n ＋1＝(－1C12n＋1＋2C22n＋1＋…＋－2n＋1C2n－12n＋1＋2nC2n2n＋1)＋(－1C22n＋1＋2C32n＋1＋…＋－2n＋1C2n2n＋1＋2nC2n＋12n＋1)＝－1C12n＋1＋(2C22n＋1＋－1C22n＋1)＋…＋(2nC2n2n＋1＋－2n＋1C2n2n＋1)＋2nC2n＋12n＋1＝(－1C12n＋1＋1C22n＋1＋…＋－1C2n－12n＋1＋1C2n2n＋1)＋2nC2n＋12n＋1＝2n，所以F(n)＝(n＋1)ka k＝2n＋12·2n＝n(2n＋1)能被2n＋1整除．(10分)。
江苏省南通市2020届高三数学下学期二模考前综合练习试题含解析
【答案】
【解析】
由图可知,当直线y＝kx在直线OA与x轴（不含它们)之间时，y＝kx与y＝f(x)的图像有两个不同交点，即方程有两个不相同的实根．
8.已知关于x的不等式（ax﹣a2﹣4)（x﹣4）＞0的解集为A，且A中共含有n个整数,则当n最小时实数a的值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】
观察知各等式右边各项的系数和为1，最高次项的系数为该项次数的倒数，据此计算得到答案。
【详解】根据所给的已知等式得到:各等式右边各项的系数和为1，
最高次项的系数为该项次数的倒数，
∴A ，A 1，解得B ，所以A﹣B ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了归纳推理，意在考查学生的推理能力.
【详解】（1)因为角 为钝角， ，所以 ，
又 ，所以 ,
且 ,
所以
。
(2)因为 ，且 ,所以 ，
又 ,
则 ,
所以 .
16.如图，四棱锥V﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，对角线AC与BD交于点O，VO⊥平面ABCD,E是棱VC的中点．
（1）求证:VA∥平面BDE；
（2）求证:平面VAC⊥平面BDE．
综上所述,a＝﹣2．
故答案为:﹣2．
【点睛】本题考查了解不等式,均值不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
9。已知双曲线 （a＞0，b＞0)的两个焦点为 、 ,点P是第一象限内双曲线上的点,且 ，tan∠PF2F1＝﹣2，则双曲线的离心率为_____．
【答案】
【解析】
【分析】
根据正弦定理得 ，根据余弦定理得 2PF1•PF2cos∠F1PF2 3，联立方程得到 ，计算得到答案。
江苏南通2020 高考数学冲刺小练(2)
交 y 轴于 M , N ，且 ON 3OM ，则双曲线的离心率为
.
7．已知动圆 M 与圆 C1 : (x 1)2 y2 1 ，圆 C2 : (x 1)2 y2 25 均内切，则动圆圆心 M 的
轨迹方程是
.
8．设点 A1, 2 ，非零向量 a m, n ，若对于直线 3x y 4 0 上任意一点 P ， AP a 恒为
P
（2） FG ∥平面 EBO ．
E
F
A
G O
C
B
12. 数列{an}的前 n 项和为 Sn，若存在正整数 r，t，且 r＜t，使得 Sr＝t，St＝r 同时成立，则称数 列{an}为“M(r，t)数列”． （1）若首项为 3，公差为 d 的等差数列{an}是“M(r，2r)数列”，求 d 的值； （2）已知数列{an}为等比数列，公比为 q．若数列{an}为“M(r，2r)数列”，r≤4，求 q 的值．
2
a2 a3，a3 a4，a4 a5 成等差数列，则 q 的值为
.
6．在平面直角坐标
xOy
中，双曲线 C
:
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b
0)
的左右焦点分别为 F1, F2 , A, B
分别为
左，右顶点，点 P 为双曲线上一点，且满足 PF2 F1F2 ，点 Q 为 PF2 上一点，直线 QF1, BQ 分别
.
是 i 100 否
N N 1 i
S N T
4．高三某班级共 48 人，班主任为了解学生高考前的心理状 况，将学生按 1 至 48 的学号用系统抽样方法抽取 6 人进行
T
T
i
1 1
输出 S 结束
调查，若抽到的最大学号为 45，则抽到的最小学号为
2020年江苏高考数学第二轮复习专题训练含解析
高考冲刺训练专题 (一 )
4 1. 中心在原点，一个顶点为 A( －3，0)，离心率为 3的双曲线的
x2 y2 方程是 9 － 7 ＝1 .
解析 ：因为双曲线的顶点为 A( －3，0)，所以双曲线的焦点在 x
x2 y2
4
轴上，所以设双曲线的方程为 a2－b2＝1，则 a＝3.又因为 e＝3，所以
4. 已知双曲线 xa22－y2＝1(a>0)的一条渐近线为 3x＋y＝0，则 a
3 ＝3.
解析 ：因为双曲线的一条渐近线方程为
y＝－
3x，且
a>0，则
b a
＝ 1a＝
3，解得
a＝
3 3.
x2 y2 5. 设双曲线 a2－b2＝1(a>0，b>0)的右焦点为 F，右准线 l 与两
条渐近线交于 P，Q 两点，如果△ PQF 是直角三角形，那么双曲线的
－ y0)，M→F2＝( 3－ x0，－y0)，所以 M→F1·M→F 2＝ x02－ 3＋ y20.因为点 M 在 双曲线上，所以 x220－ y20＝ 1，代入不等式 M→F 1·M→F 2<0，得 3y02<1，解得
3
3
－ 3 <y0< 3 .
9.
设 F1， F2 是双曲线
x2－
y2 24＝
1
的两个焦点，
P
是双曲线上的
一点，且 3PF1＝ 4PF2，则△ PF1F2 的面积为 24 .
解析 ：由题意知，双曲线的实轴长为 2，焦距为 F1F2＝2×5＝ 10，
4
1
PF1－PF2＝ 3PF2－ PF2＝ 3PF2＝2，所以
江苏省南通市2020届高三第二学期阶段性模拟考试数学试题(含答案解析)
开始输出n 输入p结束n ←1, S ←0S < pn ←n + 1S ←S + 2n NY（第5题）江苏省南通市2020届高三第二学期阶段性模拟考试数 学 试 题2020.05(总分160分，考试时间120分钟)一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合{}1,2,3,4A =，{}2log (1)2B x x =-<，则A B =I ▲ ． 2．设复数2(2i)z =+（i 为虚数单位），则z 的共轭复数为 ▲ ．3．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 在直线2x ﹣y ﹣1＝0上方的概率为 ．4．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线22(0)x py p =>上纵坐标为1的一点到焦点的距离为4，则该抛物线的焦点到准线的距离为 ▲ ． 5．执行右边的程序框图，若p ＝14，则输出的n 的值为 ▲ ．6．函数22log (32)y x x =--的值域为 ▲ ．7．等差数列}{n a 中，若100119753=++++a a a a a ， 则=-1393a a ▲ ．8．现用一半径为10 cm ，面积为80π cm 2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（假定衔接部分及铁皮厚度忽略不计，且无损耗），则该容器的容积为 ▲ cm 3．9．已知() 0 αβ∈π，，，且()1tan 2αβ-=，1tan 5β=-，则tan α的值为 ▲ ．10．已知实数,x y 满足40210440x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪+-⎩≤≥≥，则3z x y =+-的取值范围是 ▲ ．11．若函数()()ππ()sin 63f x a x x =++-是偶函数，则实数a 的值为 ▲ ．12．在△ABC 中，cos 2sin sin A B C =，tan tan 2B C +=-，则tan A 的值为 ▲ ． 13．已知函数2210()0xx mx x e f x e mx x ⎧+<⎪=⎨⎪+>⎩，，，，若函数()f x 有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．14．已知[)0,2θπ∈，若关于k ()33sin cos k θθ-在(],2-∞-上恒成立，则θ的取值范围为 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，计90分. 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)已知sin cos θθ+=，ππ44θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，． （1）求θ的值；（2）设函数()22()sin sin f x x x θ=-+，x ∈R ，求函数()f x 的单调增区间．16．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形，//CD AB ，2AB CD =， AC 交BD 于O ，锐角PAD ∆所在平面PAD ⊥底面ABCD ，PA BD ⊥，点Q 在侧棱PC 上，且2PQ QC =． （1）求证：//PA 平面QBD ； （2）求证：BD AD ⊥．17．(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：224x y +=，直线l ：43200x y +-=．43()55A ，为 圆O 内一点，弦MN 过点A ，过点O 作MN 的垂线交l 于点P ． （1）若MN ∥l ，求△PMN 的面积．（2）判断直线PM 与圆O 的位置关系，并证明．18．(本小题满分16分)如图，有一正三角形铁皮余料，欲利用余料剪裁出一个矩形(矩形的一个边在三角形的边上)，并以该矩形制作一铁皮圆柱的侧面。
2020届江苏省南通市海安高级中学高三第二次模拟考试数学试题(解析版)
2020届江苏省南通市海安高级中学高三第二次模拟考试数学试题一、填空题1．设集合{}1,3A =，{}2230B x x x =--<，则A B =I ____________.【答案】{}1【解析】先解不等式2230x x --<,再求交集的定义求解即可. 【详解】由题,因为2230x x --<,解得13x -<<,即{}|13B x x =-<<, 则{}1A B =I , 故答案为:{}1 【点睛】本题考查集合的交集运算,考查解一元二次不等式.2．已知i 12i z ⋅=+（i 为虚数单位），则复数z =________． 【答案】2i - 【解析】【详解】 解：i 12i z ⋅=+Q()212122i ii z i i i++∴===- 故答案为：2i - 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，属于基础题. 3．命题“20210x x x ∃<-->，”的否定是______． 【答案】0x ∀<，2210x x --≤【解析】根据特称命题的否定为全称命题得到结果即可. 【详解】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题20210x x x ∃<-->，，则该命题的否定是：0x ∀<，2210x x --≤ 故答案为：0x ∀<，2210x x --≤． 【点睛】本题考查全称命题与特称命题的否定关系，属于基础题．4．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为__________． 【答案】56【解析】试题分析：根据题意，记白球为A ，红球为B ，黄球为12,C C ，则 一次取出2只球，基本事件为AB 、1AC 、2AC 、1BC 、2BC 、12C C 共6种， 其中2只球的颜色不同的是AB 、1AC 、2AC 、1BC 、2BC 共5种； 所以所求的概率是56P =． 【考点】古典概型概率5．“sin cos 0αα+=”是“cos20α=”的__________条件.（填写“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”之一） 【答案】充分不必要【解析】由余弦的二倍角公式可得()()22cos2cos sin cos sin cos sin 0ααααααα=-=-+=,即sin cos 0αα-=或sin cos 0αα+=,即可判断命题的关系.【详解】 由()()22cos2cossin cos sin cos sin 0ααααααα=-=-+=,所以sin cos 0αα-=或sin cos 0αα+=,所以“sin cos 0αα+=”是“cos20α=”的充分不必要条件.故答案为:充分不必要 【点睛】本题考查命题的充分条件与必要条件的判断,考查余弦的二倍角公式的应用. 6．已知等比数列的前项和为，若，则的值是 ．【答案】-2 【解析】试题分析：，【考点】等比数列性质及求和公式 7．若幂函数()a f x x =的图象经过点)122，，则其单调递减区间为_______．【答案】(0,)+∞【解析】利用待定系数法求出幂函数()f x 的解析式，再求出()f x 的单调递减区间． 【详解】解：幂函数()a f x x =的图象经过点1(2,)2，则1(2)2a=， 解得2a =-；所以2()f x x -=，其中()(),00,x ∈-∞+∞U ；所以()f x 的单调递减区间为(0,)+∞． 故答案为：(0,)+∞． 【点睛】本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题，属于基础题． 8．若函数()sin 3f x x x ωω= (x ∈R ，0>ω)满足()()02f f αβ==，，且||αβ-的最小值等于2π，则ω的值为___________. 【答案】1【解析】利用辅助角公式化简可得()2sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,由题可分析||αβ-的最小值等于2π表示相邻的一个对称中心与一个对称轴的距离为2π,进而求解即可. 【详解】由题,()sin 32sin 3f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭, 因为()0fα=,()2f β=,且||αβ-的最小值等于2π,即相邻的一个对称中心与一个对称轴的距离为2π, 所以142T π=,即2T π=,所以2212T ππωπ===,故答案为:1 【点睛】本题考查正弦型函数的对称性的应用,考查三角函数的化简.9．已知函数()2241020ax x x f x x bx c x ⎧--≥=⎨++<⎩，，，是偶函数，直线y t =与函数()y f x =的图象自左向右依次交于四个不同点A ，B ，C ，D ．若AB ＝BC ，则实数t 的值为_________． 【答案】52-【解析】由()f x 是偶函数可得0x >时恒有()()f x f x -=，根据该恒等式即可求得a ，b ，c 的值，从而得到()f x ，令()t f x =，可解得A ，B ，C 三点的横坐标，根据AB BC =可列关于t 的方程，解出即可． 【详解】解：因为()f x 是偶函数，所以0x >时恒有()()f x f x -=，即22241x bx c ax x -+=--， 所以2(2)(4)10a x b x c -+---=，所以204010a b c -=⎧⎪-=⎨⎪+=⎩，解得2a =，4b =，1c =-；所以22241,0()241,0x x x f x x x x ⎧--=⎨+-<⎩…； 由2241t x x =+-，即22410x x t +--=，解得1x =-；故1A x =--1B x =- 由2241t x x =--，即22410x x t ---=，解得1x =．故1C x =1D x =． 因为AB BC =，所以B A C B x x x x -=-252t =-， 故答案为：52-． 【点睛】本题考查函数奇偶性的性质及二次函数的图象、性质，考查学生的计算能力，属中档题．10．设集合{}1 A a =-，，e e 2a B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，（其中e 是自然对数的底数），且A B ⋂≠∅，则满足条件的实数a 的个数为______． 【答案】1【解析】可看出2aa e ≠，这样根据A B ≠∅I即可得出2a =，从而得出满足条件的实数a 的个数为1． 【详解】解：A B ≠∅Q I ， 2a ∴=或2aa e =，在同一平面直角坐标系中画出函数y x =与2xy e =的图象，由图可知y x =与2xy e =无交点， 2aa e ∴=无解，则满足条件的实数a 的个数为1． 故答案为：1． 【点睛】考查列举法的定义，交集的定义及运算，以及知道方程2xx e =无解，属于基础题．11．已知过点O 的直线与函数3xy =的图象交于A 、B 两点，点A 在线段OB 上，过A作y 轴的平行线交函数9xy =的图象于C 点，当BC ∥x 轴，点A 的横坐标是【答案】3log 2【解析】通过设出A 点坐标，可得C 点坐标，通过BC ∥x 轴，可得B 点坐标，于是再利用OA OB k k =可得答案. 【详解】根据题意，可设点(),3aA a ，则(),9aC a ,由于BC ∥x 轴，故9a CB yy ==，代入3x y =，可得2B x a =，即()2,9aB a ，由于A 在线段OB 上，故OAOB kk =，即392a aa a=，解得3log 2a =.12．设点P 在函数()1e 2xf x =的图象上，点Q 在函数()()ln 2g x x =的图象上，则线段PQ 长度的最小值为_________)1ln 2-【解析】由解析式可分析两函数互为反函数,则图象关于y x =对称,则点P 到y x =的距离的最小值的二倍即为所求,利用导函数即可求得最值. 【详解】 由题,因为()1e 2xf x =与()()ln 2g x x =互为反函数,则图象关于y x =对称, 设点P 为(),x y ,则到直线y x =的距离为d =, 设()12xh x e x =-, 则()112xh x e '=-,令()0g x ¢=,即ln 2x =, 所以当(),ln 2x ∈-∞时,()0h x '<,即()h x 单调递减；当()ln 2,x ∈+∞时,()0h x '>,即()h x 单调递增,所以()()min ln 21ln 2h x h ==-,则min d =, 所以PQ的最小值为)min 21ln 2d =-,故答案为)1ln 2- 【点睛】本题考查反函数的性质的应用,考查利用导函数研究函数的最值问题.13．设()f x 为偶函数，且当(]2,0x ∈-时，()()2f x x x =-+；当[)2x ∈+∞，时，()()()2f x a x x =--．关于函数()()g x f x m =-的零点，有下列三个命题：①当4a =时，存在实数m ，使函数()g x 恰有5个不同的零点； ②若[]01m ∀∈，，函数()g x 的零点不超过4个，则2a ≤； ③对()1m ∀∈+∞，，()4a ∃∈+∞，，函数()g x 恰有4个不同的零点，且这4个零点可以组成等差数列．其中，正确命题的序号是_______． 【答案】①②③【解析】根据偶函数的图象关于y 轴对称，利用已知中的条件作出偶函数的图象，利用图象对各个选项进行判断即可. 【详解】解：当4a =时()()[)()()[)20,2422,x x x f x x x x ⎧--∈⎪=⎨--∈+∞⎪⎩又因为()f x 为偶函数∴可画出()f x 的图象，如下所示：可知当0m =时()()g x f x m =-有5个不同的零点；故①正确； 若[]01m ∀∈，，函数()g x 的零点不超过4个， 即[]01m ∀∈，，()y f x =与y m =的交点不超过4个， 2x ∴≥时()0f x ≤恒成立又Q 当[)2x ∈+∞，时，()()()2f x a x x =-- 0a x ∴-≤在[)2x ∈+∞，上恒成立a x ∴≤在[)2x ∈+∞，上恒成立 2a ∴≤由于偶函数()f x 的图象，如下所示：直线l 与图象的公共点不超过4个，则2a ≤，故②正确； 对()1m ∀∈+∞，，偶函数()f x 的图象，如下所示：()4a ∃∈+∞，，使得直线l 与()g x 恰有4个不同的交点点，且相邻点之间的距离相等，故③正确． 故答案为：①②③ 【点睛】本题考查函数方程思想，数形结合思想，属于难题.14．已知函数()2211x kx f x x x ++=++，若对于任意正实数123,,x x x ，均存在以()()()123,,f x f x f x 为三边边长的三角形，则实数k 的取值范围是_______.【答案】1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】根据三角形三边关系可知()()()123f x f x f x +>对任意的123,,x x x 恒成立,将()f x 的解析式用分离常数法变形,由均值不等式可得分母的取值范围,则整个式子的取值范围由1k -的符号决定,故分为三类讨论,根据函数的单调性求出函数值域,再讨论k ,转化为()()12f x f x +的最小值与()3f x 的最大值的不等式,进而求出k 的取值范围. 