一元高次方程的求解

一元高次方程的求解

求解一元高次方程曾是数学史上的难题。让你去求解一个一元一次，二次方程方程也许是简单的，但三次，四次或者更高次的方程呢？为了解决这一问题，数学家们奋斗了几个世纪。让我们一起来看一下数学努力的成果。

n 次方程的一般表达式是

101100,0,n n n n a x a x a x a a --++⋅⋅⋅++=≠

而1011()n n n n f x a x a x a x a --=++⋅⋅⋅++称为n 次多项式，其中00a ≠。当系数01,,a a 1,,n n a a -⋅⋅⋅都是实数时，称()f x 是n 次实多项式，当系数中至少有一个为复数时，称()f x 为n 次复系数多项式。如果存在复数α，使得()0f α=，就称α是n 次方程()0f x =的一个根，或称为n 次多项式()f x 的一个根。

1799年，年仅22岁的德国数学家高斯在他的博士论文中首先证明了“代数基本定理”：复数域上任一个次数大于零的多项式，至少有一个复数根。 根据代数基本定理可以推出：复数域上n 次多项式恰有n 个复数根，其中k 重根以k 个根计算。这一结论也可以用多项式的因式分解语言来叙述：“复数域上任何n 次多项式都可以分解成n 个一次式的乘积。”

代数基本定理是一个纯粹的多项式根的存在定理，它没有给出求根的具体方法。

要求得n 次方程的根，一般是希望得到n 次方程

1011()0n n n n f x a x a x a x a --=++⋅⋅⋅++=①

的求解公式，如二次方程20(0)ax bx c a ++=≠②的求根公式那样。众所周知，方程②的解早在古代的巴比伦、埃及、中国、印度、希腊等国的数学著作中，都有不同的表述方式。一个n 次方程①的求根公式是指，①的根通过其系数经由加、减、乘、除以及乘方、开方的表示式，也称这种情况为方程有根式解。

三次以及高于三次的方程是否有根式解？也就是说，是否有求根公式？经过漫长的研究之路，直到16世纪，意大利数学家卡当及其助手才先后给出了三次和四次方程的根式解。

由四次方程根式可解的突破，使当时许多著名的数学家几乎都相信任意的五次方程也一定可以根式求解，并以极大的热情和自信寻找五次或更高次数方程的求根公式。从16世纪中叶到19世纪初，为了获得五次方程解的类似结果，最杰出的数学家，如欧拉、拉格朗日，都曾做过一些尝度，但都没有成功。1771年，拉格朗日，才开始怀疑这种求根公式的存在性。他通过分析发现，次数低于5

的代数方程求根，都可以经过变量替换，先解一个次数较低的预解式，再代入求原方程的解。到了五次方程，情况完全变了，预解式的次数不是降低了，而是升高了。1801年，高斯也意识到这个问题也许是不能解决的。直到1813年，拉格朗日的学生鲁非尼终于证明了，通过找预解式的办法来求解五次方程是行不通的。

鲁非尼的结果只是说用拉格朗日的办法解五次方程是不可能的，并不能说不存在其他的解决办法。1826年阿贝尔发表了《五次方程代数解法不可能存在》一文，第一个正式从否定的角度来谈求根公式的存在。他证明了“具有未定系数的、高于4次的方程是不能用根式求解的”。不过他的思想当时是有很多人（包括高斯在内）表示不理解，而且他的证明也还不很清楚，有一些漏洞。他也没有给出一个准则来判定一个给定的高次代数方程是否可以根式求解。阿贝尔的结论具有广泛性，但并不排除对一些特殊的5次和5次以上方程具有根式解，例如，50

x a

-=就有根式解。于是更深刻的问题被提出了：一个方程有根式解的充要条件是什么？这个在代数方程中至关重要的问题被法国青年数学家伽罗华彻底解决（但伽罗华理论在他死后约15年，1846年才发表）。

伽罗华的天才思想促使了今天我们称之为抽象代数这门学科的蓬勃发展。要了解伽罗华的理论，需要群、环和域等抽象代数的理论知识。伽罗华的思想就是把方程()0

f x=的求解问题转化为确定对应的伽罗华群是否为所谓的可解群的

问题。当对应的伽罗华群是可解群，则方程就是可以根式求解的，否则就不可以根式求解。

可解群是群的理论中一个重要内容，也有许多方法来确定一个群是否为可解群。曾经有一个著名的猜测，叫做伯恩赛猜测，它说有奇数个元素的有限群是可

解群。这个问题在1963年已被数学家费特与汤卜松解决，证明很长，太平洋数学杂志用了整整一期来发表他们的研究结果，不可解群也有很多，例如5

n≥时，n个文字的对称群就是不可解群。

对5

n≥，我们完全可以构造一个n次多项式，使得它所对应的伽罗华群不是可解群。因此对每个5

n≥，都存在一个不是根式可解的n次多项式。这样就彻底解决了一般五次以上方程的根式不可解性。4

n≤，根式可解，5

n≥一般就不可解了，真是“一步之遥，天壤之别”。