北师大版七年级数学寒假讲义(尖子班)

第一讲 整式的乘方
一.同底数幂的乘法
+⋅=m n m n a a a (其中,m n 都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.
（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，
即m n p m n p a a a a ++⋅⋅=（,,m n p 都是正整数）.
（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它
们的指数之和等于原来的幂的指数。

即m n m n a a a +=⋅（,m n 都是正整数）.
例题：
1．已知n 是大于1的自然数，则（﹣c ）n ﹣1•（﹣c ）n+1等于（ ）
A ．
B ．﹣2nc
C ．﹣c 2n
D ．c 2n
同步练习：
1.（﹣p ）2•（﹣p ）3= ．
2．规定a*b=2a ×2b ，求：
（1）求2*3； （2）若2*（x+1）=16，求x 的值．
3．阅读材料：n 个相同的因数a 相乘，可记为a n ，如2×2×2=23=8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log 28（即log 28=3）．一般地，若a n =b （a ＞0且a ≠1，b ＞0），则n 叫做以a 为底b 的对数，记为log a b （即log a b=n ）．如34=81，则4叫做以3为底81的对数，记为log 381（即log 381=4）．
根据以上材料，解决下列问题：
（1）计算以下各对数的值：log 24= ，log 216= ，log 264= ；
（2）根据（1）中的计算结果，写出log 24，log 216，log 264满足的关系式；
（3）根据（2）中的关系式及4，16，64满足的关系式猜想一般性结论：
log a M+log a N= （a ＞0且a ≠1，M ＞0，N ＞0）；
（4）根据幂的运算法则说明（3）中一般性结论的正确性．
二．幂的乘方与积的乘方
幂的乘方法则： ()=m n mn a a (其中,m n 都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.
要点诠释：（1）公式的推广：(())=m n p mnp a a
(0≠a ，,,m n p 均为正整数) （2）逆用公式： ()()n m mn m n a a a ==，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，
从而解决问题.
积的乘方法则：()=⋅n n n
ab a b (其中n 是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
要点诠释：（1）公式的推广：()=⋅⋅n n n n
abc a b c (n 为正整数). （2）逆用公式：()n
n n a b ab =逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：1010
101122 1.22⎛⎫⎛⎫⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 例题：
1．图中是小明完成的一道作业题，请你参考小明答方法解答下面的问题：
（1）计算：①82008×（﹣0.125）2008； ②（
）11×（﹣）13×（）12．
（2）若2•4n•16n=219，求n的值．
同步练习：
1.计算：x4•x5•（﹣x）7+5（x4）4﹣（x8）2．
2．已知常数a、b满足3a×32b=27，且（5a）2×（52b）2÷（53a）b=1，求a2+4b2的值．
3．规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果a c=b，那么（a，b）=c．
例如：因为23=8，所以（2，8）=3．
（1）根据上述规定，填空：
（3，27）= ，（5，1）= ，（2，）= ．
（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：（3n，4n）=（3，4），小明给出了如下的证明：设（3n，4n）=x，则（3n）x=4n，即（3x）n=4n
所以3x=4，即（3，4）=x，
所以（3n，4n）=（3，4）．
请你尝试运用这种方法证明下面这个等式：（3，4）+（3，5）=（3，20）
三．单项式乘以单项式
单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.
要点诠释：（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.
（2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数
不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积
的一个因式.
（3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成.
（4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则.
例题：
1．若（a m+1b n+2）（a2n﹣1b2n）=a5b3，则求m+n的值．
2．计算
（1）. a3•a4•a+（a2）4+（﹣2a4）2（2）. （﹣3x2y）2•（﹣xyz）•xz2．
同步练习：
1．已知x3m=2，y2m=3，求（x2m）3+（y m）6﹣（x2y）3m•y m的值．
2.计算：2x 3（x 3）2﹣（3x 3）3+5x 2•x 7
四．单项式乘以多项式
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即()m a b c ma mb mc ++=++. 要点诠释：（1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题.
（2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同.
（3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的
符号.
（4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果.