【详解】因为对任意正实数123,,x x x ,都存在以()()()123,,f x f x f x 为三边长的三角形, 故()()()123f x f x f x +>对任意的123,,x x x 恒成立,()()222111111111k x x kx k f x x x x x x x-++-==+=+++++++,令113t x x =++≥, 则()113k y t t-=+≥, 当10k ->,即1k >时,该函数在[)3,+∞上单调递减,则21,3k y +⎛⎤∈ ⎥⎝⎦； 当1k =,即1k =时,{}1y ∈,当10k -<,即1k <时,该函数在[)3,+∞上单调递增,则2,13k y +⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭,所以,当1k >时,因为()()122423k f x f x +<+≤,()3213k f x +<≤, 所以223k +≤,解得14k <≤； 当1k =时,()()()1231f x f x f x ===,满足条件；当1k <时,()()122423k f x f x +≤+<,且()3213k f x +≤<, 所以2413k +≥,解得112k -≤<, 综上,142k -≤≤,故答案为:1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查参数范围,考查三角形的构成条件,考查利用函数单调性求函数值域,考查分类讨论思想与转化思想.二、解答题15．已知集合{}220A x x x =-->，集合(){}222550B x x k x k =+++<，k ∈R .（1）求集合B ；（2）记M A B =I ，且集合M 中有且仅有一个整数，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）5,2B k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭（2）[)(]3,23,4-⋃ 【解析】（1）由不等式22(25)50x k x k +++<可得(25)()0x x k ++<,讨论k -与52-的关系,即可得到结果；（2）先解得不等式220x x -->,由集合M 中有且仅有一个整数,当52k -<-时,则M 中仅有的整数为3-；当52k ->-时,则M 中仅有的整数为2-,进而求解即可. 【详解】解:（1）因为22(25)50x k x k +++<,所以(25)()0x x k ++<,当52k -<-,即52k >时,5,2B k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭；当52k -=-,即52k =时,B =∅； 当52k ->-,即52k <时,5,2B k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. （2）由220x x -->得()(),12,x ∈-∞-⋃+∞, 当52k -<-,即52k >时,M 中仅有的整数为3-,所以43k -≤-<-,即(]3,4k ∈； 当52k ->-,即52k <时,M 中仅有的整数为2-, 所以23k -<-≤,即[)3,2k ∈-； 综上,满足题意的k 的范围为[)(]3,23,4-⋃ 【点睛】本题考查解一元二次不等式,考查由交集的结果求参数范围,考查分类讨论思想与运算能力.16．已知()π02α∈，，()ππ2β∈，，1cos 3β=-，()7sin 9αβ+=. （1）求sin α的值； （2）求tan +2βα⎛⎫⎪⎝⎭的值.【答案】（1）13（2 【解析】（1）先利用同角的三角函数关系解得sin β和()cos αβ+,再由()sin sin ααββ=+-⎡⎤⎣⎦,利用正弦的差角公式求解即可；（2）由（1）可得tan α和tan β,利用余弦的二倍角公式求得tan 2β,再由正切的和角公式求解即可. 【详解】 解:（1）因为1,,cos 23πβπβ⎛⎫∈=-⎪⎝⎭,所以sin β 又0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,故3,22ππαβ⎛⎫+∈⎪⎝⎭,所以cos()9αβ+===-, 所以sin sin[()]sin()cos cos()sin ααββαββαββ=+-=+-+71193933⎛⎛⎫=⨯---⨯= ⎪ ⎝⎭⎝⎭（2）由（1）得,1sin3α=,0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以cos3α===,所以sintancosααα==,因为22222222cos sin1tan222cos cos sin22cos sin1tan222βββββββββ--=-==++且1cos3β=-,即221tan1231tan2ββ-=-+,解得2tan22β=,因为,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以,242βππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以tan02β>,所以tan2β=所以tan tan24tan1221tan tan122βαβαβα+⎛⎫+===⎪⎝⎭-⋅-【点睛】本题考查已知三角函数值求值,考查三角函数的化简,考查和角公式,二倍角公式,同角的三角函数关系的应用,考查运算能力.17．设数列{}n a，{}n b的各项都是正数，n S为数列{}n a的前n项和，且对任意n*∈N，都有22n n na S a=-，1b e=，21n nb b+=，lnn n nc a b=⋅（e是自然对数的底数）.（1）求数列{}n a，{}n b的通项公式；（2）求数列{}n c的前n项和n T.【答案】（1）n a n=，12nnb e-=（2）(1)21nnT n=-⋅+【解析】（1）当2n≥时,21112n n na S a---=-,与22n n na S a=-作差可得11(2)n na a n--=≥,即可得到数列{}n a是首项为1,公差为1的等差数列,即可求解；对21n nb b+=取自然对数,则1ln2lnn nb b+=,即{}lnnb是以1为首项,以2为公比的等比数列,即可求解；（2）由（1）可得1ln 2n n n n c a b n -==⋅,再利用错位相减法求解即可.【详解】解:（1）因为0n a >,22n n n a S a =-,①当1n =时,21112a S a =-,解得11a =； 当2n ≥时,有21112n n n a S a ---=-,②由①-②得,()()2211112(2)n n n n n n n n a a S S a a a a n -----=---=+≥,又0n a >,所以11(2)n n a a n --=≥,即数列{}n a 是首项为1,公差为1的等差数列,故n a n =,又因为21n nb b +=,且0n b >,取自然对数得1ln 2ln n n b b +=,所以1ln 2ln n nb b +=, 又因为1ln ln 1b e ==,所以{}ln n b 是以1为首项,以2为公比的等比数列,所以1ln 2n n b -=,即12n n b e -=（2）由（1）知,1ln 2n n n n c a b n -==⋅,所以1221112(2)3(2)(1)(2)(2)n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯L ,③123121(2)2(2)3(2)(1)(2)(2)n n n T n n -⨯=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯L ,④③减去④得:2112222n nn T n --=++++-⨯L()()121221212121n n n n n n n n -=-⨯=--⨯=---,所以(1)21nn T n =-⋅+【点睛】本题考查由n a 与n S 的关系求通项公式,考查错位相减法求数列的和.18．已知矩形纸片ABCD 中，6,12AB AD ==，将矩形纸片的右下角沿线段MN 折叠，使矩形的顶点B 落在矩形的边AD 上，记该点为E ，且折痕MN 的两端点M ，N 分别在边,AB BC 上.设,MNB MN l θ∠==，EMN ∆的面积为S .（1）将l 表示成θ的函数，并确定θ的取值范围； （2）求l 的最小值及此时sin θ的值；（3）问当θ为何值时，EMN ∆的面积S 取得最小值？并求出这个最小值. 【答案】（1）23sin cos 124l ππθθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭（2）3sin θ=，l 93.（3）6πθ=时，面积S 取最小值为83【解析】（1）,2ENM MNB EMA θθ∠=∠=∠=,利用三角函数定义分别表示,,,NB MB ME AM ,且6AM MB +=,即可得到l 关于θ的解析式；12BN ≤,6BM ≤,则2312sin cos 36cos 02BN BM θθθπθ⎧=≤⎪⎪⎪=≤⎨⎪⎪<<⎪⎩,即可得到θ的范围； （2）由（1）,若求l 的最小值即求2sin cos θθ的最大值,即可求24sin cos θθ的最大值,设为224()sin cos f θθθ=,令2cos x θ=,则22()(1)f x x θ=-,即可设2()(1)g x x x =-,利用导函数判断函数的单调性,即可求得()g x 的最大值,进而求解；（3）由题,23191sin cos 22sin cos 124S l ππθθθθθ⎛⎫==⨯≤≤ ⎪⎝⎭,则2268114sin cos S θθ=⨯,设2cos 124t ππθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭,()3(1)t h t t =-,利用导函数求得()h t 的最大值,即可求得S 的最小值.【详解】解:（1）,2ENM MNB EMA θθ∠=∠=∠=,故cos ,sin ,cos 2sin cos 2NB l MB ME l AM ME l θθθθθ=====. 因为6AM MB +=,所以sin cos2sin 6l l θθθ+=，, 所以263sin (cos 21)sin cos l θθθθ==+,又12BN ≤,6BM ≤,则2312sin cos 36cos 02BN BM θθθπθ⎧=≤⎪⎪⎪=≤⎨⎪⎪<<⎪⎩,所以124ππθ≤≤, 所以23sin cos 124l ππθθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭（2）记()2sin cos ,124fππθθθθ=≤≤,则224()sin cos f θθθ=,设2cos x θ=,12,24x ⎡+∈⎢⎣⎦,则22()(1)f x x θ=-, 记2()(1)g x x x =-,则2()23g x x x ='-,令()0g x '=,则212,324x ⎡=∈⎢⎣⎦, 当12,23x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()0g x ¢>；当22,34x ⎡+∈⎢⎣⎦时,()0g x ¢<, 所以()g x 在12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,在23⎡⎢⎣⎦上单调递减,故当22cos3x θ==时l 取最小值,此时sin θ=,l.（3）EMN ∆的面积23191sin cos 22sin cos 124S l ππθθθθθ⎛⎫==⨯≤≤ ⎪⎝⎭, 所以2268114sin cos S θθ=⨯,设2cos 124t ππθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭,则12t ≤≤, 设3()(1)h t t t =-,则23()34h t t t '=-,令()0h t '=,312,424t ⎡+=∈⎢⎣⎦,所以当13,24t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()0h t '>；当32,44t ⎡∈⎢⎣⎦时,()0h t '<,所以()h t 在13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,在34⎡⎢⎣⎦上单调递减,故当23cos 4t θ==,即6πθ=时,面积S 取最小值为【点睛】本题考查三角函数定义的应用,考查利用导函数求最值,考查运算能力.19．已知函数()y f x =.若在定义域内存在0x ，使得()()00f x f x -=-成立，则称0x 为函数()y f x =的局部对称点.（1）若a ，b R ∈且a ≠0，证明：函数()2f x ax bx a =+-有局部对称点；（2）若函数()2xg x c =+在定义域[]1,1-内有局部对称点，求实数c 的取值范围；（3）若函数()12423xx h x m m +=-⋅+-在R 上有局部对称点，求实数m 的取值范围.【答案】（1）见解析（2）514c -≤≤-（3）1m ≤【解析】（1）若函数()2f x ax bx a =+-有局部对称点,则()()0f x f x -+=,即()()220ax bx a ax bx a +-+--=有解,即可求证；（2）由题可得()()0g x g x -+=在[]1,1-内有解,即方程2220x x c -++=在区间[]1,1-上有解,则222x x c --=+,设2(11)xt x =-≤≤,利用导函数求得22x x -+的范围,即可求得c 的范围；（3）由题可得()()0h x h x -+=在R 上有解,即()12124234230x x x x m m m m --++-⋅+-+-⋅+-=在R 上有解,设22(2)x x t t -+=≥,则可变形为方程222280t mt m -+-=在区间[)2,+∞内有解,进而求解即可. 【详解】（1）证明:由()2f x ax bx a =+-得()2f x ax bx a -=--,代入()()0f x f x -+=得()()220ax bx a ax bx a +-+--=,则得到关于x 的方程20(0)ax a a -=≠,由于a R ∈且0a ≠,所以1x =±, 所以函数()2(0)f x ax bx a a =+-≠必有局部对称点（2）解:由题,因为函数()2xg x c =+在定义域[]1,1-内有局部对称点所以()()0g x g x -+=在[]1,1-内有解,即方程2220x x c -++=在区间[]1,1-上有解, 所以222x x c --=+, 设2(11)xt x =-≤≤,则122t ≤≤,所以12c t t -=+令11(),22s t t t t =+≤≤,则221(1)(1)()1t t s t t t-+'=-=, 当1,12t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0s t '<,故函数()s t 在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,当()1,2t ∈时,()0s t '>,故函数()s t 在区间()1,2上单调递增, 所以()()min 12s t s ==, 因为1522s ⎛⎫= ⎪⎝⎭,()522S =,所以()max 52s t =,所以1522t t ≤+≤, 所以514c -≤≤- （3）解:由题,12()423x x h x m m --+-=-⋅+-, 由于()()0h x h x -+=,所以()12124234230xx x x m m m m --++-⋅+-+-⋅+-=,所以()()()244222230x xxx m m --+-++-=（）在R 上有解,令22(2)xxt t -+=≥,则2442x x t -+=-,所以方程（）变为222280t mt m -+-=在区间[)2,+∞内有解, 需满足条件：()2248402m m ⎧∆=--≥≥,即1m m ⎧-≤≤⎪⎨-≤≤⎪⎩得1m ≤【点睛】本题考查函数的局部对称点的理解,利用导函数研究函数的最值问题,考查转化思想与运算能力.20．已知函数()ln f x x =．（1）求函数()()1g x f x x =-+的零点；（2）设函数()f x 的图象与函数1a y x x=+-的图象交于()11A x y ，，()()1112B x y x x <，两点，求证：121a x x x <-；（3）若0k >，且不等式()()()2211x f x k x --≥对一切正实数x 恒成立，求k 的取值范围．【答案】(1)x=1 (2)证明见解析 (3) 02k <„【解析】（1）令()1g x lnx x =-+，根据导函数确定函数的单调区间，求出极小值，进而求解；（2）转化思想，要证1a x < 21x x -，即证1x 212121(1)lnx lnx x x x x --<-g 21x x -，即证2112()1x xln x x >-，构造函数进而求证； （3）不等式22(1)()x lnx k x --…对一切正实数x 恒成立，222(1)(1)(1)(1)[]1k x x lnx k x x lnx x ----=--+Q ，设(1)()1k x h x lnx x -=-+，分类讨论进而求解． 【详解】解：（1）令()1g x lnx x =-+，所以11()1xg x x x-'=-=， 当(0,1)x ∈时，()0g x '>，()g x 在(0,1)上单调递增； 当(1,)x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 在(1,)+∞单调递减； 所以()()10min g x g ==，所以()g x 的零点为1x =．（2）由题意Q 11122211a lnx x x a lnx x x ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩， 211221(1)lnx lnx a x x x x -∴=--g ， 要证121a x x x <- 21x x -，即证211212121(1)lnx lnx x x x x x x x --<--g，即证2112()1x x ln x x >-，令211x t x =>，则11lnt t>-，由（1）知1lnx x -„，当且仅当1x =时等号成立，所以111ln t t<-， 即11lnt t>-，所以原不等式成立．（3）不等式22(1)()x lnx k x --…对一切正实数x 恒成立，222(1)(1)(1)(1)[]1k x x lnx k x x lnx x ----=--+Q ， 设(1)()1k x h x lnx x -=-+，222122(1)1()(1)(1)k x k x h x x x x x +-+'=-=++，记2()2(1)1x x k ϕ=+-+，△24(1)44(2)k k k =--=-，①当△0„时，即02k <„时，()0h x '…恒成立，故()h x 单调递增． 于是当01x <<时，()()10h x h <=，又210x -<，故22(1)(1)x lnx k x ->-， 当1x >时，()()10h x h >=，又210x ->，故22(1)(1)x lnx k x ->-， 又当1x =时，22(1)(1)x ln k x -=-，因此，当02k <„时，22(1)(1)x lnx k x --…， ②当△0>，即2k >时，设22(1)10x k x +-+=的两个不等实根分别为3x ，434()x x x <， 又()1420k ϕ=-<，于是3411x k x <<-<，故当(1,1)x k ∈-时，()0h x '<，从而()h x 在(1,1)k -单调递减；当(1,1)x k ∈-时，()()10h x h <=，此时210x ->，于是2(1)()0x h x -<， 即22(1)(1)x lnx k x -<- 舍去， 综上，k 的取值范围是02k <„． 【点睛】（1）考查函数求导，根据导函数确定函数的单调性，零点；（2）考查转化思想，构造函数求极值；（3）考查分类讨论思想，函数的单调性，函数的求导；属于难题. 21．选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分） 已知矩阵A ＝01a k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (k≠0)的一个特征向量为α＝1k ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦， A 的逆矩阵A－1对应的变换将点(3，1)变为点(1，1)．求实数a ，k 的值．【答案】解：设特征向量为α＝1k ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦对应的特征值为λ，则01a k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1k ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦＝λ1k ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，即1ak k kλλ-=⎧⎨=⎩ 因为k≠0，所以a ＝2． 5分 因为13111A -⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以A 11⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝31⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即201k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝31⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以2＋k ＝3，解得 k ＝1．综上，a ＝2，k ＝1． 10分 【解析】试题分析：由 特征向量求矩阵A, 由逆矩阵求k 【考点】特征向量, 逆矩阵点评：本题主要考查了二阶矩阵，以及特征值与特征向量的计算，考查逆矩阵． 22．本小题满分14分）已知曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=，以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为1,231x t yt ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），求直线l 被曲线C 截得的线段的长度【答案】15)21(2222=-【解析】解：解：将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程为2240x y y +-=， 即22(2)4x y +-=，它表示以(0,2)为圆心，2为半径圆， ………………………4分 直线方程l 的普通方程为31y x =+， ………8分 圆C 的圆心到直线l 的距离21=d ，……………………………10分 故直线l 被曲线C 截得的线段长度为15)21(2222=-．……………14分23．如图，在正四棱锥P ABCD -中，2PA AB ==，点M 、N 分别在线段PA 、BD 上，13BN BD =．（1）若13PM PA =，求证：MN ⊥AD ；（2）若二面角M BD A --的大小为4π，求线段MN 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）6． 【解析】试题分析：由于图形是正四棱锥，因此设AC 、BD 交点为O ，则以OA 为x 轴正方向，以OB 为y 轴正方向，OP 为z 轴正方向建立空间直角坐标系，可用空间向量法解决问题．（1）只要证明MN AD ⋅u u u u r u u u r ＝0即可证明垂直；（2）设44040a b a -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩＝λ()2010,,013y x y z λλ-=⎧⎪⎨-+-=⎭⎪⎩，得M(λ，0，1－λ)，然后求出平面MBD 的法向量n ，而平面ABD 的法向量为OP uuu r ，利用法向量夹角与二面角相等或互补可求得λ．试题解析: (1)连结AC 、BD 交于点O，以OA 为x 轴正方向，以OB 为y 轴正方向，OP 为z 轴正方向建立空间直角坐标系．因为PA ＝AB ，则A(1，0，0)，B(0，1，0)，D(0，－1，0)，P(0，0，1)． 由BN u u u r ＝13BD u u u r ，得N 10,,03⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由PM u u u u r ＝13PA u u u r ，得M 12,0,33⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以1112,,3333MN ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u u r ，AD u u u r ＝(－1，－1，0)． 因为MN AD ⋅u u u u r u u u r ＝0，所以MN ⊥AD(2) 解：因为M 在PA 上，可设PM u u u u r ＝λPA u u u r ，得M(λ，0，1－λ)．所以BM u u u u r ＝(λ，－1，1－λ)，BD u u u r ＝(0，－2，0)．设平面MBD 的法向量n r ＝(x ，y ，z)，由00n BD n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u u r ，得()2010y x y z λλ-=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩ 其中一组解为x ＝λ－1，y ＝0，z ＝λ，所以可取n r ＝(λ－1，0，λ)．因为平面ABD 的法向量为OP uuu r ＝(0，0，1)，所以cos 4π＝n OP n OP ⋅r u u ur r u u u r ，即2，解得λ＝12， 从而M 11,0,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，N 10,,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以MN ＝6． 【考点】用空间向量法证垂直、求二面角．24．在一次电视节目的答题游戏中，题型为选择题，只有“A ”和“B ”两种结果，其中某选手选择正确的概率为p ，选择错误的概率为q ，若选择正确则加1分，选择错误则减1分，现记“该选手答完n 道题后总得分为n S ”.（1）当12p q ==时，记3S ξ=，求ξ的分布列及数学期望； （2）当13p =，23q =时，求82S =且()01234i S i ≥=，，，的概率. 【答案】（1）见解析，0（2）802187 【解析】（1）3S ξ=即该选手答完3道题后总得分,可能出现的情况为3道题都答对,答对2道答错1道,答对1道答错2道,3道题都答错,进而求解即可；（2）当82S =时,即答完8题后,正确的题数为5题,错误的题数是3题,又0(1,2,3,4)i S i ≥=,则第一题答对,第二题第三题至少有一道答对,进而求解.【详解】解:（1）ξ的取值可能为3-,1-,1,3,又因为12p q ==, 故311(3)28P ξ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭,311(3)28P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭, 223113(1)228P C ξ⎛⎫=-=⨯⨯= ⎪⎝⎭,223113(1)228P C ξ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭, 所以ξ的分布列为：所以1331()(3)(1)308888E ξ=-⨯+-⨯++⨯= （2）当82S =时,即答完8题后,正确的题数为5题,错误的题数是3题,又已知0(1,2,3,4)i S i ≥=,第一题答对,若第二题回答正确,则其余6题可任意答对3题；若第二题回答错误,第三题回答正确,则后5题可任意答对题，此时的概率为()5333658712308803333P C C ⨯⎛⎫⎛⎫=+⋅⋅== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（或802187）. 【点睛】本题考查二项分布的分布列及期望,考查数据处理能力,考查分类讨论思想.。
【附加15套高考模拟试卷】江苏省南通市2020届高三下学期第二次调研测试数学试题含答案
江苏省南通市2020届高三下学期第二次调研测试数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列关于命题的说法错误的是（ ）A ．命题“若2320x x -+=，则2x =”的逆否命题为“若2x ≠，则2320x x -+≠”B ．已知函数()f x 在区间[],a b 上的图象是连续不断的，则命题“若()()0f a f b <，则()f x 在区间(),a b 内至少有一个零点”的逆命题为假命题C ．命题“x R ∃∈,使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈，均有210x x ++≥”D ．“若0x 为()y f x =的极值点，则()00f x '=”的逆命题为真命题2．高铁、扫码支付、共享单车、网购并称中国“新四大发明”，近日对全国100个城市的共享单车和扫码支付的使用人数进行大数据分析，其中共享单车使用的人数分别为123100,,,,x x x x L，它们的平均数为x ，方差为2s ；其中扫码支付使用的人数分别为132x +，232x +，332x +，L ，10032x +，它们的平均数为x '，方差为2s '，则x '，2s '分别为（ ）A ．32x +，232s +B ．3x ，23sC ．32x +，29s D ．32x +，292s +3．如图，在ABC △中，AD AB ⊥，3BC BD =u u u r u u u r ，||1AD =u u u r ，则AC AD ⋅=u u u r u u u r（ ）A ．23B ．32C ．33 D ．34．.一个空间几何体的三视图如图所示，俯视图为正三角形，则它的外接球的表面积为( ）A ．4πB ．1123πC ．283πD ．16π5．阅读如图的程序框图，当程序运行后，输出S 的值为( )A ．57B ．119C ．120D ．2476．已知是抛物线的焦点，，是该抛物线上两点，，则的中点到准线的距离为（ ） A ．B ．2C ．3D ．47．程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠.次第每人多十七，要将第八数来言.务要分明依次弟，孝和休惹外人传.”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止.分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为（ ）A ．65B ．184C ．183D ．1768． “牟和方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上（图1），好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）.其直观图如（图2）所示，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线，当其正视图与侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是（ ）A ．,a bB ．,a cC ．,c bD ．,b d9．在三棱锥P ABC -中，2AB BC ==，22AC =PB ⊥面ABC ，M ，N ，Q 分别为AC ，PB ，AB 的中点，3MN =，则异面直线PQ 与MN 所成角的余弦值为（ ）A ．105B．155C．35D．4510．已知数列{}n a和{}n b的前n项和分别为n S和n T，且0na>，2*634()n n nS a a n N=+-∈,()()1111nn nba a+=--，若对任意的n*∈N,nk T>恒成立，则的最小值为（）A．13B．19C．112D．11511．设a b，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（）A．若a b，与α所成的角相等，则a b∥B．若aαβ∥，b∥，αβ∥，则a b∥C．若a b a bαβ⊂⊂P，，，则αβ∥D．若a bαβ⊥⊥，，αβ⊥，则a b⊥r r12．三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法.所谓割圆术，就是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法.按照这样的思路刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，如图所示是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，若输出的24n=，则p的值可以是( )(参考数据: sin150.2588︒≈，sin7.50.1305︒≈，sin3.750.0654︒≈)A．2.6B．3C．3.1D．14二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届江苏省南通市海安高级中学高三第二次模拟考试数学试题解析
绝密★启用前2020届江苏省南通市海安高级中学高三第二次模拟考试数学试题学校：姓名：班级：考号：注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上一、填空题1.设集合人={1,3},3=国了2_2》—3<o"则A B=.【答案】{1}先解不等式x2-2x-3<0,再求交集的定义求解即可.解：由题，因为2x—3<0,解得-l<x<3,即3={幻-1<，<3},则A B={1],故答案为：{1}点评：本题考查集合的交集运算，考查解一元二次不等式.2.已知z・i=l+2i(i为虚数单位)，则复数z=.【答案】2—i解：解：z・i=l+2il+2z(l+2z)z.z=-----=-——=2-ii r故答案为：2—Z点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，属于基础题.3.命题“玉<0,./-2*-1>0”的否定是.【答案】Vx<0,%2-2%-1<0根据特称命题的否定为全称命题得到结果即可.解：解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题3-X'<0,.r2-2.r-1>0,则该命题的否定是：Vx<0,%2-2%-1<0故答案为：X/x<0,%2 —2x—1<0•点评：本题考查全称命题与特称命题的否定关系，属于基础题.4.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为.【答案】|6试题分析：根据题意，记白球为A,红球为B,黄球为G，G，则一次取出2只球，基本事件为AB、AG、AC2,BC［、BJ GO?共6种，其中2只球的颜色不同的是能、AC,,AC2,Bq、Be?共5种；所以所求的概率是P=~.6【考点】古典概型概率5.咔欢+0a=”是“cos2a=0”的——条件.(填写“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”之一)【答案】充分不必要由余弦的二倍角公式可得cos la=cos2a-sin2a=(cos-sin a)(cos a+sin a)=0,艮p sin a-cos a=0或sin a+cos a=0,即可判断命题的关系.解：由cos2a=cos2a一sin2a=(cos a-sin a)(cos a+sin a)=0,所以sina-cosa=0或sina+cosa=0,所以"sina+cosa=0"是"cos2a=0"的充分不必要条件.故答案为:充分不必要点评：本题考查命题的充分条件与必要条件的判断，考查余弦的二倍角公式的应用.6.已知等比数列混/的前n项和为Sn,^a2a8=2a3a6,S5=-62；则a］的值是.【答案】-22.aid-25)试题分析：’a2a8=2a3a6"a5=2a5a4"a5=2a4"q=2)S5=^62"-^=-62"^=-2【考点】等比数列性质及求和公式7.若幕函数/(x)=x fl的图象经过点(72,,则其单调递减区间为―【答案】(。
2020届南通市高三第二次调研测试数学试题原卷版
江苏省苏北七市2020届高三第二次调研考试数学试题2020．4一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 1．已知集合A ＝{1，4}，B ＝{a ﹣5，7}．若A I B ＝{4}，则实数a 的值是 ． 2．若复数z 满足2i iz=+，其中i 是虚数单位，则z 的模是 ． 3．在一块土地上种植某种农作物，连续5年的产量（单位：吨）分别为9.4，9.7，9.8，10.3，10.8．则该农作物的年平均产量是 吨．4．右图是一个算法流程图，则输出的S 的值是 ．5．“石头、 剪子、布”是大家熟悉的二人游戏，其规则是：在石头、剪子和布中，二人各随机选出一种，若相同则平局；若不同，则石头克剪子，剪子克布，布克石头．甲、乙两人玩一次该游戏，则甲不输的概率是 ． 6．在△ABC 中，已知B ＝2A ，AC ＝3BC ，则A 的值是 ．7．在等差数列{}n a (n N *∈)中，若124a a a =+，83a =-，则20a 的值是 ．8．如图，在体积为V 的圆柱O 1O 2中，以线段O 1O 2上的点O 为项点，上下底面为底面的两个圆锥的体积分别为V 1，V 2，则12V V V+的值是 ．9．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左顶点为A ，右焦点为F ，过F 作x 轴的垂线交双曲线于点P ，Q ．若△APQ 为直角三角形，则该双曲线的离心率是 ．10．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在直线y ＝2x 上，过点P 作圆C ：(x ﹣4)2＋y 2＝8的一条切线，切点为T ．若PT ＝PO ，则PC 的长是 ．11．若x ＞1，则91211x x x +++-的最小值是 ． 12．在平面直角坐标系xOy 中，曲线xy e =在点P(0x ，0xe )处的切线与x 轴相交于点A ，其中e 为自然对数的底数．若点B(0x ，0)，△PAB 的面积为3，则0x 的值是 ． 13．图（1）是第七届国际数学教育大会(ICME —7)的会徽图案，它是由一串直角三角形演化而成的（如图(2)），其中OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1，则6778A A A A ⋅u u u u u r u u u u u r 的值是 ．14．设函数2log , 04()(8), 48x a x f x f x x ⎧-<≤⎪=⎨-<<⎪⎩，若存在实数m ，使得关于x 的方程()f x m = 有4个不相等的实根，且这4个根的平方和存在最小值，则实数a 的取值范围是 ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a r ＝(cos α，sin α)，b r＝(cos(α＋4π)，sin(α＋4π))，其中0＜α＜2π． （1）求()b a a -⋅r r r的值；（2）若c r ＝(1，1)，且()b c +r r ∥a r，求α的值．16．（本题满分14分）如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，点P ，Q 分别为AB 1，CC 1的中点．求证：（1）PQ ∥平面ABC ； （2）PQ ⊥平面ABB 1A 1．17．（本题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：(x ﹣3)2＋y 2＝1，椭圆E ：22221x y a b+=(a＞b ＞0)的右顶点A 在圆C 上，右准线与圆C 相切．（1）求椭圆E 的方程；（2）设过点A 的直线l 与圆C 相交于另一点M ，与椭圆E 相交于另一点N ．当AN ＝127AM 时，求直线l 的方程．18．（本题满分16分）某公园有一块边长为3百米的正三角形ABC 空地，拟将它分割成面积相等的三个区域，用来种植三种花卉．方案是：先建造一条直道DE 将△ABC 分成面积之比为2：1的两部分（点D ，E 分别在边AB ，AC 上）；再取DE 的中点M ，建造直道AM （如图）．设AD ＝x ，DE ＝1y ，AM ＝2y （单位：百米）．（1）分别求1y ，2y 关于x 的函数关系式；（2）试确定点D 的位置，使两条直道的长度之和最小，并求出最小值．19．（本题满分16分）若函数()f x 在0x 处有极值，且00()f x x =，则称0x 为函数()f x 的“F 点”． （1）设函数2()2ln f x kx x =-(k ∈R)．①当k ＝1时，求函数()f x 的极值；②若函数()f x 存在“F 点”，求k 的值；（2）已知函数32()g x ax bx cx =++(a ，b ，c ∈R ，a ≠0)存在两个不相等的“F 点”1x ，2x ，且12()()1g x g x -≥，求a 的取值范围．20．（本题满分16分）在等比数列{}n a 中，已知11a =，418a =．设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且11b =-，112n n n a b S -+=-(n ≥2，n N *∈)．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）证明：数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； （3）是否存在等差数列{}n c ，使得对任意n N *∈，都有n n n S c a ≤≤?若存在，求出所有符合题意的等差数列{}n c ；若不存在，请说明理由．江苏省苏北七市2020届高三第二次调研考试数学附加题21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A ＝0 1 0a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的逆矩阵10 2A 0b -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．若曲线C 1：2214x y +=在矩阵A 对应的变换作用下得到另一曲线C 2，求曲线C 2的方程．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知曲线C 的方程为rρ=(r ＞0)，直线l 的方程为cos()4πρθ+=．设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且AB ＝r 的值．C ．