例题：
1．计算：x （x ﹣1）+2x （x+1）﹣3x （2x ﹣5）
同步练习：
1．计算：
．
2．若ab 2=﹣1，求﹣ab （a 2b 5﹣ab 3﹣2b ）的值．
五．多项式乘以多项式
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即()()
++=+++.
a b m n am an bm bn
要点诠释：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：()()()
2
++=+++.
x a x b x a b x ab
例题：
1．探究应用：
（1）计算：（x+1）（x2﹣x+1）= ；（2x+y）（4x2﹣2xy+y2）= ．
（2）上面的乘法计算结果很简洁，你发现了什么规律（公式）？用含a、b的字母表示该公式为：．（3）下列各式能用第（2）题的公式计算的是
A．（m+2）（m2+2m+4）B．（m+2n）（m2﹣2mn+2n2）
C．（3+n）（9﹣3n+n2）D．（m+n）（m2﹣2mn+n2）
同步练习：
1．已知代数式（ax﹣3）（2x+4）﹣x2﹣b化简后，不含x2项和常数项．求a，b的值
2．已知（x3+mx+n）（x2﹣3x+1）展开后的结果中不含x3、x2项．求m+n的值．
3．根据几何图形的面积关系可以形象直观地表示多项式的乘法．例如：（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2可以用图（1）表示
（1）根据图（2），写出一个多项式乘以多项式的等式；
（2）从A，B两题中任选一题作答：
A．请画出一个几何图形，表示（x+p）（x+q）=x2+（p+q）x+pq，并仿照上图标明相应的字母；
B．请画出一个几何图形，表示（x﹣p）（x﹣q）=x2﹣（p+q）x+pq，并仿照上图标明相应的字母．
综合考查：
1．若a m=a n（a＞0且a≠1，m，n是正整数），则m=n．你能利用上面的结论解决下面的2个问题吗？试试看，相信你一定行！
①如果2×8x×16x=222，求x的值；②如果（27﹣x）2=38，求x的值．
2.计算:
（1）.用简便算法计算：（﹣9）3×（﹣）3×（）3．
(2)．解方程：2x（x+1）﹣（3x﹣2）x=1﹣x2．
第二讲 乘法公式
一．平方差公式
平方差公式： 22
()()a b a b a b +-=-
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
要点诠释：在这里，b a ,既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.
抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：
（1）位置变化：如()()a b b a +-+利用加法交换律可以转化为公式的标准型
（2）系数变化：如(35)(35)x y x y +-
（3）指数变化：如3232()()m n m n +-
（4）符号变化：如()()a b a b ---
（5）增项变化：如()()m n p m n p ++-+
（6）增因式变化：如2244()()()()a b a b a b a b -+++ 例题：
1.若a 2﹣b 2=，a+b=，则a ﹣b 的值为（ ）
A ．﹣
B ．
C ．1
D ．2
2．3（22+1）（24+1）…（232+1）+1计算结果的个位数字是（ ）
A ．4
B ．6
C ．2
D ．8
同步练习：
1．化简（m 2+1）（m+1）（m ﹣1）﹣（m 4+1）的值是（ ）
A ．﹣2m 2
B ．0
C ．﹣2
D ．﹣1
2．计算下列各题：
（1）（a ﹣2b ）2﹣（2a+b ）（b ﹣2a ）﹣4a （a ﹣b ）
两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.
要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：
()2222a b a b ab +=+-()22a b ab =-+ ()()22
4a b a b ab +=-+ 例题：
1．已知x+y=5，xy=6，则x 2+y 2的值是（ ）
A ．1
B ．13
C ．17
D ．25
2．已知a+b=﹣5，ab=﹣4，则a 2﹣ab+b 2=（ ）
A ．29
B ．37
C ．21
D ．33
同步练习：
1．我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式乘方（a+b ）n 的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”请计算（a+b ）64的展开式中第三项的系数为（ ）
A ．2016
B ．2017
C ．2018
D ．2019
2．若x ，y 满足x 2+y 2=，xy=﹣，求下列各式的值．
（1）（x+y ）2 （2）x 4+y 4 （3）x 3+y 3
两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.