选修4—5：不等式选讲已知实数x ，y ，z 满足2222222111x y z x y z ++=+++，证明：222111x y z x y z++≤+++．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）小丽在同一城市开的2家店铺各有2名员工．节假日期间的某一天， 每名员工休假的概率都是12，且是否休假互不影响，若一家店铺的员工全部休假，而另一家无人休假，则调剂1人到该店维持营业，否则该店就停业．（1）求发生调剂现象的概率；（2）设营业店铺数为X ，求X 的分布列和数学期望． 23．（本小题满分10分）我们称n (n N *∈)元有序实数组(1x ，2x ，…，n x )为n 维向量，1nii x=∑为该向量的范数．已知n 维向量a r＝(1x ，2x ，…，n x )，其中i x ∈{﹣1，0，1}，i ＝1，2，…，n ．记范数为奇数的n 维向量a r的个数为A n ，这A n 个向量的范数之和为B n ．（1）求A 2和B 2的值；（2）当n 为偶数时，求A n ，B n （用n 表示）．数学Ⅰ答案及评分建议一、填空题：1．9 2 3．10 4．52 5．23 6．π6 7．-15 8．13 9．2 1011．8 12．ln 6 13 14．()1-∞，二、解答题：15．（1）因为向量()cos sin αα=，a ，()()()ππcos sin 44αα=++，b ，所以()2-⋅=⋅-b a a a b a …2分()()()22ππcos cos sin sin cos sin 44αααααα=+++-+ …4分()πcos 14=--1=-． ……6分 （2）因为()11=，c ，所以+b c ()()()ππcos 1sin 144αα=++++，．因为()+b c ∥a ，所以()()()()ππcos 1sin sin 1cos 044αααα++-++=．…9分于是()()ππsin cos sin cos cos sin 44αααααα-=+-+，()ππsin 44α-=，即()π1sin 42α-=． ………………12分 因为π02α<<，所以πππ444α-<-<． 于是ππ46α-=，即5π12α=． …14分 16．（1）取AB 的中点D ，连结PD CD ，．在△1ABB 中，因为P D ，分别为1AB AB ，中点， 所以1PD BB ∥，且112PD BB =． 直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，11CC BB ∥，11CC BB =．因为Q 为棱1CC 的中点，所以1CQ BB ∥，且112CQ BB =． …3分于是PD CQ ∥，PD CQ =．所以四边形PDCQ 为平行四边形，从而PQ CD ∥． ……5分又因为CD ABC ⊂平面，PQ ABC ⊄平面，所以PQ ABC ∥平面． …7分（2）在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，1BB ABC ⊥平面．又CD ABC ⊂平面，所以1BB CD ⊥．因为CA CB =，D 为AB 中点，所以CD AB ⊥． ……10分由（1）知CD PQ ∥，所以1BB PQ ⊥，AB PQ ⊥． ……12分 又因为1AB BB B =I ，11AB ABB A ⊂平面，111BB ABB A ⊂平面，所以11PQ ABB A ⊥平面． ……14分17．（1）记椭圆E 的焦距为2c （0c >）．因为右顶点()0A a ，在圆C 上，右准线2a x c=与圆C ：()2231x y -+=相切．所以()22230131a a c ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩，， 解得 21a c =⎧⎨=⎩，．于是2223b a c =-=，所以椭圆方程为：22143y x +=． ……4分 （2）法1：设()()N N M M N x y M x y ，，，，显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为：()2y k x =-．由方程组 ()222143y k x y x =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得，()2222431616120k x k x k +-+-=．所以221612243N k x k -⋅=+，解得228643N k x k -=+． ……6分 由方程组()()22231y k x x y =-⎧⎪⎨-+=⎪⎩，， 消去y 得，()()2222146480k x k x k +-+++=， 所以224+821M k x k ⋅=+，解得222+41M k x k =+． ……8分 因为127AN AM =，所以()12227N M x x -=-． ……10分 即22121227431k k =⋅++，解得 1k =±， ……12分所以直线l 的方程为20x y --=或 20x y +-=． ……14分法2：设()()N N M M N x y M x y ，，，，当直线l 与x 轴重合时，不符题意．设直线l 的方程为：()20x ty t =+≠． 由方程组222143x ty y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得，()2234120tx ty ++=，所以21234N t y t -=+ ． ……6分由方程组 ()22231x ty x y =+⎧⎪⎨-+=⎪⎩，消去x 得， ()22120t x ty +-=， 所以221M t y t =+ ． ……8分 因为127AN AM =，所以127N M y y =-． ……10分即22121227341t t t t -=-⋅++，解得 1t =±， ……12分 所以直线l 的方程为20x y --=或 20x y +-=． ……14分 18．（1）因为23ADE ABC S S =△△，△ABC 是边长为3的等边三角形，又AD = x ， 所以()2121sin =3sin 23323AD AE ππ⋅⋅⨯⨯，所以6AE x =． ……2分由03603AD x AE x <=⎧⎪⎨<=⎪⎩≤，≤，得23x ≤≤． ……4分 法1：在ADE △中，由余弦定理，得22222362cos 63DE AD AE AD AE x x π=+-⋅⋅=+-．所以，直道DE 长度y 1关于x的函数关系式为[]123y x ∈，． ……6分在ADM △和AEM △中，由余弦定理，得2222cos AD DM AM DM AM AMD =+-⋅⋅∠ ①()2222cos AE EM AM EM AM AMD =+-⋅⋅π-∠ ② …8分 因为M 为DE 的中点，所以12DM EM DE ==．由①+②，得22222221222AD AE DM EM AM DE AM +=++=+，所以()()222226136622x x AM xx+=+-+， 所以2229342x AM x =++． 所以，直道AM 长度y 2关于x 的函数关系式为[]223y x =∈，． ……10分 法2：因为在ADE △中，DE AE AD =-u u u r u u u r u u u r，所以()2222222663622cos 63DE AE AE AD AD x x x x x x π=-⋅+=-⋅+=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ． 所以，直道DE 长度y 1关于x的函数关系式为[]123y x ∈，． ……6分在△ADE 中，因为M 为DE 的中点，所以()12AM AD AE =+u u u u r u u u r u u u r． …8分所以()()2222211362644AM AD AE AD AE x x =++⋅=++u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r．所以，直道AM 长度y 2关于x的函数关系式为[]223y x =∈，．……10分（2）由（1）得，两条直道的长度之和为12+DE AM y y =+=+……12分=（当且仅当22223694x x x x⎧=⎪⎨⎪=⎩，即x =时取=“”）． …14分答：当AD百米．16分19．（1）① 当k = 1时，f ( x ) = x 2- 2 ln x( k ∈R )，所以()()()()2110x x f x x x-+'=>，令()0f x '=，得x = 1， ……2分列表如下：所以函数()f x 在x = 1处取得极小值，极小值为1，无极大值． ……4分 ② 设x 0是函数()f x 的一个“F 点”()00x >．因为()()()2210kx f x x x-'=>,所以x 0是函数()f x '的零点．所以0k >，由()00f x '=，得201kx x ==， 由00()f x x =，得2002ln kx x x -=，即00+2ln 10x x -=． ……6分 设()+2ln 1x x x ϕ=-，则()21+0x xϕ'=>，所以函数()+2ln 1x x x ϕ=-在()0+∞，上单调增，注意到()10ϕ=， 所以方程00+2ln 10x x -=存在唯一实根1，所以0=1x =，得1k =， 根据①知，1k =时，1x =是函数()f x 的极小值点，所以1是函数()f x 的“F 点”．综上，得实数k 的值为1． ……9分（2）因为g (x ) = ax 3 + bx 2 + cx ( a ，b ，c ∈ R ，a ≠ 0 )所以()()2320g x ax bx c a '=++≠．又因为函数g (x ) 存在不相等的两个“F 点”x 1和x 2，所以x 1，x 2是关于x 的方程()232=00ax bx c a ++≠的两个相异实数根． 所以21212412023.3b ac b x x a c x x a⎧=->⎪⎪⎪+=-⎨⎪⎪=⎪⎩△，，又g (x 1) = ax 13 + bx 12 + cx 1 = x 1，g (x 2) = ax 23 + bx 22+ cx 2 = x 2，所以g (x 1) - g (x 2) = x 1- x 2，即(a x 13+ bx 12+ cx 1)- (ax 23+ bx 22+ cx 2) = x 1- x 2， 从而( x 1- x 2) [a (x 12+ x 1x 2 +x 22)+ b (x 1+ x 2 )+ c ]= x 1- x 2．因为12x x ≠，所以()()21212121a x x x x b x x c ⎡⎤+-+++=⎣⎦，即()()2221333bc b a b c aa a⎡⎤--+-+=⎢⎥⎣⎦．所以()2239ac b a -=． ………13分 因为| g (x 1) - g (x 2) | ≥ 1， 所以()()1212g x g x x x -=-==1.=解得20a -<≤．所以，实数a 的取值范围为)20-⎡⎣，． ……16分（2）（解法2） 因为g (x ) = ax 3+ bx 2+ cx ( a ，b ，c ∈ R ，a ≠ 0 ) 所以()()2320g x ax bx c a '=++≠．又因为函数g (x ) 存在不相等的两个“F 点”x 1和x 2，所以x 1，x 2是关于x 的方程组23232=0ax bx c ax bx cx x⎧++⎪⎨++=⎪⎩，的两个相异实数根． 由32ax bx cx x ++=得2010x ax bx c =++-=，． ……11分 （2．1）当0x =是函数g (x ) 一个“F 点”时，0c =且23b x a =-．所以()()2221033bb a b aa-+--=，即292a b =-．又()()12122013b g x g x x x a-=-=--≥，所以2249b a ≥，所以()2929a a -≤． 又a ≠ 0，所以20a -<≤．…13分 （2．2）当0x =不是函数g (x ) 一个“F 点”时，则x 1，x 2是关于x 的方程2232=010ax bx c ax bx c ⎧++⎪⎨++-=⎪⎩，的两个相异实数根． 又a ≠0，所以2313b b c c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，，得032b c =⎧⎪⎨=⎪⎩，.所以212ax =-，得12x =， 所以()()12121g x g x x x -=-=，得20a -<≤．综合（2．1）（2．2），实数a 的取值范围为)20-⎡⎣，． ……16分 20．（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，因为11a =，418a =，所以318q =，解得12q =．所以数列{}n a 的通项公式为：()112n n a -=． ……3分（2）由（1）得，当2n n *∈N ，≥时，()111122n nn b S --+=-， ①所以，()11122nn n bS ++=-， ②②－① 得，()11122nn n b b +-=， ……………5分所以，()()1111122n nnn b b +--=，即111n nn nb b a a ++-=，2n n *∈N ，≥． 因为11b =-，由① 得，20b =，所以()2121011b b a a -=--=， 所以111=-++nnn n a b a b ，n *∈N ． 所以数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1-为首项，1为公差的等差数列． ……8分 （3）由（2）得b n a n=n －2，所以b n =n －22n -1，S n =－2(a n +1+b n +1)=－2(12n +n －12n )=－n2n -1.假设存在等差数列{c n }，其通项c n =dn +c ， 使得对任意*∈N n ，都有S n ≤c n ≤a n ，即对任意*∈N n ，都有－n 2n -1≤dn +c ≤12n -1. ③ ……10分首先证明满足③的d =0. 若不然，d ≠0，则d ＞0，或d ＜0.(i) 若d ＞0，则当n ＞1－c d ，*∈N n 时，c n =dn +c ＞1≥12n -1= a n ，这与c n ≤a n 矛盾.(ii) 若0<d ，则当n ＞－1+cd，*∈N n 时，c n =dn +c ＜－1.而S n +1－S n =－n +12n+n 2n -1=n －12n≥0，S 1= S 2＜S 3＜……,所以S n ≥S 1=－1.故c n =dn +c ＜－1≤S n ，这与S n ≤c n 矛盾. 所以d =0. ………12分 其次证明：当x ≥7时，f (x )=(x －1)ln2－2ln x ＞0.因为f ′(x )=ln2－1x ＞ln2－17＞0，所以f (x )在[7，+∞)上单调递增，所以，当x ≥7时，f (x )≥f (7) =6ln2－2ln7= ln 6449＞0.所以当n ≥7，*∈N n 时，2n -1＞n 2. ……14分再次证明c =0.(iii)若c ＜0时，则当n ≥7，n ＞－1c ，n ∈N*，S n =－n 2n -1＞－1n ＞c ，这与③矛盾.(iv)若c ＞0时，同(i)可得矛盾.所以c =0. 当0n c =时，因为1012n n n S --=≤，()1102n n a -=>，所以对任意*∈N n ，都有S n ≤c n ≤a n ．所以0n c n *=∈N ，．综上，存在唯一的等差数列{ c n }，其通项公式为0n c n *=∈N ，满足题设．…16分数学Ⅱ答案及评分建议21A ．因为1-=AA E ，所以010*******a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即0100201b a ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦． 所以121b a =⎧⎨=⎩，，解得121a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，.所以01102⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦A ． ……4分 设()P x y ''，为曲线C 1任一点，则2214x y ''+=， 又设()P x y ''，在矩阵A 变换作用得到点()Q x y ，， 则01102x x y y ⎡⎤'⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥'⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即2y x x y '⎡⎤⎡⎤⎢⎥='⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以2y x x y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩，，即2x y y x '=⎧⎨'=⎩，. 代入2214x y ''+=，得221y x +=，所以曲线C 2的方程为221x y +=． ……10分B ．以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系xOy ，于是曲线C ：(0)r r ρ=>的直角坐标方程为222x y r +=，表示以原点为圆心，半径为r 的圆． ……3分由直线l 的方程()cos 4ρθπ+=cos cos sin sin 44ρθρθππ-=，所以直线l 的直角坐标方程方程为20x y --=． …………6分记圆心到直线l 的距离为d ，则d ==又()2222ABr d =+，即2279r=+=，所以3r =． ……10分C ．因为2222222111x y z x y z ++=+++， 所以2222222221111111111111x y z x y z x y z ++=-+-+-=++++++． ……5分 由柯西不等式得， ()()()2222222222222111111111111x y z x y zx y z x y z x y z +++++++++++++++≥．所以()22222111x y zx y z +++++≤ ．所以222111x y zx y z +++++ ……10分 22．（1）记2家小店分别为A B ，，A 店有i 人休假记为事件()012i A i =，，，B 店有i 人，休假记为事件()012i B i =，，，发生调剂现象的概率为P ． 则()()()2000211C 24P A P B ===， ()()()2111211C 22P A P B ===， ()()()2222211C 24P A P B ===．所以()()02201111144448P P A B P A B =+=⨯+⨯=．答：发生调剂现象的概率为18． ……4分（2）依题意，X 的所有可能取值为012，，．则()()2211104416P X P A B ===⨯=，()()()122111111142244P X P A B P A B ==+=⨯+⨯=，()()()11112101116416P X P X P X ==-=-==--=． (8)分所以X 的分布表为：所以()111113210164168E X =⨯+⨯+⨯=． ……10分23．（1）范数为奇数的二元有序实数对有：()10-，，()01-，，()01，，()10，，它们的范数依次为1111，，，，故2244A B ==，． ……3分 （2）当n 为偶数时，在向量()123n x x x x =L ，，，a 的n 个坐标中，要使得范数为奇数，则0的个数一定是奇数，所以可按照含0个数为：131n -L ，，，进行讨论：a 的n 个坐标中含1个0，其余坐标为1或1-，共有11C 2n n -⋅个，每个a 的范数为1n -； a 的n 个坐标中含3个0，其余坐标为1或1-，共有33C 2n n -⋅个，每个a 的范数为3n -；… a 的n 个坐标中含1n -个0，其余坐标为1或1-，共有1C 2n n -⋅个，每个a 的范数为1；所以 11331C 2C 2C 2n n n n n n n A ---=⋅+⋅++⋅L ，()()113311C 23C 2C 2n n n n n n n B n n ---=-⋅⋅+-⋅⋅++⋅L ． ……6分 因为()0112221C 2C 2C 2C nn n n nn n n n --+=⋅+⋅+⋅++L ， ① ()0112221C 2C 2C 2(1)C nn n n n n n n n n ---=⋅-⋅+⋅-+-L ，②2-①②得，113331C 2C 22n n n n n---⋅+⋅+=L ， 所以312nn A -=． ……8分 解法1：因为()()()()()11!!C C !!!1!k k n n n n n k n k n n k n k k n k ---=-⋅=⋅=---，所以()()113311C 23C 2C 2n n n n n n n B n n ---=-⋅⋅+-⋅⋅++⋅L ． ()11331111C 2C 2C 2n n n n n n n ------=⋅+⋅++⋅L ()123411112C 2C 2C n n n n n n n ------=⋅+⋅++L()()11312312n n n n ---=⋅=⋅-． ……10分解法2：2+①②得，022C 2C 2n n n n -⋅+⋅+=L 312n+． 又因为()()()()111!!C C !!1!!k k n n n n k k n n k n k k n k ---=⋅=⋅=---，所以 ()()113311C 23C 2C 2n n n n n n n B n n ---=-⋅⋅+-⋅⋅++⋅L ．()()()1133111331C 2C 2C 2C 23C 21C 2n n n n n n n n n n n n n n ------=⋅+⋅++⋅-⋅+⋅⋅++-⋅⋅L L ()01232111C 2C 2C 2n n n n n n n nA n ------=-⋅+⋅++⋅L()()1131313122n n n n n ---+=⋅-=⋅-． ……………10分。
2020江苏高考数学模拟数学试题二
2020年江苏高考数学全真模拟试卷二（南通教研室）数学Ⅰ试题一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上 1.已知集合U={x ｜x ＞1}, A ={ x ｜x ＞2},则∁U A = ▲ ．2.已知复数z 满足(1+i )z =i2020 (i 为虚数单位),则z 在复平面内对应的点位于第 ▲ 象限. 3.已知一组数据4,6,5,8,7,6,那么这组数据的方差为 ▲ ． 4.已知向量a =(1,2),b =(2,－1)则a ・(a －b )的值为 ▲ ． 5.执行如图所示的伪代码,则输出的S 的值为 ▲ ．6.在一个不透明的口袋中装有形状、大小都相同的红球和黄球共5个, 从中随机取出1个球,该球是红球的概率是25 .现从中一次随机取出2个球,则这2个球的颜色相同的概率为 ▲ ． 7.已知x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，y ≥x -2，y ≤1，,则z=y -3x的最大值为 ▲ ． 8. 将函数f (x ) = sin ωx (ω>0)的图象向右平移π6 个单位长度,得到函数y =g (x )的图像，若y =g (x )是偶函数,则ω的最小值为 ▲ ．（第3题图）9. 已知一个圆柱的高为3cm,体积为12πcm 3,则该圆柱的外接球的表面积为 ▲ cm 2． 10.已知函数f (x ) =2x x 2+4 , g (x ) = ( 12)｜x -2｜+ a ．若对任意x 1∈[1, +∞)，都存在x 2∈[1, +∞)， 使得f (x 1) =g (x 2),则实数a 的取值范围是 ▲ ．11.在平面直角坐标系xOy 中, 双曲线C : x 2a 2－y 2b2=1 (a >0，b >0)的左焦点F 作倾斜角为30°的直线,与圆C ′:x 2+y 2=b 2交于点A ,B .若∠AOB =60°,则双曲线C 的离心率为 ▲ ．12.设数列{a n }的前n 项和为S n ,若1, a n , S n 成等差数列,则a 1 + a 2+…+ a n 的值为 ▲ ． 13.如图,在等腰三角形ABC 中,AB =2,AC =BC = 5 .若D 是△ABC 所 在平面内一点,且DB → ・DC → =0.设AD → =λAB → +μAC →,则λ+μ的最大值 为 ▲ ．14.已知函数f (x ) = ⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋3x 2＋t ， x ≤0，3x －1，x ﹥0， 若函数y = f (f (x )) 恰好有4个不同的零点，则实数t 的取值范围是 ▲ ．二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分14分)如图,在四棱锥P -ABCD 中,BA ⊥AD ,CD ⊥AD ,E 是棱PD 上一点,AE ⊥PD ,AE ⊥AB . (1) 求证: AB ∥平面PCD ; (2) 求证: 平面ADP ⊥平面PCD .（第13题）（第15题）ACDBEP16.(本小题满分14分)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c 若cos2A +1=2 sin 2 A 2. (1) 求角A 的大小;(2) 若b =4,c =5,求sin(B+π3 )的值.17.(本小题满分14分)某公司准备设计一个精美的心形巧克力盒子,它是由半圆O 1、半圆O 2和正方形ABCD 组成的,且AB =8cm.设计人员想在心形盒子表面上设计一个矩形的标签EFGH ,标签的其中两个顶点E ,F 在AM 上,另外两个顶点G ,H 在CN 上(M ,N 分别是AB ,CB 的中点)设EF 的中点为P ,∠FO 1P =θ,矩形EFGH 的面积为S cm 2.(1) 写出S 关于θ的函数关系式S(θ); (2) 当θ为何值时,矩形EFGH 的面积最大?18.(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆E : x 2a 2+y 2b 2=1 (a >b >0)的短轴长为2,离心率为 22 .(1) 求椭圆E 的标准方程;(2) 若直线l 与椭圆E 相切于点P (点P 在第一象限内),与圆x 2+y 2=12相交于点A ,B , 且AP → =2PB →,求直线l 的方程.（第17题）M N ··DACHB E PO 1GF O 2·· （第17题）19.(本小题满分16分)已知各项均为正数的两个数列{a n },{b n }满足a n +1+1 a n +2 =a na n +1－1 ,2a n =log 2b n + log 2 b n +1+ 1且a 1=b 1=1 .(1) 求证:数列{a n }为等差数列; (2) 求数列{b n }的通项公式;(3) 设数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n ,T n ,求使得等式2S m +a m -36=T i 成立的有序 数对(m ,i )(m ,i ∈N ※) .20.(本小题满分16分)已知函数f (x )=(x -1)e x ,g (x )=a +ln x ,其中e 是自然对数的底数. (1) 若曲线y =f (x )在x =1处的切线与曲线y =g (x )也相切. ①求实数a 的值;②求函数φ(x )=f (x )+e |g (x ) |的单调区间;(2) 设h (x )=bf (x )－g (x )+a , 求证: 当0<b <1e 时,h (x )恰好有2个零点.数学Ⅱ附加题21【选做題】本题包括A 、B 、C 三小题,请选定其中两小题．．．．．．．．,并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．，．若多做,按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步聚 A.[选修4-2:矩阵与变换] (本小题满分10分)已知变换T: ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y → ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′ = ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a x 2x +2y , 试写出变换T 对应的矩阵A ,并求出其逆矩阵A -1.B.[选修4:坐标系与参数方程] (本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参数方程⎩⎨⎧ x =1+t y =3t (t 为参数),曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x =2m 2y =2m(m为参数). 若直线l 与曲线C 相交于点A ,B ,求△OAB 的面积.C.[选修45:不等式选讲] (本小题满分10分)已知a 、b 、c ∈R ，且a +b +c =3, a 2+b 2+2c 2=6,求实数a 的取值范围.【必做题】第22题、第23题,每小题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图,在直三校柱ABC －A 1B 1C 1中,△ABC 是等直角三角形,∠ACB =90°,AB =4 2 ,M 是AB 的中点,且A 1M ⊥B 1C ．(1) 求A 1A 的长;(2) 已知点N 在棱CC 1上,若平面B 1AN 与平面BCC 1B 1所成锐二面角的平面角的余弦值为1010，试确定点N 的位置．23.(本小题满分10分)已知正整数n ≥2,集合P ={x |1≤x ≤n ,x ∈N },A ,B ,C 是集合P 的3个非空子集，记 a n ,为所有满足A B , A U B U C =P 的有序集合对(A ,B ,C )的个数. (1)求a 2； (2)求a n（第22题）AC MBN C 1B 1A 1。
2020届江苏省高考数学南通名师冲刺模拟卷
绝密★启用前2020届江苏省高考数学南通名师冲刺模拟卷数学Ⅰ卷注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题～第20题，共20题)。
本卷满分为160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。
4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．．1. 设复数z满足(2i)1iz-=+（i为虚数单位），则复数z=▲．2. 已知集合{}1,0A=-，{}0,2B=，则A B共有▲个子集．3. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为▲．4. 某地区连续5天的最低气温（单位：°C）依次为8，-4，-1，0，2，则该组数据的方差为▲．5. 在平面直角坐标系中，已知双曲线的渐近线方程为，且它的一个焦点为，则双曲线的方程为▲．6. 函数()f x的定义域为▲ ．7. 若函数的部分图象如图所示，则的值为▲．8. 现有5张分别标有数字1，2，3，4，5的卡片，它们的大小和颜色完相同．从中随机抽取2张组成两位数，则该两位数为奇数的概率为▲ ．9. 已知F是抛物线C：28y x=的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M是FN的中点，则FN的长度为▲．xOy C xy±=Csin()(0)y xωϕω=+>ω（第3题）（第11题）A BCMN（第12题）ABCB 1C 1A 1MN（第16题）10. 若函数()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x >时，()ln f x x x =，则不等式()e f x <-的解集为 ▲ ．11. 钢材市场上通常将相同的圆钢捆扎为正六边形垛（如图）．现将99根相同的圆钢捆扎为1个尽可能大的正六边形垛，则剩余的圆钢根数为 ▲ ．12. 如图，在△ABC 中，点M 为边BC 的中点，且2AM =，点N 为线段AM 的中点，若74AB AC ⋅=，则NB NC ⋅的值为 ▲ ． 13. 已知正数x y ，满足11910x y x y +++=，则1x y+的最小值是 ▲ ． 14. 若方程有四个不同的实数根，且，则的取值范围是 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知向量1(sin 22x =，m ，1(3)22x =，n ，函数()f x =⋅m n ． （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若//m n ，且(0,)2x π∈，求(4)f x 的值． 16．（本小题满分14分） 如图，在三棱柱中，已知，分别为线段，的中点，与所成角的大小为2|21|0x x t ---=1234,,,x x x x 1234x x x x <<<41322()()x x x x -+-111ABC A B C -M N 1BB 1A C MN 1AA90°，且．求证：（1）平面平面；（2）平面．17．（本小题满分14分）某厂花费2万元设计了某款式的服装．根据经验，每生产1百套该款式服装的成本为1万元，每生产x （百套）的销售额（单位：万元）20.4 4.20.805()914.7 5.3x x x P x x x ⎧-+-<⎪=⎨->⎪-⎩≤，，， （1）该厂至少生产多少套此款式服装才可以不亏本？（2）试确定该厂生产多少套此款式服装可使利润最大，并求最大利润． （注：利润=销售额-成本，其中成本=设计费+生产成本）18．（本小题满分16分）已知在平面直角坐标系中，椭圆C ：，其短轴长为2．1MA MC =1A MC ⊥11A ACC //MN ABCxOy 22221(0)y x a b a b+=>>（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，A 为椭圆C 的左顶点，P ，Q 为椭圆C 上两动点，直线PO 交AQ 于E ，直线QO 交AP 于D ，直线OP 与直线OQ 的斜率分别为，，且，，（为非零实数），求的值．19．（本小题满分16分）设数列{a n }的前n 项和为，且满足：．（1）若，求a 1的值； （2）若成等差数列，求数列{a n }的通项公式．20．（本小题满分16分）已知函数()e (1)xf x a x =-+，其中e 为自然对数的底数，a ∈R ． （1）讨论函数()f x 的单调性，并写出相应的单调区间；（2）已知0a >，b ∈R ，若()f x b ≥对任意x ∈R 都成立，求ab 的最大值； （3）设()(e)g x a x =+，若存在0x ∈R ，使得00()()f x g x =成立，求a 的取值范围．1k 2k 1212k k =-AD DP λ=AE EQ μ=λμ，22λμ+n S ()()2*0n n n a S a p n p >=+∈∈N R ，，29p =123a a a ，，。
【数学】2020南通二模参考答案与评分建议
2020届高三第二次调研测试数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{}14A =，，{}57B a =-，．若{}4A B =，则实数a 的值是 ▲ ．【答案】9 2．若复数z 满足2i iz=+，其中i 是虚数单位，则 z 的模是 ▲ ．3． 在一块土地上种植某种农作物，连续5年的产量（单位：吨）分别为9.4，9.7，9.8，10.3，10.8．则该农作物的年平均产量是 ▲ 吨．【答案】104．右图是一个算法流程图，则输出的S 的值是 ▲ ． 【答案】525．“石头、剪子、布”是大家熟悉的二人游戏，其规则是：在石头、剪子和布中，二人各随机选出一种，若相同则平局；若不同，则石头克剪子，剪子克布，布克石头． 甲、乙两人玩一次该游戏，则甲不输的概率是 ▲ ．【答案】236．在△ABC 中，已知B = 2A ，AC，则A 的值是 ▲ ． 【答案】π67．在等差数列{a n } ( n ∈ N *)中，若a 1 = a 2 + a 4，a 8 = -3，则a 20的值是 ▲ ．【答案】-158．如图，在体积为V 的圆柱O 1O 2中，以线段O 1O 2上的点O 为顶点，上下 底面为底面的两个圆锥的体积分别为V 1，V 2，则12V V V+的值是 ▲ ． 【答案】139．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221(00)y x a b a b-=>>，的左顶点为A ，右焦点为F ，过F作x 轴的垂线交双曲线于点P ，Q ．若△APQ 为直角三角形，则该双曲线的离心率是 ▲ ． 【答案】2（第8题）（第4题）10．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在直线2y x =上，过点P 作圆C ：22(4)8x y -+=的一条切线，切点为T ．若PT PO =，则PC 的长是 ▲ ．11．若x > 1，则91211x x x +++-的最小值是 ▲ ．【答案】812．在平面直角坐标系xOy 中，曲线e x y =在点()00e x P x ，处的切线与x 轴相交于点A ，其中e 为自然对数的底数．若点B ( x 0，0 )，△PAB 的面积为3，则0x 的值是 ▲ ．【答案】ln 613．图（1）是第七届国际数学教育大会（ICME -7）的会徽图案，它是由一串直角三角形演化而成的（如图（2）），其中OA 1 = A 1A 2 = A 2A 3 = … = A 7A 8 = 1，则6778A A A A ⋅的值是 ▲ ．14．设函数f ( x )2log 04(8)48x a x f x x ⎧-<⎪=⎨-<<⎪⎩，≤，，． 若存在实数m ，使得关于x 的方程f ( x ) = m 有4个不相等的实根，且这4个根的平方和存在最小值，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 【答案】()1-∞，说明：第6题答案写成角度也对；第12题自然对数符合“ln ”书写错误不给分；第14题答案写成“1a <”或者“{}|1a a <”也算正确。
江苏省南通市2020高考数学二轮冲刺小练(2)
江苏南通2020高考数学二轮冲刺小练（2）班级 学号 姓名1．计算：2(1)i i += ．2．已知集合2{|23},{|2}A x x x B x x =-<=≤，则A B I = ．3．某中学部分学生参加市高中数学竞赛取得了优异成绩，指导老师统计了所有参赛同学的成绩（成绩都为整数，满分120分），并且绘制了“频数分布直方图”（如图），若90分以上（含90分）获奖，则该校参赛学生的获奖率为 ．4．若2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=， 则tan()4πα+= ．5．已知向量(0,1),(,),(1,3)OA OB k k OC ===u u u r u u u r u u u r ，若//AB AC u u u r u u u r ，则实数k = ．6．命题“2,2390x x ax ∃∈-+<R ”为假命题，则实数a 的取值范围为 ．7．已知函数()()()f x x a x b =--（其中a b >，,a b 为常数），若()f x 的图象如右图所示，则函数()x g x a b =+在区间[－1，1]上的最大值是 ． 8．若椭圆221(,0)x y m n m n+=>的离心率为12，一个焦点恰好是抛物线28y x =的焦点，则椭圆的标准方程为 ．9．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3km （不超过3km 按起步价付费）；超过3km 但不超过8km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了 km.．10．已知函数()f x 的导函数()29f x x '=-，且(0)f 的值为整数，若当(,1]x n n ∈+*()n ∈N 时，()f x 的值为整数的个数有且只有1个，则n = ．11．已知函数2()1sin cos ,()cos ()12f x x x g x x π=+=+．（1）设0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，求)(0x g 的值；（2）求使2()()()(0)[,]2233x x h x f g ωωππω=+>在区间-上是增函数的ω的最大值． 60 120 分数 人数 2 4 5 6 7 812．已知数列{a n }的前n 项的和n S 满足23(*)n n S a n n =-∈N ．（1）求证：{a n +3}为等比数列，并求{a n }的通项公式；（2）数列{a n }是否存在三项，它们按原顺序可以构成等差数列？若存在，求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由．。
2020年江苏省南通市高考数学模拟试卷(二)(有解析)