要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：
()2222a b a b ab +=+-()22a b ab =-+ ()()22
4a b a b ab +=-+ 例题：
1．已知a ﹣=5，则a 2+的值是 ．
2．当4x 2+2（k ﹣3）x+25是一个完全平方式，则k 的值是 ．
同步练习：
1．若4次3项式m 4+4m 2+A 是一个完全平方式，则A=
2．已知4x 2+8（n+1）x+16n 是一个关于x 的完全平方式，则常数n 的值为 ．
综合考查：
1. 计算：（2x+3y ）2﹣（4x ﹣9y ）（4x+9y ）+（3x ﹣2y ）2．
2. 已知x+y=6，xy=5，求下列各式的值：
（1）
（2）（x ﹣y ）2 （3）x 2+y 2．
3. 若二次三项式x 2+（2m ﹣1）x+4是一个完全平方式，则m 的值是多少？
第三讲相交线及三线八角
一．对顶角和邻补角
对顶角
1. 对顶角的模型：
∠1和∠2是对顶角，∠3和∠4是对顶角.
特点：①成对出现；②两个角有公共的顶点；③角的两边互为反向延长线.
2. 对顶角的性质：对顶角相等.
邻补角
1. 邻补角：两个角有一条公共边，他们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角.
2. 邻补角的模型：
∠1和∠3是邻补角，∠1和∠4是邻补角，∠2和∠3是邻补角，∠2和∠4是邻补角，
特点：①成对出现；②两个角有公共的顶点；③两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线.
3. 邻补角的性质：两个角的和为180°.
例题：
1.如图，直线a、b相交于点O，将量角器的中心与点O重合，发现表示60°的点在直线a上，表示138°的点在直线b上，则∠1=_________°．
2.如图，直线AB、CD、EF相交于点O．
（1）写出∠BOE的对顶角和邻补角；
（2）若∠AOC：∠AOE=2：1，∠EOD=90°，求∠BOC的度数.
同步练习：
1．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOD，若∠BOC=70°，则∠COE的度数是（）
A．110°B．120°C．135°D．145°
2．如图，两条直线相交于点O，若射线OC平分平角∠AOB，∠1=56°，则∠2等于（）
A．44°B．56°C．45°D．34°
3．如图所示，直线AB与CD相交于点O，OB平分∠DOE，若∠DOE=60°，则∠AOE的度数是（）
A．90°B．150°C．180°D．不能确定
4．如图所示，直线AB交CD于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COB，∠AOD：∠BOE=5：2，则∠AOF等于（）
A．140°B．130°C．120°D．110°
二．垂线
垂线
1. 两直线相交所形成的角中，当有一个角等于90°时，这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，他们的交点叫做垂足.
2. 垂直的模型：
说法：①直线a是直线b的垂线（或直线b是直线a的垂线），垂足为O.
②直线a垂直于直线b于点O（或直线b垂直于直线a于点O）.
结论：两垂直直线形成的四个角都是直角，均为90°.
3. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
垂线段
1. 过直线外一点作直线的垂线，以这个点和垂足为端点的线段叫做这个点到直线的垂线段.
2. 垂线段模型：
线段AB是点A到直线a的垂线段.
3. 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.
简单说成：垂线段最短.
4. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.
注意：距离是长度，不是线段.
例题：
1.如图，OM⊥NP，ON⊥NP，所以ON与OM重合，理由是_________________.
2.如图,直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB,垂足为O.
（1）写出图中与∠1互为余角的角；
（2）若∠AOC：∠2=3：2，求∠1的度数．
3.如图所示，AD⊥BD，BC⊥CD，AB=5cm，BC=3cm，则BD的长度的取值范围是________________.