2020年江苏省南通市高考数学模拟试卷(二)一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合A={x|x<3}，集合B={x|x<m}，且A⊆B，则实数m满足的条件是______．2.已知复数z满足|z|−z.=2−4i，则z=______ ．3.已知高二年级共有1500名学生，其中文科生600名，理科生900名．现采用分层抽样的方法抽取25名学生，则需要从文科生中抽取学生人数为________．4.一算法的流程图如图所示，则输出S为______ ．+√3−x的定义域为______ ．5.函数f(x)=11−x26.编号为1，2，3，4的四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个不同的盒子中，每个盒子放一个球，则其中至多有一个球的编号与盒子的编号相同的概率为___________．7.已知y=f(x)是偶函数，且f(x)=g(x)−2x，g(3)=3，则g(−3)=______．8.已知双曲线C1：x2−y2=1，若抛物线C2：x2=2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离3为1，则抛物线C2的方程为______．9.已知{a n}是等差数列，a4+a7+a10=15，则其前13项和S13=______．10.已知sinθ=4，sinθ−cosθ>1，则sin2θ=_________．511.若圆锥底面半径为1，高为√3，则其侧面积为______．12.已知圆O：x2+y2=1，圆M：(x−a)2+(y−2)2=2.若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得PA⊥PB，则实数a的取值范围为______．13.已知a⃗是平面内的单位向量，若向量b⃗ 满足b⃗ ·(a⃗−b⃗ )=0，则|b⃗ |的取值范围是________．14.已知函数f(x)=e x−1+x−2(e为自然对数的底数).g(x)=x2−ax−a+3.若存在实数x1，x2，使得f(x1)=g(x2)=0.且|x1−x2|≤1，则实数a的取值范围是______．二、解答题（本大题共10小题，共130.0分）15.已知△ABC的内角A、B的对边分别为a、b，A=45°，cosC=3．5(Ⅰ)求sin B；(Ⅱ)若a+b=12，求△ABC的面积．16.如图，在四棱锥P−ABCD中，AD//BC，且BC=2AD，AD⊥CD，PB⊥CD，点E在棱PD上，且PE=2ED．(1)求证：平面PCD⊥平面PBC；(2)求证：PB//平面AEC．17.如图，PQ为某公园的一条道路，一半径为20米的圆形观赏鱼塘与PQ相切，记其圆心为O，切点为G.为参观方便，现新修建两条道路CA、CB，分别与圆O相切于D、E两点，同时与PQ 分别交于A、B两点，其中C、O、G三点共线且满足CA=CB，记道路CA、CB长之和为L．(1)①设∠ACO=θ，求出L关于θ的函数关系式L(θ)；②设AB=2x米，求出L关于x的函数关系式L(x)．(2)若新建道路每米造价一定，请选择(1)中的一个函数关系式，研究并确定如何设计使得新建道路造价最少．18.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率是√22，且过点P(√2,1).直线y=√22x+m与椭圆C相交于A，B两点．(1)求椭圆C的方程；(2)求△PAB的面积的最大值；(3)设直线PA，PB分别与y轴交于点M，N.判断|PM|，|PN|的大小关系，并加以证明．19.已知数列{a n}的前n项和S n，S n=3a n−1．2(1)求a n；(2)若b n=(n−1)a n，且数列{b n}的前n项和为T n，求T n．20.函数f(x)=xlnx−ax+1在点A(1,f(1))处的切线斜率为−2．(1)求实数a的值；(2)求f(x)的单调区间．21.已知矩阵A=[12−1x]的一个特征值为2，求矩阵A的逆矩阵．22.在极坐标系中，曲线C：ρ=2acosθ(a>0)，直线l：ρcos(θ−π3)=32，C与l有且只有一个公共点，求a．23.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，点D(2,y0)在抛物线C上，且|DF|=3，直线y=x−1与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点．(1)求抛物线C的方程；(2)求△OAB的面积．24.某儿童节在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．记两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：①若xy≤3，则奖励玩具一个；②若xy≥8，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶．假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动．(1)求小亮获得玩具的概率；(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．【答案与解析】1.答案：m ≥3,解析：本题考查子集，关键是明确集合端点值间的关系，是基础题．解：∵A ={x|x <3}，集合B ={x|x <m }，A ⊆B∴m ≥3,故答案为m ≥3,2.答案：3−4i解析：解：设z =a +bi(a,b ∈R)，∵|z|−z .=2−4i ，∴√a 2+b 2−(a −bi)=2−4i ，∴√a 2+b 2−a =2，b =−4，解得b =−4，a =3．则z =3−4i ．故答案为：3−4i ．设z =a +bi(a,b ∈R)，|z|−z .=2−4i ，可得√a 2+b 2−(a −bi)=2−4i ，可得√a 2+b 2−a =2，b =−4，解出即可得出．本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3.答案：10解析：本题主要考查分层抽样的应用，利用分层抽样的定义建立比例关系是解决本题的关键，比较基础．根据分层抽样的定义，即可得到结论．解：设从文科生中抽取学生人数为x ，则x 25=6001500，解得：x =10,故从文科生中抽取学生人数为10人，故答案为10．4.答案：12解析：初始条件：i =1，s =1；判断1<10，成立，1次循环：i =4，s =5；判断4<10，成立，2次循环：i =7，s =12；判断12<10，不成立，输出S =12．故填空：12．按流程线方向演算出赋值的结果，判断是否符合终止条件，若符合，则循环；若不符合，则输出最后算出的S 的值．考查了算法程序框图，循环结构，赋值语句，属于基础题．5.答案：{x|x ≤3且x ≠±1}解析：解：要使函数有意义，则{1−x 2≠03−x ≥0， 即{x ≠±1x ≤3， 即函数的定义域为{x|x ≤3且x ≠±1}，故答案为：{x|x ≤3且x ≠±1}根据函数成立的条件即可求函数的定义域．本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．6.答案：1724解析：本题考查了概率问题，算出总的情况，再计算出至多有一个球的编号与盒子的编号相同的情况，即可得出答案．解：不考虑任何条件限制，放法总数为24种．恰由一个球的号码与盒子号码相同，其放法有8种．没有球的号码与盒子号码相同，其放法总数有9种，故P=8+924=1724．故答案为1724．7.答案：−9解析：本题考查了函数的奇偶性，考查了学生的分析与计算能力，属于基础题．可得f(−3)=g(−3)+6，f(3)=g(3)−6，又f(−3)=f(−3)，g(3)=3，则g(−3)=−9．解：∵y=f(x)是偶函数，且f(x)=g(x)−2x，∴f(−3)=g(−3)+6，f(3)=g(3)−6又f(−3)=f(−3)，g(3)=3，则g(−3)=−9．故答案为：−9．8.答案：x2=8y解析：本题考查抛物线与双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离公式的应用，考查计算能力．求出双曲线的渐近线方程，抛物线的焦点坐标，利用点到直线的距离公式求解即可．解：双曲线C1：x2−y23=1，的渐近线：√3x±y=0，抛物线的焦点坐标为：(0,p2)，抛物线C2：x2=2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，可得：p2√1+3=1，解得p=4，抛物线C2：x2=8y．故答案为：x2=8y．9.答案：65解析：解：{a n}是等差数列，a4+a7+a10=15，∴3a7=15，∴a7=5，∴S13=a7×13=65故答案为：65根据等差数列的性质，以及数列前n项和的公式即可求解．本题主要考查了等差数列的求和公式及等差数列的性质的应用，属于基础试题．10.答案：−2425解析：本题考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式及应用，属于基础题．由题意cosθ<0，利用同角三角函数的基本关系及二倍角公式求解．解：因为sinθ=4，sinθ−cosθ>1，5所以cosθ<0，则cosθ=−√1−sin2θ=−3，5．则sin2θ=2sinθcosθ=−2425．故答案为−242511.答案：2π解析：解：圆锥的高位√3，底面半径为1，所以圆锥的母线为：2，×2π×2=2π圆锥的侧面积：12故答案为：2π．先求圆锥的母线，然后直接利用圆锥侧面积公式求解即可．本题考查圆锥的侧面积公式，是基础题．12.答案：[−2,2]解析：解：根据题意，圆O：x2+y2=1，若过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，若OA⊥PA，OB⊥PB，又由PA⊥PB，则四边形OAPB为正方形，则|OP|=√2，则P的轨迹是以O为圆心，半径r=√2的圆，其方程为x2+y2=2；若圆M上存在这样的点P，则圆M与x2+y2=2有公共点，则有√2−√2≤√a2+4≤√2+√2，解可得：−2≤a≤2，即a的取值范围为[−2,2]；故答案为：[−2,2]．根据题意，由圆的切线性质分析可得四边形OAPB为正方形，则|OP|=√2，据此分析可得P的轨迹是以O为圆心，半径r=√2的圆，其方程为x2+y2=2；进而可得若圆M上存在这样的点P，则圆M与x2+y2=2有公共点，则有√2−√2≤√a2+4≤√2+√2，解可得a的取值范围，即可得答案．本题考查圆的方程的应用，涉及圆与圆的位置关系，关键是分析P的轨迹．13.答案：[0,1]解析：本题考查了向量的数量积，属于基础题．设a⃗与b⃗ 的夹角θ，(0≤θ≤π)，由题意得a⃗·b⃗ −b⃗ 2=|a⃗||b⃗ |cosθ−|b⃗ |2=0，所以|b⃗ |=cosθ即可求解．解：设a⃗与b⃗ 的夹角θ，(0≤θ≤π)，∵b⃗ ·(a⃗−b⃗ )=0，∴a⃗·b⃗ −b⃗ 2=|a⃗||b⃗ |cosθ−|b⃗ |2=0，∵|a⃗|=1∴|b⃗ |=cosθ∴|b⃗ |∈[0,1]．故答案为[0,1]．14.答案：[2,3]解析：解：函数f(x)=e x−1+x−2的导数为f′(x)=e x−1+1>0，f(x)在R上递增，由f(1)=0，可得f(x1)=0，解得x1=1，存在实数x1，x2，使得f(x1)=g(x2)=0.且|x1−x2|≤1，即为g(x2)=0且|1−x2|≤1，即x2−ax−a+3=0在0≤x≤2有解，即有a=x2+3x+1=(x+1)+4x+1−2在0≤x≤2有解，令t=x+1(1≤t≤3)，则t+4t−2在[1,2]递减，[2,3]递增，可得最小值为2，最大值为3，则a的取值范围是[2,3]．故答案为：[2,3]．求出函数f(x)的导数，可得f(x)递增，解得f(x)=0的解为1，由题意可得x2−ax−a+3=0在0≤x≤2有解，即有a=x2+3x+1=(x+1)+4x+1−2在0≤x≤2有解，求得(x+1)+4x+1−2的范围，即可得到a的范围．本题考查导数的运用：求单调性和极值、最值，考查参数分离法和运算能力，属于中档题．15.答案：解：(Ⅰ)∵在△ABC中，cosC=35，∴sinC=√1−cos2C=45，∵B=180°−(A+C)，A=45°，∴sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=√22×35+√22×45=7√210；(Ⅱ)∵sinA=√22，sinB=7√210，∴由正弦定理asinA =bsinB得：ab=sinAsinB=√227√210=57，即7a=5b①，又a+b=12②，联立①②解得：a=5，b=7，则S△ABC=12absinC=12×5×7×45=14.解析：(Ⅰ)由C为三角形的内角及cos C的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sin C的值，由诱导公式及三角形的内角和定理得到sinB=sin(A+C)，利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入即可求出sin B的值；(Ⅱ)由sin A和sin B的值，利用正弦定理得出a与b的关系式7a=5b，与已知的a+b=12联立求出a与b的值，再由a，b及sin C的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，同角三角函数间的基本关系，正弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．16.答案：证明：(1)∵AD//BC，AD⊥CD，∴CD⊥BC，又CD⊥PB，BC⊂平面PBC，PB⊂平面PBC，BC∩PB=B，∴CD⊥平面PBC，又CD⊂平面PCD，∴平面PCD⊥平面PBC．(2)连结BD交AC于O，连结EO．∵AD//BC，∴△AOD∽△COB，∴DOOB =ADBC=12，又PE=2ED，即DEPE =12，∴OE//PB，∵OE⊂平面EAC，PB⊄平面EAC，∴PB//平面AEC．解析：(1)由CD⊥BC，CD⊥PB得出CD⊥平面PBC，故而平面PCD⊥平面PBC；(2)连结BD交AC于O，连结EO.利用三角形相似得出ODOB =DEPE=12，从而得到OE//PB，得出结论．本题考查了线面平行，面面垂直的判定，属于中档题．17.答案：解：(1)①在中，，所以，所以，在中，所以其中θ∈(0,π2)②设AC=y，则在RtΔAGC中CG=√y2−x2，由RtΔCDO与RtΔAGC相似得，COCA =ODAG，即√y2−x2−20y=20x，即x√y2−x2−20x=20y，即x√y2−x2=20(x+y)，即x√y−x=20√x+y即x2(y−x)= 400(x+y)，化简得CA=y=x3+400xx2−400，其中x∈(20,+∞)(2)选择(1)中的第一个函数关系式研究．令L′(θ)=0，得sinθ=√5−12．令sinθ0=√5−12，当θ∈(0,θ0)时，L′(θ)<0，所以L(θ)递减；当θ∈(θ0,π2)时，L′(θ)>0，所以L(θ)递增，所以当sinθ=√5−12时，L(θ)取得最小值，新建道路何时造价也最少．解析：本题考查函数的模型的应用，以及利用导数求实际问题，属于中档题．(1)根据已知条件可得对应的关系，然后利用相似求出解析式；(2)利用求导，结合单调性和定义域求出最值．18.答案：解：(Ⅰ)设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的半焦距为c ， 由椭圆C 的离心率是e =ca=√1−b 2a 2=√22，即a 2=2b 2，将点P(√2,1)代入椭圆方程：x 22b 2+y 2b 2=1. 解得{a 2=4b 2=2， ∴椭圆C 的方程为x 24+y 22=1；(Ⅱ)由{y =√22x +mx 24+y 22=1，消去y ，整理得x 2+√2mx +m 2−2=0． 令△=2m 2−4(m 2−2)>0，解得−2<m <2． 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=−√2m ，x 1x 2=m 2−2．∴丨AB 丨=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√3⋅√4−m 2， 点P(√2,1)到直线x −√2y +√2m =0的距离为d =√2−√2+√2m √1+(√2)2=√2丨√3．∴△PAB 的面积S =12丨AB 丨⋅d =√22丨m 丨⋅√4−m 2，=√22√−(m 2−2)2+4≤√2，当且仅当m =±√2时，S =√2，此时满足△>0， 则△PAB 的面积的最大值√2； (Ⅲ)丨PM 丨=丨PN 丨．证明如下： 设直线PA ，PB 的斜率分别是k 1，k 1， 则k 1+k 2=y 1−1x −√2+y 2−1x −√2=(y 1−1)(x 2−√2)+(y 2−1)(x 1−√2)(x −√2)(x −√2)，由(Ⅱ)得(y 1−1)(x 2−√2)+(y 2−1)(x 1−√2)=(√22x 1+m −1)(x 2−√2)+(√22x 1+m −1)(x 1−√2) =√2x 1x 2+(m −2)(x 1+x 2)−2√2(m −1)=√2(m 2−2)+(m −2)(−√2m)−2√2(m −1)=0， ∴直线PA ，PB 的倾斜角互补． ∴∠1=∠2， ∴∠PMN =∠PNM ．∴丨PM丨=丨PN丨．解析：略19.答案：解：(1)由已知可得，2S n=3a n−1，①所以2S n−1=3a n−1−1(n≥2)，②①−②得，2(S n−S n−1)=3a n−3a n−1，化简为a n=3a n−1(n≥2)，即a na n−1=3(n≥2)，在①中，令n=1可得，a1=1，所以数列{a n}是以1为首项，3为公比的等比数列，从而有a n=3n−1．(2)b n=(n−1)⋅3n−1，T n=0⋅30+1⋅31+2⋅32+⋯+(n−1)⋅3n−1，③则3T n=0⋅31+1⋅32+2⋅33+⋯+(n−1)⋅3n.④③−④得，−2T n=31+32+33+⋯+3n−1−(n−1)⋅3n，=3−3n1−3−(n−1)⋅3n=(3−2n)⋅3n−32．所以，T n=(2n−3)⋅3n+34．解析：(1)由已知可得2(S n−S n−1)=3a n−3a n−1，推出数列{a n}是以1为首项，3为公比的等比数列，然后求解通项公式．(2)b n=(n−1)⋅3n−1，利用错位相减法，转化求解数列的和即可．本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和的方法，考查转化思想以及计算能力．20.答案：解：(1)∵f(x)=xln x−ax+1，∴f′(x)=lnx+1−a，∴函数f(x)=xln x−ax+1在点A(1,f(1))处的切线斜率为k=f′(1)=1−a=−2，解得a=3;(2)由(1)可得f(x)=xlnx−3x+1,x∈(0,+∞)，故f′(x)=lnx−2,x∈(0,+∞)，令f′(x )>0得x >e 2， 令f′(x )<0得0<x <e 2，故f (x )的增区间为(e 2,+∞)，减区间为(0,e 2)．解析：本题考查了利用导数研究函数的单调性和利用导数研究曲线上某点切线方程，是基础题． (1)求出函数的导数，利用导函数值与斜率的关系，即可求出a 的值;(2)求出f(x)的解析式，得到函数的导数，解关于导函数的不等式，求出单调区间即可．21.答案：解：矩阵A 的特征多项式为f(λ)=|λ−1−21λ−x|=(λ−1)(λ−x)+2， 因为λ1=2是方程f(λ)=0的一个根，所以x =4， 故A =[12−14]． 设矩阵A 的逆矩阵为A −1=[abcd ]，则[12−14][a bcd]=[1001]，即{a +2c =1,b +2d =0−a +c =0,−b +4d =1,，解得所以矩阵A 的逆矩阵A −1=[23−131616]．解析：本题考查矩阵的特征值以及逆矩阵的计算，属于基础题． 矩阵A 的特征多项式为f(λ)=|λ−1−21λ−x|，由2是一个特征值，可知f(2)=0，从而可求得x =4，先计算矩阵对应的行列式的值，再利用逆矩阵的公式即可求出答案．22.答案：解：曲线C ：ρ=2acosθ(a >0)，即ρ2=2aρcosθ(a >0)，∴x 2+y 2=2ax ，配方可得：C 的直角坐标方程为(x −a)2+y 2=a 2．直线l ：ρcos(θ−π3)=32，展开为12ρcosθ+√32ρsinθ=32，可得直角坐标方程：x +√3y −3=0．由直线与圆相切可得：|a−3|2=a ，a >0．解得：a =1．解析：把极坐标方程化为直角坐标方程，利用直线与圆相切的充要条件即可得出．本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆相切的充要条件、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23.答案：解：(1)根据题意，D(2,y 0)在抛物线y 2=2px 上且|DF|=3，由抛物线定义得2+p2=3，∴p =2 故抛物线的方程为y 2=4x ；(2)由方程组{y =x −1y 2=4x ，消去y 得x 2−6x +1=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=6； ∵直线y =x −1过抛物线y 2=4x 的焦点F ，∴|AB|=x 1+x 2+p =6+2=8又O 到直线y =x −1的距离d =√22，∴△ABO 的面积S =12|AB|d =2√2．解析：(1)根据题意，由抛物线的定义，可得2+p2=3，解可得p =2，代入标准方程，即可得答案； (2)联立直线与抛物线的方程，消去y 得x 2−6x +1=0，进而设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由一元二次方程根与系数的关系可得x 1+x 2=6，结合抛物线的几何性质，可得|AB|的长，由点到直线距离公式可得O 到直线y =x −1，进而由三角形面积公式计算可得答案．本题考查抛物线的几何性质，涉及直线与抛物线的位置关系，关键是利用抛物线的几何性质求出其标准方程．24.答案：解：(1)两次记录的数为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(3,2)，(3,3)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个， 满足xy ≤3，有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)，共5个， ∴小亮获得玩具的概率为516；(2)小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率；理由如下：满足xy ≥8，(2,4)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(3,3)，(4,4)共6个，∴小亮获得水杯的概率为6；16小亮获得饮料的概率为，∴小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．解析：本题考查古典概型的计算和应用．(1)利用列举法求出基本事件的总数，然后求出满足xy≤3的基本事件的个数，然后由古典概型的概率计算公式即可求解；(2)求出满足xy≥8的基本事件的个数，求出小亮获得水杯的概率与获得饮料的概率，即可得出结论．。
2020南通市二模数学试题及答案
5.某教师出了一份三道题的测试卷，每道题1分，全班得3分、2分、1分和0分的学生所占比例
分别为30%、50%、10%和10%,则全班学生的平均分为▲分.
6.设M a a(2, 0)m(0,1),m R和
N b b (1, 1) n(1, 1), n R都是元素为向量的集
江苏省南通市
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.
1.曲线y x32x在点(1,—1)处的切线方程是▲.
2.若1~5i- a bi (a,bR, i为虚数单位)，则ab= ▲ .
3i
3.命题“若实数a满足a&2,则a24”的否命题是▲命题(填“真”、"假”
之一).
4.把一个体积为27cm3的正方体木块表面.涂上红漆，然后锯成体积为1cm3的27个小正方体，现
合，贝U MHN=▲.
7.在如图所示的算法流程图中，若输入m= 4 ,n= 3 ,则输出的
a=▲.
8.设等差数列an的公差为正数，若
a1a2a315,a1a2a380,
9.设，是空间两个不同的平面，m n是平面 及 外的两条不同直线.从“①m
，n；②!；③n，；④mil”中选取三个作为条件，余下一个作为结论,
写出你认为正确的一个命题：▲(用代号表示).
10一.定义在R上的函数f(x)满足：f(x)= f (x+2),当x3, 5时，f(x)=2-x-4.下
列四个
1
2
12.1, 3
2
二、解答题：本大题共6小题「，共计90分，解答时应写出文字说明，证明过程或 演算步骤.
15 .(本小题满分14分)
14分
【注】第（2）小题亦可通过取PE中点H,利用平面FGH//平面EBOE得.
2020年江苏省南通市高考数学二模考前试卷
2020年江苏省南通市高考数学二模考前试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1．（5分）记复数(z a bi i =+为虚数单位）的共轭复数为(,)z abi a b R =-∈，已知2z i =+，则2z = ．2．（5分）已知集合{1U =，3，5，9}，{1A =，3，9}，{1B =，9}，则()U A B =U ð ． 3．（5分）某校共有师生1600人，其中教师有1000人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为80的样本，则抽取学生的人数为 ．4．（5分）角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(1,2)P ，则sin()πα-的值是 ．5．（5分）执行以下语句后，打印纸上打印出的结果应是： ．6．（5分）设α、β为互不重合的平面，m ，n 是互不重合的直线，给出下列四个命题： ①若//m n ，则//m α；②若m α⊂，n α⊂，//m β，//n β，则//αβ；③若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n ；④若αβ⊥，m αβ=I ，n α⊂，m n ⊥，则n β⊥； 其中正确命题的序号为 ．7．（5分）已知函数32,2()(1),02x f x x x x ⎧⎪=⎨⎪-<<⎩…，若关于x 的方程()f x kx =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是 ．8．（5分）已知关于x 的不等式2(4)(4)0ax a x --->的解集为A ，且A 中共含有n 个整数，则当n 最小时实数a 的值为 ．9．（5分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点为13(F 、23(F ，点P 是第一象限内双曲线上的点，且121tan 2PF F ∠=，21tan 2PF F ∠=-，则双曲线的离心率为 ．10．（5分）记123k k k k k S n =+++⋯⋯+，当1k =，2，3，⋯⋯时，观察下列等式：211122S n n =+，322111326S n n n =++，4323111424S n n n =++，6542515212S An n n Bn ⋯⋯=+++，⋯可以推测，A B -= ．11．（5分）设函数()||f x x x a =-，若对于任意的1x ，2[2x ∈，)+∞，12x x ≠，不等式1212()()0f x f x x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是 ．12．（5分）已知平面向量a r ，b r ，c r 满足||1a =r ，||2b =r ，a r ，b r 的夹角等于3π，且()()0a c b c --=r r r rg ，则||c r 的取值范围是 ．13．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，直角三角形ABC 的三个顶点都在椭圆2221(1)x y a a+=>上，其中(0,1)A 为直角顶点．若该三角形的面积的最大值为278，则实数a 的值为 ．14．（5分）设()(0)tx f x e t =>，过点(,0)P t 且平行于y 轴的直线与曲线:()C y f x =的交点为Q ，曲线C 过点Q 的切线交x 轴于点R ，若(1S ，f （1）)，则PRS ∆的面积的最小值是 ． 二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）在三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3sin 5A =，1tan()3A B -=，角C 为钝角，5b =． （1）求sin B 的值； （2）求边c 的长．16．（14分）如图，四棱锥V ABCD -中，底面ABCD 是菱形，对角线AC 与BD 交于点O ，VO ⊥平面ABCD ，E 是棱VC 的中点．（1）求证：//VA 平面BDE ； （2）求证：平面VAC ⊥平面BDE ．17．（14分）已知半径为5的圆的圆心在x 轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线43290x y +-=相切．（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）设直线50(0)ax y a -+=>与圆相交于A ，B 两点，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在实数a ，使得弦AB 的垂直平分线l 过点(2,4)P -，若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．18．（16分）如图，两座建筑物AB ，CD 的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是10m 和20m ，从建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的视角60CAD ∠=︒． （1）求BC 的长度；（2）在线段BC 上取一点P （点P 与点B ，C 不重合），从点P 看这两座建筑物的视角分别为APB α∠=，DPC β∠=，问点P 在何处时，αβ+最小？19．（16分）设首项为1的正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}2n a 的前n 项和为n T ，且24()3n n S p T --=，其中p 为常数． （1）求p 的值；（2）求证：数列{}n a 为等比数列；（3）证明：“数列n a ，12x n a +，22y n a +成等差数列，其中x 、y 均为整数”的充要条件是“1x =，且2y =”．20．（16分）已知函数123()()()()f x x x x x x x =---，1x ，2x ，3x R ∈，且123x x x <<．（1）当10x =，21x =，32x =时，求函数()f x 的减区间； （2）求证：方程()0f x '=有两个不相等的实数根； （3）若方程()0f x '=的两个实数根是α，()βαβ<，试比较122x x+，232x x +与α，β的大小，并说明理由．本题包括A ，B 共1小题，每小题10分，共20分．把答案写在答题卡相应的位置上．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]21．（10分）试求曲线sin y x =在矩阵MN 变换下的函数解析式，其中1002M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，10201N ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦． [选修4-4：极坐标与参数方程]22．（10分）已知直线l 的极坐标方程为sin()63πρθ-=，圆C 的参数方程为10cos (10sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数）．（1）请分别把直线l 和圆C 的方程化为直角坐标方程； （2）求直线l 被圆截得的弦长．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．23．（10分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ，//EF AB ，90BAF ∠=︒，2AD =，22AB AF EF ===，点P 在棱DF 上．（1）若P 是DF 的中点，求异面直线BE 与CP 所成角的余弦值； （2）若二面角D AP C --的正弦值为6，求PF 的长度．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．（10分）甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为1,,(01)2a a a <<，三人各射击一次，击中目标的次数记为ξ． （1）求ξ的分布列及数学期望；（2）在概率()(0P i i ξ==，1，2，3)中，若(1)P ξ=的值最大，求实数a 的取值范围．2020年江苏省南通市高考数学二模考前试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1．（5分）记复数(z a bi i =+为虚数单位）的共轭复数为(,)z a bi a b R =-∈，已知2z i =+，则2z = 34i - ． 【解答】解：2z i =+Q ，22(2)34z i i ∴=+=+，则234z i =-．故答案为：34i -．2．（5分）已知集合{1U =，3，5，9}，{1A =，3，9}，{1B =，9}，则()U A B =U ð {5} ． 【解答】解：Q 集合{1U =，3，5，9}，{1A =，3，9}，{1B =，9} {1A B ∴=U ，3，9} (){5}U A B ∴=U ð，故答案为{5}．3．（5分）某校共有师生1600人，其中教师有1000人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为80的样本，则抽取学生的人数为 30 ． 【解答】解：分层抽样的抽取比例为：801160020=， ∴抽取学生的人数为16003020⨯=． 故答案为30．4．（5分）角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(1,2)P ，则sin()πα-的值是．【解答】解：由题意可得1x =，2y =，r =sin y r α∴==，sin()sin παα∴-==．．5．（5分）执行以下语句后，打印纸上打印出的结果应是： 28 ．【解答】解：程序在运行过程中各变量的取值如下所示： 是否继续循环 i x 循环前 1 4 第一圈 是 4 42+ 第二圈 是 7 428++ 第三圈 是 10 42814+++ 退出循环，所以打印纸上打印出的结果应是：28 故答案为：28．6．（5分）设α、β为互不重合的平面，m ，n 是互不重合的直线，给出下列四个命题： ①若//m n ，则//m α；②若m α⊂，n α⊂，//m β，//n β，则//αβ；③若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n ；④若αβ⊥，m αβ=I ，n α⊂，m n ⊥，则n β⊥； 其中正确命题的序号为 ④ ．【解答】解：对于①，当//m n 时，由直线与平面平行的定义和判定定理，不能得出//m α，①错误；对于②，当m α⊂，n α⊂，且//m β，//n β时，由两平面平行的判定定理，不能得出//αβ，②错误；对于③，当//αβ，且m α⊂，n β⊂时，由两平面平行的性质定理，不能得出//m n ，③错误；对于④，当αβ⊥，且m αβ=I ，n α⊂，m n ⊥时，由两平面垂直的性质定理，能够得出n β⊥，④正确；综上知，正确命题的序号是④． 故答案为：④．7．（5分）已知函数32,2()(1),02xf x x x x ⎧⎪=⎨⎪-<<⎩…，若关于x 的方程()f x kx =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是 1(0,)2．【解答】解：如图所示： ①当2x …时，由函数2()f x x =单调递减可得：20()1f x x<=„； ②当02x <<时，由函数3()(1)f x x =-单调递增可得：1()1f x -<<． 由图象可知：由021k <<可得102k <<， 故当102k <<时，函数y kx =与()y f x =的图象有且只有两个交点， ∴满足关于x 的方程()f x kx =有两个不同的实根的实数k 的取值范围是1(0,)2． 故答案为1(0,)2．8．（5分）已知关于x 的不等式2(4)(4)0ax a x --->的解集为A ，且A 中共含有n 个整数，则当n 最小时实数a 的值为 2- ．【解答】解：已知关于x 的不等式2(4)(4)0ax a x --->， ①0a <时，4[()](4)0x a x a-+-<，其中40a a +<，故解集为4(a a+，4)， 由于444()2()()4a a a a a a+=-------„，当且仅当4a a -=-，即2a =-时取等号，4a a ∴+的最大值为4-，当且仅当44a a+=-时，A 中共含有最少个整数，此时实数a 的值为2-；②0a =时，4(4)0x -->，解集为(,4)-∞，整数解有无穷多，故0a =不符合条件； ③0a >时，4[()](4)0x a x a -+->，其中44a a+…，∴故解集为(-∞，44)(a a+⋃，)+∞，整数解有无穷多，故0a >不符合条件； 综上所述，2a =-． 故答案为：2-．9．（5分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点为1(F、2F ，点P 是第一象限内双曲线上的点，且121tan 2PF F ∠=，21tan 2PF F ∠=-，则双曲线的离心率为． 【解答】解：Q △12PF F中，12sin PF F ∠，12sin PF F ∠， ∴由正弦定理得121212sin 2sin PF PF F PF PF F ∠==∠，⋯① 又Q 121tan 2PF F ∠=，21tan 2PF F ∠=-， 1221121232tan tan()14122F PF PF F PF F -∴∠=-∠+∠=-=+⨯，可得124cos 5F PF ∠=，△12PF F 中用余弦定理，得222121212122cos 3PF PF PF PF F PF F F +-∠==g ，⋯② ①②联解，得12PF PF =，可得12PF PF -= ∴双曲线的2a =，结合2c =22c e a ==10．（5分）记123k k k k k S n =+++⋯⋯+，当1k =，2，3，⋯⋯时，观察下列等式：211122S n n =+，322111326S n n n =++，4323111424S n n n =++，6542515212S An n n Bn ⋯⋯=+++，⋯可以推测，A B -=14．【解答】解：根据所给的已知等式得到： 各等式右边各项的系数和为1， 最高次项的系数为该项次数的倒数， 16A ∴=，151212A B +++=， 解得112B =-， 所以1116124A B -=+=． 故答案为：14． 11．（5分）设函数()||f x x x a =-，若对于任意的1x ，2[2x ∈，)+∞，12x x ≠，不等式1212()()0f x f x x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是 (-∞，2]． ．【解答】解：由题意知()||f x x x a =-在[2，)+∞上单调递增． （1）当2a „时，若[2x ∈，)+∞，则2()()f x x x a x ax =-=-，其对称轴为2a x =， 此时22a<，所以()f x 在[2，)+∞上是递增的； （2）当2a >时，①若[x a ∈，)+∞，则2()()f x x x a x ax =-=-，其对称轴为2ax =，所以()f x 在[a ，)+∞上是递增的；②若[2x ∈，)a ，则2()()f x x a x x ax =-=-+，其对称轴为2a x =，所以()f x 在[2a，)a 上是递减的，因此()f x 在[2，)a 上必有递减区间． 综上可知2a „． 故答案为(-∞，2]．12．（5分）已知平面向量a r ，b r ，c r 满足||1a =r ，||2b =r ，a r ，b r 的夹角等于3π，且()()0a c b c --=r r r r g ，则||c r 的取值范围是．【解答】解：由()()0a c b c --=r r r r g 可得2()||||cos 12cos ||||cos 13c a b c a b a b c a b c παα=+-=+-⨯=+-r r r r r r r r rr r g g g g ，α为a b +r r 与c r 的夹角．再由222()214212cos 73a b a b a b π+=++=++⨯⨯=r r rr r r g可得||a b +=r r∴2|cos 1c c α=-r r，解得2cos αr ．0απQ 剟，1cos 1α∴-剟，∴21r，即2|||10c c +r r„．||c r，故答案为． 13．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，直角三角形ABC 的三个顶点都在椭圆2221(1)x y a a+=>上，其中(0,1)A 为直角顶点．若该三角形的面积的最大值为278，则实数a 的值为 3 ．【解答】解：设直线AB 的方程为1y kx =+则直线AC 的方程可设为11y x k=-+，(0)k ≠由22211y kx x y a=+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得2222(1)20a k x a kx ++=，所以0x =或22221a k x a k -=+ A Q 的坐标(0,1)，B ∴的坐标为2222(1a k a k -+，22221)1a k k a k -++g ，即2222(1a k B a k -+，22221)1a k a k -+因此，222|2|1a k AB a k ==+g ， 同理可得：2222||1a k AC a k=+gRt ABC ∴∆的面积为444224222212||121121()1()a k akS AB AC a a k a a k k k +===++++++g g 令1||t k k=+，得4422422222(1)1(2)a t a S a a a t a t t==-++-+ 1||2t k k =+Q …，442(1)ABC a S a a ∆∴=-„当且仅当2a t t=，即21a t a -=时，ABC ∆的面积S 有最大值为4227(1)8a a a =- 解之得3a =或3297a +=3297a +=Q 时，212a t a-=<不符合题意， 3a ∴=故答案为：314．（5分）设()(0)tx f x e t =>，过点(,0)P t 且平行于y 轴的直线与曲线:()C y f x =的交点为Q ，曲线C 过点Q 的切线交x 轴于点R ，若(1S ，f （1）)，则PRS ∆的面积的最小值是2e． 