4.如图，BC⊥AC，CB=8cm，AC=6cm，AB=10cm，那么点B到AC的距离是________cm，点A到BC的距离是________cm，C到AB的距离是___________cm．
同步练习：
1．如图直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB垂足为O，（1）与∠1互为补角的角是_ ___；
（2）若∠AOC：∠2=3：2，求∠1的度数．
2．如图，直线AB、CD相交于点O，OM⊥AB．（1）若∠1=∠2，求∠NOD的度数；
（2）若∠1=∠BOC，求∠AOC和∠MOD的度数．
3．如图，直线AB、CD相交于点O，OM⊥AB．（1）若∠1=∠2，则∠2的余角有___________．
（2）若∠1=∠BOC，求∠AOD和∠BOD的度数．
三．三线八角
模型：
1. 同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角分别在两直线的同一方，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．如∠1与∠8，∠2与∠5.
2. 内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两侧，则这样一对角叫做内错角．如∠1与∠6，∠4与∠5.
3. 同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同一旁，则这样一对角叫做同旁内角．如∠1与∠5，∠4与∠6.
4. 三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U” 形.
例题：
1.如图，图中∠1与∠2是同位角的序号是___________.
2.如图，已知直线a，b被直线c，d所截，直线a，c，d相交于点O，按要求完成下列各小题．
（1）在图中的∠1～∠9这9个角中，同位角共有多少对？请你全部写出来；
（2）∠4和∠5是什么位置关系的角？∠6和∠8之间的位置关系与∠4和∠5的相同吗？
同步练习：
1．如图所示，下列说法中：①∠A与∠B是同旁内角；②∠2与∠1是内错角；③∠A与∠C是内错角；④∠A与∠1是同位角．正确的个数是（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．如图，点E在BC的延长线上，则下列两个角是同位角的是（）
A．∠BAC和∠ACD B．∠D和∠BAD C．∠ACB和∠ACD D．∠B和∠DCE
3．如图，按各组角的位置判断，下列结论：①∠2与∠6是内错角；②∠3与∠4是内错角；③∠5与∠6是同旁内角；
④∠1与∠4是同旁内角．其中正确的是（）
A．①②B．②③④C．①②④D．①②③④
综合考查：
1.如图是一把剪刀，其中∠1=∠2，其理由是__________．
2.如图，线段AD、AE、AF分别是△ABC的高线，角平分线，中线，比较线段AC、AD、AE、AF的长短，其中最短的是_________________.
3.如图所示，AB⊥l1，AC⊥l2，则点A到直线l1的距离是线段_________的长度．
4.如图所示，直线AD与直线BD相交于点D，BE⊥AD，垂足为点E，AC与DC垂直于点C.点B到直线AD的距离是线段_______的长度，点D到直线AB的距离是线段______的长度．
5.如图，直线a、b被直线c所截，互为同旁内角是______________.
6.如图所示，两只手的食指和拇指在同一平面内，它们构成的一对角可以看成__________.
7.如图，OC⊥AB于点O，∠1=∠2，则图中互余的角有____________对．
8.如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC=76°，∠DOF=90°，求∠EOF的度数．
9.如图所示：
（1）与∠B是同旁内角的有哪些角？
（2）与∠C是内错角的有哪些角？
它们分别是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？
第四讲平行线
一．平行公理及推论
1. 在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：相交和平行.
直线a与直线b不相交时，直线a与b互相平行，记作a∥b.
2. 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.
平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.
例题：
1.如图，已知OA∥CD，OB∥CD，那么∠AOB是平角，为什么？
2.如图，AD∥BC，E为AB上任一点，过E点作EF∥AD交DC于F．问EF与BC的位置关系怎样，为什么？
同步练习：
1．下列说法正确的是（）
A．经过已知一点有且只有一条直线与已知直线平行B．两个相等的角是对顶角
C．互补的两个角一定是邻补角D．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短2．下列说法中不正确的有（）
①两条不相交的直线叫做平行线；②经过一点，有且只有一条直线与已知直线垂直；
③经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行；
④一个角的两边与另一个角两边互相垂直，那么这两个角相等．
A．1个B．2个C．3个D．4个
二．平行线的判定
1. 平行线的判定方法：
判定方法1 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.
简单说成：同位角相等，两直线平行.
如图1，∵∠4=∠2，∴a∥b.
判定方法2 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.
简单说成：内错角相等，两直线平行.
如图2，∵∠4=∠5，∴a∥b.
判定方法3 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.
简单说成：同旁内角互补，两直线平行.
如图3，∵∠4+∠1=180°，∴a∥b.
2. 重要结论：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行.
注意：条件“同一平面”不能缺少，否则结论不成立.
例题：
1.AB⊥BC，∠1+∠2=90°，∠2=∠3．BE与DF平行吗？为什么？
解：BE∥DF．
∵AB⊥BC，
∴∠ABC=____°，
即∠3+∠4=____°．
又∵∠1+∠2=90°，
且∠2=∠3，
∴____=____．
理由是：_________．
∴BE∥DF．
理由是：_____________．
同步练习：
1．如图，条件（填写所有正确的序号）一定能判定AB∥CD．
①∠B+∠BCD=180°；②∠1=∠2；③∠3=∠4；④∠B=∠5；
2．如图，点E在AC的延长线上，给出四个条件：①∠1=∠2；②∠3=∠4：③∠A=∠DCE；④∠D+∠ABD=180°．其中能判断AB∥CD的有．（填写所有满足条件的序号）
3．如图，有下列条件：①∠1=∠2；②∠3=∠4；③∠B=∠5；④∠B+∠BAD=180°．其中能得到AB∥CD的是____（填写编号）．
三．平行线的性质
平行线的性质：
性质1 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.
简单说成：两直线平行，同位角相等.
如图1，∵a∥b，∴∠4=∠2.
性质2 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.
简单说成：两直线平行，内错角相等.
如图2，∵a∥b，∴∠4=∠5.
性质3 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.
简单说成：同旁内角互补，两直线平行.
如图3，∵a∥b，∴∠4+∠1=180°.
例题：
1.如图，∠ACB=90°，BD平分∠ABE，CD∥AB交BD于点D，若∠1=20°，求∠2的度数．
同步练习：
1.如图，AB∥CD，则∠A、∠C、∠E、∠F满足的数量关系是（）
A．∠A=∠C+∠E+∠F B．∠A+∠E﹣∠C﹣∠F=180°
C．∠A﹣∠E+∠C+∠F=90°D．∠A+∠E+∠C+∠F=360°
2．如图，已知AB∥DE，∠ABC=50°，∠CDE=150°，则∠BCD的值为（）
A．20°B．50°C．40°D．30°
3．如图，已知直线AB∥CD，若∠C=118，∠A=26°，则∠E的度数为（）
A．70°B．82°C．92°D．102°
四．平行线的判定与性质的综合运用
两直线平行⇔同位角相等.
两直线平行⇔内错角相等.
两直线平行⇔同旁内角互补.
“⇔”叫做“等价于”，即由左边能推出右边，由右边也能推出左边.
例题：
1.把下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由．
如图，点D，E，F分别是三角形ABC的边BC，CA，AB上的点，连接DE，DF，DE∥AB，∠BFD=∠CED，连接BE交DF于点G，试说明：∠EGF+∠AEG=180°．
理由：∵DE∥AB（已知），
∴∠A=∠CED（___________________________），
又∵∠BFD=∠CED（已知），
∴∠A=∠BFD（___________________），
∴DF∥AE（___________________________）
∴∠EGF+∠AEG=180°（___________________________）.
2.已知：如图∠1=∠2，∠C=∠D，试说明：∠A=∠F．
同步练习：
1.已知：如图，点E、F分别在直线AB、CD上，点G、H在两直线之间，线段EF与GH相交于点O，且有∠AEF+∠CFE=180°，∠AEF﹣∠1=∠2，则在图中相等的角共有（）
A．5对B．6对C．7对D．8对
2．如图，已知EF⊥AB，CD⊥AB，下列说法：①EF∥CD；②∠B+∠BDG=180°；③若∠1=∠2，则∠1=∠BEF；④若∠ADG=∠B，则∠DGC+∠ACB=180°，其中说法正确的是（）
A．①②B．③④C．①②③D．①③④
3．如图，已知∠A+∠C=180°，∠APM=118°，则∠CQN= °．
4．填写理由：如图所示
∵DF∥AC（已知），
∴∠D+∠DBC=180°．（）
∵∠C=∠D（已知），
∴∠C+ =180°．（）
∴DB∥EC（）
∴∠D=∠CEF．（）
五．命题、定理、证明
1. 命题：判断一件事情的语句叫做命题.