【解答】解：//PQ y Q 轴，(,0)P t ，(Q t ∴，())f t 即2(,)t t e ，又()(0)tx f x e t =>的导数()tx f x xe '=，∴过Q 的切线斜率2t k te =，设(,0)R r ，则220t t e k te t r-==-，1r t t∴=-，即1(R t t -，0)，11()PR t t t t=--=，又(1S ，f （1）)即(1,)t S e ，PRS ∴∆的面积为2te S t=，导数2(1)2t e t S t -'=，由0S '=得1t =，当1t >时，0S '>，当01t <<时，0S '<，1t ∴=为极小值点，也为最小值点，PRS ∴∆的面积的最小值为2e ． 故答案为：2e ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）在三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3sin 5A =，1tan()3A B -=，角C 为钝角，5b =． （1）求sin B 的值； （2）求边c 的长．【解答】解：（1）角C 为钝角，由3sin 5A =，则24cos 15A sin A =-． 那么：3tan 4A =1tan()3A B -=Q ，即tan tan 11tan tan 3A B A B -=+，可得：1tan 3B =即sin 1cos 3B B =，22sin cos 1B B +=， 解得：10sin B =． （2）由（1）可知：10sin B 则2310cos 1B sin B =-那么：1310sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+正弦定理：sin sin sin a b cA B C==， 可得：13c =．16．（14分）如图，四棱锥V ABCD -中，底面ABCD 是菱形，对角线AC 与BD 交于点O ，VO ⊥平面ABCD ，E 是棱VC 的中点．（1）求证：//VA 平面BDE ； （2）求证：平面VAC ⊥平面BDE ．【解答】证明：（1）连结OE ．因为底面ABCD 是菱形，所以O 为AC 的中点， 又因为E 是棱VC 的中点，所以//VA OE ， 又因为OE ⊂平面BDE ，VA ⊂/平面BDE ， 所以//VA 平面BDE ； （2）因为VO ⊥平面ABCD ， 又BD ⊂平面ABCD ，所以VO BD ⊥， 因为底面ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥， 又VO AC O =I ，VO ，AC ⊂平面VAC ， 所以BD ⊥平面VAC ． 又因为BD ⊂平面BDE ， 所以平面VAC ⊥平面BDE ．17．（14分）已知半径为5的圆的圆心在x 轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线43290x y +-=相切．（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）设直线50(0)ax y a -+=>与圆相交于A ，B 两点，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在实数a ，使得弦AB 的垂直平分线l 过点(2,4)P -，若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由． 【解答】（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设圆心为(M m ，0)()m Z ∈．由于圆与直线43290x y +-=相切，且半径为5， 所以|429|55m -=， 即|429|25m -=．因为m 为整数，故1m =． 故所求圆的方程为22(1)25x y -+=．⋯（4分） （Ⅱ）把直线50ax y -+=，即5y ax =+， 代入圆的方程，消去y ，整理，得22(1)2(51)10a x a x ++-+=， 由于直线50ax y -+=交圆于A ，B 两点， 故△224(51)4(1)0a a =--+>， 即21250a a ->， 由于0a >，解得512a >， 所以实数a 的取值范围是5(,)12+∞．（Ⅲ）设符合条件的实数a 存在， 则直线l 的斜率为1a -，l 的方程为1(2)4y x a=-++，即240x ay a ++-=由于l 垂直平分弦AB ，故圆心(1,0)M 必在l 上， 所以10240a ++-=，解得34a =． 由于35(,)412∈+∞，故存在实数34a =使得过点(2,4)P -的直线l 垂直平分弦AB ．⋯（14分）18．（16分）如图，两座建筑物AB ，CD 的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是10m 和20m ，从建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的视角60CAD ∠=︒． （1）求BC 的长度；（2）在线段BC 上取一点P （点P 与点B ，C 不重合），从点P 看这两座建筑物的视角分别为APB α∠=，DPC β∠=，问点P 在何处时，αβ+最小？【解答】解：（1）作AE CD ⊥，垂足为E ，则10CE =，10DE =，设BC x =， 则22202tan tan tan(2)31001tan 1CAEx CAD CAE CAE x ∠∠=∠===-∠-， 232010030x x --，解之得，103x =或3x =（舍)，答：BC 的长度为103m ； （2）设BP t =，则3(0103)CP t t =<<，2210031010(103)103tan()1032001032001103t t t tt t t t t tαβ+++-+===-+--+---g，设2103()103200t f t t t +=-+-222203500()(103200)t t f t t t +-'=-+-令()0f t '=，因为0103t <<202103t = 当(0,202103)t ∈时，()0f t '<，()f t 是减函数； 当(2023,103)t ∈时，()0f t '>，()f t 是增函数，所以，当202103t =()f t 取得最小值，即tan()αβ+取得最小值，因为21032000t t -+-<恒成立，所以()0f t <，所以tan()0αβ+<，(,)2παβπ+∈，因为tan y x =在(,)2ππ上是增函数，所以当t =αβ+取得最小值．答：当BP 为t =时，αβ+取得最小值．19．（16分）设首项为1的正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}2n a 的前n 项和为n T ，且24()3n n S p T --=，其中p 为常数． （1）求p 的值；（2）求证：数列{}n a 为等比数列；（3）证明：“数列n a ，12x n a +，22y n a +成等差数列，其中x 、y 均为整数”的充要条件是“1x =，且2y =”．【解答】（1）解：1n =时，由24(1)13p --=得0p =或2，若0p =时，243n n S T -=，当2n =时，22224(1)13a a -++=，解得20a =或212a =-，而0n a >，所以0p =不符合题意，故2p =； （2）证明：当2p =时，241(2)33n n T S =--①，则21141(2)33n n T S ++=--②， ②-①并化简得1134n n n a S S ++=--③，则22134n n n a S S +++=--④， ④-③得*211()2n n a a n N ++=∈，又因为2112a a =，所以数列{}n a 是等比数列，且112n n a -=；（3）证明：充分性：若1x =，2y =，由112n n a -=知na ，12x n a +，22yn a +依次为112n -，22n，142n +，满足112142222n n n -+⨯=+，即na ，12x n a +，22yn a +成等差数列； 必要性：假设n a ，12x n a +，22y n a +成等差数列，其中x 、y 均为整数，又112n n a -=， 所以11111222222x y n n n -+=+g g g ，化简得2221x y --=显然2x y >-，设(2)k x y =--，因为x 、y 均为整数，所以当2k …时，2221x y -->或2221x y --<，故当1k =，且当1x =，且20y -=时上式成立，即证．20．（16分）已知函数123()()()()f x x x x x x x =---，1x ，2x ，3x R ∈，且123x x x <<． （1）当10x =，21x =，32x =时，求函数()f x 的减区间； （2）求证：方程()0f x '=有两个不相等的实数根； （3）若方程()0f x '=的两个实数根是α，()βαβ<，试比较122x x+，232x x +与α，β的大小，并说明理由．【解答】解：（1）当10x =，21x =，32x =时，()(1)(2)f x x x x =--，令2()3620f x x x '=-+<解得，x <<故函数()f x 的减区间为； （2）证明：123()()()()f x x x x x x x =---Q ，231312()()()()()()()f x x x x x x x x x x x x x ∴'=--+--+--，又123x x x <<Q ，11213()()()0f x x x x x ∴'=-->， 22123()()()0f x x x x x '=--<， 33231()()()0f x x x x x '=-->，故函数()f x '在1(x ，2)x ，2(x ，3)x 上分别有一个零点， 故方程()0f x '=有两个不相等的实数根；（3）Q 方程()0f x '=的两个实数根是α，()βαβ<，()()0f f αβ∴'='=，而12121212121212231312()()()()()()()2222222x x x x x x x x x x x x x x f x x x x x x +++++++'=--+--+--2121()04x x =--<，23232323232323231312()()()()()()()2222222x x x x x x x x x x x x x x f x x x x x x +++++++'=--+--+--2321()04x x =--<，再结合二次函数的图象可知，231222x x x x αβ++<<<． 本题包括A ，B 共1小题，每小题10分，共20分．把答案写在答题卡相应的位置上．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]21．（10分）试求曲线sin y x =在矩阵MN 变换下的函数解析式，其中1002M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，10201N ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦． 【解答】解：1002M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦Q ，10201N ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦， 11100022020102MN ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥∴==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，4⋯分 ∴在矩阵MN 变换下，122x x x y y y ⎡⎤'⎡⎤⎡⎤⎢⎥→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，6⋯分∴曲线sin y x =在矩阵MN 变换下的函数解析式为2sin 2y x =．10⋯分．[选修4-4：极坐标与参数方程]22．（10分）已知直线l 的极坐标方程为sin()63πρθ-=，圆C 的参数方程为10cos (10sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数）．（1）请分别把直线l 和圆C 的方程化为直角坐标方程； （2）求直线l 被圆截得的弦长．【解答】解：（1）由sin()63πρθ-=，得1(sin )62ρθθ=，12y ∴=120y -+=．圆的方程为22100x y +=．（2）圆心(0,0)到直线3120x y -+=的距离26(3)1d ==+，10y =，∴弦长21003616l =-=．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．23．（10分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ，//EF AB ，90BAF ∠=︒，2AD =，22AB AF EF ===，点P 在棱DF 上．（1）若P 是DF 的中点，求异面直线BE 与CP 所成角的余弦值； （2）若二面角D AP C --的正弦值为6，求PF 的长度．【解答】解：（1）90BAF =︒Q ，AF AB ∴⊥，又Q 平面ABEF ⊥平面ABCD ，且平面ABEF ⋂平面ABCD AB =，AF ∴⊥平面ABCD ，又四边形ABCD 为矩形，∴以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AF 为z 轴，建立空间直角坐标系，2AD =Q ，22AB AF EF ===，P 是DF 的中点，(2B ∴，0，0)，(1E ，0，2)，(2C ，2，0)，(0P ，1，1)，(1BE =-u u u r ，0，2)，(2CP =-u u u r，1-，1)，设异面直线BE 与CP 所成角的平面角为θ， 则||230cos ||||56BE CP BE CP θ===u u u r u u u r g u u u r u u u r g g ，∴异面直线BE 与CP 230（2）(0A ，0，0)，(2C ，2，0)，(0F ，0，2)，(0D ，2，0)， 设(P a ，b ，)c ，FP FD λ=u u u r u u u r，01λ剟，即(a ，b ，2)(0c λ-=，2，2)-， 解得0a =，2b λ=，22c λ=-，(0P ∴，2λ，22)λ-，(0AP =u u u r ，2λ，22)λ-，(2AC =u u u r ，2，0)，设平面APC 的法向量(n x =r ，y ，)z ，则2(22)0220n AP y z n AC x y λλ⎧=+-=⎪⎨=+=⎪⎩u u u r r g u u u r r g ，取1x =，得(1n =r ，1-，2)22λλ-，平面ADF 的法向量(1m =r ，0，0)，Q 二面角D AP C --的正弦值为6， 22||6|cos ,|1()||||322()22m n m n m n λλ∴<>===-+-r r g r r r r g ， 解得14λ=，(0P ∴，12，3)2， PF ∴的长度222132||(00)(0)(2)22PF =-+-+-=．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．（10分）甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为1,,(01)2a a a <<，三人各射击一次，击中目标的次数记为ξ．（1）求ξ的分布列及数学期望；（2）在概率()(0P i i ξ==，1，2，3)中，若(1)P ξ=的值最大，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）()P ξ是“ξ个人命中，3ξ-个人未命中”的概率．其中ξ的可能取值为0，1，2，002212113.(0)(1)(1)(1)22P C C a a ξ==--=-，1020121212111(1)(1)(1)(1)(1)222P C C a C C a a a ξ==-+--=-g ，1102221212111(2)(1)(1)(2)222P C C a a C C a a a ξ==-+-=-g ，2122121(3)22a P C C a ξ===g ． 所以ξ的分布列为ξ的数学期望为222111410(1)1(1)2(2)322222a a E a a a a ξ+=⨯-+⨯-+⨯-+⨯=．（2）221(1)(0)[(1)(1)](1)2P P a a a a ξξ=-==---=-，22112(1)(2)[(1)(2)]22aP P a a a ξξ-=-==---=，222112(1)(3)[(1)]22a P P a a ξξ-=-==--=．由2(1)012021202a a a a⎧⎪-⎪-⎪⎨⎪⎪-⎪⎩………和01a <<，得102a <„，即a 的取值范围是1(0,]2．（10分）。
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江苏南通2020高考数学二轮冲刺小练（20）
班级 学号 姓名
1．对于命题p ：x ∃∈R ，x 2+ x +1 < 0，则p ⌝为：_____ ．
2．复数13i z =+，21i z =-，则复数12
z z 在复平面内对应的点位于第__ __象限． 3．一个靶子上有10个同心圆，半径依次为1，2，…，10，击中由内至外的区域的成绩依次为10，9，…，1环．不考虑技术因素，则射击一次，在有成绩的情况下成绩为10环的概率为 ．
4．△ABC 中，︒=∠==30,1,3B AC AB ，则△ABC 的面积等于__ _．
5．给出下列命题中，正确命题的序号是__ ．
①“()x A B ∈I ”是“()x A B ∈U ”的充分不必要条件；
②若0,0a b >>，则不等式3323a b ab +≥恒成立；
③对于函数2()2f x x mx n =++，若()0,()0,f a f b >>则函数在(,)a b 内至多有一个零点； ④(2)y f x =-与(2)y f x =-的图象关于2x =对称．
6．若△ABC 内切圆半径为r ，三边长为a 、b 、c ，则△ABC 的面积S ＝12 r (a +b +c ) ；若四面
体内切球半径为R ，四个面的面积为S 1，S 2 ，S 3 ，S 4，则四面体的体积
V ＝ ．
7．已知数列{}n a 为等差数列，且17134a a a π++=，则212tan()a a +=_ _ _．
8．已知(1,2),(3,4)A B ，直线1l ：20,:0x l y ==和3:l x +3y 10-=．设i P 是i l (1,2,3)i =上与A 、B 两点距离平方和最小的点，则△P 1P 2P 3的面积是 ．
9．若21,0,()1,
0,x x f x x ⎧+=⎨<⎩≥则满足不等式2(1)(2)f x f x ->的x 的范围是 ． 10．已知点P 是抛物线2
4y x =上的动点，若点P 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标是(4，a )，则当||4a >时，||||PA PM +的最小值是
11．某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分 成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后，画出如下部分频率分布直方图：
（1）求第四小组的频率，并补全这个频率
分布直方图；
（2）观察频率分布直方图的信息，估计这
0.01
频率组距
次考试的及格率（60分及以上为及格）
和平均分．
12．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，(2,cos ),(,cos )b c C a A =-=m n ，且//m n ．
（1）求角A 的大小； （2）求)23
cos(sin 22B B y -+=π
的值域．。