数学中的命题常可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论.
2. 真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题.
假命题：题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题.
3. 定理：经过推理证实的真命题叫做定理.
判断一个命题正确性的推理过程叫做证明.
4. 判断一个命题是真命题，需要进行证明；判断一个命题是假命题，只要举出一个例子（反例），它符合命题的题设，但不满足结论就可以了.
例题：
1.如图，已知：点A、B、C在一条直线上．
（1）请从三个论断①AD∥BE；②∠1=∠2；③∠A=∠E中，选两个作为条件，另一个作为结论构成一个真命题：条件：__________________________．
结论：___________________________．
（2）证明你所构建的是真命题．
同步练习：
1．下列命题中，为真命题的是（）
A．同位角相等B．若a＞b，则﹣2a＞﹣2b
C．若a2=b2，则a=b D．对顶角相等
2．命题：①一个三角形中至少有两个锐角；②垂直于同一条直线的两条直线垂直；③如果两个有理数的积小于0，那么这两个数的和也小于0．其中为真命题的有（）
A．0个B．1个C．2个D．3个
3．下列命题中，正确的是（）
A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若，则x＞﹣2
C．若ac2＞bc2，则a＞b D．若3x＞﹣6，则x＜﹣2
综合考查：
1．下列说法：①两点之间的距离是两点间的线段的长度；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③两点之间的所有连线中，线段最短；④若a⊥b，c⊥b，则a与b的关系是平行；⑤只有一个公共点的两条直线叫做相交直线；其中正确的是．
2．下列结论正确的是（）
A．同位角相等B．同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线
C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行D．垂直于同一条直线的两条直线互相平行
3．已知：如图，∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6．求证：ED∥FB．
4．如图，∠A=22°，∠E=30°，AC∥EF，则∠1的度数为．
5．如图，已知∠ABC+∠ECB=180°，∠P=∠Q．求证：∠1=∠2．
6．如图，∠DAB+∠D=180°，AC平分∠DAB，且∠CAD=25°，求∠C的度数．
第五讲函数
一．常量与变量
在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量.
注意：字母可以表示数，但不一定是变量.
例题：
1.我国是一个严重缺水的国家，我们都应该倍加珍惜水资源，节约用水．据测试，拧不紧的水龙头每秒会滴下2滴水，每滴水约0.5毫升．小燕子同学在洗手时，没有拧紧水龙头，当小燕子离开x（时）后水龙头滴了y（毫升）水．在这段文字中涉及的量中，哪些是常量，哪些是变量？
当堂练习：
1．下列说法中正确的是（）
A．用图象表示变量之间关系时，用水平方向上的点表示自变量
B．用图象表示变量之间关系时，用纵轴上的点表示因变量
C．用图象表示变量之间关系时，用竖直方向上的点表示自变量
D．用图象表示变量之间关系时，用横轴上的点表示因变量
2．世纪花园居民小区收取电费的标准是0.6元/千瓦时，当用电量为x（单位：千瓦时）时，收取电费为y（单位：元）．在这个问题中，下列说法中正确的是（）
A．x是自变量，0.6元/千瓦时是因变量B．y是自变量，x是因变量
C．0.6元/千瓦时是自变量，y是因变量D．x是自变量，y是因变量
二．函数的相关概念
1. 函数：在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是因变量，y是x的函数.
2. 函数值：在一个函数中，如果当x=a时y=b，那么b叫做自变量的值为a时的函数值.
3. 解析式：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，这种式子叫做函数解析式.
4. 函数自变量的取值范围
确定自变量的取值范围时，不仅要考虑使函数关系式有意义，而且还要注意问题的实际意义.
例题：
1.某公司销售部门发现，该公司的销售收入随销售量的变化而变化，其中__________是自变量，_______________是因变量．
2.下列四个图象中，y是关于x的函数的是____________.
3.判断下列选项中的变量y是否为x的函数？
①y=2x；
②y=2x2；
③y2=2x；
④y=2|x|；
⑤|y|=2x．
同步练习：
1.求下列函数自变量x的取值范围．
（1）y=﹣x2﹣5x+6；
（2）y=√4x −3；
（3）y=
√7−x 4+5x
．
2.著名的狄利克雷（DcicHer ）函数是这样定义的：y={1，x 是有理数0，x 是无理数
. （1）这个函数的自变量与因变量分别是什么？
（2）这个函数的自变量的取值范围和函数值的取值范围分别是什么？
（3）请分别写出当x ═1，√2，6.4，3.1415时的函数值．
3．如图所示能表示y 是x 的函数是（ ） A ． B ．
C ．
D ． 4．函数y=
，自变量x 的取值范围是（ ） A ．x ＞1
B ．x ≥1 且 x ≠﹣2
C ．x ≥1
D ．x ≠﹣2 5．函数y=
的自变量x 的取值范围是（ ） A ．x ＞﹣3
B ．x ≠﹣3
C ．x ≥﹣3
D ．x ＞﹣3且x ≠0
三．函数的表示方法
①函数的表示方法——图象法
1. 函数图象
对于一个函数，如果把自变量x与函数的每对对应值y分别作为点的横坐标、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.
注：①以满足函数解析式的有序实数对为坐标的点一定在函数图象上；
②函数图象上点的坐标满足函数解析式.
2. 画函数图象的步骤：
①列表（表中随机取出一些自变量的值及其对应的函数值）；
②描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表中数值对应的各点）；
③连线（按横坐标由小到大的顺序把描出的各点用平滑的曲线连接起来）.
3. 用图象法表示函数的优缺点
优点：直观的反应两个变量之间的关系，形象的反应函数的一些性质及变化趋势.
缺点：由图象所得到的有关数据和数量关系不准确.
例题：
1.小红帮弟弟荡秋千（如图1），秋千离地面的高度h（m）与摆动时间t（s）之间的关系如图2所示．
（1）根据函数的定义，请判断变量h是否为关于t的函数？
（2）结合图象回答：
①当t=0.7s时，h的值是多少？并说明它的实际意义．
②秋千摆动第一个来回需多少时间？
同步练习：
1.一天，王亮同学从家里跑步到体育馆，在那里锻炼了一阵后又走到某书店去买书，然后散步走回家如图反映的是在这一过程中，王亮同学离家的距离s（千米）与离家的时间t（分）之间的关系，请根据图象解答下列问题：（1）体育馆离家的距离为________千米，书店离家的距离为________千米；王亮同学在书店待了________分钟．（2）分别求王亮同学从体育馆走到书店的平均速度和从书店出来散步回家的平均速度．
②函数的表示方法——列表法
列表法的优缺点：
优点：可以直接找到函数值.
缺点：只能列出部分自变量与函数的对应值，总结出的规律不一定可靠.
例题：
1.父亲告诉小明：“距离地面越远，温度越低，”并给小明出示了下面的表格．
根据上表，父亲还给小明出了下面几个问题，你和小明一起回答．
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）如果用h表示距离地面的高度，用t表示温度，那么随着h的变化，t是怎么变化的？（3）你知道距离地面5千米的高空温度是多少吗？
（4）你能猜出距离地面6千米的高空温度是多少吗？
③函数的表示方法——解析式法
解析式法表示函数的优缺点
优点：简单准确的反应两个变量之间的关系.
缺点：不能形象直观的反应函数关系的变化趋势.有些函数关系不能用解析式表示.
例题：
1.将长为40cm，宽为15cm的长方形白纸，按图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为5cm．
（1）根据图，将表格补充完整．
（2）设x张白纸粘合后的总长度为y cm，求y与x之间的函数解析式.
（3）你认为粘合起来白纸的总长度可能为2017cm吗？为什么？。